Vysoká škola ekonomická v Praze

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky VYUŽITÍ LINEÁRNÍCH A NELINEÁRNÍCH MODELŮ VOLATILITY PŘI ANALÝZE ČESKÝCH PODÍLOVÝCH FONDŮ A AKCIÍ doktorská disertační práce Doktorand: Školitel: Obor: Ing. Jan Popelka doc. Ing. Jiří Trešl, CSc. Statistika Praha, duben 2007

Prohlášení Prohlašuji, že doktorskou práci na téma Využití lineárních a nelineárních modelů volatility při analýze českých podílových fondů a akcií jsem vypracoval samostatně. Použitou literaturu a podkladové materiály uvádím v přiloženém seznamu literatury. V Praze dne 22.4.2007. podpis

ABSTRAKT Cílem této doktorské práce je analýza chování vybraných českých otevřených podílových fondů a akcií. Podílové fondy si od druhé poloviny 90. let získávají v České republice stále větší oblibu. Do konce roku 2006 dosáhl objem investic do podílových fondů 150 miliard korun. Empirická studie se věnuje třem typům podílových fondů: akciovým, dluhopisovým a peněžním a akcie. Denní hodnoty cen byly získány z internetových stránek správců fondů a RM-systému. Sledované období začíná 1.1.2001 a končí 31.12.2005. Akcie a podílové listy mají odlišné principy formování ceny. Zatímco ceny akcií se vytváří interakcí nabídky a poptávky na akciovém trhu, u podílových listů je cena odvozena z celkové hodnoty aktiv fondu. Vliv trhu není u podílových fondů významný, protože nabídka podílových listů je téměř neomezená. Navíc jsou aktiva podílového fondu tvořena řadou rozdílných investičních nástrojů jako jsou české a zahraniční akcie, dluhopisy, pokladniční poukázky, instrumenty peněžních trhů atd. Zjištění, zda časové řady fondů mají i za těchto předpokladů stejné vlastnosti jako řady akcií a zda je pro jejich modelování vhodné použít modely vytvořené pro akcie, burzovní indexy nebo směnné kurzy, je hlavním tématem této práce. Pozornost je věnována nepodmíněnému rozdělení výnosů logaritmů cen podílových listů. Metodou maximální věrohodnosti jsou odhadnuty parametry teoretických rozdělení a poté je testována jejich shoda s rozdělením výnosů. Další rozdělení zmiňovaná v souvislosti s nepodmíněným rozdělením finančních časových řad jsou zmíněna v teoretické části. K modelování podmíněné střední hodnoty je využito modelů typu AR, k modelování podmíněného rozptylu pak lineárních modelů ARCH, GARCH a GARCH-M a nelineárních modelů typu GRJ-GARCH a EGARCH. Další modely volatility jsou popsány v jedné z úvodních kapitol. Skupina nelineárních modelů je do analýzy zahrnuta za účelem hledání pákového efektu. Lineární model GARCH-M popisuje přímé působení podmíněného rozptylu časové řady na její podmíněnou střední hodnotu. Vzhledem k prokázané nenormalitě rozdělení reziduí, nejsou splněny počáteční podmínky modelů časových řad. Vhodnější modely lze získat změnou předpokladu o rozdělení nesystematické složky na GED nebo Studentovo t rozdělení. Na základě porovnání prostřednictvím informačních kritérií a u příbuzných modelů testem věrohodnostním poměrem je pro každou časovou řadu nalezen nejvhodnější model, který slouží k popisu jejích vlastností a v praxi může být využit i k předpovědi dalšího vývoje, v analýze Value at Risk nebo k popisu vývoje rizikovosti fondu. V závěru jsou popsány zjištěné společné a rozdílné vlastnosti podílových fondů a akcií a doporučení pro modelování těchto časových řad. Klíčová slova: časové řady, otevřené podílové fondy, lineární modely volatility, nelineární modely volatility, nepodmíněné rozdělení výnosů, rozdělení nesystematické složky

RESUME The aim of this PhD thesis is the analysis of selected open-end-funds pursuing in the Czech Republic and Czech shares. The open-end-funds became very popular in the Czech Republic during the second half of 90 s. The amount of investment reached the value of 150 billion CZK in 2006. The empirical analysis focuses on three types of open-end-funds: share funds, obligation funds and financial market funds. Only funds traded in Czech currency are included. The period of observation begins on 1.1.2001 and ends on 31.12.2005. Shares and allotment certificates have different process of price determination. The share prices are determined by bids and ask on stock exchange. The price of allotment certificates is set by the value of fund assets. The market influence is thereby weak, because the bid of fund shares is almost unlimited. Moreover the open-end-fund asset is a compact of different investment vehicles such as Czech and foreign stocks, bonds and money market instruments. The question if the time series could be under these circumstances modeled using models derived for time series of assets, stock indices and exchange rates has to be answered in this thesis. Attention is paid on unconditional distribution of logarithmic returns. Using maximum likelihood method the parameters of theoretical distributions are estimated and Goodness-of- Fit tests are evaluated. Other theoretical distributions related to financial time series are noticed in theoretical chapter. AR models are used for conditional mean modeling and the conditional variance is modeled using linear ARCH, GARCH and GARCH-M models and nonlinear EGARCH and GRJ- GARCH models. Other volatility models are described in theoretical chapter. The group of nonlinear model is included to find the leverage effect. Linear model GARCH-M describes the tradeoff between conditional variance and excess returns. With respect to discovered nonnormality of model residuals, the key model assumption is not met. Suitable models can be obtained by changing the model distributional assumption of error term to Student s t or Generalized Error Distribution. Using information criterions and likelihood ratio test for nested models the most suitable model for each time series is selected. This model serves to show the time series behavior and can be used for forecasting, Value at Risk analysis or risk description. Discovered similarities and differences between open-end-funds and shares are described and recommendations for time series modeling are presented. Key words: time series, open-end-funds, shares, linear volatility models, nonlinear volatility models, unconditional distribution of returns, distribution of error term

KURZFASSUNG Das Ziel der vorliegenden Dissertationsarbeit ist die Analyse von ausgewählten tschechischen offenen Fonds und Börsenaktien. Die offenen Fonds erwerben seit den 90. Jahren in der Tschechischen Republik fortwährend größere Popularität. Bis Ende des Jahres 2006 erwirkte der Umfang von Investitionen in offene Fonds 150 Milliarden Kronen. Die empirische Studie konzentriert sich an drei Fondstypen: Aktienfonds, Rentenfonds, Geldmarktfonds. Nur in tschechischer Währung gehandelte Fonds sind in die Analyse aufgenommen. Der Beobachtungszeitraum beginnt am 1.1.2001 und endet am 31.12.2005. Die Börsenaktien und Fonds-Anteile haben unterschiedliche Prinzipe des Wertansatzes. Bei einem offenen Fonds bildet sich der Kurs nicht nach Angebot und Nachfrage, wie an der Aktienbörse, sondern entspricht dem tatsächlichen Anteil am Fondsvermögen. Der Markteinfluß ist bei Fonds nicht bedeutend, weil das Angebot der Anteile fast unbegrenzt ist. Zusätzlich bilden das Fondsvermögen verschiedene Anlagenwertpapiere wie tschechische und ausländische Aktien, Obligationen, Geldmarktinstrumente usw. Die Feststellung, ob die Fondszeitreihen unter diesen Voraussetzungen dieselben Charakteristika wie die Aktienreihen haben und ob die statistischen Modelle abgeleitet für Aktien, Börseindexe und Umwechslungskursen adäquat für Modellierung sind, ist das Schwerpunktthema dieser Arbeit. Aufmerksamkeit ist der unbedingten Verteilung von logarithmischen Renditen gewidmet. Mittels der Maximum-Likelihood-Methode sind die Parameter von ausgewählten theoretischen Verteilungen geschätzt und dann wird die Ähnlichkeit mit Ertragenverteilung geprüft. Weitere Verteilungsfunktionen, die im Kontext mit Finanzzeitreihen erwähnt sind, sind im theoretischen Kapitel präsentiert. Die AR-Modelle werden für Modellierung des bedingten Erwartungswertes benutzt und zu bedingten Volatilitätmodellen gehören lineare ARCH, GARCH und GARCH-M und nicht lineare EGARCH und GRJ-GARCH-Modelle. Weitere Modelle für die Volatilität sind im theoretischen Kapitel beschrieben. Die nicht linearen Modelle werden wegen asymmetrischen Effekts von positiven und negativen Fehlern auf die Volatilität benutzt. Linear GARCH-M- Modell beschreibt Beziehung zwischen Risiko und Rendite. Weil die Modellresiduen keine Normalverteilung haben, ist die Verteilungsannahme nicht erfüllt. Günstige Modelle kann man unter Verwendung der GED oder t-verteilung erhalten. Mit Hilfe der Informationskriterien wird das beste Modell ausgewählt. Dieses Modell kann man für Erklärung von Verhalten der Zeitreihen, für Vorhersage, Value at Risk Analysis oder Risikoerklärung benutzt. Die entdeckte Ähnlichkeit und Verschiedenheit zwischen offenen Fonds und Börsenaktien werden erklärt und Empfehlungen für die Modellanpassung präsentiert. Schlüsselwörter: Zeitreihen, offene Fonds, Börsenaktien, lineare Modelle der Volatilität, nicht lineare Modelle der Volatilität, unbedingten Verteilung von Renditen, Verteilungsannahmen.

OBSAH ÚVOD...1 1 Finanční časové řady...4 1.1 Otevřené podílové fondy...4 1.2 Mechanismus tvorby ceny podílového listu...8 1.3 Ekonomické indikátory při rozhodování investora...9 1.4 Nepodmíněné rozdělení finančních časových řad...11 1.5 Analýza Value at Risk...13 1.6 Předpovídání v časových řadách...14 2 Teoretické základy analýzy otevřených podílových fondů a akcií...16 2.1 Nepodmíněné rozdělení výnosů finančních časových řad...16 2.2 Modely volatility...26 2.3 Analýza finančních časových řad...43 3 Analýza akciových podílových fondů...50 3.1 Úvod...50 3.2 Popisné charakteristiky...51 3.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů...52 3.4 Modely akciových otevřených podílových fondů...54 3.4.1 ISČS Sporotrend...54 3.4.2 Fond Pioneer Akciový...63 3.4.3 ING International Český akciový fond...66 3.4.4 ISČS Eurotrend...70 3.4.5 ISČS Globalstocks...73 3.5 Závěrečné shrnutí vlastností akciových podílových fondů...76 4 Analýza dluhopisových podílových fondů...78 4.1 Úvod...78 4.2 Popisné charakteristiky...78 4.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů...80 4.4 Modely dluhopisových otevřených podílových fondů...80 4.4.1 ISČS Sporobond...80 4.4.2 KBC Renta Czechrenta...84 4.4.3 IKS Dluhopisový...87 4.4.4 ING International Český fond obligací...89 4.5 Závěrečné shrnutí vlastností dluhopisových podílových fondů...91

5 Analýza podílových fondů peněžního trhu...94 5.1 Úvod...94 5.2 Popisné charakteristiky...94 5.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů...95 5.4 Modely otevřených podílových fondů peněžního trhu...96 5.4.1 ISČS Sporoinvest...96 5.4.2 KBC Multicash ČSOB CZK...98 5.4.3 Pioneer Sporokonto...99 5.4.4 IKS Peněžního trhu...101 5.4.5 ING International Český fond peněžního trhu...101 5.5 Závěrečné shrnutí vlastností podílových fondů peněžního trhu...102 6 Analýza akciových časových řad...104 6.1 Úvod...104 6.2 Popisné charakteristiky...104 6.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů...105 6.4 Modely akcií...106 6.4.1 ČEZ...106 6.4.2 Unipetrol...109 6.4.3 Komerční banka...111 6.4.4 Český Telecom...114 6.4.5 Philip Morris...116 6.5 Závěrečné shrnutí vlastností akciových časových řad...119 7 Závěrečné srovnání investičních nástrojů...122 7.1 Nepodmíněné rozdělení výnosů...122 7.2 Modely časových řad...123 7.3 Vlastnosti reziduí modelů volatility...125 Závěr...127 Seznam použité literatury...130 Seznam použitých zkratek a symbolů...135 Seznam příloh...136

ÚVOD Analýza rozdělení a modelování finančních časových řad jsou významným statistickým oborem, který se neustále rozvíjí. Hledání principů chování a předpovídání cen cenných papírů, komodit, nemovitostí, měnových kurzů a dalších investičních nástrojů je stále lákavým tématem pro řadu statistiků, ekonomů, manažerů i investorů. Zájem o tento obor se udržuje na vysoké úrovni, protože možnosti jeho využití při správě a investování finančních prostředků jsou velké. Svědčí o tom množství nově vznikajících monografií, které se vydávají nejen v zahraničí, ale také v Čechách a to již dokonce i od českých autorů. Vliv na rozvoj a oblibu modelování časových řad má i neustálý vývoj výpočetní techniky, který v současnosti umožňuje i na osobních počítačích odhadovat parametry stále složitějších modelů. Ve své disertační práci jsem se rozhodl navázat na vlastní diplomovou práci z roku 2000 nazvanou Využití předpovědních metod v manažerské praxi. Práce byla součástí mého studia na Fakultě managementu Vysoké školy ekonomické. Ve své podstatě se v ní objevily relativně jednoduché statistické metody předpovídání nejen finančních časových řad, jako je dekompozice sezónních časových řad, vyrovnávací metody, autoregresní modely. Praktická část se soustředila na finanční časové řady v zahraniční i české odborné literatuře často opomíjené ceny podílových listů otevřených podílových fondů. I přes jednoduchost a z odstupem času musím konstatovat i nedostatečnost a nevhodnost aplikovaných statistických metod, byla práce oceněna cenou rektora za excelentní studentskou odbornou práci. Tato cena mne ujistila, že podobná analýza má praktický význam, protože oblast mnou zkoumaných investičních nástrojů není doposud dostatečně popsána. V disertační práci se vracím k problematice otevřených podílových fondů, které patří v zahraniční i u nás ke stále oblíbenějším formám investování a to i mezi drobnými investory. Jen v samotném Německu působí v současné době již více než 3700 různě orientovaných podílových fondů. V České republice si podílové fondy získávají stále větší oblibu již od druhé poloviny 90. let. Do konce roku 2006 dosáhl objem investic do podílových fondů 150 miliard korun. Cílem práce je provést podrobnou analýzu tří skupin českých podílových fondů, které se od sebe odlišují mimo jiné výší výnosů, skladbou portfolia, rizikovostí investice, délkou investičního horizontu. Jde o akciové, dluhopisové a peněžní podílové fondy. V porovnáním s ostatními finančními časovými řadami, patří podle mého názoru fondy mezi opomíjené investiční nástroje. Pro účely srovnání jsem do analýzy zapojil i české akcie. K jejich popisu jsem použil naprosto stejné metody jako u podílových fondů. Akcie jsou tradičním a oblíbeným datovým zdrojem pro analyzování, modelování a předpovídání finančních časových řad. 1

Porovnání výsledků analýzy akcií s podílovými fondy by mělo poskytnout důležité závěry o vhodnosti aplikace statistických metod a modelů a vést k pochopení chování časových řad podílových fondů. V prezentované analýze jde především o nalezení shodných a rozdílných prvků sledovaných časových řad, tedy nalezení podobností a rozdílů mezi jednotlivými investičními nástroji. Důvodem proč porovnávat časové řady podílových fondů a akcií mezi sebou je rozdílnost mechanismů tvorby ceny zmíněných investičních nástrojů a různorodost struktury portfolií různých typů podílových fondů. Zjištění, zda časové řady fondů mají stejné vlastnosti jako řady akcií a zda je pro jejich modelování a předpovídání vhodné použít modely vytvořené pro akcie, burzovní indexy nebo směnné kurzy, je nejdůležitějším tématem této práce. Závěry o vhodnosti určitých typů modelů je pak z této analýzy také možné odvodit. Na praktické využití modelování a předpovídání budoucího vývoje cen a volatility pro investory a manažery fondů upozorňuji v první kapitole práce. Zmíněné modelování časových řad je v mé disertační práci důležitým nástrojem pro popis chování finančních časových řad. Aplikoval jsem jednak autoregresní úrovňové modely (tedy modely, kterými jsem se zabýval v práci diplomové) a k nim pak připojil modely volatility. Důvodem jejich aplikace je u mnoha finančních časových řad popsaná vysoká špičatost a tlusté konce rozdělení výnosů, nekonstantnost rozptylu, výskyt shluků a asymetrie vlivu kladných a záporných šoků na velikost podmíněného rozptylu. Vzhledem k tomu, že i v současné době jsou popisovány stále nové a nové modely volatility, věnoval jsem druhou kapitolu přehledu doposud publikovaných modelů. Studiem odborné literatury se mi podařilo nalézt přes 30 různých modelů volatility. Tento výčet však zcela jistě nepovažuji za konečný. Každému modelu je v práci věnován prostor, kde je popsán jeho tvar a základní vlastnosti. Více prostoru dostaly modely konkrétně použité v disertační práci. Při výběru modelů aplikovatelných na podílové fondy a akcie jsem byl omezen použitým statistickým softwarem. Vzhledem k mé víře ve fundovanost autorů statistických programů jsem přesvědčen, že modely využité v analýze patří mezi nejvýznamnější a nejdůležitější. O jejich významu hovoří i časté praktické aplikace a odkazy v odborných publikacích. Důležitou podmínkou při tvorbě modelů finančních časových řad je znalost tvaru rozdělení nesystematické složky. Vzhledem k tomu, že v poslední bodě se významně rozšiřuje nabídka statistických programů umožňujících výstavbu modelů založených i na jiném než normálním rozdělení, byla tato možnost využita i v mé analýzy. Porovnávány jsou nejen různé typy modelů volatility, ale i stejné modely založené na odlišném rozdělení nesystematické složky. Účelem tohoto srovnání je zjištění, zda takovéto modely dokáží skutečně lépe popsat chování sledovaných časových řad. 2

Analýza podílových fondů a akcií se soustředí i na nepodmíněné rozdělení výnosů. Jedním z cílů práce je nalézt vhodné rozdělení, které by bylo základem pro výše zmíněné modely i pro jiné analýzy (např. analýzu Value at Risk). Řada autorů upozorňuje na překonaný předpoklad normality rozdělení výnosů finančních časových řad, vysokou špičatost, tlusté konce rozdělení a významné zešikmení. Detailně se věnuji i této problematice. U každé časové řady jsou prozkoumány vlastnosti reziduí vybraného modelu za účelem zjištění, zda mají či nemají předpokládané normální rozdělení. Pokud tomu tak není, snažím se zjistit, co je důvodem pro zamítnutí hypotézy o jejich normalitě a jaké rozdělení by je lépe popisovalo. Teorii rozdělení výnosů finančních časových řad jsem také věnoval část druhé kapitoly. Krátce jsem v ní popsal nejdůležitější rozdělení uvedená v odborné literatuře věnované finančním časovým řadám a sám doplnil dvě rozdělení, o kterých se zdroje nezmiňují, ale u nichž se mi shodu s analyzovanými časovými řadami podařilo prokázat. Kapitoly 3 až 6 jsou věnovány empirické analýze českých finančních časových řad. Jsou analyzovány řady výnosů logaritmů cen podílových listů tří skupin podílových fondů akciové, dluhopisové a peněžní a také české akcie pro účel srovnání. Každá kapitola je zakončena nejdůležitějšími zjištěnými závěry platnými pro sledovanou skupinu. Zhodnocení závěrů analýz všech podílových fondů je snahou nalézt shodné a rozdílné prvky v chování časových řad, v jejich nepodmíněném rozdělení a v přístupu k vytváření jejich modelů. Jsou zde navrženy oblasti využití předkládané empirické analýzy v praxi a to jak na straně manažerů fondů, tak i na straně investorů. Samozřejmě nechybí náměty dalšího výzkumu v této oblasti, které by měly odpovědět na otázky nezodpovězené v této práci. 3

1 Finanční časové řady 1.1 Otevřené podílové fondy Otevřené podílové fondy jsou důležitým a v analýze finančních časových řad neprávem opomíjeným investičním nástrojem. Fenomén otevřených podílových fondů existuje v zahraničí velmi dlouho, protože první fondy začaly vznikat již na přelomu 19. a 20. století v anglosaských zemích. V kontinentální Evropě, jako např. ve Francii, Švýcarsku nebo Německu se tato kolektivní forma investování začala prosazovat výrazněji po II. světové válce. K masivnímu rozšíření otevřených podílových fondů však dochází až na počátku devadesátých let 20. století. V posledním období dochází k velkému rozvoji této formy investování, v USA předstihuje dokonce (spolu s penzijními a ostatními fondy) tradiční investice do termínovaných vkladů. Jen v samotném Německu působí v současné době již více než 3700 různě orientovaných podílových fondů. První české podílové fondy byly zakládány v první polovině 90. let. Jejich rozvoj však nastává až po roce 1997. Vzhledem k jednoduchosti a výhodám kolektivního investování ve fondech si tyto získávaly a získávají stále větší oblibu i u drobných investorů. Jenom v období od druhého kvartálu roku 1999 do poloviny roku 2000 stoupla souhrnná aktiva těch fondů, které nevznikly z kupónové privatizace z 25 miliard Kč na 45 miliard Kč. V dubnu roku 2003 bylo v podílových fondech alokováno 100 miliard Kč, na konci roku 2006 pak 150 miliard Kč. Poslední údaj z internetových stránek Asociace fondů a asset managementu České republiky (AFAM ČR) uvádí objem investic do českých fondů ve výši 150 miliard Kč (AFAM ČR, 2006a). Vývoj investic v letech 1997 2003 je na obrázku 1.1. Podílový fond definují Tepper a Kápl (1994) následovně: Podílový fond tak shromažďuje prostředky od veřejnosti prostřednictvím emise vlastních cenných papírů (podílových listů) a takto získané prostředky investuje do účastí na podnikání jiných osob, tedy akcií, dále dluhopisů, finančních derivátů, movitých věcí a nemovitostí. Shromážděné prostředky v podílovém fondu tvoří zvláštní majetek, který je oddělen jak od majetku investiční společnosti, tak i od majetku jiných fondů založených a spravovaných stejnou investiční společností. Důležité je, aby podílové fondy byly dostatečně rozsáhlé, aby bylo možné najmout schopné odborníky, kteří se ujmou managementu investic podílníků. Z hlediska možnosti vydávání nových podílových listů existují vedle otevřených také uzavřené podílové fondy. Uzavřený podílový fond se vyznačuje tím, že má pevně stanovený počet cenných papírů, který je vydáván do oběhu. Jejich majitelé je nemohou nabízet ke zpětnému prodeji fondu, proto se s těmito cennými papíry obchoduje na veřejných trzích (v případě ČR 4

na Burze cenných papírů Praha nebo v RM-Systému). Kurs těchto cenných papírů je určován nejen hodnotou majetku fondu, ale v konečné fázi vztahem mezi jejich nabídkou a poptávkou, popisuje tuto skupinu fondů Špička (1993). V této souvislosti je nutno podotknout, že podle 35l Zákona o investičních společnostech a investičních fondech (zákon č. 248/1992 Sb.) musely být do 31. 12. 2002 všechny uzavřené fondy transformovány na otevřené a nelze již zakládat nové. Obr. 1.1 Vývoj objemu majetku korunových fondů členů UNIS ČR v letech 1997-2004 (zdroj: Dvořák, 2004) Špička (1993) dále uvádí: Na rozdíl od uzavřeného podílového fondu je u otevřeného neomezený počet jím emitovaných cenných papírů, tzv. podílových listů a každý majitel tohoto listu má právo jej kdykoliv odprodat zpět investiční společnosti. Podílové listy OPF nejsou obchodovatelné na veřejných trzích, to znamená, že se s nimi neobchoduje na burze cenných papírů ani na mimoburzovním trhu. Cena podílového listu je denně vypočítávána jako čisté obchodní jmění podílového fondu vydělené počtem emitovaných podílových listů. Tímto způsobem je stanovena cena, za kterou podílový fond odkupuje své podílové listy od jejich majitelů. Právě jednoduchost obchodování s podílovými listy je základem oblíbenosti fondů drobnými investory. 5

Jednotlivé typy fondů přesně vymezuje Metodika klasifikace fondů závazná pro členy AFAM ČR na internetových stránkách AFAM ČR (AFAM ČR, 2006b): 1) Akciové fondy: Fond trvale investuje na akciovém trhu minimálně 66% aktiv (tj. do akcií a instrumentů nesoucích riziko akcií). Akciové fondy zahrnují i indexové a garantované fondy vázané na akciové indexy. Doplňkově se stanovuje, zda fond patří do kategorie sektorových fondů, která zahrnuje akciové fondy investující výhradně do určitého ekonomického sektoru. Geografická příslušnost je definována podle sídla emitenta akcií. Investice do akcií mimo danou kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu. 2) Dluhopisové fondy: Fond trvale investuje na trhu dluhopisů. Doplňkové investování do akcií je možné, ale podíl akcií nesmí překročit 10% aktiv fondu. Dluhopisové fondy zahrnují i indexové a garantované fondy vázané na obligační indexy. Geografická příslušnost je definována podle měny aktiv. Investice do měn zemí mimo danou kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu. Při zařazení fondu je zohledněno zajištění proti pohybu kursu jednotlivých měn. 3) Fondy peněžního trhu: Fond trvale investuje na trhu dluhopisů anebo na peněžním trhu. Celková modifikovaná durace nesmí překročit hodnotu 1. (Při překročení tohoto limitu je fond klasifikován jako dluhopisový fond.) Geografická příslušnost je definována podle měny aktiv. Investice do měn zemí mimo danou kategorii jsou vyloučeny. Při zařazení fondu je zohledněno zajištění proti pohybu kursu jednotlivých měn. 4) Smíšené fondy: Fond investuje do různých aktiv na různých trzích a nejsou stanoveny limity pro podíl akcií či dluhopisů. Geografická příslušnost je definována podle sídla emitenta akcií a vzhledem k celkovému měnovému riziku. Investice do měn a akciových trhů zemí mimo danou kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu. 5) Fondy fondů: Fond trvale investuje minimálně 66% aktiv do podílových listů a akcií fondů. Doplňkově se fondy fondů rozdělují podle toho, do jakých fondů investují, na převážně akciové, převážně dluhopisové a smíšené. Geografická příslušnost je definována podle geografického rizika fondů. Investice do podílových listů a akcií mimo danou kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu Zařazení fondů mezi ostatní investiční nástroje z hlediska jejich rizikovosti a výnosnosti ukazuje obrázek 1.2. 6

Obr. 1.2 Vztah mezi výnosem a rizikem investičních nástrojů (zdroj: P. Popelka, 2003) opce a termínované obchody kmenové akcie preferenční akcie, směnky, finanční spoluúčast akciové podílové fondy riziko smíšené podílové fondy, fondy fondů podnikové dluhopisy vkladové certifikáty, pojistky a renty, obligační fondy výnosy státní a komunální dluhopisy státní pokladniční poukázky, PF peněžního trhu termínované vklady, vklady se státní zárukou nemovitosti, drahé kovy, sbírky, starožitnosti Do analýzy v disertační práci jsou zařazeny pouze akciové, dluhopisové a peněžní fondy. Aby fondy mohly být zařazeny do analýzy musely splňovat několik důležitých podmínek: 1. Fondy musely být otevřené. 2. Podílové listy musely být obchodovatelné v české měně. 3. Muselo se jednat o fondy oceňované denně, tzn. že analyzovány jsou pouze denní časové řady. 4. Délka analyzované časové řady byla stanovena na 5 let, přičemž začátek sledovaného období všech řad je 1.1.2001 a konec 31.12.2005. V případě prodloužení časových řad směrem do minulosti, by muselo dojít ke snížení počtu analyzovaných fondů, protože řada z nich nemá příliš dlouhou historii. Vymezené období je tak kompromisem mezi délkou časových řad a jejich počtem. Pětiletým sledovacím obdobím byla zajištěna dostatečná délka časových řad pro jejich analýzu a tvorbu modelů, aktuálnost i porovnatelnost, protože všechny kurzy se vyvíjely ve stejné době a tím i ve stejných ekonomických podmínkách. 7

1.2 Mechanismus tvorby ceny podílového listu Pohled na mechanismus tvorby ceny podílového listu dokazuje, jak rozdílný je tento investiční nástroj oproti akciím. Zatímco cena akcie je definována interakcí nabídky a poptávky na akciovém trhu, stejný nástroj tvorby ceny podílových listů otevřených podílových fondů nefunguje. Trh s podílovými listy je do značné míry omezen a je akciovému trhu velice vzdálen. Samotná podstata otevřeného fondu je taková, že pokrývá jakoukoliv poptávku investorů. Otevřený fond vydává stále nové podílové listy a prostředky takto získané dále investuje. Problematický vliv velkých investorů, kteří by měli zájem o masivní investice může fond omezit stanovením maximálního objemu prodeje tím i omezí pozdější zpětný odkup velkého množství podílových listů. Takovéto doporučení dává správcům fondů Asociace fondů a asset managementu ČR v dokumentu Doporučení pro členy AFAM ČR jak postupovat při správě fondů kolektivního investování internetových stránkách AFAM ČR (AFAM ČR, 2006c): Investiční společnost by měla zapracovat do statutu fondu ustanovení notifikaci, umožňující velkým investorů (např. nad 1 mil. EUR) nákup podílových listů pouze se souhlasem investiční společnosti. Toto ustanovení umožňuje správci fondu odmítnout prodej podílových listů velkým investorům v okamžiku, kdy by tato investice potenciálně ohrožovala budoucí stabilitu fondu. Správce fondu je tak chráněn před neúměrně vysokými vklady, které nemohou být okamžitě investovány a v budoucnu mohou znamenat neočekávaný jednorázový odliv prostředků z majetku fondu. Fond navíc nemůže podílové listy o své vlastní vůli odkupovat zpět od svých investorů, ale ti je mohou bez omezení prodávat zpět fondu. Právě téměř neomezená nabídka podílových listů na trhu degeneruje působení tržního principu nabídky a poptávky na cenu. Cena jednoho podílového listu otevřeného podílového fondu je odvozena jako podíl celkové hodnoty majetku v držení fondu a počtu podílových listů, které mají v držení jeho investoři. Hodnota majetku je určována zpravidla denně podle hodnoty portfolia podílového fondu. Jak již bylo uvedeno v kapitole o jednotlivých typech fondů, podílové fondy mají předem stanovena pravidla pro tvorbu portfolia. Zákon číslo 189/2004 Sb. o kolektivním investování navíc omezuje riziko ztrát investorů tím, že stanovuje limity pro držbu cenných papírů od jednoho subjektu (firma, obec, stát, centrální banka) v portfoliu fondu. Manažer fondu jakožto správce portfolia je tak do jisté míry omezen ve svém rozhodování kam alokovat finanční prostředky získané prodejem podílových listů fondu. Výše uvedený princip tvorby ceny dokazuje, jak rozdílný je způsob oceňování investice do podílového listu a akcie. Vliv tržního mechanismu však do jisté míry na cenu podílových listů působí. Portfolio některých fondů je z části tvořeno právě akciemi. V závislosti na podílu 8

akcií v portfoliu je cena podílového listu nepřímo formována i nabídkou a poptávkou na akciovém trhu. Vliv tržního mechanismu bude jistě významný u akciových fondů, kde podíl akcií musí být minimálně 66%, menší však u fondu dluhopisového (akcie se na celkových aktivech smějí podílet maximálně z 10%). U fondů peněžního trhu je tento vliv naopak zanedbatelný, protože fond do akciových trhů nesmí vůbec investovat. Jeho investice jsou však namířeny do trhů měnových, kde je cena definována také vlivem nabídky a poptávky. Modelování a předpovědi časových řad podílových fondů se navíc nesoustředí na cenu jediného investičního prostředku (akcie, měnový kurz, cena komodity), ale na cenu portfolia, které obsahuje desítky těchto prostředků z různých oblastí investování a různých trhů. To je v odborné literatuře věnované modelování finančních časových řad daleko méně časté. Tyto specifické vlastnosti definování cen podílových listů vybízejí k řadě otázek. Lze aplikovat modely primárně vytvořené pro akciové časové řady i na investiční nástroje, jejichž cena je definována jiným než tržním způsobem? Mají takové časové řady podílových fondů nějaké společné prvky s řadami akcií, které by použití statistických modelů ospravedlňovaly? Dokáží uvažované modely popsat a předpovídat vývoj rozsáhlého portfolia namísto jediného investičního prostředku? Aplikace modelů na tento typ finančních časových řad by měla nalézt odpovědi na tyto otázky. 1.3 Ekonomické indikátory při rozhodování investora Řada ekonomických studií je věnována srovnávání nejrůznějších investičních nástrojů. Cílem je řadit investiční nástroje podle různých kritérií, nalézat vhodné strategie investování apod. V této souvislosti jsou jmenovány tři základní indikátory: výnosnost resp. výkonnost, rizikovost a likvidita investice. Tyto indikátory sehrávají významnou úlohu při rozhodování investora. Nejsou zdaleka jedinými indikátory, které jsou v souvislosti s podílovými fondy zmiňovány. Mezi další indikátory patří velikost fondu, délka existence, renomé investiční společnosti, jméno a zkušenosti manažera fondu, investiční strategie, daňový domicil a další. Jak je patrné z výčtu, nelze některé z nich vůbec kvantifikovat. Výkonnost, rizikovost a likvidita jsou důležité i pro manažery fondů při rozhodování o skladbě portfolia fondu. Indikátorů výkonnosti investice je odvozeno velké množství. Správci fondů nejčastěji prezentují relativní výkonnost za určité období - od jednodenní, přes měsíční, roční až po výkonnost fondu od okamžiku jeho založení. Všechny tyto ukazatele slouží k popisu historického vývoje a fungování fondu. Zájmem investorů i manažerů může být i předpověď výkonnosti směrem do budoucnosti. Z tohoto důvodu docházelo a dochází k aplikaci statistických metod modelování výnosů finančních časových řad. Přestože řada empirických studií upozorňuje na nepredikovatelnost budoucího vývoje výnosů investic v delším časovém horizontu, jedno této 9

metodě upřít nelze. Napomáhá k pochopení zákonitostí chování časové řady a přináší dynamický pohled na historickou výkonnost investice. Významnou skupinou v této oblasti modelování jsou klasické lineární modely podmíněné střední hodnoty, tedy modely typu ARMA a ARIMA (Box-Jenkinsova metodologie). Časovou řadu generuje stochastický proces, tedy soubor náhodných veličin X t uspořádaných v čase t. Podle těchto modelů závisí podmíněná střední hodnota náhodné veličiny na čase. Je funkcí podmínky, že náhodné veličiny v časech předchozích nabyly konkrétních hodnot a je nazývána funkcí regresní. Např. u procesu AR(1) vyjádřeného tvarem X t = φx t-1 + ε t je touto podmínkou hodnota náhodné veličiny v čase t-1. Detailně o modelech podmíněné střední hodnoty pojednávají např. Arlt a Arltová (2003), včetně problémů spojených s jejich aplikací na finanční časové řady. Je popsáno velké množství typů investičního rizika (inflační, finanční, měnové, systémové). Mimořádné postavení mezi nimi zaujímá riziko kurzových změn neboli volatilita (Steigauf, 1999). Na trhu otevřených podílových fondů představuje jednu z největších hrozeb pro investora. Tomuto riziku se nelze vyhnout ani výběrem renomovaného investičního fondu s dobrým jménem a dlouhou tradicí. Klasickým způsobem popisu volatility je směrodatná odchylka výnosů investice za sledované období. Přestože není možné klást rovnítko mezi historickou volatilitou a budoucím rizikem investice, zůstává tento jednoduchý ukazatel základním ekonomickým indikátorem rizika. Sami manažeři fondů jej nejčastěji zmiňují ve zprávách o svých fondech. Z analýzy akciových časových řad, časových řad měnových kurzů a cen komodit je již dlouhou dobu známa skutečnost, že volatilita finančních časových řad se v čase mění. Interpretace míry rizika investice prostřednictvím směrodatné odchylky tedy není dostatečná. Řešením tohoto problému je koncepce modelů volatility navržená v roce 1984 R. Englem a rozvíjená novými modely i v současné době. Funkce skedastická je obdobou funkce regresní. Vyjadřuje měnlivost (rozptyl) náhodné veličiny v závislosti na hodnotách náhodných veličin v časech předchozích. Také podmíněný rozptyl časové řady je podle tohoto konceptu závislý na čase, nejen podmíněná střední hodnota. Modelů navazujících na Engleho model typu ARCH je veliké množství. O tom, že se jedná o stále živou oblast statistického výzkumu svědčí i to, že i v současné době jsou odvozovány další modely. Snahou o vytvoření co nejaktuálnějšího přehledu těchto modelů je kapitola 2.2 této práce. Likvidita je vyjádřením rychlosti s jakou je investor schopen proměnit svou investici zpět na peněžní prostředky při malém riziku ztráty na její hodnotě. Likvidita vyplývá ze způsobu obchodování s investičním nástrojem. Na rozdíl od výkonnosti a rizika se s časem příliš nemění. Vzhledem k povinnosti fondů odkupovat zpět své podílové listy, je likvidita takovéto 10

investice velice vysoká. Cílem této práce není zabývat se likviditou investice do podílových fondů, protože za sledované období nedošlo v oblasti podílových fondů k žádným významným změnám. 1.4 Nepodmíněné rozdělení finančních časových řad Sledování nepodmíněného rozdělení je snahou o řešení řadu let známého problému časových řad, kterým je jejich nenormalita. Normalita náhodné složky je přitom základní podmínkou lineárních modelů podmíněné střední hodnoty třídy ARMA a ARIMA. V historii modelů časových řad lze vypozorovat tři směry, jak se s vlastnostmi rozdělení finančních časových řad vypořádat. Historicky první směr se zbývá přímo typem nepodmíněného rozdělení finančních časových řad. Na nesplnění podmínky normality poprvé upozornil B. Mandelbrot v roce 1963. Všímal si vlastností výnosů cen bavlny z přelomu 19. a 20. století. Poukázal především na výskyt velkých změn v cenách (ať již kladných nebo záporných) autor hovoří o přemrštěné špičatosti cen. Rozdělení výnosů finančních řad má podle autora tlustší konce než rozdělení normální. Výkyvy v cenách se navíc objevují častěji, než je popsáno normálním rozdělením, takže je autor nepovažuje za stochastické. Mandelbrot navrhl použití skupiny L-stabilních rozdělení (viz. kapitola 2.1) k popisu těchto nenormálních vlastností rozdělení časových řad. Navíc prokázal, že po sobě jdoucí výnosy nejsou nezávislé a že rozptyl není konstantní. Navazující empirické studie prokázaly ve finančních časových řadách výskyt tzv. shluků - oblastí s vyšším rozptylem než v okolí shluku. Jiní autoři doplňují výčet nenormálních vlastností časových řad o významné zešikmení, které symetrické normální rozdělení není schopno zachytit (Degiannakis, 2004; Theodossiou, 1998 a 2001). V odborné literatuře je tedy cítit jasná potřeba nalézt vhodné rozdělení, které by normální nahradilo a co možná nejlépe popsalo chování časových řad. Nejvýznamnějším návrhům je věnována kapitola 2.1. Pohled na grafy vývoje cen a výnosů logaritmů cen podílových listů dokazuje, že některé z výše uvedených nenormálních vlastností finančních časových řad jsou přítomny i v této práci analyzovaných časových řadách (viz přílohy 1 4). Druhý směr je charakterizován snahou problém nenormality časových řad řešit prostřednictvím nových modelů. Engle (1984) navrhl model ARCH, který dokáže zachytit jednak proměnlivou variabilitu časových řad a zároveň i jejich leptokurtické 1 rozdělení. Doplnil tak nedostatečné lineární modely typu ARMA a ARIMA, které popisují jen proměnlivou střední 1 Špičatost rozdělení je vyšší než normální (tedy 3). 11

hodnotu a variabilitu považují za konstantní. Nová třída modelů vycházející z modelu ARCH je nazývána modely volatility nebo též modely podmíněného rozptylu. Jejich důležitou vlastností je, že podmínka normality zůstává zachována. Tím se odlišují od přístupu navrženého Mandelbrotem. Řada empirických studií prokázala, že časové řady simulované prostřednictvím procesů podmíněného rozptylu mají skutečně tlustší konce a jsou špičatější něž je tomu u normálního rozdělení. Z českých prací jsou to především Arlt a Radkovský (1999) a Arlt a Arltová (2003). Jiné studie, však ukázaly, že ani tyto modely nejsou schopny tvar rozdělení finančních časových řad schopny plně zachytit. Řešení spočívající ve spojení obou uvedených směrů dohromady navrhl D.B. Nelson (1991) v článku Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: a New Approach z roku 1991. Nelson navrhl model volatility třídy EGARCH, který dokáže popsat proměnlivou variabilitu, leptokurtické rozdělení výnosů a navíc vychází z předpokladu, že náhodná veličina modelu nemá normální, ale Generalized Error rozdělení (GED). Tedy rozdělení v porovnání s normálním rozdělením špičatější a s tlustšími konci. Na základě tohoto přístupu lze odhadovat parametry modelů volatility založené na jiném než normálním rozdělení nesystematické složky. O významu a aktuálnosti tohoto přístupu svědčí i pohled na období a rozsah první implementace tohoto řešení do významných komerčních statistických programů orientovaných na finanční časové řady. Verze programu SAS 8.0 z roku 1999 umožňuje odhadovat parametry modelů volatility nejen s normálním, ale i Studentovým t-rozdělením nesystematické složky. Modul G@RCH 2.0 programu Ox nabízí modifikace modelů volatility s GED, Studentovým t a zešikmeným Studentovým t rozdělením (Laurent a Peters, 2002). Tento modul byl vydán v květnu roku 2001. Modul programu S-Plus vydaný společností Insightful v květnu roku 2002 pod názvem S+FinMetrics 1.0 umožňuje vedle Studentova t a GED rozdělení použít navíc i dvojité exponenciální neboli Laplaceovo rozdělení nesystematické složky (Insightful, 2002). Společnost StatSoft zařadila v srpnu 2004 do svého programu EViews 5.0 možnost odhadovat parametry modelů volatility s GED a Studentovým t rozdělením. Implementace jiných než normálních rozdělení do statistického software je důležitým krokem pro využití vědeckých metod v ekonomické praxi. Umožnila i vznik této práce. Cílem tohoto empirického výzkumu je vzájemné srovnání modelů založených na rozdílném rozdělení nesystematické složky. Myšlenka tohoto srovnávání je při tom v celku jednoduchá. Snahou je nalézt odpovědi na následující otázky: Vedou nové předpoklady o nenormálním rozdělení nesystematické složky skutečně ke zlepšení odhadů parametrů modelů? Jaké jsou rozdíly 12

v takto získaných odhadech? Je v konečném důsledku použití nového software skutečně potřebné pro analýzu finančních nástrojů? 1.5 Analýza Value at Risk Value at Risk (VaR) analýza je nástrojem používaným od počátku 80. let minulého století řadou finančních institucí. Jde o statistickou metodu měření míry tržního rizika investic. V jednoduchosti slouží tato metoda k odhadování velikosti ztráty (hodnoty VaR), které může za na trhu nezměněných podmínek dosáhnout investor s určitou pravděpodobností v předem stanoveném období. Analýzu VaR může jednak využít investor majitel podílových listů - k odhadu možné ztráty své investice. Jednak je užitečným nástrojem i pro samotné manažery fondů k měření ztrát portfolia a stanovení hraničních propadů hodnoty portfolia pro případné zásahy do jeho struktury. Odborná literatura jmenuje řadu modelů VaR historická metoda, VCV model (variančně-kovarianční), simulace Monte Carlo, metodologie RiskMetrics, ekonometrický model. V návaznosti na předmět zkoumání této práce má smysl podrobněji se věnovat dvěma VaR metodám. Historická metoda je nejjednodušší a nejtransparentnější metodou výpočtu hodnoty VaR. Předpokládá, že budoucí rozdělení výnosů z investice je stejné jako nepodmíněné rozdělení výnosů za určité období v minulosti časové řady. Jinými slovy předpokládá, že historie se z pohledu rizika bude opakovat. K odhadu kvantilů není pak ani nutné znát konkrétní formu hustotu pravděpodobnosti resp. distribuční funkci rozdělení. Lze je odvodit i z histogramu. Pokud je však navíc znám i konkrétní tvar nepodmíněného rozdělení v historii včetně jeho parametrů, lze podle této metody předpovídat hodnoty požadovaných kvantilů známého rozdělení a na jejich základě pak vypočítat s požadovanou pravděpodobností ztrátu investice. Z principu modelu vyplývá důležitá vlastnost rozdělení použitého pro předpověď. Důraz je kladen především na jeho konce v případě počítání ztráty pak konkrétně na jeho levý konec. Vzhledem k již dlouhou dobu známým vlastnostem rozdělení finančních časových je zjevné, že modely s normálním rozdělením vedou k podhodnocení odhadnutých ztrát. Hledání vhodného nepodmíněného rozdělení výnosů podílových fondů, které dobře popisuje chování problematických konců a odhad jeho parametrů je užitečné právě pro aplikaci historické metody VaR. To je také jeden z důvodů, proč se řada autorů snaží o přejímání rozdělení z jiných oborů nebo o odvození nových rozdělení. Jiný přístup k počítání hodnoty VaR uvádí Tsay (2002) pod názvem ekonometrický přístup (econometric approach). Pro výpočet hodnoty VaR používá modely podmíněné střední hodnoty a podmíněného rozptylu (viz kapitola 2.2). Pokud je podmíněné rozdělení výnosů r t 13