Moel asynchronního motoru pro ynamické výpočty Karel Máslo* Anotace Článek popisuje zokonalené moely asynchronního motoru určené pro výpočty přechoových ějů v elektrické síti. Pozornost je zaměřena na vliv sycení magnetických obvoů a vířivých prouů v obvoech rotoru. Simulační výpočty na zokonalených moelech jsou porovnány s výsleky reálných měření. Klíčová slova: ynamický moel, vlastní spotřeba elektrárny, asynchronní motor, sycení, vířivé prouy Úvo Asynchronní motory se široce využívají pro pohon zařízení v omácnostech, průmyslu i zeměělství. Používají se také při výrobě elektřiny ve vlastní spotřebě elektrárenských bloků, ke pohánějí pomocná zařízení nezbytná pro technologický cho elektrárny. Požaavky na spolehlivý a bezchybný provoz vlastní spotřeby narůstá pro jaerné elektrárny, ke bezprostřeně ovlivňuje bezpečnost celého zařízení. Znalost ynamického chování při poruchách v elektrické síti (napříkla zkratech a výpacích napájení) je nezbytná pro zajištění správné funkce technologie. Provozovatel i projektant potřebuje znát opověi na otázky typu: Rozběhne se motor z kliu nebo po beznapěťové pauze? Jak louhý bue rozběh a neoje k tepelnému přetížení? Neoje k přetížení motoru při poruchách sítě? Neoje k zastavení motoru vlivem poklesu napětí sítě? Opověí na tyto otázky mohou át výpočty na ynamických moelech. Tyto moely však musí postihovat i proměnnost parametrů moelu v závislosti na provozních stavech. Zejména se jená o vliv sycení (závislost inukčností na prouu) a vliv vířivých prouů (závislost rozptylových inukčností a oporů rotorových obvou na skluzové frekvenci). Takový moel je popsán v tomto článku tak, jak byl implementován v programu MODES. Síťový simulátor MODES je určen pro moelování elektromechanických přechoových ějů v elektrizačních soustavách a je využíván pro výuku, výzkum a analýzu v České a Slovenské republice.. Moelování asynchronního motoru Převážnou část asynchronních motorů používaných ve vlastní spotřebě tvoří motory s rotorem nakrátko, takže tvorbu ynamického moelu omezíme na ně... Záklaní rovnice motoru Asynchronní motor můžeme popsat v souřaném systému -q otáčejícím se synchronní rychlostí Ω pomocí rovnic v komplexním tvaru: Ψ S /Ω U S r S I S jω Ψ S () Ψ R /Ω r R I R j(ω ω R )Ψ R () Ψ S l σs I S + l m ( I S + I R ) (3) Ψ R l σr I R + l m ( I S + I R ) () T M ω R M E -M M - M M (5) M EImag{Ψ R * I R } () a * značí erivaci pole času a komplexně sruženou honotu. Ψ S,R....magnetické spřažené toky statoru a rotoru I S,R...prouy statoru a rotoru ω ω R...kruhové rychlosti synchronní a rotorové M E...moment elektrický motoru M M... mechanický protimoment poháněného zařízení M M...moment mechanických ztrát l σs,r r S,R...rozptylové inukčností a opory statoru a rotoru l m...magnetizační inukčnost Všechny výše uveené proměnné i parametry statoru jsou v poměrných honotách vztažených na jmenovité napětí U n, jmenovitý prou I n a synchronní kruhovou rychlost Ω. Rotorové veličiny jsou přepočítány na stator. Pro vztažnou mechanickou rychlost rotoru platí Ω V Ω /p, ke p je počet pólpáru motoru. Pro vztažný moment platí M v 3U n I n,/ω V. Mechanická časová konstanta se vypočítá pole vztahu: T M JΩ V /M v ke J je moment setrvačnosti soustrojí. Osa přebíhá osu q o úhel π/ ve směru otáčení, přičemž osa q opovíá reálné ose a osa imaginární, takže pro komplexní proměnnou platí X X q + jx. Rovnice () až () jsou ovozeny za těchto přepoklaů:. statorové napětí je symetrické. rotor je uzavřen nakrátko 3. stator i rotor je magneticky symetrický. Výchozí rovnice upravíme o tvaru vhoného pro alší analýzu. Pro simulaci elektromechanických přechoných ějů se zanebává transformační napětí v obvou statoru. V rovnici () pak vymizí levá strana. Dále z rovnic (), (), () vyloučíme za použití rovnic (3) a () proměnné Ψ R a I,R.. a inukčnosti l nahraíme reaktancemi x (v poměrných honotách jsou stejné). Po úpravě a substituci E jψ R x m /x R je možno rovnice přepsat o tvaru: U S (r S + jx ) I S + E (7) T E j(x S x ) I s (+js Ω T )E () I R (E j(x S x ) I s ) /jx m (9) M E Real{ E I S *} s ω R () ke je zaveena nová proměnná skluz s a elektromotorická síla E za přechonou reaktancí x. Přechoná časová konstanta naprázno T a reaktance jsou efinovány: T x R /(r R Ω ) x x σs + x m x σr /(x R ) x Sx σs +x m x Rx σr +x m () Pohybová rovnice (5) zůstává beze změny... Vliv vířivých prouů Parametry rotorového obvou ovlivňují provozní vlastnost motoru. Účinnost motoru při normálním provozu vyžauje malý rotorový opor a velký záběrný moment při rozběhu vyžauje naopak velké honoty oporu. Poku se omezíme na motory s rotorem nakrátko vyhovuje se těmto požaavkům vojím konstrukčním uspořááním: vojitou klecí nebo hlubokými rážkami rotorového vinutí. * Ing. Karel Máslo, CSc., Divize přenosové soustavy, ČEZ a.s., Argentinská 3, 7 5 Praha (maslo@praha.u.cez.cz)
U prvního uspořáání má horní klec malý průřez a je blíže povrchu. Druhá klec je hlouběji a má velký průřez. Tím je osaženo toho, že první klec má velký opor a malou rozptylovou reaktanci (rozptylový magnetický tok prochází elší rahou) a u ruhé klece je tomu naopak. Při rozběhu je frekvence inukovaných vířivých prouů o rotoru velká a vlivem skinefektu jsou tyto prouy vytlačeny o horní klece. Naopak při normálním provozu se skluzová frekvence blíží nule a prou prochází hlavně olní klecí s nižším oporem. U ruhého uspořáání je mechanismus obobný - vlivem skinefektu při rozběhu procházejí vířivé prouy horní částí klece a při normálním provozu využívají celý její průřez, takže efektivní opor je malý. Vliv hluboké rážky je tey ekvivalentní vojklecovému uspořáání. Náhraní schéma vouklecového uspořáání je na násleujícím obrázku: r S jx σ S jx U S I S jx m jx r /s Obr. Náhraní schéma vouklecového moelu jx r /s Pro zjenoušení zápisu se vynechaly inexy σ a R pro rotorové parametry a nahraily se inexem pro první klec a pro ruhou. Toto schéma přestavuje univerzální variantu, která je uveena např. v [] nebo []. Pole [3] je společná rozptylová reaktance x nulová (to znamená, že společný rozptylový tok obou klecí je zanebán) a naopak pole [] je nulová reaktance x. (to znamená, že rozptylový tok první klece je společný s ruhou klecí). Pro zahrnutí vlivu vířivých prouů pro výpočet elektromechanických ějů se používají vě možnosti. Jenak je to oplnění ruhé iferenciální rovnice pro ruhý rotorový obvo. Rovnice asynchronního motoru lze pak napsat ve tvaru le []. U S (r S + jx ) I S + E () T E j(x S x ) I s (+js Ω T )E (3) T E j(x x ) I s (+js Ω T ) E () M E Real { E I S *} EE E (5) Rázová časová konstanta naprázno T a rázová reaktance x je efinována: T' ' x + x x m / x + x m xxxm x'' x r S + Ω σ () x x + x x + x x m m Druhou možností je použít rovnic (7) - () a rotorové parametry r R a x σr učinit závislými na skluzu. V [] se závislost rozptylové reaktance na skluzu zanebává a pro opor se uává lineární závislost ve tvaru: r R r R (+ k G s) (7) ke r R je opor rotoru při nulovém skluzu a k G je směrnice charakteristiky. V [] se uávají lineární závislosti pole násleujícího obrázku: x σ R r R x σ Rf(s) r R f(s) s KR r R / x σ R s P Obr. Závislost parametrů rotoru na skluzu x σ R Pro skluzy větší než je kritická honota s KR platí při zjenoušení s P : r R rr ( rr rr) () x σr xσr ( xσr xσr) s KR Poku jsou známy parametry obou klecí lze vypočítat parametry ekvivalentního obvou pole vztahů: r a b R+ Rs ax+ bxs r+ r R x R x+ σ + s + s x+ x (9) rr rx + rx r x+ r x xx ar br ax bx r + r (x + x ) (x + x ) x + x Pro přípa hluboké rážky se ají použít vztahy z []: β( β β) β( sinhβ-sinβ) rr sinh +sin rr r R x σr xr + () µ β Ω s ρ Ke je hloubka rotorové rážky, µ a ρ je permeabilita vakua (π -7 H/m) a měrný opor. r R je opor rotoru při nulovém skluzu a x R je reaktance rotoru spojená s rozptylovým tokem neprocházejícím rážkou..3. Vliv sycení Sycení postihuje jak rozptylové, tak i magnetizační reaktance. Pole [] se navrhuje aplikovat sycení pouze na magnetizační reaktanci x m, rozptylovou reaktanci statoru x S a na vzájemnou rozptylovou reaktanci rotoru x. Pole [] a [5] se navrhuje obě rozptylové reaktance rozělit na část sycenou a nesycenou. První je spojena s rozptylovým magnetickým tokem procházejícím železem (proto má inex I pole angl. Iron ) a ruhá s tokem procházejícím vzuchem (proto má inex A pole angl. Air ). Opovíající náhraní schéma je na násleujícím obrázku: r S jx SA jx SI jx I jx A I S U S U A vliv sycení I R jx m jx r /s r R s jx r /s vliv vířivých prouů Obr. 3 Náhraní schéma vouklecového moelu
Závislost sycených reaktancích na procházejícím prouu může být ána měřením nebo analyticky pomocí aproximativních vztahů. V [] se uává pro sycené rozptylové reaktance vztah x I x I D, ke funkce D je popsána v závislosti na činiteli γ, který je efinován poílem prouu při němž začíná sycení I SAT a prouu procházejícího reaktancí: D pro γ> D argtan π γ + γ γ pro γ< () γ Honota I SAT se pohybuje mezi.3-3 p.j. Pro magnetizační reaktanci se oporučuje v [] použít stejných vztahů jako pro sycení synchronního stroje x m k S x m, ke koeficient sycení k S je popsán v závislosti na hlavnímu magnetickém toku vzuchovou mezerou. Tento tok je ve stacionárním stavu roven v poměrných honotách napětí U A. Vychází se z magnetizační charakteristiky naprázno, která se pro účely aproximace rozělí na tří části - lineární nesycenou s reaktancí x m, koleno a lineární sycenou s reaktancí x msat pole násleujícího obrázku: U A3 Napětí U A U A k S k k S S U x m x msat Prou Obr. Magnetizační charakteristika naprázno A + A Sat U e A B ( U U ) Sat A A UA U + x U U ( ) AG m A A / x msat pro U A < U A pro U A < U A < U A pro U A < U A () V [5] se uává pro magnetizační i rozptylové reaktance přírůstková závislost reaktance na procházejícím prouu: x Ψ I aa + a I + a 3 ( ) Jestliže zahrneme parametr a 3 o nesycené části x A a parametry a a přejmenujeme na x I pak obržíme pro sycené části rozptylových reaktancí obobný vztah jako v [5] s tím rozílem, že funkce D bue efinována jako: D (3) + ( a I).. Ztráty asynchronního motoru Ztráty asynchronního motoru můžeme rozělit na čtyři části:. ztráty v měi (Jouleovy) rotoru a statoru. ztráty v železe statoru 3. příavné ztráty. mechanické ztráty. Ztráty v měi jsou zahrnuty v moelu přes opory r S a r R. Ztráty v železe jsou způsobeny vířivými prouy a hysterezí přeevším ve statoru. Závisí na napětí U A a ve schématu na ג mohou být přestaveny voivostí g FE připojenou paralelně k hlavní magnetizační reaktanci x m. V ynamickém moelu se neopustíme velké chyby, kyž tuto voivost zapojíme na svorkové napětí U S. Velikost závisí na frekvenci a na napětí pole vztahu z []: g FE P FE /S n ω S k U s n- () ke ω S je poměrná honota frekvence napětí statoru U s, P a S n jsou ztráty naprázno a jmenovitý zánlivý příkon motoru. Parametry k a n se pohybují v rozsahu - a.5-.5. Příavné ztráty jsou způsobeny přeevším vířivými prouy ve vinutích, na povrchu a v zubech statoru a rotoru. Zjišťují se obtížně a pole řay norem se stanovují pro jmenovité zatížení z honoty činného příkonu pole vztahu P n.5s n cosϕ n, ke cosϕ n je jmenovitý účiník. Pole [7] závisejí tyto ztráty na kvarátu statorového prouu. Pole [] jsou příavné ztráty závislé na výkonu motoru P pole vztahu: P (k +k (+DI))P. DI je činitel zkreslení aný součtem kvarátů amplitu vyšších harmonických a pro ynamické výpočty jej můžeme zanebat. První člen k je nezávislý na velikosti motoru a postihuje přeevším ztráty v ržkách a povrchu. Druhý člen k je závislý na velikosti motoru a postihuje ztráty v zubech a čelech vinutí. Honoty obou parametrů jsou uveeny pro motory o velikosti o 5 o cca 75 kw v [] formou grafu. V násleující tabulce jsou závislosti parametru k a parametrů linearizované závislosti k k k P n na jmenovitém výkonu P n : Počet pólů k [] k [] k [/W]...7.5..3.5..93 Závislost pro k platí pro uveený rozsah jmenovitých výkonů o 75 kw. Pro větší honoty je nutno použít úajů výrobce. Poku tey přijmeme hypotézu o závislosti příavných ztrát na kvarátu prouu, mohou být tyto ztráty zahrnuty o moelu zapojením příavného oporu o série k oporu stator o honotě: r.5cosϕ n (5) pro zjenoušený moel pole norem nebo o honotě: r (k +k )cosϕ n η n () ke cosϕ n a η n je jmenovitý účiník a účinnost motoru. Ostatní parametry se určí z výše uveené tabulky nebo pole úajů výrobce. Mechanické ztráty jsou ány třením a ventilací a obecně pro ně platí závislost momentu v poměrných honotách. M M M M +k M ω R (7) ke první člen je úměrný tření a ruhý ventilaci motoru. Pro rychloběžné motory s malým počtem pólů jsou honoty větší než pro pomaloběžné. Orientační sumární honota mechanických ztrát pro čtyřpólový stroj je kolem %P n. Ztrátový moment M M může být zařazen přímo o Např. ČSN 35 3 Zkoušení asynchronních motorů
momentové rovnice (5). Bezrozměrné koeficienty jsou vztaženy na M V a Ω V.. Implementace moelů Jenotlivé výše popsané moely asynchronního motoru byly porovnávány pomocí nové verze programu MODES. Při testování se zjistilo, že rozptylová reaktance pole vztahu () s rostoucím skluzem roste, což neopovíá mechanismu vlivu vířivých prouů popsanému v kapitole.. Takže v programu je ruhý člen v rovnici pro výpočet reaktance oečítán o honoty x R. Rovněž se zjistilo, že ve ruhém členu rovnice () je zřejmě chyba v exponentu, neboť pak by měla závislost reaktance na prouu I lokální maximum pro honotu Isat/I9%, jak je patrno na násleujícím obrázku. Proto byl použit vztah označený D..5.95.5.75 D.37(argtg(c(-c) -/ )+c(-c )) D'.37(argtg(c(-c) -/ )+c(-c)) cisat/i[%].5 5 7 9 Obr. 5 Půvoní (tečkovaně) a upravená funkce sycení D Pro honoty parametrů lze pak psát vztahy: r R r R F R x σr x (-k R_I (-D R ))+x K F X k R_I x I / x () x σs x σs (-k S_I (-D S )) k S_I x σsi / x σs (9) Koeficienty k R_I specifikují poíl sycené části reaktance. Byly implementovány tři typy funkce F : linearizace pole (3) - Iklec aproximace pole (3) - Iklec pro hlubokou rážku upravené pole (3) - Iklec3. F R ( rr/ rr) F X ( xσr/ xσr) xk xσ (3) R s s s + B R F R + s r R KR s + B X F X + s ar br a X bx B x B R k X a a ( sinh + sin ) R KR X ( sinh - sin ) (3) β β β F F r R β β β R X x K xr x (3) Dále byly implementovány va typy funkce sycení D: pole upraveného vztahu (33) - Isyc pole vztahu (3) - Isyc. pro γ < D pro γ < D argtan π D + ( a I) R γ γ γ + γ (33) (3) Moely sycení a závislosti parametrů na skluzu se ají vzájemně kombinovat zaáním parametru Ief*Isyc+Iklec. 3. Statické charakteristiky motoru Přestavu o vlastnostech asynchronního motoru nám ávají statické charakteristiky - závislosti prouu statoru, momentu a účiníku motoru na skluzu I s, M EL a cosϕf(s). Jejich analytické vyjáření můžeme ovoit řešením rovnic (7), () a () (označené jako moel ELM) a rovnic () - (5) (označené jako moel ELM), přičemž levé strany iferenciálních rovnic se položí rovny nule. Na násleujících obrázcích jsou statické charakteristiky měřené a vypočítané pro různé moely motoru:. moel ELM. moel ELM proměnnými parametry le (3) - Ief 3. moel ELM proměnnými parametry le (3) - Ief. moel ELM proměnnými parametry le (3) - Ief3....... Imot [ka] Ief Ief ELM Ief3.... Obr. Statická závislost prouu motoru na skluzu Mel [knm] Ief Ief ELM Ief3.... Obr. 7 Statická závislost momentu motoru na skluzu Porovnání statických charakteristik pro prou a moment motoru ukazuje zajímavou vlastnost vouklecového a jenoklecového moelu. Prouovou závislost lépe aproximují jenoklecové moely s proměnnými parametry rotoru v závislosti na skluzu (Ief a ). Momentovou závislost lépe aproximuje pro větší skluzy s>.5 vouklecový moel ELM, pro menší skluzy vyhovuje lépe jenoklecový moely. Při porovnání momentové a prouové charakteristiky je nutno vzít v úvahu, že vypočítané charakteristiky moelů jsou počítané za přepoklau konstantního napětí, kežto při měření není napětí konstantní vlivem úbytků prouem.
Jenoklecové moely (Ief a ) rovnocenně aproximují prouovou charakteristiku, pro aproximaci momentové charakteristiky ává lepší výsleky moel Ief. Moel hluboké rážky Ief3 neává obré výsleky..9..7..5..3.. Na násleujícím obrázku je závislost účiníku na skluzu. cosfi Ief Ief ELM Ief3.... Obr. Statická závislost účiníku motoru na skluzu Dosu jsme při výpočtu nebrali v úvahu sycení. Pro sycené moely je nutné zavést společnou reaktanci rotoru x. Jelikož ve výchozích moelech byla tato honota nulová, rozělila se výchozí honota reaktance první klece x na honotou x (polovina) a nové honotě x připal zbytek. Násleující obrázky ukazují vliv sycení rozptylových reaktancí. Jako referenční moel se převzal přípa Ief a s ním se porovnaly násleující :. moel sycení le (33) Ief ks_i kr_i.5. moel sycení le (3) - Ief ks_i kr_i.5 3. jako. se zvětšeným poílem sycené části - kr_i......... Imot [ka] Ief Ief kr_i. Ief Ief.... Obr. 9 Statická závislost momentu motoru se sycením Mel [knm] Ief Ief kr_i. Ief Ief.... Obr. Statická závislost momentu motoru se sycením Je viět, že zaveení sycení může zlepšit aproximaci prouové charakteristiky (Ief), ale naopak zhoršit aproximaci momentové charakteristiky.. Dynamika motoru V této kapitole se bueme věnovat verifikaci moelů porovnáním naměřených průběhů se simulací. Jako referenční průběhy byly použity prouy motorů při hromaném automatickém záskoku rezervního napájení (AZR) vlastní spotřeby jaerné elektrárny Dukovany. Schéma tohoto záskoku je na násleujícím obrázku: kv G TG V AT TA BA SV_A SFRA TB AT TC SV_B SV_C SV_D BB SFRB BC M M M M G TG SFRC kv TC AU FR BD SFRD Obr. Schéma hromaného automatického záskoku AU ER V čase t. s se provee opojení blokového veení V o sítě kv a ochází k hromanému oběhu všech motorů na přípojnicích vlastní spotřeby (v obrázku označených zjenoušeně BA - BD).V čase t.39 s byly vypnuty vypínače pracovních přívoů SV_A - SV_D. Přitom ochází ke skupinovému oběhu pohonů na jenotlivých sekcích vlastní spotřeby. Pohon s největším momentem setrvačnosti (hlavní cirkulační čerpalo) přechází o generátorického chou a napájí ostatní motory. Po ms spínají příslušné automatiky vypínače rezervních přívoů SFRA - SFRD a oje k samonajížění pohonů. Na násleujícím obrázku je porovnání měřených a simulovaných průběhů prouy napáječky: 9 7 5 3 Imot [p.j.] Ief Ief ELM...... Obr. Průběhy prouu motoru napáječky při AZR Je viět, že v okamžiku AZR je měřená honota prouu větší než esetinásobek jmenovité honoty, zatímco simulované honoty ávají maximálně. pro Ief po 5. In pro ELM.
Jelikož ochylka honot měřeného o simulovaného prouu ( po AZR) netrvá louho, neovlivní celkový průběh simulovaného ěje, jak ukazuje průběh skluzu, který je zobrazen na násleujícím obrázku........... Skluz [p.j.] Simulace...... Obr. 3 Průběhy skluzu napáječky při měření a simulaci Na násleujícím obrázku je vynesen průběh funkcí závislosti rotorových parametrů na skluzu......9.9 Fr,Fx Ief Ief Ief3...... Obr. Průběhy funkcí závislosti rotorových parametrů Funkce Fx pro reaktance při rostoucím skluzu klesá a u oporu je tomu naopak. Na násleujícím obrázku je etail časových simulovaných průběhů prouu motoru napáječky při uvážení sycení rozptylových reaktancí: 7 5 3 Ief kr_i. Ief Ief Ief.5..7..9 Obr. 5 Průběhy prouu motoru napáječky se sycením Průběhy funkce sycení D pro oba moely jsou na násleujícím obrázku: D Ief.9. Ief.7..5..3...5..7..9 Obr. Průběhy funkcí sycení při AZR Pro ruhý moel (Ief) ochází k většímu sycení. Zaveení sycení zlepšuje shou simulovaného a měřeného průběhu při velkých změnách skokového charakteru. 5. Závěr V článku jsou shrnuty používané metoy moelování asynchronních motorů z hleiska elektromechanických přechoných ějů. Tyto moely byly implementovány o univerzálního síťového simulátoru MODES a verifikovány porovnáním simulovaných a měřených statických i ynamických průběhů. Vytvořené moely lze použít pro simulaci přechoných ějů ve vlastní spotřebě elektráren jako samonajížění nebo spouštění největšího pohonu. Literatura [] B.K.Johnson, J.R.Willis : Tailoring inuction motor analytical moels to fit known motor performances characteristics an safety particular stuy nees ; IEEE Transaction on Power Systems No 3; 99 [] A.M.A. Mahmou R.W. Menzies: A complete time omain moel of the inuction motor for efficiency evaluation; IEEE Transaction on Energy Conversion No ; 9 [3] J.Arrillaga a kol.: Computer Moelling of Electrical Power System; John Willey & Sons ; 93 [] P.Kunur: Power System Stability an Control; McGraw- Hill; 993 [5] A. Keyhani H.Tsai: IGSPICE simulation of inuctions machines with saturable inuctances; IEEE Transaction on Energy Conversion No ; 99 [] J.E.Gurevič a kol.: Rasčoty ustojčivosti a protiavarijnoj automatiky v energosistěmach; Energoatomizat; 99 [7] G.N.Petrov: Elektrické stroje ; Acaemia Praha 9 Zaveením sycení se nárazová honota prouu při AZR zvětší z honoty. pro Ief na. pro Ief a na osminásobek jmenovité honoty pro Ief a se zvětšeným poílem sycené části - kr_i na.