Varianta A. Příklad 1 (25 bodů) Funkce f je dána předpisem

Transkript

1 Příkla 1 (5 boů) Funkce f je ána přepise Přijíací zkouška na navazující agisterské stuiu 14 Stuijní progra Fyzika obor Učitelství fyziky ateatiky pro stření školy Stuijní progra Učitelství pro záklaní školy - obor Učitelství fyziky ateatiky pro. stupeň záklaních škol Varianta A x 1 f x ln. x (i) Určete efiniční obor funkce f. (ii).zkouejte spojitost funkce f. (iii) Vypočtěte liity funkce v krajních a nevlastních boech efiničního oboru funkce f. (iv) Zkouejte onotonii této funkce. Zjistěte, za á funkce f lokální extréy - poku ano, určete je. Nabývá funkce na své efiniční oboru největší a nejenší honoty? (v) Zkouejte konvexitu (konkávnost) funkce f. (vi) Určete asyptoty funkce f. (vii) Na záklaě proveených výpočtů načrtněte graf funkce f. Příkla (5 boů) Spočítejte eterinant reálné atice a 1 5 A a 3 b v závislosti na paraetrech a, b. ozhoněte, pro která a, b je atice A regulární. Příkla 3 (5 boů) Zjenoušený oel výstřelu ze vzuchovky si přestave pole obr. 1. Hlaveň je na jeno konci uzavřena, na počátku je střela v kliu ve vzálenosti o tohoto konce a prostor ezi títo konce a střelou vyplňuje vzuch stlačený na tlak p. Střela je urychlována tlake rozepínajícího se vzuchu. Přepokláejte, že rozepínání lze pokláat za kvazistatický aiabatický.ěj v ieální plynu a že z opačné strany působí na střelu konstantní baroetrický tlak okolního vzuchu b. Hotnost střely je, průřez hlavně S a její élka l,. Tření zanebejte. Vypočítejte rychlost v1, se kterou střela opustí hlaveň. Jak lze ůžete upravit výslený vzorec na záklaě skutečnosti, že vzuch se skláá (téěř zcela) z vouatoových olekul?

2 Příkla 4 (5 boů) Železné járo tvaru pole obrázku je opatřeno ezerou toušťky, průřez jára je e.f (f je rozěr jára ve sěru kolé k nákresně), Járo je opatřeno cívkou s vinutí s N závity, kterýi protéká stříavý prou s aplituou I, opor vinutí je..určete e a b a) aplituu inukce B stříavého agnetického pole v ezeře b) aplituu U stříavého napětí připojeného k vinutí cívky. Přepokláejte, že ateriál jára lze v ané režiu popsat konstantní honotou relativní pereability a zanebejte rozptylová pole a ztráty vířivýi prouy v jáře. r

3 Příkla 1 (5 boů) Funkce f je ána přepise Přijíací zkouška na navazující agisterské stuiu 14 Stuijní progra Fyzika obor Učitelství fyziky ateatiky pro stření školy Stuijní progra Učitelství pro záklaní školy - obor Učitelství fyziky ateatiky pro. stupeň záklaních škol Varianta A - řešení x 1 f x ln. x (i) Určete efiniční obor funkce f. (ii).zkouejte spojitost funkce f. (iii) Vypočtěte liity funkce v krajních a nevlastních boech efiničního oboru funkce f. (iv) Zkouejte onotonii této funkce. Zjistěte, za á funkce f lokální extréy - poku ano, určete je. Nabývá funkce na své efiniční oboru největší a nejenší honoty? (v) Zkouejte konvexitu (konkávnost) funkce f. (vi) Určete asyptoty funkce f. (vii) Na záklaě proveených výpočtů načrtněte graf funkce f. Příkla 1 (5 boů) - řešení Viz řešení příklau z přijíací zkoušky Mateatika agisterské stuiu. Příkla (5 boů) Spočítejte eterinant reálné atice a 1 5 A a 3 b v závislosti na paraetrech a, b. ozhoněte, pro která a, b je atice A regulární. Příkla (5 boů) řešení Viz řešení příklau 4 z přijíací zkoušky Mateatika agisterské stuiu.

4 Příkla 3 (5 boů) Zjenoušený oel výstřelu ze vzuchovky si přestave pole obr. 1. Hlaveň je na jeno konci uzavřena, na počátku je střela v kliu ve vzálenosti o tohoto konce a prostor ezi títo konce a střelou vyplňuje vzuch stlačený na tlak p. Střela je urychlována tlake rozepínajícího se vzuchu. Přepokláejte, že rozepínání lze pokláat za kvazistatický aiabatický.ěj v ieální plynu a že z opačné strany působí na střelu konstantní baroetrický tlak okolního vzuchu b. Hotnost střely je, průřez hlavně S a její élka l,. Tření zanebejte. Vypočítejte rychlost v1, se kterou střela opustí hlaveň. Jak lze ůžete upravit výslený vzorec na záklaě skutečnosti, že vzuch se skláá (téěř zcela) z vouatoových olekul? Příkla 3 (5 boů) řešení Pro aiabatický ěj platí vztah (3 boy) pv konstanta, (1) Cp ke V je obje plynu, p opovíající tlak a t. zv. Poissonova konstanta, rovná poěru Cv tepelných kapacit plynu při konstantní tlaku a konstantní objeu. Pole tohoto vztahu se tlak plynu ění s pohybe střely: je-li na počátku při objeu V S tlak plynu, při střele ve vzálenosti x o uzavřeného konce hlavně je obje V Sx a tey tlak (3 boy) p p V V Oečtee-li ještě baroetrický tlak b, působící na střelu z opačné strany, ůžee pro celkovou sílu F(x) působící na střelu ve vzálenosti x psát (3 boy) p F(x) Sp x Poku bycho vyšli z pohybové rovnice pro střelu (3 boy) Fx x b p () (3) x (4) t je vhoné postupovat stanarně jako při ovození zákona zachování energie: rovnici vynásobíe x rychlostí v a integrujee pole času o počátku (pro t je x a v ) o okažiku t

5 opuštění hlavně t 1 (poto x l a v v1). Dostanee 1 x t 1 (3 boy) v v t Fx t Poku by aept naísto ovození (vztahy (4) až (5)) uvel přío něco poobného vztahu (5) s vysvětlení, že zěna kinetické energie se usí rovnat práci, kterou síla vykoná, asi by ohl také získat opovíající počet 6 boů. Poku vyhonotíe poslení integrál, ostáváe z čehož plyne pro rychlost l 1 1 l v1 Sp bl (6) S l v1 p bl (7) 1 (5) A vzhlee k tou,že 1, je vhoná ještě úprava např. 1 S p v1 1 b l (8) l 1 (5 boů) Pro ieální plyn s vouatoovýi olekulai (5 stupňů volnosti) plyne z ekvipartičního teoreu 5 7 pro olární tepelnou kapacitu: C v, z Mayerova vztahu pak Cp Cv, takže (3 boy) Po osazení této honoty ostanee konečně ( boy) C 7 p (9) C 5 v.4 S p v1 1 b l (1} l.4

6 Příkla 4 (5 boů) Železné járo tvaru pole obrázku je opatřeno ezerou tloušťky, průřez jára je e.f (f je rozěr jára ve sěru kolé k nákresně), Járo je opatřeno cívkou s vinutí s N závity, kterýi protéká stříavý prou s aplituou I, opor vinutí je..určete e a b a) aplituu inukce B stříavého agnetického pole v ezeře b) aplituu U stříavého napětí připojeného k vinutí cívky. Přepokláejte, že ateriál jára lze v ané režiu popsat konstantní honotou relativní pereability a zanebejte rozptylová pole a ztráty vířivýi prouy v jáře. r Příkla 4 (5 boů) - řešení Pole přepoklau prochází celý agnetický obvoe stejný inukční tok (3 boy) Bef (1) eluktance vzuchové ezery je ána vztahe (3 boy) ef (). a jelikož élka stření siločáry v železe v jáře je agnetického obvou (3 boy) Celková reluktance je tuíž j ( a f ) b f, je reluktance této části ( a b f ) ef r r 1 ( a b f ) j (4) ef a při znáé agnetootorické síle E NI ůžee pole Hopkinsonova zákona vypočítat inukční tok agnetický obvoe NI r efni (4 boy) (5) r 1 ( a b f ) a tí také aplituu agnetické inukce r NI (4 boy) B (6) ef r 1 ( a b f ) Napětí U inukované na vinutí, rovné záporně vzaté časové erivaci inukčního toku, (3 boy) U I i i (7) je o 9 stupňů fázově posunuto proti napětí vznikajícíu na oporu vinutí U I, takže se skláají jako vě navzáje kolé složky a aplitua celkového napětí na vinutí je (5 boů) U U U I I r efn r 1 ( a b f ) r (3) (8)