.1.13 Funkce rostoucí, funkce klesající I Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Následující příklad je dobrý na opakování. Můžete ho studentům zadat na čas a ten kdo ho nestihne nebo nedokáže vřešit, b měl dostat mínus. Slouží to k tomu, ab studenti alespoň trochu věděli, co probrali v minulých hodinách a udrželi se v obraze. Př. 1: Nakresli vedle sebe graf funkcí = - a = + 1. Porovnej, jak se s rostoucí hodnotou proměnné mění hodnot. 4 =- =-+1 4-4 - 4 - -4-4 - 4 - -4 větší hodnot mají větší hodnot čára jde nahoru funkce roste větší hodnot mají menší hodnot čára jde dolu funkce klesá Jak definovat zda je funkce rostoucí (klesající matematick, ted pomocí operací s čísl, jako je porovnávání, sčítání apod. rostoucí funkce klesající funkce f( 3 f( f( 1 f( 1 f( f( 3 3 1 3 1 platí 1 < < 3 máme nakreslenou hodnotu f (, chceme nakreslit hodnotu f ( 3, čára má stoupat bod ; f ( musí být výš hodnota 3 3 platí 1 < < 3 máme nakreslenou hodnotu f (, chceme nakreslit hodnotu f ( 3, čára má klesat bod ; f ( musí být níž hodnota 3 3 1
f ( 3 > f ( máme nakreslenou hodnotu f (, chceme nakreslit hodnotu f ( 1, čára má stoupat bod ; f ( musí být níž hodnota f < f 1 1 ( 1 ( < musí být f ( < f ( Je-li f ( > f ( 3 máme nakreslenou hodnotu f (, chceme nakreslit hodnotu f ( 1, čára má klesat bod ; f ( musí být výš hodnota f > f 1 1 ( 1 ( < musí být f ( > f ( Je-li Definice: Funkce ( f se nazývá rostoucí právě, kdž pro všechna 1; z definičního oboru platí: je-li 1 < pak f ( f ( <. Př. : Zformuluj definici klesající funkce. Definice: Funkce ( f se nazývá klesající právě, kdž pro všechna 1; z definičního oboru platí: je-li 1 < pak f ( f ( >. Pedagogická poznámka: Při předchozím příkladu se třída rozdělí na dvě skupin (faktick možných řešení je víc, ale všechn je možné převést do jedné ze dvou skupin: jednoobraceči - je-li 1 < pak f ( 1 > f ( dvouobraceči - je-li 1 f 1 > f Nechávám student, ab nakreslili obrázek, který popisuje jejich definice (ted bod 1; f ( 1 a ( ; f a podle obrázku sami rozhodli, jestli je taková funkce klesající nebo ne. U většin dvou obracečů je však problém v tom, že i kdž do první nerovnosti napsali 1 > nakreslí 1 do obrázku nalevo od. Někteří se nad příkladem pořádně nezamsleli a zkusili napsat řešení automatick, u jiných však při další diskusi zjistíte, že pořádně nerozumí smslu funkce (přiřazování hodnot nebo se neorientují v grafech. > pak ( ( Př. 3: Rozhodni, které z funkcí na obrázcích jsou rostoucí, které klesající a které nemají ani jednu z těchto vlastností. a b c
d e f Rostoucí funkce: a b Klesající funkce: ani jedna Funkce nepatřící ani do jedné ze skupin: d, e, f Obrázek, který neobsahuje funkcí: c Pedagogická poznámka: Eistují i další příklad funkcí, u kterých je zajímavé diskutovat, zda jsou rostoucí nebo klesající, ale uvádím je později, až na ně dojde při výkladu řada. Pedagogická poznámka: Z následujícího příkladu jsem poprvé také zadával pouze druhou část, jenže se ukázalo, že studenti mají problém vřešit i zcela nematematický problém s řidičákem. Proto jsou tam oba. Př. 4: Rozhodni, zda eistuje vztah (jsou rovnocenné, jeden vplývá z druhého apod. mezi následujícími dvojicemi výroků: a Pavel je plnoletý. Pavel má řidičák na osobní auto. b Funkce je rostoucí (klesající. Funkce je prostá. a Pokud je Pavel plnoletý, může ale nemusí mít řidičák na osobní auto. Pokud Pavel má řidičák na osobní auto, musí být plnoletý (plnoletost je podmínkou udělení řidičského průkazu skupin B. Z faktu, že Pavel má řidičák na osobní auto, vplývá, že je plnoletý. Obrácená implikace neplatí. b Je-li funkce rostoucí, je prostá (pokud hodnota pro každé další musí být větší než všechn předešlé, nemůže se žádná hodnota dvakrát opakovat. Obrácená implikace neplatí. Prostá funkce může být klidně rostoucí i klesající. Je-li funkce klesající, je prostá (pokud hodnota pro každé další musí být menší než všechn předešlé, nemůže se žádná hodnota dvakrát opakovat. Obráceně to neplatí. Prostá funkce může být klidně rostoucí i klesající Pedagogická poznámka: Společně si oba pojm (rostoucí a klesající funkce nakreslíme do přehledu souvislostí z minulé hodin. Př. 5: Rozhodni, pro které hodnot parametrů a, b je lineární funkce rostoucí (klesající a prostá. Zda je lineární funkce rostoucí nebo klesající záleží na směru záleží pouze na a. Tři možnosti: 3
a > 0 a = 0 a < 0 rostoucí prostá konstantní není prostá klesající prostá Pedagogická poznámka: U předchozího příkladu se třída rozdělí na dvě skupin. Ta první řekne správný výsledek s tím, že je to jasné, že to každý vidí. Druhá neví a to i v případě, že lineární funkci umí jak nakreslit, tak zjistit její předpis z grafu. Proto si ukazujeme následující objevovací postup. Pro matematickou budoucnost studentů mohou být podstatnější než definice rostoucí funkce. Eistují nějaké objevovací postup, které vedou k výsledku předchozího příkladu? Hledání společného rsu 1. nakreslíme (představíme si graf mnoha, co nejrůznějších lineárních funkcí:. vbereme graf funkcí, které jsou rostoucí, a píšeme si k nim hodnot parametrů a, b: 4
a>0,b=0 3. zhodnotíme situaci: zdá se, že pokud je kladná hodnota a, je lineární funkce rostoucí bez ohledu na b musíme si odhad ověřit (spousta možností, použijeme jen některé 4. nakreslíme další rostoucí funkci, co nejodlišnější od těch, které už máme a zkontrolujeme, zda odpovídá pravidlu a>0,b>0 a>0,b=0 lineární funkce = a + b je rostoucí pokud platí a > 0, na b nezáleží Dohánění do etrému Nakreslíme si správnou funkci a zkusíme ji dohnat etrému Například si nakreslíme funkci, která odpovídá našemu požadavku (je rostoucí, určíme jaké má parametr a pak budeme měnit oba parametr a sledovat, jak se mění graf, zda je pořád rostoucí nebo ne. 5
zvětšujeme a, funkce se stává strmější, je stále rostoucí zvětšujeme b, funkce se posunuje nahoru je stále rostoucí zmenšujeme a, funkce se stává pozvolnější pro a=0 bude vodorovná a nebude rostoucí parametr vhovující funkce: a>0,b>0 zmenšujeme b, funkce se posunuje dolů je stále rostoucí lineární funkce = a + b je rostoucí pokud platí a > 0, na b nezáleží Sledování významu srovnáme s požadavk na rostoucí funkci s významem konstant o tom zda je funkce rostoucí rozhoduje její sklon b nemění sklon funkce nemá vliv zda je rostoucí nebo ne a určuje sklon funkce rozhoduje, zda je funkce rostoucí nebo ne Předchozí úvah nejsou pro matematika dostatečné musím udělat důkaz, který bude vcházet z definice. Pedagogická poznámka: Následující dva příklad jsou podle mého názoru poměrně obtížně a hlavně pro studentské uvažování zbtečné (proč složitě odůvodňovat něco, co je jasné. Pokud studentům nedojde, o co vlastně jde, snažím se je uklidňovat tím, že to není pro středoškolskou matematiku to nejpodstatnější. Pokud se k nim vůbec nedostaneme nic se neděje. Dobře poslouží jako bonus pro jedničkáře. Př. 6: Dokaž z definice, že funkce = je rostoucí. < je f ( 1 < f (. <. Jak je to s ( ( Potřebujeme: kdž je 1 Víme: f 1 = 1 ; f =? Vjdeme: 1 <, od obou stran odečtu <, získali jsme f ( ; f ( Shrneme: < ( = < = ( f ( < f ( f f 1 Dokázáno. 6
Př. 7: Dokaž z definice, že funkce = + 1 je klesající. < je f ( 1 > f (. <. Jak je to s f ( 1 = 1 + 1; f ( = + 1? <, na obou stranách se snažíme vrobit f ( ; f ( Potřebujeme: kdž je 1 Víme: Vjdeme 1 > (vnásobeno, obracíme nerovnost + 1 > + 1, získali jsme f ( ; f ( Shrneme: < ( = + 1 > + 1 = ( f ( > f ( f f 1 Dokázáno. Shrnutí: Objevovat můžeme: hledáním společného rsu, doháněním do etrému nebo sledováním významu. 7