Poslouposti řdy Poslouposti jejich vlstosti Npište prvích pět čleů poslouposti, která je dá tkto: 0 + ( ) + + 6 Npište prvích 0 čleů ekoečé poslouposti ( k ) prvočíslo, k, v přípdě, že eí prvočíslo Vyjádřete dé poslouposti vzthem pro -tý čle: 7,-,, -,, 6 8 8,,,,,, 6 7 ( ( + ) ) π si, která je defiová tkto: k, je-li, 7,,,,, 0 6 Určete třetí pátý čle poslouposti dé rekuretě:,,, + +, + + Je dá posloupost ( log ) 6 Je dá posloupost ( ) ( ) + + Vyjádřete jí rekuretě + Vyjádřete jí rekuretě 7 Je dá posloupost ( ) + Vyjádřete jí rekuretě 7,,,,, 6 7 8, log0 + Zjistěte, zd jsou dé poslouposti rostoucí, klesjící, erostoucí ebo eklesjící omezeé (zdol, shor): 8 + 6 + + + 0 + + ( ) + 6 ( cos ) π 7 + 8 Idická úloh: Je třeb vypočítt počet krv telt ve stádu jež získáme od jedé krávy z 0 let, víme-li, že se kždé krávě rodí počátkem kždého roku jedo tele kždé tele dává stejé potomstvo, jkmile dosáhe věku tří let Důkz mtemtickou idukcí Je dá posloupost ( ) Posloupost ( ) vzthem pro -tý čle rekuretě tkto:, Vyjádřete jí vzthem pro -tý čle + je dá rekuretě tkto:, + ( + ) ( + ) Pro všech přirozeá čísl je součet prvích čleů poslouposti ( ) ( + )( + ) 6 Dokžte Dokžte, že pro všech přirozeá čísl pltí: 6 ( ) + Dokžte: Ą :+ + + + + 6 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : ( ) Vyjádřete tuto posloupost, kde, rove ( )( + ) Ą + + + + ( + )( + ) Ą :+ + + + + Ą :+ + + + 7 Mtemtickou idukcí dokžte: 8 Mtemtickou idukcí dokžte: Mtemtickou idukcí dokžte: Ą : + + + + + + + 0 Mtemtickou idukcí dokžte: Ą : + + + +
Poslouposti řdy Mtemtickou idukcí dokžte, že pro všech přirozeá čísl je výrz 6 vždy celočíselý Dokžte, že souči dvou po sobě jdoucích přirozeých čísel je dělitelý dvěm Dokžte, že součet třetích moci tří po sobě jdoucích přirozeých čísel je dělitelý devíti Dokžte mtemtickou idukcí, že souči tří po sobě jdoucích přirozeých čísel je dělitelý šesti + + 6 je dělitelé číslem pro kždé přirozeé Dokžte mtemtickou idukcí, že číslo Q číslo 0 6 Dokžte mtemtickou idukcí, že číslo V je pro všech přirozeá čísl číslo celé 8 7 Postupě doszujte do výrzu Q 7 z čísl 0,,, formulujte hypotézu o jeho dělitelosti jistým přirozeým číslem pro kždé N 0 Hypotézu poté dokžte mtemtickou idukcí 8 Mtemtickou idukcí dokžte, že :/( + ) Ą Vyslovte hypotézu o počtu úhlopříček kovexího -úhelík ( > ) poté jí dokžte mtemtickou idukcí 0 Vyslovte hypotézu o součtu vitřích úhlů kovexího -úhelík ( > ) poté jí dokžte mtemtickou idukcí Vyslovte hypotézu o počtu částí roviy, ěž roviu dělí růzých přímek, které leží v roviě procházejí týmž bodem Poté tuto hypotézu dokžte mtemtickou idukcí Vyslovte hypotézu o počtu přímek, jimiž lze spojit bodů v roviě, z ichž žádé tři eleží v téže přímce Poté tuto hypotézu dokžte mtemtickou idukcí V hostici kovexího tvru je lichý počet pistolíků V dý okmžik kždý vystřelí svého ejbližšího soused, který je jedozčě urče Dokžte, že přestože se kždý pistolík strefí, zůste lespoň jede z pistolíků živu Ą : + + + + Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: 0 + Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: Ą: + + + + +,, 6 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: Ą :+ + + + ( + )( + ) ( + )( + )( + ) ( + ) 7 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: Ą : + + + + 7 + + 8 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: Ą : + + + + 7 + + Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: Ą : + + + + 7 70 + + 0 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: Ą : + + + + + + Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: ( + ) Ą : + + + ( ) ( ) Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: x + ( + ) x+ Ą : + + + +, x 0, x x x x x x x Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: ( x ) six si π Ą:six+ si x+ si x+ + si x, x + kπ, k six Je-li > přirozeé číslo, pk > Dokžte Je-li > 0, b > 0, > b přirozeé číslo, pk > b Dokžte 6 Dokžte, že je > pro kždé přirozeé číslo 7 Nerovost > + pltí pro všech přirozeá čísl větší ež Dokžte 8 Nerovost > pltí pro všech přirozeá čísl větší ež Dokžte Je-li 0 x>, x 0 přirozeé číslo větší ež, dokžte, že pltí ( x) + > + x
Aritmetická posloupost Zjistěte, jestli ásledující poslouposti jsou ritmetické či ikoliv: ( ) + 6 V ritmetické poslouposti ( ) 7 Vyjádřete její -tý čle + ( + ) Poslouposti řdy je dáo: 0 Určete difereci této poslouposti čley 7 Určete součet prvích 00 čleů ritmetické poslouposti 8 Určete součet všech lichých trojciferých přirozeých čísel Určete součet prvích 00 čísel, která při děleí číslem dávjí zbytek Určete součet prvích čleů ritmetické poslouposti, v íž pltí: 0 6, 8 7,, s 0 s 0 0, d Vypočítejte prví posledí čle ritmetické poslouposti, která má dváct čleů, je-li d s 68 Součet prvího pátého čleu ritmetické poslouposti je, součet třetího čtvrtého čleu je o větší ež součet prvího pátého Určete prvích pět čleů této poslouposti 6 V ritmetické poslouposti s osmi čley je souči obou krjích čleů 00, součet dvou prostředích čleů je Určete tuto posloupost 7 Aritmetická posloupost, jejíž prví čle je 7 diferece, má součet čleů 0 Kolik čleů má posloupost jký je její posledí čle? 8 Mezi čísl - je třeb vložit dlší čley tk, by vzikl ritmetická posloupost, jejíž součet je -6, Kolik je ových čleů které to jsou? Mezi čísl 7 vložte čísl tk, by s dými čísly tvořil ritmetickou posloupost o součtu 6 Určete počet vložeých čísel difereci tkto vytvořeé ritmetické poslouposti 0 V ritmetické poslouposti, 6,, vyhledejte čle, který se rová poloviě součtu všech předchozích Existuje kovexí -úhelík, jehož ejmeší vitří úhel má velikost 6 kždý dlší úhel je větší o ež předchozí? Pokud o, určete kolik má teto -úhelík vrcholů Pro která reálá čísl x jsou čísl log x, log( ) x + log( ) x + tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti? Velikosti str prvoúhlého trojúhelík tvoří po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti Delší odvěs má délku cm Určete velikosti str úhlů tohoto trojúhelík Co je větší o kolik: součet prvích 0 lichých přirozeých čísel ebo součet prvích 0 sudých přirozeých čísel? Část střechy domu, kterou je třeb pokrýt tškmi, má tvr lichoběžíku Do řdy u hřebeu střechy se vejde 8 tšek, do spodí řdy u okpu se vejde 0 tšek Tšky budou srováy do řd tk, že do v kždé ásledující řdě bude o jedu tšku více ež v řdě předchozí Kolik koru budou stát tšky celou uvžovou část střechy při ceě,- koru z jedu tšku? 6 Ve městě se buduje hlediště letího ki pro přibližě 00 diváků Do prví řdy je pláováo 0 seddel, do kždé ásledující pk o seddl více Kolik řd seddel bude mít hlediště? 7 Ocelové roury se skládjí do vrstev tk, že roury kždé horí vrstvy zpdjí do mezer dolí vrstvy Do kolik vrstev se složí rour, je-li v posledí vrstvě je jed rour? Kolik rour je v ejižší vrstvě? 8 V podiku měli v ledu při výrobě součástek 0 kusů závdých Počet těchto závdých součástek se kždý měsíc prvidelě zmešovl o kusy Kdy (ve kterém měsíci) bylo všech závdých kusů dohromdy 8? Dá-li se prví pole šchovice 6 zrek kždé dlší pole o zrk více ež předcházející, kolik zrek bude všech 6 polích? 0 V řdě z sebou je 00 kmeů vzdáleých od sebe 0 kroků Deset kroků před prvím kmeem leží košík Sběrč má z úkol přeést postupě všechy kmee do košíku tím způsobem, že od košíku jde pro prví káme s ím se vrcí do košíku, poté jde pro druhý káme opět se vrcí ke košíku, Určete kolik kroků sběrč ujde V zhrdě je 0 záhoků (viz obr ) Kždý má délku 6 m šířku,m K zléváí osí zhrdík vodu ve vědrech ze study vzdáleé m od zhrdy, přičemž obchází záhoy po mezích Njedou přiese vodu jede záho Kolik metrů ujde, ež zlije všechy záhoy, pokud cest zčíá kočí u study?
obr Poslouposti řdy 00 Kč zču prodávt tk, že prví koruu prodám z hléř, druhou z dv hléře, třetí z tři, Vydělám ebo prodělám tomto obchodu? Přátelé si vyprávěli o svých rodiách Krátkému se vysmívli, že se chová jko jediáček, le o jim to odpověděl: Mýlíte se, já jsem ejstrší z ptácti dětí Jsem právě osmkrát strší ež můj ejmldší brtr Kždý dlší brtr se rodil půldruhého roku po svém předchůdci Kolik let je Krátkému jeho ejmldšímu brtrovi? Jkou dráhu urzí jehl grmofoové přeosky stdrdí desce, má-li desk 60 závitů, vější poloměr spirály je 0 mm vější poloměr spirály je 0 mm? Egyptská úloh: Sto měr zrí se má rozdělit mezi pět dělíků tk, by druhý dělík dostl o tolik měr více ež prví, o kolik třetí dostl více ež druhý, čtvrtý ež třetí pátý ež čtvrtý Kromě toho mjí prví dv dělíci dostt dohromdy sedmkrát méě měr zrí ež osttí tři Kolik měr zrí dostli jedotliví dělíci? 6 Číská úloh: Klusák herk vybíhjí z jedoho míst v témž směru Klusák proběhe z prví de li, kždý ásledující de o li více Herk uběhe z prví de 7 li kždý dlší de o poloviu li méě Pro proběhutí 000 li se klusák vrcí zpět zpátečí cestě potkává herku Z kolik dí po vyběhutí se setkjí? (Pozámk: li je strá číská jedotk délky) 7 V roce 7 točil režisérk Věr Plívová - Šimková motivy kihy Mrk Twi Dobrodružství Tom Swyer film Pái kluci V tomto filmu je scé, v íž má Tomáš třít z trest plot kolem zhrdy své tety Apoley Díky své šikovosti výmluvosti mu ho le pomohou třít kmrádi i epřátelé, z což Tomáš pouze iksuje růžové lístečky, které mu mjí dopomoci k výhře, kterou předá zemský školí ispektor p ředitel (v epodobitelém podáí Petr Nárožého) Uvžovou scéu z filmu lehce pozměíme pro své potřeby: předpokládejme, že Tomášov tet vlstí zhrdu, jejíž oploceí je třeb 6 m plotu, který je tvoře z 0 cm širokých plěk, mezi imiž je mezer 0 cm (i v rohu zhrdy se střídá prvidelě plňk mezer) Kolik plěk má plot? Tomáš původě pláovl tíráí plotu tím způsobem, že prví de tře jedu plňku (by se epředřel by mohl jít s kmrády ve) kždý ásledující de o jedu plňku více ež předchozí (by tet Apole příliš ehubovl) N kolik dí by Tomášovi tímto způsobem práce vydržel? Prví de, když se chtěl pustit do práce, přišli kmrádi, kterým Tomáš po dlouhém ( hrém) zdráháí tíráí plotu svěřil Z ptřičý počet růžových lístečků, pochopitelě! Kmrádi prcovli tk, že prví de třeli 0 plěk kždý ásledující de vždy o stejý počet více ež de předchozí Z 0 dí byli chlpci hotovi O kolik plěk třeli kždý de více ež miulý de? 8 Jede žebřík měl 0 příčlí N prvím seděl jede holub, třetím dv, pátém tři, sedmém čtyři, Kolik holubů sedělo příčli? Kolik holubů bylo žebříku celkem? Geometrická posloupost Zjistěte, jestli ásledující poslouposti jsou ritmetické, geometrické či jié: + 6 Geometrická posloupost je dá tkto: 7 V geometrické posloupost je 6 8 ( 0 6) log0 q Určete Určete kvociet této poslouposti, 0 8 Zjistěte, která z čísel 8,, 6, 0, - -6 jsou čley geometrické poslouposti ( ) q Zjistěte, zd čísl, ( ), v íž 7 + čley ějké geometrické poslouposti Pokud o, určete její kvociet 0 Prví čle sedmičleé poslouposti se rová, posledí čle 8 Vypočítejte kvociet součet čleů poslouposti Součet prvích čleů geometrické poslouposti je 6, prví čle je posledí Určete počet čleů poslouposti kvociet V geometrické poslouposti je třetí čle pátý Vypočítejte, kolik čleů má tto posloupost, je-li její posledí čle 8 Která geometrická posloupost má tu vlstost, že součet prvích 0 čleů je krát větší ež součet prvích pěti čleů? Mezi čísl 86 vložte čísl tk, by vzikl geometrická posloupost Určete geometrickou posloupost, v íž rozdíl třetího druhého čleu je rozdíl čtvrtého třetího čleu je 6
6 V geometrické poslouposti ( ) Poslouposti řdy je dáo q, Kolik prvích čleů této poslouposti dává součet? 7 V geometrické poslouposti pltí: + Určete součet prvích pěti čleů této poslouposti 8 Určete všechy čley geometrické poslouposti ( ), v íž pltí: s zároveň + Čísl,,,, mjí tu vlstost, že prví tři tvoří geometrickou posloupost posledí čtyři posloupost ritmetickou Určete tto čísl, jestliže pltí: + + + zároveň 8 0 Přičteme totéž číslo k číslům, 7 7 dosteme prví tři čley geometrické poslouposti Vypočtěte toto číslo geometrickou posloupost určete vzorcem pro -tý čle V ádobě je určité možství rdou Jké možství z původího zbude v ádobě z 6 dí, je-li poločs jeho přeměy dy? Kolik koru je třeb ukládt počátkem kždého roku po dobu 0 let, chceme-li mít kocem desátého roku střádáo 0000 Kč při % složeém úrokováí % di? Úrokovcí období je jede rok Kolik koru budeme mít účtu s úrokem % koci sedmého měsíce, budeme-li počátkem kždého měsíce ukládt částku 00 Kč Počítejte s dí % úrokovcím obdobím jede měsíc Ve městě žilo počátku roku 000 000 obyvtel Kolik obyvtel bude mít město zčátku roku 00, odhduje-li se ročí přírůstek,%? Kolik koru bude mít z pět let účtu kuřák, který se rozhodl přestt kouřit měsíčě uspořeou částku z ákup cigret 000 koru uloží do bky účet s úrokem % dí %? Předpokládejte, že úroková mír se během celého uvžového období eměí že uspořeou částku ukládá kuřák účet vždy zčátku měsíce Řešte pro přípd měsíčího úrokovcího období 6 Z kolik let vzroste jisti 000 koru při úroku % 00 koru Počítejte s dí % uvžujte ) ročí, b) měsíčí úrokovcí období 7 Jký je úrok bky, bylo-li uložeo 800 koru, které po 6 letech vzrostly 000 koru Počítejte s měsíčím úrokovcím obdobím řešte pro přípd ) dě %, b) bez dí 8 *** Podiktel si vypůjčil 00000 zvázl se, že půjčku spltí dvěm stejými splátkmi, z ichž jed bude spltá z roky, druhá z roky ode de vypůjčeí Jk velké budou tyto splátky při úroku %? Kolik zůste vkldí kížce z vkldu 000 koru, vybírá-li se ) zčátkem, b) kocem kždého roku 00 koru po dobu 0 let? Úrok je, %, dň % úrokovcí období jede rok 0 Vkldtel si uložil termíový vkld dobu let zčátku roku 0000 koru Ročí úroková mír je, %, dň % Jkou částku bude mít koci pátého roku, jestliže z celou dobu trváí vkldu ebylo z vkldu ic vybráo? Řešte pro přípd: ) ročího úrokovcího období, b) pololetího úrokovcího období, c) čtvrtletího úrokovcího období d) měsíčího úrokovcího období 6 ***Možství dřev v určité lesí oblsti se odhduje,0 m ročí přírůstek je % Jký bude přibližě stv po 0 letech, těží-li se ročě 0 m dřev? Jedím tžeím se zmeší průměr drátu o 0% Jký průměr bude mít drát s původím průměrem 6 mm po osmi tžeích? Kupec chtěl dát okovt koě Kovář žádl teto způsob plceí: N všechy podkovy potřebuji hřebíky Z prví hřebík mi zpltíš hléř, z druhý hléře, z třetí hléře, vždy z kždý dlší hřebík zpltíš dvkrát tolik Kupec rdostě souhlsil, později toho všk litovl Kolik musel zpltil je z posledí hřebík? Klif z Bgdádu dovolil jedomu mtemtikovi, by si přál, co chce Mtemtik se ztvářil eviě řekl: Velký Klife, mám skromé přáí Odměň mě pšeičými zry to tkto: Dej mi tolik pšeičých zr, kolik jich bude muset být posledím poli šchovice, jestliže prví položíme jedo zro kždé ásledující dvojásobek toho možství, které bude předcházejícím poli Klif se zsmál ochotě souhlsil Domívl se, že mtemtik edoste i tolik zrí, by si mohl upéci bochík chleb Velmi se všk podivil, když mu mtemtik vypočítl, že jeho přáí se edá split Jk je to možé? Pokuste se převést možství pšeičých zr, které vám vyjde, vhodé jedotky, by vzikl reálější předstv o možství zr List ppíru rozdělte půl, jedu poloviu opět půl, Kolik děleí je třeb, byste získli částečky o 7 hmotosti tomu? Hmotost tomu uvžujte 0 kg, hmotost listu ppíru g 6 Zhrdík prodl prvímu kupujícímu poloviu všech jblek půl jblk, druhému kupujícímu poloviu zbytku ještě půl jblk, třetímu poloviu dlšího zbytku ještě půl jblk, Sedmému kupujícímu prodl poloviu zbytku též půl jblk ezůstlo mu i jedo jblko Kolik jblek měl zčátku obchodu? 7 Úloh z Ahmesov ppyru (000 let př l): Kždý se sedmi lidí má 7 koček, kždá kočk chytí 7 myší, kždá myš sežere 7 klsů ječmee, z kždého klsu ječmee může vyrůst 7 věder zr Kolik věder zr se zchráí zásluhou koček? 8 Král řídil svému sluhovi sebrt ze třiceti vesic vojsko tkovým způsobem, že z kždé vesice vezme tolik mužů, kolik do í vstoupilo Do prví vesice šel sluh sám Kolik mužů mělo vojsko po opuštěí třicáté vesice? Kolik mužů bylo sebráo v posledí vesici?
Poslouposti řdy Limit posloupostí Dokžte, že posloupost ( ), + je kovergetí Zjistěte, které poslouposti jsou kovergetí které divergetí Pokud to jde, určete jejich limitu: + + + cos π + 7 6 + + + π 7 8 + + 0 + 6 Nekoečé řdy ( )( + ) ( + ) ( ) ( 0, + ) ( cos ( )) π + 6 7 78 7 6 Je dá ekoečá řd ( ), ( + ) Vyšetřete posloupost ( s ), s + + + : pište vzorec pro -tý čle této poslouposti ( zákldě hypotézy, kterou dokážete) určete její limitu Je posloupost ( s ) kovergetí? 6 Určete součet ekoečé řdy 0 Určete, které z ásledujících řd jsou kovergetí Pokud jsou kovergetí, určete jejich součet: 6 6 + 6 66 67 Řešte rovice s ezámu x ˇ : ( ) 68 log x 6 x x x 60 ( ) x 6 si 6 Vypočtěte: 7 8 6 V možiě reálých čísel řešte rovici: x + x x + x + 0 x x x 6 V možiě reálých čísel řešte rovici: + + + + x x+ x+ x+ 6 Vypočtěte: 8 x x x x x tg x Npište ve tvru zlomku s celočíselým jmeovtelem i čittelem číslo: 66 0, 67 0, 68,7 6 0, 60 0, 6 0, 6 6, 6 8,0 6 Po kmei stromu leze přímo vzhůru k ejbližší větvi housek Housek je zřejmě velmi uveá, protože z prví miutu urzí dm, z druhou, dm, z třetí, dm, Vzdáleost k prví větvi, íž má housek potrvu, je o zlomek cetimetru větší ež jede metr Z jk dlouho doleze housek k této větvi? 6 Do rovostrého trojúhelíku ABC o délce stry cm je vepsá druhý trojúhelík ABC, jehož vrcholy jsou ve středech str trojúhelíku ABC Do tohoto trojúhelíku ABC je vepsá stejým způsobem trojúhelík ABC Vypočítejte součet obvodů součet obshů všech tkto vziklých trojúhelíků 66 Do čtverce ABCD o strě délky cm je vepsá čtverec ABCD tk, že jeho vrcholy leží ve středech str čtverce Alogicky vepíšeme do čtverce ABCD čtverec ABCD, Vypočtěte součet obvodů obshů všech tkových čtverců 67 Do rovostrého trojúhelíku o délce stry je vepsá kruh, do kruhu je vepsá rovostrý trojúhelík, do tohoto trojúhelíku je vepsá dlší kruh, Vypočtěte součet obshů všech tkto vziklých ) trojúhelíků, b) kruhů 6
68 Spirál se skládá z ekoečě moh půlkružic Přitom poloměr kždé ásledující polokružice je dvkrát meší ež poloměr předchozí polokružice Určete délku spirály, je-li poloměr prví polokružice cm Poslouposti řdy 6 V roce 0 švédský mtemtik Helge v Koch poprvé popsl plošý útvr, který dodes ese jeho jméo - Kochov vločk Teto útvr je možé získt tkto: k prostředí třetiě kždé stry rovostrého trojúhelík připojíme dlší rovostrý trojúhelík K prostředí třetiě kždé ze vziklých str útvru yí připojíme opět rovostrý trojúhelík - viz obr Tímto způsobem se pokrčuje v kostrukci útvru dále Určete obvod obsh tkto vziklého útvru, má-li str ejvětšího trojúhelík délku Kružice opsá původímu trojúhelíku vymezí obr kruh Jká část kruhu je zplě Kochovou vločkou? 60 N obr je zázorě hádek, který vzikl postupým spojováím podobých částí Podle ozčeí z obrázku pltí: AB BC CD, DE EF FG AB GH HI IJ FG, ( hádek pokrčuje stále dále do meších rozměrů jedotlivých čláků svého těl ) Určete kolik ppíru je třeb jeho zhotoveí 6 Je dá přímk p, íž jsou dáy body A, A, tk, že pltí: AA, AA, AA, Nd kždou z úseček AA, AA, je sestroje rovormeý prvoúhlý trojúhelík (viz obr ) Určete délku lomeé čáry AXAX AX A obsh obrzce, který je ohriče touto lomeou črou přímkou p obr obr 6 Předstvme si těleso ve tvru jkéhosi teleskopického dlekohledu, které je složeo z ekoečě moh válců Poloměr podstvy ejvětšího válce je rove, poloměr podstvy kždého dlšího válce je polovičí ež přecházející Výšk ejvětšího válce je výšk kždého dlšího válce je oproti předchozímu dvojásobá Určete objem tohoto těles povrch jeho pláště 6 Je dá čtverec ABCD o strě délky Bod L je ptou kolmice vedeé z vrcholu A dého čtverce k úhlopříčce BD Bod L je ptou kolmice vedeé z bodu L stru AD čtverce ABCD Bod L je ptou kolmice vedeé z bodu L k úhlopříčce BD Určete délku lomeé čáry ALLL, jejíž kostrukce probíhá podle popsých prvidel 6 Je dá ostrý úhel α o velikosti 60 N jedom jeho rmei leží bod A, který je ve vzdáleosti od vrcholu úhlu Z bodu A je spuště druhé rmeo kolmice, z její pty dlší kolmice prví rmeo, Určete součet délek těchto kolmic 6 V rovostrém trojúhelíku ABC, jehož str má velikost je vede výšk CD Z její pty je vede kolmice stru AC, z její pty je vede kolmice výšku CD, Určete délku tkto vziklé lomeé čáry 66 Do čtverce o strě je vepsá kruh, do ěho zse čtverec, do ěho opět kruh, Určete součet obshů všech čtverců všech kružic 67 Do rovostrého kužele o strě řezu s je vepsá koule, d í druhá, třetí, Jký je součet objemů všech vepsých koulí? 7
Poslouposti řdy ŘEŠENÍ Poslouposti jejich vlstosti -,,,,, 0,, 0, 7 -,,, eexistují, 8,,,, 0,, 0, 6, -, -,, -,, -,,, 7 ( ), +, + 8 ( ) ( ) 7, + 7 0 6, + +, 7, 8 log, + + log 6, + + ( + ) 7, + + 8 rostoucí, omezeá klesjící, omezeá zdol 0 rostoucí, omezeá i rostoucí i klesjící, eomezeá rostoucí, omezeá rostoucí, omezeá zdol klesjící, omezeá i rostoucí i klesjící, omezeá 6 i rostoucí i klesjící, omezeá 7 klesjící, omezeá 8 7 krv telt Důkz mtemtickou idukcí Úlohy v tomto odstvci jsou určey procvičeí důkzu mtemtickou idukcí Ve většiě z ich to zmeá ovládt zákldí úprvy lgebrických výrzů Aritmetická posloupost o e e o o 6 d, 7 6, 70, + 7 s 00 00 8 s 0 700 s 00 80 0 s 00 s 6 s 8 s, 6 ;,;,;,7; 6, 7, 0,, 6,,, ebo,,, 6,, 0, 7, 7, 8 je třeb vložit čísel: -,; -,; -,7; -; -,; -0,; 0,; ;,7;,;, vložeých čísel je 0, d 0 jedá se o pátý čle: jedá se o ti ebo 8ti úhelík 0 8 cm, cm, 0 cm, 6,87,,, 0 Větší je součet sudých to o 0 koru 6 7 řd 7 vrstev, rour 8 Všech závdých součástek bude dohromdy 8 v červeci 88 zrek 0 000 kroků m Vydělám koruu Krátkému je let, jeho ejmldšímu brtrovi jsou roky 8788mm B 8,8 m, 0 6, 0, 6, 8 měr zrí 6 potkjí se 6 de (,7 de) 7 plěk, dí, kždý de o více 8 holubů, holubů Geometrická posloupost i ritmetická i geometrická 0 ezámé číslo je, 8
Poslouposti řdy geometrická geometrická ritmetická ritmetická 6 8, 7, 0 6, 6 8 číslo q ( + ) 0 q, s 7 86 q, 7 posloupost s q, libovolé 6, 8,, 6, q 6 pět 7 s 8 ebo 8,,, 0, - 6 Limit posloupostí lim -, kovergetí eexistuje, divergetí eexistuje, divergetí -, kovergetí 6, kovergetí 7, kovergetí 8 0, kovergetí 6 Nekoečé řdy 6 s, lims, kovergetí + 6 6, divergetí 6 eexistuje, divergetí 6, divergetí 66, kovergetí 67 +, kovergetí 68 O ˇ, D ( 0; ), P { 0} 6 O ˇ, D ( ; ) ( ; ), P { 6} 60 O ˇ, D ( ;0), P { } D k π ˇ + ; k, 6 O ˇ, π P + kπ; k 6 6 O ˇ, D ( ; ) ( ; ), P { 6;} 0,0 koru 70 koru 6 obyvtel 686,0 koru 6 ) 6, let; b), let 7 ),8 %; b),7 % 8 600 koru ) 76,0 koru; b) 08,0 koru 0 ) koru; b) 6,0 koru; c) 607, koru; d) 670,0 koru 6,60 m,8 mm 80 koru (přesě 8886 koru) 8 0 80 zr, tj,0 vgóů po 0 tuách 7 6 7 7 6807 věder zr 8 8 celkem 0, v posledí vesici 0 0, kovergetí 0 eexistuje, divergetí 6, kovergetí, kovergetí, divergetí, divergetí, divergetí 6 eexistuje, divergetí 7 0, kovergetí 6 07 087 6 6 0 0 7 6 8 6 ikdy 6 o 6 cm, S cm B,cm 66 o + + cm B cm, S 8 cm π 67 Strojúhelíků, Skruhů 68 o πr 0π cmb,cm 6 S 60 S π 6 d, S, o, 6,tj66,% π
Poslouposti řdy 6 O ˇ, 6 x 66 07 0 67 8 68 6 7 00 60 6 D ;, P { } 6 V 8π, S pláště 6 d ( + ) 6 d 6 d ( + ) 66 67 Sčtverců S, π S kruhů π 0