5.1. Posloupnosti. Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel.
|
|
- Vilém Bednář
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 . 5. Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika. 5.. Poslouposti. Posloupost je fukce, jejímž defiičím oborem je možia všech přirozeých čísel. Fukčí hodota této fukce přiřazeá číslu N se azývá -tý čle poslouposti a začí se ejčastěji a, b apod. Posloupost s -tým čleem a se začí {a }. Grafem poslouposti je možia izolovaých bodů [, a ] roviy, kde N. Posloupost je ejčastěji zadáa jedím z těchto dvou způsobů: vzorcem, vyjadřujícím -tý čle poslouposti pomocí, rekuretě udáím prvího čleu poslouposti a rekuretího vzorce, který vyjadřuje ( + ) -í čle poslouposti pomocí čleů předchozích. Říkáme, že posloupost {a } je rostoucí, jestliže a + > a pro všecha N ; klesající, jestliže a + < a pro všecha N ; eklesající, jestliže a + a pro všecha N ; erostoucí, jestliže a + a pro všecha N ; kostatí, jestliže a + a pro všecha N ; omezeá (ohraičeá), jestliže existuje K > 0 tak, že a K pro všecha N. 5.. Aritmetická posloupost. Aritmetickou se azývá posloupost, ve které rozdíl dvou sousedích čleů je kostatí. Kostatí rozdíl d a + a Posloupost {a } je aritmetická {a + a } je kostatí. se azývá diferece aritmetické poslouposti. V aritmetické poslouposti {a } s diferecí d platí tyto vztahy (, m N) : a a + ( )d, a (a + a + ) pro >, a a m + ( m)d, s a + + a (a + a ) Dále platí: {a } je rostoucí d > 0, {a } je klesající d < 0, {a } je kostatí d 0 Grafem aritmetické poslouposti je možia izolovaých bodů ležících a přímce (důsledek vzorce pro -tý čle). 5.. Geometrická posloupost. Geometrickou se azývá posloupost, ve které podíl dvou sousedích čleů je kostatí. Posloupost {a } je geometrická { a+ a } je kostatí. 4
2 Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika. 4 Kostatí podíl q a + a poslouposti plye, že všechy její čley jsou eulové. se azývá kvociet geometrické poslouposti. Z defiice geometrické V geometrické poslouposti {a } s kvocietem q platí tyto vztahy (, m N) : a a q, a a m q m, a a a + pro >, s a + + a a q q pro q, s a pro q. Dále platí: {a } je rostoucí q >, {a } je klesající > q > 0, {a } je kostatí q. Grafem geometrické poslouposti s kvocietem q > 0 je možia izolovaých bodů ležících a expoeciálí křivce (důsledek vzorce pro -tý čle) Limita poslouposti. Říkáme, že posloupost {a } má limitu L R a píšeme L lim a, právě když ke každému číslu ε > 0 existuje takové číslo 0 N, že pro všecha přirozeá 0 a L < ε. Právě vysloveou defiici ilustruje obr. 5.: Op a L + ε L L ε platí Obr. 5. Ať si předepíšeme ε > 0 jakkoliv malé, vždy se ajde 0 tak, že všechy body [, a ], kde 0, budou ležet v pásu vymezeém rovoběžkami y L + ε, y L ε. Posloupost, která má limitu, se azývá kovergetí Věty o limitách posloupostí. Každá posloupost má ejvýše jedu limitu (sadý důsledek defiice). Kovergetí posloupost je omezeá (ohraičeá). Jestliže posloupost {a } koverguje a c R, potom koverguje i posloupost {ca } a platí lim (c a ) c lim a
3 44 Kapitola 5 Jestliže poslouposti {a }, {b } kovergují, potom kovergují i poslouposti {a ±b }, {a b } a platí: lim (a ± b ) lim a + lim b, Jestliže poslouposti {a }, {b } kovergují, { } a koverguje i posloupost a platí: b a lim a lim b lim b lim (a b ) lim a lim b lim b 0 a b 0 pro všecha N, potom Pozámka. V úlohách se omezíme pouze a aritmetické a geometrické poslouposti Nekoečé řady. Je-li {a } posloupost, pak symbol a + a a +..., resp. a azýváme ekoečou řadou. Říkáme, že tato řada koverguje, jestliže koverguje posloupost {s }, kde s a + + a je tzv. -tý částečý součet daé řady. Součtem kovergetí ekoečé řady azýváme limitu s poslouposti jejích částečých součtů a píšeme a s. Pro ás je důležitá ekoečá geometrická řada a + a q + a q Tato řada je kovergetí, právě když q <, a má potom součet s lim a q q a q. a Jiými slovy, a + a q + a q + a q pro q < 5.7. Kombiatorika. V kombiatorice potřebujeme tyto pojmy: Fukci -faktoriál ozačovaou! a defiovaou pro všecha přirozeá čísla a 0 vztahy! ( )( )..., 0!. Pro tuto fukci platí rekuretí vyjádřeí ( + )! ( + )!
4 Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika. 45 Kombiačí číslo ad k, ozačovaé k výrazem ( ), je defiováo pro všecha, k 0,,,..., k ( )! ( )... ( k + ) k k!( k)! k(k )... Vlastosti kombiačích čísel jsou: k k pro 0 k,, 0, ( ) + +, k k + k + je-li 0 k Permutace. Nechť M je eprázdá možia, která má N avzájem růzých prvků, tedy M {a, a,..., a }, a i a j pro i j. Uspořádaou -tici z růzých prvků (a, a,..., a ) azýváme permutací. Zaměíme-li pořadí prvků v této -tici, apř. (a, a, a,..., a ), vytvoříme jiou permutaci prvků možiy M. Zjišťujeme-li, kolik růzých permutací z prvků možiy M můžeme vytvořit, zjišťujeme vlastě, kolik je růzých pořadí prvků možiy M. Na prvím místě se vystřídá všech prvků. Je-li a prvím místě určitý prvek, a druhém místě se vystřídá již je ( ) zbývajících prvků možiy M atd., až a posledí místo zbude jediý prvek. Počet permutací z prvků možiy M ozačíme P () a je P () ( ) ( )...! Jestliže se mezi prvky možiy M vyskyte a k -krát, a l -krát, a m -krát,..., pak počet všech růzých uspořádaých -tic je P k,l,m,... ()! k! l! m! Variace. Nechť je dáa možia M z 5.8 a přirozeé číslo k. Uspořádaou k -tici avzájem růzých prvků z možiy M : (a, a,..., a k ) azveme variací k -té třídy z prvků možiy M. Počet variací z prvků k -té třídy ozačíme V k (). Je rove V k ()! ( k)! Je-li apř. M {a, b, c}, všechy možé variace druhé třídy ze prvků možiy M jsou (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b) Kombiace. Nechť je dáa možia M z 5.8 a přirozeé číslo k. Vytvořme možiu P M, která má k avzájem růzých prvků: P {a, a,..., a k }. Neuspořádaou k -tici avzájem růzých prvků možiy M azýváme kombiací k -té třídy z prvků možiy M. Počet všech růzých podmoži s k prvky, které lze získat z prvků možiy M, tz. počet kombiací k -té třídy z prvků je C k () ( ) k! k!( k)!
5 46 Kapitola 5 Je-li apř. M {a, b, c}, potom (a, b), ((a, ) c) a (b, c) jsou všechy růzé kombiace druhé třídy z prvků možiy M. Jejich počet je C (). 5.. Biomická věta. Pro libovolá reálá i komplexí čísla a, b a pro libovolé přirozeé číslo platí vztah (a + b) a + a b + + ab + b. 0 Symbolicky zapsáo Biomické koeficiety vyhledávat. ( ) k (a + b) k0 ( ) a k b k k lze přehledě zapsat do tzv. Pascalova trojúhelíku a z ěho je ( ) k je k -tý prvek v řádku Záme-li v tomto ekoečém trojúhelíku r -tý řádek, potom sado určíme i řádek (r + ). Protože platí ( ) +, +, k k k k + k + je Pascalův trojúhelík symetrický a k -tý prvek v (r + ) -tém řádku je součtem (k ) -tého a k -tého prvku v r -tém řádku, tj. součtem dvou prvků v r -tém řádku, které jsou mu ejblíže. 5.. Řešeé příklady.. Zjistěte, zda je posloupost rostoucí ebo klesající: Řešeí: a) { }, b) { 0 }.
6 Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika. 47 a) Určíme ěkolik prvích čleů poslouposti: 0,, 7, 5,.... Vidíme, že daá posloupost bude asi klesající. Dokážeme tedy, že pro všecha N platí a > a +, tj. jiými slovy, že erovici > ( + ) vyhovují všecha přirozeá čísla. Posledí erovice je však ekvivaletí erovici ( + ) >, která je zřejmě splěa pro všecha N. b) Z ěkolika počátečích čleů 0, 8 0, 7 0, 64 0,... usoudíme, že posloupost bude asi rostoucí. Dokážeme tedy, že pro všecha přirozeá čísla platí a + > a, tj. ( + ) > 0 0. Posledí erovost je však ekvivaletí erovosti ( + ) >, která zřejmě platí pro všecha N.. Dokažte, že posloupost { } je aritmetická. Řešeí: Vyšetříme rozdíl dvou po sobě jdoucích čleů poslouposti: a + a ( + ) + +. Vidíme, že teto rozdíl je kostatí a rove. Posloupost je tedy aritmetická, a a diferece d.. Čley aritmetické poslouposti {a } vyhovují rovicím Určete a 5. a + a 4 + a 7 56, 7(a + a ) 6a 6. Řešeí: Použijeme vztah a a + ( )d a všechy čley poslouposti, které se vyskytují v uvedeých rovicích, vyjádříme pomocí a a d. Dostaeme rovice a + 0d 56, 8a 6d 0. Z druhé rovice vypočteme a d a po dosazeí do prví rovice dostaeme rovici 6d 56, z íž plye d 7. Tedy a 7 a a 5 a + 4d Výsledek: a V aritmetické poslouposti {a } je a a s. Určete s 5. Řešeí: Protože s 5 5 (a + a 5 ), vyjádříme a, a, s pomocí a a d : a a d, a a d, s (a d) + (a d) + a. Nyí dosadíme do rovice s a postupě dostaeme: Tedy Výsledek: s 5 0. d + d +, d 9, d. s 5 5 (a + a 5 ) 5 ( + + )
7 48 Kapitola 5 5. Souči tří po sobě jdoucích čleů aritmetické poslouposti se rová jejich součtu. Určete tyto čley, víte-li, že d. Řešeí: Ozačíme-li si hledaé čley a k, a k, a k+, potom platí rovice a k a k a k+ a k + a k + a k+. Vyjádříme a k, a k+ pomocí a k a d, dosadíme a postupě upravíme: (a k d)a k (a k + d) a k d + a k + a k + d a k (a k d ) a k a k 0 a k (a k d ) 0 69 a k d +, a k ± 9 + ±4. Úloze tedy vyhovují všechy aritmetické poslouposti, které obsahují jedu z těchto tří trojic po sobě jdoucích čleů:, 0, ;, 4, 9 ; 9, 4,. 6. V geometrické poslouposti je součet prvích dvou čleů 4, součet jejich druhých moci 0. Určete součet prvích pěti čleů. Řešeí: Nejprve určíme a a q. Ze zadáí úlohy vyplývají vztahy a + a 4 a + a 0. Vyjádříme a pomocí a a q a dosadíme; dostaeme rovice a + a q 4, a + a q 0. Z prví rovice vypočteme a 4 + q a po dosazeí do druhé rovice postupě dostaeme: 6 ( + q) ( + q ) 0, q 0q + 0 q, q. To zameá, že úloze vyhovují dvě geometrické poslouposti {a }. U jedé z ich je q, a, a tedy s 5 5. V druhé poslouposti je q, a, a tedy ( ) 5 s 5 Součet prvích pěti čleů je buď ebo 7. 7.
8 h Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika V geometrické poslouposti je a 7 a 5 96, a 5 + a 6 96, s 046. Určete a, q,. Řešeí: Dosadíme do těchto vztahů a 6 a 5 q, a 7 a 5 q a 5 q a 5 96, a 5 + a 5 q 96, a dostaeme rovice z ichž okamžitě plye erovost q ±. Prví rovici vydělíme druhou a postupě dostaeme: q q +, q, q, a a 5 q q q Zbývá určit, pro které s 046. K tomu použijeme vzorec pro s, do kterého dosadíme s 046, a, q, a postupě dostaeme: Výsledek: a, q, , 04, 0, Do kružice o poloměru R je vepsá čtverec a do ěho kružice, do této kružice opět čtverec atd. Vypočtěte a) strau pátého čtverce, b) součet obvodů všech ekoečě moha takto vziklých čtverců. Řešeí: Ozačme R R a a Obr. 5. poloměr -té takto vziklé kružice, takže R R. Dále ozačme a délku stray čtverce vepsaého do -té kružice. Ukážeme ejprve, že posloupost {a } je geometrická. Jak je patré z obrázku, pro každé platí vztahy a R R + a, a tedy a + R + a a. Posloupost je tedy opravdu geometrická, přičemž její prví čle a kvociet jsou dáy vztahy a R, q. Nyí už lehce zodpovíme obě otázky: a) Straa pátého čtverce je dáa vztahem a 5 a q 4 R ( ) 4 R 4.
9 50 Kapitola 5 b) Součet s obvodů všech čtverců je součtem geometrické řady 4a + 4a + 4a... s prvím čleem 4R a kvocietem, a tedy Výsledek: a 5 R 9. Řešte v R rovici s 4R 8R 8R 8R ( + ). 4, součet obvodů všech čtverců s 8R ( + ). 8 x + 0 x + 9 x 7 x +. Řešeí: Řešeí musí splňovat podmíky x 0 a x 0, aby zlomky v rovici měly smysl. Pravá straa rovice je součtem s geometrické řady, kde a a q x. Aby tato řada kovergovala, musí platit q <, což je ekvivaletí podmíce x >. Je-li tato podmíka splěa, je s a q + x x +. x Dosadíme teto výsledek do zadaé rovice a postupými úpravami dostaeme 8 x + 0 x x +, 8x + 4 x + 0x, x + x 4 0 x 6, x 4. Oba kořey splňují všechy tři výše uvedeé podmíky, a proto jsou oba řešeím zadaé rovice. Rovice má dvě řešeí x 6, x Kolika způsoby můžeme rozestavit a šachovici (o osmi sloupcích a osmi řadách) 8 věží tak, aby se žádé dvě z ich vzájemě eohrožovaly? Řešeí. V každém sloupci a v každé řadě musí stát jediá věž. Uvažujme jedu z těchto poloh a, a,..., a 8, kde a je číslo obsazeého pole v. řadě, a je číslo obsazeého pole ve druhé řadě atd. Pak je (a, a,..., a 8 ) jistá permutace čísel,,..., 8. Odtud plye, že počet hledaých poloh je rove počtu permutací čísel,,..., 8, tj. číslu P (8) 8! Věže můžeme a šachovici rozestavit 40 0 způsoby.. Agličaé obvykle dávají svým dětem ěkolik jme. Kolika způsoby lze pojmeovat e více ež třemi jméy ovorozeě, je-li k dispozici 00 růzých jme? Řešeí. Je jasé, že jedo jméo lze dát dítěti způsoby, dvě jméa lze dát dítěti V (00) způsoby, tři jméa lze dát dítěti V (00) zp. Ve druhém případě se totiž jedá o variace druhé třídy ze 00 prvků a ve třetím případě o variace třetí třídy ze 00 prvků, eboť zde zřejmě záleží a pořadí. Novorozeěti tedy můžeme vybrat ejvýše jméa způsoby.
10 Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika. 5. Z 5 účastíků zasedáí má být vybráa 5-tičleá delegace. Kolika způsoby to lze provést? Řešeí. Máme vybrat 5ti-čleou skupiu z 5 prvků, přičemž ezáleží a pořadí. Jedá se tedy o kombiaci 5. třídy z 5 prvků. Všech kombiací 5. třídy z 5 prvků je ( ) 5 C 5 (5) 5! ! 47! 5 4 Výběr pěti delegátů lze tedy provést způsoby. ( )!. Pro přípusté hodoty upravte V ( )!. Řešeí. Za předpokladu je V ( )( ) ( )( ) 4. V možiě přirozeých čísel řešte rovici ( ) ( ) 8. ( ) ( ) 0. Řešeí. Musí platit ( erovosti ) ( ),, což je ekvivaletí jedé erovosti. m m Použijeme vztahu pro m a k a upravíme aši rovici a tvar k m k ( ) 8. Odtud postupě dostáváme ( )( ) 8, ,, 5 ± { Vzhledem k podmíce rovici vyhovuje pouze 7. ( 5. Určete x R + tak, aby pátý čle v biomickém rozvoji mociy x ) 0 byl 05. ( ) 0 Řešeí. Pátý čle rozvoje podle uvedeého tvaru biomické věty je A 5 a 6 b 4, takže máme 4 určit x tak, aby platila rovice 6 ( x ) Odtud postupě dostáváme Výsledek: x x 4 05, x , x Neřešeé příklady.. Zjistěte, zda posloupost { } ( + ) je rostoucí či klesající. [Klesající]
11 5 Kapitola 5. V aritmetické poslouposti {a } je a + a 9, a a 4. Určete a 0. [a 0, je-li a, d 5, ebo a 0 4, je-li a, d 5]. V geometrické poslouposti {a } určete prví čle a a kvociet q je-li: [ a) a + a 4 95, a + a 60, q 4, a ebo q ] 4, a 9 b) a a + a 5, a 4 a 5 + a 6 0. [a 5, q ] 4. Řešte v R rovice: a) 5 x + x + x + x , [ x 5 7, x ] b) x + 4 x + 8 x + 6 x +, [x ] c) log x + log x + log 4 x +, [x 0] d) + x + 4 x + 8 x + 4x. x 4 [x 6] 5. Dokažte že pro q < je součet geometrické řady s a q. { } Dokažte podle defiice, že posloupost je rostoucí a má limitu. 7. Vypočtěte limity: ( a) lim b) lim c) lim! ( + )!!. 8. Upravte výrazy: a) b) ( + )!!! ( + )!, ( )! ( + )! + ( + )! ( + 4)!. ),, [ ] [ ] 4 [0] [ ] + [ + ( + ) ] ( + )( + 4) 9. Řešte v N rovice: x x a) + 66, [] x x x b) + 9. [5] x x 4 0. Určete desátý čle biomického rozvoje mociy ( x x ) 0 + x. [( 0 9 ) x x ]
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
Více17 t. Analytická geometrie přímky rovnice přímky, vzájemná poloha přímek, odchylka přímek, průsečík přímek, vzdálenost přímky od roviny
7 t Aaltická geometrie přímk rovice přímk, vzájemá poloha přímek, odchlka přímek, průsečík přímek, vzdáleost přímk od rovi Parametrické vjádřeí přímk v roviě Přímka je jedozačě určea dvěma růzými bod.
Více1. K o m b i n a t o r i k a
. K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují
VíceMatice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1
Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceDoba rozběhu asynchronního motoru.
1 Doba rozběhu asychroího motoru. 1. Doba rozběhu. Pro prví orietaci ke staoveí doby rozběhu asychroího motoru stačí provést přibližý výpočet ze středího urychlovacího mometu a a daých setrvačých hmot
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
Více{ } 9.1.9 Kombinace II. Předpoklady: 9108. =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce.
9.1.9 Kombinace II Předpoklady: 9108 Př. 1: Je dána pěti prvková množina: M { a; b; c; d; e} =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce. Vypisujeme
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceDISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY
DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST
VíceMatematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice
Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část)
KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část) V prví kaptole jsme se seáml s algebrackým tvarem komplexího čísla. Některé výpočty s komplexím čísly je však lépe provádět ve tvaru goometrckém. Po. V ásledujícím textu předpokládám
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
Vícef B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]
6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
Více20. Eukleidovský prostor
20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude
VíceFINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH
FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VíceKvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
VíceMatematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta
Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
Více1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,
DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Více9.2.5 Sčítání pravděpodobností I
9.2.5 Sčítání pravděpodobností I Předpoklady: 9203 Pedagogická poznámka: Následující problém sice zadávám jako příklad, ale minimálně na začátku s žáky počítám na tabuli. I kvůli tomu, aby jejich úprava
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceGeometrická posloupnost a její užití, pravidelný růst a pokles, nekonečná geometrická řada. 1 n. r s. [ a)22 ; b)31,5 ; c)-50 ; d)0 ; e)
9 Geometrická posloupost její užití, prvidelý růst pokles, ekoečá geometrická řd Geometrická posloupost Je dá posloupost { }. Tuto posloupost zveme geometrická, jestliže pro kždé dv po sobě ásledující
VíceÚvod do lineárního programování
Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VíceVážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
Více15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceHYPOTEČNÍ ÚVĚR. , kde v = je diskontní faktor, Dl počáteční výše úvěru, a anuita, i roční úroková sazba v procentech vyjádřená desetinným číslem.
HYPTEČNÍ ÚVĚR Spláceí úvěru stejým splátkam - kostatí auta ÚLHA 1: Mladý maželský pár s dostačujícím příjmy (tz. a získáí hypotéčího úvěru) se rozhodl postavt s meší rodý domek. Podle předběžé kalkulace
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
VíceZákladní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže
Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
Více8.2.7 Geometrická posloupnost
87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob
Více7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl
7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy
Více2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou
.. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceCvičení z termomechaniky Cvičení 5.
Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
Více8.3.6 Nekonečná geometrická řada
8..6 Nekoečá geometrická řd Předpokldy: 80, 805 Máme lit ppíru. Roztřiheme ho dvě poloviy, jedu dáme hromádku druhou opět roztřiheme poloviy (tedy čtvrtiy původího litu). Jedu z těchto polovi opět položíme
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
VícePosloupnosti a řady. Obsah
Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
VíceO Jensenově nerovnosti
O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)
VícePřehled vztahů k problematice spoření, důchody, anuitní splácení úvěru
Přehled vztahů k poblematice spořeí, důchody, auití spláceí úvěu Pozámka: Veškeé sazby je do uvedeých vzoců uto dosazovat v jejich elativím vyjádřeí! V případě zdaňováí úokových příjmů je uto dosazovat
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
VíceKvadratické rovnice pro studijní obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
Více2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu
2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se
Více4. KOMPLEXNÍ ČÍSLA 116. 4.1. Definice komplexních čísel 117. 4.2. Geometrické znázornění komplexních čísel 118. 4.3. Klasifikace komplexních čísel 120
KOMPLEXNÍ ČÍSLA 6 Defiice komplexích čísel 7 Geometrické áorěí komplexích čísel 8 Klasifikace komplexích čísel 0 Algebraický tvar komplexího čísla Sčítáí a ásobeí komplexích čísel v algebraickém tvaru
Více65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B 1. Nejprve zjistíme, jak lze zapsat číslo 14 jako součet čtyř z daných čísel. Protože 4 + 3 3 < 14 < 4 4, musí takový
Více2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
2. část: Základy matematického programováí, dopraví úloha. 1 Úvodí pomy Metody a podporu rozhodováí lze obecě dělit a: Eaktí metody metody zaručuící alezeí optimálí řešeí, apř. Littlův algortimus, Hakimiho
VíceÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF
Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Více( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501
..7 Neúplné kvadratické rovnice Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vzácné výjimky, kdy naprostá většina studentů skončí více než pět minut před zvoněním. Nechávám je dělat něco jiného
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
VíceZformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):
Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
Vícef x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )
DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce
VíceKombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM
Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí
Více1. Základy měření neelektrických veličin
. Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost
Více