( ) n= n+ = k = 1 n. = +. Vyjádřete jí rekurentně. 1. Vyjádřete jí rekurentně.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "( ) n= n+ = k = 1 n. = +. Vyjádřete jí rekurentně. 1. Vyjádřete jí rekurentně."

Transkript

1 Poslouposti řdy Poslouposti jejich vlstosti Npište prvích pět čleů poslouposti, která je dá tkto: 0 + ( ) + + k 6 Npište prvích 0 čleů ekoečé poslouposti ( ) prvočíslo, k, v přípdě, že eí prvočíslo Vyjádřete dé poslouposti vzthem pro -tý čle: 7,-,, -,, 6 8 8,,,,,, 6 7 Určete třetí pátý čle poslouposti dé rekuretě:, + +, + + Je dá posloupost ( log ) 6 Je dá posloupost ( ) ( ( ) ) ( ( + ) ) π si, která je defiová tkto: k, je-li, 7,,,,, 0 6,, + + Vyjádřete jí rekuretě + Vyjádřete jí rekuretě 7,,,,, 6 7 8, log0 + 7 Je dá posloupost ( ) Vyjádřete jí rekuretě + Zjistěte, zd jsou dé poslouposti rostoucí, klesjící, erostoucí ebo eklesjící omezeé (zdol, shor): ( ) + 6 ( cos ) π Idická úloh: Je třeb vypočítt počet krv telt ve stádu jež získáme od jedé krávy z 0 let, víme-li, že se kždé krávě rodí počátkem kždého roku jedo tele kždé tele dává stejé potomstvo, jkmile dosáhe věku tří let Důkz mtemtickou idukcí Je dá posloupost ( ) Posloupost ( ) vzthem pro -tý čle rekuretě tkto:, Vyjádřete jí vzthem pro -tý čle + je dá rekuretě tkto:, + ( + ) ( + ) Pro všech přirozeá čísl je součet prvích čleů poslouposti ( ) ( + )( + ) 6 Dokžte Dokžte, že pro všech přirozeá čísl pltí: 6 ( ) + Dokžte: : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : ( ) Vyjádřete tuto posloupost, kde, rove ( )( + ) ( + )( + ) : : Mtemtickou idukcí dokžte: 8 Mtemtickou idukcí dokžte: Mtemtickou idukcí dokžte: : Mtemtickou idukcí dokžte: :

2 Poslouposti řdy Mtemtickou idukcí dokžte, že pro všech přirozeá čísl je výrz 6 vždy celočíselý Dokžte, že souči dvou po sobě jdoucích přirozeých čísel je dělitelý dvěm Dokžte, že součet třetích moci tří po sobě jdoucích přirozeých čísel je dělitelý devíti Dokžte mtemtickou idukcí, že souči tří po sobě jdoucích přirozeých čísel je dělitelý šesti je dělitelé číslem pro kždé přirozeé Dokžte mtemtickou idukcí, že číslo Q číslo 0 6 Dokžte mtemtickou idukcí, že číslo V je pro všech přirozeá čísl číslo celé 8 7 Postupě doszujte do výrzu Q 7 z čísl 0,,, formulujte hypotézu o jeho dělitelosti jistým přirozeým číslem pro kždé N 0 Hypotézu poté dokžte mtemtickou idukcí 8 Mtemtickou idukcí dokžte, že :/( ) + Vyslovte hypotézu o počtu úhlopříček kovexího -úhelík ( > ) poté jí dokžte mtemtickou idukcí 0 Vyslovte hypotézu o součtu vitřích úhlů kovexího -úhelík ( > ) poté jí dokžte mtemtickou idukcí Vyslovte hypotézu o počtu částí roviy, ěž roviu dělí růzých přímek, které leží v roviě procházejí týmž bodem Poté tuto hypotézu dokžte mtemtickou idukcí Vyslovte hypotézu o počtu přímek, jimiž lze spojit bodů v roviě, z ichž žádé tři eleží v téže přímce Poté tuto hypotézu dokžte mtemtickou idukcí V hostici kovexího tvru je lichý počet pistolíků V dý okmžik kždý vystřelí svého ejbližšího soused, který je jedozčě urče Dokžte, že přestože se kždý pistolík strefí, zůste lespoň jede z pistolíků živu : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: 0 + Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : ,, 6 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : ( + )( + ) ( + )( + )( + ) ( + ) 7 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: ( + ) : ( ) ( ) Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: x + ( + ) x+ : , x 0, x x x x x x x Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: ( x ) six si π :six+ si x+ si x+ + si x, x + kπ, k six Je-li > přirozeé číslo, pk > Dokžte Je-li > 0, b > 0, > b přirozeé číslo, pk > b Dokžte 6 Dokžte, že je > pro kždé přirozeé číslo 7 Nerovost > + pltí pro všech přirozeá čísl větší ež Dokžte 8 Nerovost > pltí pro všech přirozeá čísl větší ež Dokžte Je-li 0 x >, x 0 přirozeé číslo větší ež, dokžte, že pltí ( x) + > + x

3 Aritmetická posloupost Zjistěte, jestli ásledující poslouposti jsou ritmetické či ikoliv: ( ) + 6 V ritmetické poslouposti ( ) 7 Vyjádřete její -tý čle + ( + ) Poslouposti řdy je dáo: 0 Určete difereci této poslouposti čley 7 Určete součet prvích 00 čleů ritmetické poslouposti 8 Určete součet všech lichých trojciferých přirozeých čísel Určete součet prvích 00 čísel, která při děleí číslem dávjí zbytek Určete součet prvích čleů ritmetické poslouposti, v íž pltí: 0 6, 8 7,, s 0 s 0 0, d Vypočítejte prví posledí čle ritmetické poslouposti, která má dváct čleů, je-li d s 68 Součet prvího pátého čleu ritmetické poslouposti je, součet třetího čtvrtého čleu je o větší ež součet prvího pátého Určete prvích pět čleů této poslouposti 6 V ritmetické poslouposti s osmi čley je souči obou krjích čleů 00, součet dvou prostředích čleů je Určete tuto posloupost 7 Aritmetická posloupost, jejíž prví čle je 7 diferece, má součet čleů 0 Kolik čleů má posloupost jký je její posledí čle? 8 Mezi čísl - je třeb vložit dlší čley tk, by vzikl ritmetická posloupost, jejíž součet je -6, Kolik je ových čleů které to jsou? Mezi čísl 7 vložte čísl tk, by s dými čísly tvořil ritmetickou posloupost o součtu 6 Určete počet vložeých čísel difereci tkto vytvořeé ritmetické poslouposti 0 V ritmetické poslouposti, 6,, vyhledejte čle, který se rová poloviě součtu všech předchozích Existuje kovexí -úhelík, jehož ejmeší vitří úhel má velikost 6 kždý dlší úhel je větší o ež předchozí? Pokud o, určete kolik má teto -úhelík vrcholů Pro která reálá čísl x jsou čísl log x, log( ) x + log( ) x + tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti? Velikosti str prvoúhlého trojúhelík tvoří po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti Delší odvěs má délku cm Určete velikosti str úhlů tohoto trojúhelík Co je větší o kolik: součet prvích 0 lichých přirozeých čísel ebo součet prvích 0 sudých přirozeých čísel? Část střechy domu, kterou je třeb pokrýt tškmi, má tvr lichoběžíku Do řdy u hřebeu střechy se vejde 8 tšek, do spodí řdy u okpu se vejde 0 tšek Tšky budou srováy do řd tk, že do v kždé ásledující řdě bude o jedu tšku více ež v řdě předchozí Kolik koru budou stát tšky celou uvžovou část střechy při ceě,- koru z jedu tšku? 6 Ve městě se buduje hlediště letího ki pro přibližě 00 diváků Do prví řdy je pláováo 0 seddel, do kždé ásledující pk o seddl více Kolik řd seddel bude mít hlediště? 7 Ocelové roury se skládjí do vrstev tk, že roury kždé horí vrstvy zpdjí do mezer dolí vrstvy Do kolik vrstev se složí rour, je-li v posledí vrstvě je jed rour? Kolik rour je v ejižší vrstvě? 8 V podiku měli v ledu při výrobě součástek 0 kusů závdých Počet těchto závdých součástek se kždý měsíc prvidelě zmešovl o kusy Kdy (ve kterém měsíci) bylo všech závdých kusů dohromdy 8? Dá-li se prví pole šchovice 6 zrek kždé dlší pole o zrk více ež předcházející, kolik zrek bude všech 6 polích? 0 V řdě z sebou je 00 kmeů vzdáleých od sebe 0 kroků Deset kroků před prvím kmeem leží košík Sběrč má z úkol přeést postupě všechy kmee do košíku tím způsobem, že od košíku jde pro prví káme s ím se vrcí do košíku, poté jde pro druhý káme opět se vrcí ke košíku, Určete kolik kroků sběrč ujde V zhrdě je 0 záhoků (viz obr ) Kždý má délku 6 m šířku,m K zléváí osí zhrdík vodu ve vědrech ze study vzdáleé m od zhrdy, přičemž obchází záhoy po mezích Njedou přiese vodu jede záho Kolik metrů ujde, ež zlije všechy záhoy, pokud cest zčíá kočí u study?

4 obr Poslouposti řdy 00 Kč zču prodávt tk, že prví koruu prodám z hléř, druhou z dv hléře, třetí z tři, Vydělám ebo prodělám tomto obchodu? Přátelé si vyprávěli o svých rodiách Krátkému se vysmívli, že se chová jko jediáček, le o jim to odpověděl: Mýlíte se, já jsem ejstrší z ptácti dětí Jsem právě osmkrát strší ež můj ejmldší brtr Kždý dlší brtr se rodil půldruhého roku po svém předchůdci Kolik let je Krátkému jeho ejmldšímu brtrovi? Jkou dráhu urzí jehl grmofoové přeosky stdrdí desce, má-li desk 60 závitů, vější poloměr spirály je 0 mm vější poloměr spirály je 0 mm? Egyptská úloh: Sto měr zrí se má rozdělit mezi pět dělíků tk, by druhý dělík dostl o tolik měr více ež prví, o kolik třetí dostl více ež druhý, čtvrtý ež třetí pátý ež čtvrtý Kromě toho mjí prví dv dělíci dostt dohromdy sedmkrát méě měr zrí ež osttí tři Kolik měr zrí dostli jedotliví dělíci? 6 Číská úloh: Klusák herk vybíhjí z jedoho míst v témž směru Klusák proběhe z prví de li, kždý ásledující de o li více Herk uběhe z prví de 7 li kždý dlší de o poloviu li méě Pro proběhutí 000 li se klusák vrcí zpět zpátečí cestě potkává herku Z kolik dí po vyběhutí se setkjí? (Pozámk: li je strá číská jedotk délky) 7 V roce 7 točil režisérk Věr Plívová - Šimková motivy kihy Mrk Twi Dobrodružství Tom Swyer film Pái kluci V tomto filmu je scé, v íž má Tomáš třít z trest plot kolem zhrdy své tety Apoley Díky své šikovosti výmluvosti mu ho le pomohou třít kmrádi i epřátelé, z což Tomáš pouze iksuje růžové lístečky, které mu mjí dopomoci k výhře, kterou předá zemský školí ispektor p ředitel (v epodobitelém podáí Petr Nárožého) Uvžovou scéu z filmu lehce pozměíme pro své potřeby: předpokládejme, že Tomášov tet vlstí zhrdu, jejíž oploceí je třeb 6 m plotu, který je tvoře z 0 cm širokých plěk, mezi imiž je mezer 0 cm (i v rohu zhrdy se střídá prvidelě plňk mezer) Kolik plěk má plot? Tomáš původě pláovl tíráí plotu tím způsobem, že prví de tře jedu plňku (by se epředřel by mohl jít s kmrády ve) kždý ásledující de o jedu plňku více ež předchozí (by tet Apole příliš ehubovl) N kolik dí by Tomášovi tímto způsobem práce vydržel? Prví de, když se chtěl pustit do práce, přišli kmrádi, kterým Tomáš po dlouhém ( hrém) zdráháí tíráí plotu svěřil Z ptřičý počet růžových lístečků, pochopitelě! Kmrádi prcovli tk, že prví de třeli 0 plěk kždý ásledující de vždy o stejý počet více ež de předchozí Z 0 dí byli chlpci hotovi O kolik plěk třeli kždý de více ež miulý de? 8 Jede žebřík měl 0 příčlí N prvím seděl jede holub, třetím dv, pátém tři, sedmém čtyři, Kolik holubů sedělo příčli? Kolik holubů bylo žebříku celkem? Geometrická posloupost Zjistěte, jestli ásledující poslouposti jsou ritmetické, geometrické či jié: + 6 Geometrická posloupost je dá tkto: 7 V geometrické posloupost je 6 8 ( 0 6) log0 q Určete Určete kvociet této poslouposti, 0 8 Zjistěte, která z čísel 8,, 6, 0, - -6 jsou čley geometrické poslouposti ( ) q Zjistěte, zd čísl, ( ), v íž 7 + čley ějké geometrické poslouposti Pokud o, určete její kvociet 0 Prví čle sedmičleé poslouposti se rová, posledí čle 8 Vypočítejte kvociet součet čleů poslouposti Součet prvích čleů geometrické poslouposti je 6, prví čle je posledí Určete počet čleů poslouposti kvociet V geometrické poslouposti je třetí čle pátý Vypočítejte, kolik čleů má tto posloupost, je-li její posledí čle 8 Která geometrická posloupost má tu vlstost, že součet prvích 0 čleů je krát větší ež součet prvích pěti čleů? Mezi čísl 86 vložte čísl tk, by vzikl geometrická posloupost Určete geometrickou posloupost, v íž rozdíl třetího druhého čleu je rozdíl čtvrtého třetího čleu je 6

5 6 V geometrické poslouposti ( ) Poslouposti řdy je dáo q, Kolik prvích čleů této poslouposti dává součet? 7 V geometrické poslouposti pltí: + Určete součet prvích pěti čleů této poslouposti 8 Určete všechy čley geometrické poslouposti ( ), v íž pltí: s zároveň + Čísl,,,, mjí tu vlstost, že prví tři tvoří geometrickou posloupost posledí čtyři posloupost ritmetickou Určete tto čísl, jestliže pltí: zároveň 8 0 Přičteme totéž číslo k číslům, 7 7 dosteme prví tři čley geometrické poslouposti Vypočtěte toto číslo geometrickou posloupost určete vzorcem pro -tý čle V ádobě je určité možství rdou Jké možství z původího zbude v ádobě z 6 dí, je-li poločs jeho přeměy dy? Kolik koru je třeb ukládt počátkem kždého roku po dobu 0 let, chceme-li mít kocem desátého roku střádáo 0000 Kč při % složeém úrokováí % di? Úrokovcí období je jede rok Kolik koru budeme mít účtu s úrokem % koci sedmého měsíce, budeme-li počátkem kždého měsíce ukládt částku 00 Kč Počítejte s dí % úrokovcím obdobím jede měsíc Ve městě žilo počátku roku obyvtel Kolik obyvtel bude mít město zčátku roku 00, odhduje-li se ročí přírůstek,%? Kolik koru bude mít z pět let účtu kuřák, který se rozhodl přestt kouřit měsíčě uspořeou částku z ákup cigret 000 koru uloží do bky účet s úrokem % dí %? Předpokládejte, že úroková mír se během celého uvžového období eměí že uspořeou částku ukládá kuřák účet vždy zčátku měsíce Řešte pro přípd měsíčího úrokovcího období 6 Z kolik let vzroste jisti 000 koru při úroku % 00 koru Počítejte s dí % uvžujte ) ročí, b) měsíčí úrokovcí období 7 Jký je úrok bky, bylo-li uložeo 800 koru, které po 6 letech vzrostly 000 koru Počítejte s měsíčím úrokovcím obdobím řešte pro přípd ) dě %, b) bez dí 8 *** Podiktel si vypůjčil zvázl se, že půjčku spltí dvěm stejými splátkmi, z ichž jed bude spltá z roky, druhá z roky ode de vypůjčeí Jk velké budou tyto splátky při úroku %? Kolik zůste vkldí kížce z vkldu 000 koru, vybírá-li se ) zčátkem, b) kocem kždého roku 00 koru po dobu 0 let? Úrok je, %, dň % úrokovcí období jede rok 0 Vkldtel si uložil termíový vkld dobu let zčátku roku 0000 koru Ročí úroková mír je, %, dň % Jkou částku bude mít koci pátého roku, jestliže z celou dobu trváí vkldu ebylo z vkldu ic vybráo? Řešte pro přípd: ) ročího úrokovcího období, b) pololetího úrokovcího období, c) čtvrtletího úrokovcího období d) měsíčího úrokovcího období 6 ***Možství dřev v určité lesí oblsti se odhduje,0 m ročí přírůstek je % Jký bude přibližě stv po 0 letech, těží-li se ročě 0 m dřev? Jedím tžeím se zmeší průměr drátu o 0% Jký průměr bude mít drát s původím průměrem 6 mm po osmi tžeích? Kupec chtěl dát okovt koě Kovář žádl teto způsob plceí: N všechy podkovy potřebuji hřebíky Z prví hřebík mi zpltíš hléř, z druhý hléře, z třetí hléře, vždy z kždý dlší hřebík zpltíš dvkrát tolik Kupec rdostě souhlsil, později toho všk litovl Kolik musel zpltil je z posledí hřebík? Klif z Bgdádu dovolil jedomu mtemtikovi, by si přál, co chce Mtemtik se ztvářil eviě řekl: Velký Klife, mám skromé přáí Odměň mě pšeičými zry to tkto: Dej mi tolik pšeičých zr, kolik jich bude muset být posledím poli šchovice, jestliže prví položíme jedo zro kždé ásledující dvojásobek toho možství, které bude předcházejícím poli Klif se zsmál ochotě souhlsil Domívl se, že mtemtik edoste i tolik zrí, by si mohl upéci bochík chleb Velmi se všk podivil, když mu mtemtik vypočítl, že jeho přáí se edá split Jk je to možé? Pokuste se převést možství pšeičých zr, které vám vyjde, vhodé jedotky, by vzikl reálější předstv o možství zr List ppíru rozdělte půl, jedu poloviu opět půl, Kolik děleí je třeb, byste získli částečky o 7 hmotosti tomu? Hmotost tomu uvžujte 0 kg, hmotost listu ppíru g 6 Zhrdík prodl prvímu kupujícímu poloviu všech jblek půl jblk, druhému kupujícímu poloviu zbytku ještě půl jblk, třetímu poloviu dlšího zbytku ještě půl jblk, Sedmému kupujícímu prodl poloviu zbytku též půl jblk ezůstlo mu i jedo jblko Kolik jblek měl zčátku obchodu? 7 Úloh z Ahmesov ppyru (000 let př l): Kždý se sedmi lidí má 7 koček, kždá kočk chytí 7 myší, kždá myš sežere 7 klsů ječmee, z kždého klsu ječmee může vyrůst 7 věder zr Kolik věder zr se zchráí zásluhou koček? 8 Král řídil svému sluhovi sebrt ze třiceti vesic vojsko tkovým způsobem, že z kždé vesice vezme tolik mužů, kolik do í vstoupilo Do prví vesice šel sluh sám Kolik mužů mělo vojsko po opuštěí třicáté vesice? Kolik mužů bylo sebráo v posledí vesici?

6 Poslouposti řdy Limit posloupostí Dokžte, že posloupost ( ), + je kovergetí Zjistěte, které poslouposti jsou kovergetí které divergetí Pokud to jde, určete jejich limitu: cos π π Nekoečé řdy ( )( + ) ( + ) ( ) 0, + ( cos ( )) π Je dá ekoečá řd ( ), ( + ) Vyšetřete posloupost ( s ), s : pište vzorec pro -tý čle této poslouposti ( zákldě hypotézy, kterou dokážete) určete její limitu Je posloupost ( s ) kovergetí? 6 Určete součet ekoečé řdy 0 Určete, které z ásledujících řd jsou kovergetí Pokud jsou kovergetí, určete jejich součet: Řešte rovice s ezámu x : ( ) 68 log x 6 x x x 60 ( ) x 6 si 6 Vypočtěte: V možiě reálých čísel řešte rovici: x + x x + x + 0 x x x 6 V možiě reálých čísel řešte rovici: x x+ x+ x+ 6 Vypočtěte: 8 x x x x x tg x Npište ve tvru zlomku s celočíselým jmeovtelem i čittelem číslo: 66 0, 67 0, 68,7 6 0, 60 0, 6 0, 6 6, 6 8,0 6 Po kmei stromu leze přímo vzhůru k ejbližší větvi housek Housek je zřejmě velmi uveá, protože z prví miutu urzí dm, z druhou,dm, z třetí, dm, Vzdáleost k prví větvi, íž má housek potrvu, je o zlomek cetimetru větší ež jede metr Z jk dlouho doleze housek k této větvi? 6 Do rovostrého trojúhelíku ABC o délce stry cm je vepsá druhý trojúhelík ABC, jehož vrcholy jsou ve středech str trojúhelíku ABC Do tohoto trojúhelíku ABC je vepsá stejým způsobem trojúhelík ABC Vypočítejte součet obvodů součet obshů všech tkto vziklých trojúhelíků 66 Do čtverce ABCD o strě délky cm je vepsá čtverec ABCD tk, že jeho vrcholy leží ve středech str čtverce Alogicky vepíšeme do čtverce ABCD čtverec ABCD, Vypočtěte součet obvodů obshů všech tkových čtverců 67 Do rovostrého trojúhelíku o délce stry je vepsá kruh, do kruhu je vepsá rovostrý trojúhelík, do tohoto trojúhelíku je vepsá dlší kruh, Vypočtěte součet obshů všech tkto vziklých ) trojúhelíků, b) kruhů 6

7 68 Spirál se skládá z ekoečě moh půlkružic Přitom poloměr kždé ásledující polokružice je dvkrát meší ež poloměr předchozí polokružice Určete délku spirály, je-li poloměr prví polokružice cm Poslouposti řdy 6 V roce 0 švédský mtemtik Helge v Koch poprvé popsl plošý útvr, který dodes ese jeho jméo - Kochov vločk Teto útvr je možé získt tkto: k prostředí třetiě kždé stry rovostrého trojúhelík připojíme dlší rovostrý trojúhelík K prostředí třetiě kždé ze vziklých str útvru yí připojíme opět rovostrý trojúhelík - viz obr Tímto způsobem se pokrčuje v kostrukci útvru dále Určete obvod obsh tkto vziklého útvru, má-li str ejvětšího trojúhelík délku Kružice opsá původímu trojúhelíku vymezí obr kruh Jká část kruhu je zplě Kochovou vločkou? 60 N obr je zázorě hádek, který vzikl postupým spojováím podobých částí Podle ozčeí z obrázku pltí: AB BC CD, DE EF FG AB GH HI IJ FG, ( hádek pokrčuje stále dále do meších rozměrů jedotlivých čláků svého těl ) Určete kolik ppíru je třeb jeho zhotoveí 6 Je dá přímk p, íž jsou dáy body A, A, tk, že pltí: AA, AA, AA, Nd kždou z úseček AA, AA, je sestroje rovormeý prvoúhlý trojúhelík (viz obr ) Určete délku lomeé čáry AXAX AX A obsh obrzce, který je ohriče touto lomeou črou přímkou p obr obr 6 Předstvme si těleso ve tvru jkéhosi teleskopického dlekohledu, které je složeo z ekoečě moh válců Poloměr podstvy ejvětšího válce je rove, poloměr podstvy kždého dlšího válce je polovičí ež přecházející Výšk ejvětšího válce je výšk kždého dlšího válce je oproti předchozímu dvojásobá Určete objem tohoto těles povrch jeho pláště 6 Je dá čtverec ABCD o strě délky Bod L je ptou kolmice vedeé z vrcholu A dého čtverce k úhlopříčce BD Bod L je ptou kolmice vedeé z bodu L stru AD čtverce ABCD Bod L je ptou kolmice vedeé z bodu L k úhlopříčce BD Určete délku lomeé čáry ALLL, jejíž kostrukce probíhá podle popsých prvidel 6 Je dá ostrý úhel α o velikosti 60 N jedom jeho rmei leží bod A, který je ve vzdáleosti od vrcholu úhlu Z bodu A je spuště druhé rmeo kolmice, z její pty dlší kolmice prví rmeo, Určete součet délek těchto kolmic 6 V rovostrém trojúhelíku ABC, jehož str má velikost je vede výšk CD Z její pty je vede kolmice stru AC, z její pty je vede kolmice výšku CD, Určete délku tkto vziklé lomeé čáry 66 Do čtverce o strě je vepsá kruh, do ěho zse čtverec, do ěho opět kruh, Určete součet obshů všech čtverců všech kružic 67 Do rovostrého kužele o strě řezu s je vepsá koule, d í druhá, třetí, Jký je součet objemů všech vepsých koulí? 7

8 Poslouposti řdy ŘEŠENÍ Poslouposti jejich vlstosti -,,,,, 0,, 0, 7 -,,, eexistují, 8,,,, 0,, 0, 6, -, -,, -,, -,,, 7 ( ), +, + 8 ( ) ( ) 7, , + +, 7, 8 log, + + log 6, + + ( + ) 7, rostoucí, omezeá klesjící, omezeá zdol 0 rostoucí, omezeá i rostoucí i klesjící, eomezeá rostoucí, omezeá rostoucí, omezeá zdol klesjící, omezeá i rostoucí i klesjící, omezeá 6 i rostoucí i klesjící, omezeá 7 klesjící, omezeá 8 7 krv telt Důkz mtemtickou idukcí Úlohy v tomto odstvci jsou určey procvičeí důkzu mtemtickou idukcí Ve většiě z ich to zmeá ovládt zákldí úprvy lgebrických výrzů Aritmetická posloupost o e e o o 6 d, 7 6, 70, + 7 s s s s 00 s 6 s 8 s 6, ;,;,;,7; 6, 7, 0,, 6,,, ebo,,, 6,, 0, 7, 7, 8 je třeb vložit čísel: -,; -,; -,7; -; -,; -0,; 0,; ;,7;,;, vložeých čísel je 0, d 0 jedá se o pátý čle: jedá se o ti ebo 8ti úhelík 0 8 cm, cm, 0 cm, 6,87,,, 0 Větší je součet sudých to o 0 koru 6 7 řd 7 vrstev, rour 8 Všech závdých součástek bude dohromdy 8 v červeci 88 zrek kroků m Vydělám koruu Krátkému je let, jeho ejmldšímu brtrovi jsou roky 8788mm 8,8 m, 0 6, 0, 6, 8 měr zrí 6 potkjí se 6 de (,7 de) 7 plěk, dí, kždý de o více 8 holubů, holubů Geometrická posloupost i ritmetická i geometrická 0 ezámé číslo je, 8

9 Poslouposti řdy geometrická geometrická ritmetická ritmetická 6 8, 7, 0 6, 6 8 číslo q ( + ) 0 q, s 7 86 q, 7 posloupost s q, libovolé 6, 8,, 6, q 6 pět 7 s 8 ebo 8,,, 0, - 6 Limit posloupostí lim -, kovergetí eexistuje, divergetí eexistuje, divergetí -, kovergetí 6, kovergetí 7, kovergetí 8 0, kovergetí 6 Nekoečé řdy 6 s, lims, kovergetí + 6 6, divergetí 6 eexistuje, divergetí 6, divergetí 66, kovergetí 67 +, kovergetí 68 O, D ( 0; ), P { 0} 6 O, D ( ; ) ( ; ), P { 6} 60 O, D ( ;0), P { } D k π + ; k, 6 O, π P + kπ; k 6 6 O, D ( ; ) ( ; ), P { 6;} 0,0 koru 70 koru 6 obyvtel 686,0 koru 6 ) 6, let; b), let 7 ),8 %; b),7 % koru ) 76,0 koru; b) 08,0 koru 0 ) koru; b) 6,0 koru; c) 607, koru; d) 670,0 koru 6,60 m,8 mm 80 koru (přesě 8886 koru) 8 80 zr, tj věder zr 0,0 vgóů po 0 tuách 8 8 celkem 0, v posledí vesici 0 0, kovergetí 0 eexistuje, divergetí 6, kovergetí, kovergetí, divergetí, divergetí, divergetí 6 eexistuje, divergetí 7 0, kovergetí ikdy 6 o 6 cm, S cm,cm o + + cm cm, 66 S 8 cm π 67 Strojúhelíků, Skruhů 68 o πr 0π cm,cm 6 S 60 S π, o, 6,tj66,% 6 d, S π

10 Poslouposti řdy 6 O, 6 x D ;, P { } 6 V 8π, S pláště 6 d ( + ) 6 d 6 d ( + ) Sčtverců, π S S kruhů π 0

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

1. Posloupnosti a jejich vlastnosti

1. Posloupnosti a jejich vlastnosti Poslouposti dy Poslouposti jejich vlstosti Npište prvích pt le poslouposti která je dá tkto: 0 6 Npište prvích 0 le ekoeé poslouposti k prvoíslo k v pípd že eí prvoíslo Vyjádete dé poslouposti vzthem pro

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a Poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je 8 diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) V ritmetické

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků: ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál.

Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál. Číslo projektu Číslo mteriálu CZ..7/../.9 VY Iovce_8_MA_._ Využití geometrické poslouposti prcoví list Název školy Středí odborá škol Středí odboré učiliště, Hustopeče, Msrykovo ám. Autor Temtický celek

Více

8.3.1 Pojem limita posloupnosti

8.3.1 Pojem limita posloupnosti .3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

O Jensenově nerovnosti

O Jensenově nerovnosti O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY KVĚTNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY KVĚTNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T KVĚTNA 09 Dtum koáí koušky:. květ 09 M. možé skóre: 0 Počet řešitelů testu: 80 M. dosžeé skóre: 0 Počet úloh: 0 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, % Mi. dosžeé skóre:

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Matematický KLOKAN kategorie Kadet

Matematický KLOKAN kategorie Kadet Mtemtický KLOKAN 2010 www.mtemtickyklokn.net ktegorie Kdet Úlohy z 3 body 1. Vypočítejte 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89. (A) 389 () 396 () 404 (D) 405 (E) jiná odpověd 2. Kolik os souměrnosti má

Více

VY_42_Inovace_13_MA_4.01_ Aritmetická posloupnost pracovní list. Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál.

VY_42_Inovace_13_MA_4.01_ Aritmetická posloupnost pracovní list. Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál. Čílo projektu Čílo mteriálu CZ..07/.5.00/34.0394 VY_4_Iovce_3_MA_4.0_ Aritmetická poloupot prcoví lit Název školy Střeí oborá škol Střeí oboré učiliště, Hutopeče, Mrykovo ám. Autor Temtický celek Mgr.

Více

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd.

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd. Poloupoti Poloupot v mtemtice je ř číel. Je přeě určeo poří číel, je tey áo, které čílo je prví, ruhé t. V řě číel může le emuí být ějký ytém. Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby:. Výčet prvků:

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Kadet

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Kadet Mtemtický KLOKN 2005 ktegorie Kdet Úlohy z 3 body 1. N obrázku vidíš osm kloknů. Kždý klokn může přeskočit n libovolné prázdné pole. Určete nejmenší počet kloknů, kteří musí změnit místo, by v kždém řádku

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13* STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2 Pracoví list č.. Při zjišťováí počtu ezletilých dětí ve třiceti vybraých rodiách byly získáy tyto výsledky:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Uspořádejte získaé údaje do tabulky rozděleí četostí a vyjádřete

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

Sbírka příkladů. Posloupnosti. Mgr. Anna Dravecká. Gymnázium Jihlava

Sbírka příkladů. Posloupnosti. Mgr. Anna Dravecká. Gymnázium Jihlava Sbírka příkladů Posloupnosti Mgr. Anna Dravecká Gymnázium Jihlava Anotace Sbírka příkladů Posloupnosti je vytvořen jakou souhrn příkladů vhodné pro samostatné domácí procvičování základních poznatků z

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b. KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost 1. Zjistěte vzorec posloupnosti 6; 3; 2; 3/2; 1,2; 1; 6/7; 3/4;... 2. V aritmetické posloupnosti z daných údajů vypočítejte naznačené hodnoty: a 4 = 11 a (a) 1 =? a 1 = 2 n =? a 5 = 14 d =? (d) d = 3 a

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Kategorie: U 1 pro žáky 1. ročníků učebních oborů

Kategorie: U 1 pro žáky 1. ročníků učebních oborů Kategorie: U 1 pro žáky 1. ročníků učebních oborů 1) Kolika způsoby lze zaplatit částku 50 Kč, smíme-li použít pouze mince v hodnotě 1 Kč, 5 Kč a 10 Kč? ) Umocněte: 1 7 p3 q 3 r + 7pq r 3 = 3) Přeložíme-li

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY.

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. . ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. Mturití opkováí.doc ) Mmik řekl Petrovi: Jestliže budeš hodý, dosteš dort. Jsou čtyři možosti: ) Petr byl hodý, dostl dort. b) Petr byl hodý, edostl dort. c) Petr ebyl hodý,

Více

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!!

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!! . Dělení celku zlomek 0 zlomek zlomková čár čittel udává z kolik stejných částí se zlomek skládá ( z ) jmenovtel udává n kolik stejných částí je celek rozdělen () Vlstnosti: Je-li v čitteli zlomku nul

Více