SYLABUS PŘEDNÁŠKY 2 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 2 Z GEODÉZIE 1 (Tvar a rozměry Země, základní součásti geodetických přístrojů) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. říjen 2015 1

Geodézie 1 přednáška č.2 TVAR A ROZMĚRY ZEMĚ, REFERENČNÍ PLOCHY Země je fyzikální těleso, vytvořené a udržované ve svém tvaru působením zemské tíže G. Ta je výslednicí síly přitažlivé F a síly odstředivé P (obr.1). Přitažlivá síla F působí podle obecného gravitačního zákona a odstředivá síla P působí v důsledku zemské rotace. Skutečný (fyzikální) zemský povrch je velmi nepravidelný a nelze jej matematicky definovat. Idealizuje se uzavřenou plochou, která je v každém bodě kolmá na směr tíže a má-li stejný tíhový potenciál, nazývá se hladinová plocha. Hladinových ploch je nekonečně mnoho a vzájemně se liší tíhovým potenciálem. Pro geodézii je nejdůležitější tzv. nulová hladinová plocha, která prochází nulovým výškovým bodem. Těleso vytvořené nulovou hladinovou plochou se nazývá geoid. Povrch geoidu si lze představit jako plochu velmi blízkou středním klidným hladinám oceánů a moří, prodlouženou pod kontinenty. Průběh hladinových ploch je závislý na velmi nepravidelném rozložení hmot různé hustoty v zemské kůře a geoid je proto těleso velmi složité, nevhodné k matematickému zpracování výsledků geodetických měření (obr.2 - maximální zvlnění geoidu se odhaduje na ± 50 m). Geoid je nahrazován myšlenou hladinovou plochou, kterou by Země získala působením gravitační a odstředivé síly, kdyby byla složena z homogenní tvárné hmoty. Takto vytvořené těleso se nazývá sféroid, který je téměř totožný s dvojosým rotačním elipsoidem s vhodně zvolenými parametry. Těmi jsou: hlavní poloosa a, vedlejší poloosa b, zploštění i = (a b)/a excentricita e 2 = (a 2 b 2 )/a 2. 2

V aplikacích se často používá normální tíhové pole Země, které je fiktivní a náleželo by zemskému tělesu, kdyby bylo homogenní (bez topografického povrchu). Základní geodetické úlohy se řeší na relativně matematicky jednoduše a přesně definovatelné ploše na rotačním elipsoidu. Elipsoidem, který svými rozměry co nejlépe vystihuje geoid, jehož střed S0 je totožný s hmotným středem Země Sz a malá osa je totožná s osou otáčení Země (obr.2), je tzv. obecný zemský elipsoid. Elipsoid, který svými rozměry aproximuje geoid v určité oblasti Země, nemá střed Sr v hmotném středu Země Sz a jeho malá osa je pouze rovnoběžná s osou zemské rotace, se nazývá referenční elipsoid (obr.2). Referenčních elipsoidů, používaných pro geodetické práce v různých státech, je celá řada. Vzájemně se liší svými parametry, polohou a orientací ke geoidu. U nás se používá několik referenčních elipsoidů. V civilní geodetické službě je to elipsoid, pojmenovaný po německém geodetu Besselovi, publikovaný v roce 1841 a používaný pro souřadnicový systém jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). Ve vojenské topografické službě se používal elipsoid Krasovského z roku 1940. Velmi významný je v geodézii elipsoid Hayfordův z roku 1910 a pro potřeby GPS je určen elipsoid WGS-84 (World Geodetic Systém - 1984). (Parametry těchto, ale i některých dalších elipsoidů jsou uvedeny ve skriptech Geodézie 1). Hlavními parametry, charakterizujícími jednotlivé elipsoidy jsou: a velká poloosa, b malá poloosa, i = (a b)/a zploštění, e2 = (a2 b2)/a2 excentricita. Při řešení mnoha geodetických úloh lze nahradit poměrně složité výpočty na rotačním elipsoidu jednoduššími výpočty na kouli. Koule je těleso určené pouze poloměrem R. S ohledem na podmínky (tvar, velikost, zeměpisná poloha zobrazované plochy) se volí střed a poloměr tzv. referenční koule tak, aby nahradila v zájmové oblasti elipsoid. Nejčastěji se volí tzv. střední poloměr křivosti Rm:, kde M je meridiánový poloměr křivosti poledníku v daném bodě a N je poloměr křivosti v příčném normálovém řezu (obr.3 a 4). 3

Poloměr pro ČR (zeměpisnou šířku φ = 49 30 ) a Besselův elipsoid je R m = 6 380 703,6105 m. Velikost poloměru náhradní koule, při stejném objemu nebo povrchu jaký má Besselův elipsoid, je 6 370,3 km. Body zobrazené na ploše použitého elipsoidu či koule, se pomocí zvoleného kartografického zobrazení převádějí matematickou cestou do roviny souřadnicového systému (více Matematická kartografie). Používá se pláště těles rozvinutelných do roviny, nejčastěji kužele nebo válce a to v normální poloze (osa splývá s osou Země), v transverzální poloze (osa leží v rovině rovníku), nebo ve zcela obecné poloze (obr.5). V některých případech, není-li zaměřované území příliš rozlehlé (cca 700 km 2, což představuje kruh o průměru cca 30 km) lze při měření polohopisu považovat část zemského povrchu (část sférické plochy) za rovinu a úlohy řešit podle pravidel rovinné geometrie. Volbou náhradních referenčních ploch se dopouštíme v jednotlivých veličinách (délkách, úhlech, výměrách a zejména výškách) chyb, které musíme opravovat. Redukce veličin Náhrada sférické plochy rovinou Jak již bylo uvedeno výše, je při splnění určitých podmínek (rozdíly veličin měřených na sférické ploše a v rovině jsou pro daný účel zanedbatelné) možno nahradit sférickou plochu rovinou. Porovnáme-li délku d, měřenou na sférické ploše (ve skutečném horizontu) s délkou d, měřenou v rovině proložené krajními body A,B a délkou t, měřenou v rovině proložené bodem P (ve zdánlivém horizontu - tečně), dostaneme následující rozdíly v délkách (obr.6). Z obrázku 6 plyne pro φ v obloukové míře:,,. 4

Rozvinutím výše uvedených funkcí v řadu, s uvážením prvních dvou členů a dosazením do vztahů pro t a d (skripta Geodézie 1, str.6) dostaneme:,. Rozdíly, pro délky do 30 km uvedené v tab.1, jsou potom dány vztahy:, Tab.1 Rozdíly délek pro vzdálenosti do 30 km ( ). d [km] d - d [mm] t - d [mm] 1 0 0 5 0 0 10-1 2 20-9 19 30-31 62 Vliv sbíhavosti tížnic Výše uvedené vztahy platí pro délky měřené v rovině referenční plochy, tedy v nulovém horizontu. Je-li délka d měřena v nadmořské výšce h (obr.7), je nutno ji pro výpočty v souřadnicové soustavě redukovat, uvážením vlivu sbíhavosti tížnic, na nulovou hladinu a označit d o = d - Δd, kde: ( ), ( ). Opravy délek jsou pro názornost uvedeny v tab.2, odkud je zřejmé, že s ohledem na přesnost měřených délek je nutno je uvažovat. Tab.2 Redukce z nadmořské výšky Délka Nadmořská výška h d [m] 500m 1000 m 100 8 mm 17 mm 200 17 mm 33 mm 500 42 mm 83 mm 1000 83 mm 167 mm 5

Vliv záměny skutečného a zdánlivého horizontu na výšky Výšky jsou ovlivněny zakřivením sférického povrchu Země i při malých vzdálenostech, jak ukazuje obr.8 a tab.3. Tab.3 Opravy na skutečný horizont Vzhledem ke skutečnosti, že libely geodetických přístrojů vytvářejí na stanovisku vodorovnou rovinu, kolmou k tížnici, tedy tzv. zdánlivý horizont, je nutno naměřené výšky (vztažené ke zdánlivému horizontu) opravit o rozdíl Δ (úsek mezi body B a B ) mezi skutečným a zdánlivým horizontem, abychom získali výšku vztaženou k nulové hladinové ploše (obr.8). Vzhledem k tomu, že d d a d << r, je středový úhel φ velmi malý a lze psát:, kde. Délka d [m] Oprava Δ [mm] 50 0,2 100 0,8 250 5,2 350 10,2 1000 83,3 5000 2083,0 6

ZÁKLADNÍ SOUČÁSTI GEODETICKÝCH PŘÍSTROJŮ Úvod K zabezpečení geodetických činností se používá řada přístrojů a nezbytných pomůcek, sloužících k získání měřených veličin, tedy v technické geodézii především délek, vodorovných směrů, svislých či zenitových úhlů a převýšení. Geodetické přístroje jsou vybaveny mechanickými a optickými součástmi, z nichž mnoho je společných jak přístrojům pro měření úhlů (teodolitům), tak přístrojům pro měření převýšení (nivelačním přístrojům). S ohledem na harmonogram cvičení v předmětu Geodézie 1, přizpůsobený obvyklým povětrnostním podmínkám při praktických měřeních v terénu, je postaven i harmonogram přednášek. Proto budou nejprve probírány přístroje a pomůcky sloužící k měření úhlů. Optickomechanické teodolity a jejich součásti K měření vodorovných směrů a zenitových úhlů slouží teodolity, jejichž princip a hlavní součásti zde budou popsány a následně bude podrobně probrána a vysvětlena funkce jednotlivých součástí (hlavních i pomocných). o Hlavní součásti optickomechanických teodolitů Hlavními součástmi teodolitu jsou trojnožka, vodorovný (horizontální) kruh neboli limbus a otočná část nad limbem neboli alhidáda (obr.9). 7

Trojnožka tvoří podstavec teodolitu. Do přesně mechanicky opracované zděře (pouzdra čepu) (obr.10) se vkládá čep alhidády (obr.13), který se v ní upevňuje svěrným šroubem (obr.10, 11). K urovnání vertikální osy alhidády V do svislé polohy slouží tři stavěcí šrouby, jejichž špičky se opírají o podložku trojnožky (obr.10, 11 a 12). Nad podložkou je umístěna pérovací destička, která slouží k pružnému připevnění trojnožky teodolitu k hlavě stativu, prostřednictvím upínacího šroubu (obr.9, 12). Vodorovný kruh (limbus) slouží ke čtení vodorovných směrů a úhlů (obr.9). U starších typů teodolitů se jednalo o kruh kovový u novějších typů (po 1. světové válce) o kruh skleněný. V obou případech nese na obvodu úhloměrnou stupnici, která přesně dělí obvod kruhu na 360 (šedesátinné dělení) nebo na 400 gonů (setinné dělení). Skleněné kruhy přinesly řadu výhod, o kterých bude pojednáno později. Alhidáda je otočná část nad limbem, která nese především odečítací pomůcky pro čtení vodorovných směrů, ustanovky, vidlice s dalekohledem, svislý (vertikální) kruh k měření svislých nebo zenitových úhlů, libely (obr.9). 8

o Pomocné součásti optickomechanických teodolitů U geodetických přístrojů (zde teodolitů) je možno se setkat s následujícími pomocnými součástmi (podrobněji Geodézie 1, kap.5): součásti mechanické (šrouby, opravná zařízení, ustanovky), libely a doplňky ke stanovení vodorovného a svislého směru, součásti optické (čočky, hranoly, mikroskop, dalekohled), odečítací pomůcky a zařízení, doplňky (stativy, atd.), čepy a pouzdra. Součásti mechanické O některých typech šroubů používaných v geodetických přístrojích (stavěcí šrouby, šroub svěrný a šroub upínací) bylo pojednáno v předchozím odstavci. Dále to jsou: Rektifikační (opravné) šroubky, které se používají k zajištění správné funkce především libel, k posunu záměrné přímky dalekohledu prostřednictvím posunu objímky s ryskovým křížem atd. Ustanovky, což jsou dvojice šroubů, z nichž jeden (šroub může být nahrazen i páčkou) umožňuje zastavit či uvolnit pohyb přístroje kolem svislé nebo vodorovné (klopné) osy (obr.9, 14 až 18), nebo částí přístroje vůči sobě (tzv. hrubé ustanovky). Po zamezení volného pohybu umožňuje druhý šroub v určitém omezeném rozsahu jemný pohyb pro citlivé zacílení dalekohledu (obr.14 až 18) na cílový bod (tzv. jemné ustanovky). Ustanovky mohou být různých konstrukcí (obr.14 až 18). Je možno je rozdělit podle různých hledisek (skripta Geodézie 1, str.43), z nichž je vhodné vyzdvihnout rozdělení podle jejich konstrukce, a to na obvodové a osové. Příklady 2 typů obvodových ustanovek jsou uvedeny v obrázcích č.14 a 15. 9

Příklady 3 typů osových ustanovek jsou uvedeny v obrázcích č.16 až 18. Z hlediska ovládání pohybu lze rozlišit ustanovky na horizontální a vertikální. Zatímco vertikální kruh je pevně nasazen na točnou osu dalekohledu a nedá se tedy nastavit libovolné čtení, dají se vodorovné kruhy různým způsobem přesunout a umožňují nastavit do libovolného směru požadované čtení. Vodorovný kruh lze posunovat trojím způsobem: teodolit je vybaven dvojicí ustanovek pro vodorovný pohyb, a to alhidádovou a limbovou (starší teodolity s kovovými kruhy), teodolit je vybaven repetiční svorou (obr.19) (nahrazuje funkci limbové ustanovky u teodolitů se skleněnými kruhy), teodolit je vybaven limbem na postrk (obr.20), elektronické teodolity mají možnost nastavit libovolné čtení prostřednictvím klávesnice 10

Libely a doplňky ke stanovení vodorovného a svislého směru, Libely slouží k urovnání přístroje nebo jeho součástí do vodorovné (resp. svislé) polohy. Libely (obr.21) krabicové se používají pro hrubší urovnání (citlivost libely v minutách) a trubicové pro urovnání přesné (citlivost v desítkách vteřin). Podle funkce, ke které libela slouží, se u teodolitů označuje jako libela alhidádová nebo indexová. Alhidádová libela slouží k urovnání vertikální osy přístroje do svislé polohy (obr.9), indexová libela urovnává čtecí pomůcky svislého kruhu, tedy při měření svislých či zenitových úhlů, do vodorovné polohy. Přesnost urovnání libely do vodorovné je závislá na její citlivosti. Citlivost libely je dána poměrem dílku libely (obvykle 2 mm) vůči poloměru kruhového výbrusu vnitřní strany libely a udává se v úhlové hodnotě:, Kde v čitateli je velikost dílku libely v mm a ve jmenovateli poloměr výbrusu rovněž v mm. Pro převod do úhlové míry je třeba zlomek násobit radiánem v požadované úhlové míře (zde např. v šedesátinných vteřinách). K přesnému urovnání indexové nebo nivelační libely se používá tzv. koincidenčního způsobu urovnání (obr.22). Poloha bubliny zrektifikované libely se při otáčení teodolitu kolem svislé osy nemění. U moderních teodolitů je indexová libela nahrazena kompenzátorem, který index svislého kruhu nastavuje automaticky do vodorovné polohy. S ohledem na omezený rozsah funkce kompenzátoru, je nutno teodolit nejprve urovnat alhidádovou nebo alespoň krabicovou libelou (více ve skriptech Geodézie 1, kap.5.3). 11

Pomůcky k centraci přístrojů K vytyčení svislého směru pro centraci se používá u teodolitů, ale i dalších měřických pomůcek (např. hranolů, terčů apod.) olovnice, tyčové olovnice či optického dostřeďovače, popř. laserové olovnice (obr.23), Součásti optické (čočky, hranoly, mikroskop, dalekohled) Optické součásti geodetických přístrojů jsou obsahem přednášek předmětu Geodetické přístroje, kde jsou dle dohody s přednášejícím, Ing.Vyskočilem, podrobně probrány. V těchto přednáškách jsou tedy zmíněny pouze jejich aplikace. Alespoň velmi stručně je uveden princip dalekohledu, jako jedné ze základních částí geodetických přístrojů. Dalekohledy se v současnosti používají prakticky výhradně čočkové, stálé délky, s pohyblivou zaostřovací rozptylnou čočkou (obr.24). Za okulárem je vložena skleněná destička s vyrytým ryskovým křížem. Spojnice středu ryskového kříže se středem objektivu tvoří záměrnou osu dalekohledu Z. Skleněnou destičku s ryskovým křížem je možno v malých mezích posouvat rektifikačními šroubky, vzhledem k nezbytné možnosti rektifikace (vystředění) záměrné osy dalekohledu. Na dalekohledu je umístěn tzv. kolimátor (trubička s matnou záměrnou značkou přednáška č.3), umožňující přibližné zacílení 12

dalekohledu (u starších typů teodolitů je použito mušky a hledí). Vedle okuláru dalekohledu je u přístrojů se skleněnými kruhy umístěn menší okulár čtecího mikroskopu pro čtení úhlových hodnot na vodorovném a svislém kruhu (přednáška č.3). Odečítací pomůcky a zařízení O odečítacích pomůckách, které jsou použity v minutových teodolitech Zeiss Theo 020A/B a vteřinových teodolitech Zeiss Theo 010A/B bude pojednáno v přednášce č.3. Další typy odečítacích pomůcek použitých u starších přístrojů, popř. přístrojů jiných výrobců jsou uvedeny ve skriptech Geodézie 1. Doplňky (stativy atd.) Před měřením se geodetické přístroje připevňují zpravidla na stativ (výjimečně na pilíř či pilířovou podložku). Stativ je vyroben ze dřeva nebo z kovu (duralu) a má tři nohy, opatřené na spodním konci kovovým hrotem se zarážkou, umožňujícím pevné zašlápnutí noh stativu do terénu. Hlava stativu je opatřena otvorem o průměru 65 mm (stativ Zeiss, obr.25) s výkyvnou pákou, nesoucí upínací šroub, což umožňuje v omezené míře pohybovat teodolitem při jeho dostřeďování. Nohy stativu jsou dělené (obr.25) tak, aby umožnily nastavení přístroje do požadované výšky (pro pohodlné měření) či pro postavení v kopcovitém terénu. Mají žlutou, oranžovou (dřevěné stativy) nebo stříbrnou (kovové stativy) barvu s ohledem na dobrou viditelnost v terénu (Další podrobnosti viz skripta Geodézie 1, kap.5.5). Čepy a pouzdra čepů Osou geodetických přístrojů se rozumí společný název pro čepy a pouzdra, umožňující vzájemný pohyb pevných a otočných částí přístroje. Jedná se o tzv. osu mechanickou, podél které se děje otáčení přístroje v pouzdře. Čepy a pouzdra jsou zhotoveny z dostatečně tvrdého materiálu (ocel, bronz, mosaz), který odolává opotřebení, má malou teplotní roztažnost, čistě se opracovává a má malý koeficient tření (ten se ještě snižuje způsobem opracování a vhodným mazadlem). Čepy a pouzdra mají vyhovovat následujícím podmínkám: 13

- geometrická osa čepu a pouzdra nemá být excentrická, - mechanická osa čepu má být totožná s osou pouzdra, - koeficient tření má být co nejmenší, - axiální a radiální vůle má být minimální, - koeficient teplotní roztažnosti čepu a pouzdra má být přibližně stejný, u čepu vždy menší než u pouzdra. Rozlišují se dvě hlavní osy, a to svislá a vodorovná. Svislá osa geodetických přístrojů Svislá osa geodetických přístrojů umožňuje otočné spojení alhidády s trojnožkou přístroje. Svislá osa teodolitu je realizována kuželovým (u starších přístrojů) nebo válcovým čepem s různými způsoby odlehčení tlaku alhidády (broušená ocelová kulička, tvrdý hrot na kalené plošce, kuličkové ložisko u horního čela pouzdra či volné ložiskové kuličky na kuželové ploše, které navíc centrují alhidádu (obr.26). (Další podrobnosti jsou uvedeny ve skriptech Geodézie 1, kap.5.6.1). Obr.26 Typy čepů a pouzder svislé osy Vodorovná osa geodetických přístrojů Vodorovná osa nese u většiny teodolitů dalekohled a výškový kruh. Je realizována dvojicí pouzder (obr.27). Obr.27 Uchycení vodorovné osy dalekohledu Vodorovná osa nesmí měnit svou polohu při sklápění dalekohledu a má být kolmá na svislou osu přístroje. K dosažení kolmosti obou os slouží rektifikační zařízení různých typů. Na obrázku č.28 jsou to vodorovná nebo svislá štěrbina a excentrické uložení pouzdra čepu. (Další podrobnosti jsou uvedeny ve skriptech Geodézie 1, kap.5.6.1). 14

Obr.28 Způsoby rektifikace vodorovné osy dalekohledu 15