Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009
Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo 7 11 Úloha číslo 8 12 Úloha číslo 9 13 Úloha číslo 10 14
Úloha číslo 11 15 Úloha číslo 12 16 Úloha číslo 14 17 Úloha číslo 15 18 Úloha číslo 18 19 Úloha číslo 19 20 Úloha číslo 23 21 Úloha číslo 26 22 Úloha číslo 27 23 Úloha číslo 28 24 Úloha číslo 30 25
Úloha číslo 32 26 Úloha číslo 33 27 Úloha číslo 34 28 Úloha číslo 35 29
Úloha číslo 1 1. určete počet jednoduchých cyklů grafu 2. určete počet trojúhelníků v grafu
Úloha číslo 2 Ukažte, že v každé skupině aspoň dvou lidí, existují vždy dva s přesně stejným počtem přátel ve skupině.
Úloha číslo 3 Ukažte, že v-conn(g) e-conn(g) deg(g) pro libovolný graf.
Úloha číslo 4 Obtížnost: Ukažte: jestliže e-conn(g) 2 pro graf G, pak každé dva vrcholy v G jsou spojeny alespoň dvěma hranově disjunktními cestami.
Úloha číslo 5 Které dvojice grafů na následujícím obrázku jsou isomorfní a proč?
Úloha číslo 6 Ukažte: jestliže dva grafy jsou isomorfní, potom musí existovat bijekce mezi množinami jejich vrcholů taková, že odpovídající si uzly mají tentýž stupeň a leží v tomtéž počtu jednoduchých cyklů.
Úloha číslo 7 Jsou následující grafy vrcholově, silně hranově či hranově symetrické?
Úloha číslo 8 Ukažte: jestliže G je regulární graf a deg(g) = 3, pak v-conn(g) = e-conn(g). Najděte příklad grafu G, jenž je regulární, deg(g) > 3 a v-conn(g) e-conn(g).
Úloha číslo 9 Najděte příklad grafu, který je hranově symetrický, ale ne vrcholově symetrický (obtížnost: ) vrcholově symetrický, ale ne hranově symetrický (obtížnost: )
Úloha číslo 10 Ukažte, že následující grafy jsou bipartitní:
Úloha číslo 11 Obtížnost: Ukažte: Graf je bipartitní tehdy a jen tehdy, když neobsahuje žádný cyklus liché délky.
Úloha číslo 12 Určete kostru pro následující graf. Kolik různých koster tento graf má?
Úloha číslo 14 Ukažte, že každý graf G je prostorový. To jest, že jeho uzly mohou být zobrazeny do bodů trojrozměrného prostoru tak, že žádné přímkové hrany spojující odpovídající uzly grafu G se neprotínají ani s jinými hranami, ani s body reprezentujícími uzly grafu G. (Návod: zobrazte k-tý uzel grafu G na bod (k, k 2, k 3 ).)
Úloha číslo 15 Určete šířku bisekce následujících grafů.
Úloha číslo 18 Ukažte, že binární strom má nejvýše jedno perfektní párování.
Úloha číslo 19 Dva lidé hrají hru na grafu G = (V, E), kde V > 2, střídavým vybíráním rozdílných uzlů tak, aby vznikla cesta. Poslední hráč schopný vybrat uzel vyhrává. Ukažte, že existuje vítězná strategie pro prvního hráče tehdy a jen tehdy, když G nemá žádné perfektní párování.
Úloha číslo 23 Nechť G = (V, E) je bipartitní graf s birozdělením vrcholů do množin A = {a 1,..., a n } a B = {b 1,..., b m }. Každé hraně (a i, b j ) přiřaďte proměnnou x ij. Nechť M G = {m ij } je m n matice taková, že m ij = x ij, pokud (a i, b j ) E a m ij = 0 jinak. Ukažte, že G má perfektní párování tehdy a jen tehdy, když det(m G ) není identicky roven 0.
Úloha číslo 26 Ukažte, že χ (G) = deg(g) + 1 pro Petersenův graf:
Úloha číslo 27 Ukažte, jak obarvit hrany bipartitního grafu K m,n pomocí deg(k m,n ) barev.
Úloha číslo 28 Ukažte: jestliže M 1 a M 2 jsou disjunktní párování grafu G s M 1 > M 2, pak existují disjunktní párování M 1 a M 2 taková, že M 1 = M 1 1, M 2 = M 2 + 1 a M 1 M 2 = M 1 M 2.
Úloha číslo 30 Ukažte, že pro každé n 1 existuje orientovaný graf G n s 2n + 3 uzly, jenž má přesně 2 n Hamiltonových cest (a může být považován za zakódování všech binárních řetězců délky n).
Úloha číslo 32 Navrhněte algoritmus pro konstrukci Eulerova tahu v grafu (za předpokladu, že existuje) a aplikujte jej pro návrh Eulerova tahu v grafu na následujícím obrázku:
Úloha číslo 33 Navrhněte Hamiltonův cyklus pro graf na obrázku: (To je abstrakce původní Hamiltonovvy hádanky zvané Cesta kolem světa, jež vedla ke konceptu Hamiltonova cyklu hádanka byla, samozřejmě, trojrozměrná.)
Úloha číslo 34 Najděte všechny různé minimální kostry grafu na následujícím diagramu:
Úloha číslo 35 Použijte Kruskalův a Primův algoritmus k návrhu minimální kostry grafu na následujícím obrázku: