1/1 PŘEHLED TEORIE A VÝPOČTOVÝCH VZTAHŮ. Základní stavové veličiny látky. Vztahy mezi stavovými veličinami ideálních plynů

1/1 PŘEHLED TEORIE A VÝPOČTOVÝCH VZTAHŮ Základní stavové veličiny látky Vztahy mezi stavovými veličinami ideálních plynů Stavová rovnice ideálního plynu f(p, v, T)=0 Měrné tepelné kapacity, c = f (p,t) Směsi ideálních plynů I. zákon termodynamiky Termodynamické děje vratné ideálních plynů II. Zákon termodynamiky Tepelné oběhy plynové Reálné plyny a páry Vlhký vzduch Proudění plynů a par Přenos tepla

1/2 ZÁKLADNÍ STAVOVÉ VELIČINY LÁTKY Tlak p :, resp. [Pa = N. m -2 ; kpa; MPa; hpa] kde F je síla S je plocha p = p b + p, kde p je měřená tlaková diference p b barometrický tlak Jednotky tlaku: 1 bar = 10 5 Pa 1 torr = 133,322 Pa 1 mm Hg = 133,322 Pa 1 kp.cm -2 = 98066,5 Pa 1 at = 98066,5 Pa (technická atmosféra) 1 atm = 101325 Pa (fyzikální atmosféra) Měrný objem v : kde V je objem [m 3 ] m hmotnost [kg] ; resp. [m 3.kg -1 ] Hustota ρ : [kg.m -3 ] Termodynamická teplota t, T : T(K) = t( C) + 273,15 t( C)= 5/9.[t( F) - 32] Normální fyzikální podmínky: p = 0,101325 MPa T = 273,15 K

V m = 22,4136.10-3 m 3 mol -1 2/2

1/1 VZTAHY MEZI STAVOVÝMI VELIČINAMI IDEÁLNÍCH PLYNŮ Boyleův - Mariotteův zákon: T=konst., p. v = konst., p.v = konst., p 1.V 1 = p 2.V 2 Gay-Lussacův zákon: p = konst.,, Charlesův zákon: v = konst.,, Avogadrův zákon Ve stejném objemu různých plynů při stejném tlaku a teplotě je stejný počet molekul. Pro dva plyny označené indexem I a II platí: M I. v I = M II. v II = M. v = V m = 22,4 [m 3. kmol -1 ], kde M je molekulová hmotnost V m je molový objem Objemová roztažnost γ [K -1 ] [V = V 0. [1 + γ. ( T - T 0 )] ; pro ideální plyn ] Tlaková rozpínavost β [K -1 ] [p = p 0. [1 + β. (T - T 0 )] ; pro ideální plyn ] Objemová stlačitelnost δ[k -1 ] [V = V 0. [1 - δ. (p p 0 )] ]

1/1 STAVOVÁ ROVNICE IDEÁLNÍHO PLYNU f(p, v, T)=0 Pro 1 kg r plynová konstanta [J.kg -1. K-1 ] Pro 1 kmol R m univerzální plynová konstanta 8314,3 J.kmol -1.K -1 Pro m kg Pro n kmol, Plyn M [kg/kmol] r [J/(kg.K)] H 2 2 4157,15 He 2 4157,15 C 12 N 2 28 296,9 O 2 32 259,8 CO 28 296,9 CO 2 44 189,0 CH 4 16 519,6

1/1 MĚRNÉ TEPELNÉ KAPACITY, c = f (p,t) Měrná tepelná kapacita [J.kg -1.K -1 ] Střední měrná tepelná kapacita v teplotním intervalu od t 1 do t 2 kde Q 12 je množství tepla přivedené m kg plynu v rozmezí teplot t 1, t 2 Molová tepelná kapacita [J.kmol -1.K -1 ] Měrné tepelné kapacity ideálních plynů, c p c v - měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku, - měrná tepelná kapacita při konstantním objemu, c p > c v Mayerův vztah κ =1,3 κ =1,41 κ =1,67 3 atomové 2 atomové 1 atomové R m = 8314 J.kmol -1.K -1

1/3 SMĚSI IDEÁLNÍCH PLYNŮ Poznámka: označení bez indexů platí pro směs, indexy i = 1 až n pro pro složky směsi. Index 0 označuje počáteční stav před směšováním. Každý plyn se chová ve směsi tak, jako kdyby byl v celém prostoru sám Plyny na sebe chemicky nepůsobí Hmotnost směsi Zadání složení směsi Hmotnostní zlomek: Molový zlomek: Objemový zlomek: Daltonův zákon Tlak směsi se rovná součtu parciálních tlaků jednotlivých plynů. Pro,

2/3 Amagatův zákon Objem směsi se rovná součtu parciálních objemů složek. Pro ; ; Měrná plynová konstanta, měrné tepelné kapacity a adiabatický exponent směsi ; ; ; Měrná vnitřní energie u, entalpie i a entropie s směsi ; ;. Střední zdánlivá molová hmotnost [kg.kmol -1 ] Směšovací procesy a) jednorázové adiabatické směšování i složek při V= konst pro ideální plyn b) kontinuální adiabatické směšování proudů při p = konst pro ideální plyn Stavové rovnice ; ;

Přepočty zlomků 3/3

1/1 I. ZÁKON TERMODYNAMIKY Uzavřená termodynamická soustava (ideální plyn) 1. forma dq = du + da = c v.dt + p. dv [J.kg -1 ], resp. dq = du + da = m.c v.dt + p. dv [J] kde q u a měrné teplo měrná vnitřní energie měrná objemová práce 2. forma dq = di +da t = c p. dt - v.dp [J.kg -1 ], resp. dq = di + da t = m.c p.dt - V.dp [J] kde q měrné teplo i měrná entalpie a t měrná technická práce Otevřená termodynamická soustava (stacionární děj, ideální plyn, zemské tíhové pole) [W] kde index 1 a 2 označuje veličiny na vstupu a výstupu ze soustavy w g h je tepelný tok - hmotnostní tok plynu do soustavy a ze soustavy - rychlost plynu - tíhové zrychlení - převýšení plynu vzhledem k základní rovině - výkon V diferenciálním tvaru pro jednotkový hmotnostní tok

1/2 TERMODYNAMICKÉ DĚJE VRATNÉ IDEÁLNÍCH PLYNŮ Izochorický děj [ v = konst, dv = 0 ] Charlesův zákon dq = du + p.dv, kde dv = 0 a du = c v.dt q 12 = u 2 - u 1 = c v.(t 2 - T 1 ), da = 0, a t12 = v.(p 2 - p 1 ) [J.kg -1 ] Izobarický proces děj, [p = konst, dp = 0 ] Gay-Lussacův zákon dq = di - v.dp, kde dp = 0, a di = c p.dt q 12 = i 2 - i 1 = c p. (T 2 - T 1 ), [J. kg -1 ] ; [J.kg -1 ] Izotermický děj, [ T= konst, dt = 0 ] Boyleův - Mariotteův zákon p 1.v 1 = p 2. v 2 dq = c v.dt + p.dv = c p. dt - v.dp, kde du = c v. dt = 0, di = c p. dt = 0 [J.kg -1 ] Adiabatický děj, [ q 12 =0] p.v κ = konst dq = du + da = di + da t kde dq = 0 a 12 = -(u 2 - u 1 ) = c v. (T 1 - T 2 ) [J.kg -1 ]

2/2 a t12 = i 1 - i 2 = c p.(t 1 - T 2 ) = κ. c v. (Τ 1 Τ 2 ) = κ. a 12 [J. kg -1 ] Polytropický děj [ n = konst, c n = konst. ] p. v n = konst Exponent polytropy n může mít obecně hodnotu od - do +, protože všechny děje lze považovat za polytropické. Pro technickou polytropu je 1 < n < κ. dq = c n. dt kde c n je měrná tepelná kapacita polytropy q 12 = c n. (T 2 - T 1 ) [J.kg -1 ] a t12 = n.a 12 ;

1/1 II. ZÁKON TERMODYNAMIKY Je úzce spjat s vlastnostmi vratných a nevratných dějů. Slovní formulace např.: Teplo nemůže samovolně přecházet z tělesa o teplotě nižší na těleso o teplotě vyšší (Clausius). Není možné sestrojit periodicky pracující stroj, který by nezpůsoboval nic jiného, než že by odebíral teplo ze zásobníku a konal tomuto teplu ekvivalentní práci (Kelvin-Planck) Není možné realizovat perpetum mobile druhého řádu. Matematické formulace II. zákona termodynamiky a) Tepelné cykly (Clausiův integrál) znaménko = platí pro vratný cyklus znaménko < pro cyklus nevratný b) Termodynamické děje kde s je měrná entropie [J.kg -1 K -1 ] q měrné teplo, které vyměňuje soustava s okolím znaménko = platí pro vratný děj znaménko > pro nevratný děj c) Termodynamické děje v tepelně izolované soustavě (princip vzrůstu entropie) znaménko = platí pro vratný adiabatický děj znaménko > pro nevratný adibatický děj Pro vratné termodynamické děje dq = T.ds [J.kg -1 ], resp. dq = T.dS [J], kde ds je úplný diferenciál entropie pro nějž lze odvodit (pro ideální plyn) ; ;

1/2 TEPELNÉ OBĚHY PLYNOVÉ Termická účinnost oběhu, a o = q H - q C kde a o je práce oběhu q H q C je teplo přenášené při vyšší teplotě T H je teplo přenášené při nižší teplotě T C Carnotův oběh (přímý) Carnotův oběh (obrácený) tepelné čerpadlo - topný faktor chladící zařízení - chladící faktor Oběhy spalovacích motorů Charakteristické veličiny Kompresní poměr ε, tj. poměr objemů pracovní látky před kompresí a po kompresi. Tlakový poměr π, tj. poměr tlaků po kompresi a před kompresí. Stupeň plnění ϕ, tj. poměr objemů po příevodu tepla a před přívodem tepla Termická účinnost Zážehový motor : Vznětový motor: Plynová turbina :

1/4 REÁLNÉ PLYNY A PÁRY Modely plynů Plyn ideální: c p = konst, c v = konst, p.v = r.t resp. p.v m = R m.t, R m = M.r = 8,31441 J.mol -1.K -1, du = c v.dt, di = c p.dt. Plyn nedokonalý : 1) Měrné tepelné kapacity : c p = c p (t), c v = c v (t). Molové tepelné kapacity:, ; pro dvouatomové plyny obvykle vyhovuje: [kj.kmol -1.K -1 ] Střední hodnoty měrných a molových tepelných kapacit : 2) Stavové rovnice p.v = r.t, p.v m = R m.t, p.v = m.r.t, R m = 8,31441 J.mol -1.K -1. 3) Změna měrné vnitřní energie a entalpie Reálný plyn: 1) Měrné tepelné kapacity: c p = c p (p, t), c v = c v (p,t). 2) Stavové rovnice (poloempirické, empirické) : a) viriální tvar: ; R m = 8,314 J.mol -1.K -1, B 1, B 2..poloempirické "viriální" koeficienty b) Van der Waalsova:, a, b jsou konstanty závislé na druhu plynu. Můžeme je určit např. z p kr, v kr, T kr,

2/4 3) Změna měrné vnitřní energie a entalpie,. V praxi se měrná entalpii určuje z parních tabulek a diagramů, i s a T s, viz. přiložené tabulky, diagramy a software Para. 4) Závislost mezi měrnou entalpií a vnitřní energií Pára : Pára je reálný plyn ve stavu blízkém zkapalnění. Předmětem zájmu je i přechod z kapalného do plynného skupenství a naopak, viz obr. 1 a tabulka T1 V obr. 1 značí: q kap.. měrné teplo kapalinné, l 23 měrné teplo výparné Obr. 1 T-s diagram pro vodu l 23 = ρ + ψ = u''- u ' + p. ( v '' - v ' ), kde ρ = u'' - u ' měrné vnitřní výparné teplo, ψ = p.(v '' - v').měrné vnější výparné teplo, horní index jedna čárka označuje veličiny syté kapaliny, index dvě čárky označuje veličiny syté páry q př měrné teplo přehřívací,

3/4 x m'', m '.. suchost mokré páry hmotnost syté páry resp. syté kapaliny. Kapalina při teplotě varu (sytá kapalina) stav zobrazen na čáře x = 0, určen p nebo t=t 23. Ostatní stavové veličiny jsou pro vodu v tabulce vodní páry, viz příloha. Mokrá pára..oblast ohraničená čarami x = x ' = 0, x = x'' = 1 a tlakem trojného bodu (pro vodu p tr = 0,000612 MPa, t tr = 0,01 C); stav určen p nebo t a suchostí x. Kritický bod H 2 O : p k = 22,13 MPa, t k = 374,15 C. Clausiova - Clapeyronova rovnice : Přehled vzorců pro řešení úloh s použitím parních tabulek a diagramů je uveden v tabulce T1 Tabulka T 1 (0, 1, A, 2, 3 označuje stavy z obr. 1) p 0 1 x 2 3 p = konst T T 0 = 273,15 K T 1 = T 23 T A = T 23 T 2 = T 23 T 3 v v 0 v' v x = v'+x.(v '' - v ' ) v'' v 3 i i 0 = p.v 0 i ' = q k i x = i' + x.l 23 i" = i' + l 23 i 3 = i'' + q př u u 0 = 0(dohoda) u ' = i - p.v' u x = u' + x.ρ u'' = u' + ρ u 3 = i 3 - p.v 3 s s 0 = 0 (dohoda) s s 3 q = q k + l 23 + q př q 0 q = q k + x.l 23 q = q k + l 23 q př = i 3 i Sytá pára stav je zobrazen na čáře x = x'' = 1. Je určen jednou stavovou veličinou, např. p nebo t. Údaje o ostatních veličinách najdeme v tabulce vodní páry v příloze. Přehřátá pára - plyn..oblast vpravo od izobary p = p k = konst a křivky x = x'' = 1. Stav je určen dvěma stavovými veličinami, např. p a t. Měrná tepelná kapacita c p = c p (p,t), pro vodní páru viz obr. 2. Stavové rovnice jsou nejčastěji empirické, např. dříve používaná jednoduchá stavová rovnice dle prof. Stodoly p.v = r*.t, r* = r*(p,t); pro vodní páru viz obr. 3. Tabulka přehřáté vodní páry a i-s diagram vodní páry jsou v příloze. Poznámka: Při řešení stavových změn, zejména při přechodu z kapalné fáze do plynné a naopak, lze využít pouze prvního a druhého zákona termodynamiky a definiční rovnice entalpie (i = u + pv). Kvantitativní vyhodnocení se provádí pomocí citovaných tabulek a diagramů.

4/4 Obr. 2 Obr. 3

1/2 VLHKÝ VZDUCH Vlhký vzduch je směs m v [kg] suchého vzduchu a m p [kg] přehřáté až syté vodní páry, případně m k [kg] vody ve formě kapalné mlhy a m t [kg] vody ve formě ledové mlhy. Suchý vzduch i vodní páru pokládáme za ideální plyny s parametry: c pv = 1,01 kj.kg -1.K -1 ; r v = 0,287 kj.kg -1.K -1 ; c pp = 1,84 kj.kg -1.K -1 ; r p = 0,462 kj.kg -1.K -1. Hmotnost vlhkého vzduchu: m = m v + m p + m k + m t Tlak vlhkého vzduchu: je roven součtu parciálních tlaků suchého vzduchu a vodní páry p = p v + p p [Pa]; (p pmax ) t = p'' = p'' (t). Absolutní vlhkost: [kg.m -3 ] kde V je objem vlhkého vzduchu. Každý plyn ve směsi zaujímá týž objem jako směs V=V v =V p Pro nenasycený a nasycený vlhký vzduch, který obsahuje vodu ve formě páry platí kde ρ p je hustota vodní páry Relativní vlhkost:,. Měrná vlhkost: pro vzduch vlhkostí nenasycený a nasycený (ϕ=1) [kg/kg s.v.] ; [kg/kg s.v.]. Rosný bod t R je teplota, které se dosáhne izobarickým ochlazením vzduchu o stavu p,t na mez sytosti vodní páry.

2/2 ; ; ; Hmotnostní zlomky: ;. Měrná plynová konstanta vlhkého vzduchu:. Entalpie vlhkého vzduchu: vztažená na 1 kg suchého vzduchu a) Nenasyceného vzduchu i = i v +x.i p = c pv.t + x.(c pp.t + l 23 ) [kj/kg s.v.] b) Nasyceného vzduchu i = i v +x.i p = c pv.t + x.(c pp.t + l 23 ) [kj/kg s.v.] c) Vzduchu mlhového o t > 0 C i = i v +x.i p + x k.i k = c pv.t + x.(c pp.t + l 23 ) + x k.c k.t [kj/kg s.v.] d) Vzduchu mlhového o t < 0 C i = i v +x.i p + x t.i t = c pv.t + x.(c pp.t + l 23 ) + x t.(c k.t + l 12 ) [kj/kg s.v.] e) Vzduchu mlhového o t = 0 C i = i v +x.i p + x k.i k + x t.i t = x.l 23 + x t. l 12 [kj/kg s.v.] kde x k je měrná vlhkost vodní mlhy x t měrná vlhkost ledové mlhy. měrné výparné teplo vody l 23 = 2500 kj.kg -1, měrná tepelná kapacita kapalné vodní mlhy c k = 4,187 kj.kg -1.K -1, měrná tepelná kapacita kapalné ledové mlhy c k = 2,09 kj.kg -1.K -1, měrné teplo tuhnutí vody l 12 =-335 kj.kg -1. Podklady pro řešení příkladů: Tabulka nasyceného vzduchu, Molliérův i - x diagram vlhkého vzduchu, viz příloha.

1/3 PROUDĚNÍ PLYNŮ A PAR Základní pojmy Jednorozměrové stacionární adiabatické proudění plynů a par v proudové trubici bez konání technické práce a při zanedbání vlivu vnějšího silového pole je popsáno: a) rovnici kontinuity kde S je průřez trubice b) pohybovou rovnicí, c) zákonem zachování energie,, Pro izoentropický výtok z nádoby, kde stav plynu před výtokem považujeme za klidový (p 0, v 0, T 0, w 0 = 0), při poklesu tlaku na p platí kde i 0 je měrná entalpie pro klidové parametry i je měrná entalpie po izoentropické expanzi na tlak p Pro ideální ply můžeme také odvodit (St.Vénansova-Waltrova rovnice) Maximální hodnota výtokové rychlosti (výtok do vakua) je pak Izoentropická rychlost zvuku v plynech Kritický stav v proudícím plynu je definován v místě, kde w = a = w *, Kritická rychlost pro ideální plyn

2/3 Tato rychlost je dosažena při kritickém tlaku p*, který určíme z kritického tlakového poměru Pro další kritické parametry T* a ρ platí ; Pak : ; Pro jedno-, dvoj- a tříatomové plyny (κ = 1,66; 1,4 a 1,3 ) je: p * /p 0 = 0,4902; 0,5283; 0,5457. Machovo číslo:. Průtok trubicemi nekonstantního průřezu S ( trysky a difuzory ) je popsán větou Hugoniotovou: Konstrukční důsledky jsou patrné z tabulky:. Poznámka: Řešení je odlišné pro případ nerozšiřující se trysky a trysky konvergentně - divergentní (Lavalovy). V prvním případě může tekutina vytékat nanejvýš rychlostí kritickou, pak dochází k zahlcení. Je-li tlakový poměr nižší než kritický, nelze tedy použít rovnice St. Vénantovy - Wantzelovy. Tu použijeme jen pro případ nadkritického tlakového poměru, nebo je-li použito trysky Lavalovy. Průtok tryskami a difuzory se ztrátami: je naznačen na obr. 1 pro trysku a na obr. 2 pro difuzor. Ztráty vyjadřujeme pomocí termodynamické účinnosti η td, rychlostního součinitele ϕ nebo ztrátového součinitele ζ. a) Tryska : ;.

3/3 b) Difuzor: Obr. 1 Obr. 2

PŘENOS TEPLA Přenos tepla vedením (kondukce) Hustota tepelného toku je podle Fourierova zákona [W.m -2 ], a tepelný tok [W], kde λ je tepelná vodivost [W.m -1.K -1 ] a grad T je největší změna teploty co do směru vztažená na jednotku délky. Teplotní pole je obecně popsáno diferenciální rovnicí: kde je teplotní vodivost tekutiny a [W.m -3 ] je teplo vznikající v jednotce objemu za jednotku času. STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA: a) Rovinnou stěnou o ploše S [m 2 ]: [W], kde t st1, t st2 jsou teploty povrchu stěn ve ( C) a δ je tloušťka stěny. Ve složené rovinné stěně z n vrstev bude tepelný tok dán vztahem [W]. b) Válcovou stěnou: [W], kde l je délka v metrech a d 1, d 2 jsou vnitřní a vnější průměry v metrech. Tepelný tok složenou válcovou stěnou z n vrstev je dán vztahem, kde λ i jsou součinitelé tepelné vodivosti jednotlivých vrstev. Často používaný tepelný tok na jednotku délky válce [W.m -1 ] 1/3

2/3 Přenos tepla prouděním (konvekce) Hustota tepelného toku při konvekci se určí z Newtonova ochlazovacího zákona: resp. tepelný tok: [W.m -2 ] [W] kde α[w.m -2.K -1 ] je součinitel přestupu tepla určovaný z kriterialních rovnic, t st je teplota stěny, t t je teplota tekutiny a S je velikost teplosměnné plochy. Kriteriální rovnice nacházíme v literatuře ponejvíce ve tvaru Nu = f(re, Gr, Pr,.), kde je Nusseltovo číslo je Reynoldsovo číslo je Prandtlovo číslo je Grashofovo číslo je Pecletovo číslo V těchto vztazích je L je charakteristický rozměr, ν je kinematická viskozita, η je dynamická viskozita, γ je součinitel objemové roztažnosti, t je teplotní diference stěny a okolní tekutiny. Kriteriální rovnice mají různý tvar pro případy konvekce beze změny skupenství, kdy rozlišujeme případy volné a nucené konvekce. Podobně i pro případy konvekce se změnou skupenství rozlišujeme kriteriální rovnice pro var, resp. kondenzaci. Často používaná rovnice pro přirozenou konvekci v neomezeném prostoru má tvar Nu = C.(Gr.Pr) n, kde konstanty C a n závisí na hodnotě součinu Gr.Pr podle tabulky: Gr.Pr C n < 1.10-3 0,45 0,0 1.10-3 5.10 2 1,18 0,125 5.10 2 2.10 7 0,54 0,25 2.10 7 1.10 13 0,195 0,333 Pro nucené proudění v trubce nacházíme kriteriální rovnice nejčastěji ve tvaru Nu = f (Re, Pr, L/d) Nu = C.Re m.pr n.(l/d) p a příslušné konstanty C, m, n, p závisí na režimu proudění. Přenos tepla ve výměnících (kombinace kondukce a konvekce-prostupu tepla) Tepelný tok přenášený prostupem přes dělící stěnu výměníku tepla počítáme z rovnice: [W], resp. [W.m -2 rovinná resp. W.m -1 válcová stěna]

3/3 kde k je součinitel prostupu tepla. Pro rovinnou, resp. složenou rovinnou stěnu z n vrstev určíme k: [W.m -2.K -1 ] kde α 1 a α 2 jsou součinitele přestupu tepla na obou stranách desky. Pro válcovou, resp. složenou válcovou stěnu z n vrstev, s poloměry vrstev R 1 < R 2 < R 3 <..R n+1 [W.m -1.K -1 ] Veličina představuje střední teplotní rozdíl, který v případech, kdy se mění teplota medií podél teplosměnné plochy je nazýván středním logaritmickým teplotním spádem [ C] kde t' je teplotní rozdíl médií na vstupu do výměníku a t" je teplotní rozdíl mezi médii na výstupu z výměníku. Přenos tepla zářením (radiace) Zářivost dokonale černého tělesa E o určíme ze Stefan-Boltzmannova zákona [W.m -2 ] Pro šedá tělesa platí, Kde ε je poměrná zářivost šedého tělesa, a je jeho absorptace. Pro výměnu tepla zářením mezi rovnoběžnými stěnami o ploše S a teplotách T 1 a T 2 platí [W], kde Pro případ, kdy jeden povrch o velikosti S 2 obklopuje druhý povrch o velikosti S 1 platí [W], kde