Cvičení z termomechaniky Cvičení 8.

Transkript

1 Příklad Vzduch o tlaku,5 [MPa] a teplotě 27 [ C] vytéká Lavalovou dýzou do prostředí o tlaku 0,7 [MPa]. Nejužší průřez dýzy má průměr 0,04 [m]. Za jakou dobu vyteče 250 [kg] vzduchu a jaká bude výtoková rychlost? Vstupní rychlost zanedbejte. Dáno: T = 300,5 [K]; =,5.0 6 [Pa]; p 2 = 0,7.0 6 [Pa], r = 287,04 [J. kg K ], =,4; d n = 0,04 [m]; m v = 250[kg] Na začátku je dobré si připomenout skutečnosti, které jsme si již dříve napsali: Plyn, se kterým pracujeme, je ideální plyn a je tedy bez vnitřního tření Teplo se neodvádí ani nepřivádí proudícímu médiu, tedy jde o adiabatický děj dq=0. Technická práce se nepřivádí ani neodvádí da t=0 Proudění je jednorozměrné dy=0 V zadání máme uvedeno, že se jedná o Lavalovu dýzu, tedy dýza má konvergentně-divergentní (zužující - rozšiřující tvar. Z toho lze předpokládat, že v dýze je nadkritický tlakový spád, ale pro úplnost si to ověříme. Kritický tlakový spád lze vyjádřit dle následující rovnice: + Pro tlakový poměr dýzy, která je popsána v zadání platí: Jelikož platí následující relace: β = p 2 = 0,7.06,5.0 6 = 0,078 β < β Můžeme tedy prohlásit, že se jedná o nadkritický tlakový spád. Z hlediska výpočtu to znamená, že v dýze se v nejužším průřezu dosáhne kritických hodnot, tedy kritické rychlosti (rychlost zvuku a v tomto průřezu dosáhneme i maximálního průtokového množství vzduchu v celé dýze. Tvar Lavalovy dýzy navíc umožňuje, aby se rychlost proudu zvětšovala, tedy výstupní rychlost očekáváme nadzvukovou. Výtokovou rychlost si můžeme ze zadání už dle známé rovnice vypočítat:. r w 2 = 2.. T ( ( p 2,4. 287,04 = ,5 ( (0,7,4,5,4,4 = 558,68[m. s ]

2 Teď můžeme přistoupit výpočtu první úlohy ze zadání. Za jakou dobu vyteče 250 [kg] vzduchu. Čas, za který vyteče 250 [kg] je dán průtokovým množstvím vzduchu. τ = m v m Maximální hmotností průtok je dán u kritického tlakového spádu průtokem přes nejužší průřez. m = ρ k. S n. w k Z rovnice plyne, že pro výpočet hmotnostního průtoku je potřebné dopočítat hustotu a rychlost v daném průřezu. V obou případech se jedná o kritické parametry. Hodnotu hustoty v kritickém průřezu lze vypočítat z rovnice adiabaty, jelikož jsme si na začátku zavedli podmínku, že se nepřivádí ani nedovádí žádné teplo dq=0. Z rovnice adiabaty si pak odvodíme:. v = p k. v k Jak je vidět, objevila se tady ještě jedna proměnná. Hodnota kritického tlaku. Ta se dá jednoduše dopočítat z kritického tlakového spádu, jelikož platí: + p k =. β =, ,528 = 0, [Pa] Tedy již můžeme napsat předchozí rovnici adiabaty do následujících tvarů: ρ = p k ρ ; ρ k k ρ = p k Pro výpočet hustoty v kritickém průřezu můžeme napsat: ρ k = ρ. ( k =. β r. T Pro kritickou rychlost můžeme napsat: w k = 2.. r. T + = ; ( ρ k = p k ρ ; ρ k ρ = ( p k, , ,5. 0,528,4 =,033[kg. m 3 ] = 2.,4.287,04.300,5,4 + = 37,04 [m. s ] Teď je možno dopočítat hmotnostní průtok nejužším průřezem dýzy: m = ρ k. S n. w k = ρ k. π. d n 2 4. w π. 0,042 k =, ,04 = 4,4[kg. s ] 4 A tedy i čas, za který proteče 250 [kg] vzduchu přes dýzu: τ = m v = 250 = 56,82 [s] m 4,4

3 Příklad 2 Navrhněte dýzu pro tlakový poměr 0,8. Dýzou budou protékat 4 [kg] vzduchu za sekundu. Počáteční tlak vzduchu je 3 [MPa] o teplotě 300 [ C]. Určete nejmenší průřez dýzy. Vstupní rychlost zanedbejte. Dáno: T = 573,5 [K]; = [Pa]; p 2 = β = 0,8[ ], r = 287,04 [J. kg K ], =,4; m = 4[kg. s ] Na začátku je dobré si připomenout skutečnosti, které jsme si už dříve napsali: Plyn, se kterým pracujeme, je ideální plyn a je tedy bez vnitřního tření Teplo se neodvádí ani nepřivádí proudícímu médiu, tedy jde o adiabatický děj dq=0. Technická práce se nepřivádí ani neodvádí da t=0 Proudění je jednorozměrné dy=0 Jelikož máme navrhovat průměr dýzy, musíme začít od rovnice kontinuity, protože jenom v ní se nachází nepřímo rozměr dýzy: π. d2 m = ρ. S. w = ρ. 4. w Z toho si pak můžeme vyjádřit průměr dýzy: d = ρ. π. w Všimněme si, že jednotky jsou bez indexů. Je to z důvodu, že v tomto stádiu řešení nemůžeme napsat, pro kterou část dýzy budeme počítat tento rozměr. Nejprve si musíme určit tlakový spád. Začneme určením kritického tlakového spádu: + Tlakový spád na dýze daný ze zadání je: β = p 2 = 0,8 Jelikož vzájemná relace mezi kritickým tlakový spádem a spádem je následující: β > β Tak můžeme prohlásit, že jde o podkritický tlakový spád, tedy můžeme navrhovat dýzu zúženou a indexy u veličin při výpočtu rozměrů budou následující: d 2 = ρ 2. π. w 2

4 Dle rovnice a ze zadání nám zbývá dopočítat hustotu a rychlost na výstupu ze zúžené dýzy. Hustotu na výstupu z dýzy můžeme odvodit z rovnice adiabaty:. v = p 2. v 2 ρ = p 2 ρ ; ρ 2 2 ρ = p 2 ; ( ρ 2 ρ = p 2 ; ρ 2 = ( 2 ρ ρ 2 = ρ. ( 2 =. β = r. T 287, ,5. 0,8,4 = 5,55 [kg. m 3 ] Rychlost na výstupu z dýzy určíme vztahem: w 2 = 2.. r. T ( ( p 2 = 2.,4. 287,04,4. 573,5 ( 0,8,4 = 266,7 [m. s ],4 Průměr dýzy pro hmotnostní průtok 4 [kg.s- ] je pak určen: 4. 4 d 2 = = = 0,035 [m] ρ 2. π. w 2 5,55. π. 266,7

5 Příklad 3 Dusík z uzavřené nádoby o tlaku 0,5 [MPa] a teploty 50 [ C] vytéká tryskou do prostoru o tlaku 0, [MPa]. Vypočítejte, za jakou dobu vyteče 200 [kg] dusíku, jestliže nejužší průměr dýzy je 50 [mm]. Určete kritický tlakový poměr pro dusík (N 2 dvouatomový plyn, molární hmotnost 2x4 kg.kmol - Stanovte, zda se jedná o dýzu rozšířenou nebo zúženou Určete výtokovou rychlost z dýzy Vypočítejte hustotu v nejužším průřezu dýzy Stanovte hmotnostní průtok dýzou a čas výtoku. Dáno: = 0,5.0 6 [Pa]; T = 423,5 [K]; p 2 = 0,.0 6 [Pa]; m = 200 [kg]; d n = 0,05[m]; M = 2.0,04 [kg. mol ] Na začátku je dobré si připomenout skutečnosti, které jsme si už dříve napsali: Plyn, se kterým pracujeme, je ideální plyn a je tedy bez vnitřního tření Teplo se neodvádí ani nepřivádí proudícímu médiu, tedy jde o adiabatický děj dq=0. Technická práce se nepřivádí ani neodvádí da t=0 Proudění je jednorozměrné dy=0 V první řade je dobré určit si, s jakými konstantami budeme pracovat. Jelikož se jedná o dvouatomový plyn, tak hodnota Poissonovy konstanty je: =,4 Hodnotu specifické plynové konstanty pro dusík je třeba si odvodit. Využijeme rovnice pro výpočet specifické plynové konstanty ( Pozor, aby jste počítali v základních jednotkách. r = R M = 8, ,04 = 296,93 [J. kg K ] V dalším kroku musíme určit, o jakou dýzu se jedná. Tím zároveň zjistíme, kde leží nejužší průřez dýzy. V případě, že tlakový spád ze zadání je menší než kritický tlakový spád, tak se jedná o rozšířenou dýzu. V případě, že tlakový spád ze zadání je větší než kritický tlakový spád, jedná se o zúženou dýzu. Tlakový spád ze zadání je dán následovně: β = p 2 0,. 06 = = 0,67 [ ] 0,5.06 Kritický tlakový spád pro dýzu s nulovou rychlostí na vstupu je dána rovnicí: + Jelikož vzájemná relace mezi kritickým tlakový spádem a spádem je následující β > β

6 můžeme prohlásit, že tlakový spád v dýze je podkritický a bude se tedy jednat o zúženou dýzu. Nejužší průřez bude tedy na konci dýzy. V tomto případě tedy rychlost na výstupu z dýzy nedosáhne rychlosti zvuku: w 2 = 2.. r. T ( ( p 2 = 2.,4. 296,93,4. 423,5 ( 0,67,4 = 30,77[m. s ],4 Hustotu na výstupu z dýzy můžeme odvodit z rovnice adiabaty:. v = p 2. v 2 ρ = p 2 ρ ; ρ 2 2 ρ = p 2 ; ( ρ 2 ρ = p 2 ; ρ 2 = ( 2 ρ ρ 2 = ρ. ( 2 =. β 0,5.0 6 = r. T 296, ,5. 0,67,4 = 0,897 [kg. m 3 ] Hmotnostní průtok se určí pro parametry na výstupu z dýzy za pomoci rovnice kontinuity: m = ρ 2. S 2. w 2 Jelikož je v zadání udáván průměr dýzy, tak je možné předpokládat, že průřez dýzy bude kruhového tvaru. Navíc u zúžené dýzy je nejužší průřez právě na konci dýzy. Rovnice kontinuity se tedy mírně upraví: m = ρ 2. S 2. w 2 = ρ 2. π. d n 2 4. w π. 0,052 2 = 0, ,77 = 0,546 [kg. s ] 4 Čas výtoku se pak jednoduše vypočte dle rovnice: τ = m N 2 m = 200 = 366,3 [s] 0,546

7 Příklad 4 Určete průměr otvoru, kterým vytéká vzduch o hmotnostním průtoku 0,02 [kg.s - ] z nádoby do atmosféry o tlaku 0, [MPa]. V nádobě je tlak 0,25 [MPa] a teplota 320 [ C]. Určete kritický tlakový poměr pro vzduch (dvouatomový plyn Stanovte, za se jedná o dýzu rozšířenou nebo zúženou Určete výtokovou rychlost z dýzy Vypočítejte hustotu v nejužším průřezu dýzy Dáno: = 0,25 [MPa]; T = 593,5[K] ; m = 0,02 [kg. s ] ; p 2 = 0, [MPa] ; =,4 [ ] r = 287,04 [J. kg K ] Na začátku je dobré si připomenout skutečnosti, které jsme si už dříve napsali: Plyn, se kterým pracujeme, je ideální plyn a je tedy bez vnitřního tření Teplo se neodvádí ani nepřivádí proudícímu médiu, tedy jde o adiabatický děj dq=0. Technická práce se nepřivádí ani neodvádí da t=0 Proudění je jednorozměrné dy=0 V dalším kroku musíme určit, o jakou dýzu se jedná. Tím zároveň zjistíme, kde leží nejužší průřez dýzy. V případě, že tlakový spád ze zadání je menší než kritický tlakový spád, tak se jedná o rozšířenou dýzu. V případě, že tlakový spád ze zadání je větší než kritický tlakový spád, jedná se o zúženou dýzu. Tlakový spád ze zadání je dán následovně: β = p 2 = 0,.06 0, = 0,4 Kritický tlakový spád pro dýzu s nulovou rychlostí na vstupu je dána rovnicí: + Jelikož platí následující relace: β < β můžeme prohlásit, že tlakový spád v dýze je nadkritický a bude se tedy jednat o rozšířenou dýzu. Nejužší průřez bude tedy mezi vstupem a výstupem dýzy. V tomto průřezu zároveň proud nabyde kritických hodnot, tedy kritické rychlosti i tlaku. Zároveň tento průřez limituje maximální množství látky, která může protéct

8 dýzou. Když tedy chceme, aby dýzou protékalo 0,02 [kg.s - ], musíme navrhnout právě taký průřez, aby to umožňoval a zároveň aby v tomto průřezu proud nabyl kritických hodnot. Budeme tedy vycházet z rovnice kontinuity pro kritický průřez: m = ρ k. S k. w k Jelikož je v zadání udáván průměr dýzy, tak je možné předpokládat, že průřez dýzy bude kruhového tvaru. m = ρ k. S k. w k = ρ k. π. d k 2 4. w k Z toho je pak možné vyjádřit průměr dýzy pro dané hmotnostní množství vzduchu při kritických parametrech: d k = π. ρ k. w k Zde je vidět, které další veličiny je nutné dopočítat. Hodnotu hustoty v nejužším průřezu dýzy je možné vyjádřit z rovnice adiabaty:. v = p k. v k Zde ale chybí hodnota kritického tlaku, kterou si můžeme jednoduše odvodit: p k =. β = 0, [Pa] Pak úpravami rovnice adiabaty se dostaneme na tvar pro vyjádření hustoty v kritickém průřezu: ρ = p k ρ ; ρ k k ρ = p k ρ k = ρ. ( k =. β r. T = ; ( ρ k = p k ρ ; ρ k ρ = ( p k 0, , ,5. 0,528,4 = 0,93 [kg. m 3 ] Pak je nutné vypočítat hodnotu kritické rychlosti. Rovnice pro nulovou rychlost na vstupu je: w k = 2.. r. T + = 2.,4. 287, ,5,4 + = 445,68 [m. s ] Průměr dýzy pro dané hmotnostní množství vzduchu při kritických parametrech: 4. 0,02 d k = = = 7,834 [mm] π. ρ k. w k π. 0, ,68