Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. XIV. Název: Studium teplotní závislosti povrchového napětí Pracoval: Lukáš Vejmelka stud. skup. FMUZV (73) dne 3.4.2013 Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická část 0 1 Výsledky měření 0 8 Diskuse výsledků 0 4 Závěr 0 1 Seznam použité literatury 0 1 Celkem max. 20 Posuzoval: dne
1 Zadání úlohy 1. Změřte teplotní závislost povrchového napětí destilované vody σ v rozsahu teplot od 23 C do 70 C metodou bublin. 2. Měřenou závislost znázorněte graficky, do grafu vyneste chybové úsečky a tabulkové hodnoty. Závislost aproximujte kvadratickou funkcí. 2 Teoretický úvod měření Povrchová vrstva, kterou rozumíme tu část povrchu kapaliny na rozhraní, kde sféry molekulového působení molekul zasahují mimo objem kapaliny, vytváří v kapalině v důsledku nerovnoměrného rozložení na ně působících sil tzv. kohézní tlak. Ten je původcem povrchových jevů. Jejich důsledkem je, že se povrchová vrstva kapalin chová jako pružná blanka a snaží se zaujmout objem s co nejmenším povrchem. Je tedy zřejmé, že povrch kapaliny má určitou povrchovou energii a snaží se tuto energii zmenšením povrchu snížit, což je v souladu s tím, že rovnovážnému stavu soustavy odpovídá minimum potenciální energie [1]. Veličina, která charakterizuje míru napjatosti pružné blanky, se nazývá povrchové napětí σ. Velikost kohézního tlaku závisí na hustotě částic kapaliny a prostředí, ve kterém se nachází. I povrchové napětí odpovídá dvojici kapaliny a styčnému prostředí. V našem případě to bude voda a vzduch. Zavedení potřebných veličin a vztahů Bude-li nás zajímat stav napjatosti v určitém bodě povrchové vrstvy kapaliny (obecně plocha), protneme povrchovou plochu sečnou rovinou α rovnoběžnou s tečnou rovinou ke zkoumanému bodu V. Nyní vedeme rovinu β kolmou k předešlé rovině tak, aby procházela zkoumaným bodem V. Tato rovina protne rovinou α vytvořený vrchlík ve křivce C. Nyní rovinu α posuneme tak, aby byla co nejblíže bodu V, ale bod V nebyl jejím prvkem. Tímto fyzikálně dostatečně opatrným limitním přechodem se křivka C přetvoří v rovný délkový element délky dl. V takto posunuté rovině β budou kolmo k elementu dl působit opačně orientované stejně veliké síly df. Napětí v tomto bodě v určeném směru pak vyjáříme jako [1] σ = df dl. (1) Zavedením povrchové energie a odvozením porovnávající elementární přírůstek povrchové energie s elementární změnou objemu kulové bubliny lze pro přetlak uvnitř bubliny s jednou povrchovou vrstvou psát vztah [2] p = 2σ r. (2) Připomeňme, že hydrostatický tlak v hloubce h kapaliny o hustotě ρ v homogenním tíhovém poli se zrychlením g je p h = hρg. (3) V tomto případě budeme měřit povrchové napětí σ vody v závislosti na teplotě. Předpokládáme, že povrchové napětí se bude s teplotou snižovat. Metoda bublin Aspirátor vytváří v soustavě podtlak. Na konci kapiláry o poloměru r 0, která ústí ve vzdálenosti h pod hladinou, se tak vytváří vzduchová bublina. Ta se odtrhne, dosáhne-li velikost podtlaku v soustavě, který lze měřit mikromanometrem, součtu kapilárního přetlaku a hydrostatického tlaku [2], tedy 2
p m = 2σ r 0 + hρg. (4) Při vytváření bubliny podtlak roste, až dosáhne maximální hodnoty p m, bublina se odtrhne a tlak v soustavě poklesne. Na mikromanometru tedy nejprve budeme sledovat stoupání sloupce do maximální hodnoty d, poté sloupec poklesne. Zajímá nás teplotní závislost. Vzorek budeme při měření zahřívat na laboratorním ohřívači s magnetickým mícháním a budeme sledovat hodnoty d na mikromanometru při teplotách vzorku t. 2.1 Použité přístroje, měřidla, pomůcky Kapalinový mikromanometr UMK, aspirátor, měrná baňka, zátka, kapilára, teploměr, magnetická míchačka MM2, míchadlo, přítlačné svorky, stojan a kádinka 1 l. Tabulka 1: Použité měřící přístroje a jejich mezní chyby měření. Měřidlo Veličina[jednotka] Mezní chyba Pozn. Mikromanometr d[m] 0,5 10 3 dílek Teploměr t[ C] 0,5 dílek 2.2 Důležité hodnoty, konstanty, vlastnosti Důležité hodnoty pro výpočet nebo látkové konstanty pro porovnání výsledků. ˆ Tíhové zrychlení g = 9,81 m s 2 [3] ˆ Povrchové napětí destilované vody při 20 C: σ 20 = 72,75 10 3 N m 1 [3] ˆ Povrchové napětí destilované vody při 70 C: σ 70 = 64 10 3 N m 1 [3] ˆ Hustota vody v manometru při teplotě v laboratoři 23,2 C: ρ m = 997,49 kg m 3 [4] 2.3 Popis postupu vlastního měření Příprava, zahájení měření Ustavíme podstavec mikromanometru do vodorovné roviny. Kádinku s míchadlem napustíme vodou a zanoříme do ní baňku se zkoumaným vzorkem. Zátkou uzavřeme aspirátor. Povolíme výpustní ventil aspirátoru a výtok dle potřeby zregulujeme. Zapneme míchání a posléze i topné těleso. Odhad očekávaných změn tlaku p m Celková změna maximálního podtlaku v soustavě při změně teploty z 20 C na 70 C na základě tabelovaných hodnot (r 0 = 0,28 mm) je p m,70 20 = 2 (. σ r 70 σ ) 20. = 64 Pa. 0 Této změně tlaku odpovídá změna výšky sloupce vody v mikromanometru při pokojové teplotě o přibližně 6,5 mm. Bude-li rameno mikromanometru s vodorovinou svírat úhel 30 bude maximální rozdíl maxim délek sloupce d dvojnásobný, tedy přibližně 13 mm. 3
Vlastní měření Sledujeme stupnici mikromanometru a při změně d o půl milimetru odečítáme teplotu vzorku. Data odečítáme v zadaném oboru teplot 20 C 70 C. Při měření dáváme pozor, aby byly stále vytvářeny vzduchové bubliny. V nejnutnějším případě pak zregulujeme odtok vody z aspirátoru. 3 Výsledky měření 3.1 Laboratorní podmínky Teplota v laboratoři: 23,2 C Atmosférický tlak: 985,8 hpa Vlhkost vzduchu: 22,9 % 3.2 Způsob zpracování dat Výpočet povrchového napětí Pro každou hodnotu maximální délky sloupce d na mikromanometru odpovídající teplotě t vzorku vypočítáme povrchové napětí vody za použití vztahu (4). V něm zanedbáme příspěvek hydrostaticého tlaku (chyba viz diskuze). Uvědomíme-li si, že měřený podtlak pro mikromanometr s ramenem svírající s vodorovnou rovinou úhel α s hustotou kapaliny sloupce ρ m délky d lze vyjádřit vztahem p m = sin αdρ m g, lze pro povrchové napětí s využitím znalosti průměru D = 2r 0 kapiláry psát σ = 1 4 Dρ mgd sin α. (5) Analýza dat Vykreslíme závislost σ = f(t). Daty regresně proložíme polynom druhého stupně. Rovnice regresní křivky bude představovat nejpravděpodobnější závislost měřené veličiny daného vzorku. Do grafu pro porovnání zakreslíme i tabelované hodnoty povrchového napětí pro destilovanou vodu. Určení nejistot měření Odečítání hodnot z teploměru a mikromanometru je zatíženo chybou, viz tabulka 1. Stejně tak hodnota průměru kapiláry D je zatížena chybou. Pro každou hodnotu σ v závislosti vypočítáme chybu na základě zákona kvadratického hromadění chyb. Pro relativní chybu pišme ρ σ = ρ 2 D + ρ2 d, P 0,68. (6) Absolutní chybu, představující délku chybové úsečky ve výsledném grafu závislosti σ = f(t), vypočítáme jako ε σ = σ ρ σ. (7) 3.3 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty i s výpočtem σ a nejistot hodnot ε σ jsou zachyceny v tabulce 2. 4
Tabulka 2: Naměřená data, výpočet povrchového napětí. Č.m. d[mm] t[ C] σ[mn m 1 ] ε σ [mn m 1 ] 1. 114,0 15,5 76,7 2,8 2. 113,0 17,5 76,0 2,8 3. 112,5 18,5 75,7 2,8 4. 112,0 19,5 75,3 2,8 5. 111,5 21,5 75,0 2,7 6. 111,0 22,0 74,7 2,7 7. 110,5 23,4 74,3 2,7 8. 110,0 24,8 74,0 2,7 9. 109,5 26,0 73,7 2,7 10. 109,0 27,5 73,3 2,7 11. 108,5 29,5 73,0 2,7 12. 108,0 30,0 72,7 2,7 13. 107,5 32,5 72,3 2,7 14. 107,0 33,5 72,0 2,6 15. 106,0 36,5 71,3 2,6 16. 105,5 38,0 71,0 2,6 17. 105,0 39,0 70,6 2,6 18. 104,5 40,5 70,3 2,6 19. 104,0 41,5 70,0 2,6 20. 103,5 43,5 69,6 2,6 21. 102,5 44,5 69,0 2,5 22. 101,5 45,5 68,3 2,5 23. 101,0 46,5 67,9 2,5 24. 100,5 48,0 67,6 2,5 25. 100,0 48,5 67,3 2,5 26. 99,0 50,5 66,6 2,4 27. 98,5 51,0 66,3 2,4 28. 99,0 53,0 66,6 2,4 29. 98,6 54,5 66,3 2,4 30. 98,0 55,5 65,9 2,4 31. 97,5 60,0 65,6 2,4 32. 97,0 63,5 65,3 2,4 33. 98,0 64,5 65,9 2,4 34. 97,5 67,0 65,6 2,4 35. 97,0 67,0 65,3 2,4 36. 97,0 68,0 65,3 2,4 37. 97,0 69,5 65,3 2,4 38. 96,5 70,0 64,9 2,4 5
Změřené / odečtené hodnoty / hodnoty zadání Průměr kapiláry: D = (0,55 ± 0,02) mm, Sklon mikromanometru: α = 30. 3.4 Zpracování dat a číselné výsledky Výpočet povrchového napětí σ Povrchové napětí σ při teplotě t z naměřených dat v tabulce 1 vypočítáme pomocí vztahu (5). Nejistotu určení pomocí vztahů (6) a (7). Relativní chybu určení průměru kapiláry vypočítáme ze zadané nejpravděpodobnějí hodnoty a její odchylky. Chybu určení d vypočítáme z dat tabulky 1. Kvadratický fit naměřených dat Vykresleným grafem σ = f(t) proložíme regresní polynomální křivku druhého stupně. Výstupní data fitu z číselných dat programu Origin kde ˆ A = (83 ± 3) 10 3 N m 1, ˆ B 1 = ( 4 ± 1) 10 4 N m 1 C 1, ˆ B 2 = (2 ± 1) 10 6 N m 1 C 2. Tabelované hodnoty pro destilovanou vodu σ = A + B 1 t + B 2 t 2, Do grafu zakreslíme i tabelované hodnoty povrchového napětí destilované vody, viz tabulka 3 Tabulka 3: Tabelované hodnoty σ pro vodu. Teplota t[ C] Povrchové napětí σ[mn m 1 ] 15 73,5 20 72,7 25 72,0 30 71,2 40 69,6 50 67,9 60 66,2 70 64,0 3.5 Číselné výsledky měření Nejpravděpodobnější naměřená teplotní závislost povrchového napětí zkoumaného vzorku byla statisticky určena ( ) σ(t) = 2 10 3 {t} 2 4 10 1 {t} + 83 mn m 1, kde {t} značí číselnou hodnotu veličiny t v jednotkách SI. 6
3.6 Grafické výsledky měření Graf závislosti σ = f(t) s chybovými úsečkami, regresní proloženou křivkou, jejíž rovnice je uvedena v části číselné výsledky měření, je v grafu 1 přiloženém k protokolu. V grafu jsou zakresleny i tabelované hodnoty pro destilovanou vodu pro porovnání průběhu teplotní závislost povrchového napětí zkoumaného vzorku a tabelované destilované vody. K protokolu přiložené listy ˆ Graf 1: Závislost povrchového napětí vody na teplotě ˆ Poznámkový a pracovní list s naměřenými daty 4 Diskuze výsledků Dle grafu 1, vyjma první hodnoty, tabelované velikosti povrchového napětí destilované vody leží v oblastech určených chybovými úsečkami naměřených hodnot zkoumaného vzorku. Regresně proložená parabola má koeficient u kvadratického členu kladný, zatímco stejný koeficient tabelované závislosti je záporný. Zaměřili bychom-li se na oblast závislosti v rozmezí teplot 23 C 55 C, znaménko zmíněného koeficientu regresně proložené paraboly by zřejmě odpovídalo. Můžeme usuzovat, že mimo tuto oblast se ve vyšší míře uplatňují jiné vlivy, např. v souvislosti se stářím může vzorek obsahovat více nečistot, které chování povrchové vrstvy ve vyšších teplotách ovlivňují. Při měření ve vyšších teplotách, viz graf, docházelo k nemonotónním změnám hodnoty d a tedy kolísala i hodnota σ. Při měření, resp. výpočtu, zanedbáváme hydrostatický příspěvek k tlaku v rovnici (4). Odhadnemeli zanoření kapiláry h = 1 mm, odpovídá zanedbanému tlaku přibližně hodnota 10 Pa. Dosazením do vztahu (2) zjistíme, že takovému tlaku odpovídá povrchové napětí 1,4 mn m 1. Celé měření je zatíženo systematickou chybou přibližně 2 %. Naměřené hodnoty jsou podhodnoceny. Konkrétní korekce jsou obtížné vzhledem k nepřesné znalosti zanoření kapiláry. Zanoření se s roustoucí teplotou vzorku v důsledku roztažnosti kapaliny navíc mění, ve výpočetním vztahu zanedbaného tlaku dokonce na teplotě závisí hustota. Další nepřesnosti přináší vznik shluku bublin a jejich případné nerovnovážné vytváření. Bubliny se mohou z hlediska tlaku ovlivňovat a narušovat výsledky. Tato záležitost mohla být jedním z důvodů nemonotónního průběhu σ ve vyšších teplotách. Graf 1 jasně ukazuje, že povrchové napětí σ s roustoucí teplotou klesá. Kvadratická závislost prokazatelně vzhledem k velkým nejistotám regresních koeficientů ověřena nebyla. Navíc oproti očekávané konkávitě je proložená závislost konvexní. To může být částečně způsobeno započítáním hodnot pod určeným teplotním rozsahem (může selhávat metoda), dále pak stařím vzorku destilované vody. Pro lepší posouzení přesnosti metody by bylo dobré měřit reálnou destilovanou vodu a dle výsledku posoudit, v kterých teplotách dává metoda dobré výsledky a v kterých nikoli. S těmito znalostmi by pak byl přístup k posuzování chyb a korekci naměřených dat mnohem snazší. 5 Závěr Povrchové napětí vody σ s roustoucí teplotou ve zkoumaném rozsahu teplot klesá. Teplotní závislost povrchového napětí měřeného vzorku vody na teplotě nejlépe vystihuje regresní rovnice ( ) σ(t) = 2 10 3 {t} 2 4 10 1 {t} + 83 mn m 1, {t} (20, 70). Přestože je nejistota měření u nejmenších hodnot až přibližně 5 %, měření ukazuje, že zjišťování hodnoty povrchového napětí metodou bublin je poměrně jednoduché a dává orientačně dobré hodnoty. 7
Seznam použité literatury [1] Bakule, Svoboda: Molekulová fyzika. Academia, Praha 1922, str. 199-202. [2] H. Valentová: Fyzikální praktikum, studijní text, MFF UK. (5.4.2013). http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_114.pdf [3] Mikulčák, J a kol: Matematické fyzikální a chemické tabulky. Prometheus, Praha 1988. [4] ONLINE: Density of water by temperature. (5.4.2013) http://www2.volstate.edu/chem/density_of_water.htm 8