8. pln svazy. Svaz A se naz v distributivn, pokud pro libovoln prvky a; b; c 2 A plat

. 8. pln svazy Svaz A se naz v distributivn, pokud pro libovoln prvky a; b; c 2 A plat a (b ^ c) = (a b) ^ (a c) Lemma 8.1. Bu A distributivn svaz. Pak pro libovoln prvky a; b; c 2 A plat a ^ (b c) = (a ^ b) (a ^ c): D kaz. Z distributivn ho z kona plyne, e (a ^ b) (a ^ c) = ((a ^ b) a) ^ ((a ^ b) c): Prvn z vorka v razu vpravo je z ejm rovna a. Pou ijeme-li na druhou z vorku vpravo distributivn z kon, dostaneme, e (a ^ b) (a ^ c) = a ^ ((a c) ^ (b c)) = (a ^ (a c)) ^ (b c): Pon vad prvn z vorka vpravo je rovna a, d kaz je ukon en. Lemma 8.2. Libovoln line rn uspo dan mno ina je distributivn svaz. D kaz. P edev m si uv domme, e libovoln line rn uspo dan mno ina A je svaz. Nech a; b; c 2 A. P edpokl dejme, e b c (v opa n m p pad je d kaz analogick ). Pak b ^ c = b. Pokud a b, pak ob strany distributivn ho z kona jsou rovny b. Pokud b a c, ob strany jsou rovny a. Kone n, pokud c a, ob strany se rovnaj a. V libovoln m distributivn m svazu plat (a ^ b) (c ^ d) = (a c) ^ (a d) ^ (b c) ^ (b d): Ov en se provede opakovanou aplikac distributivn ho z kona. pln svaz A se naz v pln distributivn, pokud v nerovnosti (1) ^ (viz kapitola 6.) v dy plat rovnost. a ij j2j i f 2F ^ a if (i) V ta 8.3. Libovoln pln line rn uspo dan mno ina je pln distributivn. D kaz. V me, e v dy plat nerovnost (1). Ozna me jej levou stranu x a pravou y. P edpokl dejme, W e x > y. P edpokl dejme d le, e neexistuje prvek x > z > y. Pon vad x a ij pro v echna i 2 I, pro libovoln i 2 I existuje j2j V f(i) 2 J i tak, i e y < a if (i), t.j., x a if (i). Pro takto vznikl f 2 F plat a if (i) x > y, co je spor. Tedy existuje prvek x V > z > y. Pak pro libovoln i 2 I existuje f(i) 2 J i tak, e z < a if (i). Tedy z a if (i), tak e y z, spor. Rovn (P (M); ) je pln distributivn pln svaz pro libovolnou mno inu M. Typeset by AMS-T E X 1

2 P klad 8.4. Bu V vektorov prostor (nad R). Symbolem L(V ) ozna me mno- inu v ech vektorov ch podprostor ve V uspo danou mno inovou inkluz. Pon vad libovoln pr nik vektorov ch podprostor je vektorov podprostor, L(V ) je pln svaz (podle 6.2). Jsou-li W i, i 2 I vektorov podprostory V, pak jejich supremum S W W = W i v L(V ) je vektorov podprostor generovan sjednocen m W i. Tedy S prvky W jsou pr v line rn kombinace r 1 v 1 + : : : r n v n vektor v 1 ; : : : ; v n 2 W i. pln svaz L(V ) nen obecn distributivn. Uva ujme vektorov prostor R 2 a vektory v 1 ; v 2 ; v 3 2 R 2, kter jsou po dvou line rn nez visl (nap., v 1 = (0; 1); v 2 = (1; 0); v 3 = (1; 1)). Nech W i je vektorov podprostor generovan v i, i = 1; 2; 3. Pak W 2 ^ W 3 = O, kde O = f(0; 0)g je nejmen vektorov podprostor v R 2. Tedy W 1 (W 2 ^ W 3 ) = W 1. Na druh stran, (W 1 W 2 ) ^ (W 1 W 3 ) = V ^ V = V. Tedy distributivn z kon neplat. Podmno ina X uspo dan mno iny A se naz v usm rn n, pokud pro libovolnou kone nou mno inu prvk x 1 ; : : : ; x n 2 X existuje prvek x 2 X takov, e x i x pro v echna i = 1; : : : ; n. Nap klad, libovoln line rn uspo dan podmno ina v A je usm rn n. Libovoln usm rn n mno ina je nepr zdn (sta zvolit n = 0). pln uspo dan mno ina se denuje jako uspo dan mno ina A s nejmen m prvkem, v n libovoln usm rn n podmno ina m supremum. Lze uk zat, e uspo dan mno ina A je pln, pr v kdy libovoln line rn uspo dan podmno ina v A m supremum. N z jem o pln uspo dan mno iny je d n t m, e suprema usm rn n ch podmno in jsou asto p irozen j ne obecn suprema. P klad 8.5. Bu A mno ina a A mno ina v ech kone n ch posloupnost a 1 : : : a n prvk mno iny A. Jedn se vlastn o "slova" nad "abecedou" A. Uspo d me mno inu A pomoc prex. To znamen, e w 1 w 2, pokud w 1 je po te n sek w 2. Vznikl uspo dan mno ina (A ; ) nem dn netrivi ln suprema (krom sup;, co je pr zdn slovo, a suprem srovnateln ch prvk ). Supremum nekone n line rn uspo dan mno iny v ak m p irozen v znam (nap., desetinn rozvoj re ln ho sla). Tedy "nekone n slovo" aa : : : reprezentuje supremum et zce a aa : : :. Naproti tomu, dn rozumn v znam nelze p ipsat supremu slov a, b, kde a; b 2 A jsou navz jem r zn. V ta 8.6. Bu A pln uspo dan mno ina, kter je svaz. Pak A je pln svaz. D kaz. Pot ebujeme uk zat, e libovoln supremum lze rozlo it na usm rn n supremum kone n ch suprem. Nech a i 2 A pro i 2 I. Bu J mno ina kone n ch podmno in mno iny I. Snadno se ov, e plat a i = X2J x2x Prvek a uspo dan mno iny A se naz v kompaktn, pokud pro libovolnou usm rn nou podmno inu X A takovou, e a supx existuje prvek x 2 X s vlastnost a x. a x :

3 Nejmen prvek uspo dan mno iny je v dy kompaktn. V kone n uspo dan mno in je libovoln prvek kompaktn. Ve v t in uspo dan ch mno in vyskytuj c ch se v informatice, je uspo d n zalo eno na "mno stv informace nesen objekty": a b znamen, e b nese aspo tolik informace jako a. Takto lze interpretovat i nekone n slova zm n n v 8.5. Kompaktn prvek je pak ten prvek a, kter nese podstatn mno stv informace; pokud supremum usm rn n mno iny X zahrnuje informaci obsa enou v a, pak ji nutn zahrnuje n jak prvek v X. P klad 8.7. (1) Bu M mno ina. Uk eme, e kompaktn prvky v P (M) jsou Spr v kone n podmno iny. Bu K M kone n, X P (M) usm rn n a K X. Pak pro libovoln prvek a 2 K existuje Xa 2 X tak, e a 2 X a. Pon vad X je usm rn n a K kone n, existuje X 2 X tak, e X a X pro ka d a 2 K. Tedy K X. Dok zali jsme, e K je kompaktn. Naopak, libovolnou nekone nou podmno inu K M m eme vyj d it jako usm rn n sjednocen v ech kone n ch podmno in v K. Tedy K nem e b t kompaktn. (2) Bu V vektorov prostor. Uk eme, e kompaktn prvky v L(V ) jsou pr v kone n rozm rn podprostory ve V. Nejprve uk eme, e pro libovolnou usm rn nou podmno inu X L(V ) je X = S X vektorov podprostor. Nech v1 ; v 2 2 X. Pak existuj W 1 ; W 2 2 X tak, e v i 2 W i pro i = 1; 2. Pon vad X je usm rn n, existuje W 2 X tak, e W 1 ; W 2 W. Tedy v 1 ; v 2 2 W a proto libovoln line rn kombinace vektor v 1 ; v 2 pat do W a proto i do X. Tedy X 2 L(V ). Bu nyn W kone n rozm rn podprostor S ve V a e 1 ; : : : ; e n b ze W. Bu X L(V ) usm rn n podmno ina a W X. Tedy existuj W i 2 X tak, e e i 2 W i pro libovoln i = 1; : : : n. Pon vad X je usm rn n, existuje W 0 2 X tak, e W i W 0 pro i = 1; : : : ; n. Tedy W W 0. Dok zali jsme, e W je kompaktn. Naopak, libovoln nekone n rozm rn vektorov prostor lze vyj d it jako usm rn n sjednocen sv ch kone n rozm rn ch podprostor. Nem e tedy b t kompaktn. pln svaz A se naz v algebraick, jestli e libovoln prvek a 2 A je supremum kompaktn ch prvk. Z 8.7 vypl v, e P (M) a L(V ) jsou algebraick svazy. V ta 8.8. Bu A algebraick svaz. Pak a ^ b i = (a ^ b i ) pro libovoln prvek a 2 A a libovolnou usm rn nou podmno inu fb i ni 2 Ig v A. D kaz. V me, e v dy plat nerovnost x = a ^ b i (a ^ b i ) = y: W Bu z x kompaktn prvek. Pak z a a z b i. Pon vad mno ina fb i ni 2 Ig je usm rn n, existuje i 2 I tak, e z b i. Tedy z a ^ b i y. Pon vad x je supremum kompaktn ch prvk, plat x y.

4 Q Bu I mno ina a A i, i 2 I uspo dan mno iny. Pak kart zsk sou in A i uspo d me n sledovn : (a i ) (b i ), a i b i pro v echna i 2 I: Snadno se ov, e se skute n jedn o relaci uspo d n ( k me, e se jedn o uspo d n po slo k ch). Vzniklou uspo danou mno inu naz v me sou in Q uspo dan ch mno in A i. Jsou-li A i, i 2 I line rn uspo dan mno iny, pak A i nemus b t line rn uspo dan. Sta uv it sou in dvou dvouprvkov ch et zc. P klad 8.9. Bu Eq(X) mno ina v ech relac ekvivalence na mno in X uspo dan inkluz. Pak Eq(X) je pln S svaz nebo libovoln pr nik relac ekvivalence je relace ekvivalence. Sjednocen R i relac ekvivalence R i 2 Eq(X), i 2 I nen S obecn relace ekvivalence a supr i je relace ekvivalence generovan R i (t.j., nejmen relace ekvivalence obsahuj c R i ). Snadno se v ak ov, e sjednocen S usm rn n mno iny relac ekvivalence je relace ekvivalence. Kompaktn prvky v Eq(X) jsou pr v relace ekvivalence generovan kone nou podmno inou S X X. Svaz Eq(X) je algebraick, Q nen p itom distributivn. V ta 8.10. Bu te A i, i 2 I pln svazy. Q Pak A i je pln svaz. Jsou-li A i ( pln ) distributivn pln svazy, pak A i je ( pln ) distributivn. D kaz. Snadno se ov, e plat j2j ^ j2j (a ji ) = ( (a ji ) = ( j2j ^ j2j a ji ) a ji ) Odsud ji ihned plyne tvrzen o ( pln ) distributivit. P edvedeme to pro distributivitu: (a i ) (b i ) ^ (c i ) = (a i (b i ^ c i )) = ((a i b i ) ^ (a i c i )) = ((a i ) (b i )) ^ ((a i ) (b i )) 9. Kardin ln sla Ka d mno in A p i ad me symbol jaj takov, e jaj = jbj, pr v kdy mno iny A; B maj stejnou mohutnost. Symboly jaj se naz vaj kardin ln sla. Kardin ln slo jaj rovn naz v me mohutnost mno iny A. Pon vad "m t stejnou mohutnost" je relace ekvivalence, postup je korektn. Nen v ak pod n v term nech teorie mno in nebo kardin ln sla nejsou denov na jako mno iny. Pozd ji nazna me, jak lze kardin ln sla denovat v term nech teorie mno in.

5 P klady. (1) Nez porn cel sla pova ujeme za kardin ln sla a sice za mohutnosti kone n ch mno in. (2) Mohutnost spo etn mno iny zna me @ 0. (3) Mohutnost mno iny re ln ch sel naz v me mohutnost kontinua a zna me ji c. Polo me jaj jbj, jestli e existuje prost zobrazen A! B. Relace mezi kardin ln mi sly je z ejm reexivn a tranzitivn. Uk eme, e je uspo d n. P edev m si uv dom me, e pokud A B, pak jaj jbj (nebo zobrazen inkluze A! B je prost ). 9.1. Cantor-Bernsteinova v ta. Z jaj jbj a jbj jaj plyne jaj = jbj. D kaz. M jme prost zobrazen f : A! B a g : B! A. Mus me uk zat, e pak existuje bijekce A! B. Uva ujme zobrazen h : P(A)! P(B) denovan vztahem h(x) = A g(b f(x)) Nech X; Y 2 P(A), X Y. Pak postupn plat f(x) f(y ), B f(y ) B f(x), g(b f(y )) g(b f(x)) a h(x) h(y ). Tedy h : P(A)! P(B) je isotonn zobrazen (ob mno iny P(A); P(B) jsou uspo dan mno inovou inkluz ). Podle V ty 6.3., existuje C A tak, e C = A g(b f(c)): Denujme zobrazen t : A! B takov, e t(x) = f(x) pro x 2 C a t(x) = g 1 (x) pro x =2 C. Denice je korektn nebo pro x =2 C plat x 2 g(b f(c)). Uk eme, e t : A! B je bijekce. P edpokl dejme, e pro x 2 C a y =2 C plat t(x) = t(y). Pak f(x) = g 1 (y), tak e g(f(x)) = y =2 C. Z rove f(x) =2 B f(c) (nebo x 2 C), tak e g(f(x)) =2 g(b f(c)) a tedy g(f(x)) 2 C; spor. Tedy t je prost zobrazen nebo ob z en t na C a A C jsou prost. Nech y 2 B, y =2 t(a). Pak y =2 f(c), tak e y 2 B f(c) a tedy g(y) =2 C. To v ak znamen, e y = t(g(y)), spor. Tedy t je zobrazen na. Pozn mka 9.2. (1) Pon vad zobrazen f : A! P(A), f(a) = fag je v dy prost, pro libovolnou mno inu A plat jaj jp(a)j. Z Cantorovy v ty plyne, e v dy jaj < jp(a)j: Odsud plyne, e neexistuje nejv t kardin ln slo. V ta 9.3. Kardin ln sla netvo mno inu. D kaz. P edpokl dejme, e existuje mno ina I a mno iny S A i, i 2 I tak, e ja S i j, i 2 I vy erp v S v echna kardin ln sla. Pon vad A i A i, plat ja i j j A i j. Tedy j A i j je nejv t kardin ln slo, co odporuje pozn mce 9.2.

6 Z Cantorovy a Cantor-Bernsteinovy v ty rovn plyne, e neexistuje mno ina v ech mno in. Pro takovou mno inu M by toti platilo, e jp(m)j jmj nebo libovoln podmno ina M je prvkem M. Tedy jp(m)j = jmj, spor. Zat m nejsme schopni zjistit, zda uspo d n kardin ln ch sel je line rn. Dosud zn m kardin ln sla jsou 0 < 1 < < @ 0 < c: Z 4.4. plyne, e @ 0 je minim ln nekone n kardin ln slo. Ot zka, zda c je nejmen nespo etn kardin ln slo je nerozhodnuteln. V ta 9.4. c = jp(!)j. D kaz. Z d kazu v ty 4.3. v me, e c jp(!)j. Z konstrukce re ln ch sel jako ez ve spo etn mno in Q v me, e c jp(!)j. Tedy c = jp(!)j. Operace s kardin ln mi sly: Nech = jaj a = jbj, p i em mno iny A; B jaou v (1) disjunktn. Polo me (1) + = ja [ Bj (2) = ja Bj (3) = ja B j Bu te P I, A i ; i 2 S I mno iny, p i em A i jsou navz jem disjunktn. (4) i = j A i j Denice je korektn nebo operace nezavis na volb mno in A; B. Skute n, jsou-li f : A! A 0 a g : B! B 0 bijekce, pak f [ g : A [ B! A 0 [ B 0 pro A; B a A 0 ; B 0 disjunktn a f g : A B! A 0 B 0 h : A B! (A 0 ) B0 ; h(u) = f u g 1 jsou bijekce. Operace +; jsou asociativn, komutativn a distributivn, co plyne z vlastnost mno inov ch operac [;. Nav c, z V ty 4.1. plyne, e plat D le plat ( ) = ( ) = + = : ) + + ) : Skute n, je-li f : A! B prost zobrazen, pak zobrazen f [ id C : A [ C! B [ C a f id C : A C! B C jsou rovn prost. Tvrzen v ty 9.4 lze p epsat ve tvaru c = 2 @ 0

7 V ta 9.5. @ 0 @ 0 = @ 0, @ 0 + @ 0 = @ 0 : D kaz. Plat @ 0 + @ 0 = jnj + j!j = jzj = @ 0 Podobn @ 0 @ 0 = @ 0 plyne z toho, e Q je spo etn mno ina (viz 4.2. (4)). V ta 9.6. Je-li S spo etn mno ina re ln ch sel, pak jr Sj = c. D kaz. M me jr Rj = 2! 2! = 2!+! = 2!. Tedy m sto R m eme vz t mno inu RR. Bu tedy S RR spo etn mno ina. Existuje x 2 R tak, e S\(Rfxg) = ;. Tedy fxg R R S, tak e jr Sj = c. D sledek. Mohutnost mno iny iracion ln ch sel je c. V ta 9.7. Mohutnost mno iny v ech kone n ch posloupnost p irozen ch sel je @ 0. D kaz. Bu P mno in v ech kone n ch posloupnost p irozen ch sel. Z ejm @ 0 jp j. Pro d kaz opa n nerovnosti zapi me libovoln p irozen slo a v dvojkov soustav. Posloupnost a 1 : : : a n pak ur uje racion ln slo 0; a 1 2a 2 2 : : : a n. Pon vad r zn posloupnosti z ejm ur uj r zn racion ln sla, plat jp j jqj = @ 0. D sledek. Mohutnost mno iny kone n ch podmno in spo etn mno iny je @ 0. P ipome me, e re ln slo se naz v algebraick, pokud je ko enem polynomu s cel mi koecienty. Libovoln racion ln slo je z ejm algebraick. Re ln sla, kter nejsou algebraick se naz vaj transcendentn. Transcendentn jsou nap klad sla ; e; d kaz je v ak obt n. Uk eme, e transcendentn sla existuj (a e jich je v c ne algebraick ch). V ta 9.8. Mno ina A v ech algebraick ch sel je spo etn. D kaz. Mno ina v ech polynom s cel mi koecienty se ozna uje Z[x]. Z v ty 9.7. plyne, e to je spo etn mno ina, t.j., existuje bijekce f :!! Z[x]. Denujme zobrazen g : A!!! vztahem g(a) = (n; k), kde n je nejmen slo takov, e a je ko en polynomu f(n) a a je p itom k-t re ln ko en tohoto polynomu v uspo d n podle velikosti. Zobrazen g je z ejm prost, tak e ja j @ 0. Pon vad Q A, A je spo etn mno ina. D sledek. Mno ina v ech transcendentn ch sel m mohutnost kontinua. D kaz plyne z v ty 9.6. a 9.8. 10. Dob e uspo dan mno iny Denice. ekneme, e line rn uspo dan mno ina je dob e uspo dan, jestli e libovoln jej nepr zdn podmno ina m nejmen prvek. P davn jm no line rn jsme mohli v denici vynechat nebo to plyne z existence nejmen ch prvk dvouprvkov ch podmno in. Libovoln podmno ina dob e uspo dan mno iny je z ejm dob e uspo dan.

8 P klady. (1) Libovoln kone n line rn uspo dan mno ina je dob e uspo dan.! je dob e uspo dan. (2)! op ;Z;Q a R nejsou dob e uspo dan. V ta 10.1. Bu A dob e uspo dan mno ina a f : A! A prost izotonn zobrazen. Pak pro v echna a 2 A plat a f(a). D kaz. Bu X = fa 2 Anf(a) < ag. Pokud X 6= ;, existuje nejmen prvek a 0 2 X. Plat f(a 0 ) < a 0, tak e f(a 0 ) < a 0. Tedy f(a 0 ) 2 X, co je spor s f(a 0 ) < a 0. P edpoklad, e f je prost je podstatn ; pro konstantn zobrazen tvrzen neplat. Denice. Podmno ina Z uspo dan mno iny A se naz v za tek, pokud x 2 Z, y x implikuje y 2 Z. Za tek Z se naz v vlastn, pokud Z 6= A. D sledek. Dob e uspo dan mno ina nen isomorfn s dn m sv m vlastn m za tkem. D kaz. P edpokl dejme, e Z je vlastn za tek dob e uspo dan mno iny A a f : A! Z isomorsmus. Existuje prvek a 2 A Z. Pon vad f(a) 2 Z mus platit f(a) < a, co je spor s v tou 10.1. Je-li A uspo dan mno ina a a 2 A, pak polo me A(a) = fx 2 Anx < ag Z ejm A(a) je vlastn za tek v A. V dob e uspo dan mno in A je libovoln vlastn za tek Z tvaru A(a) pro n jak a 2 A. Za a je t eba vz t nejmen prvek mno iny A Z. V ta 10.2. Bu te A; B dob e uspo dan mno iny. Pak existuje nejv e jeden isomorsmus A! B. D kaz. Bu te f; g : A! B isomorsmy. P edpokl dejme, e f 6= g. Pak existuje a 2 A takov, e f(a) < g(a). Pon vad A(a) = B(f(a)) a A(a) = B(g(a)) plat B(f(a)) = B(g(a)). Nav c B(f(a)) je za tek v B(g(a)). Toti pro libovoln c < f(a) existuje d 2 A tak, e c = f(d). Z ejm d < a, tak e c 2 B(f(a)). Dost v me spor s d sledkem v ty 10.1. D sledek. Bu A dob e uspo dan mno ina a f : A! A isomorsmus. Pak f = id A. V ta 10.3. Bu te A; B dob e uspo dan mno iny. Pak nastane pr v jedna z n sleduj c ch mo nost : (1) A = B (2) A je isomorfn s vlastn m za tkem B (3) B je isomorfn s vlastn m za tkem A. D kaz. Je-li jedna z mno in A; B pr zdn, tvrzen z ejm plat. P edpokl dejme, e ob mno iny A; B jsou nepr zdn. Polo me A 0 = fa 2 An existuje b 2 B s A(a) = B(b)g

9 B 0 = fb 2 Bn existuje a 2 A s B(b) = A(a)g: Pon vad A 0 obsahuje nejmen prvek A a B 0 obsahuje nejmen prvek v B, mno iny A 0 ; B 0 jsou nepr zdn. Nav c to z ejm jsou za tky (A 0 v A a B 0 v B). Dok eme, e A 0 = B0. Denujme zobrazen f : A 0! B 0 tak, e A(a) = B(f(a)). Z denice mno in A 0 ; B 0 a d sledku v ty 10.1. plyne, e takov zobrazen existuje pr v jedno. Nav c to je z ejm isomorsmus. Uk eme, e nem e nastat situace, kdy A 0 6= A a sou asn B 0 6= B. V tomto p pad v ak existuj a 2 A a b 2 B tak, e A 0 = A(a) a B 0 = B(b). Tedy a 2 A 0 a b 2 B 0, co nen mo n. Ov ili jsme, e v dy nastane jedna z mo nost (1)-(3) a zb v ov it, e tyto mo nosti se navz jem vylu uj. Nastanou-li v ak dv mo nosti sou asn, vznikne dob e uspo dan mno ina isomorfn se sv m vlastn m za tkem, co odporuje d sledku v ty 10.1. Pozn mka. Z v ty 10.3. plyne, e pro dob e uspo dan mno iny A; B nastane pr v jedna z mo nost jaj = jbj; jaj < jbj; jbj < jaj: Tedy kardin ln sla dob e uspo dan ch mno in jsou line rn uspo dan. Pokud by libovoln mno ina la dob e uspo dat, kardin ln sla by byla line rn uspo dan. Uvid me, e tomu tak je i naopak: pokud kardin ln sla jsou line rn uspo dan, pak libovolnou mno inu lze dob e uspo dat. Zat m um me dob e uspo dat ka dou kone nou i spo etnou mno inu. Neum me nap. dob e uspo dat mno inu R. Uvid me, e probl m, zda libovolnou mno inu lze dob e uspo dat, je na z klad dosavadn ch axiom ZF nerozhodnuteln. V znam dob e uspo dan ch mno in spo v mimo jin v tom, e poskytuj prost ed pro roz en pojmu indukce. V ta 10.4. (transnitn indukce): Bu A dob e uspo dan mno ina. Nech pro libovoln prvek a 2 A je d n v rok V (a). P edpokl dejme, e pro libovoln a 2 A plat : (?) Je-li pravdiv v rok V (x) pro libovoln x < a, je pravdiv v rok V (a). Pak v rok V (a) je pravdiv pro v echna a 2 A. D kaz. Nech B = fa 2 AnV (a) je nepravdiv g. P edpokl dejme. e mno ina B je nepr zdn. Bu a nejmen prvek v B. Dost v me spor s (?). Obvykl matematick indukce je transnitn indukce pro!. Z (?) plyne, e v rok V je pravdiv pro nejmen prvek v A. V kapitole 8 jsme vid li, e sou in line rn uspo dan ch mno in ji nemus b t line rn uspo dan. V teorii dob e uspo dan ch mno in proto pracujeme s tzv. lexikograck m sou inem. Denice. Lexikograck sou in AB dob e uspo dan ch mno in A; B je kart zsk sou in A B vybaven uspo d n m (a; b) (c; d), a < c nebo a = c; b d:

10 V ta 10.5. Bu te A; B dob e uspo dan mno iny. Pak AB je dob e uspo dan mno ina. D kaz. Nech X A B je nepr zdn podmno ina lexikograck ho sou inu A B. Bu a 0 nejmen prvek v p 1 (X) a b 0 nejmen prvek v p 2 (p 1 1 (a 0) \ X). Z ejm (a 0 ; b 0 ) je nejmen prvek v X. Lexikograck sou in nen obecn komutativn. Nap., 2! a! 2 nejsou isomorfn. Toti! 2 =!, zat mco 2! jsou dv kopie! nad sebou. V ta 10.6. Pro libovoln uspo dan mno iny A; B; C plat (A B) C = A (B C): D kaz. V (A B) C plat (a; b; c) (a 0 ; b 0 ; c 0 ), (a; b) < (a 0 b 0 ) nebo (a; b) = (a 0 ; b 0 ); c c 0 Podobn, v A (B C)) plat, a < a 0 nebo a = a 0 ; b < b 0 nebo a = a 0 ; b = b 0 ; c < c 0 : (a; b; c) (a 0 ; b 0 ; c 0 ), a < a 0 nebo a = a 0 ; (b; c) (b 0 ; c 0 ), a < a 0 nebo a = a 0 ; b < b 0 nebo a = a 0 ; b = b 0 ; c < c 0 : Sou et (kardin ln ) disjunktn ch uspo dan ch mno in A; B m eme denovat jako jejich sjednocen A [ B spolu s uspo d n m, kter na A, resp. B spl v se zadan m uspo d n m a libovoln prvky a 2 A, b 2 B jsou nesrovnateln. Takov sou et dvou line rn uspo dan ch mno in nen line rn uspo dan. V teorii dob e uspo d n ch mno in proto pracujeme s jin m (tzv. ordin ln m) sou tem. Denice. Sou et A+B dvou disjunktn ch dob e uspo dan ch mno in denujeme jako jejich sjednocen A [ B vybaven uspo d n m x y,x; y 2 A; x y nebo x; y 2 B; x y nebo x 2 A; y 2 B: Sou et dob e uspo dan ch mno in nen komutativn. Nap.,!+1 nen isomorfn s 1 +!. Toti, 1 +! =!, zat mco! + 1 nen isomorfn s!. V ta 10.7. Pro libovoln navz jem disjunktn dob e uspo dan mno iny A; B; C plat (A + B) + C = A + (B + C):

11 D kaz. V obou p padech plat x y,x; y 2 A; x y nebo x; y 2 B; x y nebo x; y 2 C; x y nebo x 2 A; y 2 B nebo x 2 A; y 2 C nebo x 2 B; y 2 C: Budeme pot ebovat i nekone n sou ty. Denice. Bu I 6= ; uspo dan P mno ina a A S i, i 2 I po dvou disjunktn uspo dan mno iny. Sou et A i denujeme jako A i spolu s uspo d n m x y, existuje i 2 I tak, e x; y 2 A i ; x y nebo x 2 A i ; y 2 A j ; i < j: V ta P 10.8. Bu te I 6= ; a A i, i 2 I po dvou disjunktn dob e uspo dan mno iny. Pak A i je dob e uspo dan. S D kaz. M jme ; 6= X A i. Nech I 0 = fi 2 InX \ A i 6= ;g. Bu i 0 nejmen prvek v I 0 a a 0 nejmen prvek v A i0 \ X. Z ejm a 0 je nejmen prvek v X. V ta 10.9. (obecn asociativn P z kon) Bu I 6= ; uspo dan mno ina, A i, i 2 I uspo dan mno iny a I = I j. Pak plat D kaz je z ejm. j2j X A i = V ta 10.10. (prav distributivn z kon) ( X A i ) B = X X A i j2j j X (A i B): S S P D kaz. P edev m plat (A i B) = ( A i ) B. Uspo d n v ( A i ) B je d no n sledovn : (a; b) (c; d),a; c 2 A i ; a < c nebo a 2 A i ; c 2 A j ; i < j nebo a = c; b d:

12 Uspo d n v ( P (A i B) je d no n sledovn : (a; b) (c; d),(a; b); (c; d) 2 A i B; (a; b) (c; d) nebo To v ak nastane pr v kdy T m je tvrzen dok z no. Lev distributivn z kon neplat : (a; b) 2 A i B; (c; d) 2 A j B; i < j: a; c 2 A i ; a < c nebo a = c; b d nebo a 2 A i ; b 2 A j ; i < j:! (1 + 1) =! 6=! +! =! 1 +! 1: V ta 10.11. Bu I uspo dan mno ina a A i = A po dvou disjunktn uspo dan mno iny. Pak plat X A i = I A: S D kaz. Bu te f i : A i! A, i 2 I isomorsmy. Pak zobrazen f : dan p edpisem f(a) = (i; f i (a)) pro a 2 A i je bijekce. Pro a; b 2 S a b v X A i,a; b 2 A i ; a b nebo a 2 A i ; b 2 A j ; i < j: To v ak nastane pr v kdy (i; f i (a)) (j; f j (b)) v I A. 11. Ordin ln sla A i plat A i! I A Ka d dob e uspo dan mno in A p i ad me symbol A tak, e A = B, pr v kdy A = B. Symboly A se naz vaj ordin ln sla. Pon vad relace "b t isomorfn " je relac ekvivalence, postup je korektn. Nen v ak veden v term nech teorie mno in, co pozd ji oprav me. P klad. Ordin ln slo n-prvkov dob e uspo dan mno iny ozna me n. Ordin ln slo dob e uspo dan mno iny! zna me!. Polo me A B, pokud A je isomorfn se za tkem B. Relace je z ejm reexivn a tranzitivn. Z v ty 11.3. plyne, e se jedn o line rn uspo d n (na t d v ech ordin ln ch sel). Pr v uveden formulace je korektn nebo z ejm nez vis na volb reprezentant. Uspo d n ordin ln ch sel uveden ch v p kladu naho e je 0 < 1 < : : : n < : : :! Pro libovoln ordin ln slo polo me W () = fn < je ordin ln slog Nap klad, W (0) = ;, W (n) = f0; : : : ; n 1g a W (!) = f0; 1; : : : ; n; : : : g.

13 V ta 11.1. Mno ina W () je dob e uspo dan pro libovoln ordin ln slo a plat W () =. D kaz. Nech = A. Polo me f(x) = A(x) pro libovoln x 2 A. Z ejm f : A! W () je prost zobrazen. M jme <, = B. Pak existuje x 2 A tak, e B = A(x). Tedy = f(x), tak e f je isomorsmus. V ta 11.2. Ordin ln sla jsou dob e uspo dan relac. D kaz. Bu Z 6= ; mno ina ordin ln ch sel. Uva ujme 2 Z. Pak bu je nejmen prvek v Z nebo mno ina W () \ Z je nepr zdn. Pak jej nejmen prvek (kter existuje nebo je ordin ln slo) je z ejm nejmen prvek v Z. Ordin ln slo se naz v limitn, pokud mno ina W () nem nejv t prvek. V opa n m p pad se naz v izolovan. Tedy ordin ln slo 0 je limitn. Operace s ordin ln mi sly: Nech = A a = B, p i em dob e uspo dan mno iny A; B jsou v (1) disjunktn. Polo me (1) + = A + B (2) = B A Denice je korektn nebo operace z ejm nezavis na volb dob e uspo dan ch mno in A; B. Operace +; jsou asociativn, co plyne z v t 11.6. a 11.7. Z v ty 10.10. plyne platnost lev ho distributivn ho z kona ( + ) = + D le plat + 0 = 0 + = 0 = 0 = 0 1 = 1 = 2 = +. Operace +; nejsou komutativn. Nap. plat 1 +! =! 6=! + 1 2! =! 6=! 2 =! +! V imn me si faktu, e izolovan ordin ln sla jsou pr v ordin ln sla tvaru + 1. Bu I dob e uspo dan mno ina, A i, i 2 I, dob e uspo dan mno iny a i = A i. Pak ordin ln slo P i denujeme p edpisem X i = X A i

14 Denice z ejm op t nez vis na volb dob e uspo dan ch mno in A i. Z v t 10.10. a 10.11. plyne X X i = i X = I T du v ech ordin ln ch sel ozna me W. Symbol W () je ve shod s obecn m ozna en m A(x) pro za tek. Ve W m nejen ka d podmno ina, ale i ka d podt da Z W m nejmen prvek (d kaz je stejn ). V ta 11.3. Bu M mno ina ordin ln ch sel. Pak existuje ordin ln slo takov, e < pro libovoln 2 M. D kaz. Pokud M = ;, pak = 0. M -li M nejv t prvek, pak = + 1. Pokud M nem nejv t prvek, uva ujeme mno inu A = [ 2M W () Pon vad A je dob e uspo dan nmo ina, pro = A plat < pro v echna 2 M. Kone n, pro libovoln ordin ln sla ; denujeme mocninu n sledovn : 0 = 1 +1 = = supf n < g pro 0 < limitn. (Zde je pou ito 11.3.) Denice je zalo ena na v t 11.4., t.j. na transnitn indukci. Pozn mka 11.4. Z v ty 11.3. plyne, e W nen mno ina a neobsahuje nejv t prvek. D sledek 11.5. Pro libovolnou mno inu M ordin ln ch sel existuje sup M ve W. D kaz. Tvrzen je z ejm, pokud M m nejv t prvek. Nech M nem nejv t prvek. Ordin ln slo z 11.3. pat do t dy W M, kter je proto nepr zdn, tak e obsahuje nejmen prvek. Ten je z ejm sup M. Nyn si m eme ud lat p edstavu o za tku t dy W ordin ln ch sel (v jej m uspo d n ): 0; 1; 2; : : : ; n; : : : ;!;! + 1; : : : ;! +! =!!; : : : ;! n; : : :!! =! 2 ; : : : ;! n ; : : :!! ;! o n (!! )! ; : : : ;!! ; : : : 0

15 P itom ka d limitn ordin ln slo je v dy supremum v ech men ch ordin ln ch sel. Toti, vztahy! = n n<! jsou z ejm. Rovnost! +! =! + n n<!!! = n<!! n plyne z toho, e pro libovoln <!! existuj m; n <! tak, e 2 W (m; n). Tedy <! n. Kone n rovnost!! =! n n<! plyne z denice mocniny ordin ln ch sel. slo 0 je supremum v ech p edchoz ch ordin ln ch sel. Je to nejmen ordin ln slo s vlastnost! 0. V echna v e uveden ordin ln sla jsou spo etn (t.j., jsou to ordin ln sla spo etn ch dob e uspo dan ch mno in). Nespo etn ordin ln sla v ak mus existovat nebo spo etn ch ordin ln ch sel nen v c ne v ech mo n ch uspo d n na mno in!, t.j., nejv e 2!! = 2! (a W nen mno ina). Nejmen nespo etn ordin ln slo se ozna uje! 1. 12. Axiom v b ru Q Axiom v b ru: Bu I mno ina a A i, i 2 I nepr zdn mno iny. Pak mno ina A i je rovn nepr zdn. Axiom k, e libovoln mno ina nepr zdn ch mno in fa i ni 2 Ig m tzv. v b rovou funkci, t.j. zobrazen f : I! [ A i takov, e f(i) 2 A i pro libovoln i 2 I. Axiom v b ru se ozna uje AC. Zermelo- Fraenkelova teorie mno in s axiomem v b ru se ozna uje ZFC a je to v sou asn dob "standartn " teorie mno in. P inou zvl tn ho postaven axiomu v b ru je jeho "nekonstruktivn " charakter. Zat mco v echny ostatn axiomy ZF p esn popisuj, jakou mno inu vytv, AC pouze tvrd, e ur it mno ina (t.j., v b rov funkce) existuje, ani by ekl, jak vypad. V b rov funkce v dy existuje (bez AC), pokud mno ina I je kone n, nap. I = f1; : : : ; ng. Sta zvolit prvky a i 2 A i pro i = 1; : : : ; n a polo it f = f(1; a 1 ); : : : ; (n; a n )g. Tato v b rov funkce je vytvo ena pou it m axiomu dvojice. Takovou mo nost ji nem me pro nekone nou mno inu I a to ani v p pad, pokud mno iny A i jsou kone n nebo dokonce dvouprvkov. Princip dobr ho uspo d n : Libovolnou mno inu lze dob e uspo dat. Tento princip m rovn "nekonstruktivn " charakter nebo ne k, jak p slu n dobr uspo d n vypad. Nahl dneme to nap. na existenci dobr ho uspo d n mno iny R re ln ch sel. Uk eme, e princip dobr ho uspo d n je (v ZF) ekvivalentn s axiomem v b ru.

16 V ta 12.1. Princip dobr ho uspo d n implikuje axiom v b ru. D kaz. Bu I mno ina a ; 6= A i, i 2 I. Podle principu dobr ho uspo d n lze mno inu [ A i dob e uspo dat. V tomto dobr m uspo d n, m libovoln mno ina A i nejmen prvek a i. Pak f(i) = a i denuje v b rovou funkci f : I! [ A i : Je pou n si uv domit, e d kaz nelze v st n sledovn : libovoln mno ina A i lze dob e uspo dat, tak e m nejmen prvek a i, atd. Toti existuje cel mno ina D i dobr ch uspo d n mno iny A i a k v b ru n jak ho z nich pro v echna i 2 I pou v me axiom v b ru (pro mno iny D i, i 2 I). Uk eme si dal "skryt " pou it axiomu v b ru. Tato pou it dokumentuj, e AC b n u v me. P klad 12.2. Zn m tvrzen matematick anal zy k, e funkce f : R! R je spojit v bod a, pr v, kdy a n! a implikuje f(a n )! f(a) pro libovolnou posloupnost (a n ). Nutnost podm nky je z ejm. Dostate nost se dokazuje n sledovn. Nech f nen spojit v a. Pak existuje okol V bodu f(a) takov, e pro libovoln 0 < n existuje a n s vlastnostmi ja n aj < 1 n, f(a n) =2 V. Pak a n! a, ale neplat f(a n )! f(a). Pou it posloupnost a n je v ak v b rov funkce N! [ n2nfanja n aj < 1 n ; f(a n) =2 V g Lze uk zat, e (bez ur it formy) AC tvrzen neplat, t.j., e "nem me dost posloupnost ". P klad 12.3. Dok eme, e sjednocen spo etn mno iny spo etn ch mno in je spo etn mno ina. M jme spo etn mno iny A i, i 2!. Mno iny A i lze tedy zapsat posloupnostmi A i S = fa i0 ; a i1 ; : : : ; a in ; : : : g Uspo d me-li mno inu A = A i po diagon l ch A = fa 00 ; a 01 ; a 10 ; : : : g, vid me, i2! e mno ina A je spo etn. Pou it AC spo v ve v b ru uspo d n mno in A i do posloupnost. Takov ch posloupnost je v dy mno ina D i a na mno iny D i mus me op t uplatnit AC. Princip maximality Bu A uspo dan mno ina takov, e libovoln et zec v A m horn z voru. Pak ke ka d mu a 2 A existuje maxim ln prvek b 2 A tak, e a b.

17 V ta 12.4. Princip maximality implikuje princip dobr ho uspo d n. D kaz. Bu A mno ina. Uva ujme mno inu D = f(b; R)nR A A; R je dobr uspo d n na B Ag Pon vad (;; ;) 2 D, plat m me D 6= ;. Pro (B 1 ; R 1 ); (B 2 ; R 2 ) 2 D polo me (B 1 ; R 1 ) (B 2 ; R 2 ), pokud (B 1 ; R 1 ) je za tek (B 2 ; R 2 ). Z ejm je uspo d n mno iny D. Ov me, e D spl uje p edpoklad principu maximality. Bu C D et zec. Pak Q = [ (B;R)2C R je line rn uspo d n mno iny Z = [ (B;R)2C B Uva ujme ; 6= X Z. Pro libovoln x 2 X existuje (B; R) 2 C tak, e x 2 B. Z ejm nejmen prvek podmno iny X \ B je nejmen m prvkem mno iny X. Tedy Q je dobr uspo d n mno iny Z, tak e (Z; Q) 2 D. Z ejm (Z; Q) je hledanou horn z vorou et zce C v D. Podle principu maximality existuje maxim ln prvek (B; R) v D. Uk eme, e pak B = A. V opa n m p pad existuje prvek a 2 A B a pro B 0 = B [ fag a R 0 = R [ (B fag) [ f(a; a)g plat (B 0 ; R 0 ) 2 D a z rove (B; R) (B 0 ; R 0 ), co nen mo n. V ta 12.5. Axiom v b ru implikuje princip maximality. D kaz. Bu A uspo dan mno ina takov, e libovoln et zec v A m horn z voru a nech a 2 A. Bu f v b rov funkce na mno in v ech nepr zdn ch podmno in mno iny A. To znamen, e f(x) 2 X pro libovoln ; 6= X A. Existuje dob e uspo dan mno ina B takov, e jbj jaj neplat. V opa n m p pad by se W skl dala z ordin ln ch sel podmno in mno iny A, kter lze dob e uspo dat. Pon vad dobr ch uspo d n podmno in mno iny A je pouze mno ina, dostali bychom spor s pozn mkou 12.4. Transnitn indukc denujme zobrazen g denovan na podmno in C mno iny B tak, e a je obrazem nejmen ho prvku mno iny B a g(b) = f(fxng(y) < x pro v echna y < bg) Zobrazen g je z ejm prost. Pon vad jbj jaj neplat, existuje b 2 B tak e g nen denov no pro b. Bu b nejmen prvek v B s touto vlastnost. Pak existuje c 2 C tak e c < b a neexistuje x 2 B, c < x < b. V opa n m p pad by obraz g byl et zec v A bez horn z vory. Z ejm g(c) je hledan maxim ln prvek v A takov, e a g(c).

18 13. Kardin ln aritmetika V ta 13.1. (AC) Kardin ln sla jsou dob e uspo dan relac. D kaz. Libovoln mu kardin ln mu slu p i ad me ordin ln slo tak, e, Odsud ji vyplyne tvrzen v ty nebo ordin ln sla jsou dob e uspo dan relac dle 13.2. Nech = jaj. Bu M mno ina v ech ordin ln ch sel takov ch, e = (A; ) pro n jak dobr uspo d n mno iny A. Z AC v me, e M 6= ;, tak e M m nejmen prvek, kter ozna me. Denice z ejm nez vis na volb mno iny A. Implikace ) je z ejm. Nech. Pak nebo., tak e =, tak e =. V druh m p pad plat P edchoz v ta n m umo uje indexovat nekone n kardin ln sla pomoc ordin ln ch sel. T da kardin ln ch sel pak (ve sv m uspo d n ) vypad n sledovn 0; 1; : : : ; n; : : : @ 0 ; @ 1 ; : : : ; @ n ; : : : @! ; : : : @ ; : : : Indexov n provedeme n sledovn. Ji d ve jsme nejmen nekone n kardin ln slo ozna ili @ 0. Nyn @ 1 je nejmen nespo etn kardin ln slo. Z 13.1. v me, e takov kardin ln slo existuje. M me-li ji sestrojena kardin ln sla @ pro v echna ordin ln sla <, pak @ je nejmen kardin ln slo v t ne v echna @ pro <. Z 9.3. plyne, e takov kardin ln slo existuje. Pon vad pro libovoln kardin ln slo @ existuje pouze mno ina kardin ln ch sel men ch ne @, @ = @ pro n jak ordin ln slo. T mto postupem jsme vlastn sestrojili bijekci mezi ordin ln mi sly a nekone n mi kardin ln mi sly. V d kazu v tu 13.1. jsme libovoln mu kardin ln mu slu p i adili ordin ln slo a sice nejmen ordin ln slo mohutnosti. Budeme zna it @ =! T du W ordin ln ch sel si pak m eme p edstavit n sledovn (srv. s kapitolou 12;! =! 0 ). 0; 1; : : : ; n; : : :! 0 ; : : : 0 ; : : :! 1 ; : : :! ; : : : V ta 13.2. Axiom v b ru je ekvivalentn s t m, e kardin ln sla jsou line rn uspo dan relac. D kaz. Implikace ) plyne z 13.1. P edpokl dejme, e kardin ln sla jsou line rn uspo dan relac. Uk eme, e pak libovolnou mno inu lze dob e uspo dat, co implikuje AC.

19 Bu A mno ina. Z d kazu v ty 13.5. v me, e existuje dob e uspo dan mno ina B takov, e jbj jaj neplat. Tedy jaj < jbj nebo p edpokl d me, e kardin ln sla jsou line rn uspo d na relac. Tedy existuje prost zobrazen f : A! B, kter n m umo n denovat dobr uspo d n mno iny A: a b, f(a) f(b): Pozn mka 13.3. Byli jsme si v domi toho, e ani kardin ln, ani ordin ln sla jsme nezavedli v term nech teorie mno in. Za AC lze kardin ln sla zav st pomoc ordin ln ch sel. T m mysl me denovat @ jako!, t.j., za kardin ln slo p mo pova ovat nejmen ordin ln slo dan mohutnosti. Nyn nazna me, jak lze v term nech ZF denovat ordin ln sla. Idea spo v v "kanonick volb " dob e uspo dan mno iny A takov, e A =. Touto volbou bude W (). M me-li = W () pak <, 2 t.j., je mno ina v ech men ch ordin ln ch sel. Zejm na to znamen, e je dob e uspo dan relac 2. Denice ordin ln ho sla jako mno iny dob e uspo dan relac 2 by v ak je t nebyla v po dku. Takovou je i mno ina ff;gg, kterou za ordin ln slo nechceme nebo ordin ln m slem jednoprvkov mno iny je f;g. Mno ina ff;gg v ak nen tranzitivn ve smyslu x 2 X ) x X Ordin ln sla tranzitivn jsou. Denice ordin ln ho sla v ZF tedy zn : ordin ln slo je tranzitivn mno ina dob e uspo dan relac 2. V ta 13.4. (AC) Pro libovoln nekone n kardin ln slo @ plat @ @ = @ D kaz. Ji v me, e za AC jsou kardin ln sla pr v @, kde 2 W. Transnitn indukc budeme tedy dokazovat, e @ @ = @ Pro = 0 tvrzen plat (viz 13.5). P edpokl dejme, e 0 < a e tvrzen plat pro v echna <. Dok eme, e tvrzen plat pro. T m bude d kaz ukon en. Na mno in W (! ) W (! ) budeme uva ovat tzv. maximo-lexikograck uspo d n. Je denov no tak, e (; ) < (; ), pr v kdy maxf; g < maxf; g nebo maxf; g = maxf; g a <

20 nebo maxf; g = maxf; g; = a < Z ejm se jedn o dobr uspo d n. Ozna me = W (! ) W (! ) tak e W (! ) W (! ) = W () Sta, kdy dok eme, e plat =!. Pak toti bude platit P edev m plat! nebo @ @ = jw (! ) W (! )j = jw (! )j = @ jw (! )j jw (! ) W (! )j = jw ()j a! je nejmen ordin ln slo mohutnosti @. P edpokl dejme, e! <. Pak existuj ordin ln sla ; <! tak, e W (! ) = W ((; )) (druh v raz zde ozna uje za tek ur en dvojic (; ) v W (! )W (! )). Polo me = maxf; g + 1 Z ejm <!. Z denice maximo-lexikograck ho uspo d n plyne, e W ((; )) W () W () tedy jw (! )j = jw ((; ))j jw () W ()j = jw ()j (posledn rovnost plyne z induk n ho p edpokladu). Pon vad <!, plat jw (! )j jw ()j < jw (! )j Dost v me spor a d kaz je t m ukon en. D sledek 13.5. (AC) Pro libovoln ordin ln sla ; plat @ @ = maxf@ ; @ g D kaz. Nech nap klad. Pak plat @ = 1 @ @ @ @ @ = @ tak e @ @ = @.

21 D sledek 13.6. (AC) Pro libovoln ordin ln sla ; plat @ + @ = maxf@ ; @ g D kaz. Nech nap klad. Pak plat @ @ + @ = 2 @ = @ D sledek 13.7. (AC) Pro libovoln ordin ln sla plat @ @ = 2 @ D kaz. Plat Zobecn n hypot za kontinua k, e Toto tvrzen je nez visl na ZFC. 2 @ @ @ (2 @ ) @ = 2 @ @ = 2 @ 2 @ = @ +1 : D sledek 13.8. (AC) Bu te I, A i, i 2 I mno iny takov, e jij; ja i j @ pro v echna i 2 I. Pak plat j [ A i j @ D kaz. Plat (zde jsme pou ili 13.11.) [ X j A i j j W (! )j = ji W (! )j = jij @ @ Pozn mka 13.9.. Zejm na, za AC plat, e sjednocen spo etn mnoha spo etn ch mno in je spo etn mno ina. Denice 13.10. Kardin ln slo @ se naz v regul rn, jestli e sjednocen < @ mno in mohutnosti < @ m mohutnost < @. V opa n m p pad se @ naz v singul rn. P kladem regul rn ho kardin ln ho sla je @ 0. D sledek 13.11. (AC) Pro libovoln ordin ln slo je kardin ln slo @ + 1 regul rn. D kaz. Plyne z 13.11. a z toho, e jxj < @ + 1, jxj @ Nespo etn kardin ln slo @ se naz v (slab ) nedosa iteln, je-li regul rn a z rove je limitn. Naz v se nedosa iteln, je-li regul rn a plat @ < @ ) 2 @ < @ Libovoln nedosa iteln kardin ln slo je z ejm slab nedosa iteln. Za zobecn n hypot zy kontinua oba pojmy splynou. Existenci nedosa iteln ho kardin ln ho sla nelze dok zat z axiom ZFC.