Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Matematika 1 Lagrangeu v tvar interpolac nı ho mnohoc lenu Newtonu v tvar interpolac nı ho mnohoc lenu Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2016 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

Obsah 1. Langrangeův interpolační mnohočlen (polynom) 3 Pr ıḱlad 1.2.................................................. 15 Pr ıḱlad 1.3.................................................. 25 2. Newtonův interpolační mnohočlen (polynom) 32 Pr ıḱlad 2.1.................................................. 33 Pr ıḱlad 2.2.................................................. 42 Pr ıḱlad 2.3.................................................. 51 jine por adı uzlovy ch bodu v tabulce............................. 56 pr ida nı dals ı ho uzlove ho bodu................................ 59 3. Závěrečná poznámka 60 Použitá literatura 62

1. Langrangeův interpolační mnohočlen (polynom) je jednıḿ ze zna me js ıćh a take snadny ch zpu sobu interpolace funkce zadane pouze v (nemnoha) diskre tnıćh bodech. Nazy va me je uzlové body a poz adujeme po nich, aby me ly ru zne hodnoty x. Typicky m pr ıḱladem je funkce f zadana tabulkou, ať jiz tato tabulka vznikla jako vy sledek ne jake ho me r enı, c i zda jde o tabulku hodnot ne ktere standardnı funkce zıśkanou matematicky mi vy poc ty. kde Lagrangeu v L(x) mnohoc len ma tvar: L(x) = y L (x) (1) ( ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) ( ) Vs imne te si, z e jak v c itateli, tak ve jmenovateli je pro i vynecha na za vorka, ve ktere bychom me li odec ı tat c len x. Pouz itı zda nlive nezapamatovatelne ho vzorce si uka z eme na konkre tnıḿ pr ıḱladu 2.1.

Příklad 1.1. Ma me da ny c tyr i body x 9 4 1 7 y 5 2 2 9, tedy n = 4. Řešení: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) Zby va urc it jednotlive zlomky L (x). Obra zek 1: Konstrukce Lagrangeova interpolac nı ho polynomu (c erna kr ivka) x 9 4 1 7 y L (x) 5 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) L ( 9) ; L ( 4) = 0; L ( 1) = 0; L (7) = 0 podmıńky vy sledna funkce L ( 9) L (x) L ( 9) L ( 4) = 0 1 L ( 9) L ( 4) = 0 L ( 1) = 0 L ( 9) L ( 4) = 0 L ( 1) = 0 L ( 7) = 0 x ( 4) ( 9) ( 4) x ( 4) ( 9) ( 4) x -9-4 -1 7 y L (x) 0 0-2 0 x ( 1) ( 9) ( 1) x ( 4) ( 9) ( 4) x ( 1) ( 9) ( 1) x (7) ( 9) (7) x 9 4 1 7 y L (x) 0 2 0 0 x 9 4 1 7 y L (x) 0 0 0 9 x 9 4 1 7 y 5 2 2 9 L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)

x 9 4 1 7 y 5 2 2 9 Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 640 (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = 5 1 640 (x 2x 31x 28)+ 1 +2 165 (x +3x 61x 63)+( 2) 1 192 (x +6x 1 55x 252)+9 1408 (x +14x +49x+36) = = 5 1 640 + 2 1 1 + ( 2) 165 192 + 9 1 1408 x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x 1 0 1 2 y 4 1 0 5 [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) + 0 1 2 (x x 2x) + 5 1 6 (x x) = = + x + + x + + + x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1

Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)

2. Newtonův interpolační mnohočlen (polynom) ma tvar: N(x) = y + y (x x ) + y (x x ) (x x ) + y (x x ) (x x ) (x x ) + (2) kde koe icienty y, y, y, jsou poměrné diference uvedene (c ervene ) v na sledujıćıḿ sche matu: x x x x y y y y y = y = y = y = y = y = Interpolac nı mnohoc len N(x) zapsany ve tvaru (2) ma dve za sadnı vy hody oproti Lagrangeovu tvaru: Pr edevs ıḿ je to skutec nost, z e koe icienty y, y, y, ve vyja dr enı (2) je moz ne vypoc ı tat jednou provz dy a hodnoty interpolac nı ho polynomu pro ru zna x pak poc ı tat postupny m dosazova nıḿ do (2). Druhou vy hodou je to, z e kdyz k pu vodnıḿ uzlu m x, x,, x interpolace pr ida me dals ı bod x ru zny od vs eh ostatnıćh uzlu, dr ı ve spoc ı tane koe icienty se vu bec nezme nı a stac ı pouze jeden dals ı dopoc ı tat. U Newtonova interpolac nı ho mnohoc lenu N(x) je tak moz ne pohodlne zvys ovat stupen interpolac nı ho mnohoc lenu tıḿ, z e pr ibıŕa me do vy poc tu dals ı uzly interpolace. Mnohoc len L(x) v Lagrangeove tvaru bychom museli v takove m pr ıṕade sestrojovat cely znovu, jak jsme si uka zali na konci pr edchozı ho pr ıḱladu.

Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference. 9 4 1 7 5 2 2 9 = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0,092 + 0,021 14] x + [ 0,6 0,092 13 + 0,021 49] x+ +(5 0,6 9 0,092 36 + 0,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956

Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference. 1 0 1 2 4 1 0 5 = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = 4 + 3 (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = 4 + 3 x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1

Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. 1 0 1,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25 Příklad 2.3. jiné pořadí uzlových bodů v tabulce 1 1,5 0 2,25 1 0,25 (, ), = 0,5, (, ), (, ) = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 0,5) [x ( 1)] + (1) [x + 1] [x (1,5)] = 2,25 0,5 x 0,5 + x 0,5 x 1,5 = N(x) = x 2 x + 0,25

Příklad 2.3. ještě jiné pořadí uzlových bodů v tabulce 0 1 1,5 0,25 2,25 1, (, ) = 2 (, ), = 0,5,, ( ), [] ( ) [] [] 0 1,5 1 0,25 1 2,25 (, ), = 0,5, (, ) = 0,5, (, ) ( ), (, ) [] ( ) [] [ (, )] = 0,25 2 x + x + x = 0,25 + 0,5 x + x 1,5 x N(x) = x 2 x + 0,25 N(x) = x 2 x + 0,25 1,5 1 0 1 2,25 0,25, (, ) = 0,5 (, ) (, ), (, ) ( ) (, ) [ (, )] ( ) [ (, )] [] = 2 1,5 0 1 1 0,25 2,25, (, ) = 0,5 (, ) (, ), (, ) = 2 ( ) (, ) [ (, )] ( ) [ (, )] [] 0,5 x + 0,75 + x 0,5 x 1,5 + 0,5 x 0,75 + x 1,5 x N(x) = x 2 x + 0,25 N(x) = x 2 x + 0,25 Poznámka: Uka zali jsme, z e vy sledny tvar mnohoc lenu naprosto neza lez ı na por adı bodu zapisovany ch do tabulky. [6, str. 30]

Příklad 2.3. přidání dalšího uzlového bodu příklad 1.3. 1 0 1,5 0,5 2,25 0,25 1 0,5, (, ) = 2,, (, ), = 0,5,, (, ),5, = 2 3, (, ), = 2 N(x) = 2,25+( 2) [x ( 1)]+(1) [x ( 1)] [x (0)]+ 2 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] = 3 = 2,25 2 x 2 + x + x + 2 3 x + 2 3 x x x = vy sledek pu vodnı ho pr ıḱladu + dodatek N(x) = x 2 x + 0,25 + 2 3 x3 + 2 3 x2 x 2 x = = 2 3 x3 + 2 3 x2 2x + 0,25

3. Závěrečná poznámka

Jak je zr ejme z pr edchozı ho obra zku uvedene ho v pra ci [4], nestac ı se pr i studiu pru be hu funkce f(x) omezit pouze na mnohoc leny. Mnohoc len L(x) (na pr edchozıḿ obra zku modr e) popisuje chova nı raciona lnı funkce f(x) (na obra zku c ervene ) na intervalu: (-1,1 ; 1,1) dostatec ne vy stiz ne (-3,9 ; -3,3) ne moc uspokojive a na intervalu napr ıḱlad (6 ; ) je naproto mimo mísu.

Použitá literatura [1] C, R., M, M., V, J., Z, C. Základy numerické matematiky a programování. Praha : Sta tnı nakladatelstvı technicke literatury, Celosta tnı vysokos kolska uc ebnice pro strojnı, elektrotechnicke a stavebnı fakulty vysoky ch s kol technicky ch, Praha 1987, 448 s. [2] D, J. Matematika IV, Numerická analýza. Brno : Fakulta stavebnı VUT, 2009, 130 s. [Dostupne z adresy:] [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp] [3] D, J., B, J. Matematika IV. [skriptum] Brno : VUT, Fakulta elektrotechnicka, 1991, 120 s. [Dostupne z adresy:] http://rschwarz.wz.cz/fast/db_skripta.pdf [4] K, J., R, P. Numerické metody. Univerzita obrany, [Dostupne z adresy:] https://moodle.unob.cz/course/view.php?id=1169 [5] P, I., V, V. Numerické metody I. Vysoka s kola ba n ska Technicka univerzita Ostrava, Za padoc eska univerzita v Plzni, 2011, 191 s. [on line] http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/numericke_metody.pdf [6] P, P. Numerické metody matematické analýzy. Praha : Sta tnı nakladatelstvı technicke literatury, Matematika pro vysoke s koly technicke, ses it XXIV, Praha, 1985, 192 s.