Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.
|
|
|
- Jakub Macháček
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin x = x Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin x a y = x 2 + 2, vidíme, že kladný kořen leží v intervalu 1, 2. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = sin x + x 2 2: f(1) = sin < 0, f(2) = sin > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 1, 2 leží kořen rovnice f(x) = 0. y Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 1, 2 znaménko: f (x) = cos x + 2x > 0 pro x 1, 2 (protože 1 cos x 1 a 2x 2 pro x 1, 2 ). f (x) = sin x + 2 > 0 pro libovolné x (protože 1 sin x 1, tedy sin x + 2 > 0). Zvolíme x 0 = 2, protože f(2) > 0 a f (2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k sin x k + x 2 k 2 : cos x k + 2x k x 1 = 1,1882; x 2 = 1,0647; x 3 = 1,0616; x 4 = 1,0615. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,062. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 20x 3y + 4z = 40 2x + 10y 3z = 15 2x y 8z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 20 > 3 + 4, 10 > 2 + 3, 8 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (40 + 3y 20 k 4z k ) y k+1 = 1 (15 2x 10 k+1 + 3z k ) z k+1 = 1 (20 2x 8 k+1 + y k+1 ) Vyjde: x 1 = ( )/20 = 2, y 1 = ( )/10 = 1,1, z 1 = ( ,1)/8 = 2,1375 x 2 = 2,5925, y 2. = 0,3402, z2. = 1, x
2 Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i f i Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = 6 (x 0) (x 2) (x + 1) (x 2) (x + 1) (x 0) ( 1 0) ( 1 2) (0 + 1) (0 2) (2 + 1) (2 0) = 2x2 3x + 1 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 1) = 2 ( 1) 2 3 ( 1) + 1 = 6 = f 0 ; P 2 (0) = 1 = f 1 ; P 2 (2) = = 3 = f 2.
3 B 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 4 desetinná místa záporný kořen rovnice 2e x x 4 = 0. Rovnici lze upravit na 2e x = x + 4. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = 2e x a y = x + 4, vidíme, že záporný kořen leží v intervalu 4, 3. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = 2e x x 4: f( 4) = 2e > 0, f( 3) = 2e < 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 4, 3 leží kořen rovnice f(x) = Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 4, 3 znaménko: f (x) = 2e x 1 < 0 pro x 4, 3 (protože 2e x 2e 3. = 0,1). f (x) = 2e x > 0 pro libovolné x. Zvolíme x 0 = 4, protože f( 4) > 0 a f ( 4) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k 2ex k xk 4 2e x k 1 : x 1 = 3,9620; x 2 = 3,9619; x 3 = 3,9619. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 3,9619. Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 10x + y 2z = 30 3x + 20y 4z = 10 x 4y 40z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (3; 1; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 10 > 1 + 2, 20 > 3 + 4, 40 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (30 y 10 k + 2z k ) y k+1 = 1 (10 3x 20 k + 4z k ) z k+1 = 1 40 k + 4y k ) Vyjde: x 1 = ( )/10 = 2,9, y 1 = ( )/20 = 0,05, z 1 = ( )/40 = 0,525 x 2 = 2,89 y 2 = 0,04, z 2 = 0,4325 x y
4 Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i f i Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = (x 0) (x 2) (x + 2) (x 2) (x + 2) (x 0) ( 2 0) ( 2 2) (0 + 2) (0 2) (2 + 2) (2 0) = = 2x 2 + 3x 1 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 2) = 2 ( 2) ( 2) 1 = 15 = f 0 ; P 2 (0) = 1 = f 1 ; P 2 (2) = = 3 = f 2.
5 C 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa záporný kořen rovnice cos x + x 2 3 = 0. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! Rovnici lze upravit na cos x = x Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = cos x a y = x , vidíme, že záporný kořen leží v intervalu 2, 1. y 2 Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = cos x + x 2 3: 1 f( 1) = cos( 1) < 0, f( 2) = cos( 2) > 0, x znaménka jsou opačná, v intervalu 2, 1 leží 1 kořen rovnice f(x) = 0. Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 2, 1 znaménko: f (x) = sin x + 2x < 0 pro x 2, 1 (protože 1 sin x 1 a 2x 2 pro x 2, 1 ). f (x) = cos x + 2 > 0 pro libovolné x (protože 1 cos x 1, tedy cos x + 2 > 0). Zvolíme x 0 = 2, protože f( 2) > 0 a f ( 2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k cos x k + x 2 k 3 : sin x k + 2x k x 1 = 1,8111; x 2 = 1,7952; x 3 = 1,7951. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,795. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 20x 3y + 5z = 50 3x 10y 2z = 20 x 2y + 5z = 10 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 20 > 3 + 5, 10 > 3 + 2, 5 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (50 + 3y 20 k 5z k ) y k+1 = 1 10 k+1 + 2z k ) z k+1 = 1 (10 x 5 k+1 + 2y k+1 ) Vyjde: x 1 = ( )/20 = 2,5, y 1 = (20 3 2, )/10 = 1,25, z 1 = (10 2,5 + 2 ( 1,25))/5 = 1 x 2 = 2,0625, y 2 = 1,58125, z 2 = 0,955
6 Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i f i Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = (x 0) (x 2) (x + 1) (x 2) (x + 1) (x 0) ( 1 0) ( 1 2) (0 + 1) (0 2) (2 + 1) (2 0) = = 3x 2 x + 2 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 1) = 3 ( 1) 2 ( 1) + 2 = 6 = f 0 ; P 2 (0) = 2 = f 1 ; P 2 (2) = = 12 = f 2.
7 D 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 4 desetinná místa kladný kořen rovnice e x 2x 3 = 0. Rovnici lze upravit na e x = 2x + 3. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = 8 e x a y = 2x + 3, vidíme, že kladný kořen leží v intervalu 1, 2. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce 6 f(x) = e x 2x 3: f(1) = e 2 3 < 0, f(2) = e > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 1, 2 leží kořen rovnice f(x) = 0. y 4 Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla 2 zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 1, 2 znaménko: f (x) = e x 2 > 0 pro x 1, 2 (protože e x e = ,7 pro x 1, 2 ). x f (x) = e x > 0 pro libovolné x. Zvolíme x 0 = 2, protože f(2) > 0 a f (2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k ex k 2xk 3 : e x k 2 x 1 = 1,9278; x 2 = 1,9239; x 3 = 1,9239. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,9239. Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 5x 2y + z = 15 2x 20y + 5z = 30 3x y + 10z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = ( 3; 1; 2) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 5 > 2 + 1, 20 > 2 + 5, 10 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 5 ( y k z k ) y k+1 = 1 20 k 5z k ) z k+1 = 1 (20 3x 10 k + y k ) Vyjde: x 1 = ( ( 1) 2)/5 = 3,8, y 1 = (30 2 ( 3) 5 2)/20 = 1,3, z 1 = (20 3 ( 3) + ( 1))/10 = 2,8 x 2 = 4,08, y 2 = 1,18, z 2 = 3,01
8 Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i f i Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = (x 0) (x 1) (x + 2) (x 1) (x + 2) (x 0) ( 2 0) ( 2 1) (0 + 2) (0 1) (1 + 2) (1 0) = = 3x 2 + 2x 4 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 2) = 3 ( 2) ( 2) 4 = 4 = f 0 ; P 2 (0) = 4 = f 1 ; P 2 (1) = = 1 = f 2.
9 A 10 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 4 desetinná místa záporný kořen rovnice e x 2x 3 = 0. Rovnici lze upravit na e x = 2x + 3. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = 8 e x a y = 2x+3, vidíme, že záporný kořen leží v intervalu 2, 1. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce 6 f(x) = e x 2x 3: f( 1) = e < 0, f( 2) = e > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 2, 1 leží kořen rovnice f(x) = 0. y 4 Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla 2 zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 2, 1 znaménko: f (x) = e x 2 < 0 pro x 2, 1 (protože e x e 1. = 0,37 pro x 2, 1 ). x f (x) = e x > 0 pro libovolné x. Zvolíme x 0 = 2, protože f( 2) > 0 a f ( 2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k ex k 2xk 3 : e x k 2 x 1 = 1,3911; x 2 = 1,3734; x 3 = 1,3734. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,3734. Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 20x 3y + 5z = 50 3x 10y 2z = 20 x 2y + 5z = 10 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (2; 1; 2) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 20 > 3 + 5, 10 > 3 + 2, 5 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (50 + 3y 20 k 5z k ) y k+1 = 1 10 k + 2z k ) z k+1 = 1 (10 x 5 k + 2y k ) Vyjde: x 1 = (50+3 ( 1) 5 2)/20 = 1,85, y 1 = ( )/10 = 1,8, z 1 = ( ( 1))/5 = 1,2 x 2 = 1,93, y 2 = 1,685, z 2 = 0,91
10 Př. 3. Aproximujte funkci f(x) = 1/(2 + x 2 ) pomocí interpolačního polynomu s uzly x 0 = 0,4, x 1 = 0 a x 2 = 0,4. Pak pomocí nalezeného interpolačního polynomu vypočtěte přibližně f(0,1) a výsledek porovnejte s přesnou hodnotou. Nejjednodušší je výpočet pomocí Newtonova interpolačního polynomu pro ekvidistantní uzly, ale lze i pomocí obecného Newtonova nebo Lagrangeova i.p. Řešení pomocí speciálního tvaru pro ekvidistantní uzly: Tabulka obyčejných diferencí P 2 (x) = 0, , 0370q 0,0741 q(q 1), kde q = x+0,4 2 0,4 x i f i -0,4 0,4630 0,0370-0, ,5-0,0370 0,4 0,4630 P 2 (0,1). = 0,4977 (za q dosadíme 0,1+0,4 0,4 = 1,25), Přesně: 1/(2 + 0,1 2 ). = 0,4975 Řešení pomocí obecného tvaru: Tabulka poměrných diferencí: P 2 (x) = 0, ,0926(x + 0,4) 0,2315(x + 0,4)(x 0) x i f i -0,4 0,4630 0,0926-0, ,5-0,0926 0,4 0,4630 P 2 (0,1). = 0,4977 Přesně: 1/(2 + 0,1 2 ). = 0,4975
11 B 10 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! cos x + x 2 3 = 0. Rovnici lze upravit na cos x = x Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = cos x a y = x 2 + 3, vidíme, že kladný kořen leží v intervalu 1, 2. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = cos x + x 2 3: f(1) = cos < 0, f(2) = cos > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 1, 2 leží kořen rovnice f(x) = 0. y Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 1, 2 znaménko: f (x) = sin x + 2x > 0 pro x 1, 2 (protože 1 sin x 1 a 2x 2 pro x 1, 2 ). f (x) = cos x + 2 > 0 pro libovolné x (protože 1 cos x 1, tedy cos x + 2 > 0). Zvolíme x 0 = 2, protože f(2) > 0 a f (2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k cos x k + x 2 k 3 : sin x k + 2x k x 1 = 1,8111; x 2 = 1,7952; x 3 = 1,7951. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,795. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 5x 2y + z = 15 2x 20y + 5z = 30 3x y + 10z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 5 > 2 + 1, 20 > 2 + 5, 10 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 5 ( y k z k ) y k+1 = 1 20 k+1 5z k ) z k+1 = 1 (20 3x 10 k+1 + y k+1 ) Vyjde: x 1 = ( )/5 = 3, y 1 = (30 2 ( 3) 5 0)/20 = 1,8, z 1 = (20 3 ( 3) + ( 1,8))/10 = 2,72 x 2 = 4,264, y 2 = 1,2464, z 2. = 3, x
12 Př. 3. Aproximujte funkci f(x) = 1/(1 + 2x 2 ) pomocí interpolačního polynomu s uzly x 0 = 0,5, x 1 = 0 a x 2 = 0,5. Pak pomocí nalezeného interpolačního polynomu vypočtěte přibližně f(0,2) a výsledek porovnejte s přesnou hodnotou. Nejjednodušší je výpočet pomocí Newtonova interpolačního polynomu pro ekvidistantní uzly, ale lze i pomocí obecného Newtonova nebo Lagrangeova i.p. Řešení pomocí speciálního tvaru pro ekvidistantní uzly: Tabulka obyčejných diferencí P 2 (x) = 0, , 3333q 0,6667 q(q 1), kde q = x+0,5 2 0,5 x i f i -0,5 0,6667 0,3333-0, ,3333 0,5 0,6667 P 2 (0,2). = 0,9467 (za q dosadíme 0,2+0,5 0,5 = 1,4), Přesně: 1/( ,2 2 ). = 0,9259 Řešení pomocí obecného tvaru: Tabulka poměrných diferencí: P 2 (x) = 0, ,6667(x + 0,5) 1,3333(x + 0,5)(x 0) x i f i -0,5 0,6667 0,6667-1, ,6667 0,5 0,6667 P 2 (0,2). = 0,9467 Přesně: 1/( ,2 2 ). = 0,9259
A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!
A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00
Numerická matematika Banka řešených příkladů
Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6
Typy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)
Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5
Numerická matematika Písemky
Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva
INTERPOLAČNÍ POLYNOM. F (x)... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí
8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace Kateřina Konečná/1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení:
Moderní numerické metody
Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
INTERPOLAČNÍ POLYNOM.... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí
8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace 1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení: P (n) množina všech
0 0 a 2,n. JACOBIOVA ITERAČNÍ METODA. Ax = b (D + L + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D 1 (L + U)x + D 1 b. (i) + T J
6 Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro řešení systémů lin rovnic Kateřina Konečná/ ITERAČNÍ METODY PRO ŘEŠENÍ SYSTÉMŮ LINEÁRNÍCH ROVNIC Budeme se zabývat řešením soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a
Matematika 3. Sbírka příkladů z numerických metod. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY
Matematika 3 Sbírka příkladů z numerických metod RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 5 1.1 Jacobiho a Gauss-Seidelova metoda......................
Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
Co je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
Požadavky a podmínky zkoušky z Numerických metod I (2NU)
Požadavky a podmínky zkoušky z Numerických metod I (2NU) LS 2018/2019 Zkouška je písemná, trvá 90 min. Skládá se ze 3 praktických příkladů a 4 teoretických otázek. S sebou ke zkoušce: psací potřeby (čisté
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
METODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) METODA PROSTÉ ITERACE NEWTONOVA METODA
2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 1 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC - řešení nelineární rovnice f(x) = 0, - separace kořenů =
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Numerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková
Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
5. Interpolace a aproximace funkcí
5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x
Numerická matematika. Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou
Numerická matematika Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou Václav Bubník, xbubni01, sk. 60 FIT VUT v Brně, 2004 Obsah Numerická matematika...1 1. Teorie... 3 1.1 Diferenciální
III. MKP vlastní kmitání
Jiří Máca - katedra mechaniky - B325 - tel. 2 2435 4500 maca@fsv.cvut.cz III. MKP vlastní kmitání 1. Rovnice vlastního kmitání 2. Rayleighova Ritzova metoda 3. Jacobiho metoda 4. Metoda inverzních iterací
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012
Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic
Důvodů proč se zabývat numerickou matematikou je více. Ze základní školy si odnášíme znalost, že číslo
0.1 Numerická matematika 1 0.1 Numerická matematika Důvodů proč se zabývat numerickou matematikou je více. Ze základní školy si odnášíme znalost, že číslo π. = 22/7 s dovětkem, že to pro praxi stačí. Položme
Pozn. 1. Při návrhu aproximace bychom měli aproximační funkci vybírat tak, aby vektory ϕ (i) byly lineárně
9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. DISKRÉTNÍ METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ použití: v případech, kdy je nevhodná interpolace využití: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.
Numerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Newtonova metoda. 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce
Řešení nelineárních rovnic
Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS
Hledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.
Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Pseudospektrální metody
Pseudospektrální metody Obecně: založeny na rozvoji do bázových funkcí s globálním nosičem řešení diferenciální rovnice aproximuje sumou kde jsou např. Čebyševovy polynomy nebo trigonometrické funkce tyto
1 Diference a diferenční rovnice
1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou
F A,B = Vektory baze vyjádřete jako aritmetické vektory souřadnic vzhledem
Přezdívka: Jméno a příjmení: výsledek 11 8 18 4 1 4 1 1 1 9 4 4 4 Určete které z vektorů B v 1 = 1 B v = 6 leží v oboru hodnot lineárního zobrazení zadaného maticí 1 1 1 5 1 15 1 6 5 Ten, který leží, můžete
Čebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
Numerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu
České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM
OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
Globální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden
výsledek 2209 y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3.
Vypočtěte y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3. y(x) = x sin2x 4. y(x) = x cos2x 5. y(x) = e x 1 6. y(x) = xe x 7. y(x)
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je
1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky
řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
Kombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
Příklady pro cvičení 22. dubna 2015
Úvod Předběžná verze (015) 1 1 Normy vektorů a matic, vlastnosti matic Příklad 1.1 Pro dané vektory x = ( 1; ; 1) T, y = (; 3; 1) T určete x =? x =? x 1 =? y =? y =? y 1 =? Příklad 1. Je dán vektor x =
Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola
![Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola](/thumbs/39/19231280.jpg "Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola")
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n
Numerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
Matematika 1 sbírka příkladů
Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které
ODR metody Runge-Kutta
ODR metody Runge-Kutta Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Úloha s počátečními podmínkami (Cauchyova) 1 řádu Hledáme aprox řešení Y(x) soustavy obyčejných diferenciálních rovnic 1 řádu kde Y(x) =
Obsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Řešení diferenciálních rovnic
Projekt M3 Řešení diferenciálních rovnic 1. Zadání A. Stanovte řešení dané diferenciální rovnice popřípadě soustavy rovnic. i) Pro úlohy M3.1 až M3.12: uveďte matematický popis použité metody sestavte
Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
DRN: Kořeny funkce numericky
DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f
úloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
metoda Regula Falsi 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda Regula Falsi Michal Čihák 23. října 2012 Metoda Regula Falsi hybridní metoda je kombinací metody sečen a metody půlení intervalů předpokladem je (podobně
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j
Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice
Minimum Maximum Minimum Maximum Studijní obory z matematiky z matematiky z matematiky z matematiky * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice * Obecná matematika Navazující magisterský studijní
Numerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
stránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
Numerická matematika: Pracovní listy
: Pracovní listy Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava K M D G Řy - Interpolace polynomy 1. 1 Interpolace a aproximace Úloha interpolace
Aproximace funkcí. Polynom Φ m (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c m x m. Φ m (x) = c 0 g 0 (x) + c 1 g 1 (x) + c 2 g 2 (x) +...
Aproximace funkcí 1 Úvod Aproximace funkce - výpočet funkčních hodnot nejbližší (v nějakém smyslu) funkce v určité třídě funkcí (funkce s nějakými neznámými parametry) Příklady funkcí používaných pro aproximaci
Numerická integrace a derivace
co byste měli umět po dnešní lekci: integrovat funkce různými metodami (lichoběžníkové pravidlo, Simpson,..) počítat vícenásobné integrály počítat integrály podél křivky a integrály komplexních funkcí
ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
4 všechny koeficienty jsou záporné, nedochází k žádné změně. Rovnice tedy záporné reálné kořeny nemá.
Přílad 1. Řešte v R rovnici x 4x + x 4 0. Výslede vypočtěte s přesností alespoň 0,07. 1) Reálné ořeny rovnice budou ležet v intervalu ( 5,5), protože největší z oeficientů polynomu bez ohledu na znaméno
Dělení. Demonstrační cvičení 8 INP
Dělení Demonstrační cvičení 8 INP Přístupy k dělení sekvenční s restaurací nezáporného zbytku bez restaurace nezáporného zbytku SRT kombinační obvod založen na úplné odečítačce iterační algoritmy Newtonův
ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
MATLAB a numerické metody
MATLAB a numerické metod MATLAB je velmi vhodný nástroj pro numerické výpočt mnoho problémů je již vřešeno (knihovní funkce nebo Toolbo), jiné si můžeme naprogramovat sami. Budeme se zabývat některými
Zadání semestrálních prací 2NU, 2016/17, doc. Martišek
Zadání semestrálních prací NU, 016/17, doc. Martišek Každý(á) student(ka) najde u svého jména čísla dvou úloh, které vypracuje. U každé úlohy prosím uvést jméno, příjmení, studijní skupinu, den a hodinu,
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace
LEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0,
Zlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
Numerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
Numerické metody lineární algebry
Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran
diferenciální rovnice verze 1.1
Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování
APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL
APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce