Trinomial Option Pricing Model with Yang-Zhang Volatility

Abstract Trinomial Option Pricing Model with Yang-Zhang Volatility Patrice Marek, Blanka Šedivá 1 Binomial and Trinomial option pricing models are popular because they can be used for many types of options. Both models produce the same results for a vanilla option on a stock that does not pay a dividend and the main advantage of the trinomial model for pricing this type of option is, therefore, only in the number of time steps as it requires half the number of steps compared to the binomial model. This paper is focused on pricing of the American options where the underlying stock pays several dividends during the life of an option. Special attention is paid to the estimation of the volatility. The trinomial model with the Yang-Zhang volatility that handles both opening jumps and drift is used in this paper to estimate the price of options for several stocks that pay dividends and results are compared to the market price of the options. Key words Trinomial model, Yang-Zhang volatility, option pricing, American option, dividends JEL Classification: G13 1. Úvod Binomický model pro oceňování opcí je popsán v článku Cox, Ross a Rubinstein (1979), kde je ukázáno, že v sobě zahrnuje, jakožto speciální limitní případ, již dříve publikovaný spojitý Blackův-Scholesův model (blíže Black a Scholes (1973)). Univerzálnost binomického modelu je v článku Cox, Ross a Rubinstein (1979) demonstrována na jeho využitelnosti pro ocenění opcí vypsaných na aktiva vyplácející dividendy a na americké opce, tj. na opce, které umožňují předčasné uplatnění. Trinomický model pro oceňování opcí je odvozen v článku Boyle (1986) a zobecněn v článku Boyle (1988) pro ocenění opcí na dvě podkladová aktiva. Konvergence trinomického modelu a binomickému modelu je přehledně demonstrována v článku Tichý (2006), kde je nejdříve zkoumána konvergence obou modelů k Blackovu-Scholesovu modelu pro evropskou opci na podkladové aktivum nevyplácející dividendu. Ze srovnání je zřejmé, že trinomický model konverguje mnohem rychleji a netrpí fluktuacemi, které je možno pozorovat u binomického modelu. Dále jsou v tomto článku prezentovány výsledky pro americkou opci na podkladové aktivum, které nevyplácí dividendu. Zde je opět zřejmé, že trinomický model, na rozdíl od binomického modelu, netrpí vysokou fluktuací. Oba modely ale konvergují ke stejné hodnotě, která je v tomto případě jiná, než hodnota získaná z Blackova-Scholesova modelu, který pro americké opce nelze používat. V tomto článku se tedy vzhledem k výše uvedeným výhodám budeme zabývat trinomickým modelem, pomocí kterého oceníme americké opce, kde podkladové aktivum vyplácí během života opce několik dividend. Nejdůležitějším parametrem při oceňování opcí je odhad volatility podkladového aktiva (podrobný rozbor citlivosti na všechny vstupní 1 Ing. Patrice Marek Ph.D., aculty of Applied Sciences, University of West Bohemia, Plzeň, Czech Republic, patrke@kma.zcu.cz RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., aculty of Applied Sciences, University of West Bohemia, Plzeň, Czech Republic, sediva@kma.zcu.cz 747

parametry byl zkoumán v Abrahamová (2015)). Zaměříme se tedy především na způsob odhadu volatility, kde bude použita tzv. Yangova-Zhangova volatilita (Yang a Zhang (2000)) a srovnáme ji s klasickým odhadem volatility. 2. Trinomický model oceňování opcí Trinomický model je velmi podobný modelu binomickému. Zásadní rozdíl spočívá v tom, že se cena podkladového aktiva může pohybovat ve třech směrech růst, pokles a setrvání na stejné hodnotě (obecně může být poslední stav i jiný a nemusí tedy vyjadřovat pouze setrvání). V tomto článku budeme uvažovat, že cena aktiva v čase t (ozn. S(t)) může v následující časové jednotce t + Δt nabývat hodnoty: u S(t) s pravděpodobností p u (platí u > 1), S(t) s pravděpodobností p m = 1 p u p d a d S(t) s pravděpodobností p d (platí 0 < d < 1). Prvně bude uveden model, který předpokládá, že podkladové aktivum nevyplácí dividendu. Následně pak bude ukázáno, jak je možno problém s výplatou dividend vyřešit. 2.1. Trinomický model bez výplaty dividendy Jak uvádí Haugh (2007), tak existuje několik možností, jak stanovit hodnotu parametru u a hodnoty pravděpodobností, ale při dostatečném počtu časových kroků budou získané výsledky vždy stejné. Použijeme stejný popis jako Haugh (2007), tedy u = e σ 2Δt, (1) d = 1 u, (2) Δt p u = ( er 2 e σ Δt 2 e σ Δt 2 e σ Δt 2 Δt p d = ( eσ 2 e rδt 2 e σ Δt 2 e σ Δt 2 ) ) 2 2, (3), (4) p m = 1 p u p d, (5) Δt = T n, (6) kde u je míra růstu a d je míra poklesu do následující časové jednotky, p u, p m a p d jsou pravděpodobnosti růstu, setrvání a poklesu do následující časové jednotky, σ je roční volatilita podkladového aktiva, Δt je interval mezi časovými jednotkami, který je vypočten jako podíl doby do splatnosti opce (T) a zvoleného počtu časových kroků (n) a r je bezriziková úroková intenzita úročení. Vztah (2) zajišťuje (stejně jako v binomickém modelu), že se v trinomickém stromu stavy potkávají a s každou časovou jednotkou počet možných stavů narůstá o dva. Aby v modelu nefigurovaly záporné pravděpodobnosti, je nutné splnit podmínku (7) na počet časových kroků. 748

n r2 T 2σ2 (7) Vzhledem k běžným hodnotám parametrů, tj. r blízko nuly, T do hodnoty dvou let a σ obvykle vyšší než 0.1, bude často tato podmínka v podobě n 1. 2.2. Trinomický model s výplatou dividendy V případě, že podkladové aktivum vyplácí dividendu (předpokládáme klasický způsob výplaty, tedy pevná částka v pevně stanovený čas), tak po vyplacení dividendy již nebude docházet ke spojení uzlů trinomického stromu v následujícím období. Tím se růst počtu uzlů změní z lineárního na exponenciální a řešení bude časově velmi náročné. Z tohoto důvodu je možno použít jednoduchý postup, který byl popsán v článku Schroder (1988), kde je ukázáno, jak lze tento problém řešit v binomickém modelu. Stejný způsob lze použít i pro trinomický model, případně jakýkoli složitější (myšleno co do počtu možných budoucích stavů). Dle uvedeného postupu je nejdříve odečtena od aktuální ceny podkladového aktiva současná hodnota všech budoucích dividend, které budou vyplaceny během života opce (pro diskontování se opět použije r, tj. bezriziková úroková intenzita úročení). Tato cena je pak použita jako startovní při budování trinomického stromu. Následně se vytvoří celý trinomický strom s použitím u a d z rovnic (1) a (2). V každém uzlu již vytvořeného stromu se pak přičte současná hodnota všech budoucích dividend, které mají být vyplaceny ve zbytku života opce. Tímto je získán strom stejných rozměrů jako je tomu v případě akcie nevyplácející dividendu a tento strom je pak využit pro klasický výpočet, kdy je ze tří budoucích stavů získán jeden předchozí stav, dokud není dosaženo prvního stavu, tj. ceny opce (podrobně v Haugh (2007)). V případě, že je oceňována americká opce na akcii vyplácejí dividendu, tak je v každém uzlu potřeba ověřovat podmínku, zda je hodnota opce vyšší, než zisk z případného předčasného uplatnění, pro call opci tedy cena akcie v daném uzlu upraveného stromu ponížená o realizační cenu a v případě put opce je zisk z předčasného uplatnění roven realizační ceně opce ponížené o cenu akcie v daném uzlu upraveného stromu. 3. Volatilita Volatilita je zásadním parametrem trinomického modelu a proto je potřeba jí věnovat značnou pozornost. Způsobů, jak historickou volatilitu odhadovat je celá řada a přehled nejběžnějších je uveden a popsán v Bennett (2014, str. 232 244). Jak je zde uvedeno, tak odhad volatility prezentovaný Yangem a Zhangem (2000) se dokáže vypořádat s celou řadou běžných problému při odhadování. V práci tedy použijeme tento odhad volatility a srovnáme ho s klasickým odhadem, který používá pouze zavírací ceny aktiva. 3.1. Klasický odhad volatility Budeme uvažovat definici uvedenou v Bennett (2014, str. 242), kde je volatilita odhadnuta jako směrodatná odchylka logaritmických výnosů za předpokladu, že drift je nulový (nulová střední hodnota logaritmických výnosů), tedy N σ CC = N 1 (ln ( C 2 i )), (8) C i 1 kde C i je zavírací cena aktiva (upravená o případné vyplácené dividendy a dělení akcií), N je počet logaritmických výnosností použitých pro odhad volatility a je počet obchodních dnů v roce (v USA obvykle 252). Určení N, tedy počtu použitých dat, není nijak standardizováno. V Bennett (2014, str. 235) je uvedeno často používané doporučení brát tolik dní historie, 749

na kolik je potřeba volatilitu předpovídat. Doporučuje se rovněž používat násobky 3 měsíců, vzhledem k pravidelnému reportování čtvrtletních výsledků společností. 3.2. Yangova-Zhangova volatilita Yang a Zhang (2000) prezentovali ve svém článku odhad volatility, který je nevychýlený, založený na otevírací, minimální, maximální a zavírací ceně aktiva, nezávislý na driftu a skocích v cenách aktiva při otevření trhu. Rozptyl tohoto odhadu je pak nejnižší mezi všemi odhady volatility, které mají podobné vlastnosti. Před vlastním uvedením vzorce si zavedeme značení a některé základní výpočty. K odhadu volatility jsou potřeba následující vstupní data: O i je otevírací cena aktiva v itý den, H i je nejvyšší cena aktiva zaznamenaná v itý den, L i je nejnižší cena aktiva zaznamenaná v itý den a C i je zavírací cena aktiva zaznamenaná v itý den. U všech dat budeme předpokládat převod na bezdividendové ceny a úpravu o případné dělení akcií. Tento předpoklad není v Yang a Zhang (2000) explicitně uveden, ale pravděpodobně s ním bylo uvažováno, jinak by došlo k ovlivnění hodnoty o i z následujícího seznamu. S pomocí předchozích vstupních dat vypočteme tzv. normalizované ceny: o i = ln O i ln C i 1 představuje normalizovanou otevírací cenu v itý den, h i = ln H i ln O i představuje normalizovanou nejvyšší cenu v itý den, l i = ln L i ln O i představuje normalizovanou nejnižší cenu v itý den a c i = ln C i ln O i představuje normalizovanou zavírací cenu v itý den. Yangova-Zhangova volatilita se s využitím výše uvedeného spočte následujícím způsobem. σ YZ = σ 2 0 + k σ 2 C + (1 k) σ 2 RS, (9) σ RS N σ 2 0 = N 1 (o i o ) 2, (10) N σ 2 c = N 1 (c i c ) 2, (11) N 2 = N [h i(h i c i ) + l i (l i c i )], (12) k = 0.34 1.34 + N + 1. (13) N 1 4. Demonstrace modelů na reálných datech Použití trinomického modelu bude demonstrováno na opcích společností Amazon.com, Apple, Amgen a ord obchodovaných na NASDAQu a Coca-Cola obchodované na NYSE. Historické kurzy všech akcií byly získány ze stránek Yahoo inance (2015) a tržní ceny opcí, které slouží pro srovnání modelů, byly získány z Abrahamová (2015), kde jsou pro každou akcii k dispozici ceny opcí a akcií během obchodní fáze v období od 23. 10. 2014 do 21. 11. 2014. Pro každou akcii jsou k dispozici opce pro několik realizačních cen (obvykle 750

v penězích, na penězích a mimo peníze) a se splatností 21. 11. 2014 a 15. 1. 2016, dále pak pro ord a Coca-Colu se splatností 17. 1. 2015 a pro Amazon, Amgen a Apple se splatností 17. 4. 2015. Při odhadování bylo pro splatnost 15. 1. 2016 použito 150 časových kroků a pro ostatní splatnosti 100 časových kroků (n ve vzorci (6)). Před vlastním oceňováním opcí bude demonstrována rozdílnost volatilit, které budou používány v trinomickém modelu. Na obrázku 1 je zaznamenán průběh obou ročních volatilit pro společnost Apple v období od 1. 8. 2007 do 10. 7. 2015, kdy každý bod v grafu reprezentuje odhad volatility založený na 252 nejaktuálnějších hodnotách akcie (obvyklý počet obchodních dnů v roce v USA) dle postupů uvedených v kapitolách 3.1 a 3.2. V tomto konkrétním případě lze vysledovat největší rozdíl volatilit v letech 2010 a 2011. 0.6 0.55 Obrázek 1: Akcie společnosti Apple srovnání vývoje ročních volatilit vypočtených z posledních 252 obchodních dnů Yangova-Zhangova volatilita Klasicka volatilita Rocni volatilita 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 01/08/2007 30/07/2008 30/07/2009 30/07/2010 29/07/2011 30/07/2012 01/08/2013 01/08/2014 10/07/2015 Datum Krom volatility je potřeba při oceňování pracovat i s odhadem bezrizikové úrokové míry. Již bylo uvedeno, že modely nejsou na tuto proměnnou citlivé, tudíž nebude odhadu věnována velká pozornost. U všech modelů použijeme bezrizikovou úrokovou intenzitu úročení ve výši 0.05 % p. a., což je odhad založený na datech výnosností amerických krátkodobých dluhopisů (Treasury Bills) se splatností 26 týdnů z října 2014 (U.S. Department of the Treasury (2015)). Dále je potřeba pracovat s odhadem budoucích vyplacených dividend. Krom společnosti Amazon.com vyplácí všechny společnosti pravidelně čtvrtletně dividendu. Na základě historických výplat je jednoduché odhadnout dobu, kdy bude dividenda vyplacena. U výše dividendy je to již obtížnější, jelikož ta je ovlivněna ziskem společnosti a rozhodnutím vedení. U všech společností je obvyklé, že v jednom kalendářním roce se výše čtvrtletní dividendy nemění, proto byla případná dividenda pro rok 2014 odhadnuta na základě minulých dividend v tomto roce. U ostatních dividend byla jako odhad jejich budoucí výše opět zvolena hodnota z roku 2014, tedy vzhledem k již známé realitě došlo k mírnému podhodnocení její výše. Pro každou opci byl proveden odhad její ceny založený na rizicích odhadnutých dle částí 3.1. a 3.2., kdy počet použitých dat pro jejich odhad byl 5 (týdenní), 21 (měsíční), (čtvrtletní), 126 (půlroční), 252 (roční), 504 (dvouleté) a 756 (tříleté riziko). Výsledkem je 14 odhadnutých průběhů ceny opce v daném měsíčním období, kde σ CC označuje klasickou volatilitu spočtenou na základě posledních hodnot a σ YZ označuje Yangovu-Zhangovu volatilitu. Na obrázku 2 je demonstrován průběh odhadů pro call opci na akcie společnosti Apple (cena akcií na počátku období činila $104.95) s realizační cenou $100 a splatností 17. 4. 2015. Zobrazeny jsou pouze průběhy pro modely založené na volatilitě pro doporučené 126 hodnoty, tedy vzhledem ke splatnosti opce za půl roku to jsou σ CC a σ 126 YZ. Dále je pak uveden nejlepší zaznamenaný odhad, což v tomto případě byl model s σ YZ. Ve všech případech je modelová cena nižší než tržní, tedy buď všechny modely podhodnocují cenu (tedy volatilitu), nebo byla tržní cena opcí nadhodnocena. 751

Obrázek 2: Porovnání průběhů odhadnutých cen opcí na akcie společnosti Apple s tržní cenou 18 16 Cena opce 14 12 10 8 Yang-Zhang 126 dnu Yang-Zhang dnu CC 126 dnu Trzni cena opce Ne vždy lze vybrat nejlepší model tak, jak tomu je na obrázku 2, tj. ve všech dnech je daný odhad tržní ceně nejblíže. Především u krátkodobých volatilit dochází ke značným změnám a tedy i ke křížení průběhů cen opcí. Avšak i v případě krátkodobých volatilit nejsou průběhy nijak divoké a tak lze formulovat jednoduché pravidlo pro výběr nejbližšího modelu k tržní ceně, které je založené na průměrné relativní odchylce (η) modelové ceny (p E ) od tržní ceny (p M ) ve sledovaném období o délce τ dnů, tedy τ η = 1 τ p i M E p i M p. i Pro opce s brzkou dobou splatnosti může toto kritérium nabývat vysokých hodnot (p i M je blízká 0), proto došlo, pro informaci, k výpočtu i průměrné absolutní odchylky (ε) τ ε = 1 τ p i M p i E. Pro ukázku získaných výsledků budou uvedeny tabulky pro call a put opce se splatností v dubnu 2015, tedy opce pro společnosti Amazon.com, Amgen a Apple. Pro každou společnost je v závorce u názvu uvedena cena akcií na počátku období, dále následuje sloupec s realizační cenou opce (RC) a pak výsledky průměrných odchylek pro modely používající doporučenou dobu pro odhad volatility. Uváděny jsou jak odchylky η dle vzorce (14), tak odchylky ε spočtené dle vzorce (15). Tučně je vyznačen ten sloupec, kde byla zaznamenána nižší průměrná relativní odchylka. Dále je v tabulce vždy uveden i nejlepší model ze 14 použitých, kde u symbolu volatility lze zjistit, zda byla použita klasická volatilita (CC) nebo Yangova-Zhangova volatilita (YZ). Pokud je uveden pouze symbol a zbylé buňky neobsahují žádnou hodnotu, tak je nejlepší model shodný s jedním z doporučovaných modelů. V tabulkách 1 a 2 je u doporučované délky 126 dnů, tj. násobky 3 měsíců a doba přibližně stejná jako doba expirace opce, většinou výhodnější použít Yangovu-Zhangovu volatlitu, stejně tak i volatilita u nejlepšího zaznamenaného modelu je většinou Yangova-Zhangova. Shrnutí výsledků i pro ostatní délky splatnosti opcí je uvedeno v následující kapitole. 5. Závěr 23/10/2014 29/10/2014 4/11/2014 10/11/2014 17/11/2014 21/11/2014 V článku byl představen trinomický model oceňování opcí, ve kterém byla volatilita odhadována klasickým způsobem (ze zavíracích cen) a způsobem, který navrhli ve svém článku Yang a Zhang. Jejich odhad je nevychýlený, nezávislý na driftu a skocích v cenách (14) (15) 752

Amazon ($316.25) Amgen ($147.62) Apple ($104.95) Amazon ($316.25) Amgen ($147.62) Apple ($104.95) Tabulka 1: Průměrné odchylky (η a ε) pro call opce se splatností v dubnu 2015 RC Model (σ 126 CC ) Model (σ 126 YZ ) 753 Nejlepší model 280 4.29 % $1.66 6.51 % $2.33 504 σ YZ 3.51 % $1.45 300 7.86 % $1.88 13.60 % $3.14 σ CC 4.70 % $1.27 340 24.06 % $2.17 40.74 % $3.87 σ CC 9.20 % $0.92 140 4.47 % $0.89 3.35 % $0.72 252 σ YZ 2.69 % $0.60 160 4.74 % $0.31 1.57 % $0.14 126 σ YZ --- --- 170 6.25 % $0.23 5.15 % $0.27 756 σ YZ 3.89 % $0.20 100 11.28 % $1.37 8.65 % $1.06 σ YZ 3.34 % $0.43 110 23.72 % $1.57 17.07 % $1.14 σ YZ 4.34 % $0.33 120 39.94 % $1.27 28.22 % $0.91 σ YZ 4.86 % $0.20 Tabulka 2: Průměrné odchylky (η a ε) pro put opce se splatností v dubnu 2015 RC Model (σ 126 CC ) Model (σ 126 YZ ) Nejlepší model 340 6.93 % $2.89 11.19 % $2.83 σ CC 2.36 % $0.79 300 10.29 % $1.73 19.59 % $1.67 σ CC 5.33 % $0.32 280 10.98 % $1.32 19.96 % $2.51 504 σ YZ 10.36 % $1.14 160 3.25 % $1.25 1.36 % $0.46 252 σ YZ 1.42 % $0.65 140 26.47 % $1.66 21.04 % $0.82 504 σ YZ 5.55 % $0.18 120 11.28 % $1.37 8.65 % $1.06 σ YZ 3.34 % $0.43 110 23.72 % $1.57 17.07 % $1.14 σ YZ 4.34 % $0.33 100 39.94 % $1.27 28.22 % $0.91 756 σ YZ 10.94 % $0.38 340 6.93 % $2.89 11.19 % $2.83 σ CC 2.36 % $0.79 aktiva při otevření trhu a rozptyl odhadu je nejnižší mezi všemi odhady volatility s podobnými vlastnostmi. U délky časové řady použité pro odhady volatilit bylo vzhledem k pravidelným tříměsíčním reportům společností dodržováno doporučení používat násobky 3 měsíců pro delší období a délku následně volit co nejbližší k době splatnosti opce. Použity byly odhady založené na nejaktuálnějších 5, 21,, 126, 252, 504 a 756 obchodních dnech. Ukázka získaných výsledků byla demonstrována v tabulkách 1 a 2, které obsahují 3 z celkových 14 použitých modelů doporučené délky pro obě volatility a následně nejlepší zaznamenaný model. Vše je hodnoceno s předpokladem správného tržního ocenění opcí, tedy byl hledán model, který se nejvíce blížil tržní ceně. Z druhého pohledu by mohla být tržní cena hodnocena vůči doporučenému modelu, jehož cena by byla pokládána za správnou, a mohlo by být zkoumáno, zda je nadhodnocena či podhodnocena (např. na obrázku 1 je tržní cena nadhodnocená). V případě výsledků v tabulkách 1 a 2 se jednalo o opce, které měly splatnost přibližně za půl roku. Výsledky nejsou jednoznačné, ale ve více případech se jeví jako lepší používat Yangovu-Zhangovu volatilitu. Krom společnosti Amazon.com jsou chyby u nejlepších zaznamenaných modelů poměrně nízké, maximálně desítky centů. U opcí splatných v lednu 2016, tedy za více než rok, bylo u 4 z 5 použitých společností vhodnější používat 252denní Yangovu-Zhangovu volatilitu, pouze u společnosti Amazon.com byla vhodnější klasická volatilita pro put opce, ale pro call opce již bylo vhodnější používat Yangovu-Zhangovu volatilitu. Nejlepších výsledků dosahovaly opět ve více případech modely založené na Yangově-Zhangově volatilitě s délkou, která byla značně různorodá (od do 756 dnů s častým výskytem 504 a 756 dnů). Chyba nejlepších modelů se pohybovala většinou do 2 %, krom opcí mimo peníze, jejichž cena je nízká a rozdíl v řádu několika centů je pak při procentním vyjádření vysoký. V absolutním vyjádření byla chyba často do maximální výše 20 centů, s výjimkou Amazonu.com, kde dosáhla až dvou dolarů.

U opcí splatných v lednu 2015, tedy přibližně za čtvrt roku, byly k dispozici data pro společnosti ord a Coca-Cola. Ve většině případů je zde vhodnější použít klasickou volatilitu. Nejlepších výsledků mezi všemi modely bylo dosaženo také s klasickou volatilitou, ale téměř vždy založenou na delší historii (včetně 756denní). Vzhledem k nízkým cenám opcí s krátkou dobou splatnosti je vhodnější uvádět absolutní chybu, která pro nejlepší modely nikdy nepřekročila 10 centů. Pro opce splatné již na konci sledovaného měsíčního období byla používána volatilita založená na posledních 21 dnech a téměř ve všech případech je vhodnější používat klasickou volatilitu. Stejně jako v minulém případě, tak i zde bylo dosaženo nejlepších výsledků z větší části za použití klasické volatility. Vzhledem k velice krátké době splatnosti docházelo k vysokým relativním chybám u opcí mimo peníze. U absolutní chyby byla průměrná hodnota často nízká, obvykle do 20 centů, krom opcí na společnost Amazon.com, kde chyba u opce na penězích dosahovala $3. Z uvedených výsledků plyne, že opce společnosti Amazon.com se chovaly jinak, než opce ostatních 4 společností, kde byly výsledky většinou dobré. Lze tedy vyslovit hypotézu, že ocenění opcí společnosti Amazon.com není správné a bylo by možné tuto skutečnost využít k případnému zisku. Z výsledků plyne doporučení používat při ocenění trinomickým modelem Yangovu- Zhangovu volatilitu pro opce se splatností alespoň půl roku a pro kratší doby používat výpočet založený na klasické volatilitě. References [1] Abrahamová, M. (2015). Binomický a trinomický model oceňování opcí. Diplomová práce. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, akulta aplikovaných věd. Vedoucí práce: Patrice Marek. [2] Bennett, C. (2014). Trading Volatility: Trading Volatility, Correlation, Term Structure and Skew. CreateSpace Independent Publishing Platform. [3] Black,. and Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, 81(3), pp. 7-654. [4] Boyle, P. (1986). Option Valuation Using a Three-Jump Process. International Options Journal, 3, pp. 7 12. [5] Boyle, P. (1988). A Lattice ramework for Option Pricing with Two State Variables. Journal of inancial and Quantitative Analysis, 23(1), pp. 1 12. [6] Cox, J.C., Ross, S.A. and Rubinstein M. (1979). Option Pricing: A Simplified Approach. Journal of inancial Economics, 7(3), pp. 229 2. [7] Yang, D. and Zhang, Q. (2000). Drift-independent volatility estimation based on high, low, open, and close prices. Journal of Business, 73(3), pp. 477 491. [8] Haug, E.G. (2007). The Complete Guide to Option Pricing ormulas. 2nd ed. New York: McGraw-Hill. [9] Schroder, M. (1988). Adapting the Binomial Model to Value Options on Assets with ixed-cash Payouts. inancial Analysts Journal, 44(6), pp. 54 62. [10] Tichý, T. (2006). The convergence of binomial and trinomial option pricing models. Modelling of inancial Risks Book of proceedings from 3rd international scientific conference, pp. 381 391. 754

[11] Yahoo inance - Business inance, Stock Market, Quotes, News. (2015). Retrieved July 29, 2015, from http://finance.yahoo.com/ [12] U.S. Department of the Treasury. (2015). Retrieved August 3, 2015, from http://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interestrates/pages/textview.aspx?data=billratesyear&year=2014 755