MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )
Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho pravdivosti. Příklady: Praha je hlavní město České republiky. 2 je racionální číslo. Číslo 2 je menší než číslo 2. Nezapomeňte napsat domácí cvičení! Druhá mocnina každého reálného čísla je větší nebo rovna nule. x 3 Na planetě Mars existuje život. Označování výroků malá písmena latinské abecedy ( a, b, c, ) Pravdivostní hodnota výroku (dvouhodnotová funkce na množině výroků dvouhodnotová logika)) a je pravdivý výrok ph(a ) = 1 a je nepravdivý výrok ph(a ) = 0 Negace výroku Označení a, čteme není pravda, že a, negace a Výrok a má opačnou pravdivostní hodnotu, než výrok a. Příklady: (bez předřazení slov není pravda že negujte následující výroky) a : Hodnota dané funkce v bodě 3 je větší než 5. b: V utkání padne aspoň 6 gólů. c : Mezi uvedenými čísly jsou nejvýše tři prvočísla. d : V testu jsem udělal právě dvě chyby. e: Každý den je důvod k radosti. f : Existuje aspoň jedno prvočíslo, které je sudé.
Logické operace a logické spojky Logická operace Logická spojka Čteme negace a Není pravda, že a. disjunkce a b a nebo b konjunkce a b a a b, a a zároveň b implikace a b Jestliže a, potom b, a je postačující podmínka pro,. b je nutná podmínka pro a. ekvivalence a b a právě tehdy, jestliže b, a je nutná a postačující podmínka pro b. Formule výrokové logiky a) Každý výrok je formulí výrokové logiky. b) Jsou-li a a b formule výrokové logiky, potom a, a b, a b, a b, a b jsou rovněž formule výrokové logiky. c) Všechny formule výrokové logiky vznikají konečným počtem aplikací pravidel a) a b). Význam logických spojek a b a a b a b a b a b 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 Tautologie výrokové logiky Tautologií je každá formule výrokové logiky, která je vždy pravdivá, bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků.
Příklady: 1. Dokažte, že následující formule jsou tautologie: a a (zákon vyloučeného třetího) ( a) a (zákon negace) ( a b) ( b a) (pravidlo kontrapozice - obměna implikace) ( a b) ( a b) (1. de Morganovo pravidlo) ( a b) ( a b) (2. de Morganovo pravidlo) ( a b) (( a b) ( b a) ) ( a b) ( b a) (( a b) c) ( a ( b c) ) ( a b) ( b a), ( a b) ( b a), ( a b) ( b a) ( a a) a, ( a a) a, a ( a b), ( a b) a, a a, a a ( a b) ( a b), ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) (negace implikace),. Problém: Kolik nejméně logických spojek je potřeba pro zápis logických formulí? 2. Vyslovte obměnu, obrácení a negaci implikace: Jestliže nebudu připraven, budu vyvolán. 3. Vyslovte obměnu, obrácení a negaci věty: ( x N ) dělí n + 1). (2 nedělí n 2 4. Petr a Pavel čekají před kinem na své dva spolužáky Adama, Břetislava a Cyrila. Petr tvrdí: Přijde-li Adam a Břetislav, přijde i Cyril. Pavel říká: Já myslím, že když přijde Adam a nepřijde Cyril, nepřijde ani Břetislav. Na to povídá Petr: To přece říkáš totéž co já. Rozhodněte, zda oba skutečně říkají totéž.
Predikátová logika ( x) dosadíme-li za x v a ( x) libovolný prvek c z M, potom ( c) a je predikát s volnou proměnnou x na množině M, jestliže platí: a je výrok (ať již pravdivý nebo nepravdivý). Příklady predikátů: 2x 3 = 0 Přímka p protíná kružnici k se středem v počátku soustavy souřadnic a s poloměrem 2. Na planetě x ve Sluneční soustavě existuje život. Obyvatel planety Země je gramotný. Uvažujeme množinu { x M; a( x) } = X. Pokud platí: X = M, zapíšeme tuto skutečnost zápisem ( x M )( a( x) ), čteme pro všechna x z M platí a ( x) ( nazýváme obecný kvantifikátor). Pokud platí: X, zapíšeme tuto skutečnost zápisem ( x M )( a( x) ), čteme existuje x z množiny M, tak, že a(x) ( nazýváme existenční kvantifikátor). Tautologie predikátové logiky (Negace formulí s kvantifikátory) (( x M )( a( x) )) ( x M )( a( x) ) (( x M )( a( x) )) ( x M )( a( x) )
Negování výroků s kvantifikátory: a a Každý prvek množiny M má Aspoň jeden prvek množiny M danou vlastnost nemá danou vlastnost Aspoň jeden prvek množiny M Žádný prvek množiny M nemá má danou vlastnost. danou vlastnost. Množina M má aspoň k prvků. Množina M má nejvýše k 1 prvků. Množina M má nejvýše k prvků. Množina M má aspoň k + 1 prvků. Množina M má právě k prvků. Množina M má nejvýše k 1 nebo aspoň k + 1 prvků. Příklady: 5. Vyjádřete pomocí nástrojů predikátové logiky následující tvrzení: ke každému x z množiny A existuje y z množiny B tak, že pro všechna z z množiny A platí: x je prvkem y a zároveň z je různé od y. Zapište negaci vzniklé formule a zjednodušte ji. 6. Utvořte negaci výroků: Do divadla se mnou půjde nejvýše jeden z mých dvou bratrů. Budu-li vytrvalý, dosáhnu svého cíle. Chléb koupím právě tehdy, když nekoupím rohlíky. 7. Činnost generátorů A, B, C v jedné elektrárně je dána podmínkami: Když není v chodu A, je v činnosti B. Jestliže není v provozu B a není v provozu ani C, pak je mimo provoz i A. Je-li vypnut A a zapnut B, pak je zapnut také C. Určete všechny možnosti pro práci této trojice generátorů. Podmínku vyjádřete jedním výrokem.