Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha č. 6: Měření povrchového napětí kapalin, Měření vnitřního tření kapalin Měření vnitřního tření vzduchu Jméno: Ondřej Ticháček Pracovní skupina: 6 Kruh: ZS 6 Datum měření: 1.10.01 Klasifikace: Část I Měření povrchového napětí kapalin 1 Zadání 1. Stanovte povrchové napětí vody a lihu (při pokojové teplotě) přímým měřením na torzních vahách. Proved te nejméně 10 měření pro každou kapalinu.. Srovnáním s vodou určete při pokojové teplotě povrchové napětí lihu kapkovou metodou pomocí dvou až tří různých kapilár. Proved te korekci na těkavost lihu. Vypracování.1 Použité přístroje Torzní váhy Meopta s příslušenstvím, Analytické váhy Meopta se sadou závaží a příslušenstvím, kádinky, stojánek s nálevkou (upraveno na odkapávání kapaliny z kapiláry), uzavíratelná zabroušená nádobka, teploměr, stopky, voda, líh.. Teoretický úvod Povrchové napětí je makroskopickým projevem přitažlivých sil mezi molekulami kapaliny. Je to síla, která působí v rovině povrchu kapaliny na délkovou jednotku rovněž v povrchu kapaliny kolmo k této délce. Povrchové napětí typicky značíme σ. Přímo z definice plyne vztah σ = F l, (1) kde F je síla působící na délku l v rovině povrchu kapaliny. Povrchové napětí je potenciální silou proto se například kapky vody snaží zaujmout tvar koule tj. stav s nejmenším povrchem a tedy i potenciálem povrchového napětí. Z mikroskopického hlediska má povrchové napětí původ Obrázek 1: Schématické zobrazení sil působících na molekuly v geometrii rozložení přitažlivých sil v objemu kapaliny. Uvnitř kapaliny působí na každou molekulu přitažlivé síly ze všech stran stejně, v povrchových vrstvách je rozložení sil směrově závislé. Ve směru do středu ka- při povrchu a uvnitř kapaliny [] paliny je výsledná síla od ostatních molekul největší, ve směru opačném je síla nulová 1. Povrchové napětí je u různých kapalin různé. Je rovněž funkcí teploty obecně se dá říci, že s rostoucí s teplotou se povrchové napětí snižuje. Kinetická energie neuspořádaného pohybu molekul se totiž s rostoucí teplotou zvyšuje. Na povrchové napětí má také vliv látka, která se nachází nad povrchem. Čím silnější je vazba mezi molekulami kapaliny a molekulami této látky, tím je povrchové napětí nižší. 1 Toto platí uvažujeme-li kapalinu s minimálním potenciálem povrchového napětí. Je-li kapalina ve stavu s vyšší potenciální energií povrchového napětí, může být síla ve směru od středu nenulová. Taková kapalina se ovšem bude snažit dostat do základního stavu geometrického tvaru s minimální energií, kde již tato síla nulová je. 1
Povrchové napětí má v SI jednotku N m 1 a její rozměr je [ σ] = kg s. Povrchové napětí můžeme měřit různými metodami, uvedeme zde ovšem pouze ty, které jsme v úloze použili...1 Přímé měření Povrchové napětí kapaliny můžeme určit pomocí rovného drátku délky l, který ponoříme do kapaliny. Drátek pak z kapaliny vytahujeme kolmo vzhůru. Povrchová vrstva nejdříve vytažení drátku brání, po chvíli se ale vytvoří oboustranná povrchová blanka. Na drátek délky l působí síla l σ. K vytažení drátku z kapaliny dojde tehdy, když síla, kterou drátek vytahujeme, dosáhne hodnoty Pro vyvíjení i měření síly F můžeme použít torzních vah... Kapková metoda F = lσ. () Kapalina vytékající ze svislé trubice zůstává na jejím spodním konci a tvoří kapku. Jakmile tíha kapky přesáhne velikost síly vyvolané povrchovým napětím, kapka se odtrhne. To můžeme popsat rovnicí µg = πrσ, (3) kde R je vnější poloměr trubice a µ je hmotnost kapky. Hmotnost µ však změřit nelze, nebot se kapka nikdy neodtrhne celá, ale jen její část. Na trubici ovšem vždy zůstává přibližně stejná poměrná část kapky, takže vážením stejného množství kapek dvou kapalin dostaneme hmotnosti M 1 a M které jsou ve stejném poměru jako hmotnosti kapek před odtržením. Definujeme-li m jako hmotnost části kapky, která se utrhne, máme Kombinací dvou předchozích rovnic jednoduše dostaneme M 1 M = µ 1 µ = m 1 m (4) σ 1 σ = M 1 M = m 1 m. (5) Známe-li tedy povrchové napětí srovnávací kapaliny σ 1, lze spočítat σ ze vztahu Rovnost s m 1 a m využijeme, nesplníme-li podmínku stejného počtu kapek..3 Postup měření.3.1 Přímé měření σ = σ 1 M M 1 = σ 1 m m 1. (6) Přímé měření se provádí pomocí torzních vah. Torzní váhy jsou velmi citlivé, ovšem závislé na vnějších podmínkách např. teplotě. Nejdříve tedy stanovíme korekční faktor vah, kterým budeme všechny naměřené hodnoty násobit předpokládáme lineární závislost. Tento faktor stanovíme pomocí závaží o přesné hmotnosti ( m k = 390mg ). Na torzních vahách jej zvážíme, hodnotu označíme m k. Korekční faktor k pak získáme podle vztahu k = m k m. (7) k Z jakékoli hodnoty m odečtené na vahách získáme správnou hodnotu m (nepočítaje chyby měření) dle vztahu m = k m. (8) Připravíme si kádinku s kapalinou a rámeček s drátkem délky l, který zavěsíme na rameno vah. Na posuvný stoleček pod ramenem vložíme kádinku s kapalinou a stoleček vysuneme tak vysoko, aby se rámeček dostal pod hladinu kapaliny. Protože na rámeček působí síla tíhová a po vnoření do kapaliny navíc síla vztlaková, musíme určit počáteční sílu F 0. Tato síla odpovídá hmotnosti m 0 na vahách, kterou změříme a jednoduchým výpočtem následně určíme F 0. Sílu povrchového napětí určíme opět přes hmotnost změřenou na torzních vahách. Ve chvíli,
kdy se drátek vytáhne nad povrch kapaliny, odečteme na vahách hodnotu m 1. Povrchové napětí pak bude dáno vztahem σ = F l = F 1 F 0 = k g m 1 m 0 (9) l l Při určování povrchového napětí lihu jsme použili drátek o délce l 1. Potom, co jsme doměřili se zjistilo, že je drátek přetržený. Proto jsme pro následující měření povrchového napětí vody použili drátek jiný o délce l. Vlastní měření sil probíhá následovně: ˆ Pomocí kolečka na regulaci výšky stolku a pomocí torzního šroubu nastavíme výchozí polohu drátek musí být mm pod hladinou a jazýček vahadla se kryje s ryskou na zrcátku. ˆ Otáčíme torzním šroubem tak, aby byl drátek těsně pod hladinou a zároveň se jazýček kryl s ryskou. Pokud se tak nestane, musíme upravit výšku stolku. V této pozici odečteme hodnotu m 0. ˆ Otáčíme torzním šroubem tak, abychom zvyšovali sílu vyvíjenou na drátek směrem vzhůru, zároveň upravujeme výšku stolku. Podmínkou je, aby se stále kryl jazýček vahadla s ryskou na zrcátku. ˆ Při určité síle F 1 se drátek odtrhne od hladiny, v tuto chvíli zaznamenáme hodnotu m 1. Měření opakujeme 10-krát pro každou kapalinu..3. Kapková metoda Při této metodě budeme všechna měření hmotnosti provádět na analytických vahách. Postup vážení na analytických vahách Meopta je popsán např. v dokumentu [3], zde se jím zabývat nebudeme. Při této metodě budeme odkapávat určitý počet kapek do uzavíratelné nádoby přes kapiláru se zabroušeným koncem o vnějším poloměru R. Měříme pak hmotnost kapaliny v nádobě. Při práci s lihem měříme navíc dobu kapání, abychom mohli zpětně provést korekci na jeho těkavost. Průběh měření: ˆ Zvážíme prázdnou nádobu i se zátkou (toto již při dalších opakováních dělat nebudeme). ˆ Nastavíme vhodný průtok kapaliny kapilárou tak, aby se daly kapky počítat. ˆ Pod kapiláru vložíme uzavíratelnou nádobu, současně zapneme stopky, počítáme kapky. ˆ Po určitém počtu kapek nádobu vezmeme a zavřeme, současně odečteme čas na stopkách. ˆ Zvážíme nádobu na analytických vahách. ˆ Vylijeme kapalinu, nádobu necháme vyschnout. Měření opakujeme několikrát pro každou kapalinu. Odvodíme vztah pro korekci na těkavost lihu. Definujeme v jako změnu hmotnosti kapky v důsledku vypařování, za jednotku času vztaženou na počáteční hmotnost této kapky. Vzhledem k tomu, že vypařená hmotnost je v poměru k počáteční hmotnosti m za námi uvažované časy (desítky sekund) velmi malá, považujeme počáteční hmotnost za neměnnou (není funkcí času). Máme tedy v = m m 1 T, (10) kde m je počáteční hmotnost kapky, m změna hmotnosti a T perioda padání kapek. Nyní upravujeme vztah pro celkovou změnu hmotnosti kapaliny M, spadlo-li n kapek za celkovou dobu t. Předpokládáme, že v jednom běhu pokusu mají všechny kapky stejnou velikost. M = n k m = m m k=1 T T n(n + 1) n(n + 1) m = vt m = vtm (n + 1), (11) kde jsme při poslední úpravě použili vztah t = nt. Hmotnost kapky m neznáme, platí ovšem vztah m = M + M, (1) n 3
kde M je námi navážená hmotnost kapaliny již po vypaření její části. Dosazením do předchozí rovnice a několika úpravami dostáváme M = vwm 1 wv t(n + 1), kde w definujeme w =. (13) n Po prvním měření veličiny M otevřeme na dobu t (doba kapání) nádobu. Tím zjistíme, jak rychle se líh vypařuje. Pro tento případ platí v = M 1 (14) M t Tím získáme hodnotu v, kterou pak použijeme pro korekci dosazením do vztahu (13)..4 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty jsou v tabulkách 1 a. Kde není uvedeno jinak, používáme pro statistické zpracování vzorce (47)..4.1 Přímé měření ϑ [ C] l 1 [mm] l [mm] g [ms ] k [1] 6.00 18.80 ± 0.05 18.70 ± 0.05 9.81 390/470 Tabulka 1: Hodnoty považované za konstanty nebo námi neměřené údaje s danou přesností; ϑ je teplota místnosti, l 1 a l délky drátků v rámečku, g gravitační zrychlení, k korekční faktor torzních vah voda líh m 1 [mg] m 1 [mg] m 0 [mg] m 0 [mg] m 1 [mg] m 1 [mg] m 0 [mg] m 0 [mg] 373 309.5 16 104.6 175 145. 17 105.4 377 31.8 19 107.0 171 141.9 15 103.7 371 307.9 18 106. 175 145. 16 104.6 370 307.0 19 107.0 174 144.4 17 105.4 37 308.7 17 105.4 177 146.9 15 103.7 374 310.3 16 104.6 173 143.6 14 10.9 374 310.3 18 106. 174 144.4 14 10.9 373 309.5 19 107.0 173 143.6 16 104.6 379 314.5 130 107.9 178 147.7 15 103.7 379 314.5 16 104.6 175 145. 14 10.9 m 1 310 ± 3 m 0 106 ± 1 m 1 145 ± m 0 104 ± 1 Tabulka : Na torzních vahách naměřené hodnoty hmotností odpovídající silám F 0 = gm 0 a F 1 = gm 1 ; čárkované veličiny jsou námi naměřené, nečárkované jsou po přepočítání korekčním faktorem k podle vztahu (8) Z hodnot m 0, m 1, l 1, l, g vypočítáme povrchové napětí dle vzorce (9). Chybu měření vypočítáme podle (47). Směrodatnou odchylku budeme pro přehlednost značit s. σ vody = F 1 F 0 ± g ( ) m1 s l l m 0 + s m 0 m 1 + s l l = (0.053 ± 0.0008) kg s (15) σ lihu = F 1 F 0 ± g ( ) m1 s l 1 l m 0 + s m 0 m 1 + s l 1 l 1 = (0.0108 ± 0.0006) kg s (16) 1.4. Kapková metoda Naměřené hodnoty jsou v tabulkách 3 a 4. Kde není uvedeno jinak, používáme pro statistické zpracování vzorce (47). 4
ϑ [ C] R [mm] M 0 [g] κ 3 [g] v [s 1 ] σ vody [kg s ] 4 6.00.83 55.5914 0.007 0.000367 0.0775 Tabulka 3: Hodnoty považované za konstanty, ϑ je teplota místnosti, R vnější poloměr kapiláry, M 0 hmotnost nádoby, ve které jsme vážili kapky,κ korekce těkavosti lihu, v změna hmotnosti kapky v důsledku vypařování, blíže definovaná výše, σ vody tabulková hodnota povrchového napětí vody voda líh n M [g] m [g] n M [g] t [s] M [g] m [g] m [g] 5.341 0.09365 0 0.4768 40 0.0037 0.040 0.0384 5.371 0.09488 0 0.5164 4 0.004 0.0594 0.058 30.499 0.08000 6 0.6878 5 0.0033 0.0658 0.0646 30.510 0.08367 70 1.9853 36 0.0134 0.0855 0.0836 30.7064 0.0901 50 1.304 30 0.0074 0.063 0.0608 m 0.089 ± 0.006 m 0.06 ± 0.00 0.06 ± 0.00 Tabulka 4: Tabulka hodnot měření povrchového napětí kapkovou metodou, kde n je počet kapek, M zvážená hmotnost kapaliny 5, t doba kapání, M korekce navážené hmotnosti na těkavost lihu, m hmotnost kapky (části, která se odtrhla od kapiláry, nikoli celé kapky), m hmotnost kapky spočítaná bez korekce na těkavost lihu Pomocí vztahu (6) spočítáme σ lihu. Směrodatnou odchylku budeme pro přehlednost zančit s. ( ml ) ( ) m l 1 σ l = σ v ± σ v s m m v + s v m m l = v m v ( = 0.0775 0.06 ) ( ) 0.06 1 0.089 ± 0.0775 0.089 0.006 + 0.00 0.089 = (0.01 ± 0.00) kg s.5 Diskuze.5.1 Přímé měření Hodnoty povrchového napětí vody a lihu určené přímým měřením jsou σ vody = (53. ± 0.8) mn m 1 a σ lihu = (10, 8 ± 0.6) mn m 1. Ve srovnání s tabulkovými [4] hodnotami 7.75 mn m 1 pro vodu a 1 mn m 1 pro líh jsou tyto hodnoty řádově správné, ale menší. Naměřená hodnota povrchového napětí lihu je dvakrát menší než tabulková. To bylo z největší míry způsobeno přetrženým drátkem, pomocí něhož jsme napětí měřili. Toto jsme zjistili až poté, co jsme doměřili a neměli jsme čas měření zopakovat. Tato hodnota tedy není relevantní. Odchylka povrchového napětí vody od tabulkové hodnoty mohla být způsobena více faktory. Voda, kterou jsme používali nebyla destilovaná, drátek nemusel být úplně odmaštěný. Torzní váhy neměly libelu, neověřovali jsme tedy srovnání do vodorovné polohy. Předpokládali jsme lineární závislost korekce hmotností, tato závislost ovšem může mít jiný charakter. Co se týče samotné metody při měření síly F 0 resp. odpovídající hmotnosti m 0 jsme si nikdy nebyli stoprocentně jisti, zda je již drátek těsně pod hladinu..5. Kapková metoda Vzhledem k nedostatku času jsme pro měření použili jen jeden rozměr kapiláry. Pomocí kapkové metody jsme změřili, že povrchové napětí lihu σ lihu = (1±) mn m 1. Jako srovnávací kapalinu jsme použili vodu, hodnotu povrchového napětí vody jsme vzali z tabulek [4]. Ve stejných tabulkách je hodnota povrchového napětí lihu mn m 1. Hodnota je tedy velmi podobná. Relativně velká chyba měření je pravděpodobně způsobená několika faktory. Předpoklad, že na trubici zůstává vždy táž poměrná část kapky je pouze přibližný. Nepřesnosti mohou také nastat kvůli neideálnímu proudění a odkapávání kapaliny. převzato z [4]; v celém textu je hodnota g převzána z tohoto zdroje. 3 za 0 kapek o průměrné hmotnosti 0.384 g a 40 s 4 převzato z [4]; při 0 5 hodnota M vznikla odečtením hmotnosti nádoby M 0 od navážené hmotnosti kapaliny a nádoby společně 5
Těkavost lihu bychom mohli klidně zanedbat (v našem výsledku je korekce ovšem zahrnuta), korekce byla pod úrovní přesnosti měření. Přestože jsou přesnosti měření dílčích veličin velmi vysoké, není tato metoda nejvhodnější, a to právě díky výše zmíněným problémům. Vyšší přesnosti bychom mohli docílit snad jen lepší konstrukcí aparatury (např. lépe zabroušená kapilára) tak, aby všechny kapky byly stejně hmotné a kapaly ve stejných intervalech. Čím více kapek bychom nechali v každém měření odkapat, tím přesnější by výsledná hodnota byla..6 Závěr Pomocí přímé a kapkové metody jsme určili povrchové napětí lihu a vody σ vody = (53. ± 0.8) mn m 1 a σ lihu = (1 ± ) mn m 1. Výsledné hodnoty jsou srovnatelné s tabulkovými 7.75 mn m 1 pro vodu a 1 mn m 1 pro líh. 3 Použitá literatura Reference [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Měření povrchového napětí kapalin [Online], [cit. 18. října 01] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/114/mod resource/content/4/povrchove napeti 09 1.pdf [] Wikimedia Commons, File:WassermoleküleInTröpfchen.svg [Online], [cit. 18. října 01] http://commons.wikimedia.org/wiki/file:wassermolek%c3%bcleintr%c3%b6pfchen.svg [3] Kolektiv KF, Návody k přístrojům [Online], [cit. 18. října 01] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/navody-o.pdf [4] J. Mikulčák a kol., Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce. Prometheus, Praha 009. ISBN 978-80-7196-64-9 Část II Měření vnitřního tření kapalin 4 Zadání 1. Stanovte dynamickou viskozitu ricinového oleje při teplotě kolem 5. Kromě statistické chyby určete i systematickou chybu měření: odhadněte, s jakou přesností měříte jednotlivé dílčí veličiny (tíhu, průměr kuliček, délku, objem, čas, rychlost, atd.) a použijte vztah z dokumentu Chyby měření []. σ u = ( f x ) σx + 0. V domácí přípravě odvod te vztah pro závislost hustoty ρ ϑ na teplotě ϑ ( ) f σy y +... (17) 0 ρ ϑ = ρ 0 1 + β(ϑ ϑ 0 ) (18) kde β je součinitel objemové teplotní roztažnosti. Objemová teplotní roztažnost ricínového oleje je β 18 = 0, 69 10 3 K 1, hustota oleje při 18 je ρ 0 = 961kg m 3. 5 Vypracování 5.1 Použité přístroje 6
Stokesův viskozimetr s ricínovým olejem, Analytické váhy Meopta se sadou závaží a příslušenstvím, kádinky, pásové měřítko, mikrometrický šroub, olovnice, pinzeta, ocelové kuličky, teploměr, stopky. 5. Teoretický úvod Model reálné kapaliny obsahuje (oproti kapalině ideální) vnitřní tření (viskozitu). To je způsobeno smykovým napětím τ, což je tečná síla, která působí ve směru rychlosti na plošku rovnoběžnou s rychlostí, dělená velikostí této plochy. Platí vztah τ = η dv dy (19) kde v je rychlost toku, y je směr kolmý k rychlosti a η = η(ϑ) je dynamická viskozita nebo také koeficient vnitřního tření. Dynamická viskozita je tedy závislá na teplotě a na povaze kapaliny, její rozměr je kg m 1 s 1. Jednou z metod určování viskozity je metoda Stokesova. Obrázek : Stokesův viskozimetr [1] Stokesova metoda Pro pohyb koule o poloměru r rychlostí v v prostředí o viskozitě η platí následující vztah F = 6πηrv, (0) kde F je odporová síla. Tento vzorec platí jen pro laminární proudění takové nastává obecně jen při nižších rychlostech. Dále působí síla F = Mg V ρ p g = 4 3 πr3 (ρ ρ p )g, (1) na kouli hmotnosti M, objemu V, poloměru r a hustoty ρ, která padá v klidném prostředí hustoty ρ p < ρ. Pokud je F > F, je koule urychlována silou o velikosti F F. Síla F je na rychlosti nezávislá, naopak F se s rychlostí zvětšuje. Po určité době tedy prakticky nastane rovnost a koule se již dál pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí u. Ze vztahu F = F dostaneme V praxi se používá korekce na konečnou velikost trubice kde h je výška trubice a R její poloměr. Pro rychlost u rovnoměrného přímočarého pohybu platí η = gr 9 u (ρ ρ p). () η = gr [( 9 u (ρ ρ p) 1 +.4r ) ( 1 + 3.3r )] 1, (3) R h u = l t, (4) kde l je dráha, kterou kulička urazí a t je doba pohybu. Při výpočtech budeme potřebovat přesnou hustotu kapaliny. Pro objemovou roztažnost látek platí vztah V = V 0 (1 + β ϑ), (5) kde V 0 je počáteční objem, β součinitel objemové roztažnosti a ϑ změna teploty. Dosadíme-li tuto rovnici do definice hustoty ρ ϑ, dostaneme ρ ϑ = m v = m V 0 (1 + β ϑ) = ρ 0 1 + β(ϑ ϑ 0 ). (6) 7
5.3 Postup měření Nejdříve určíme hustotu kuličky změříme její průměr a hmotnost. Nejdříve vezmeme několik kuliček a u každé změříme její průměr d. Průměrnou hodnotu poloměru r získáme jako r = d, (7) kde d je aritmetický průměr hodnot průměru kuliček. Průměrnou hmotnost kuliček určíme tak, že zvážíme více kuliček najednou a výslednou hodnotu vydělíme jejich počtem. Hustotu pak spočítáme ze vztahu ρ = M n n 3 4πr 3, (8) kde M n je hmotnost n kuliček a r jejich poloměr (aritmetický průměr r). Kuličky vhazujeme do Stokesova viskozimetru s ricínovým olejem, měříme dobu, za kterou urazí danou dráhu. Tato dráha začíná přibližně 15 cm od hladiny a končí přibližně 15 cm nad dnem. V této části je pohyb kuliček rovnoměrný přímočarý. Laminárního proudění docílíme tím, že kuličky vhazujeme do středu viskozimetru. Postup měření opakujeme pro obě velikosti kuliček. 5.4 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty jsou v tabulkách 5, 6 a 7. d 1 [mm] d [mm] 4.74.46 4.73.47 4.74.46 4.74.47 d 4.738 ± 0.005.465 ± 0.006 Tabulka 5: Naměřené hodnoty průměru kuliček d 1 a d R [mm] h [cm] ϑ 0 [ C] ϑ [ C] ρ 0 [kg m 3 ] ρ p [kg m 3 ] 15 ± 1 84 ± 1 18 6 ± 0.1 961 955.73 ± 0.07 l [cm] g [ms ] β 18 [K 1 ] M 0 [g] 10 m 1 + M 0 [g] 10 m + M 0 [g] 57 ± 0.1 9.81 0.00069 16.354 ± 0.0001 0.66 ± 0.0001 16.8716 ± 0.0001 r 1 [mm] r [mm] m 1 [g] m [g] ρ 1 [kg m 3 ] ρ [kg m 3 ].37 ± 0.0 1.3 ± 0.0 0.4387 ± 0.00001 0.0636 ± 0.00001 7900 ± 600 800 ± 300 Tabulka 6: Hodnoty, které byly měřeny pouze jednou nebo byly z ostatních hodnot vypočítány. Jsou doplněny o systematické chyby odhadnuté a vypočítané v následující sekci; R je poloměr válce, h výška válce, ϑ 0 teplota, pro kterou máme definovanou hustotu oleje, ϑ teplota oleje, ρ 0 hustota oleje za teploty ϑ 0, ρ p hustota oleje za pokojové teploty ϑ vypočítána ze vztahu (6), l délka dráhy, kde měříme rychlost, g gravitační zrychlení, β 1 8 objemová roztažnost oleje při teplotě ϑ 0, M 0 hmotnost nádobky, ve které jsme vážili, m 1 a m hmotnosti kuliček, r 1 a r poloměry kuliček vypočítané podle vztahu (7), ρ 1 a ρ hustoty kuliček vypočítané podle vztahu (8) 5.5 Chyby měření Za přímo změřené veličiny v následující části dosazujeme jejich aritmetické průměry, za chyby součty statistických (jsou-li dostupná příslušná data) a systematických chyb. Statistické chyby jsou dány přesností metod. V této úloze uvažujeme, že systematická chyba odpovídá velikosti nejmenšího dílku na stupnici. Chyby nepřímo měřených veličin spočítáme podle (47). Hodnoty dosazujeme z tabulky 6 (v základních jednotkách). 8
t 1 [s] t [s] 8.59 6.5 8.4 6.44 8.8 6.4 8.81 6.46 8.70 6.49 8.6 6.55 8.9 6.69 8.65 6.0 8.66 6.16 8.59 6.9 t 8.7 ± 0.1 6.4 ± 0. Tabulka 7: Naměřené hodnoty doby pohybu po dráze l pro kuličky ˆ Chyba hustot ρ 1 a ρ, podle vztahu (8) ( ) ( ) ρ ρ σ ρ = σm M n + σr n r = 3 ( ) 4πnr 3 σm 3Mn n + σr r (9) σ ρ1 = 3 ( ) 109 3 4.387 10 40π.37 14 + 10.37 10 = 600 kg m 3 σ ρ = 3 ( ) 109 3 0.636 10 40π 1.3 14 + 10 1.3 10 = 300 kg m 3 ˆ Chyba hustoty ρ p, podle vztahu (6) σρ ϑ = ( ρϑ ϑ ) σ ϑ = ( ) ρ 0 β (1 + β(ϑ ϑ 0 )) σϑ ( ) 961 6.9 10 σ ρϑ = 4 (1 + 6.9 10 4 (956 961)) 0.1 = 0.07 kg m 3 ˆ Chyba hmotnosti m 1 a m, kde n = 10 m = M n, σ m = σ M n = 0.00001 ˆ Chyba viskozity η podle vztahu (3) a (4). ( η ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η η η η η η σ η = σr r + σl l + σt + σr t R + σh h + σρ ρ + σρ ρ p (30) p Úpravami dostáváme 9 σ η = g (ρ ρ p ) r 4 σt ) ( 1 +.4r R l ( 1 + 3.3r h g r 4 σρt + l ( ) 1 + 3.3r ( ) h 1 +.4r + R ( +σr 3.3g(ρ ρ p )r t hl ( ) 1 + 3.3r ( h 1 +.4r R ) + 10.89g (ρ ρ p ) r 6 σh t h 4 l ( ) 1 + 3.3r 4 ( ) h 1 +.4r + R l ( 1 + 3.3r h ) + g r 4 σ ρ p t ) ( 1 +.4r R g(ρ ρ p )rt l ( 1 + 3.3r h ) ( 1 +.4r R g (ρ ρ p ) r 4 σl ) t ( 1 +.4r R l 4 ( 1 + 3.3r h ) + ) + 5.76g (ρ ρ p ) r 6 σr t l ( ) 1 + 3.3r ( ) + h 1 +.4r 4 R R 4 ) ).4g(ρ ρ p )r t l ( ) ( ) 1 + 3.3r h 1 +.4r R R 9
Po dosazení hodnot z tabulky 6 a 7 σ η1 = 0.08 kg m 1 s 1 σ η1 = 0.04 kg m 1 s 1. A celkově pro viskozitu ricinového oleje dosazením do (3) 5.6 Diskuse η 1 = 0.93 ± 0.08 kg m 1 s 1 (31) η = 0.9 ± 0.05 kg m 1 s 1 (3) Viskozita ricinového oleje se může podstatně lišit podle konkrétního výrobce a složení. Tabulková hodnota 0.987 Pa s [4] je srovnatelná s námi naměřenou hodnotou (0.9 ± 0.05) Pa s. Vzhledem k tomu, že kuličky padaly středem válce velmi pomalu a rovnoměrně, nepředpokládáme významné systematické chyby měření. Pro přesnější hodnotu by bylo určitě vhodné všechny veličiny změřit přesněji a s větším důrazem na zaznamenávání chyb (třída přesnosti přístrojů atd.). 5.7 Závěr Pomocí Stokesova viskozimetru jsme určili hodnotu viskozity ricinového oleje na (0.9 ± 0.05) Pa s. Tabulková hodnota, která ovšem téměř jistě nepopisuje ricinový olej stejného složení a výrobce jako ten, na kterém jsme měřili, je 0.987 Pa s. To je hodnota srovnatelná s hodnotou naměřenou. 6 Použitá literatura Reference [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Měření vnitřního tření kapalin [Online], [cit. 18. října 01] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/115/mod resource/content/5/treni 8 10 1.pdf [] Kolektiv KF, Chyby měření [Online], [cit. 18. října 01] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf [3] J. Mikulčák a kol., Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce. Prometheus, Praha 009. ISBN 978-80-7196-64-9 [4] M. Čmelík, L. Machonský, Z. Šíma, Fyzikální tabulky. TU Liberec, Liberec 001 Část III Měření vnitřního tření vzduchu 7 Zadání 1. Pomocí měřící aparatury na obrázku 3 proved te měření objemu protékajícího vzduchu při daném úbytku tlaku na kapiláře. Měření proved te minimálně pro 6 různých rozdílů tlaků. ( ) p 1. Naměřené výsledky vyneste do grafu ve tvaru p p = f(v t ) a nafitujte příslušnou funkcí. Z výsledků fitu určete dynamickou viskozitu vzduchu při pokojové teplotě. 8 Vypracování 8.1 Použité přístroje Skleněná kapilára, nálevka, vodní U manometr, Mariotteovy láhve, 1 láhev s tubusem u dna, odměrný válec, stopky, příslušenství pro propojení aparatury (hadičky, zátky, ventily,... viz schéma na obrázku 3) 10
Obrázek 3: Uspořádání aparatury [1] 8. Teoretický úvod Proudění plynu válcovou trubicí v rozmezí tlaků 10 5 až 10 Pa popisuje Poiseuillova rovnice V t p = π 8η r 4 l p 1 + p (p 1 + p ); V t = V t, (33) kde V t je objem plynu protékajícího trubicí za jednotku času měřený při tlaku p, η je dynamická viskozita plynu, r je poloměr trubice, l její délka, p 1 a p jsou tlaky na začátku a na konci trubice. Z toho plyne vztah pro viskozitu plynu η = π r 4 p 1 + p p 1 p. (34) 8V t l p Měřící aparatura je uspořádána podle obrázku 3. Principem metody je měření objemu vzduchu prošlého trubicí za čas t při určitém rozdílu tlaků na jejím začátku a konci. Protože objem vzduchu se dá přímo těžko měřit, určujeme objem vytlačené vody. Mariotteova láhev ML 1 je umístěna několik desítek centimetrů nad zbytkem aparatury. Horní ventil má stále otevřený, je naplněna dostatkem vody. Spodním ventilem z ní voda vytéká hadičkou do láhve L. Proud můžeme regulovat výškou ML 1 a tlačkou T l 1. Voda vtékající do láhve L z ní vytlačuje vzduch, který se přes soustavu hadiček a trubiček dostává ke kapiláře a manometru. Protéká přes kapiláru a dalšími hadičkami se dostává do Mariotteovy láhve ML. V té je voda, kterou vzduch vytlačuje ven. Horní ventily má ML 1 uzavřené, spodním prochází skleněná trubička, která se po výstupu z láhve ohýbá směrem nahoru. Tím pádem z ní vytéká přesně takový objem vody, jaký do ní přichází vzduchu. Objem vody z ní vytékající měříme v B. Na schématu jsou znázorněny další ventily, které slouží pro doplňování a odebírání vody mezi pokusy, případně pro rozběhnutí či zastavení pokusu. Rozdíl tlaků odečtený na vodním manometru určíme ze vztahu kde h je rozdíl hladin, ρ hustota vody, g gravitační zrychlení. Tlak p je v našem uspořádání atmosferický, p 1 > p, platí tedy 8.3 Postup měření p = hρg, (35) p 1 = p + p (36) ˆ Do ML 1 a ML doplníme vodu. Z L vodu necháme odtéct (přes ventil ve spodní části láhve). ˆ Uzavřeme ventil K, otevřeme K 1, nastavíme vhodný průtok vody (přes výšku ML 1 a tlačku T l 1 ). ˆ Na manometru odečteme rozdíl hladin. ˆ Uzavřeme ventil K 1, otevřeme K a začneme měřit čas. 11
ˆ Poté, co do B vyteče vhodné množství vody, vypneme stopky a zapíšeme hodnoty V a t. Postup opakujeme pro několik různých tlaků. Poprvé nastavíme aparaturu tak, aby byl rozdíl tlaků rovný nule takto stanovíme korekci na netěsnosti. Pro objem se započítáním korekce na netěsnosti V bude platit V = V t V 0 t 0, (37) kde V je naměřený objem vody, t doba měření, V 0 naměřený objem při nulovém rozdílu tlaků a t 0 je doba měření při nulovém rozdílu tlaků. ( ) p 1 Pro určení dynamické viskozity z výsledku fitu funkce p p = f(v t ) potřebujeme odvodit vztah pro f(v t ). To provedeme úpravou vztahu (34). η = p 1 p p π r 4 p 1 p (38) 8V t l p = 8η π l r 4 V t = f(v t ). (39) Protože η, l i r jsou v našem měření konstantními parametry, můžeme zavést konstantu C = 8η π takže rovnice (39) přejde do jednoduché lineární podoby l r 4, (40) f(v t ) = C V t. (41) Graf tedy nafitujeme lineární funkcí. Z výsledku fitu (tj. z konstanty C) získáme jednoduše podle vztahu (40) hledané η. 8.4 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty jsou v tabulkách 8 a 9 a v grafu 4. Nafitováním lineární funkce v grafu 4 pomocí programu MS Excel získáváme hodnotu C = 303.44 Pa s cm 3 = 8η l π r 4, (4) tedy po dosazení v příslušných jednotkách η = 30.1 10 6 Pa s. (43) Atmosferický tlak [Torr] p [Pa] ϑ [ C] ρ [kg/m 3 ] z [] g [ms ] r [mm] l [mm] 744.4 9943 6 998.1 9.81 0.39 91.6 Tabulka 8: Hodnoty považované za konstanty, p je tlak v místě p na obrázku 3, tedy atmosferický tlak, ϑ teplota vzduchu v místnosti, ρ tabulková hodnota hustoty vody, g gravitační zrychlení, l a r délka a poloměr kapiláry (z [1]) 8.5 Diskuse Vynesením naměřených hodnot tlaků do grafu 4 a proložením přímkou jsme určili dynamickou η = 30 10 6 Pa s. Přímo dosazením do rovnice (34) nám vyšla hodnota η = (7 ± 6) 10 6 Pa s. To je více než tabulková hodnota (z []) 19 10 6 Pa s. Tabulková hodnota ovšem popisuje vzduch bez vodní páry a CO, viskozita námi měřeného vzduchu se tedy bude mírně lišit. Dále je třeba zahrnout vliv teploty viskozita vzduchu se bude za běžných podmínek s rostoucí teplotou zvětšovat. Přestože teploměr v místnosti ukazoval 6, na místě, kde jsme měřili, byla teplota určitě jiná nižší. V průběhu experimentu se navíc měnila, jelikož bylo často otevřené okno. To pravděpodobně způsobilo odchylku mezi tabulkovou hodnotou, která je změřena pro 5 a námi změřenou hodnotou. 1
t [s] V [ml] V [ml] V t [ml/s] h [cm] p [Pa] p 1 [Pa] η [10 6 Pa s] 60 19 0 0 0 0 9943 korekce na netěsnosti 90.94 80 51. 0.563 1.4 137 99381 4 6.94 11 101.0 1.606 3.4 333 99576 1 43.64 100 86. 1.975 4.4 431 99674 45.47 80 65.6 1.443 4 39 99635 7 5.56 80 71.9.813 9.4 90 100164 33 79 60 34.9 0.443 1.6 157 99400 35 η 7 ± 6 Tabulka 9: Naměřené a vypočtené hodnoty podle vztahů uvedených v předchozích sekcích, t je doba měření, V a V objem vytlačené vody před a po korekci na netěsnosti podle vztahu (37), V t objem vytlačené vody za jednotku času, h rozdíl výšky hladin odečtený na manometru, p rozdíl tlaků vypočtený podle (35), p 1 tlak v místě p 1 na schématu 3 vypočítaný podle vztahu (36), η viskozita vzduchu vypočítaná podle vztahu (34) Určitá systematická chyba vznikala tím, že jsme hodnotu tlaku odečetli vždy na začátku měření. Když tedy hladina v ML 1 během měření klesala, snižoval se postupně i tlak. Podíváme-li se na tabulku 9, můžeme si všimnout, že poslední dvě měření vykazovaly podstatně vyšší hodnotu viskozity než předešlé. Po čtvrtém měření se nám voda dostala do manometru a my jsme museli aparaturu rozebrat a problém opravit. To bylo úspěšné, ovšem mohli jsme změnit těsnost některých zátek oproti měřením předešlým a tedy i změnu korekce na netěsnosti. Tu jsme poté již znovu nezměřili. Zpřesnění by jistě nastalo vícenásobným měřením, nebo opakováním měření korekce na netěsnosti aparatury po každé manipulaci s aparaturou. Dále by bylo dobré sledovat i hodnotu tlaku po konci každého měření. Pokud bychom přesněji zaznamenali teplotu v místnosti, dostali bychom lepší srovnání s tabulkovou hodnotou. 8.6 Závěr Pro šest různých rozdílů tlaků jsme změřili hodnotu objemu vzduchu, který protekl kapilárou v aparatuře na schématu 3 za určitý čas. Pomocí fitu lineární funkcí jsme z grafu 4 určili dynamickou viskozitu vzduchu při pokojové teplotě η = 30 10 6 Pa s. 9 Použitá literatura Reference [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Měření vnitřního tření vzduchu [Online], [cit. 18. října 01] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/116/mod resource/content/3/viskozita vzduchu 09 1.pdf [] J. Mikulčák a kol., Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce. Prometheus, Praha 009. ISBN 978-80-7196-64-9 Část IV Zpracování výsledků Pro statistické zpracování budeme potřebovat následující vztahy [1]: ˆ Aritmetický průměr ˆ Směrodatná odchylka x = 1 n n x i (44) i=1 σ x = 1 n (x i x), (45) n 1 i=1 13
50600 50500 50400 50300 (p 1 - p )/p [Pa] 5000 50100 50000 49900 49800 49700 49600 0.0 0.5 1.0 1.5.0.5 3.0 V t [cm 3 s -1 ] Obrázek 4: Graf závislosti p 1 p p = f(v t ) kde x i jsou jednotlivé naměřené hodnoty, n je počet měření, x aritmetický průměr a σ x směrodatná odchylka. Jedná-li se o nepřímé měření, spočítáme výslednou hodnotu a chybu dle následujících vztahů: Necht u = f(x, y, z,...) (46) x = (x ± σ x ), y = (y ± σ y ), z = (z ± σ z ),..., kde u je veličina nepřímo určovaná pomocí přímo měřených veličin x, y, z,... Pak u = f(x, y, z,...) σ u = 10 Použitá literatura Reference ( f x ) σ x + ( ) f σy y + u = (u ± σ u ), [1] Kolektiv KF, Chyby měření [Online], [cit. 18. října 01] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf ( ) f σz z +... (47) 14