NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení

Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti. Př. meteorologická data (teplota, tlak, rychlost a směr větru, ) lékařská data (výška, váha, věk, tlak, )

Sdružené rozdělení pravděpodobnosti Rozdělení náhodného vektoru popisuje sdružená distribuční funkce Sdružená distribuční funkce dvourozměrného vektoru X=(X,Y) je definována předpisem: ( x, y) = P( ( X < x) ( Y y) ) F < Zkrácený zápis pro P((X<x) (Y<y)) = P(X<x,Y<y) Hodnota sdružené distribuční funkce F(x, y) je rovna pravděpodobnosti, s jakou se hodnota náhodného vektoru X = (X, Y ) vyskytne ve vyšrafované části roviny Sdružená distribuční funkce má podobné vlastnosti jako distribuční funkce jedné proměnné.

Sdružené rozdělení pravděpodobnosti Pravděpodobnost, že náhodný vektor je z obdélníkové oblasti, lze vyjádřit pomocí distribuční funkce. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c a F c b F d a F d b F d Y c b X a P,,,,, + = < < Náh. vektor Sdružené roz.p. Marginální roz.p. Podmíněné roz.p. Kovariance Korelace Statgraphics Test

Diskrétní dvourozměrný náhodný vektor Náhodný vektor má diskrétní rozdělení jestliže existuje nejvýše spočetně mnoho hodnot náhodného vektoru tak, že: ( x ) i, y j = i j p Funkce p(x i,y j ) = P(X=x i,y=y j ) je sdružená (simultánní) pravděpodobnostní funkce Pro vyjádření sdružené distribuční funkce pomocí sdružené pravděpodobnostní funkce lze využít vztah ( x, y) = p( x ) i y j F, x i < x y < y j

Tabulka sdružených pravděpodobností Reprezentuje sdruženou pravděpodobnost diskrétního dvousložkového náhodného vektoru s konečným počtem hodnot X / Y x p(x,y ) p(x,y ) p(x,y ) n x p(x,y ) p(x,y ) p(x,y n ) x n y p(x n,y ) y p(x n,y ) y n p(x n, y n )

. Pravděpodobnost, že při přenosu digitální informace dojde k silné, resp. střední, resp. žádné, deformaci bitu je,;,3 a,6. Předpokládejme, že jsou přeneseny dva bity a rozsah deformace je pro každý bit nezávislý. Náhodný vektor X = [X,X ] udává počet bitů se silnou (X ) a střední (X ) deformací. Sestavte a) sdruženou pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru X, b) sdruženou distribuční funkci náhodného vektoru X.

Řešení: a) všechny možné výsledky: [, ] => P(X =,X =)=,6,6=,36 deformován může být první, nebo druhý bit [, ] => P(X =,X =)=,3,6=,36 [, ] => P(X =,X =)=,3,3=,9 [, ] => P(X =,X =)=,,6=, [, ] => P(X =,X =)=,,3=,6 [, ] => P(X =,X =)=,,=, počet bitů se silnou deformací počet bitů se střední deformací Zkouška:,36+,36+,9+,+,6+, =

Řešení: a) Tabulka sdružených pravděpodobností: X / X,36,,,36,6,9 Graf pravděpodobnostní funkce:

Řešení: b) Sdruženou distribuční funkci určíme ze sdružené pravděpodobnostní funkce. Výpočet sdružené distribuční funkce např. F(,5;,5) => jsme na intervalu (, (, : F P (,5;,5 ) = P( X <,5; X <,5 ) = (( X = ( X = ) ) ( X = ) ) = P( ( X = X = ) ( X = X = )) = p(,) + (, ) =,36 +, =, 48 = = p

Řešení: b) distribuční funkce náhodného vektoru X: X / X ( ; ( ; ( ; ( ; ( ; ) ( ;,36,7,8 ( ;,48,9,99 ( ; ),49,9 graf distribuční funkce náhodného vektoru X:

Marginální rozdělení pravděpodobnosti Určuje rozdělení jednotlivých složek (náhodných veličin X a Y) náhodného vektoru (X,Y) Marginální pravděpodobnostní funkce P x (x) a P y (y) diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou určeny vztahy: P P x y ( xi ) = p( xi, y j ) ( y ) j ( y j ) = p( xi, y j ) ( x ) i,, i j

Marginální pravděpodobnosti DNV Jestliže zadáme sdruženou pravděpodobnostní funkci tabulkou, pak hodnoty jedné marginální pravděpodobnostní funkce získáme sečtením čísel v jednotlivých řádcích tabulky. Hodnoty této marginální pravděpodobnostní funkce zapisujeme do sloupce na okraji tabulky. Obdobně hodnoty druhé marginální pravděpodobnostní funkce dostaneme sečtením čísel v jednotlivých sloupcích tabulky. Hodnoty druhé marginální pravděpodobnostní funkce zapisujeme do řádku na okraji tabulky.

Rozšířená tabulka sdružených pravděpodobností X / Y y y y n P X (x i ) x p(x,y ) p(x,y ) p(x,y n ) P X (x ) x p(x,y ) p(x,y ) p(x,y n ) P X (x ) x n p(x n,y ) p(x n,y ) p(x n, y n ) P Y (y ) P Y (y ) P Y (y ) n P Y (y j ) P X (x n ) Modře zvýrazněné pole je kontrolní. Součet marginálních pravděpodobností, stejně jako součet sdružených pravděpodobností, musí být roven jedné.

. Navážeme na příklad. Náhodný vektor X je popsán sdruženou pravděpodobnostní funkcí uvedenou v tabulce: X / X,36,,,36,6,9 Určete a) marginální pravděpodobnosti P X (x ), P X (x ). b) marginální distribuční funkce F X (x ), F X (x ).

Řešení: a) Marginální rozdělení slouží k popisu jednotlivých složek náhodného vektoru. Marginální pravděpodobnost P X (x ), tj. pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X, získáme dosazením do vztahu: P X ( x ) = p( x x ), ( x ) To odpovídá sečtení čísel v jednotlivých řádcích tabulky sdružené pravděpodobnosti. Např. P X ()=p(,)+p(,)+p(,)=+,36+,+,=,49. X / X P X (x ),36,,,49,36,6,9

Řešení: a) X / X P X (x ),36,,,49,36,6,4,9,9 P X (x ),8,8,

Řešení: b) Marginální distribuční funkce nalezneme pomocí marginálních pravděpodobností => X je diskrétní náhodná veličina popsána pravděpodobnostní funkcí P X (x i ). X P X (x i ),8,8, X ( ; ( ; ( ; ( ; ) F X (x ),8,99 Analogicky pro P X (x j ). X PX(x j ),49,4,9 X ( ; ( ; ( ; ( ; ) F X (x ),49,9

Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti Určuje rozdělení NV X za předpokladu, že NV Y nabyla hodnoty y. Chápeme jako podíl sdruženého a marginálního rozdělení pravděpodobnosti (má-li tento podíl smysl), v souladu s definicí podmíněné pravděpodobnosti.

Podmíněné rozdělení DNV Podmíněná pravděpodobnostní funkce: P P ( x y) ( y x) = = p P ( x, y) Y ( y) (, x) ( x) p y P Podmíněná distribuční funkce: F F ( x y) ( y x) = = x < x y < y p P P X ( x, y) ( y) (, y ) p x ( x), P Y, P, i X ( y), j i j Y X i j ( x), P P Y X ( y) ( x)

Nezávislost náhodných veličin Projevuje se tím, že jejich sdružená distribuční funkce (sdružená pravděpodobnostní funkce, resp. sdružená hustota pravděpodobnosti) se dá matematicky vyjádřit jako součin marginálních distribučních funkcí (marginálních pravděpodobnosti, resp. marginálních hustot pravděpodobnosti) jednotlivých náhodných veličin. Platí, že složky X, Y náhodného vektoru jsou nezávislé právě když platí: ( ) DNV: P X = x, Y = y = P ( X = x ) P ( Y = y ) i j X i Y j

3. Nechť X je náhodný vektor, s nímž jsme pracovali v příkladech a. Rozdělení tohoto náhodného vektoru (sdružená a marginální pravděpodobnostní funkce) je uvedeno v následující tabulce. Určete X / X P X (x ),36,36,9,8,9 a) P(x x ) b) zda jsou náhodné veličiny X a X nezávislé,,6,8,, P X (x ),49,4

Řešení: a) P ( x x ) ( x, x ) ( x ) p =, PX x P X ( ) Např. pravděpodobnost, že přijmeme jeden bit se silnou deformací (X = ), víme-li, že jsme nepřijali ani jeden bit se střední deformací (X = ): P ( X = X = ) (, ) ( ),,49 = = = P X p,45 Při výpočtu ostatních podmíněných pravděpodobností postupujeme stejným způsobem => P(x x ): X / X,735,45,,86,4

Řešení: b) Jsou-li náhodné veličiny X, X nezávislé, pak i 3, j 3: ( x, x ) = P ( x ) P ( x ) p i j X i x j Každá z hodnot sdružené pravděpodobnosti uvedené v rozšířené tabulce sdružených pravděpodobností by musela být rovna součinu příslušných marginálních pravděpodobností. X / X P X (x ),36,,,49,36,6,4,9,9 P X (x ),8,8, Toto zcela zřejmě neplatí (např.: = p(, ) P X ()P X ()=,8,9 =,6).

Řešení: b) Jsou-li náhodné veličiny X, X nezávislé, pak i 3, j 3: ( x, x ) = P ( x ) P ( x ) p i j X i x j Každá z hodnot sdružené pravděpodobnosti uvedené v rozšířené tabulce sdružených pravděpodobností by musela být rovna součinu příslušných marginálních pravděpodobností. X / X P X (x ),36,,,49,36,6,4,9,9 P X (x ),8,8, Toto zcela zřejmě neplatí (např.: = p(, ) P X ()P X ()=,8,9 =,6). Náhodné veličiny X, X proto nejsou nezávislé.

Marginální číselné charakteristiky NV Číselná charakteristika náhodného vektoru shrnuje celkovou informaci o náhodném vektoru do jednoho čísla, vektoru nebo matice. Marginální číselné charakteristiky - shrnují informaci o jednotlivých složkách náhodného vektoru (X,Y), poloha (střední hodnota), variabilita (rozptyl, směrodatná odchylka), šikmost, špičatost. Zapisujeme je ve formě vektoru: X E, ( ) = ( E( X ) E( Y )) X ( ) = ( D( X ) D( Y )) D,

Podmíněné číselné charakteristiky NV Popisují vlastnosti podmíněných rozdělení. Př. Máme dvourozměrný náhodný vektor náhodné veličiny X (nadmořská výška) a Y (teplota), může nás zajímat střední teplota a rozptyl teploty v nadmořské výšce 6 m.n.m., tj. E(Y X=6) a D(Y X=6). Podmíněné střední hodnoty: E Podmíněné rozptyly: ( X Y = y) = E( X y) = x P( X y) i i i ( X = x) = E( Y x) = y j P( Yj x) E Y ( Y = y) = D( X y) = ( x E( X y) ) P( X y) D X ( X = x) = D( Y x) = y E( Y x) D Y i j, i, j,, ( j ) P( Yj x) j i i,, i j,,

Kovariance Kovariance cov(x,y) je nejjednodušší ukazatel vztahu mezi dvěma náhodnými veličinami. Definována jako smíšený centrální moment řádu ( + ) cov(x,y) = E (( X E( X )) ( Y E( Y ))) Kladná hodnota kovariance znamená, že se zvětšením hodnoty X se pravděpodobně zvýší i hodnota Y. Oproti tomu záporná hodnota kovariance informuje o tom, že se zvětšením hodnoty X se pravděpodobně sníží hodnota Y.

Kovariance Výpočetní vztah umožňující rychlejší výpočet než vztah definiční: cov X,Y = E X Y E X E Y Nejdůležitější vlastnosti: ( ) ( ) ( ) ( ) cov(x,x)=d(x) jsou-li X, Y nezávislé náhodné veličiny, pak cov(x,y ) = cov(a X + b, a Y + b ) = a a cov(x,y), V praxi se často setkáváme s kovarianční maticí: var(x) = D X cov ( ) cov( X, Y ) ( ) ( ) X, Y D Y

Koeficient korelace Korelační koeficient ρ(x,y) je mírou lineární závislosti dvou složek náhodného vektoru. ρ ( X, Y ) = ( X, Y ) ( ) D( Y ) cov D X,, ( ), D( Y ) D X jinak Korelační matice: cor(x) = ρ ρ( X, Y ) ( ) X, Y

Koeficient korelace - vlastnosti ( ) ) ρ X, Y ) ρ ( X, Y ) = ρ( Y, X ) 3) ρ( X, X ) = 4) jsou-li X, Y nezávislé náhodné veličiny, pak ρ( X, Y ) = 5) je-li ρ(x,y) =, říkáme, že X, Y jsou nekorelované náhodné veličiny 6) je-li ρ(x,y) =, pak Y je lineární funkcí X (s rostoucím X roste Y) 7) je-li ρ(x,y) = -, pak Y je lineární funkcí X (s rostoucím X klesá Y) 8) je-li ρ(x,y) >, říkáme, že X, Y jsou pozitivně korelované (s rostoucím X roste Y ) 9) je-li ρ(x,y) <, říkáme, že X, Y jsou negativně korelované (s rostoucím X klesá Y )

Koeficient korelace výklad míry Typ korelace Velmi slabá Slabá Střední Silná ρ, -,9, -,9,3 -,49,5 -, Výklad míry korelace Cohen 988 jsou-li náhodné veličiny nekorelované, neznamená to, že jsou nezávislé, míru korelace musíme hodnotit v kontextu s modelovanou realitou, korelace neznamená nutně kauzalitu (příčinnou souvislost).

Koeficient korelace - vlastnosti Souvislost mezi ρ(x, Y) a závislostí náhodných veličin X, Y

4. Vrátíme se naposledy k příkladu. Náhodný vektor X = (X,X ) je popsán sdruženou pravděpodobnostní funkcí, známe jeho marginální pravděpodobnosti a v příkladu 3 jsme určili podmíněnou pravděpodobnostní funkci P(x x ) Nyní určete: a) E(X ), E(X ), D(X ), D(X ), b) E(X), D(X), c) cov(x, X ), var(x), ρ(x, X ), cor(x), d) E(X X =)

Řešení: a) E(X ), E(X ), D(X ), D(X ) jsou číselné charakteristiky náhodných veličin X a X (marginální charakteristiky vektoru X). Pro jejich nalezení použijeme marginální pravděpodobnosti vektoru X. Tabulka pomocných výpočtů: X / X P X (x ) x P X (x ) x P X (x ),36,,,49,36,6,4,4,4,9,9,8,36 P X (x ),8,8,,6,78 x P X (x ),8,, x P X (x ),8,4, Hodnoty uvedené ve žlutě zvýrazněných polích jsou rovny součtům hodnot v příslušných řádcích, resp. sloupcích.

Řešení: a) X / X,36,, P X (x ),49 x P X (x ) x P X (x ),36,6,4,4,4,9,9,8,36 P X (x ),8,8,,6,78 x P X (x ),8,, x P X (x ),8,4, E E E 3 = = i X i i = 3 = x PX x =,8 +,8 +, = i i i = ( X ) x P ( x ) =,8 +,8 +,, ( X ) ( ), ( ) ( ) ( ) D X ( ),8 = E X E X =, -, = 3 = X = j j j = ( X ) x P ( x ) =,49 +,4 +,9,6 E 3 ( X ) x P ( x ) =,49 +,4 +,9,78 = = j X j j = ( ) = E( X ) E( X ) D X ( ) =,78 -,6, 4 =

Řešení: b) E D X ( ) = ( E( X ) E( X )) (, ;,6) X, = ( ) = ( D( X ) D( X )) (,8;, 4), =

Řešení: c) Použijeme výpočetní vztah cov(x,x ) = E ( X X ) E( X ) E( ) X E 3 3 ( X X ) = x x p( x, x ) i = j = i j i =,36 +,, +, 36 +,6 + +,9 + + =, 6 j + cov(x,x ) =,6,,6 = -, 6 cov(x,x )=cov(x, X ) var(x) = D X cov ( ) cov( X, X ),8 -, 6 = ( ) ( ) X, X D X -, 6, 4

Řešení: c) Pomocí kovarianční matice určíme korelační koeficient a tím i korelační matici. ρ ( X, X ) ( X, X ) ( ) D( X ) cov -,6 = = = cor(x) = ρ D X,8, 4 -, 8 ρ( X, X ) -, 8 = ( ) X, X -, 8

Řešení: d) Pro výpočet E(X X =) potřebujeme znát podmíněnou pravděpodobnostní funkci P(x x ): X / X,735,45,,86,4 E ( X X ) = x P( x X = ) =,86 +,4 + =,4 3 = i = i i =

Řešení příkladů ve Statgraphicsu

Studenti z jedné studijní skupiny byli na zkoušce z matematiky a fyziky (zkouska.sf3). Jejich výsledky jsou popsány náhodným vektorem X=(M,F) T. M známka z matematiky F známka z fyziky Určete a) Sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce b) P(M=, F=3), P(M= F=3), F(;3), F M (,3), P(M<3,F>) c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F d) cov(m,f) e) ρ(m,f)

Řešení: a) Sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce

Řešení: a) Sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce p(m,f)

Řešení: a) Sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce P F (f)

Řešení: a) Sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce P M (m)

Řešení: b) P(M=, F=3) P(M=, F=3)

Řešení: b) P(M= F=3) P(M= F=3)=P(M=,F=3)/P F (3)=,/,5=,

Řešení: b) F(;3) F(;3)=P(M<,F<3)=P(M=,F=)+P(M=,F=)=,

Řešení: b) F M (,3) F M (,3)=P(M<,3)=P M ()+P M ()=,3

Řešení: b) P(M<3,F>) P(M<3,F>)=,5

Řešení: c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F

Řešení: c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F Tabular Options

Řešení: c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F

Řešení: d) cov(m,f)

Řešení: e) ρ(m,f)

Statgraphics NEUMOŽŇUJE přímý výpočet podmíněného rozdělení a podmíněných charakteristik diskrétního náhodného vektoru!!!

Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: a) Náhodný vektor je definován jako dvourozměrný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny. b) Sdružené rozdělení popisuje rozdělení náhodného vektoru. c) Marginální rozdělení popisuje rozdělení jednotlivých složek náhodného vektoru. d) Je-li X=(X,Y) T náhodný vektor, pak EX=E(XY).

Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: a) Náhodný vektor je definován jako dvourozměrný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny. (Náhodný vektor muže být i vícerozměrný) b) Sdružené rozdělení popisuje rozdělení náhodného vektoru. c) Marginální rozdělení popisuje rozdělení jednotlivých složek náhodného vektoru. d) Je-li X=(X,Y) T náhodný vektor, pak EX=E(XY).

Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: a) Náhodný vektor je definován jako dvourozměrný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny. (Náhodný vektor muže být i vícerozměrný) b) Sdružené rozdělení popisuje rozdělení náhodného vektoru. c) Marginální rozdělení popisuje rozdělení jednotlivých složek náhodného vektoru. d) Je-li X=(X,Y) T náhodný vektor, pak EX=E(XY). X E ( ) = ( E( X ), E( Y ))

Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: e) E(XY)=EX EY f) Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují vztah mezi náhodnými veličinami, které tvoří jeho složky. g) Kovariance je mírou závislosti náhodných veličin. h) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé.

Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: e) E(XY)=EX EY f) Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují vztah mezi náhodnými veličinami, které tvoří jeho složky. (Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují jednotlivé složky náhodného vektoru) g) Kovariance je mírou závislosti náhodných veličin. h) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé.

Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: e) E(XY)=EX EY f) Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují vztah mezi náhodnými veličinami, které tvoří jeho složky. (Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují jednotlivé složky náhodného vektoru) g) Kovariance je mírou závislosti náhodných veličin. h) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. (Je-li cov(x, Y) =, mohou, ale nemusí být náhodné veličiny X a Y nezávislé)

Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: i) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. j) Je-li ρ(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. k) Jsou-li náhodné veličiny X a Y nekorelované, jsou lineárně nezávislé. l) cov(x,x)=.

Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: i) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. j) Je-li ρ(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. k) Jsou-li náhodné veličiny X a Y nekorelované, jsou lineárně nezávislé. l) cov(x,x)=. (cov(x,x)=dx)

Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: m) ρ(x,x)= n) cov(x,y)=e(xy)-e(x) E(Y).