JAK MODELOVAT VÝSLEDKY

Transkript

1 JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová

2 Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Co je to náhodný jev? Tvrzení o výsledku náhodného pokusu, přičemž o pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout.

3 Jak modelovat výsledky náhodných pokusů? Definice: Náhodná veličina (NV) je funkce, která zobrazuje elementární jevy ω Ω na reálná čísla. NV obvykle značíme velkými písmeny X, Y, Z. NV přiřadí každému elementárnímu jevu ω reálné číslo (převádí elementární jevy (abstraktními objekty) na čísla). Hodnota X ω NV X závisí na tom, který elementární jev ω nastal. Víme-li, který elementární jev ω nastal, známe hodnotu X ω NV X. Náhodná veličina X Ω ω 1 0 x 1 R

4 Náhodná veličina (NV) Náhodná veličina číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu Náhodný pokus: Hod kostkou X výsledek hodu kostkou Náhodný jev: Padne sudé číslo. X 2; 4; 6

5 Náhodná veličina (NV) Náhodná veličina číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu X počet dívek mezi náhodně vybranými dětmi Náhodný pokus: Náhodný výběr dětí a zjištění počtu dívek mezi nimi. Náhodný jev: Mezi náhodně vybranými dětmi bude více než 500 dívek. X > 500

6 Náhodná veličina (NV) Náhodná veličina číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu X doba do remise onemocnění Náhodný pokus: Pozorování doby do remise onemocnění Náhodný jev: Doba do remise nepřekročí 60 měsíců. X 60

7 Náhodná veličina (NV) Náhodná veličina číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu X rychlost připojení k internetu (Mb/s) Náhodný pokus: Měření rychlosti připojení k internetu (download). Náhodný jev: Rychlost připojení k internetu je vyšší než 20 Mb/s. X > 20

8 Náhodná veličina (NV) Náhodná veličina číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu POZOR! Číselně vyjádření lze použít i u veličin, které nejsou kvantitativní ze své podstaty (např. pohlaví muž (0), žena (1)).

9 Jak popsat chování náhodné veličiny? Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny - předpis, který jednoznačně určuje všechny pravděpodobnosti typu P X M, kde M R. (tj. P X = a, P X < a, P X > a, P a < X < b,, kde a, b R) Jak zadat rozdělení pravděpodobnosti? funkci zadanou analyticky, výčtem hodnot NV a příslušných pravděpodobností.

10 Jak popsat chování náhodné veličiny? Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny - předpis, který jednoznačně určuje všechny pravděpodobnosti typu P X M, kde M R. (tj. P X = a, P X < a, P X > a, P a < X < b,, kde a, b R) Jaké zadat rozdělení pravděpodobnosti? distribuční funkcí, pravděpodobnostní funkcí (diskrétní NV), hustotou pravděpodobnosti (spojitá NV).

11 Distribuční funkce F(x) Distribuční funkce F t udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude menší než dané reálné číslo t. F t = P X < t Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení NV, tj. známe-li distribuční funkci, umíme určit pravděpodobnost P X M pro libovolnou M R. Někteří autoři definuji F t = P X t!!!

12 F(x) F(x) Distribuční funkce 1 5/6 4/6 3/6 2/6 1/ x 1 0,8 0,6 0,4 0, x Ukázka distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Ukázka distribuční funkce spojité náhodné veličiny

13 Základní typy náhodných veličin Diskrétní NV mohou nabývat spočetně mnoha hodnot Příklady: počet dní hospitalizace, počet krvácivých epizod, počet dní nemocenské, počet zákazníků v lékárně během jednoho dne, Spojité NV mohou nabývat všech hodnot na nějakém intervalu (mají spojitou distribuční funkci) Příklady: doba do remise onemocnění, výška, váha, BMI, IQ, vitální kapacita plic, chyba měření,

14 Základní typy náhodných veličin Diskrétní náhodná veličina (dále DNV) může nabývat spočetně mnoha hodnot DNV X s distribuční funkcí F X t je charakterizována pravděpodobnostní funkcí P X = x i, tj. funkcí pro níž platí: F X t = σ xi <t P X = x i =σ xi <t P x i Spojitá náhodná veličina (dále SNV) může nabývat všech hodnot na nějakém intervalu (má spojitou distribuční funkci) SNV X s distribuční funkcí F X t je charakterizována hustotou pravděpodobností f x, tj. funkcí pro níž platí: F X t = න t f x dx

15 Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny

16 Diskrétní náhodná veličina Definice Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (zkráceně: je diskrétní ), právě když nabývá spočetně mnoha hodnot. DNV lze charakterizovat: pravděpodobnostní funkcí, distribuční funkcí

17 Pravděpodobnostní funkce P x i 0 σ i P X = x i = 1 Lze zadat: předpisem, x 0; 1; 2; 3 : P X = x = 3 x 0,1x 0,9 3 x tabulkou, x P x 0,729 0,243 0,027 0,001 grafem. P(x) 0,8 0,6 0,4 0, x

18 1 Vylučovatelství skupinově specifických substancí ABH je podmíněno dominantní alelou Se, nevylučovatelství je podmíněno recesivní alelou se. Jestliže rodiče jsou heterozygotní vylučovatelé (Se, se), jejich potomek může být nevylučovatel (se, se), homozygotní vylučovatel (Se, Se) nebo heterozygotní vylučovatel (Se, se) s pravděpodobnostmi uvedenými v níže uvedené tabulce. Genotyp potomka Počet alel Se Pravděpodobnost Nevylučovatel (se, se) 0 0,25 Heterozygotní vylučovatel (Se, se) 1 0,50 Homozygotní vylučovatel (Se, Se) 2 0,25 Vylučovatelství skupinově specifických substancí ABH Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci počtu alel Se.

19 Vztah mezi pravděpodobnostní a distribuční funkcí P(x) 0,8 0,7 F(x) 0,95 0,6 0,5 0,4 0,75 0,55 0,3 0,2 0,1 0,35 0, x -0, x

20 Vztah mezi pravděpodobnostní a distribuční funkci P(x) 0,8 0,7 F(x) 0,95 0,6 0,5 0,4 0,75 0,55 0,3 0,2 0,1 0,35 0, x -0, x Body nespojitosti distribuční f-ce jsou body, v nichž je pravděpodobnostní f-ce nenulová.

21 Vztah mezi pravděpodobnostní a distribuční funkci P(x) 0,8 0,7 F(x) 0,95 0,6 0,5 0,4 0,75 0,55 0,3 0,2 0,1 0,35 0, x -0, x Body nespojitosti distribuční f-ce jsou body, v nichž je pravděpodobnostní f-ce nenulová.

22 Vztah mezi pravděpodobnostní a distribuční funkci P(x) 0,8 0,7 F(x) 0,95 0,6 0,5 0,4 0,75 0,55 0,3 0,2 0,1 0,35 0, x -0, x Body nespojitosti distribuční f-ce jsou body, v nichž je pravděpodobnostní f-ce nenulová.

23 Vztah mezi pravděpodobnostní a distribuční funkci P(x) 0,8 0,7 F(x) 0,95 0,6 0,5 0,4 0,75 0,55 0,3 0,2 0,1 0,35 0, x -0, x Body nespojitosti distribuční f-ce jsou body, v nichž je pravděpodobnostní f-ce nenulová. P X = a = lim F(x) F a x a+

24 Vztah mezi pravděpodobnosti a distribuční funkci P(x) 0,8 0,7 F(x) 0,95 0,6 0,5 0,4 0,75 0,55 0,3 0,2 0,1 0,35 0, x -0, x Body nespojitosti distribuční f-ce jsou body, v nichž je pravděpodobnostní f-ce nenulová. P X = a = lim F(x) F a, tj. velikost skoku distribuční funkce v bodech nespojitosti je rovna x a+ příslušným hodnotám pravděpodobnostní funkce.

25 Distribuční funkce F t = σ xi <t P x i Lze zadat: předpisem, tabulkou, grafem. F x = F(x) 0,95 0,75 0,55 0,35 0,15 0 x 0 0,729 0 < x 1 0,972 1 < x 2 0,999 2 < x < x -0, x x F( x ) ۄ 0 ( ; 0 ۄ 1 (0; 0,729 ۄ 2 (1; 0,972 ۄ 3 (2; 0,999 3; 1

26 Distribuční funkce F(x) Distribuční funkce F t udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude menší než dané reálné číslo t. Vlastnosti distribuční funkce: 0 F t 1, je neklesající, je zleva spojitá, má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti, F t 0 pro t ( začíná v 0), F t 1 pro t ( končí v 1). F t = P X < t Někteří autoři definuji F t = P X t!!!

27 Vztah mezi pravděpodobnosti a distribuční funkcí P X = a = lim F x F a x a+

28 Vztah mezi pravděpodobnosti a distribuční funkcí P X < a = F a = σ xi <a P(x i ) P X a = 1 P X < a = 1 F a = σ xi a P(x i ) P a X < b = P X < b P X < a = F a F b = σ a xi <b P(x i ) P X = a = lim F x F(a) x a+. Umíte určit distribuční funkci, znáte-li funkci pravděpodobnostní? Ověřit si to můžete ZDE.

29 2 Vylučovatelství skupinově specifických substancí ABH je podmíněno dominantní alelou Se, nevylučovatelství je podmíněno recesivní alelou se. Jestliže rodiče jsou heterozygotní vylučovatelé (Se, se), jejich potomek může být nevylučovatel (se, se), homozygotní vylučovatel (Se, Se) nebo heterozygotní vylučovatel (Se, se). Počet alelol Se lze modelovat náhodnou veličinou s distribuční funkcí F x = 0,00, x ( ; 0 0,25, x (0; 1 0,75, x (1; 2 1,00, x 2;. Určete pravděpodobnostní funkci počtu alel Se.

30 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

31 Spojitá náhodná veličina Definice Náhodná veličina X má spojité rozdělení pravděpodobnosti (zkráceně: je spojitá ) právě když má spojitou distribuční funkci. SNV lze charakterizovat: hustotou pravděpodobnosti, distribuční funkcí Proč se pro popis SNV nepoužívá pravděpodobnostní funkce?

32 Spojitá náhodná veličina Definice Náhodná veličina X má spojité rozdělení pravděpodobnosti (zkráceně: je spojitá ) právě když má spojitou distribuční funkci. SNV lze charakterizovat: hustotou pravděpodobnosti, distribuční funkcí SNV má spojitou distribuční funkci a proto: x R: P x = 0

33 Hustota pravděpodobnosti f(x) t F x = f x dx f x = df dx Pozorujte vztah mezi histogramem a grafem hustoty pravděpodobnosti (java applet: Přechod mezi histogramem a hustotou pravděpodobnosti) Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti f x je reálná nezáporná funkce, f x = 1 (plocha pod křivkou hustoty je 1), lim f x = 0 ( začíná v 0 ), x lim f x = 0 ( končí v 0 ) x f(x) 2 1,5 1 0,5 f(x) může nabývat hodnot vyšších než 1!!! ,5 0 0,5 1 x

34 Distribuční funkce F t = න t f x dx

35 Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí P X a 0

36 Vztah mezi pravděpodobnosti, hustotou a distr. funkcí a = P X < a = F a f x dx a 1 = a P X a = 1 P X < a = 1 F P a X < b = P X < b P X < a = F a F b = b = a dx f x P X = a = lim F x F a = 0 x a+ f x dx = a b f x dx f x dx = a f x dx Je-li náhodná veličina X spojitá, pak lze ve výše uvedených nerovnostech zaměňovat symboly ostré a neostré nerovnosti, tj. P X < a = P X a apod. Jaká je souvislost mezi pravděpodobností, distr. funkcí a hustotou pravd.? Ověřit si, zda je Vaše geometrická představa správná, můžete ZDE.

37 3 Tramvaje jezdí v pravidelných intervalech po 10 minutách. Cestující přijde na zastávku v libovolném okamžiku. Náhodná veličina X představuje dobu čekání na příjezd tramvaje. Rozdělení dané náhodné veličiny je dáno hustotou pravděpodobností, která je v intervalu 0-10 minut konstantní, mimo tento interval je nulová, tj. a) Určete konstantu c. b) Určete distribuční funkci F x. c, x 0; 10 f x = ቊ 0, x 0; 10 c) Určete pravděpodobnost, že cestující bude čekat nejvýše 5 minut, alespoň 3 minuty, právě 7 minut.

38 K čemu potřebujeme popisovat chování NV? NV převádějí abstraktní a většinou neznámý základní prostor Ω na čísla (s čísly se lépe pracuje). Ve složitějších situacích je těžké základní prostor Ω rozumně popsat stačí znát rozdělení příslušné NV a pracovat na reálných číslech. NV slouží jako model pro naše empirická pozorování (data). V teorii pravděpodobnosti s nimi pracujeme teoreticky jejich rozdělení považujeme za dané a zkoumáme jejich vlastnosti Ve statistice se snažíme cosi usoudit o jejich neznámém rozdělení na základě konkrétních realizací.

39 Číselné charakteristiky náhodných veličin

40 Proč potřebujeme číselné charakteristiky NV? Distribuční funkce (pravděpodobnostní funkce, hustota pravděpodobnosti) popisují rozdělení NV jednoznačně, do všech podrobností. Někdy nás zajímá pouze některý aspekt NV, který se dá popsat jedním číslem: očekávaná hodnota NV, variabilita možných hodnot, hodnota, pod níž leží pouze malé množství hodnot NV, šikmost rozdělení, koncentrace hodnot NV kolem očekávané hodnoty (špičatost rozdělení).

41 Číselné charakteristiky náhodných veličin Obecný moment r-tého řádu (značí se μ r nebo E X r pro diskrétní NV: μ r = σ i x i r P x i pro r = 1, 2, ) pro spojitou NV: μ r = x r f x dx Střední hodnota (angl. expected value, mean; značí se E X nebo µ) pro diskrétní NV: E X = μ = σ i x i P x i pro spojitou NV: E X = μ = x f x dx

42 Význam střední hodnoty Střední hodnotu E X náhodné veličiny X lze chápat jako: průměrnou (očekávanou) hodnotu NV X, kolem níž hodnoty NV kolísají, míru polohy, populační průměr, vážený průměr všech možných hodnot E X = σ i x i P x i, těžiště možných hodnot. f(x) 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 E(X) f(x) 0,1 0, x E(X) x

43 Kvantily p-kvantil x p (také 100p%-ní kvantil je číslo, pro které platí: P X < x p = p. F x p = p x p = F 1 (p) (tj. kvantilová funkce F 1 (p) je funkcí inverzní k distribuční funkci F x p ) Kvantily obvykle určujeme pouze pro SNV.

44 Kvantily p-kvantil x p (také 100p%-ní kvantil je číslo, pro které platí: P X < x p = p. F x p = p x p = F 1 (p) x 0,5 50% kvantil x 0,8 80% kvantil

45 Význačné kvantily Kvartily Dolní kvartil x 0,25 Medián x 0,5 Horní kvartil x 0,75 Decily x 0,1 ; x 0,2 ;... ; x 0,9 Percentily x 0,01 ; x 0,02 ; ; x 0,03 Minimum x min a Maximum x max 45

46 Kde se setkáme s kvantily?

47 Modus Modus x typická hodnota náhodné veličiny pro diskrétní NV: x i : P X = x P X = x i (tzn. modus je taková hodnota DNV, v níž P x i nabývá svého maxima) pro spojitou NV: x: f x f x (tzn. modus je taková hodnota SNV, v níž f x nabývá svého maxima) Modus není těmito podmínkami určen jednoznačně, tzn. náhodná veličina může mít několik modů (např. výsledek hodu kostkou). Má-li NV právě jeden modus, mluvíme o unimodálním rozdělení NV. Má-li NV unimodální symetrické rozdělení, pak E X = x 0,5 = x.

48 4 Vylučovatelství skupinově specifických substancí ABH je podmíněno dominantní alelou Se, nevylučovatelství je podmíněno recesivní alelou se. Jestliže rodiče jsou heterozygotní vylučovatelé (Se, se), jejich potomek může být nevylučovatel (se, se), homozygotní vylučovatel (Se, Se) nebo heterozygotní vylučovatel (Se, se) s pravděpodobnostmi uvedenými v níže uvedené tabulce. Genotyp potomka Počet alel Se Pravděpodobnost Nevylučovatel (se, se) 0 0,25 Heterozygotní vylučovatel (Se, se) 1 0,50 Homozygotní vylučovatel (Se, Se) 2 0,25 Vylučovatelství skupinově specifických substancí ABH Určete střední hodnotu a modus počtu alel Se.

49 5 Tramvaje jezdí v pravidelných intervalech po 10 minutách. Cestující přijde na zastávku v libovolném okamžiku. Náhodná veličina X představuje dobu čekání na příjezd tramvaje. Rozdělení dané náhodné veličiny je dáno hustotou pravděpodobností, která je v intervalu 0-10 minut konstantní, mimo tento interval je nulová, tj. 0,1, x 0; 10 f x = ቊ 0, x 0; 10 Určete střední hodnotu náhodné veličiny X.

50 Číselné charakteristiky náhodných veličin Centrální moment r-tého řádu μ r (značíme μ r = E X EX r ) pro diskrétní NV: μ r = σ i x i EX r P x i pro spojitou NV: μ r = x EX r f x dx Rozptyl (angl. dispersion, variance; značí se μ 2 nebo DX nebo σ 2 ) pro diskrétní NV: D X = μ 2 = σ i pro spojitou NV: D X = μ 2 = x i EX 2 P x i x EX 2 f x dx Výpočetní vztah pro rozptyl: D(X) = E(X 2 ) EX 2

51 Význam rozptylu Míra variability dat kolem střední hodnoty. Střední kvadratická odchylka od střední hodnoty D X = E X E(X) 2. Malý rozptyl hodnoty NV se s vysokou pravděpodobností objevují blízko E X. Velký rozptyl hodnoty NV se často objevují ve velké vzdálenosti od E X. D X1 < D(X2) Jednotka rozptylu je kvadrátem jednotky náhodné veličiny!!!

52 Směrodatná odchylka Směrodatná odchylka σ σ(y) = D(X) Jakou představu o náhodné veličině X si lze udělat na základě její stř. hodnoty μ a sm. odchylky σ? k > 0: P μ kσ < X < μ + kσ > 1 1 k 2 (Čebyševova nerovnost) k P μ kσ < X < μ + kσ 1 >0 2 >0,75 3 >0,89 Směrodatná odchylka neumožňuje srovnávat variabilitu náhodných veličin měřených v různých jednotkách!

53 Variační koeficient Variační koeficient γ je definován pouze pro nezáporné náhodné veličiny. γ = σ, resp. σ 100 [%] μ μ Variační koeficient směrodatná odchylka v procentech střední hodnoty Čím nižší var. koeficient, tím homogennější soubor. V x > 50% značí silně rozptýlený soubor.

54 6 Vylučovatelství skupinově specifických substancí ABH je podmíněno dominantní alelou Se, nevylučovatelství je podmíněno recesivní alelou se. Jestliže rodiče jsou heterozygotní vylučovatelé (Se, se), jejich potomek může být nevylučovatel (se, se), homozygotní vylučovatel (Se, Se) nebo heterozygotní vylučovatel (Se, se) s pravděpodobnostmi uvedenými v níže uvedené tabulce. Genotyp potomka Počet alel Se Pravděpodobnost Nevylučovatel (se, se) 0 0,25 Heterozygotní vylučovatel (Se, se) 1 0,50 Homozygotní vylučovatel (Se, Se) 2 0,25 Vylučovatelství skupinově specifických substancí ABH Určete rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient počtu alel Se.

55 7 Tramvaje jezdí v pravidelných intervalech po 10 minutách. Cestující přijde na zastávku v libovolném okamžiku. Náhodná veličina X představuje dobu čekání na příjezd tramvaje. Rozdělení dané náhodné veličiny je dáno hustotou pravděpodobností, která je v intervalu 0-10 minut konstantní, mimo tento interval je nulová, tj. 0,1, x 0; 10 f x = ቊ 0, x 0; 10 Určete rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient náhodné veličiny X.

56 8 Modelujeme výšku chlapců ve věku 3,5 4 roky. Vysvětlete: 1) 2% kvantil modelované náhodné veličiny je 93 cm. 2) Střední hodnota modelované NV je 102 cm, směrodatná odchylka je 4,5 cm. V jakém rozpětí lze očekávat výšku chlapců ve věku 3,5 4 roky? Pro interpretaci využijte Čebyševovu nerovnost. 3) Střední hodnota modelované NV je 102 cm, směrodatná odchylka je 4,5 cm. Posuďte variabilitu modelované NV. (Není příliš vysoká? Pro posouzení použijte variační koeficient.) 4) Víme, že pro distribuční funkci modelované NV platí: F 111 = 0,98. Co jsme se dozvěděli?

57 Míry šikmosti a špičatosti

58 Jsou míry polohy a míry variability dostatečné pro posouzení rozdělení sledovaných veličin? Zdroj: TVRDÍK, J.: Základy matematické statistiky, Ostravská univerzita, 2008 Všech pět ukázek má stejné charakteristiky polohy i variability (průměry i směrodatné odchylky jsou shodné). Přesto na první pohled vidíme, že tvary rozdělení dat jsou různé.

59 Šikmost α 3 Míra symetrie rozdělení NV α 3 = μ 3 E X E(X) 3 σ3 = σ 3 f(x) f(x) f(x) α 3 < 0 negativně zešikmené rozdělení x α 3 = 0 symetrické rozdělení x α 3 > 0 pozitivně zešikmené rozdělení x E(X) < x 0,5 < x x = x 0,5 = E(X) x < x 0,5 < E(X) obvykle

60 Špičatost α 4 Míra koncentrace kolem průměru α 4 = μ 4 E X E(X) 4 = σ4 σ 4 f(x) f(x) f(x) α 4 < 3 špičatost menší než u norm. rozdělení (plošší rozdělení) x α 4 = 3 špičatost odpovídající normálnímu rozdělení x α 4 > 3 špičatost větší než u norm. rozdělení (špičatější rozdělení) x standardizovaná špičatost α 4 3

61 Jsou míry polohy a míry variability dostatečné pro posouzení rozdělení sledovaných veličin? Zdroj: TVRDÍK, J.: Základy matematické statistiky, Ostravská univerzita, 2008 Všech pět ukázek má stejné charakteristiky polohy i variability (průměry i směrodatné odchylky jsou shodné). Přesto na první pohled vidíme, že tvary rozdělení dat jsou různé. K číselnému vyjádření těchto rozdílů nám slouží další charakteristiky - šikmost (g 1, angl. skewness) a špičatost (g 2, angl. kurtosis).

62 Transformace náhodné veličiny

63 Transformace náhodné veličiny Transformací NV X rozumíme aplikaci prosté reálné funkce g tak, že vznikne nová náhodná veličina Y = g X. NV Y může nabývat jiných hodnot než NV X, může mít také jiné rozdělení pravděpodobnosti, které chceme najít (tj. hledáme pravděpodobnostní f-ci, resp. hustotu pravděpodobnosti NV Y).

64 Transformace náhodné veličiny Y = g(x) y R: F Y y = P Y < y = P(g X < y) Pro diskrétní NV: P Y y = P Y = y = P g X = y = P X g 1 y = Pro spojitou NV: Je-li g rostoucí f-ce: y R: F Y y = P X < g 1 y = F X (g 1 (y)) Je-li g klesající f-ce: y R: F Y y = P X > g 1 y = 1 F X (g 1 (y)) Je-li g spojitě diferencovatelná f-ce: f Y y = f X (g 1 y ) dg 1 (y) dy x g 1 (y) P X (x)

65 Vyzkoušejte si popis transformovaných náhodných veličin a výpočet jejich základních číselných charakteristik v praxi. Řešené příklady naleznete ZDE (DNV) a ZDE (SNV).

66 DĚKUJI ZA POZORNOST!