Klacká echanka - outaa hotných boů a tuhé těleo Úo O toto tu Jak e tu pohyboat.soutaa hotných boů. Hotný tře. Hybnot, oent hybnot a enege outay.3 Pní ěta puloá, zákon zachoání hybnot.4 Duhá ěta puloá.5 Příklay:.5. Hotný tře outay.5. Pužný a nepužný áz.tuhé těleo. Hotný tře. Ronoáha tuhého tělea.3 Kneatka tuhého tělea.4 Steneoa ěta.5 Köngoa ěta.6 Příklay:.6. yzcké kyalo.6. Mateatcké kyalo.6.3 Valení po nakloněné oně. 3. Mateatcká oození 3. Pní ěta puloá 3. Duhá ěta puloá 3.3 Steneoa ěta 3.4 Köngoa ěta Kateřna Šebkoá, 006
Úo obah O toto tu Tento učební t znkl ác bakalářké páce na kateře aktky fyzky Mateatckofyzkální akulty Unezty Kaloy Paze oce 006 po eení oc. RD. Leoše Dořáka, CSc. Autoka: Kateřna Šebkoá, poluchačka 3. očníku učteltí fyzky-ateatky po SŠ Tento t e hnutí látky Soutaa hotných boů a tuhé těleo z přenášky Klacká echanka po poluchače. eetu. ee o učebnc, ale o koentoaný přehle neůležtěších zoců, poů a efnc. T ohou yužít tuent. očníku (četně tuentů kobnoaného tua) tuent 3. očníku př přípaě na bakalářkou zkoušku z fyzky. Jak e tu pohyboat V obahu ůžee ybat kaptolu, o kteou e zaíáe, a poocí okazu přeít na tánku, ke e ané téa nachází (okazy PD eou žy na začátek tánky, a poto e něky nutné zaoloat ). T, kteří potřebuí en zopakoat záklaní zoce týkaící e outay hotných boů a tuhého tělea, naleznou (na tánce po úou) potřebný přehle alší okazy na poobněší yětlení aného zoce. Poku e tu buete chtít acet o kok zpět, pak yužte těchto špek na honí nebo olní lště. Důležté e také baené členění tu:. šechny okazy ou yznačeny oou baou. efnce, ěty a zoce ou tu yznačeny hněý áečke 3. poznáky a přpoínky ou zelené áečku Př yětloání teínů e nahala loeo být ateatcký ybole.
. Soutaa hotných boů. poloha hotného třeu. celkoá hybnot P celkoý oent hybnot L ( ) p knetcká enege T potencální enege V V V....3 pní ěta puloá P t ěta o pohybu hotného třeu a zákon zachoání hybnot P kont. (po zoloanou outau)....4 celkoý oent něších l M ( ) L uhá ěta puloá M t zákon zachoání oentu hybnot L kont. (po zoloanou outau) 3
.Tuhé těleo. poloha hotného třeu V ρ V.3 úhloá ychlot ϕ t obooá ychlot oent etačnot J R J V R ρ V.. oenty etačnot někteých hoogenních těle obuč J R (zhlee ke é geoetcké oe) k J R (zhlee ke é geoetcké oe) álec J R (zhlee ke é geoetcké oe) koule J R 5 (zhlee k oe pocházeící třee) tyč J L (zhlee k oe kolé na tyč, kteá pochází eí třee)....4 Steneoa ěta J J R.5 Köngoa ěta T J 4
. Soutaa hotných boů obah íce hotných boů - e učena, znáe-l hotnot a polohy enotlých boů,,, ( počet boů). Hotný tře obah učtý bo outay, kteý e choá tak, ako by ně byla outřeěna eškeá hota...outay - také e u říká těžště, potože e půobště íly, kteá na outau půobí hoogenní.. tíhoé pol - poloha hotného třeu outay hotných boů: - e učena ozložení hotných boů outay, celkoá hotnot outay. Hybnot, oent hybnot a enege outay obah - outaa čátc (kažá čátce e chaaktezoaná,, ) - čátce ohou záeně nteagoat a okolní obekty na ně ohou půobt něší la - outaa á celkoou hybnot P P p P p p... p... - celkoý oent hybnot outay L L l ( p ) 5
- knetckou eneg outay T T, - potencální eneg outay V V V V, enege záeného půobení čátc (yětlení ½ : čátce půobí na čátc, ale půobí na a tato enege by e započítala kát) enege ána něší la.3 Pní ěta puloá obah ěta o hybnot outay hotných boů P oození t Čaoá eace celkoé hybnot outay e ona ýlenc něších l půobících na outau. nebol: Čaoá zěna celkoé hybnot outay e oná celkoé něší íle. ýlence něších l půobících na outau (okolní obekty půobí na,,,,,,,enotlé boy) ýlence něších l půobících na -tý bo outay 6
- pní ěta puloá ako ěta o pohybu hotného třeu outay: a Hotný tře outay e pohybue ako hotný bo o celkoé hotnot outay, na kteý půobí ýlence něších l půobících na outau.! ztah nc neříká o zychlení ných boů outay e kontantní (neochází k ýěně hoty outay ez okolí outaa e UZAVŘEÁ) a zychlení těžště outay a t - etlže na outau nepůobí žáné něší íly ( outaa e IZOLOVAÁ), nebo..ýlence něších l e nuloá, pak platí zákon zachoání hybnot: 0 P 0 P kont. t Hybnot zoloané outay čátc e tálá.! P kont. e ektooá once: zachoáaí e šechny tř ložky P, P, P. Jou-l někteé ložky něší íly nuloé, zachoáaí e en přílušné ložky P. apř. 0 P kont. x y z x x.4 Duhá ěta puloá obah ěta o oentu hybnot outay hotných boů L M oození t Čaoá eace celkoého oentu hybnot outay hotných boů e ona ýlenéu oentu něších l půobících na outau. nebol: Čaoá zěna oentu hybnot outay e oná celkoéu oentu něších l.! poínka onot: L a M ou počítány zhlee k téuž bou. 7
M M celkoý oent něších l M ( ) - e-l outaa hotných boů zoloaná, nebo e-l celkoý oent něších l, kteé na n..půobí nuloý,,pak platí zákon zachoání oentu hybnot: M L 0 0 L kont. t! V centální loé pol e zachoáá oent hybnot zhlee k centu, potože kyž půobí něší íla, tak eí oent e nuloý..5 Příklay obah.5. Hotný tře outay Máe outau hotných boů a. Bo S naznačue polohu hotného třeu.outay, kteý chcee naít. Ze ztahu po polohu hotného třeu (z..) plyne: Uažue pecální přípay: (*) a) 0... otanee outau enou čátcí a eí těžště by ělo b plýat touto čátcí, pole (*) kutečně b) 0... analoge přípau a) c). těžště by ělo být upotře ez čátce (z efnce třeu úečky ), ze ztahu (*) otanee totéž) 8
.5. Pužný a nepužný áz ( ážka).5 Příklay a) nepužný áz - eho půběhu e obě čátce poí a po ázu e pohybuí ako ena čátce - hybnot outay e zachoáá b) pužný áz - eho půběhu e zachoáá knetcká enege - hybnot outay e zachoáá.. a) nepužný áz Po enouchot buee řešt en přípa, ky uhý hotný bo byl pře ážkou klu. pře ážkou 0 po ážce Pře ážkou bylo těleo klu. Pole zákona zachoání hybnot (ZZH) platí: ( ) ( ) Ze ztahu ( ) e ět, že ychlot po ážce e žy enší než pře ážkou.! Př nepužné ázu e echancká enege nezachoáá, žy e ění na né foy enege. 9
b) centální pužný áz (čátce e tále pohybuí ené příce).5 Příklay pře ážkou po ážce ZZH po ložky ychlot,,, : Zachoáá e echancká enege (knetcká enege): yní uíe yřešt outau ou onc o ou neznáých. once upaíe : ( ) ( ) ( ) ( ) uhou yělíe pní : oaíe o ZZH a zíkáe : poobně: 0
. Tuhé těleo obah eální těleo, ehož ta an obe e účnke lboolně elkých l neění - e učeno hutotou ρ ako funkcí ouřanc,, x ρ ( x x, ) ρ ( ), x 3 x x 3 po hoogenní těleo těleo není hoogenní ρ ρ V V - teně ako po outau hotných boů, tak po tuhé těleo platí pní a uhá ěta..puloá. Hotný tře tuhého tělea obah V ρ V, ρ V V. Ronoáha tuhého tělea obah - těleo e onoáze, etlže platí: 0, M 0! Tyto poínky ou nutné, ale neou potačuící po to, aby těleo bylo klu (těleo by uelo být pře použtí něších l klu tatcká onoáha). - uhy onoáhy :.) tálá ( tablní) onoážná poloha těleo e po ychýlení ací zpět o onoážné polohy natane, kyž potencální enege á nu.) atká ( lablní) onoážná poloha těleo e po ychýlení ao o onoážné polohy neátí natane, kyž potencální enege á axu 3.) olná ( nfeentní) onoážná poloha těleo po ychýlení zůtáá noé poloze potencální enege e př pohybu okolí onoáhy neění! Pohyb tělea ůže být oezen azba.
tablní poloha lablní poloha nfeentní poloha.3 Kneatka tuhého tělea obah - tuhé těleo (teně ako outaa hotných boů) á 6 tupňů olnot ztíe-l --..čaoou zálot šet ouřanc, učíe tí pohyb tuhého tělea - kažý pohyb tělea ůžee přetat ako pohyb ložený z pohybu pouného..( tanlace) a otáčého ( otace) pouný pohyb pohyb, př kteé aí šechny boy tělea ané okažku tený ekto ychlot - taektoe šech boů tělea aí honý ta (lší e pouze ůleku ůzné počáteční cfpolohy boů) - ůže být příočaý, křočaý, onoěný, neonoěný - např. pohyb pítu e paloací otou otáčý pohyb (ětšna ále ueeného e týká otace kole pené oy) - e úplně popán čaoou zálotí ϕ ϕ ( t) () t ϕ ϕ úhel ez příkou penou tělee a příkou penou potou (obě ou kolé k oe otáčení) ϕ ( aánech, a & 57,3 ) R élka oblouku R poloě kužnce
- boy, kteé leží na oe otace, ou klu - úhloá ychlot e ekto, kteý e onoběžný oou otáčení ν - půěná úhloá ychlot tělea ntealu Δt e efnoána ztahe ϕ ϕ Δϕ, ke ϕ e úhel chaaktezuící polohu otuícího tělea t t Δt okažku t a ϕ okažku t - okažtá úhloá ychlot tělea e ána ztahe o ěu oy otáčení) ϕ ( e ložka ektou t! Úhloou ychlot lze poobně zaét přípaě, ky oa otáčení není pená, t. ky okažtá oa otáčení ění polohu nebo ě. - po ychlot lboolného bou tělea, kteé e otáčí kole oy, platí ekto eený z enoho peného bou na oe otáčení o íta, ke e bo, ehož ychlot učuee 3
- oent etačnot J tělea kole oy - záí na ozložení hoty tělea zhlee k oe otáčení těleo ložené z enotlých boů.. hota tělea e ozložena potě. J J V R R ρ V R zálenot o oy otáčení oenty etačnot po ůzná tělea - pecálně - po otac kole pené oy platí: - boy tělea opuí kužnce, echž třey leží na oe otáčení - elkot ychlot enotlých boů ou přío úěné ech zálenot o oy otáčení - oent hybnot (ložka L o ěu oy otace) : L l R R J t - platí uhá ěta puloá ( J ) M, po J nezálé na čae J M t M oent l zhlee k oe (ep. ložka,,,,,,,,tohoto oentu o ěu oy).4 Steneoa ěta obah J J R oození J oent etačnot tělea ůč lboolné oe o J oent etačnot ůč oe o pocházeící těžště tělea ( o) hotnot tělea R zálenot o o a o o 4
.5 Köngoa ěta obah T J oození Knetcká enege tělea, kteé koná pouný a otáčý pohyb. ychlot hotného třeu S J oent etačnot ůč oe pocházeící těžště tělea.6 Příklay obah.6. yzcké kyalo těleo, kteé e otáčí kole pené oooné oy o nepocházeící.eho hotný třee S po těleo otáčeící e kole pené oy platí e ěu oy otáčení o t L o M L o J o M o o L M t gl nϕ! oent tíhoé íly e naží tělee otáčet opačné ylu, než e yl úhlu ϕ 5
J o ϕ gl nϕ & ϕ t t po alé ϕ platí n ϕ & ϕ ϕ& & Ω ϕ 0, gl & ϕ n ϕ 0 řešení: ϕ ϕ n( Ωt α ) ax J o gl Ω J o Ω úhloá fekence ktů ϕ ax, α kontanty, kteé učíe z počátečních poínek oba ktu T čaoý nteal, po kteý e pohyb kyala opakue T f π π Ω J o gl.6. Mateatcké kyalo.6 Příklay.těleo, kteé á celou ou hotnot outřeěnou eno boě a otáčí e na nehotné záěu (poázku), kole oy o J l T π l g 6
.6.3 Valení po nakloněné oně.6 Příklay Jak ychle e alí bez klouzání hoogenní álec po nakloněné oně? (Válec yputíe z učtého íta nuloou počáteční ychlotí.) a) poocí Köngoy ěty: Muí být plněna poínka zákona zachoání echancké enege (ZZE). T V T V počáteční poloha konečná poloha T 0 0 V gh Köngoa ěta T V gh J Teď už en tačí oat o ZZE a uěot, že a oent R etačnot álce J R (R e poloě álce). 4 R gh g( h h gh R ) 3 7
b) poocí Steneoy ěty:.6 Příklay V T V T Muíe át pozo na to, že álec e ané okažku otáčí kole příky, níž e otýká nakloněné ony. (na obázku e oa yznačena čeenou tečkou) 0 0 T gh V Steneoa ěta ( ) ( ) R J R J J T o ( ) R R R R R J 4 3 4 3 R R gh V yní oaíe o ZZE : 4 3 gh gh ( ) 3 4 h h g 8
3. Mateatcká oození obah 3. Pní ěta puloá: Vztah P p P zeuee pole čau t p t p upaíe paou tanu : t 443 použl e. ewtonů zákon () () z pncpu akce a eakce 443 přehol e uy 443 přehol e nexy yětlení po a hotné boy: 0 44444444 44444444 3 0 () 3 () () (3) P t! Po oození pní ěty puloé e klíčoé, že íly plňuí pncp akce a eakce. 9
3. Duhá ěta puloá: obah Vztah p L zeuee pole čau ( ) p t t L upaíe paou tanu : ( ) { 443 443 443 * 0 t p p t p t M * nexy zaěníe eakce a akce pncp yužee 4 43 4 4 4 43 4 4 ( ) ( ) ( ) ou íly 0 443 centální 444444 4 3 444444 4 M t L! Po oození uhé ěty puloé e klíčoé, že íly plňuí pncp akce a eakce a že ou centální. 0
3.3 Steneoa ěta: obah Oození poeee po outau hotných boů. S hotný tře o oa otáčení hotnot -tého bou tělea ektoy R, R, R ou kolé na ou o R R R J o R R R R R R R R R R R 443 oent etačnot zhlee k oe pocházeící třee S R R R J R J 443 0 poloha třeu ůč třeu aotnéu 4444444 4444444 3 Jo J R
3.4 Köngoa ěta: obah ychlot -tého bou outay ychlot hotného třeu outay ychlot -tého bou ůč hotnéu třeu S (přeně: ůč necální outaě, eíž počátek e S) poloha -tého bou ůč hotnéu třeu ( ) ( ) ( ) T { 0 třee S pocházeící oe ůč J 3 444444 4 3 444444 4 J T