I. MECHANIKA 4. Soustava hmotných bodů II

Transkript

1 I. CHIK 4. Soustaa hmotných bodů II 1

2 Obsah Spojté ozložení hmotnost. Počet stupňů olnost. Knematka tuhého tělesa. Zjednodušení popsu otace kolem osy a peného bodu. Chaslesoa ěta. Dynamka tuhého tělesa. Pní a duhá mpulsoá ěta. Zjednodušení sousta sl posun efeenčního bodu přenesení působště síly skládání sl umístění momentu dojce sl přenesení působště do hmotného středu (doplnění momentu) Ronoáha 2

3 Co ozumíme tuhým tělesem abstakce eálného tělesa ozšíření tuhé soustay hmotných bodů zájemné zdálenost jednotlých bodů se nemění př lboolných slách působících na těleso hodné po studum otací pokud nelze zanedbat konečné ozměy eálných těles nezahnuje lastnost pužné eologcké 3

4 Spojté ozložení hmotnost m hustota stanoena lmtním přechodem ( ) lm V 0 V dm př spáné ntepetac symbolů lze užít deac dv těleso zadáno ozložením hustoty ( ) mmo těleso ( ) 0 celkoá hmotnost soustay ( ) dv ( ) dv V V eškeá yjádření po soustau hmotných bodů, kde ystupují sumace přes hmotné body, se po tuhé těleso mění na postooé ntegály obecně: dskétní elčna... a n spojtá elčna a( ) suma... m a n n postooý ntegál a( ) ( ) dv poloha hm. středu... n1 mnn n 1 1 s mn ( ) dv V 1 n dv s n1 dv ( ) V m ( ) n1 n V V 4

5 Počet stupňů olnost Tuhá soustaa h.b. má 6 stupňů olnost 3 body neležící přímce (9 stupňů olnost) 3 pené zdálenost mez nm (3 azební podmínky) Po knematcké úahy se užíá tato skupna paametů: poloha jednoho peného bodu tělese (3 souřadnce) osa o pocházející tímto bodem (smě učen 2 paamety 2 směoé úhly nebo 2 nezáslé souřadnce n 1 a n 2 směoého ektou n ; po jednotkoý směoý ekto platí n n n 1) úhel natočení tělesa kolem osy (úhel mez přímkou penou tělese a přímkou penou postou) n 5

6 Pohyb tuhého tělesa knematka otáčení tuhého tělesa kolem pené osy bod a jím pocházející osa o zachoáají tělese postou stálou polohu časoě poměnná elčna (t) šechny body (s ýjmkou bodů na ose) konají kuhoý pohyb se společnou úhloou ychlostí d oně kolmé k ose o dt otac učuje ekto, ychlost bodu s polohoým ektoem bude ektoy úhloé ychlost, a toří paotočý systém 6

7 Pohyb tuhého tělesa knematka otáčení tuhého tělesa kolem peného bodu ýchodskem je uleoa ěta: Otáčení tuhého tělesa kolem peného bodu lze každém okamžku yjádřt jako otáčení tuhého tělesa kolem pené osy pocházející peným bodem. otac učuje ekto (t) ychlost bodu s polohoým ektoem bude ( t) ( t) půběžně se mění jak smě osy otáčení, tak elkost úhloé ychlost tanslace (pohyb posuný, postupný) ychlost V (t) šech bodů tělesa je každém okamžku stejná tajektoe posunuté zhledem k počáteční poloze bodů 7

8 Pohyb tuhého tělesa knematka lboolný pohyb ýchodskem je Chaslesoa ěta ([šál] chel Chasles, , ance, matematk): Lboolný pohyb tuhého tělesa lze složt z tanslace a otace kolem peného bodu. tanslace popsána pomocí ychlost (t) efeenčního bodu otac učuje ekto (t), ychlost bodu s polohoým ektoem bude ( t) ( t) ( t) (t) (t) (t) poloha bodu tělese není omezena (často hmotný střed) (t) 8

9 Pohyb tuhého tělesa knematka 9 jak sousí paamety po ůzné olby? ychlost bodů a jsou obecně ůzné úhloé ychlost jsou stejné důkaz: yjádření ychlost bodu X tělesa pomocí ůzných efeenčních bodů: yjádření ychlost bodu pomocí efeenčního bodu : a do yjádření ychlost bodu X pomocí efeenčního bodu zaedeme ztah mez ektoy a a a ) ( platí tedy současně: poonáním: q.e.d. a X

10 Pohyb tuhého tělesa knematka Důležté: funkce (t) a (t ) učují ychlost bodě, ale ne tajekto učení tajektoe z těchto funkcí není obecně jednoduché Poblém: pený tělese je to skutečně polohoý ekto učtého bodu, jenže funkc (t) neznáme, dokud neučíme tajekto tělesa jná možnost: pený postou ukazuje po ůzná t na ůzné body tělesa 10

11 Dynamka tuhého tělesa pohyboé once soustay hmotných bodů d P 1. mpulsoá ěta dt d B 2. mpulsoá ěta dt 6 skaláních onc 6 nezáslých funkcí např. (t) a (t ) 1. mpulsoá ěta ěta o pohybu hmotného středu soustay a s, efeenční bod umístíme do hmotného středu soustay, dále budeme značt S, dostaneme onc po d S S :, jejím řešením bude S S (t) dt Hmotný střed soustay se pohybuje jako h.b., kteý má hmotnost onu celkoé hm. soustay a na nějž působí ýslednce nějších sl působících na soustau. možnost studoat metodam dynamky hmotného bodu např. těleso tíhoém pol hm. střed se pohybuje po tajekto někteého hu 2. mpulsoá ěta analogckou onc po (t ) není zdaleka tak snadné získat 11

12 Zjednodušení sl působících na těleso ůzné soustay nějších sl, jejchž a (yjádřený zhledem k témuž bodu) jsou stejné, mají na stejné těleso stejný dynamcký účnek, tj. jsou dynamcky ekalentní Úpay soustay sl př zachoání a zjednodušení nebo zpřehlednění poblému po techncké aplkace 12

13 Přenesení působště síly podél přímky přenesení působště síly podél ektooé přímky zachoá působení síly moment k lb. bodu (přímka se nezmění a tedy an její zdálenost od lboolného bodu) 13

14 Přesun efeenčního bodu momentu sl 14 přesun efeenčního bodu po ýpočet momentu sl O O moment sl zhledem k bodu O : 1 l moment sl zhledem k bodu O : l l l ) ( důsledky: 0 l

15 Skládání ůznoběžných sl 15 přenos do půsečíku P ektooých přímek 1 p a 2 p složení 2 1 přenos po ektooé přímce p do lboolného hodného bodu C zachoáá celkoý moment sl: C P P P P B P ( 2)

16 Skládání onoběžných sl elkost ýslednce je součet/ozdíl elkostí působště ýslednce nutno hledat z onost momentů nejjednodušší úaha: ýslednce má zhledem k sému působšt nuloý moment momenty složek se musí zhledem k tomuto bodu kompenzoat d11 d22 amena budou opačném poměu elkostí složek 1 2 d d

17 Dojce sl stejné antpaalelní síly 17 ýslednce nuloá 0 ) ( ýsledný moment 0 ) ( ) ( d d B B B moment dojce l d D, kde l je zdálenost ektoů poloha bodu, ůč němuž byly momenty počítány, nemá l na ýsledek

18 Přenesení síly do jného bodu př přenosu síly z bodu do bodu B se její dynamcký účnek na těleso nezmění, doplníme-l sílu bodu B sloou dojcí s momentem D ( B ). Platí totž B ( B ). B d D 18

19 Skládání mmoběžných sl nalézt zdálenost mmoběžek posunout jednu ze sl po této úsečce (kolmá k síle) doplnt moment dojce (amenem bude zdálenost mmoběžek) ýsledkem jsou síly ůznoběžné, kteé se složí ýše popsaným způsobem 19

20 Přenesení sl do hmotného středu přenesení šech nějších sl působících na těleso do hmotného středu ýslednce nějších sl D celkoý moment po přenesení S 1 1 (zhledem k počátku souřadnc) D moment je ýsledný moment sloé dojce (= součet momentů sloých dojc přdaných př přenášení sl do hmotného středu) 20

21 Hmotný střed homogenním tíhoém pol těleso homogenním tíhoém pol popsaným postupem přeneseme síly působící na jednotlé h.b. tělesa do hmotného středu ýslednce nějších sl po přenosu G m g 1 g G D celkoý moment po přenesení g (zhledem k počátku souřadnc) G celkoý moment před přenesením m g m g S g 1 1 poonáním díme, že ýsledný moment sloé dojce tíhoých sl je nuloý D 0 Záě: Soustau sl, kteé působí na tuhé těleso homogenním tíhoém pol, lze nahadt jednou slou tíhoou slou umístěnou hmotném středu tělesa. 21 S S

22 Hmotný střed esus těžště působště tíhoé síly homogenním tíhoém pol půsečík těžnc homogenním tíhoém pol těžště splýá s hmotným středem nehomogenním pol těžště (na ozdíl od hmotného středu) neexstuje, potože těžnce se nepotínají jedném bodě! 22

23 Ronoáha tuhého tělesa ýslednce nějších sl 0 důsledku je celkoý moment oen ýslednému momentu sloé dojce, a ten je nezáslý na ztažném bodu celkoý moment 0 (platí-l po někteý bod, platí po každý bod) Jak se choá těleso onoáze? těleso zůstáá předchozím stau hmotný střed kldu nebo onoměném přímočaém pohybu otáčení kolem hm. středu je duhou podmínkou jen poněkud omezeno Těleso podobené azbám ýhodné yužít enegetckých úah onoážná poloha mnmum potencální enege 23