Univerzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. [Znak MFF UK dle Symboly a kresby spojené s MFF] Jiří Kučera

Transkript

1 [Vzor: itulní trana bakalářké práce. ato trana e EPŘEKLÁDÁ do loenštiny.] Unierzita Karloa Praze Mateaticko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE [Znak MFF UK dle Syboly a kreby pojené MFF] Jiří Kučera Podpůrné fyzikální ateriály pro cience centru iqpark Katedra didaktiky fyziky Vedoucí bakalářké práce: doc. RDr. Zdeněk Drozd, Ph. D. Studijní progra: Fyzika Studijní obor: Fyzika zaěřená na zděláání (FMUZV) Praha

2 Poděkoání íto bych rád poděkoal éu edoucíu práce panu docentoi Drozdoi za elice ochotnou, lakaou a pohotoou pooc, kterou i pokytnul ždy, když je potřeboal a za zodpoědné edení, ěcné připoínky, inpiraci, oprau praopiných a lohoých chyb a obtarání literatury a fotografií. Dále títo děkuji é rodině a přátelů za podporu a pooc při jazykoé a lohoé úpraě práce.

3 Prohlašuji, že je tuto bakalářkou práci ypracoal aotatně a ýhradně použití citoaných praenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na ědoí, že e na oji práci ztahují práa a poinnoti yplýající ze zákona č. / Sb., autorkého zákona platné znění, zejéna kutečnot, že Unierzita Karloa Praze á práo na uzaření licenční louy o užití této práce jako školního díla podle 6 odt. autorkého zákona. V Praze dne podpi

4 áze práce: Podpůrné fyzikální ateriály pro cience centru iqpark Autor: Jiří Kučera Katedra / Úta: Katedra didaktiky fyziky Vedoucí bakalářké práce: doc. RDr. Zdeněk Drozd, Ph. D., KDF Abtrakt: Interaktiní cience centru iqpark Liberci e poledních letech talo nejýznanější zařízení tohoto druhu ČR. oto cience centru obahuje toky fyzikálně i jinak zaěřených exponátů, poocí nichž e náštěníci eznaují e základníi fyzikálníi jey, principy technických zařízení apod. Exponáty jou ybaeny základní popie, nohdy zde ale chybí podrobnější fyzikální rozbor. Jou zde také exponáty, jejichž yětlení je zatíženo šeobecně zažitýi oyly. ato práce obahuje podrobnější fyzikální rozbory pro některé ybrané exponáty z echaniky. Jedná e o exponáty: Pirueta, ewtonů ozík, Rázotroj, Hopakoule, Váha (páka dojzratná). Práce roněž obahuje yětlení fyzikálních pojů a zákonů, které těito exponáty ouií. Klíčoá loa: Interaktiní centra, Mioškolní ýuka, iqpark Liberci, Fyzika, Science centru itle: Supported Phyic Material for the Science Center iqpark Author: Jiří Kučera Departent: Departent of Phyic Education Superior: doc. RDr. Zdeněk Drozd, Ph. D., Departent of Phyic Education Abtract: Interactie cience centru iqpark in Liberec hae becoe the ot ignificant deice of thi kind in Czech Republic. hi cience centru contain hundred of phyically and generally focued exhibit, which acquaint iitor with baic phyical phenoenon and low. Exhibit contain baic phyical decription, bud there are iing adanced decription. here are oe exhibit, which hae experienced by itake. hi thei contain ore detailed phyical decription of oe echanic exhibit. It i: he pirouette, ewton' cradle, ewton cart, Hopping ball, Scale (duo-reerible leer). hi thei alo contain explanation of related ter and law. Keyword: Interactie center, Extracurricular teaching, iqpark in Liberec, Phyic, Science center

5 Obah Úod... Rozšiřující texty k exponátů... Pirueta... ewtonů ozík... 4 Rázotroj... 6 Hopakoule (yětlení)... 7 Hopakoule (ýpočet)... 9 Váha (páka dojzratná)... Rozšiřující ateriály (pojy a zákony)... Fyzikální eličiny... Hotný bod... Síla, hotnot a druhý ewtonů zákon... 4 Volný hotný bod... 4 Prní ewtonů zákon... 5 Inerciální yté (inerciální outaa)... 5 Praé íly... 6 Zdánlié íly... 6 řetí ewtonů zákon... 7 Soutaa hotných bodů (outaa čátic)... 8 ěžiště... 8 Prní ěta ipulzoá... 9 Rychlot těžiště... Dokonale pružná rážka... uhé těleo... Pohyb čátice po kružnici... Úhloá poloha... 4 Úhloá rychlot... 4 Úhloé zrychlení... 4 Moent íly (čátice pohybující e po kružnici)... 5 Moent hybnoti (čátice pohybující e po kružnici)... 5 Kinetická (pohyboá) energie hotného bodu (čátice)... 6 Potenciální (polohoá) energie hotného bodu (čátice)... 6 Princip zachoání echanické energie... 7 Mateatické kyadlo... 8 Kinetická energie rotujícího tuhého tělea... 9 Moent etračnoti... Steineroa ěta... Moent íly... Vektoroý oučin... Analogie. ewtonoa zákona pro otáčiý pohyb... 4 Analogie. ewtonoa zákona pro otáčiý pohyb... 5 Moent hybnoti tuhého tělea... 5 Druhá ěta ipulzoá... 6 Zákon zachoání oentu hybnoti... 8 Podínky ronoáhy... 8 Záěr... 4 Sezna použité literatury... 4

6 Úod Interaktiní cience centru iqpark Liberci e poledních letech talo nejýznanější zařízení tohoto druhu ČR. oto cience centru obahuje toky fyzikálně i jinak zaěřených exponátů, poocí nichž e náštěníci eznaují e základníi fyzikálníi jey, principy technických zařízení apod. Exponáty jou ybaeny základní popie, nohdy zde ale chybí podrobnější fyzikální rozbor. Jou zde také exponáty, jejichž yětlení je zatíženo šeobecně zažitýi oyly. Podrobný rozbor některých experientů, které ohou poocí zíněných exponátů náštěníci proádět a zpracoání podrobnějších doproodných textů (popřípadě jiných poocných ateriálů) rozuitelných širší eřejnoti případný rozšíření pro hlubší zájece o probleatiku, by ohlo být pro další rozoj iqparku užitečné. V ráci této bakalářké práce je ytořil několik ýše zíněných odborných doproodných ateriálů, které nejpre kalitatině yětlí náštěníků, na jaké fyzikální principu daný exponát funguje. Poté náleduje hrnutí předpokladů a ýpočet či odození některých fyzikálně zajíaých příčin a důledků exponátu. Aby byl rozšiřující text k exponátů co nejtručnější a nejpřehlednější, jou ložitější paáže, použité pojy a eličiny nebo fyzikální podtata jednotliých jeů rozebrány dalších doplňujících ateriálech, které jou roněž oučátí této práce. Čato na ně je odkazoáno, což je práci značeno podtržení. Veškeré ateriály e naží být axiálně obáhlé při zachoání nutné tručnoti, a aby byl text přítupný široké eřejnoti, je použíána nanejýš tředoškolká ateatika. ikde není použit diferenciální a integrální počet. Jako okruh exponátů je i ybral některé exponáty z fyzikální oblati echanika, které i připadají pro širokou eřejnot nejrozuitelnější. Proto e ní na ětšině škol začíná a začíná ní tedy práci pro iqpark i já. Vychází e z ewtonoých pohyboých zákonů, jak býá e zyku na základních a tředních školách. ejpre budou práci uedeny rozšiřující texty k jednotliý exponátů. áledoat budou doplňkoé ateriály definicei, yětlení a odození hodných fyzikálních eličin.

7 Výledná fora šak nebude ouilý texte. Předpokládá e, že jednotlié čáti budou na aotatných kartách (je ožné, ba praděpodobné, že některé karty budou loučeny), které budou na ebe nazáje odkazoat a to jak tištěné podobě, tak podobě elektronické na tránkách a upraené pro chytré telefony. Případně by ohly být uítěny elký píe na těnách. áštěníků by tak ěly být přítupné jak při náštěě, tak i později nebo před aotnou náštěou. Rozšiřující texty k exponátů budou praděpodobně přío u exponátů, zatíco doplňující ateriály na hodné ítě přílušné patře. ato bakalářká práce i klade za úkol připrait obah těchto ateriálů. Forátoání a dělení textu tedy budoucí ateriálů neodpoídá. aíc z důodů pozdějšího rozekání textu není použito číloání ronic a není ani důležité, aby jedno píeno (značka eličiny) ělo celé textu jeden ýzna či hodnotu. Ze tejného důodu e ůže na různých ítech opakoat yětlení k označení eličin.

8 Rozšiřující texty k exponátů Pirueta Pokud čátice obíhá tále tejně elkou rychlotí po kružnici o poloěru r, pak její úhloá rychlot je r. Velikot její hybnoti je p r. Velikot jejího oent hybnoti je L rp r. Moent hybnoti L takoéto čátice je přío úěrný úhloé rychloti. Kontantou této úěrnoti je člen r. outo členu říkáe oent etračnoti a značíe ho J. Moent hybnoti je eličina, která e izoloané outaě zachoáá, podobně jako hotnot, energie nebo hybnot. Moent hybnoti je takoéhoto outaě pořád tejně elký. Kdyby čátice o hotnoti obíhala po kružnici o poloěru úhloou rychlotí 6 r L rad ot., pak by její oent hybnoti. Kdybycho tuto čátici títo oente hybnoti přitáhli do zdálenoti 5 c od oy otáčení, tedy zenšili poloěr opioané kružnice na hybnoti zachoal, uí být tále r 5 c, tak jelikož e její oent L. Zároeň šak tále platí ztah L r. Doadíe a uidíe, co ná yjde: r L. Dotááe tak ronot 4, ze které plyne, že 8. ato úhloá rychlot je 4krát ětší, 4 než úhloá rychlot půodní čátice. í, že je čátici, která obíhala rychlotí otáčka za ekundu, pounuli na poloiční zdálenot od oy otáčení, je zýšili (při zachoání oentu hybnoti) 4krát její úhloá rychlot. yní e otáčí rychlotí 4 otáčky za ekundu. Uažujee-li, že e Vaše tělo kládá z obrokého nožtí jednotliých čátic, které oše ají tejné latnoti, pak když e na piruetě roztočíte a pak přeunete čát ého těla (poutu jednotliých hotných čátic) blíže k oe otáčení (zenšíte r), zýší e aše úhloá rychlot. Když i na piruetu toupne kg chlap, ůžee i pro zjednodušení předtait, že jeho tělo rozdělíe na dílky podobné krychličce o objeu c. Každou takoouto krychličku pak nahradíe čáticí uítěnou do

9 těžiště krychličky. Pro jednoduchot předpokládeje, že každá takoáto krychlička (a tedy i zátupná čátice) á tejnou hotnot. Hutota lidkého těla ůže být okolo kg/ (přibližně jako oda). áš chlap by tedy ěl obje V, = d = = c. akže by e kládal z čátic a každá by ěla hotnot g (takto alé krychličky jou z praktického hledika hotnýi body). Pokud e celý chlap přitáhne k oe otáčení, tak ětšinu těchto čátic přitáhne blíže k oe otáčení, číž e při zachoání oentu hybnoti L zenší jeho oent etračnoti J a zětší úhloá rychlot. Pokud bycho chtěli zětšení úhloé rychloti ypočítat, ueli bycho určit, jak e ění oent etračnoti. K tou bycho ohli yužít Steineroy ěty (u ní je počítán ilutratiní příklad na piruetu), která ná říká, že oent etračnoti tělea o celkoé hotnoti M, lze ypočítat: J r M J, kde J oent etračnoti ůči oe edoucí těžiště a r je zdálenot kutečné oy, ronoběžné oou edoucí těžiště. ewtonů ozík Abycho i tento experient ohli lépe yětlit, začnee úahou, že pro alé ýchylky kyadla by e ozík choal tejně, jako kdyby íto kyadla, bylo jeho rdce připeněno k odoroně orientoané pružině (její tuhot by byla g k l, kde l je délka záěu kyadla). oto nahrazení ůžee proét proto, že poto pohyboé latnoti ozíku kyadle i pružinou budou téěř tejné; předeší půobící íly). O toto nahrazení e dočtete íce čáti Mateatické kyadlo. Když proedee toto nahrazení, ůžee ozík pružinou, který tojí olně na podložce, poažoat za izoloanou outau. Všechny nější íly (četně tíhoé) e yruší a y ůžee použít zákon zachoání hybnoti. Pokud rdce ychýlíe, začne kitat kole ronoážné polohy. Jelikož ale outaa rdce + ozík je izoloaná, uí ní být zachoána hybnot. Pokud e na okažik zataí rdce, uí e zatait i ozík. Pokud e rdce pohybuje dopraa, uí ozík oučaně dolea. Pohyby rdce a ozíku uí být tedy oučané. Vždy uí platit, že kont. (index pro 4

10 5 rdce, index pro ozík). ato kontanta je záilá na olbě ztažné outay. Pokud na začátku držíe ozík a natáhnee pružinu, ěla naše outaa P p. Jakile je putíe, je tato outaa izoloaná, tedy. V outaě, ůči níž je těžiště klidu, je tedy celkoá hybnot. uto outau ůžee poažoat za dojčáticoý yté, kde nahrazujee kyadlo a ozík jejich těžišti. Jelikož e jednotliá těžiště pohybují ždy proti obě, nebo od ebe, ůžee též říci, že a ohledně elkotí jejich hybnotí tedy platí p p. Pokud ozík zapřee o těnu, ychýlíe kyadlo ěre ke těně a putíe, pak kyadlo ění hybnot ytéu, způobuje zěnu hybnoti ozíku. Jelikož je ozík opřený o těnu, yolá zěna hybnoti F t p (Druhý ewtonů zákon) ílu, kterou bude tlačit ozík na těnu. Stejně elkou ilou opačného ěru (iz řetí ewtonů zákon) bude půobit těna na ozík, číž jej urychlí, neboli u udělí rychlot e kterou e bude pohyboat ěre od těny. Pokud ozík kyadle kitá a zároeň jede tálou rychlotí (iz i předchozí ožnot), tedy jejich těžiště e pohybuje rychlotí, tak kdybycho pojili ztažnou outau títo těžiště, pozoroali bycho, že této outaě ozík pouze kitá (tejně, jako když bylo těžiště klidu). Jinak řečeno, kdyby edle ozíku jela tejnou rychlotí kaera, iděli bycho na záznau ozík, jehož těžiště je klidu a který pouze kitá. oto kitání by e nedalo rozlišit kitání ozíku těžiště klidu. oto trzení lze yjádřit i ateaticky. Pohybuje-li e těžiště ozíku rychlotí, pak kont P. Doazení do půodní ronice. kont dotanee:. uto ronot lze uprait na, tedy. Pokud bycho ztažnou outau zolili tak, že by e pohyboala ůči pozoroateli rychlotí, pak by této outaě (její eličiny ají čárku ) platilo a. Doazení zíkáe.

11 ranforace ná říká, že pokud natane, pak. V toto okažiku bude ozík klidu, na nekonečně alou chilku e zataí. o ouhlaí tí, že pozorujee trhaé pohyby ozíku. Obdobně trhaé pohyby ykonáá rdce kyadla. Rázotroj Pozorujee, že ychýlíe-li jedno kladio, rep. jeho hlaici, a putíe, na druhé traně bude yrštěna také jedna hlaice. Proč ale nejou na druhé traně např. yrštěny hlaice dě poloiční rychlotí? Vychýlíe-li hlaice dě a putíe, uidíe, že budou yrštěny dě hlaice na druhé traně. Proč ale není na druhé traně yrštěno třeba jeno jedna hlaice dojnáobnou rychlotí? a tyto otázky e nyní pokuíe odpoědět. Uažuje rážky hlaic za dokonale pružné (ony e kutečnoti nejou, i proto dochází k tluení kitů). Muí platit da důležité fyzikální zákony: Zákon zachoání hybnoti, Princip zachoání echanické energie. yto zákony platí oučaně. Předpokládeje, že šechny hlaice jou tejně hotné. Pokud narazí hlaic do otatních hybnotí P a celá tato hybnot ji bude předána, pak na druhé traně ylétne V čátic různýi rychloti. My ale tyto čátice ůžee poažoat za dílčí outau hotných bodů a nahradit je jejich těžiště o hotnoti M V V a toto těžiště e pak odrazí rychlotí V. Ze zákona zachoání hybnoti uí platit: VV zákona lze yjádřit V V V V 6. Z tohoto. Jelikož před náraze a po nárazu na ebe hlaice tlačí alou ilou (ota e dotýkají), ůžee toto iloé půobení zanedbat. Jejich celkoá potenciální energie pružnoti je poto (uažujee pouze energii kinetickou), pak z principu zachoání echanické energie platí doadíe E E V a tedy. Do této ronoti k kv V V. Dotááe tak V což ještě upraíe, tedy V V V V V V V V, tedy V V V V,. o ale znaená, že tejný počet hlaic (tejná hotnot) uí narazit a tejný počet hlaic e uí odrazit.

12 Zbýá jeno dokázat, že e šechny hlaice odrazí tejnou rychlotí, a to tejnou, jaká byla rychlot narážejících hlaic. ěžiště odražené outay e pohybuje rychlotí. Předpokládeje, že by exitoala dojice hlaic, která by e touto rychlotí neodrazila, pak by pro tuto dojici uelo platit t (kde t je rychlot hlaice ůči těžišti) a t. Aby kinetická energie této dojice byla tejná, jako kinetická energie těchto čátic, uítěných těžišti, uelo by platit:. Po úpraách dotanee ronot, tedy t t, což upraíe a tedy, takže. t t t t t t ení tedy ožné, aby e nějaká dojice čátic pohyboala jinýi rychloti, než je rychlot pohybu těžiště odražených hlaic. a rázotroji e tedy uí odrazit tejný počet hlaic, jaký narazil. Všechny tyto hlaice e uí odrazit tejnou rychlotí a to tejnou jako byla rychlot hlaic narážejících. Hopakoule (yětlení) Uažuje yté dou čátic. Pokud e tyto dokonale pružně razí (žádná energie e nepřeění energii nitřní iz pružná rážka), pak outaě, e které je těžiště těchto dou čátic klidu, e tyto dě čátice odrazí od těžiště tejně elkou rychlotí, jakou narazily. Hopakoule budee poažoat za dokonale pružné čátice. ejníže položená bude ít eličiny indexe, nejýše položená indexe. Všechny tři hopakoule před náraze klenou o ýšku h tíhoé poli a narazí tedy rychlotí (ůči zei) gh (protože dojde na základě principu zachoání echanické energie k přeěně polohoé energie na energii kinetickou, tedy gh, odud gh ). Předpokládeje, že prní hopakoule dopadne prní a dokonale pružně e odrazí od zeě, tedy opět rychlotí (budee pát ). Až poté narazí do hopakoule druhé. Ve kutečnoti padají šechny tři hopakoule tejně rychle, takže jakile e prní dotkne podlahy, začne e deforoat, záčkne e, a díky ilá pružnoti e poto začne naronáat a tí šťouchá do koule nad ebou... 7

13 Ke še rážká tedy dochází jedno okažiku. Hybnoti a echanické energie e šak budou předáat tejně, jako by ke rážká docházelo potupně. Druhá hopakoule e tedy odrazí od těžiště prní a druhé opět rychlotí, ašak pokud bude prní hopakoule těžší ( > ), bude e toto těžiště pohyboat ěre nahoru určitou rychlotí,. Rychlot druhé hopakoule ůči zei tak bude,. Až poté narazí do hopakoule třetí, která ůči zei opět padá rychlotí a touto rychlotí e odrazí od těžiště druhé a třetí hopakoule, které e pohybuje,, tak e od něj třetí hopakoule opět odrazí rychlotí. Její rychlot ůči zei tedy bude, a pokud naíc >, tak ůžee jitotou trdit, že e třetí hopakoule ůči zei odrazí rychleji, ne jak narazila do hopakoule druhé. Jou-li hopakoule upořádány obráceně, bude naopak těžiště dojic hopakoulí kleat a rychlot odrazu bude ůči zei kleat. Při troše náahy ná yjde, že rychlot, e kterou e odrazí třetí hopakoule, bude záilá pouze na hotnotech jednotliých hopakoulí a počáteční rychloti. Vyjde. Speciálně kdyby, dotali bycho 4 4. Rychlot nárazu by byla tejně elká jako rychlot odletu. Hopakoule by e choaly podobně jako kladia na exponátu Rázotroj. Kdyby například prní hopakoule byla čtyřikrát těžší, než druhá a ta čtyřikrát těžší, než třetí, dotali bycho: , V obrácené pořadí hotnotí bycho dotali: 4 4 8, Kdybycho chtěli počítat ýšku, do které třetí hopakoule yletí, yšli bycho opět z principu zachoání echanické energie: gh, tedy 8 h. g

14 9 Hopakoule (ýpočet) Chcete ědět, jak e přijde na rychlot ylétající třetí hopakoule:? Proč je tato rychlot záilá pouze na počáteční rychloti, tedy na ýšce h, odkud hopakoule putíe, a na hotnotech jednotliých hopakoulí? Přené ateatické odození čeká práě na á Z principu zachoání echanické energie íe, že gh. Rychlot prní hopakoule ěre zhůru je. Druhá hopakoule padá tejně elkou rychlotí opačného ěru. Rychlot těžiště určíe na základě ztahu, (budee určoat pouze elikot, kladná elikot bude ěřoat zhůru) tedy,. Druhá hopakoule e tedy odrazí zhůru ůči zei rychlotí:, yní ná bude zajíat, jak rychle e pohybuje těžiště. a. hopakoule. Opět yužijee náš ztah na ýpočet rychloti těžiště:,. Rychlot třetí hopakoule bude ůči zei:,. Rychlot, jakou ze rážky odletí třetí hopakoule, je tedy ůči zei, což je ztah, e který počítáe u yětlení hopakoulí.

15 Váha (páka dojzratná) Pokud á liboolné tuhé těleo být klidu, pak uí natat tyto dě podínky: F ext., M (iz podínky ronoáhy). akoéto ext. podínky uí být plněny liboolné inerciální outaě a pro liboolnou ou otáčení. U dojzratné páky ronoáze je oou otáčení íto záěu. oto íto šak nutně uí ležet na těžnici, tedy na příce, která prochází těžiště. V toto případě na těžnici, která á tejný ěr, jako tíha. Dojzratnou páku ůžee poažoat za tuhé těleo, etaené z dou různě hotných čátic, přičež jejich pojnici uažujee nehotnou (přeto dokonale tuhou). a iloé diagrau je znázorněna tíha jednotliých těle, která jou nataena do ronoáhy (jednotlié oenty il e yruší, číž bude plněno M ext. ). Kdybycho šak odtranili kontrukci áhy, pak by obě záaží (čátice) padla. Využijee latnoti těžiště, že tíha tuhého tělea půobí těžišti a tuto tíhu yrušíe kontrukcí áhy, takže F F F. í zaručíe plnění prní podínky F ext.. Snadno i například pro hodnoty F a F a délky raen a ůžete ai ýpočte oěřit, že obě dě podínky natanou, i kdybycho ou otáčení uažoali jinde (ne těžišti, ale například uítění nebo ). Když zaěíe íce předětů, rozrote e ná iloý diagra o íce il a raen il. Způob ýpočtu šak bude obdobný, zae budou uet platit podínky ronoáhy. Pokud nataíte dě (a íce) konfigurace takoé, že každá zlášť bude yážená (u každé zlášť budou plněny podínky ronoáhy), pak když tyto dě konfigurace zaěíte najednou, roněž bude tato ýledná konfigurace yážená, protože F F F (obdobně pro druhou podínku). ext. ext., ext.,

16 U áhy i také ůžee šinout, že oa otáčení (bod záěu ahadla) je uítěn nad těžiště. Poto je totiž ahadlo e tabilní ronoážné poloze. Kdyby bylo ahadlo uchyceno pod těžiště, bylo by netabilní (každé alé ychýlení by ahadlo hodilo ze záěu). Proto např. ahadla, která loužíala na nošení ody, býala prohnutá do írného oblouku. oto lze to ypozoroat i na kontrukci ronoraenných ah.

17 Rozšiřující ateriály (pojy a zákony) Fyzikální eličiny Fyzikální eličinou ylíe jakoukoli objektiní latnot látky nebo pole, tedy latnot takoou, jejíž hodnotu je ožné zěřit nebo počítat. Aby to šlo, zaádí e pro každou eličinu jednotka, což je íra eličiny, které přioudíe číelnou hodnotu přeně. Je hodné rozlišoat fyzikální eličiny, které ítě pozoroání plnohodnotně popíšee číelnou hodnotou a jednotkou (např. hotnot, energii, teplotu, hutotu, tlak ). akoýto eličiná říkáe kalární eličiny, nebo tručně kaláry. Jiné eličiny i číelnou hodnotou a jednotkou neytačí, k jejich popiu uíe přidat ještě ěr (např. íla, rychlot, zrychlení, hybnot ). Použíáe k tou ateatické ektory, protože e tyto eličiny dají poocí ektorů nejen popat, ale i kládat a rozkládat (což uožňuje ektoroé čítání) a náobit kaláre. akoéto eličiny pak označujee jako ektoroé a píšee nad ně šipku. Pokud šipka chybí, pak je tí autoaticky yšleno, že hooříe pouze o elikoti dané eličiny, rep. pouze o její číelné hodnotě. Čato tak činíe, pokud je ěr janě určený. Jindy (zejéna při pohybu po příce) i ytačíe číelnou hodnotou a znaénke, které určuje, zda ona eličina á ěr tejný jako ouřadnicoá oa (+), nebo íří proti (-), případně zda á rotační latnoti praotočié (proti ěru hodinoých ručiček, znaénko +) nebo leotočié (po ěru, znaénko -). Záěre tručný přehled některých fyzikálních eličin, jejich jednotek, označení a tručné yětlení: Veličina Značka Jednotka Vyětlení Dráha Poloha r Úhloá poloha Rad, Rychlot / Délka trajektorie (křiky, po které e čátice pohybuje) Vektor ezi počátke outay ouřadné a čáticí Obecný úhel ezi ouřadnicoou oou a čáticí O kolik etrů by e zěnila poloha čátice za.

18 Úhloá rychlot rad/ / O kolik radiánů (nebo tupňů) by e zěnila poloha čátice za. Zrychlení a / O kolik / by e zěnila rychlot čátice za. Úhloé rad/ zrychlení O kolik rad/ by e zěnila úhloá rychlot čátice za. Síla F F a, takže (ewton) = kg /. Uděluje hotný těleů zrychlení. Hotnot kg Hybnot p kg / eochota zrychloat (ěnit rychlot pohybu). p. Veličina, která e izoloané outaě zachoáá. Práce W J Děj, při které půobíe ilou po dráze. Energie E J Moent íly Moent etračno ti Moent hybnoti M Veličina, která yjadřuje chopnot outay hotných bodů konat práci. Veličina, která e izoloané outaě zachoáá. M J. Uděluje těleů, která e ohou otáčet kole pené oy, úhloé zrychlení. Platí také M F r Fr. J kg eochota tělea ěnit ůči dané oe úhloou rychlot (úhloě zrychloat). L kg / L r p. Veličina, která e izoloané outaě zachoáá. Hotný bod Můžee jí nahradit těleo, jehož rozěry a tar nejou při popiu zkouaného děje podtatné. Hotný bod á hotnot ronou hotnoti zkouaného tělea. Z obecnějšího pohledu nahrazuje hotný bod kutečné těleo případech, kdy je podtatná jeho celkoá hotnot a nikoli jeho latní rozěry, tar apod. Výtižnýi ýrazy zatupujícíi poje hotný bod jou čátice nebo bodoý objekt. Pokud popiujee obíhání planet kole Slunce, ůžee ětšinou i takto elká tělea poažoat za hotné body. Budee-li chtít popioat točení e káči, nebude ná zjednodušení na hotný bod tačit, přetože je káča docela aličká, protože při otáčení neůžee zanedbat její rozěry a tar. U káči je taky důležitý její oent etračnoti (ůči oe jdoucí její

19 těžiště). Hotný bod takoý oent etračnoti neá ( poje oent etračnoti e eznáíe později). Síla, hotnot a druhý ewtonů zákon Zrychlení hotného bodu je přío úěrné ýledné íle, která na něj půobí. Aby ohl hotný bod zrychloat, uela na něj půobit ýledná íla e ěru zrychlení. Jinak řečeno, pokud na hotný bod půobí ýledná íla, pak ten uí dané ěru přío úěrně zrychloat. Kontantou této úěrnoti je hotnot. Hotnot je tedy latnot, která yjadřuje neochotu hotného bodu ěnit rychlot (zrychloat). Hotnot tělea na Zei je tejná jako na Měíci, tejná jako e zdálené eíru. Rozdílná je tíha tělea. Mateatický zápi druhého ewtonoa zákona: Čato píšee íto F pouze a F F nebo jeno F, ale ždy ylíe ektoroý oučet šech nějších il, které na hotný bod půobí. Druhý ewtonů zákon lze zapat íce způoby. á e brzy bude hodit tar F, kde čaoý interal t uažujee co nejenší. t ení práné trdit, že předět zrychluje, pokud na něj půobí íla. Druhý ewtonů zákon totiž hooří o ýledné íle, tedy ýlednici šech půobících il. ikoli o jedné určité íle. Kniha, ležící klidu na tole, nezrychluje, přetože na ni půobí tíhoá íla. Když oše přidáe ílu, kterou na knihu půobí tůl, a tyto íly ektoroě ečtee, dotanee F. Volný hotný bod Hotný bod, na který jeho okolí nepůobí, nazee olný. Volný hotný bod je aozřejě opět jední z idealizoaných odelů, který šak ytihuje celou řadu reálných ituací e eli dobré přiblížení. Jako olný e hotný bod choá například tehdy, nelze-li li jednotliých okolních objektů na jeho pohyb zjitit ráci přenoti proáděných ěření, anebo e liy okolních objektů nějaký způobe kopenzují. 4

20 Prní ewtonů zákon Je-li olný hotný bod klidu zhlede ke zolené ztažné outaě, pak ně etrá. Pohybuje-li e tálou rychlotí, bude toto pohybu neutále pokračoat. K udržení tálé rychloti pohybu tělea (hotného bodu) nepotřebujee ílu. Vyjdee-li z druhého ewtonoa zákona a F, pak uažujee-li půobící ýlednou ílu nuloou, tedy a, pak pro (kutečně uažujee těleo hotné) uí být a. uloé zrychlení ale znaená, že rychlot je tálá, tedy neění e ani její elikot a ani její ěr (i klid, tedy nuloá rychlot, je tálá rychlot). aopak, uažujee-li rychlot tálou, pak a tudíž i F. Inerciální yté (inerciální outaa) Syté nazýáe inerciální, pokud ně pro každý olný hotný bod platí prní ewtonů zákon, tedy že etráá klidu nebo ronoěrné příočaré pohybu (aozřejě ůči liboolně zolenéu počátku a outaě ouřadné, nebo chcete-li ztažnéu těleu). V každé inerciální ytéu platí šechny ewtonoy zákony. Proedené experienty ají tejné ýledky a nelze jii ytéy rozlišit. Každá íla á pachatele. akoýto ilá říkáe praé íly. Stanicí projíždí lak rychlotí / a e laku jde průodčí odzadu dopředu rychlotí / ůči laku. Rychlot průodčí ůči tanici je tedy /. Předtae i například, že e průodčí rozhodla otočit a rátit. Předpokládeje, že tak činí e zrychlení - / ůči ěru jízdy laku. Cetující e laku pozorují, že e průodčí otočí a náledně pohybuje ůči ni rychlotí / do protiěru po (prní ekundu brzdila, druhou zahajoala chůzi na druhou tranu). Pokud průodčí áží 7 kg, uela na ní půobit ýledná íla 7 proti ěru jízdy laku po dobu. Výledná rychlot průodčí je tedy - / (znaénko - značí, že e nyní pohybuje na opačnou tranu). Pozoroatel e tanici by iděl, že průodčí, která e ůči něu pohyboala rychlotí /, začala zpoaloat. Po prní ekundě e pohybuje už jeno rychlotí /, po druhé rychlotí 9 /. Muela tedy zrychloat po dobu a to proti ěru jízdy laku. Její zrychlení tudíž 5

21 uelo být - / a ýledná íla, která na ni uela půobit, byla 7 proti ěru jízdy laku po dobu. Ať už pojíe počátek ztažné outay e tanicí nebo lake, který e ůči tanici pohybuje ronoěrně příočaře (nebo chcete-li, tanice e pohybuje ronoěrně příočaře ůči laku), obou ytéech bude iloé půobení tejné. Oba tyto ytéy jou inerciální. Prní ewtonů zákon tedy lze foruloat i takto: S každý olný hotný bode lze pojit ztažnou outau, níž jou otatní olné hotné body klidu, nebo e ůči ní pohybují tálou rychlotí. Praé íly Všechny íly inerciální ytéu jou praé. Mají ého pachatele. Průodčí e odráží nohaa od podlahy ( trká botai do podlahy a podlaha trká do průodčí, číž ji urychluje), do zduchu yhozené předěty padají k zei důledke tíhoé íly, prak yrští káen poocí pružné íly guy, potápěč hloubce cítí zýšené půobení tlakoé íly, kterou na něj tlačí loupec ody nad ní a oda okolo Zdánlié íly Předtate i, že jte e práě probudili e agónu dokonalého laku, který při jízdě nedrncá a ze kterého není idět en. ěžko pak rozeznáte, jetli e lak pohybuje ronoěrně příočaře, nebo jetli tojí klidu na zatáce. I kdybyte proedli liboolný experient, jeho záěr by á yšel obou případech tejně. Vlak jako yté e choá inerciálně. Pokud e lak náhle začne rozjíždět (začne zrychloat), bude cetující cítit, že na něj tlačí edačka nenuloou ilou e ěru jízdy laku (tuto ílu by ohl zěřit). On je ale přeto klidu. V této outaě na něj tedy uela půobit nějaká íla, která tlačení edačky yrušila. ato íla je zdánliá a outaě agonu laku (která je neinerciální) neá pachatele. Ano, kdybyte táli io rozjíždějící e agón (ztažná outa pojená např. nádraží) a ohli e díat na cetujícího unitř, chápali byte, že lak e rozjíždí, tedy na něj půobí ýledná íla e ěru zrychlení, ale cetující by etral klidu. Pokud á zůtat klidu ůči laku ( rozjet e lake), uí i na něj půobit íla. ato íla je praá. a cetujícího, který byl klidu, bude 6

22 půobit podlaha agónu (případně edačky), aby jej urychlila (uedla do tejné rychloti, jakou á lak). Zdánlié íly budee nutně cítit každé outaě, na kterou půobí ýledná íla. Každá takoáto outaa e nazýá neinerciální. V naše agónu například pokud bude zrychloat, brzdit, zatáčet nebo zatáčet a zároeň zyšoat rychlot. oto ale nejou šechny zdánlié íly, které ůžee neinerciálních outaách pozoroat. acházelo by e jednoduché řešení. Stačilo by še pozoroat ždy z inerciálních ytéů, ale znáe reálně nějaké ztažné těleo, na které nepůobí žádná ýledná íla? Každý reálný yté je neinerciální, ale čato ůžee zanedbat chybu, která zniká půobení alých zdánliých il a poažoat tak například školní třídu za inerciální yté. řetí ewtonů zákon Dě tělea inerciální ytéu na ebe nazáje půobí tejně elkýi ilai opačného ěru. yto íly znikají a zanikají oučaně. Mateaticky zapáno: F AB FBA, kde F AB je íla, kterou těleo B půobí na těleo A. uto dojici il čato nazýáe akce reakce. řetí ewtonů zákon platí bez ohledu na to, zda e tělea pohybují, nebo zda jou klidu, ale neplatí neinerciální ytéu. Akce a reakce e zájeně neyruší, protože každá půobí na jiné těleo. Praé íly ždy půobí e dojicích. Při úderu půobí kladio jitou ilou na hlaičku hřebíku. Součaně šak půobí i hřebík na kladio, a to ilou tejně elkou, ašak opačně orientoanou. Opře-li e čloěk o těnu, tlačí i těna na čloěka. oto trzení e týká ituace, kdy je ledoanou outaou buď jedno, nebo druhé z obou interagujících těle. V čátech prní a druhá ěta ipulzoá uidíe, že případě tudia outay dou nebo i íce těle á yl ráci celé outay luit o ýlednici interakčních il. a oše bude, díky třetíu ewtonou zákonu, kutečně nuloá. Dě různé íly, které půobí na totéž těleo, nejou akcí a reakcí, ani když ají tejnou elikot a opačný ěr. 7

23 Soutaa hotných bodů (outaa čátic) Mnohdy e ná hodí pozoroat nějakou izoloanou kupinu hotných bodů, nebo chcete-li čátic. Je-li takoýto yté uzařený a izoloaný (nepřibýají do něj noé čátice a nepůobí žádné nější íly), pak e zachoáají některé eličiny tohoto celkoého ytéu, jiiž jou celkoá hotnot a echanická energie, hybnot a oent hybnoti. Při některých úahách e ná hodí rozdělit těleo na outau hotných bodů. Za outau hotných bodů ůžee poažoat například hlaice u exponátu Rázotroj. ěžiště - ěžiště tělea nebo outay těle je bod, který e pohybuje tak, jako by ně byla outředěna eškerá hota tělea (outay) a půobily ně šechny nější íly půobící na těleo (outau). ěžiště tuhého tělea je půobiště tíhoé íly půobící na těleo hoogenní tíhoé poli. ahrazujee-li těleo hotný bode, pak tento bod uítíe do jeho těžiště. ěžiště hoogenní koule nebo kruhu je jeho geoetrický třed. Ze školy uíe určit těžiště liboolného trojúhelníku (pro účely fyziky i ůžee předtaoat hoogenní trojúhelníkoý hranol. ěžiště by pak leželo poloině úečky, která pojuje těžiště podta). ěžiště dou hotných bodů o hotnotech a jejichž zdálenot je d, e nachází na pojnici těchto dou bodů e zdálenoti d d od prního hotného bodu, nebo chcete-li e zdálenoti d d od druhého hotného bodu. Pokud obě trany prního ztahu ynáobíe a druhého ztahu, dotanee d d d, tedy že d d. Pokud bude půobící íla úěrná hotnoti tělea (jako je tou například u íly tíhoé), pak natane df d F. Jak e eznáíe u exponátu áha (dojzratná páka); tato ronot říká, že oenty il, půobících čátic ůči oe otáčení, která by edla těžiště, jou tejně elké. 8

24 Doporučujee náštěníkoi, aby á jako cičení oěřil, že d d d. Dále aby i proylel polohu těžiště, pokud nebo, dále pokud a. Chcee-li určit těžiště outay íce hotných bodů, ůžee potupoat tak, že dojici liboolných dou hotných bodů nahradíe jejich těžiště, do něhož outředíe hotnot oněch dou hotných bodů. í ná znikne outaa počte hotných bodů o nižší. ento potup pak opakujee, až zíkáe pouze jeden hotný bod, do něhož bude outředěna celá hotnot outay. ento hotný bod bude i těžiště. Chcee-li určit těžiště outay objektů, ůžee nalézt těžiště každého objektu zlášť, nahradit objekty hotnýi body a dále potupoat podle předchozího odtace. Pokud chcee pozoroat zákonitoti pohybu outay čátic, je pro ná nohdy ýhodné pozoroat jak e pohybuje její těžiště. Prní ěta ipulzoá Pokud áe outau čátic a každá z nich á oji hybnot p, ůžee počítat celkoou hybnot outay P tak, že ektoroě ečtee (ložíe) šechny jednotlié hybnoti. Platí tedy P p. Prní ěta ipulzoá ná říká, že pouze nější íly ohou zěnit celkoou hybnot outay P. Vnitřní íly outay, to jak polu interagují jednotlié čátice, celkoou hybnot outay nezění. Jednotlié hybnoti e lie nitřních il zěnit ohou, ale celkoý ektoroý oučet hybnotí bude zachoán. Přeněji zforuloáno: Měje outau čátic, pak když u každé čátice ynáobíe její hotnot e zrychlení a tyto oučiny ektoroě ečtee, ateaticky zapáno i a pi t i a i i i i i pi i t i, což bycho ohli upraoat: t p i P t 9, pak dotanee ektor, který bude tejný, jako kdybycho ektoroě ečetli šechny nější íly, které na outau čátic půobí F P ext. Mateaticky zapáno: F ext. t

25 P je tedy celkoá hybnot celé outay. F ext. je ektoroý oučet pouze nějších il, tedy oučet šech il, kroě těch, kterýi na ebe půobí čátice zájeně. Vnitřní íly (íly, kterýi na ebe jednotlié čátice půobí zájeně, ať už ají poahu jakoukoli), e při ektoroé čítání zájeně poodečítají. Je tou tak proto, že každá dojice čátic na ebe půobí (podle třetího ewtonoa zákona) tejně elkýi ilai opačného ěru. V oučtu il tak dotanee (počet dojic il u čáticoého ytéu) dojic F AB F, kde u každé takoéto dojice bude F AB F. Zbydou tak pouze a BA íly nější, tedy F ext.. Zákon zachoání hybnoti Pokud nepůobí nější íly, pak platí: P a tedy celkoá hybnot outay P je tále tejná. Píšee P kont. t Celkoá hybnot outay e zachoáá, pokud na outau nepůobí nější íly. Pro příznice analytické geoetrie poznaenáe, že jelikož je P P P, P, P, pak á-li e zachoáat pro každou ektoroá eličina a tedy x y z olbu outay ouřadnic (to je přece pouze náš ateatický popi), uí e zachoáat při dané olbě každá ložka ektoru zlášť, tedy P x kont., P y kont. a P z kont. Jinak řečeno celkoý oent hybnoti e nezachoáá pouze co do elikoti, ale i jeho každá ložka každé ěru. Pokud i zolíe ztažnou outau, ůči níž je těžiště outay čátic klidu (šechny rychloti čátic pak uíe ztahoat ůči této outaě), pak pokud nepůobí nější íly, je tato outaa inerciální a její celkoý oent hybnoti P. BA Hybnot ůči těžišti Pokud bycho uažoali dě čátice, které e pohybují po jedné příce, pak pro jejich těžiště uí platit d d ( d je zdálenot prní čátice o hotnoti od těžiště, přičež obě čátice a těžiště leží na jedné příce). Předpokládeje například, že e prní čátice pohybuje ěre k těžišti rychlotí, Za ča t e přiblíží k těžišti o dráhu

26 d t. Aby bylo těžiště klidu (tak je zolili outau), uela být na začátku druhá čátice o hotnoti e zdálenoti d d. Pokud e prní čátice přibližoala k těžišti, uela k něu přío úěrně přibližoat i čátice druhá. Kontantou této příé úěrnoti je. Pokud e tedy prní čátice přiblížila o úek d, uela e i druhá čátice přiblížit o úek d, přičež platí d d. Označíe rychlot druhé čátice, aby platilo, že d t. Muí tedy platit t d d t. uto ronot (ýrazů na krajích) ůžee uprait na, tedy. ato ronot platí pro elikoti těchto rychlotí. Kdybycho chtěli uažoat i ěry, ueli bycho jedné rychloti přioudit znaénko, protože rychloti ěřují proti obě. Dotali bycho tak ztah, po úpraě p p P. Celkoá hybnot outay, která je ůči jejíu těžišti klidu, je. Speciálně je-li d, pak i d. Obě čátice plýají, rep. toto ítě by e razily. Míto rážky dou čátic je tedy jejich těžiště totožné. Kdyby e prní čátice zdaloala, uela by e zdaloat i čátice druhá. Rychlot obou čátic by pak ěla opačné znaénko. Výledek by šak byl tejný. Ve ícerozěrné protoru bycho takto pracoali každou ložkou rychloti čátice zlášť a pro každou ložku bycho dotali obdobný ýledek. Rychlot těžiště - Snadno i ůžee oěřit ytéu dou čátic, že kdyby e těžiště outay pohyboalo rychlotí, pak celkoá hybnot outay by byla P M (kde M je celkoá hotnot této outay). Předpokládeje, že celá tato outaa ještě letí rychlotí, takže např., kde je rychlot čátice ůči těžišti. Platí tedy, že.

27 P M. Platí tedy: P M. Z tohoto ztahu ůžee ypočítat P rychlot těžiště:, což e ná určitě bude hodit. M V ytéu íce čátic by tato trzení platila také. Mohli bycho totiž potupně dojice čátic nahrazoat jejich těžišti. Dokonale pružná rážka O dokonale pružné rážce hooříe, pokud e dě čátice razí a odrazí tak, že při toto nedojde k úbytku celkoé echanické energie (žádná energie e nepřeění na energii nitřní). aíc nebudee uažoat jiné zájené půobení čátic, než onu rážku a zaěříe e na tak krátký okažik před rážkou a po ní, že čátice iloé poli téěř nezění oji polohu a budee tak oci zanedbat zěnu polohoé energie ( E ). Pro unadnění ýpočtu zolíe nuloou p hladinu potenciální energie tak, že ji zaujou čátice práě před rážkou, takže po celou dobu rážky bude E. Dokonale pružná rážka je idealizoaný odele, který praxi ůžee použít, pokud jou úbytky echanické energie zanedbatelně alé. Při dokonale pružné rážce uí být zachoána celkoá echanická energie a celkoá hybnot. Zolíe outau tak, aby ůči ní íto rážky (tedy i těžiště) bylo klidu ( ). Muí tedy platit P P (zákon zachoání hybnoti; index V V V značí nalétající, tedy daná čátice je před rážkou, index V značí ylétající, tedy po rážce). Pro čátice před rážkou platí, takže pro p elikoti (čátice letí proti obě), tedy, obdobně ale platí pro čátice po rážce V (čátice letí od ebe). yto dě ronoti V ůžee hrnout do ztahu tedy plyne, že poěr rychlotí narážejících a ylétajících čátic je (při této V V. Ze zákona zachoání hybnoti

28 zláštní olbě outay) tejný. Aby nebyl porušen princip zachoání echanické energie, ělo by také platit, že V a V. uto hypotézu oěříe. Princip zachoání echanické energie ná říká: V V. uto ronot upraíe (budee ytýkat a V ): V V V. Jelikož ale V, V ůžee doadit: V V V. Jelikož ýraz V V V neůže být roen, ydělíe ní obě trany ronoti a V dotááe tak V, tedy V. Velikoti přílušných rychlotí čátic tedy jou tejné. Znaénko + by fyzikálně znaenalo, že čátice proletěla krz těžiště (tedy i druhou čátici) a pokračoala dále půodní ěru. o by při jité nepřenoti ohlo natat a k úbytku echanické energie by roněž nedošlo. á ale zajíá ožnot rážky a při té je oěřili, že čátice e při pružné rážce odrazí ůči těžišti e tejnou rychlotí, jakou narazila. uhé těleo uhé těleo je ideální těleo, jehož tar ani obje e účinke liboolně elkých il neění. uhé těleo je pouze odel reálného peného tělea. Skutečná tělea e účinke nějších il ždy do určité íry deforují. V technické praxi poažujee za tuhé těleo takoé pené těleo, u něhož jou deforace zanedbatelně alé. Dalo by e také říci, že tuhé těleo je outaa čátic, které nazáje neění ůči obě polohu. Běžné těleo obahuje tak obroké nožtí čátic (atoů), že je přirozenější pouzoat je jako objekt e pojitě rozloženou hotou. Pohyb čátice po kružnici Pokud e pohybuje čátice po kružnici a elikot její rychloti e neění, pak na ni půobí íla, která ění ěr její rychloti. éto íle říkáe dotřediá a íří do tředu kružnice. Pro ná bude nyní zajíaé, že ektor rychloti pak bude uet být na tuto ílu kolý a tedy tečný k dané kružnici. Jinak by totiž čátice ěnila elikot rychloti.

29 Předpokládáe-li, že čátice e ůže lie okolnotí pohyboat pouze po kružnici, pak á-li e zěnit elikot její rychloti, uí i ložka zrychlení ít ěr tečný ke kružnici. V náledujících odtacích budee títo předpoklade pracoat. Budee totiž zkouat, jak e otáčí tuhé těleo okolo pené oy. K popiu pohybu čátice po kružnici je šikoné použíat úhloé eličiny: Úhloá poloha - Značíe (řecké fí ) úhel ěřený praotočiě od kladné polooy, o který e po kružnici poouá čátice. ento úhel e ěří radiánech (rad), což je jednotka, která odpoídá jednotká délky na kružnici o poloěru a platí, že π rad = 8 a tedy π rad = 6, tedy celá otáčka. Pokud e polohoý úhel čátice zění o a čátice e pohybuje po kružnici o poloěru r, pak urazila úek dráhy r (Čtenář i nadno ůže oěřit poocí zorce na obod kružnice). Úhloá rychlot Značíe (řecké oega ). Definujee ji jako, tedy jaký polohoý úhel (kolik radiánů) urazí čátice za. apř. t pokud 4 rad/, pak e čátice otočí dokola dakrát za ekundu. Pokud nebude úhloá rychlot tálá a y budee chtít znát okažitou úhloou rychlot, pak na zkouané úeku budee uet uažoat t. Úhloé zrychlení Značíe (řecké epílon ). Definujee jej jako, tedy o kolik rad/ e zýší úhloá rychlot za ekundu. apř. t pokud rad/, pak e úhloá rychlot každou ekundu zýší o jednu otočku za ekundu. Pohyboala-li e čátice tak, že udělala otáček za ekundu, pak po ekundě by udělala otáček/ po dou ekundách atd. Aby ohlo docházet k úhloéu zrychlení, uí na čátici půobit zrychlení e tejné ěru, jako aktuální rychlot, tedy ždy tečně ke kružnici. Pro úplnot i ododíe některé ztahy. Jak už je i řekli, úek dráhy, kterou čátice urazí, e počítá podle ztahu ododíe ztah pro elikot rychloti r. yní r r, nebo chcete-li t t r r a ztah pro elikot tečného zrychlení a r. r t t t 4

30 Mohli je r ytknout ze zěny rychloti, protože neuažujee ožnot, že by e poloěr r ěnil (uažujee pouze pohyb po kružnici). Úhloou rychlot a úhloé zrychlení je obecně šikoné zaét, jako ektoroé eličiny takto: r a r a, kde značí tz. ektoroý oučin. My i ale pro zjednodušení e dojrozěrné protoru ( roině) ytačíe e zaedení, že a je kladné (á znaénko +), pokud e čátice (či níže popané tuhé těleo) otáčí nebo roztáčí proti ěru hodinoých ručiček. očí nebo roztáčí-li e po ěru hodinoých ručiček, je záporné (á znaénko -). Moent íly (čátice pohybující e po kružnici) pokud e čátice pohybuje úhloý zrychlení, pak na ni uí půobit ložka íly, která je neutále (pro každý čaoý okažik) tečná ke kružnici. Pokud bycho uítili počátek outay ouřadnic do tředu kružnice, ohli bycho říkat, že tato ložka íly je kolá na polohoý ektor čátice. en je totiž pojnici tředu kružnice a čátice. Zaeďe i nyní pro tuto ituaci eličinu oent íly tak, že ynáobíe poloěr kružnice půobící tečnou ložkou íly: M rf. Pro tuto chíli i ůžee eličinu oent íly předtaoat jako úhloou ílu, tedy ílu, která roztáčí. Můžee poto pro tuto ituaci zapat. ewtonů zákon takto: F a. Obě trany ynáobíe poloěre r a praou tranu ještě títo poloěre rozšíříe. Dotanee tak: rf r ra. a leé traně je dotali oent íly M r rf. Praou r a tranu upraíe: ra r r. Dotááe tak ronot r r M r, tedy úhloá íla e roná nějaké upraené hotnoti krát úhloé zrychlení. S ýraze r e eznáíe později. Budee jej nazýat oent etračnoti a zjitíe, že á u otáčiého pohybu analogickou úlohu, jako hotnot u pohybu příočarého. Moent hybnoti (čátice pohybující e po kružnici) Hotná čátice, která e pohybuje tále tejně elkou rychlotí po kružnici, á elikot hybnoti p r (index jeno naznačuje, že ěr této hybnoti je neutále tečný ke kružnici). Je šikoné zaét tz. oent hybnoti této čátice obdobně, jako je to udělali u oentu íly, tedy 5

31 p L rp. Platí poto analogie k F (druhého ewtonoa zákona): t L M t L t rp t p t t r t t, protože r r r r r M Vytýkání před ybol ůžee proádět pouze u eličin, které e neění. My je toho yužili u hotnoti, kterou předpokládáe tálou a u poloěru r, protože uažujee pouze pohyb po kružnici a tedy r e neění.. Kinetická (pohyboá) energie hotného bodu (čátice) Kinetickou energii ají tělea, která e zhlede k dané ztažné outaě pohybují. Kinetická energie je kalár (iz Fyzikální eličiny), který charakterizuje pohyboý ta těle. K uedení tělea z klidu do pohybu je třeba ykonat odpoídající echanickou práci. Uažuje hotný bod, který je zatí klidu. Začne-li na něj půobit tálá ýledná íla F, pak e tento začne pohyboat příočaře e tálý zrychlení a (podle. ewtonoa zákona). Jeho trajektorií je příka a dráhu, kterou urazí, ůžee počítat podle ztahu at. Jeho okažitou rychlot podle ztahu at, rep. podle ztahu at, pro počáteční rychlot (tyto ztahy zde neodozujee, předpokládáe, že je čtenář zná, případně i je á doplní). Mechanická práce je definoána ztahe W F (ztah platí, pouze pokud je půobící íla tálá a její ěr tále ronoběžný tečnou k trajektorii, nebo jako naše případě trajektorií aotnou). Kinetická energie čátice je záilá pouze na její hotnoti a rychloti. uto záilot ododíe: E k a at a t at W F. Potenciální (polohoá) energie hotného bodu (čátice) Potenciální energii nikdy neůže ít oaocená čátice. Je to latnot ytéu čátic (tedy alepoň dou). Má tejnou elikot jako práce, která by byla potřebná, aby čátice zaujaly onu určitou zájenou polohu. apříklad da hotné body a pružina, která je propojuje, zíkají tlačení nebo natažení pružiny potenciální energii, jejíž elikot bude odpoídat práci, kterou bylo potřebné k touto natažení (tlačení). ebo dě čátice nabité kladný elektrický náboje zíkají potenciální energii, 6

32 pokud je půobení íly (tedy ykonání práce) přiblížíe k obě. Zednee-li předět z porchu Zeě, zětší e potenciální energie outay Zeě, předět o práci, kterou je k tou ueli ykonat. My e oezíe na jeden zláštní, ašak našeu žiotu nejběžnější případ. a hoogenní tíhoé pole. íhoé pole Zeě e kutečnoti takoé není. Siločáry pole nejou ronoběžné a tíhoá íla rotoucí nadořkou ýškou kleá. Při porchu Zeě šak ětšinou ůžee tyto latnoti zanedbat a předpokládat, že tíha á šude tejnou elikot a ěr (kolo ke hladině). Předpokládáe tedy, že na čátici půobící tíhoá íla á celé uažoané protoru tejnou elikot a ěr. Práci, kterou konáe půobení proti tíhoé íle po dráze, počítáe: W F Fg g gh (dráha e zpraidla této ouiloti označuje jako ýška h). Znaénko značí, že íla půobí proti ěru pohybu. Práci, kterou ykoná tíhoé pole, pokud ně necháe čátici padat, počítáe obdobně, až na znaénko: W gh. Polohoá energie tíhoého pole (tedy íra práce, kterou je pole chopné ykonat) je E p gh. Koná-li šak tíhoé pole práci, polohoá energie ytéu Zeě + čátice ubýá. Princip zachoání echanické energie Pokud neuažujee třecí a odporoé íly (jejichž půobení po dráze dochází k úbytku echanické energie, která e přeěňuje zpraidla na energii nitřní), pak e echanická energie ytéu zachoáá. uto kutečnot i ukážee na příkladu čátice hoogenní tíhoé poli Zeě, přičež uažujee pro jednoduchot pouze pohyb e ěru nebo proti ěru půobící tíhoé íly. a začátku pozoroání á padající čátice rychlot a nachází e e ýšce h. Vztažnou outau pojíe e Zeí, takže rychlot Zeě je. Celkoá echanická energie ytéu na začátku pozoroání tedy je E i E. íhoé pole urychluje čátici e zrychlení g, k, E p, gh půobící íla á elikot g, čátice urazí dráhu 7 h t gt Pohyboá energie tak nabyde hodnoty: E k gt gt g t gt g t

33 t gt gh g. Polohoá energie nabyde hodnoty: E p gh gh. Celkoá energie na konci pozoroání tedy je E f Ek E p gh gh gh gh E. Celkoá i echanická energie na začátku i na konci je tedy tejná. Odození platí i pro záporné hodnoty, h a g, takže i při pohybu obrácený ěre (čátice toupá a zpoaluje) e echanická energie zachoáá. Princip zachoání echanické energie, tedy že E E kont., platí obecně pro každý inerciální yté. k p Mateatické kyadlo U Mateatického kyadla zanedbááe hotnot záěu a rdce kyadla poažujee za hotný bod. Vychýlíe-li kyadlo o rychlotí, pak úhel, začne e houpat (kitat). ejrychleji prolítne ronoážnou polohou (čárkoaná čára; potenciální energie kyadla e přeěnila na energii kinetickou) a ždy když e ychýlí o úhel, tak e na okažik zataí (dochází k přeěně kinetické energie na energii potenciální). Pokud e rdce pohybuje F je ětší o dotřediou ílu, která á elikot F d. r Je-li šak kyadlo ychýleno o půodní úhel, je to okažiku klidu ( =, F ). Sílu, kterou táhne proázek za záaží F, rozložíe tak, aby d jedna ložka yrušila účinky íly tíhoé a druhá aby udáala tečné zrychlení kyadlu. ato íla F P ná bude zajíat, protože tuto ílu budee u exponátu ewtonů ozík nahrazoat ilou pružiny. Její elikot bude FP F g in Fg in g in ( F g a F P jou totiž trany ronoběžníku a 8

34 tudíž i jejich protější trany jou tejně elké. Síly F P a F in úhel). Pro alé ýchylky úhlu, rep. pro platí írají praý a tedy in. Dotááe tak, že F P g. Budee-li chtít znát záilot elikoti íly na obloukoé zdálenoti x od ronoážné polohy (pro alé ýchylky e šak obloukoá a příá zdálenot téěř neliší), yužijee ztahu pro délku oblouku: elikot íly, dotááe F P l x, tedy x g l g l x l. Doazení do ztahu pro x kx. Kyadlo e tedy pro alé ýchylky choá tejně, jako odoroně orientoaná pružina o tuhoti g k. l Kinetická energie rotujícího tuhého tělea Pokud e tuhé těleo otáčí kole pené oy, pak každá jeho čátice, která není tejně zdálena od oy, e otáčí různou obodoou rychlotí, ale zároeň e každá jeho čátice otáčí za dobu t o tejný úhel. Každá čátice tuhého tělea á tudíž tejnou úhloou rychlot. Úhloá rychlot tedy popiuje choání rotujícího tělea jako celku a budee e tedy nažit najít ztah, který ji obahuje. Chcee-li počítat pohyboou energii celého tuhého tělea, počítáe pohyboou energii každé jeho čátice. Kinetická energie jedné čátice e počítá E k. Kinetická energie íce čátic (počet čátic) e počítá jako oučet jednotliých kinetických energií jednotliých čátic E k ii. i Jelikož úhloá rychlot lze počítat podle ztahu, tedy r, r doadíe a dotanee E r k i i i. Jelikož i i i i i ůžee uprait Ek i ri i i ri je pro šechna i tejná, iri Jelikož jou kontanty, ůžee je ytknout ze oučtu před celou uu, dotanee E k r. i i i 9

35 Moent etračnoti V předchozí odtaci, je zíkali člen i r i outo členu říkáe oent etračnoti tělea a značíe jej J. Platí tedy J i i r i. Připoeňe, že jednotlié poloěry r i jou zdálenoti jednotliých čátic od pené oy otáčení tuhého tělea. Kinetická energie tělea, které rotuje kole pené oy úhloou rychlotí, je tedy E k J. Poronáe-li e ztahe pro energii pouného pohybu hotného bodu E k, ůžee i šinout, že J této analogii nahrazuje hotnot. Zdá e, že oent etračnoti J yjadřuje neochotu ěnit pohyboou energii otáčejícího e tělea a tedy i zěnu jeho rychloti otáčení. Přeědčíe e o to náledujících odtacích. Pozor! eplatí, že oent etračnoti tuhého tělea je to aé, jako oent etračnoti hotného bodu, který těleo nahradíe. Jako triiální protipříklad i ůžee uét dě čátice o tejné hotnoti, které jou tředoě ouěrně podle oy otáčení zdáleny od ebe (leží na jedné příce a jejich tředu je oa otáčení). Moent etračnoti této outay i. čátice je J r r, zatíco oent etračnoti hotného bodu, který leží těžišti, by byl r J. Steineroa ěta ěžiště tělea je ýznaný bode i pro pohyb rotační. Pokud chcee nechat rotoat tuhé těleo okolo pené oy určitého ěru, pak toto těleo bude ít nejenší oent etračnoti J, pokud oa daného ěru bude procházet těžiště tohoto tělea. Poede-li jinudy (oše ronoběžně e zadanou oou, která prochází těžiště), oent etračnoti by zrotl o r M ( r je zdálenot oy otáčení od těžiště tělea a M je celkoá hotnot tělea). oto ná říká Steineroa ěta, kterou ůžee ateaticky zapat: J r M J.