Soustava hmotných bodů

Transkript

1 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4 oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, 6 4. Úvo oustava hotných boů Poěrně louho jse se věnoval kneatce a ynace jenoho hotného bou. a světě ovše není jen jeen hotný bo Přejěe tey k více hotný boů. oustava hotných boů je saozřejě zase jen abstrakcí, tey oele toho, co exstuje v příroě. Ovše oele o něco blžší realtě. oustavou hotných boů pro nás ůže být třeba lunce a planety sluneční soustavy, vě závaží spojená pružnou nebo provaze, nebo třeba všechny olekuly v kusu kaene nebo kříy (poku se na ně íváe klascky, nkol jako na kvantové objekty). Počet hotných boů v soustavě tey ůže být, 3, os nebo třeba 6. Buee ho označovat sybole, jenotlvé hotné boy buee číslovat nexe (nebo jk,, at.). Velčny charakterzující hotné boy buou tytéž, jaké už znáe: polohy: r rychlost: v r zrychlení: a v r,, hotnost: Buee-l psát souřance vektorů poocí nexů x, y, z, bue např. r ( x, y, z ) (,, ) () () () ()3. Poku bycho souřance psal poocí nexů,, 3, bue ale potřeba olšt nexy, které číslují souřance o nexů, které číslují hotné boy. V to přípaě buee nex označující bo ávat o závorky, r x x x. 4. Hybnost, oent hybnost a energe soustavy hotných boů Hybnost -tého hotného bou je p v. Celková hybnost soustavy hotných boů je ána součte hybností jenotlvých boů: (4.) P p p p p aozřejě, že hybnost soustavy hotných boů ůžee vyjářt také jako P v v v v. Což á praktcké uplatnění: vě závaží spojená provaze se užívala jako vrhací zbraň pro lov zvěře, je znáa po názve bolaso. () () () Aby všechny nexy nebyly vpravo ole o písene, ohl bycho psát r() ( x, x, x3 ), z kontextu bue vžy jasné, oč je. Buee se snažt nezahltt tento text přeírou nexů, ale obecně se jejch požívání nevyhnee.

2 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4 oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, 6 4. Úvo oent hybnost -tého hotného bou je L r p, celkový oent hybnost soustavy hotných boů je součte. (4.) L L L L L v aozřejě platí, že L r p+ + r p r p r ( ). Celkové P a L tey ostáváe prostý součte; říkáe, že hybnost oent hybnost jsou atvní velčny. 3 Poobně je tou v přípaě knetcké energe. Knetcká energe -tého bou je celková knetcká energe pak v, v v v v T (4.3) O něco složtější je to s potencální energí. Potencální energe -tého hotného bou se skláá z více částí: energe bou ve vnější pol, označe j V 4 a z energí vzájené nterakce tohoto bou s ostatní boy soustavy 5. Potencální energ vzájeného působení -tého a j-tého hotného bou označíe V j. Celková potencální energe -tého hotného bou ve vnější slové pol a v pol všech ostatních hotných boů je V V + V 6. Př výpočtu celkové potencální energe ale j j j usíe át pozor, abycho energ vzájené nterakce boů nezapočítal vakrát. právnou honotu á vzorec 7 j. (4.4) j j V V + V 3 Poku je takto efnujee, tey poku platí vztahy (4.) a (4.), ají rozuné vlastnost př popsu fyzkálních ějů. apříkla kousek hozené kříy á hybnost v. Poku by se za letu rozlol na va kousky o hotnostech a (přčež + ), je rozuné přepokláat, že celková hybnost (teď už soustavy vou kousků) zůstala stejná, tey p v+ v. (ůžee říc oku by se najenou nějaká oatečná hybnost vzala. ebo ka by se ztratla? ) Další aspekty toho, že se takto efnovaná celková hybnost a oent hybnost chovají rozuně, poznáe v alších částech této kaptoly. 4 jako externí. Příklae ůže být energe třeba kaene ve vnější gravtační pol Zeě. 5 Třeba kyby ez závažíčky byly nataženy pružnky. Další příklae by ohla být nterakce ez olekula (poku je uvažujee jako klascké kulčky) ezolekulární sla se olekuly přtahují, poku se vzálí a naopak opuzují, poku jsou u sebe přílš blízko. Ještě jný příklae ůže být soustava Zeě- ěsíc, ty se gravtačně přtahují, čeuž opovíá příslušná potencální energe G Z / r. 6 Tí, že v součtu je j, je áno to, že v ně není člen V, který by opovíal energ působení bou saotného na sebe. (Žáné takovéto působení opravu v echance neznáe, bo sá sebe nka nestrká a neurychluje.) 7 Rozyslete s sa, že platí; napšte s potencální energ třeba v přípaě vou hotných boů spojených pružnou, které jsou v hoogenní gravtační pol.

3 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, 6 4. Hotný stře 4. Hotný stře Hotnéu střeu se často také říká těžště. V alší uvíe, proč je to oprávněné a ky naopak usíe ez hotný střee a těžště rozlšovat. Jak ojít k poju hotný stře Defnc hotného střeu bycho ohl prostě uvést; pojďe však raěj tento poje vybuovat. Začnee jenorozěrný přípae. Pro va hotné boy stejné hotnost, které jsou na ose x, je jasné, že jejch stře resp. hotný stře bue uprostře ez n. Jsou-l x a x souřance aných x+ x boů, bue tey souřance střeu jejch průěre, tj. x. Poku ovše bue napříkla první bo hotnější než ruhý, ěl by zřejě bo, jeuž buee říkat hotný stře, blíže k touto prvníu bou. Toto vysthne tzv. vážený průěr souřanc aných boů: x + x x, + ten se chová právě tak, jak potřebujee. 8 Výsleek ůžee přrozeně zobecnt na třírozěrný přípa. Pro polohové vektory ostáváe r + r r. (4.5) + ůžee s ověřt, že tento vzorec ává ve specálních přípaech rozuné výsleky. 9 Zobecnt tento vztah na lbovolně velký počet hotných boů už není problé: r r+ r + + r r (4.6) A právě toto už je efnce hotného střeu soustavy hotných boů. 8 Vyzkoušejte s, že pro ostanee přechozí přípa; naopak pro bue praktcky x x apo. 9 Opět, je-l jena z hotností nohe větší než ruhá, bue hotný stře praktcky splývat s hotnější boe. (apříkla hotný stře soustavy Zeě a ružce praktcky splývá s hotný střee Zeě.) avíc lze ukázat, že hotný stře vžy leží na příce spojující ané va boy. Zkuste s toto okázat sa. (ápověa: Přepšte vztah pro polohu hotného střeu na tvar r r + ( r r ) +.) 3

4 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, 6 4. Hotný stře Poznaeneje, že vztah (4.6) platí v přípaě, ky neje jen o hotné boy napříkla poku by hotnost a byly va velké kaeny blízko sebe. Jak je to ožné? Opravu neusíe sčítat přes všechny olekuly tvořící ané kaeny? Opravu ne. Jestlže je v první kaenu, tj. v první skupně boů, řekněe K hotných boů a ve ruhé K boů, ůžee vztah (4.6) rozepsat jako K r + r K+ r K (4.7) + K+ Přto hotný stře první skupny hotných boů je r K K r K. Otu r r, ke K je celková hotnost prvního kaene. Poobně pro ruhý káen je r r K+ Ze (4.7) tey ostáváe r r + r +., (4.8) tey stejný vztah jako pro hotný stře vou hotných boů. áe tey recept, jak spočíst hotný stře vou třeba ost velkých těles, napříkla tyčí. tačí o vztahu (4.8) osazovat na pravé straně polohy hotných střeů aných těles, a saozřejě jejch hotnost. Ze vztahu (4.6) pro hotný stře plyne jeen okažtý ůsleek, který v násleujících částech kaptoly několkrát využjee. Vynásobíe-l (4.6) jenovatele výrazu na pravé straně, ostanee ke r r r, (4.9) (4.) je celková hotnost soustavy hotných boů. ebo třeba Zeě a ěsíc. 4

5 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, 6 4. Hotný stře Hotný stře a těžště Všchn as znáe způsob, jak v prax určt těžště nějakého tělesa. Těleso zavěsíe a o bou závěsu veee příku svsle olů. Pak jej zavěsíe za jný bo a opět veee příku kolo olů. Obě příky se protnou v jeno boě a to je právě těžště. Poku bycho těleso zavěsl v jakékol jné boě, vela by svslce vžy o těžště. Zayslel jste se něky na tí, jak je ožné, že se ty svslce vžy protnou ve stejné boě? Jstě, je to proto, že těžště vžy leží po boe závěsu. Ale proč ta leží? Vychýlíe-l zavěšené těleso z rovnováhy, působí na něj oent síly, který se jej snaží o rovnováhy vrátt. počtěe tento oent. 3 Přepoklááe, že těleso je v hoogenní gravtační pol. a -tý hotný bo působí síla g. ( g je gravtační zrychlení.) oent síly na -tý hotný bo je tey r r ( g) Celkový oent síly na soustavu hotných boů je součte: Výraz na pravé straně ůžee upravt 4 : ( ) r r g r ( g) r g r g ( r ) g r ( g). (4.) (4.) Kobnací (4.) a (4.) pak ostáváe výsleek To znaená, že r g ( ). (4.3) celkový oent sl působící na soustavu hotných boů v hoogenní gravtační pol je stejný, jako by celková hotnost soustavy byla soustřeěna v jené boě v hotné střeu soustavy. Právě proto tento bo hotný stře označujee také jako těžště. oent gravtačních sl je stejný, jako by celková gravtační (resp. tíhová 5 ) síla působla právě v těžšt. Třeba poocí olovnce. Dobře se to ělá, poku je těleso ploché, napříkla kyž je o vystřžený kus kartonu. a něj ůžee svslc rovnou nakreslt. Poku by k tou nebyl žáný fyzkální ůvo, neuselo by to tak být. Dokonce v přípaě třírozěrného tělesa zavěšeného ve vou různých boech s ůžee přestavt, že by svslce byly oběžky a neprotnuly se vůbec. Tak jaký zázrake se stane, že se reálně opravu protnou? 3 Těleso přto buee brát jako soustavu hotných boů. 4 Využíváe toho, že: ) u násobení skaláre je jeno, jestl se násobí první nebo ruhý vektor ve vektorové součnu, tey že je a ( kb) ka b, ále že ) g je stejné pro všechny boy a 3) platí (4.9). 5 a toto ístě nerozlšujee gravtační a tíhovou sílu. Blíže o toto rozlšení vz kaptolu o nenercálních soustavách. 5

6 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, 6 4. Hotný stře yní už je jasné, proč je hotný stře vžy po boe závěsu a tey proč se svslé příky veené z bou závěsu protínají právě v toto jeno boě. Poku je hotný stře vychýlen o strany, působí na soustavu nenulový oent síly a ten j vrací o rovnováhy. Jeně v přípaě, ky je hotný stře přesně po boe závěsu, je oent nulový a soustava resp. těleso je v rovnováze. Ze vztahu (4.3) plyne ještě jena vlastnost těžště: Poku těleso zavěsíe právě v těžšt, pak oent sl na těleso působících bue nulový. Je ná totž o oent sl vůč bou závěsu, to znaená, že polohové vektory usí začínat právě v boě závěsu jný slovy, že o bou závěsu položíe počátek soustavy souřanc. To znaená, že bue r. 6 Z (4.3) pak okažtě plyne. Těleso zavěšené v těžšt ůžee kole bou závěsu lbovolně natočt a oent gravtačních sl na těleso působících 7 bue stále nulový. Tuto vlastnost bycho ohl vzít jako efnc těžště. Hotný stře, těžště a potencální energe kutečnost, že hotný stře leží vžy po boe závěsu, lze ovot z potencální energe. Celková potencální energe soustavy hotných boů v hoogenní gravtační pol je (vz (4.4)) V gz z g z g gz ( ), 8 (4.4) tey stejná, jako kyby celková hotnost soustavy byla soustřeěna v těžšt. 9 Těleso (resp. soustava hotných boů) je v rovnováze, kyž je jeho potencální energe nejnžší. Ze (4.4) víe, že je to v přípaě, kyž je těžště co nejníž. A to je právě v přípaě, ky je po boe závěsu. Ky hotný stře není těžště Ovol jse, že v hoogenní gravtační pol hotný stře a těžště jsou totožné. Ovše pozor, v nehoogenní gravtační pol tou tak obecně není! Příklae ůže být hoogenní tyč. Její hotný stře je eventně v její střeu. Ovše kyby tyč byla louhá třeba 5 tsíc kloetrů a poepřel jse j v její hotné střeu, kus o zeěkoule, jak ukazuje obrázek, eventně nebue v rovnováze. Část blžší k Ze bue přtahována výrazně více než část vzálenější. V toto přípaě okonce an není přílš rozuné těžště efnovat jeho poloha by závsela na to, jak tyč natočíe. 6 Rozyslete s, že tou tak je. Vektore r v toto přípaě faktcky určujee polohu hotného střeu vůč hotnéu střeu. 7 V hoogenní gravtační pol. (Proč to zůrazňujee, uvíe za chvíl.) 8 Př úpravě jse použl vztah (4.9), konkrétně jeho z-ovou složku. 9 Je o znáý vztah gh, ke výška h je rovna svslé souřanc hotného střeu z. 6

7 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, První věta pulsová 4.3 První věta pulsová Celková hybnost soustavy hotných boů je ána vztahe (4.), tey P p. Poíveje se, jak se tato hybnost ění s čase. a zjštění, jak se nějaká velčna ění s čase, přto áe vhoný ateatcký nástroj ervac pole času: Pravou stranu upravíe : íla P p t P p t t t p na -tý hotný bo se přto skláá jenak ze síly hotný bo působí vnější slové pole 3 a jenak ze sl (4.5). (4.6), kterou na j, jž na aný bo působí ostatní hotné boy. 4 Pro přípa tří boů to ukazuje obrázek. ůžee tey psát 5 (4.7) + j j j Po osazení (4.7) o (4.6) ostáváe P t + +. (4.8) j j j j j j První člen na pravé straně je součte všech vnějších sl působících na soustavu je to tey celková vnější síla působící na soustavu a celke přrozeně jse j označl jako. 6 O řaě velčn se ůžee leccos zajíavého ozvěět, kyž zkouáe, jak se ění č neění s čase. Využjee přto ruhého ewtonova zákona: pro kažý hotný bo platí p. t To v sybolu znaená externí, ale není to žáná pevně aná sybolka, spíše jen naše ohoa, které se buee v této kaptole ržet. Chcete-l, používejte vlastní značení; postatné je olšt síly, které na soustavu působí zvenku o sl ez jenotlvý boy. (Vnější působení by neuselo nutně být slové pole, ohl bycho o některých boů praštt třeba rukou nebo kulečníkový táge.) 3 V přípaě, ky bycho o vzuchu vyhol třeba několk závaží pospojovaných gučka (nebo výše zíněné bolaso), ůže být vnější pole gravtační pole Zeě. V přípaě soustavy Zeě-ěsíc by vnější pole bylo gravtační pole lunce. 4 Říkáe j vntřní síly. V přípaě nabtých kulček to ohou být elektrostatcké síly, jž se kulčky přtahují nebo opuzují. Poku půje o závaží spojená gučka č pružnka, půje o síly pružnost těch pružn č guček. 5 V součtu píšee j, abycho vyloučl člen, který by znaenal sílu, jíž hotný bo působí sá na sebe. (Žánou takovou slou na sebe hotný bo saozřejě nepůsobí.) 6 apříkla v přípaě kaene v gravtační pol Zeě (kyž jenotlvé olekuly beree jako hotné boy), je gravtační síla, kterou Zeě přtahuje káen. 7

8 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, První věta pulsová Jak je tou s ruhý člene,? Pro začátek je vhoné poívat se na co j j j nejjenoušší přípa, tey na soustavu pouhých vou hotných boů. V to přípaě součty vypaají takto: j + j j Pro síly ez hotný boy ale platí prncp akce a reakce:. To znaená, že. (4.9) j j j + Je-l hotných boů větší počet 7, pak se v součtu vynulují nejen síly ez boy a, ale ve všech ostatních vojcích. To znaená, že pro lbovolný počet boů platí. Ze vztahu (4.8) j j j tey ostáváe P t (4.) nebol: Časová zěna hybnost soustavy hotných boů je rovna celkové vnější síle působící na soustavu. 8 9 Tento výsleek je zná po názve první věta pulsová. Zákon zachování hybnost Důležtý ůsleek ostanee v přípaě, ky žáné vnější síly na soustavu hotných boů nepůsobí. Taková soustava se označuje jako zolovaná soustava. Z (4.) plyne pro : P t P konst. (4.) Hybnost zolované soustavy hotných boů je konstantní. Ovol jse zákon zachování hybnost. 7 Tř, čtyř nebo třeba 6. 8 Proč pulsová? Jž výše jse uvel, že hybnost se říve označovala teríne puls. Používá se též název věta o hybnost soustavy hotných boů. 9 Pole novějšího pravopsného úzu ůžee psát také se z : první věta pulzová. (Pole Internetové jazykové příručky Ústavu pro jazyk český jsou tvary puls a pulz stylově rovnocenné.) 8

9 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, První věta pulsová Zákon zachování hybnost jse ze ovol z ruhého ewtonova zákona a z třetího ewtonova zákona, tey prncpu akce a reakce. Obecně ale fyzkové považují zákon zachování hybnost za velce funaentální prncp, za něco, co je nohe obecnější a záklanější, než třeba ewtonovy zákony. 3 Zákon zachování hybnost je opravu prncpe, který platí aleko za hrance klascké echanky. 3 A patří k věce na jejchž platnost fyzc přísahají. 3 a souvslost prncpu akce a reakce bycho se ohl poívat z ruhé strany. To znaená, vzít zákon zachování hybnost za něco, co je platné a potvrzované experenty, a z něj pak vyvot prncp akce a reakce jako ůsleek. 33 alá obočka pro ty, ko ají rá forálnější ůkazy Výše jse skutečnost, že se vntřní síly ez hotný boy soustavy celkově vyruší, ovol pro jenu vojc boů a pak jse uvážl, že se takto vyruší pro všechny vojce. To je sce korektní úvaha, ateatčtěj zaěření čtenář by však ožná al přenost forálnějšíu ovození, které by celkové vynulování vntřních sl ovolo naráz. Prosí, tay je: Výraz přepíšee jako součet vou stejných členů a ruhý z členů buee upravovat: j j j j j + j j j l j j j j j j j l j j j j j j l j j j (4.) j j j j j j j j j 3 Ve ruhé ročníku se v Teoretcké echance zíníe o to, jak zákony zachování souvsejí se syetre prostoru a času. Konkrétně zákon zachování hybnost souvsí se syetrí vůč posunutí. Tey, jenouše (vágně a zjenoušeně) řečeno, s tí, že fyzka je stejná na všech ístech, tay, o eset etrů ál, o lón světelných let jne. Prozatí se ale takto hluboký souvsloste věnovat nebuee, raěj se naučíe zákon zachování hybnost používat. 3 Třeba ve specální teor relatvty nebo ve fyzce krosvěta. 3 Tey, ne že by něke byly tajné katakoby, ka by fyzkové za nocí a za svtu voskovc opravu chol přísahat na zákony zachování. Bylo by to pěkné, roantcké a as by se o to al napsat nějaký fantasy roán nebo celá sére (tento nápa ává laskavý čtenářů se spsovatelský abce nezštně k spozc), ale není tou tak. O platnost zákonů zachování nás přesvěčuje celý osavaní vývoj fyzky (byť třeba v obecné relatvtě se usí s poje celková energe zacházet vel opatrně). A napříkla Wolfgang Paul na záklaě svého přesvěčení o to, že zachování energe a hybnost usí platt př beta-rozpau přepověěl v roce 93 neutrno. Tey částc, kterou v té obě vůbec nebylo ožné etekovat. Prohlást, že v reakc se určtě vyskytuje nějaká alší částce, kyž j nko neví a neetekuje to je honě slné a ovážné tvrzení! A honě slná přepověď vycházející ze zákonů zachování. Jak to opalo, víe: neutrno bylo experentálně objeveno o čtvrt století pozěj. Právě takovéto oenty vývoje fyzky v nás utvrzují přesvěčení, že zákony zachování jsou něčí opravu záklaní, na co se ůžee spolehnout. 33 Třeba spore: Kyby pro nějaké va hotné boy neplatlo, že, byl by ve vztahu (4.8) nenulový příspěvek + a celková hybnost soustavy těchto vou boů by se s čase ěnla. Kyby tou tak bylo, as by se zjenoušla kosonautka: koscké sony a lo by neusely ít raketové otory. tačlo by, aby na sebe v kabně působly ané va hotné boy, a celou raketu by to urychlovalo! Přpoínalo by to starou hstorku Barona Prášla, který pole svých slov kys zapaal o bažny, ale vytáhl se z ní ven tak, že se tahal nahoru za vlastní cop. Pole všeho, co víe, ale tohle v příroě nefunguje 9

10 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, První věta pulsová Úpravy se na první pohle ohou zát složté, ale ají se zvlánout. Pro přehlenost byl ruhý člen zvýrazněn barvou. Př první úpravě (tavožlutého členu) používáe prncp akce a reakce. Druhá úprava (o zeleného ke světle oréu členu) spočívá v záěně nexů: k, j l. Třetí úprava (o světle orého k falovéu členu) je opět záěnou nexů k j, l. 34 Poslení úprava (o falového k tavočervenéu členu) spočívá v přehození pořaí suací. To ůžee uělat, protože faktcky sčítáe přes všechny ožné kobnace nexů (vylučujee jen ty, ke se oba nexy rovnají). A nakonec víe, že první a ruhý člen jsou stejné, jen s opačný znaénke I tento forální ůkaz tey ukazuje, že celkový součet všech vntřních sl v soustavě (s lbovolný počte boů) je nula. Celková hybnost a pohyb hotného střeu Zajíavý výsleek ostanee ervací vztahu (4.9) pole času: Dostanee r r t r r v t t v p a levé straně je součet hybností všech boů, tey celková hybnost P, vz (4.). Je tey P v. (4.3) Celková hybnost soustavy hotných boů se rovná celkové hotnost soustavy krát rychlost hotného střeu. v t Po osazení o ruhé věty pulsové (4.) pak ostanee ( ) t, čl v. (4.4) ůžee říc, že pro pohyb hotného střeu soustavy hotných boů platí ruhý ewtonův zákon. 35 v Poku je soustava zolovaná, tey, je v konst., tj. její hotný stře se t pohybuje rovnoěrně příočaře. 34 Obě tyto úpravy jse ve skutečnost ohl ělat naráz, tey zaěnt nexy a j: j. Bylo by to rychlejší a pro někoho sna přehlenější. Protože ale tyto úpravy ěláe poprvé, ěláe je po alých krocích. (Až s na to zvyknete, buete je ělat bez probléů plynule a klně z hlavy.) 35 Je tey jasné, proč ruhý ewtonův zákon ůžee používat třeba pro výpočet pohyby vrženého kaene nebo pohybu Zeě kole lunce. aktcky jej ůžee využít pro určení pohybu třeba tyče nebo klava po působení vnějších sl: hotný stře klava hozeného v hoogenní gravtační pol se bue pohybovat po parabole.

11 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, První věta pulsová Zěna hybnost soustavy a puls síly Z první věty pulsové ůžee ovot ještě jeen ůsleek týkající se zěny celkové hybnost soustavy. Ovot jej ůžee stejně, jako jse to v kaptole 3. ělal pro jeen hotný bo. První větu pulsovou, tey vztah (4.) buee ntegrovat pole času: Integrací levé strany ostanee tk t P t tk t t P tk t Pt () Pt ( k ) Pt ( ), takže z (4.5) vyje t t tk t (4.5) Pt ( k ) Pt ( ) () tt. (4.6) orálně je o stejný výsleek jako v přípaě jenoho hotného bou: celková zěna hybnost se rovná pulsu působící síly. 36 Je-l rozíl časů t tk t alý, síla se na ntervalu t, t k přílš nezění a přblžně platí t k t () t t t. Označíe-l zěnu hybnost jako P Pt ( ) Pt ( ), ostanee ze (4.6): P t k. 37 (4.7) Poznaeneje, že tento výsleek bycho ohl získat přío z ruhé věty pulsové, poku bycho v ní ervac aproxoval jako: P P, tey časovou zěnu bral jako poíl alých konečných t t přírůstků. Takto zapsaná ruhá věta pulsová by ěla tvar Osu už vynásobení P t 38 t ostáváe okažtě (4.7). 39 (4.8) 36 V toto přípaě celkové vnější síly, tey součtu všech vnějších sl působících na soustavu. 37 Jak je vyznačeno sybole, je o vztah přblžný, jeho přesnost však vzrůstá, kyž zenšujee t. Zcela přesný by byl v ltě t. ěky se pro tento přípa zapsuje poocí ferencálů jako P t. luvíe přto o nfntesálních zěnách ; volněj řečeno, chápee tyto zěny jako nekonečně alé. Pro porobnější a přesnější skus ferencálů a souvsející probleatky okazujee na přeěty Úvo o ateatckých eto fyzky, ateatcké etoy fyzky a saozřejě na ateatckou analýzu. 38 V toto tvaru bycho j ohl prezentovat zájeců z řa střeoškoláků, kteří ještě neznají ervace. Poku bycho na pravé straně bral jako průěrnou sílu v ané časové ntervalu, byl by vztah okonce přesný vz výše vztah (3.) na konc kaptoly Poznaeneje ještě, že (4.7) se ná bue hot na konc této kaptoly př praktcky střeoškolské ovození vztahů pro pohyb rakety.

12 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, Druhá věta pulsová 4.4 Druhá věta pulsová Druhá věta pulsová se týká oentu hybnost, resp. toho, jak se ění s čase. Dervací oentu hybnost pole času, ostanee L r p t L r p ( r ) p p + r t t t t v v (4.9) První člen v závorce na pravé straně (vyznačený oře) je ale vektorový součne rovnoběžných vektorů; je proto roven nule: v ( v ) ruhý ewtonův zákon p t. Z (4.9) tey ostáváe. V ruhé členu (vyznačen zeleně) zase využjee r r + j t j j L. (4.3) Ze jse jž osal za sílu L t ze vztahu (4.7). Pravou stranu (4.3) ále upravíe: + + r r j r j j j j j. (4.3) První člen na pravé straně (označený tavozeleně) je součte oentů vnějších sl působících na jenotlvé boy soustavy. Je to tey celkový oent vnějších sl: r (4.3) Druhý člen na pravé straně (4.3) (vyznačený hněě) je celkový oent vntřních sl soustavy. 4 ejprve s jej pro jenouchost opět vyjáříe jen pro soustavu vou hotných boů. Př úpravě pak využjee prncp akce a reakce: r j r + r j j r r ( r r ) (4.33) Víe, že poku využjee jen prncp akce a reakce neostáváe autoatcky nulu. 4 Zřejě už, v analog s ovození první věty pulsové, očekáváe, že á nulu.

13 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, Druhá věta pulsová Ky by oent vntřních sl ohl být nenulový? apříkla v stuac, kterou ukazuje obrázek vpravo. To znaená v přípaě, ky by síly nebyly centrální. Takovéto síly ovše ez hotný boy v příroě nenacházíe. 4 K ovození toho, že celkový oent vntřních sl á nulu, tey použjee fakt, že síly ez hotný boy jsou centrální. To znaená, že ( r r ), 4 tj. k ( r r ) Díky tou je vektorový součn vektorů ve (4.33) nulový, ( r r ) oenty sl pro všechny vojce boů, takže pro lbovolné platí r j j j (4.34). Poobně se vyruší. Ze (4.3) pak plyne L t (4.35) čl Časová zěna oentu hybnost soustavy hotných boů je rovna celkovéu oentu vnějších sl působící na soustavu. A právě toto je ruhá věta pulsová. 43 Zákon zachování oentu hybnost Pro zolovanou soustavu jž jenouše ostanee jako ůsleek ruhé věty pulsové alší zákon zachování. Pro ostanee z (4.35) L t L konst. (4.36) oent hybnost zolované soustavy hotných boů je konstantní. To znaená, že platí zákon zachování oentu hybnost. 4 Takové síly by působly opravu vně. apříkla čnka, tj. va hotné boy spojené tyčkou, ez nž by působly necentrální síly, by se saa o sebe roztočla, a roztáčela by se stále rychlej. To by bylo pěkné pro perpetuu oble (ít takovouto čnku v autě ísto otoru, ušetříte za benzín), ale příroa ná, pole všeho co víe, takovýto levný pohon nenabízí. 4 Znake ze značíe, že vektory jsou úěrné, tj. ají stejný sěr. V geoetrcké značení bycho ohl r r. psát ( ) 43 Všněte s poobnost ez první a ruhou větou pulsovou. V první větě pulsové je o časovou zěnu celkové hybnost soustavy a o celkovou vnější sílu. Ve ruhé větě pulsové je o časovou zěnu celkového oentu hybnost soustavy a o celkový oent vnějších sl. 3

14 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, Druhá věta pulsová Opět obočka pro lovníky forálních ůkazů Pojďe opět ovot, že r j j j forálnější postupe. V ůkazu znovu rozělíe výraz na vě polovny a ruhou buee upravovat: r j r j + r j r j r j j j j j j j j j j j j r r j rj j r j j j j j j j j j j ( r rj) j protože ( r rj) j j j j (4.37) Úpravu jse jž provel o něco rychlej než výše v přípaě (4.); rovnou jse zaěnl nexy a j (př přechou o oře zvýrazněného členu k zeleně zvýrazněnéu). Důkaz jse tey provel pro lbovolný počet hotných boů. hrnee-l ovození první a ruhé věty pulsové, víe, že jse (kroě efnce hybnost a oentu hybnost) v obou přípaech využl: Druhý ewtonův zákon Prncp akce a reakce Pro ovození ruhé věty pulsové toto nestačlo a potřeboval jse navíc: Centrálnost sl Je obré uvěot s, že př ovozování pulsových vět jse nke nepotřeboval přepokláat, že síly jsou konzervatvní! To znaená, že platnost první a ruhé věty pulsové nezávsí na to, za síly jsou nebo nejsou konzervatvní. Totéž platí pro zákony zachování hybnost a oentu hybnost zolované soustavy. 44 V alších částech této kaptoly se poíváe na aplkace zejéna první věty pulsové a zákona zachování hybnost. Druhou větu pulsovou pak využjee v příští kaptole, ke půje o tuhé těleso. 44 To je rozíl oprot zákonu zachování echancké energe ten platí, jen kyž všechny síly jsou konzervatvní. aopak zákon zachování hybnost a zákon zachování oentu hybnost platí, kyž síla uvntř soustavy jsou třeba třecí síly. 4

15 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, rážky 4.5 rážky rážka ze íníe nkol éšť č sníh, ale kolze vou nebo více těles. 45 rážky obecně ělíe na pružné a nepružné. V echance často vyšetřujee ealzované přípay, tey srážky a eálně pružné eálně nepružné. Příklae eálně pružné srážky íčku třeba s polahou by byl oraz, ky íček, který pustíe z výšky třeba etr, vyskočí po orazu o výšky zase přesně etr a opakovaně bue skákat o stále stejné výšky. 46 Příklae eálně nepružné srážky by byl přípa, ky se íček vůbec neorazí. 47 kutečné srážky jsou většnou ez těto eální extréy. Ieálně pružnou srážku v akrosvětě zřejě neuíe uělat vůbec. 48 Ieálně nepružnou srážku realzovat lze nastává třeba v přípaě, ky se letící střela zaryje o nějakého objektu a zůstane v ně zaražena. 49 Z uveených příklaů je jasně vět, že: př eálně pružné srážce se zachovává hybnost a echancká energe 5 5 ; př eálně nepružné srážce se zachovává pouze hybnost. 5 V přípaě srážek obvykle platí, že neznáe etaly sl působících běhe srážky ez tělesy. O srážce a její výsleku přesto ůžee leccos říc íky zákonů zachování. Ukážee s to na vou příklaech. V obou půje o srážku vou těles. avíc, pro jenouchost, v obou přípaech půje o jenorozěrný pohyb. Centrální eálně pružná srážka Zkoueje eálně pružnou srážku vou koulí, které se pohybují ve sěru osy x 53 a narazí o sebe centrálně to znaená, že po orazu se buou pohybovat rovnoběžně s osou x 54. Hotnost koulí značíe a Rychlost koulí pře srážkou označujee I v a I v V naše přípaě půje o alá tělesa, která buee pokláat za hotné boy. ebuee tey popsovat složtější přípay, ky se třeba íč po necentrální srážce s kopačkou fotbalsty roztočí a získá faleš. 46 V toto příklau jse zanebal opor vzuchu; nebo s přestavte, že tento pokus ěláe ve vakuu. 47 a se zvuke typu plop zůstane rozplácnutý na polaze. 48 Ieálně pružné srážky ovše nastávají v krosvětě, př srážkách eleentárních částc. (Detaly a přípaná upřesnění tohoto tvrzení neche pro tuto chvíl částcový fyzků.) 49 éně ltarstcké příklay: Letící vlčka, která se zabone o brabory. (Což zní stále ještě trochu nebezpečně.) íček oblepený suchý zpe hozený na ruhý takový íček nebo terč rovněž polepený suchý zpe. ebo stuace, ky někou skočíte na záa a chytnete se, abyste se neorazl. Další příklay s jstě laskavý kreatvní čtenář vyyslí sá 5 íněno echancká energe. 5 aktcky takto (zachování hybnost a echancké energe) efnujee eálně pružnou srážku. 5 echancká energe se ovše nezachovává an př obecné srážce; eálně nepružnou srážku efnujee tak, že se př ní srážející se tělesa spojí a an trochu se neorazí, zůstanou př sobě. 53 ebo prot sěru osy x, přesněj bycho tey ohl říc, že je o pohyb rovnoběžně s osou x. 54 Tey že se neorazí nějak ško. 55 Inex I nahoře u sybolu rychlost znaená ncální, tj. vyjařuje, že je o rychlost pře srážkou. I I Poznaeneje, že správnější by bylo psát v a v, v záju jenouchost však ze nex x vynecháváe. x x 5

16 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, rážky Rychlost (přesněj: složky rychlostí) koulí po srážce označíe v a v. 56 Protože je o eálně pružnou srážku, platí př ní jak zákon zachování hybnost, tak zákon zachování echancké energe. 57 Ať už se běhe srážky ěje cokol, je tey hybnost po srážce rovna hybnost pře srážkou, I I v + v v + v, (4.38) a echancká energe po srážce se rovná echancké energ pře srážkou 58, I I ( v ) + ( v ) ( v ) + ( v ). (4.39) Znáe stuac pře srážkou, tey rychlost I I v a v. 59, chcee spočítat stuac po srážce, tey neznáé rychlost v a v. Chcee-l určt vě neznáé, potřebujee vě rovnce. Ty ale áe, jsou to rovnce (4.38) a (4.39). Jený problée je, že v rovnc (4.39) jsou neznáé ve ruhých ocnnách. Pro řešení bue výhoné přepsat s (4.38) a (4.39) tak, že na jenu stranu áe všechny členy vztahující se k prvníu tělesu a na ruhou stranu členy patřící k ruhéu tělesu. Hotnost jž ůžee vytknout 6. Dostanee v I v v I v (4.4) ( ) ( ) ( v ) ( v ) v v I I ( ) ( ( ) ( ) ) (4.4) a vyělíe-l rovnc (4.4) rovncí (4.4), vyje vel jenouchý vztah I I v + v v + v. (4.4) Rovnce (4.38) a (4.4) už tvoří soustavu vou lneárních rovnc o vou neznáých. Chcee-l, ůžee je přepsat o trochu přehlenějšího tvaru, z něhož půjou neznáé snaněj vypočítat: v + v v + v I I v v v + v I I (4.43) 56 Inex ze znaená fnální, tj. vyjařuje, že je o rychlost po srážce. Opět by bylo správnější psát v x, ale to už by tu bylo trochu přenexováno, takže nex x vynecháváe. Ovše pozor: Je třeba s uvěot, že všechny rychlost, které se ze vyskytují, jsou x-ové složky rychlost a jako takové ohou být klané záporné, pole toho, za se koule pohybuje oprava, ve sěru osy x, nebo oleva, prot sěru osy x. (Jny, poku nepíšee u rychlostí nexy x, y at., je o velkost rychlostí ze na chvíl tuto konvenc opouštíe. Poku vá to ělá probléy, přpšte s o všech vztahů k rychloste ještě sybol x.) 57 Znaená to, že soustavu obou těles beree jako zolovanou soustavu. 58 Do echancké energe započítáváe jen knetckou energ. Protože soustavu srážejících se těles beree jako zolovanou, není ze žáná potencální energe ve vnějších polích. (Žáná vnější pole nejsou, resp. jejch působení běhe srážky beree za zanebatelné.) Poku se týká vntřních sl ez naš boy (resp. tělesy), uvažujee, že působí jen běhe srážky, tey typcky vel krátce. Pře srážkou a po srážce nepůsobí nebo je jejch působení zanebatelné. (Dvě srážející se kulečníkové koule se saozřejě také vzájeně přtahují gravtační slou, ale ta je oprot slá působící př srážce tak alá, že j neuvažujee.) 59 A saozřejě hotnost obou těles, a, ty zůstávají stejné pře srážkou a po srážce. (euvažujee, že by se část aterálu z prvního tělesa přenesla na ruhé.) 6 A rovnc (4.39) saozřejě vynásobíe věa. v x a 6

17 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, rážky Otu už ostanee 6 výsleek 6 v v + v I I + + v v + v I I + + (4.44) Poíveje se na některé specální přípay. Buee př nch většnou uvažovat, že ruhé těleso na I začátku stojí, tj. v.. Vel lehké těleso naráží o těžkého I Je-l v a, plyne z (4.44) 63 ( ) + + ( ) v v v v I I I ( ) ( ) v v v I I + + (4.45) To znaená, že těžší těleso se praktcky an nepohne, zatíco lehčí těleso se orazí o opačného sěru a po orazu se pohybuje stejně velkou rychlostí jako pře srážkou. Příklae ůže být oraz íče o stěny nebo oraz pngpongového íčku o stolu. 64. Těžké těleso naráží o nohe lehčího I Je-l v a, pak ze (4.44) ostáváe ( ) v v v v I I I + + ( ) v v v v I I I + + ( ) (4.46) První těleso tey praktcky an nezpoalí. 65 Zajíavé je, jak se po srážce chová ruhé těleso. Bue se pohybovat vakrát rychlej, než těleso, které o něj narazlo! Kyž třeba fotbalsta kopne o stojícího íče, okopne ho rychlej, než se pohybovala noha fotbalsty Třeba sčítací etoou: Druhou rovnc vynásobíe a obě rovnce sečtee 6 Všněte s, že ruhý řáek se lší o prvního jen záěnou nexů a. To je logcké nko ná přece neůže přeepsat, kterou srážející se koul označt jenčkou a kterou vojkou.. 63 Př úpravě zanebáváe poíl ( ) oprot, protože je ( ) 7 64 aozřejě za přepoklau, že zanebáe ztráty energe, tj. zěnu echancké energe na jné fory energe. 65 Poku těžký kaon narazí na ouchu, opravu ho to přílš nezpoalí. I kyž v toto přípaě reálně as nepůje o eálně pružnou srážku. Ale poobně tou bue, poku náklaďák narazí na pngpongový íček a v analogckých přípaech. 66 Poobně, kyž o tensového íčku narazí raketa nebo o golfového íčku golfová hůl. Poku není hotnost íčku zanebatelná, nebue saozřejě rychlost vojnásobná, ve vztahu (4.46) víe honotu pře zanebání.

18 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, rážky 3. Obě tělesa jsou stejně těžká Je-l, pak (4.44) ává 67 v v v I v I (4.47) I To znaená, že tělesa s prostě vyění rychlost. Poku ruhé těleso pře srážkou stálo, v, pak se první těleso po srážce zcela zastaví a pohybuje se pouze ruhé těleso. Tento pokus s ůžee zkust třeba se věa stejný nce klouzající po hlaké stole. Poobně s přeávají rychlost kulčky srážející se v ewtonově houpačce. 68 Kažá kulčka přeává svou rychlost alší kulčce, až nakonec oskočí ta poslení. Pružné srážky ohou v některých přípaech vést k na první pohle překvapvý ůsleků. Jeen takový popíšee v Doatku 4.A. Balstcké kyvalo Balstcké kyvalo slouží k určení rychlost střely. třela o hotnost letící neznáou rychlostí v se zaryje o kváru o hotnost, který vsí na závěsu. Kvár se zarytou střelou saozřejě vykývne o strany a tí také trochu o výšky. Př axální rozkyvu se ostane o výšky h na svou půvoní polohu; vz obrázek vpravo ole. Ze znáých hotností, znáé élky závěsu l a výšky h, o níž kvár vykývne, lze spočítat půvoní rychlost střely. a první pohle se ůže zát, že to je vel jenouché. třela ěla pře srážkou knetckou energ v. Poté, co kvár se zarytou střelou vykývne o výšky h, zvýší se jeho potencální energe o ( + ) gh. 69 Takže stačí napsat, že se knetcká energe přeěnla na potencální, v ( + ) gh, a otu už plyne v + gh. Jenouché, že? Jenže úplně špatně. 67 Porobnější výpočet: I I I I I v v + v v + v v, I I I I I v v + v v + v v Hračka proávaná v proejnách se suvenýry a j poobných. (Poku j náhoou neznáte po títo názve, zeptejte se Googlu, na otaz ewtonova houpačka vrátí přes 4 tsíc okazů a saozřejě spoustu fotografí. 69 Knetckou energ v okažku axální výchylky žánou neá, protože je v toto okažku v klu. 8

19 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, rážky Poku bycho výše uveený vztah použl k výpočtu rychlost střely př reálné pokusu 7, ostal bycho nerealstcky alou rychlost napříkla éně než eset etrů za sekunu. 7 Ke je chyba? Chyba byla spoléhat na zákon zachování echancké energe. Kyž se střela zavrtává o kváru, rtí a eforuje aterál uvntř, tento aterál střela saotná se ohřívají a na to se spotřebuje značné nožství energe. Tato srážka je tey eálně nepružná a echancká energe se př ní nezachovává. Jak tey problé vyřešt? I př eálně nepružné srážce se zachovává hybnost. Hybnost střely pře srážkou je v, hybnost kváru se zarytou střelou po srážce je ( ) + V ; přto V je rychlost kváru se střelou po srážce. tuac těsně po srážce ukazuje obrázek vpravo. Platí tey v ( + ) V, z čehož V v +. (4.48) Po srážce už ůžee použít zákon zachování echancké energe 7, tey přeěnu knetcké energe na potencální: Osu plyne V + V + gh ( ) ( ) gh a po osazení (4.48) v + gh, čl + v gh. (4.49) Ve skutečné pokusu se výška, o níž kyvalo vykývne, počítá z toho, o kolk vykývne o strany. Tento výpočet a alší koentáře k balstckéu kyvalu najete v Doatku 4.B. 7 apříkla př ěření rychlost broku ze vzuchovky, což je často prováěný eonstrační experent. 7 Takové střele by utekl Usan Bolt a nejen on. Také by taková střela ostřella jen pár etrů, než by opala na ze. 7 Př vykývnutí kváru už nepřepoklááe žáné ztráty echancké energe. 9

20 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, Problé vou těles 4.6 Problé vou těles Uvažuje vě tělesa, která na sebe působí přtažlvý sla napříkla vě složky vojhvězy nebo systé Zeě ěsíc. 73 Tělesa ze buee brát jako hotné boy: bo přto přtahuje bo slou, sá je boe přtahován slou. Žáné alší síly ze nepůsobí. pecálně to znaená, že ze nejsou žáné vnější síly působící na soustavu zvenku. 74 aší cíle je vyřešt, jak se obě tělesa (resp. hotné boy) pohybují. Tato úloha je znáa po názve problé vou těles. V této kaptole problé vou těles nevyřešíe o konce, ale zjenoušíe. Přesněj řečeno, rozložíe ho, resp. převeee ho na va jenoušší probléy. 75 Pohyb kažého z aných hotných boů je án ruhý ewtonový zákone: r t r t Toto tey jsou pohybové rovnce naší soustavy hotných boů. 76 Jek tyto rovnce řešt? Po chvíl úvah by nás ohlo napanout je sečíst. Dostanee r r + + t t ( (((( t ( r + r) (4.5) (4.5) a pravé straně ostáváe nulu íky platnost prncpu akce a reakce. Levá strana ná po úpravě přpoíná část vztahu (4.5) pro polohu hotného střeu. Zaveee tey vektor R označující polohu hotného střeu: r + r R + Ze (4.5) pak plyne 77 R t (4.5) (4.53) 73 ohlo by jít taky o jž výše zíněné bolaso, vě závaží spojená guový lanke apo. Obecně by síly ohly být opuvé, napříkla v přípaě vou nabtých těles stejného znaénka; y ze ale většnou buee hovořt o vou tělesech, která se přtahují. 74 V ternolog, kterou jse říve zavel, to znaená, že soustava je zolovaná. 75 Pro přípa těles přtahujících se pole ewtonova gravtačního zákona ho pak ořešíe v jené z násleujících kaptol. 76 Jsou to vě vektorové rovnce, tey celke šest rovnc pro šest souřanc popsujících polohu obou boů. 77 Ze (4.5) je r + r ( + ) R, takže (4.5) je ( + ) R. t

21 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, Problé vou těles To znaená, že hotný stře soustavy se pohybuje rovnoěrně příočaře. Víe to jž ze vztahu (4.53) 78 ; také ůžee (4.53) vakrát ntegrovat pole času a ostanee Rt () v t+ R. 79 Popravě řečeno, títo výsleke neusíe být njak zvlášť překvapen. Jž výše jse ovol, že pro pohyb hotného střeu soustavy hotných boů platí rovnce (4.4), tey v. t V naše přípaě jsou vnější síly nulové,, takže rychlost hotného střeu usí být konstantní. Víe tey, jak se pohybuje hotný stře soustavy. Ale jak se pohybují jenotlvé boy? ebo alespoň, jak se pohybují boy vůč sobě navzáje? Zatí jse rovnce (4.5) sčítal; zkuse je nyní oečíst. Ale ještě přetí je vyělíe příslušný hotnost, tey buee oečítat rovnce r t r t Dostanee (oečtení první rovnce o ruhé): r r + (( t t ( r r) t Teď se jž nabízí označt rozíl vektorů r r zvláštní sybole: r r r (4.54) (4.55) Jak ukazuje obrázek, vektor r spojuje boy a. Právě časový vývoj vektoru r, tj. r rt (), určuje, jak se oba boy vzájeně pohybují. (apříkla, jak kole sebe obíhají složky vojhvězy nebo jak ěsíc obíhá kole Zeě.) Pravá strana rovnce (4.54) naznačuje, že by bylo vhoné zavést ještě jenu velčnu. Bývá označována jako µ, efnuje se vztahe + (4.56) r a nazývá se reukovaná hotnost. Rovnc (4.54) teď je zapsat jako, tey t µ r µ. (4.57) t 78 a levé straně (4.53) je zrychlení hotného střeu; víe, že je nulové. 79 v a R jsou konstanty, které určíe z počátečních poínek.

22 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, Problé vou těles Rovnce (4.57) forálně vypaá jako ruhý ewtonův zákon popsující pohyb hotného bou o hotnost µ po vlve síly. Víe, že jse problé vou těles převel, resp. rozěll na va probléy: ) na problé pohybu hotného střeu (ten byl jenouše řeštelný) a ) na problé pohybu (fktvního) bou o hotnost µ v slové pol síly. Celá stuace ožná bue o něco názornější, kyž půje o va boy, které se přtahují gravtačně pole ewtonova gravtačního zákona: r G (4.58) r r Z efnce reukované hotnost (4.56) totž plyne + +, čl + (4.59) Označíe-l navíc součet hotností obou boů +, je. ílu (4.58), kterou se boy přtahují, tey ůžee přepsat na tvar µ r G (4.6) r r a rovnc (4.57) pro pohyb fktvního hotného bou na tvar r µ r µ G. (4.6) t r r To opravu opovíá pohybu hotného bou o hotnost µ přtahovaného nehybný slový centre o hotnost. Vyřešíe-l tey tento problé problé pohybu hotného bou v pol centrální síly (ky slové centru je nehybné) buee ít vyřešen problé vou těles. A jak z pohybu hotného střeu a z časového vývoje vektoru r určíe pohyb obou boů a? nano. Vztahy (4.5) a (4.55) prostě vezee jako soustavu vou rovnc pro neznáé polohové vektory r a r. 8 Jejch řešení je r R r, r R + r. (4.6) 8 Chcee-l ít neznáé na levých stranách, přepíšee rovnce jako r + r ( + ) R r r r 8 Aneb, jak se obvykle píše: čtenář snano nahléne, že. Ze ale opravu řešení necháváe na laskavé čtenář, už proto, abycho nevnucoval konkrétní způsob, jak řešt soustavu vou rovnc o vou neznáých. Ostatně, čtenář, kterého náhle posela naprostá lenost a nechuť řešt soustavu vou rovnc, se ůže osazení přesvěčt, že (4.6) řešení opravu jsou. a.

23 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, Pohyb rakety 4.7 Pohyb rakety aše ovození týkající se pohybu rakety začnee úvahou a yšlenkový pokusy. Jse-l v klu 8 a chcee se začít pohybovat, jak to ěláe? tojíe-l na ze, tak se prostě ostrčíe nohou o zeě. Poku plavee v bazénu, ostrkáváe se rukaa a nohaa o voy. Ale co kyž bycho se vznášel v koscké prostoru a neěl se o čeho ostrčt? 83 Zřejě jenou ožností je ostrčt se o něčeho, co áe u sebe, prostě to ohot. Kybycho ěl u sebe pytel brabor, ohazoval bycho jenotlvé brabory, stále jení sěre. A vžy by nás to trochu ošťouchlo o opačného sěru, postupně bycho získával rychlost. a přesně stejné prncpu funguje raketový pohon. Raketa ovše neohazuje brabory, ale výtokové plyny z raketových otorů. Poocí naší braborové analoge však buee oc lehce spočítat napříkla tah raketových otorů, tey sílu, jakou otory urychlují raketu. Záklaní ovození přto ůže být na zcela střeoškolské úrovn, bez ervací a ntegrálů. ejjenoušší ovození Uvažuje raketu, která je v čase t v klu, tey á rychlost v. Za krátký časový nterval t její raketové otory spálí palvo o hotnost a vyvrhnou je ozau rychlostí v r. 84 Raketa tí získá rychlost v. V našch úvahách buee potřebovat ještě hotnost rakety, označíe j jako. 85 tuace v čase a v čase t ukazuje obrázek. a soustavu raketa + výtokové plyny nepůsobí žáné vnější síly, takže se usí zachovávat celková hybnost. a začátku je hybnost nulová 86. a konc, v čase t t, je hybnost (ve sěru oprava na obrázku) v v. Zákon zachování hybnost tey ává r čl v v, (4.63) r v v. (4.64) r 8 aozřejě, kl je jen relatvní. Př našch úvahách ná proto půje o kl nebo pohyb vůč nějaké zvolené nercální soustavě. (Pro úvoní úvahy s yslete třeba soustavu spojenou s povrche zeě.) 83 Přestavte s, že se třeba vznášíte uvntř eznároní koscké stance, nebo se vznášíte ve skafanru poblíž této stance. V pozeských poínkách s ůžete přestavt, že jste na leové ploše z tak hlakého a tvrého leu, že se o něj neje orazt, zaseknout o něj brusl an nc poobného. 84 v je tey rychlost výtokových plynů vůč raketě. (Jný slovy, jejch relatvní rychlost vůč raketě. Proto r jse u této rychlost užl sybol r. Je ale jen o naše nterní označení, např. ve skrptech oc. Havránka Klascká echanka I se pro rychlost výtokových plynů užívá sybol u.) 85 Přesněj řečeno, bue hotnost rakety v čase t t. (Hotnost rakety s čase klesá, právě o vyvržené výtokové plyny.) 86 Raketa část palva pozěj vyvrženého ve forě výtokových plynů jsou v klu. 3

24 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, Pohyb rakety Vyělíe-l vztah (4.64) ntervale ostanee Poěr t, v v r, (4.65) t v v r. (4.66) t t v je ale zrychlení rakety. To znaená, že výsleek (4.66) ůžee psát jako t a v r. (4.67) t Tento vztah á stejný tvar jako ruhý ewtonův zákon. Člen na pravé straně tey ůžee nterpretovat jako sílu, která urychluje raketu, tey jako tah raketového otoru: raket.otoru v r. (4.68) t Víe, že tah raketového otoru je tí větší, čí více palva se za sekunu spálí a vyvrhne tryska otorů a také tí větší, čí větší je výtoková rychlost plynů. 87 Obecnější ovození: eščerského rovnce Jak tou je, kyž se raketa jž pohybuje a navíc na n působí nějaká vnější síla? To, že se raketa jž pohybuje nějakou rychlostí, na výsleku, který jse ovol, nc neění. 88 (Potvrí ná to násleující ovození.) Jak ale započítat působící vnější sílu? Buď j k síle raketového otoru jenouše přčtee 89, nebo celé ovození proveee porobněj. Přepokláeje, že v nějaké čase t se raketa hotnost s kouske palva o hotnost (které násleně spálí a vyvrhne) pohybuje rychlostí v. 9 a raketu působí také vnější síla. V čase o kousek větší, tj. v čase t+ t se rychlost rakety zěnla o v, tey na v + v ; výtokové plyny ají rychlost v + v. 9 tuac v obou časech ukazuje obrázek. r Pro ovození využjee toho, že zěna hybnost rovná se pulsu působící síly, vz (4.7). 87 je nožství palva spáleného a vyvrženého za obu t, takže je rychlost spalování palva t (v jenotkách kg/s ). 88 Vžy totž stuac ůžee popsat v nercální systéu, v něž raketa v čase t právě stojí; zrychlení rakety a tah raketového otoru tey buou stále ány vztahy (4.67) a (4.68). 89 A z fyzkálního názoru usouíe, že takhle to určtě bue správně. 9 Vztahy už buee zapsovat ve vektorové forě. 9 Přpoeňe, že výtokové plyny ají rychlost v r vůč raketě. Jejch rychlost v systéu, v něž stuac popsujee, tey ostanee složení rychlost v r a rychlost rakety v. 4

25 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, Pohyb rakety Celková hybnost v čase t je v+ v ; hybnost v čase t t Zěna hybnost je tey + je ( v+ v ) + ( v+v r ) ( v+ v ) + ( v+vr) ( v+ v) v v P + Tato zěna se rovná pulsu síly oku po vyělení t ostanee 93 t : r r. (4.69) v + v t, 9 (4.7) v t vr +. (4.7) t První člen na pravé straně zjevně přestavuje tah raketového otoru: raket.otoru v t r (4.7) íla, kterou otor působí na raketu, á přrozeně opačný sěr než je rychlost výtokových plynů vůč raketě. Vztahy (4.7) a (4.7) ještě upravíe; buee v nch uváět zěnu hotnost rakety. 94 Tato zěna hotnost je. 95 ílu raketového otoru tey ůžee napsat jako raket.otoru v r. 96 t avíc ještě přejee k ltě t, tey o poílů typu (4.7) pro pohyb rakety pak získá tvar v t V toto tvaru je znáa jako eščerského rovnce. v k ervací v apo. Rovnce t t vr +. (4.73) t Vnější síla ůže být napříkla gravtační síla, kterou usí raketa překonat, aby se vznesla. Tah raketového otoru je co o velkost roven v r. Aby byl tah raketového otoru ostatečně t velký, usí otor spotřebovat honě palva vz násleující příkla. 9 Ze už pro stručnost nepíšee sybol zůrazňující, že rovnost je jen přblžná. akonec totž buee ltovat t a z přblžných rovností se stanou přesné. 93 v Tey, po vyělení ostanee + vr t t ale takto jenouché úpravy už v toto textu postupně přestanee explcte uváět. 94 Je t ( + t) t (). Přto t () je hotnost rakety v čase t, včetně palva, které á v tuto chvíl v sobě. 95 Kyž raketa vyvrhne výtokové plyny o hotnost, její hotnost se o tuto honotu zenší. 96 tále saozřejě platí, že síla působí v opačné sěru, než ka íří v r ; je to proto, že <. t, pak ještě usíe převést jeen člen na pravou stranu 5

26 K přenášce UY8 yzka I (echanka) prozatíní učební text, verze 4. oustava hotných boů Leoš Dvořák, UK Praha, Pohyb rakety Příkla : raketový batoh Přestavte s, jak by bylo krásné, ít na záech alý batoh, v ně raketový otor 97 a oc s volně poletovat, jak se ná zlíbí. Takovéto zařízení bylo skutečně vyvnuto. 98 Proč se tey už běžně nepoužívá? počtěe s, jakou by usel ít takový raketový batoh spotřebu palva. Rychlost výtokových plynů u checkých raketových otorů je několk k/s. 99 Počíteje tey pro náš raketový batoh třeba s rychlostí 3 k/s. Kolk usí spotřebovat palva, aby nás zvel? Řekněe, že s batohe áe hotnost kg. Raketový otor usí tey vyvnout tah nálně, aby nás uzvel. Z výše uveeného vztahu (4.68) nebo alších pro tah otoru je tey jasné, že usí být 3 /s kg /s, tj. kg/s. To znaená, že za 3 sekuny t t 3 usí otor spált kg palva, za 3 sekun kg palva Zkrátka, louho s s takový batohe nezalétáe. Tento příkla ná poáhá pochopt, proč rakety usí spotřebovávat tak enorní nožství palva. Oezená rychlost výtokových plynů se usí kopenzovat tí, že jch za sekunu vytéká značné nožství. Příkla : fotonová raketa Tah raketového otoru je úěrný rychlost výtokových plynů, resp. rychlost čehokol, co otor vyršťuje z rakety. Proč tey nevyužít nejvyšší znáou rychlost v příroě rychlost světla a ísto výtokových plynů nevyršťovat prostě fotony? To je ve zkratce prncp (zatí hypotetcké) fotonové rakety. Což o to, rychlost vyršťovaných fotonů je velká, as 3 8 /s. Ovše usíe vyršťovat ostatečnou hotnost. Kybycho chtěl tah jen, jako v přípaě výše skutovaného 5 raketového batohu, uselo by být kg/s. To není noho, jen něco přes tř t 3 lgray za sekunu! Problé je v to, že by uselo jít o 3 lgray fotonů. A této hotnost pole nstenova vztahu c opovíá energe as 3 J. Tato energe je přto potřeba za sekunu; potřebný výkon by tey byl 3 W 3 GW. To je výkon tří set teelínských jaerných bloků. Už je ná tey jasné, proč kyž s třeba vel slnou baterkou posvítíe po nohy, nás to pozorovatelně nenazveává 97 ožná raěj va, s tryska trochu ále o těla, abycho s nesežehl kalhoty. 98 a nternetu najete okazy na raketový batoh přípaně jetpack. (Ovše pozor, po názve jetpack najete konstrukc, v níž nejsou raketové otory, ale otory vrtulové, to je něco jného, spíš takový přerostlý ron, ten by nelétal o atosféru; skutečný raketový batoh s raketový otore ano.) 99 a nternetu lze najít nforace, že u velkých raketových otorů typu aturn V je to až přes 4 k/s; u raket na pevná palva jsou prý výtokové rychlost o,5 k/s. Olouvá se štíhlejší jenců, ale je jen o řáový oha. (Určtě nevážíte s batohe kg, to by šlo o raketový batoh pro nějakého oácího azlíčka.) Ko jste hubenější, ůžete zkrátka o batohu natankovat víc palva Také už se chystáte, že s oa postavíte fotonový raketový batoh? Ach jo. Tak ten fotonový raketový batoh stavět nebuee (Přestavte s ten účet za elektřnu! ) 6