4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE

Upřesnění k pojmům a značení parametr β i odhad parametru, odhadnutý koeficient, regresní koeficient b i, β i směrodatná odchylka (Standard Deviation) směrodatná chyba (Standard Error) vektor náhodných složek u vektor reziduí e, u Vektory a matice značíme tučně. Vektory se považují za sloupcové, transponované vektory za řádkové. CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 2

1. Gaussovy-Markovovy předpoklady Zapište a vysvětlete G-M předpoklady. CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL 3

1. Gaussovy-Markovovy předpoklady Zapište a vysvětlete G-M předpoklady. 1. E(u) = 0 2. E(uu T ) = σ 2 I n 3. X je nestochastická matice 4. X je má plnou hodnost CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL 4

1. Gaussovy-Markovovy předpoklady První předpoklad: náhodné složky mají identické rozdělení s nulovou střední hodnotou 1. E(u) = 0 Porušení předpokladu: nenulová střední hodnota se promítne do odhadu úrovňové konstanty odhad bude vychýlený CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL 5

1. Gaussovy-Markovovy předpoklady Druhý předpoklad: týká se kovarianční matice náhodné složky 2. E(uu T ) = σ 2 I n Co je na diagonále kovarianční matice náhodné složky? Co je mimo diagonálu? Jak by měla při splnění tohoto předpokladu kovarianční matice vypadat? CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL 6

1. Gaussovy-Markovovy předpoklady Druhý předpoklad: týká se kovarianční matice náhodné složky 2. E(uu T ) = σ 2 I n CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL 7

1. Gaussovy-Markovovy předpoklady Druhý předpoklad: týká se kovarianční matice náhodné složky 2. E(uu T ) = σ 2 I n autokorelace heteroskedasticita Vysvětlete oba pojmy. Jak v tom případě vypadá kovarianční matice? CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL 8

1. Gaussovy-Markovovy předpoklady Třetí předpoklad: nezávislost vysvětlujících proměnných a náhodné složky 3. X je nestochastická matice simultánní rovnice CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL 9

1. Gaussovy-Markovovy předpoklady Čtvrtý předpoklad: matice X nemá lineárně závislé sloupce 4. X má plnou hodnost perfektní multikolinearita - kdy se s ní můžeme setkat? multikolinearita - v čem je pak háček? CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL 10

1. Gaussovy-Markovovy předpoklady Jsou-li všechny G-M předpoklady splněny, můžeme použít MNČ a odhady budou nestranné, vydatné a konzistentní. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/aamarkov.jpg/220px-aamarkov.jpg http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/pioneers/images/carlfriedrichgauss.jpg CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL 11

1. Gaussovy-Markovovy předpoklady Příklad: Uvažujte model: útrata = β 0 + β 1 mzda + u (útrata je měsíční útrata v Kč, mzda je měsíční mzda v Kč) 1. Respondenti byli vybrání náhodným losováním z populace. Co byste v modelu spíš očekávali: heteroskedasticitu nebo autokorelaci? 2. Který G-M předpoklad bude v tom případě porušen? CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL 12

2. Vlastnosti MNČ: obecně Při splnění G-M předpokladů můžeme tvrdit, že odhady metodou nejmenších čtverců mají některé vlastnosti: nestrannost vydatnost konzistence asymptotická nestrannost asymptotická vydatnost CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 13

1. Vlastnosti MNČ: obecně NESTRANNOST E(b) = β Vychýlená odhadová funkce parametr systematicky podhodnocuje E(b) < β či nadhodnocuje E(b) > β f(b) Nestrannost ß Zdroj: prezentace Zuzana Dlouhá 4EK211 b CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 14

1. Vlastnosti MNČ: obecně VYDATNOST s b je nejnižší ze všech možných postupů (odhadová funkce má nejmenší rozptyl mezi všemi nestrannými odhadovými funkcemi) f(b) Vydatnost ß Zdroj: prezentace Zuzana Dlouhá 4EK211 b CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 15

1. Vlastnosti MNČ: obecně KONZISTENCE (pro velké výběry) hodnota b s rostoucím rozsahem výběru konverguje ke skutečné hodnotě parametru Konzistence n=1000 n=500 p lim n b β f(b) n=200 β Zdroj: prezentace Zuzana Dlouhá 4EK211 b CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 16

1. Vlastnosti MNČ: obecně ASYMPTOTICKÁ NESTRANNOST (pro velké výběry) slabší vlastnost než konzistence p lim E( b) n β Asymptotická nestrannost Je každý konzistentní odhad i asymptoticky nestranný? Je každý asymptoticky nestranný odhad i konzistentní? f(b) n=500 n=200 ß Zdroj: prezentace Zuzana Dlouhá 4EK211 E(b) CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 17

1. Vlastnosti MNČ: obecně ASYMPTOTICKÁ VYDATNOST (pro velké výběry) rozptyl konverguje k nule rychleji v porovnání s jinými konzistentními odhadovými funkcemi f(b) Asymptotická vydatnost n=500 n=200 ß Zdroj: prezentace Zuzana Dlouhá 4EK211 b CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 18

1. Vlastnosti MNČ: obecně Budeme pracovat se skriptem Simulace.R Skript bude na webu, kdybyste si to chtěli doma zkoušet. 1. VYDATNOST: Porovnáme dvě odhadové techniky: MNČ a laický odhad, kdy parametr β 1 odhadneme jako směrnici přímky spojující body s nejnižší a nejvyšší hodnotou x. Porovnejte jejich rozptyl. Který odhad je podle vás nestranný? Který je vydatnější? 2. KONZISTENCE: Pomocí simulace se přesvědčíme, že s rostoucím rozsahem výběru konverguje b 1 ke skutečné hodnotě parametru β 1 Pozn: tohle je bonus, kdo jste nebyli na cvičení a neumíte s R, přijďte, pokud vás to zajímá, a pusťte to z hlavy, pokud vás to nezajímá CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 19

2. Vlastnosti MNČ: Monte Carlo simulace Otevřete soubor Simulace.xlsx (Zdroj: Krkošková, Ráčková, Zouhar: Základy ekonometrie v příkladech, 2010) 1. Vygenerujte hodnoty náhodné složky (funkce NORM.INV) 2. Spočítejte hodnoty Y. 3. Odhadněte parametry regresní přímky (funkce INTERCEPT, SLOPE) 4. Opakujte několikrát a sledujte, jak se mění graf. (klávesa F9) CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 20

2. Vlastnosti MNČ: Monte Carlo simulace 5. Pomocí Tabulky dat zopakujte totéž pro 500 různých výběrů. 6. Podívejte se na histogram četností odhadů b 0, b 1. Připomíná vám nějaké známé rozdělení? CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 21

3. Rozdělení odhadové funkce b Předpokládejme, že náhodná složka má rozdělení: u ~N(0, σ 2 I n ) Rozdělení odhadové funkce b: b ~N(β, σ 2 X X 1 ) Střední hodnota: E(b) ~β Kovarianční matice (pro 1 vysvětlující proměnnou) VAR(b 0 ) COV(b 0, b 1 ) COV(b 1, b 0 ) VAR(b 1 ) CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 22

3. Rozdělení odhadové funkce b Problém je, že rozptyl náhodné složky σ 2 v praxi neznáme. Můžeme jej ale odhadnout z reziduí: n s 2 1 2 = e n k 1 t t=1 Odhad kovarianční matice b pak získáme jako S(b) = s 2 X X 1 Odmocniny diagonálních prvků S(b) jsou tzv. směrodatné chyby (Std. Error, pracovali jsme s nimi v EViews už minule) CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 23

3. Rozdělení odhadové funkce b V sešitu Simulace je list Vyber. V něm je jeden konkrétní výběr při respektování parametrů z předchozí simulace. 1. Najděte odhad rozptylu náhodné složky. 2. Najděte odhad kovarianční matice odhadnutých koeficientů b 0, b 1. 3. Najděte odhady směrodatných chyb odhadnutých koeficientů b 0, b 1. Porovnejte odhad sm. chyb odhadnutých koeficientů b 0, b 1 s údaji zjištěnými během předchozí Monte Carlo simulace. (výsledky: viz samotný Excel) CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 24

3. Rozdělení odhadové funkce b Otevřete si tatáž data v EViews: soubor Vyber.wf1 1. Odhadněte a zapište regresní přímku. 2. Najděte v EViews odhad směrodatné odchylky reziduí. Jak souvisí s RSS? 3. Najděte v EViews odhad směrodatných chyb odhadnutých koeficientů b 0, b 1. 4. Najděte v EViews odhad kovarianční matice odhadnutých koeficientů b 0, b 1. CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 25

3. Rozdělení odhadové funkce b Otevřete si tatáž data v EViews: soubor Vyber.wf1 1. Odhadněte a zapište regresní přímku: y = 3,5 + 10,68x 4. Najděte v EViews odhad kovarianční matice odhadnutých koeficientů b 0, b 1 View Covariance Matrix CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 26

Na doma: Co byste měli umět 1. Jaké jsou G-M předpoklady a co znamenají? 2. Jaké jsou vlastnosti odhadů MNČ? 3. Co tyto vlastnosti přesně znamenají? (co je to přesně vydatnost, jaký je rozdíl mezi konzistencí a asymptotickou nestranností ) 4. Jaké rozdělení má b (za předpokladu normality náhodné složky)? 5. Jak lze odhadnout rozptyl náhodné složky? Jak jej zjistíme z EViews? 6. Jak lze odhadnout kovarianční matici b a jak z ní zjistíme odhady směrodatných chyb? Kde to všechno najdeme v EViews? CVIČENÍ 4 STATISTICKÉ VLASTNOSTI MNČ 27