Z H ~Z P Z H. oblast ticha Z S =-Z H Z S Z P S 0. a) b) c)

Aktivn metody v akustice Ond ej Ji ek letn semestr 2000/2001 Dotazy a p ipom nky na adresu jiricek@fel.cvut.cz Aktivn zen zvuku Interference vln tlum 20 db ) # 4 7 tlum 30 db ) # 2 8 Huygens v princip M. J. M. Jessel 1966 Z H Z H ~Z P oblast ticha Z S =Z H Z S Z P S 0 S 0 Z P S 0 a) b) c) H. Olson 50t l ta lok ln tlumi e cond ej Ji ek, 2001 1

Oblasti aktivn ho zen zvuku Jednorozm rn zvukov pole zvukuvody, potrub Mal uzav en prostory glob ln zen potla ov n m d Velk prostory, voln pole lok ln zen (sni ov n hluku) glob ln zen akustick vazba Aktivn zen vibrac Zm ny innosti vyza ov n akustick energie Hlavn aplikace Potrub tlumi e Tlumen hluku ventil tor Tlumen hluku transform tor P evodovky Aktivn protihlukov bari ry Aktivn absorb ry Vni n hluk automobil Vnit n hluk letadel a vrtuln k Aktivn chr ni e sluchu Tlumen kmit n (budovy, nosn konstrukce...) Aktivn metody 1. V hody inn na n zk ch frekvenc ch Mal rozm ry 2. Nev hody Nutn dr ba Cena za po zen a provoz Nevhodn pro vysok frekvence Jen pro n kter typy zdroj cond ej Ji ek, 2001 2

Pasivn metody 1. V hody P i vhodn konstrukci velmi trvanliv Obvykle nevy aduje dr bu Velk v b r materi l a variant 2. Nev hody Mal innost na n zk ch frekvenc ch Prostorov n ro n innost je omezena fyzik ln mi vlastnostmi pou it ch materi l Hygienick probl my Fyzik ln princip ANC v potrub Jednorozm rn vlny v potrub bez proud n! @ 2 @t ; @ 2 2 c2 0 p =0 @x 2 p(x t) =Ae i(!t;kx) + Be i(!t+kx) k =!=c 0 S proud n m o rychlosti U D=Dt = @=@t + U @=@x! D 2 Dt ; @ 2 2 c2 0 p =0 @x 2 Proud n lze obvykle zanedbat p(x t) =Ae i(!t;!x=(c 0+U )) + Be i(!t+!x=(c 0;U )) : Podm nka pro jednorozm rn vlny v potrub >1 7d resp. >2h cond ej Ji ek, 2001 3

q(t) =Ae i!t v + = q 2S v ; = ; q 2S v(x) = q 2S e;ikjxj @p @x = ; @v 0 @t p = oc 0 v p(x) = 0c 0 2S qe;ikjxj p p (x) = 0c 0 2S q pe ;ikjxj p s (x) = 0c 0 2S q se ;ikjx;lj p(x) =p p (x)+p s (x) p(x) =0 pro x>l 0 c 0 2S q pe ;ikx + 0c 0 2S q se ;ik(x;l) =0 ) q s = ;q p e ;ikl p(x) = 0c 0 2S q pe ;ikl e ik(l;x) ; e ;ik(l;x) 0 <x<l p(x) = 0c 0 2S q pe ikx 1 ; e ;i2kl x<0 kl = n, L = n=2 ) p(x) =0 x<0 cond ej Ji ek, 2001 4

p(x) = 0c 0 2S q pe ;ikx + 0c 0 2S q s1e ;ik(x;l) + 0c 0 2S q s2e ;ik(x;(l+d)) x>l+ d q s1 = ;q s2 e ;ikd q s2 = ;q p e ;ikl 2i sin kd p p (x) = 0c 0 2S q pe ;ikx (1 + R) p(x) = 0c 0 2S hq p (1 + R)+q s e ikl + Re ;ikli e ;ikx x>l p(x) = 0c 0 2S hq p (1 + R)e ;ikx + q s e ;ik(l;x) + Re ;ik(l+x)i 0 <x<l q s = ;q p 1+R e ikl + Re ;ikl R =1 q s = ; q p cos(kl) f = c 0(2n +1) n =0 1 2 ::: ) q s!1 4L cond ej Ji ek, 2001 5

1 Strategie sni ov n hluku en ho potrub m V p edch zej c kapitole byla shrnuta n kter uspo d n zdroj zvuku ve zvukovodu konstantn ho pr ezu. Pro ka dou variantu jsme odvodili po adavek na objemovou rychlost sekund rn ho zdroje a t m i na akustick tlak sekund rn m zdrojem zp soben. V t to kapitole budou prodiskutov ny strategie, pomoc kter ch se z sk v sign l pro sekund rn zdroj. V echny vahy vych zej z pot eb syst m pro potla ov n hluku v potrub ch a zvukovodech pod mezn frekvenc, av ak v t ina princip m ir platnost. Strategie, kter vedou k potla en zvuku (obvykle hluku) v n jak oblasti potrub, m eme rozd lit do dvou z kladn ch skupin podle toho, odkud se bere sign l, kter je po zpracov n p iveden k sekund rn mu zdroji. Tyto strategie budeme p edev m pro nejednozna nost p ekladu naz vat jejich anglick mi n zvy. V r mci odvozen a vah v t to kapitole budeme p edpokl dat, e jednotliv prvky syst mu ( dic len, m ni e, akustick st) jsou line rn a plat tedy princip superpozice. 1.1 Feedforward\ strategie Tuto strategii pou il u Paul Lueg ve sv m patentu v roce 1936 a jej sch ma je zn zorn no na obr. 1. Referen n sign l x(t), kter p in informaci o hluku, je p iveden do dic ho lenu, kde je upraven tak, aby objemov rychlost dod van sekund rn m zdrojem do zvukovodu odpov dala po adavk m odvozen m v p edchoz kapitole. Chybov mikrofon sn m v sledn zvukov poleaobvykle poskytuje pot ebn sign l pro nastaven dic ho lenu. Figure 1: Jednoduch feedforward\ syst m. 1.1.1 Referen n sign l Z obr zku 1 nen z ejm, jak m zp sobem je z sk v n referen n sign l. Na tom v ak z vis jak n hradn sch ma cel ho elektroakustick ho syst mu, tak dal postup, a proto se t m zab vejme podrobn ji. cond ej Ji ek, 2001 6

Optim ln referen n sign l nen nijak ovlivn n dal m fungov n m syst mu a p edstavme si jej nap. jako sign l z skan nasvork ch reproduktoru, kter je prim rn m zdrojem zvuku. Tato varianta se zd b t vhodn snad pouze pro experimenty s aktivn m sni ov n m zvuku, av ak Conover, kter ji v roce 1956 experimentoval s aktivn m potla ov n m hluku transform tor, ji sp n pou il v praxi, nebo hluk transform tor m charakteristick t nov slo ky dan n sobky s ov frekvence. Jednotliv t nov slo ky nebylo obt n analogov separovat a pak ka dou zvl pat i n f zov oto it a zes lit [7, 9]. Druh m p kladem m e b t potla ov n frekven n ch slo ek harmonick ch k frekvenci ot ek n jak ho stroje. Tyto ot ky je mo no sn mat opticky a d le zpracov vat jako elektrick sign l, kter ji nen ovlivn n dal m d n m v syst mu (nap. zvukem poch zej c m od sekund rn ho zdroje). Tento zp sob byl sp n pou it nap. pro potla ov n hluku ventil tor [17, 27, 29]. Jeli syst m mo no sch maticky zn zornit pomoc obr. 1 a referen n sign l je nez visl, pak syst m lze zn zornit n hradn m sch matem podle obr. 2. Frekven n odezva chybov cesty C(i!) jedenov na jako C(i!) = E(!)! (1) Y (!) tj. za p edpokladu, e sign l D(!) je nulov. Zahrnuje v sob frekven n odezvu A/D a D/A p evodn k, analogov ch ltr, elektroakustick ch m ni a akustick cesty od sekund rn ho zdroje k chybov mu mikrofonu. Frekven n odezva prim rn cesty P (i!) v sob zahrnuje p enos mezi referen n m sign lem a akustick m sign lem vyz en m prim rn m zdrojem, akustickou cestu a frekven n odezvu chybov ho mikrofonu a jeho analogov ch st. Velk p smena zde zna Fourierovy obrazy odpov daj c ch asov ch pr b h. D=0 Figure 2: N hradn sch ma jednoduch ho feedforward\ syst mu. Sign l p ich zej c z chybov ho mikrofonu (nebojin ho senzoru) je pak d n vztahem E(!) =D(!)+G(i!)C(i!)X(!): (2) Uv meli, e plat D(!) =P (i!)s(!) (3) aprosyst m bez umu tak X(!) =S(!) (4) pak chybov sign l je d n vztahem E(!) =[P (i!)+g(i!)c(i!)]s(!): (5) cond ej Ji ek, 2001 7

Z po adavku nulov ho chybov ho sign lu E(!) = 0, kter odpov d potla en zvuku v m st chybov ho sn ma e, snadno odvod me po adavek na frekven n odezvu dic ho lenu 1.1.2 Zp tn vazba G(i!) =; P (i!) C(i!) : (6) V p edchoz m odstavci jsme p edpokl dali, e m me k dispozici referen n sign l x(t), kter je korelovan s prim rn m zdrojem a jinak je zcela nez visl na fungov n syst mu. Takov to sign l je a na n kter ji zm n n a jim podobn p pady nedostupn 1. Referen n sign l je sn m n m ni em (nej ast ji mikrofonem), um st n m v bl zkosti prim rn ho zdroje. Takov syst m je zn zorn n na obr. 3. Figure 3: Feedforward\ syst m, kter z k v referen n sign l pomoc mikrofonu Hlavn m rozd lem proti syst mu uva ovan mu v minul m odstavci je skute nost, e referen n mikrofon nesn m jen sign l z prim rn ho zdroje, ale tak sign l ze sekund rn ho zdroje. Je zde tedy zp tn vazba charakterizovan frekven n odezvou F (i!), kter m e m t na fungov n syst mu negativn dopad. N hradn sch ma odpov daj c takov mu syst mu je zn zorn no na obr. 4. 2 V tomto sch matu je oproti jednodu variant zobrazen na obr. 2 zn zorn n krom zp tn vazby od sekund rn ho zdroje k referen n mu mikrofonu tak vliv umu na obou sn ma ch. Sign l p iv d n referen n m mirofonem do dic ho lenu je pops n vztahem X(!) =S(!)+F (i!)y (!)+N 1 (!) (7) 1 Zaj mavou variantou z sk v n nez visl ho irokop smov ho referen n ho sign lu vyna el Dines, kter zjistil, e uktuace intenzity sv tla plamene ho ku vhodn vlnov d lky jsou korelovan s akustick m tlakem generovan m t mto plamenem [7]. 2 Zp tn vazba je v tomto sch matu p ipojena p ed p enosovou funkc C, kter charakterizuje p enos od v stupu dic ho lenu k v stupu chybov ho mikrofonu. V n kter literatu e je po tek zp tn vazby zn zor ov n za t mto l nkem. Ve skute nosti je v ak n kde uprost ed, av ak za p edpokladu LTI syst mu jsou v sledky anal zi shodn. cond ej Ji ek, 2001 8

Figure 4: N hradn sch ma feedforward\ syst mu se zp tnou vazbou. kde N 1 (!) je um na referen n m sn ma i. V stup z chybov ho sn ma e je pops n vztahem E(!) =P (i!)s(!)+c(i!)y (!)+N 2 (!) (8) kde N 2 (!) je um na chybov m mikrofonu. Uva ujme nejprve pouze zp tnou vazbu. Ve vztaz ch (7) a (8) tedy chyb umov leny. Dosazen m Y (!) =G(i!)X(!) dot chto vztah z sk me aodtud X(!) = S(!) 1 ; F (i!)g(i!) " E(!) =S(!) P (i!)+ C(i!)G(i!) # 1 ; F (i!)g(i!) (9) : (10) Po adujemeli nulov chybov sign l, pak frekven n odezva dic ho syst mu mus b t d na vztahem P (i!) G(i!) =; C(i!) ; P (i!)f (i!) (11) kter p i nulov zp tn vazb p ejde na vztah (6). Stabilita syst mu m e b t zkoum na pomoc pom ru E(!)=S(!), kter snadno z sk me z rovnice (10). Odtud vid me, e obt e se stabilitou nastanou pro 1 ; F (i!)g(i!)=0: (12) Pro dal anal zu je vhodn zav st zd nliv dic len, do kter ho je zahrnut zp tnovazebn len ajetedy denov n vztahem H(i!) = Y (!) U(!) = G(i!) 1 ; G(i!)F (i!) (13) kde U(!) = S(!) +N 1 (!) je za um n sign l na vstupu referen n ho sn ma e. frekven n odezva dic ho lenu je se zd nliv m pak sv z na vztahem G(i!) = Skute n H(i!) 1+F (i!)h(i!) : (14) cond ej Ji ek, 2001 9

V sledkem zaveden zd nliv ho dic ho lenu je sch ma shodn se sch matem podle obr. 2 s t m, e na m st ltru G(!) jezd nliv ltr H(!). C lem je minimalizovat st edn kvadratickou hodnotu chybov ho sign lu, kter v ak ji vzhledem k umu nemus b t nulov ajereprezentov na v konovou spektr ln hustotou S ee (!) =E[E (!)E(!)] (15) kde E[] je oper tor st edn hodnoty a zna komplexn dopln k. Zaveden m v konov ch spektr ln ch hustot sign lu a umu S ss (!) a S n1 n 1 (!) do vztah pro optim ln dic len se d dok zat skute nost, e na nastaven takov ho dic ho lenu m vliv pouze um na referen n m sn ma i [7, 15]. Denujemeli pom r sign l/ um SNR(!) (z anglick ho signaltonoise ratio) pro referen n sign l jako SNR(!) = S ss(!) S n1 n 1 (!) (16) pak optim ln zd nliv dic len bude m t frekven n odezvu d nu vztahem [7] H opt (i!) =; SNR(!) P (i!) 1+SNR(!) C(i!) : (17) Tento vztah p i v konu umu N 1 jdouc mu k nule p ejde na vztah (6). Frekven n odezvu skute n ho dic ho lenu pak z sk me pomoc vztahu (14). Takto ur en optim ln dic len je t nemus j t zkonstruovat, v sledn ltr m e b t nekauz ln. V po et v konov ch spektr ln ch hustot nav c p edpokl d stacion rn sign ly, co je, zejm na pokud pot ebujeme tlumit obecn umy, dal omezen. 1.2 Feedback\ strategie Tato strategie je zn m z elektrotechniky a pro ANC ji poprv pou ili Olson a May (1953) ve sv m elektronick m absorb ru zvuku, kter byl pl nov n pro sni ov n hluku v okol hlavy pasa ra v letadle nebo automobilu. Uva ovali tak jej vyu it v oblasti pracovn ho hluku. Dal aplikac, o kter Olson a May uva ovali, bylo sni ov n hluku vyza ovan ho z v fuku automobilu nebo klimatiza n soustavy. Zde si uvedeme pro ilustraci variantu aktivn ho tlumi e v potrub, kter je zn zorn n na obr. 5. V tomto syst mu je dic prvek G nastavov n tak, aby se minimalizovala v konov spektr ln hustota na mikrofonu, kter pln lohu jak chybov ho, tak referen n ho mikrofonu. N hradn sch ma takov hoto syst mu je zn zorn no na obr. 6, kde C je p enosov funkce (resp. frekven n odezva) mezi vstupem reproduktoru a v stupem mikrofonu a zahrnuje v sob jak elektroakustick vlastnosti obou m ni, tak akustick p enos mezi nimi. Cesta od vstupu reproduktoru po v stup mikrofonu se naz v sekund rn nebo chybov cesta (mikrofon pln i funkci chybov ho mikrofonu). Chybov sign l je pak d n vztahem 1 E(!) =D(!) 1 ; G(i!)C(i!) : (18) cond ej Ji ek, 2001 10

Figure 5: Feedback\ syst m v potrub Figure 6: N hradn sch ma feedback\ syst mu P edpokl d meli, e prim rn sign l je n hodn sign l s v konovou spektr ln hustotou S dd (!), v konov spektr ln hustota chybov ho sign lu bude d na vztahem 1 S ee (!) =S dd (!) j1 ; G(i!)C(i!)j : (19) 2 Chcemeli dos hnout maxim ln ho potla en, pot ebujeme minim ln S ee (!) a tedy maxim ln hodnotu jmenovatele j1 ; G(i!)C(i!)j 2. Pokud by sekund rn cesta m la frekven n odezvu C(i!) bez f zov ho posuvu a relativn hladkou, frekven n odezva dic ho prvku by byla d na vztahem H(i!) = ;A, tj. vhodn zes len sign l oto en o180. To lze pom rn snadno realizovat pomoc invertuj c ho zesilova e. Av ak p edev m klasick roproduktory vn ej do sekund rn cesty f zov posuv (zejm na v bl zkosti jejich rezonan n frekvence) a akustick st sekund rn cesty p id v rostouc f zi s rostouc frekvenc. Frekven n odezva sekund rn cesty proto bude v dy obsahovat f zov posuv. P ibl li se f zov posuv 180 z porn zp tn vazba se zm n na kladnou a syst m m e b t nestabiln. Tento nedostatek je mo no do jist m ry kompenzovat pomoc vhodn ho kompenza n ho ltru. Jak vypl v z p edchoz ho, syst m podle obr. 5 lze pom rn snadno realizovat analogov a dodnes se stav j syst my s analogovou dic jednotkou. Nejzn m j dnes u komer n dostupnou realizac jsou aktivn chr ni e sluchu a tlumi e hluku v podhlavn ku sedadel. Ty dnes dosahuj sn en akustick ho tlaku o 1015 db pro frekvence od 30 do 500 Hz [11]. cond ej Ji ek, 2001 11

Feedback\ strategie pro potla ov n hluku v potrub se dnes pou v nej ast ji ve form hybridn ch absorb r, kter spojuj pasivn tlumi e s aktivn m prvkem. Ty mohou b t na b zi analogov ch zp tnovazebn ch obvod (nap. [18]) nebo digit ln. V p pad digit ln ho proveden je t eba m t na pam ti, e p enosov funkce C v sob zahrnuje tak p enos nezbytn ch antialiasingov ch ltr a p evodn k. 2 Adaptivn dic syst m pro ANC V p edch zej c kapitole jsme si uvedli dv z kladn strategie u van p i aktivn m sni ov n hluku (ANC). Ve v ech p padech je snahou z skat optim ln dic len, kter se vyzna uje t m, e v m st chybov ho mikrofonu je minim ln (pokud mo no nulov ) zvukov pole. U feedback strategie jsme zm nili tak mo nost analogov realizace syst mu. I feedforward strategie p ipou t analogovou realizaci, av ak v dne n dob se d ky bou liv mu rozvoji digit ln techniky a zejm na sign lov ch procesor v t ina dic ch len realizuje digit ln. Digit ln dic len m proti analogov mu adu v hod. Adaptace na zm ny syst mu prob h v sign lov m procesoru (DSP) sou asn s ltrac a koecienty ltr lze snadno inovovat. P esnost v po t je obvykle vy ne p esnost ostatn ho zpracov n a proto nezan do syst mu dnou v znamnou chybu. DSP jsou velmi stabiln v porovn n s analogov mi stmi syst mu. Nev znamn nen ani prudk pokles ceny procesor v posledn ch letech. V digit ln m proveden je dic len digit ln ltr. Tento text si neklade za c l zab vat se principy digit ln ltrace, a proto si zde uvedeme jen informace d le it pro ANC. Z vislosti na ase t a frekvenci!, se kter mi jsme pracovali v p edch zej c ch kapitol ch, se zm n v z vislost na diskr tn m ase n (kter obvykle odpov d po ad vzorku) akomplexn prom nn z vypl vaj c z transformace z 3. 2.1 FIR a IIR ltry Digit ln ltr, jeho impulsn odezva je nulov po n jak m kone n m po tu krok, se naz v ltr s kone nou impulsn odezvou. O takov m ltru budeme hovo it jako o FIR ltru (podle anglick ho nite impulse response). Jeho v stup je d n v en m sou tem I p edchoz ch vzork na jeho vstupu y(n) = I;1 X i=0 g i x(n ; i) (20) kde g i jsou koecienty ltru, x(n) je vstupn ada vzork, y(n) jev stupn ada vzork a n je diskr tn as. Uve me si z kladn vlastnosti FIR ltr : 1. Pro kone n koecienty jsou v dy stabiln. 2. F zov odezva odpov d prost mu zpo d n a k me, e jejich f ze je line rn. 3. Zm ny frekven n odezvy zp soben mal mi zm nami koecient jsou mal a snadno predikovateln. 3 V po et frekven n charakteristiky p enosov funkce LTI syst mu z sk me dosazen m z = e i!t, kde T je perioda vzorkov n. cond ej Ji ek, 2001 12

Filtr, kter je implementov n na z klad vztahu (20), se v literatu e n kdy naz v MA ltr (moving average). Digit ln ltr, jeho impulsn odezva nen nikdy nulov pokone n m po tu krok, se naz v ltr s nekone nou impulsn odezvou. O takov m ltru budeme hovo it jako o IIR ltru (podle anglick ho innite impulse response). Jeho v stup je d n v en m sou tem I p edchoz ch vzork na jeho vstupu a posledn ch K vzork na jeho v stupu y(n) = I;1 X i=0 g i x(n ; i)+ KX k=1 b k y(n ; k) (21) kde prvn suma je shodn s p edpisem pro FIR ltr a b k jsou koecienty rekurzivn sti. Z kladn vlastnosti IIR ltr lze shrnout do n sleduj c ch bod : 1. Nemus b t v dy stabiln. 2. Jejich f ze nem e b t line rn. 3. Mal zm ny koecient b k mohou zp sobit velk zm ny frekven n odezvy. IIR ltr, kter je implementov n na z klad vztahu (21), se v literatu e n kdy naz v ARMA ltr (autoregressive moving average). Z kladn rozd l mezi FIR a IIR ltry spo v v tom, e pro dosa en po adovan p enosov funkce je p i pou it FIR ltru pot eba v ce koecient ne p i pou it IIR ltru. Pro praktick realizace v ak ot zka stability b v asto kl ov, proto v na ich dal ch vah ch budeme p edpokl dat FIR ltry, pokud nebude uvedeno jinak. 2.2 Adaptivn ltry Akustick a elektroakustick parametry syst mu se obvykle m n, s t m se m n i odpov daj c frekven n odezvy ve sch matech uveden ch v kapitole 1. Z toho vypl v, e pro dosa en nulov ho akustick ho tlaku v m st chybov ho mikrofonu bude nutno m nit tak parametry dic ho lenu, kter jsme u digit ln ch syst m p edpokl dali ve form digit ln ho ltru. M li b t cel syst m vhodn pro pou it v praxi, je z ejm, e dic len by m l b t schopen samostatn reagovat na zm ny akustick ch parametr syst mu a proto bude realizov n jako adaptivn ltr. Nejprve p edpokl dejme jednoduch syst m podle obr. 7, ve kter m je referen n ada vzork x(n) zpracov na adaptivn m ltrem s I koecienty g i a v sledn sign l je ode ten od po adovan ho sign lu d(n). V sledkem je ada chybov ch vzork e(n) =d(n) ; I;1 X i=0 g i x(n ; i): (22) C lem je zvolit koecienty ltru g i tak, aby hodnoty chybov ch vzork byly minim ln. Nej ast ji pou van m krit riem, podle kter ho se hodnot, zda jsou koecienty ltru nastaveny cond ej Ji ek, 2001 13

d(n) g i + x(n) y(n) e(n) Figure 7: Sch ma obecn lohy pro digit ln ltraci. optim ln, je st edn hodnota druh mocninychybov ho sign lu E[e 2 (n)]. Hled meli minimum t to funkce 4 vyjdeme z jej ho gradientu @E[e 2 (n)] @g k =2E " e(n) @e(n) # = ;2E[e(n)x(n ; k)]: (23) @g k Ten se mus v jej m minimu rovnat nule. Dosazen m vztahu (20) do v razu pro gradient (23) obdr me R xd (k) ; I;1 X i=0 g i R xx (k ; i) =0 k =0 1 2 ::: I ; 1 (24) kde R xd (m) =E[x(n)d(n+m)] je vz jemn korela n funce mezi sign ly x(n)ad(n)ar xx (m) = E[x(n)x(n+m)] je autokorela n funkce pro sign l x(n). T mto jsme denovali soustavu rovnic, kter p edstavuje WienerovuHopfovu rovnici pro diskr tn as. Takto z skan koecienty g i jsou optim ln a ltr s t mito koecienty se naz v Wiener v ltr 5. Gradient n jak funkce p edstavuje vektor, kter m ve sm ru nejv t zm ny. Nejjednodu metoda vyhled n optim ln ch koecient g i se naz v metoda nejv t ho sp du (method of steepest descent) ajepro it koecient d na p edpisem g i (n +1)=g i (n) ; @E[e2 (n)] @g i j gi =g i (n) (25) kde je konvergen n koecient. Gradient v tomto vztahu m eme upravit pomoc vztahu (23), av ak z skan postup p edpokl d zdlouhav v po et st edn hodnoty v ka d m kroku. Widrow a Ho v edes t ch letech navrhli nahradit jeho v po et jednoduch m odhadem a t m vznikl LMS algoritmus (z anglick ho Least Mean Squares) dan p edpisem g i (n +1)=g i (n)+e(n)x(n ; i) pro v echna i (26) kde je konvergen n koecient a g i (n) je it koecient FIR ltru v ase nt ho vzorku. Sch ma ltru popsan ho p edpisem (26) je na obr zku 8. Konvergen n vlastnosti LMS algoritmu jsou dob e zn my z mnoha oblast pou it adaptivn ch ltr a pro konvergen n koecient se pou v krit rium 0 << 1 IE[x 2 (n)] (27) kter zajist, e ltr bude konvergovat k Wienerovu ltru. St edn hodnota druh mocniny referen n ho sign lu E[x 2 (n)] vyn soben po tem koecient ltru I je m rn energii obsa en 4 V literatu e se n kdy naz v elov funkce (cost function) nebo chybov povrch (error surface). 5 Podrobnosti nalezneme nap. v[7,19]. cond ej Ji ek, 2001 14

g i d(n) + x(n) y(n) e(n) Figure 8: Adaptivn ltr s LMS adaptac. v sign lu. Konvergen n koecient bl c se prav stran nerovnosti (27) zajist sice nejrychlej dosa en optim ln ho ltru, ale pro prud zm ny syst mu (nap. zp soben proud n m vzduchu) m e v st k nestabilit. Proto pro praktickou realizaci bereme 0 01 IE[x 2 (n)] << 0 1 IE[x 2 (n)] : (28) LMS algoritmus nen zdaleka jedin algoritmus, kter umo uje dos hnout optim ln ho Wienerova ltru. Na tomto m st jmenujme alespo RLS algoritmus (Recursive Least Squares), kter se od LMS algoritmu li v po tem konvergen n ho kroku v ka d iteraci. To zp sob, e RLS algoritmus konverguje stejn rychle pro r zn typy sign l [19] a jednotliv kroky adaptace m p mo do minima krit ria (23). Nev hodou tohoto algoritmu jev ak p edev m vy v po etn n ro nost. N kter posledn studie tak uk zaly, e tento algoritmus m hor v sledky pro nestacion rn sign ly. Pro plnost zde uve me je t rekurzivn LMS algoritmus (n kdy zna en RLMS), kter je obdobou LMS pro rekurzivn st IIR ltr. Je d n p edpisem b i (n +1)=b i (n)+e(n)y(n ; i) pro v echna i (29) kde je konvergen n koecient a b i (n) je it koecient IIR ltru v ase nt ho vzorku. Konvergen n koecient se obvykle vol desetkr t men ne. 2.3 Pou it LMS algoritmu pro ANC v potrub V tomto odstavci se zab vejme pou it m uveden ch algoritm p i potla ov n hluku en ho zvukovodem i potrub m. Nejprve budeme p edpokl dat situaci zn zorn nou na obr. 1 v kapitole 1. P edpokl dejme, e koecienty ltru jsou aktualizov ny se stejnou frekvenc, s jakou jsou sb r ny vzorky A/D p evodn kem na vstupu dic ho lenu. Tedy po odebr n nov ho vzorku a v po tu nov ho v stupn ho vzorku jsou tak spo teny nov koecienty podle vztahu (26) (ev. vztahu (29)). P edpokl dejme, e diskr tn syst m je pops n sch matem na obr. 9 (kter je obdobou syst mu podle obr. 2). P enosov funkce prim rn cesty P (z) v sob zahrnuje akustick p enos od prim rn ho sn ma e k chybov mu mikrofonu, ale tak elektrick vlastnosti obou sn ma a eventu ln elektroniky 6. I kdy je mo n jednotliv p enosy s r znou p esnost m it nebo predikovat, o prim rn cest p edpokl dejme, e je nezn m (ne v ak libovoln ). 6 Ot chto p enosov ch funkc ch v cel m textu p edpokl d me, e jsou line rn. cond ej Ji ek, 2001 15

x(n) P(z) y(n) d(n) + G(z) Figure 9: Blokov sch ma jednoduch ho ANC syst mu s LMS adaptac. Porovn n m se shodn m sch matem v minul kapitole vid me, e adaptivn ltr G(z) pro dosa en nulov hodnoty chybov ho sign lu mus modelovat prim rn cestu P (z) a p evr cenou hodnotu chybov cesty a tedy optim ln je pops n vztahem G(z) = P (z) : (30) Jsouli p enosov funkce prim rn a chybov cesty racion ln funkce, pak i p enosov funkce G(z) bude racion ln. Pokud je adaptivn ltr realizov n jako FIR ltr, je k dobr aproximaci funkce 1= pot eba, aby jeho d (po et koecient ) byl dostate n. Princip kauzality p id v dal d le it omezen : nen mo n kompenzovat irokop smov um (tj. n hodn sign l), pokud zpo d n zp soben elektroakustick mi a elektrick mi leny v sekund rn cest nen men ne zpo d n v prim rn (akustick ) cest. Vzd lenost mezi referen n m sn ma em a sekund rn m zdrojem je nutno volit tak, aby tato podm nka byla spln na 7. Za azen chybov cesty za adaptivn ltr G(z) p edstavuje zm nu proti klasick mu LMS algoritmu odvozen mu v odstavci 2.2, kter m vliv na konvergenci a t m i na stabilitu cel ho syst mu. Zde si uvedeme dv e en tohoto probl mu. 2.3.1 FXLMS algoritmus Prvn e en v e zm n n ho probl mu je zn zorn no na obr. 10. Princip spo v v tom, e sign l je v r mci digit ln ho zpracov n ltrov n nejen adaptivn m trem G(z), ale tak kompenza n m ;1 ltrem ^C (z), jeho p enosov funkce je inverzn k. Po adavky na kompenza n ltr vypl vaj z p enosov ch funkc elektronick ch st syst mu (p edev m reproduktoru) a pro n kter kongurace jej nemus b t mo n realizovat. Tato jednoduch varianta pracuje velmi dob e pro harmonick sign ly, kdy sta dos hnout dostate n shody pro diskr tn frekvence 8. Dal varianty e en na tomto principu, v etn uva ov n zp tn vazby, jsou pops ny v [7]. 7 Odhad minim ln vzd lenosti pro zvukovod pod mezn frekvenc najdeme nap. v[7]. 8 Na e experimenty uk zaly, e f ze mus b t nastavena podobn jako pro FXLMS s chybou pouze men ne =2. cond ej Ji ek, 2001 16

x(n) P(z) d(n) y(n) + e(n) G(z) C 1 (z) Figure 10: Jednoduch ANC syst m s kompenzac chybov cesty. Druh e en probl mu zm n n ho na konci minul ho odstavce navrhl Widrow (viz nap. [16]) a nez visle na n m Burgess [20] a je sch maticky zn zorn no na obr. 11. Aby byla zaji t na konvergence LMS algoritmu, je referen n sign l x(n) proltrov n ltrem odpov daj c m odhadu chybov cesty. Tato metoda je ozna ov na FXLMS podle anglick ho lteredx LMS. D vody, kter vedly k tomuto e en jsou p ehledn shrnuty v[15].v sledkem je, e pro LMS adaptaci je pou it nov referen n sign l x 0 (n) akoecienty ltru jsou d ny p edpisem g i (n +1)=g i + e(n)x 0 (n ; i): (31) Tento algoritmus je nav c velmi tolerantn v i p esnosti odhadu p enosov funkce ^. Morgan nap. uk zal, e p i dostate n pomal adaptaci algoritmus konverguje i pro odhady, jejich f ze se od skute n li o t m 90. x(n) P(z) d(n) y(n) + e(n) G(z) x (n) Figure 11: ANC syst m vyu vaj c FXLMS algoritmus. Ukazuje se, e ANC syst m zalo en na FXLMS podle obr. 11 je vhodn pro aktivn sni ov n irokop smov ho hluku pod mezn frekvenc s t m, e je t eba splnit v e zm n n cond ej Ji ek, 2001 17

po adavky na kauzalitu. Potla ov n umu nad mezn frekvenc nen mo n realizovat jednokan lov m syst mem [15, 21, 23]. 2.3.2 Oline identikace Zab vejme se nyn metodami z sk n odhadu p enosov funkce ^, kter je nezbytn pro dobrou konvergenci FXLMS algoritmu. Jedna z mo n ch metod je zn zorn na na obr. 12. D ve ne je spu t n samotn adaptivn algoritmus pro potla ov n ne douc ho hluku, prob hne f ze u en, ve kter se zm p enosov funkce ^. Proto e f ze u en prob h odd len od aktivn ho tlumen, naz v se tento zp sob identikace syst mu oline. Figure 12: Adaptivn oline identikace. Z obr. 12 je patrn, e do p enosov funkce chybov cesty p isp vaj A/D a D/A p evodn ky, antialiasingov ltr chybov ho mikrofonu a rekonstruk n ltr sekund rn ho zdroje, zesilova e, p enosov funkce elektroakustick ch m ni a akustick p enosov cesta. Pou ijemeli jako zdroj identika n ho sign lu zdroj b l ho umu 9, bude adaptivn ltr pomoc klasick ho 9 N kdy se tak vyu v p smov um nebo um proltrovan ltrem, kter odpov d antialiasingov m ltr m v syst mu. Vhodn se jev tak MLS sign ly. cond ej Ji ek, 2001 18

LMS konvergovat k pot ebn mu odhadu p enosov funkce ^. Jeho koecienty pak sta p ekop rovat do ltru ve sch matu FXLMS (obr. 11). Vyhledem k n zk m po adavk m na p esnost ur en p enosov funkce chybov cesty m e b t f ze u en pom rn kr tk. Na p padn zm ny charakteristik jednotliv ch len v ak nen schopen reagovat. Je tedy po n jak m ase t eba zopakovat f zi u en. Syst m vyu vaj c oline identikace p edstavila v komer n m proveden rma Digisonix, kter do sv ho dic ho algoritmu zakomponovala tak zesilov n a zeslabov n identika n ho umu v z vislosti na konvergen n ch vlastnostech adaptivn ho ltru. M n li se p enosov funkce chybov cesty (p edev m jej f ze) s asem v znamn ji, nebude takto navr en oline identikace vhodn. Druhou nev hodou t to metody je, e ve f zi u en p id v dosyst mu dal hluk. 2.3.3 Online identikace Na rychlej zm ny chybov cesty mus syst m reagovat v re ln m ase. K tomu jevhodn online identikace, kter prob h soub n s aktivn m tlumen m pomoc adaptivn ho ltru G(z). Nejjednodu metoda online identikace je zn zorn na na obr. 13. V stup z adaptivn ho ltru G(z) slou tak jako referen n sign l pro druh LMS algoritmus, kter zaji uje adaptaci p enosov funkce ^. Vytv tak odhad ^y0 (n), kter se s t s chybov m sign lem e(n) a v sledek se pak pomoc tohoto LMS minimalizuje. V sledn koecienty ltru se pak p ekop ruj do tlum c ho algoritmu. x(n) P(z) d(n) y(n) y (n) + e(n) G(z) x (n) y (n) + Figure 13: Jednoduch adaptivn online identikace navr en Widrowem a Stearnsem [16]. Takto navr en e en m jednu v raznou nev hodu: Jak z podrobn j anal zy [15], tak p mo z obr. 13 vypl v, e identika n LMS algoritmus m e konvergovat k trivi ln mu e en ^ = 0. Tento nedostatek lze odstranit p id n m nekorelovan ho umu k sign lu y(n), t m se n m vr t jedna z nev hod oline identikace. cond ej Ji ek, 2001 19

S n r stem v po etn ho v konu pou van ch dic ch len se jako optim ln zd metoda, kter vych z z celkov ho adaptivn ho modelov n. Jej princip je schematicky zn zorn n na obr. 14. x(n) P(z) d(n) y(n) + e(n) G(z) x (n) P(z) e(n) + + Figure 14: pln adaptivn online identikace. Cel ANC syst m obsahuje t i adaptivn ltry vyu vaj c LMS. Krom hlavn ho ltru G(z) jsou zde dal dva ltry, z nich prvn modeluje prim rn cestu P (z) a druh chybovou cestu. Sou et sign l proch zej c t mito odhady prim rn a chybov cesty je odhadem chybov ho sign lu ^e(n). Rozd l skute n ho a odhadnut ho chybov ho sign lu je vhodn sign l pro adaptaci obou pomocn ch LMS. Stabilita tohoto algoritmu z vis na konvergen n ch koe cientech jednotliv ch LMSanapo te n ch hodnot ch adaptivn ch ltr. Obecn lze ci, e hlavn adaptivn ltr G(z) by m l konvergovat nejpomaleji. dic len vyu vaj c obdobn ho algoritmu byl pou it v experiment ln sti t to pr ce a jeho modikaci najdeme tak nap. v [17]. cond ej Ji ek, 2001 20

2.3.4 Kompenzace akustick zp tn vazby V odstavci 1.1.2 minul kapitoly jsme se zab vali probl my spojen mi s akustickou zp tnou vazbou. Pro spr vnou funkci FXLMS algoritmu je t eba vliv t to zp tn vazby minimalizovat. Vliv akustick zp tn vazby lze kompenzovat p id n m vhodn ho ltru do dic ho lenu. Sch ma takov ho syst mu je na obr. 15. x(n) P(z) d(n) + e(n) + + F(z) F(z) G(z) x (n) Figure 15: Metoda kompenzace akustick zp tn vazby. Takto sestaven syst m vy aduje odhad zp tn vazby ^F (z), kter lze z skat nap klad pomoc oline identikace shodn s identikac chybov cesty (viz obr. 12). Existuj n vrhy syst m, kter prov d j ob identikace najednou. Oline identikace zp tn vazby m stejn nev hody jako oline identikace chybov cesty. Nab zej se r zn e en na pasivn m principu, kter vyu vaj sm rov ch vlastnost jak referen n ho sn ma e, tak sekund rn ho zdroje. Sm rovost lze tak zajistit pomoc pol sn ma, resp. sekund rn ch zdroj. Jednu z variant sekund rn ho zdroje vyza uj c ho pouze ve sm ru od prim rn ho zdroje navrhl Swinbanks a jej fyzik ln princip spo vaj c v dvojici sekund rn ch zdroj je shrnut v vodn kapitole. Chov n v t ho po tu sekund rn ch zdroj modelovali Guicking a Freienstein [14]. Nev hodou tohoto e en je, e innost takov ho za zen je z visl na vzd lenosti sekund rn ch zdroj (kter je z visl na rozm rech pou it ch m ni ) a je obt n vytvo it zdroj s dobrou sm rovost v dostate n irok m frekven n m p smu. Hamada navrhnul pou it dvou referen n ch mikrofon, kdy druh identick referen n mikrofon je um st n na druh stran sekund rn ho zdroje ve stejn vzd lenosti. V praxi se v ak uk zalo, e eventu ln nesymetrie v akustick m i elektroakustick m p enosu znemo uje cond ej Ji ek, 2001 21

konvergenci k optim ln m koecient m ltru G(z). Nejjednodu ste n potla en zp tn vazby se d realizovat pomoc pasivn ho tlumi e za azen ho mezi referen n sn ma a sekund rn zdroj a pro mnoho aplikac se jev jako dostate n. References [1] Jessel, M.J.M., Traduction du principe de Huygens en acoustique lin aire, Compte Rendus Acad. Sci. Paris, Vol. 262, 13211324, 1966. [2] Olson, H.F., May, E.G., Electronic Sound Absorber, J. Acoustical Soc. Am., 25(6), 1130 1136, 1953. [3] Munjal, M.L., Acoustics of Ducts and Muers, John Wiley & Sons, New York, 1987. [4] Mason, V., Some experiments on the propagation of sound along a cylindrical duct containing owing air, J. Sound Vib., 10(2), 208226, 1969. [5] Pierce, A.D., Acoustics An Introduction to Its Physical Principles and Applications, Acoustical Society of America, New York, 1991. [6] Kvasnica, J., Matematick apar t fyziky, Academia, Praha, 1989. [7] Nelson, P.A., Elliott, S.J., Active Control of Sound, Academic Press, London, 1992. [8] Tokhi, M.O., Leitch, R.R., Active Noise Contol, Oxford University Press, New York, 1992. [9] Angevine O.L., Active Systems for Attenuation of Noise, Int. J. of Active Control, 1(1), 6578, 1995. [10] Tich, J., Applications for active control of sound and vibration, Proc. of InterNoise'95, 1728, Newport Beach, 1995. [11] Elliott, S.J., Nelson, P.A., Active Noise Control, IEEE Signal Processing Magazine, 1235, October 1993. [12] Winkler, J., Elliott, S.J., Adaptive Control of Broadband Sound in Ducts Using a Pair of Loudspeakers, Acustica, 81, 475488, 1995. [13] Swinbanks, M.A., The active control of sound propagating in long ducts, J. Sound Vib., 27, 411436, 1973. [14] Guicking, D., Freienstein, H., Broadband active sound absorption in ducts with thinned loudspeaker arrays, Proc. of ACTIVE 95, 371382, Newport Beach (USA), 1995. [15] Kuo, S.M., Morgan, D.R., Active Noise Control System Algorithms and DSP Implementations, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996. [16] Widrow, B., Stearns, S.D., Adaptive Signal Processing, Englewood Clis, PrentienceHall, 1985. cond ej Ji ek, 2001 22

[17] G.C. Lauchle, J.R. MacGillivray, D.C. Swanson, \Active control of axialow fan noise", J. Acoust. Soc. Am., 101(1), 341349, 1997. [18] Irrgang, S.,\Optimisation of active absorbers in rectangular ducts", Proc. of Active 97, 255264, Budapest, 1997. [19] Uhl, J., Sovka, P., slicov zpracov n sign l, Vydavatelstv VUT, Praha, 1995. [20] Burgess, J.C., \Active adaptive sound control in a duct: A computer simulation", J. Acoust. Soc. Am., 70, 715726, 1981. [21] Zander, A.C., Hansen, C.H., \Active control of higherorder acoustic modes in ducts", J. Acoust. Soc. Am., 92(1), 244257, 1992. [22] Wu, Z., Varadan, V.K., Varadan, V.V., \Timedomain analysis and synthesis of active noise control system in ducts", J. Acoust. Soc. Am., 101(3), 15021511, 1997. [23] Joseph, P., Nelson, P.A., Fisher, M.J., \Active control of turbofan radiation using an induct error sensor array", Proc. of Active 97, 273286, Budapest, 1997. [24] Laugesen, S., Johannesen, P.T., \Experimental study of an active control system for multimodal sound propagation in ducts", Proc. of Active 95, 441450, Newport Beach, 1995. [25] Bai, M.R., Wu, T., \Study of the acoustic feedback problem of active noise control by using the l 1 and l 2 vector space optimization approaches", J. Acoust. Soc. Am., 102(2), 10041012, 1997. [26] Bai, M., Chen, H., \A modied H 2 feedforward active control system for suppressing broadband random and transient noises", J. Sound and Vibration, 198(1), 8194, 1996. [27] O. Ji ek, P. Kon ek, \Basic study of ANC in an acoustic waveguide", Proc. of Active 97, Budapest, 265272, 1997. [28] O. Ji ek, P. Kon ek, \An experimental study of active control in a duct", Proc. of NoiseCon 97, State College, pp. 93100, 1997. [29] O. Ji ek, P. Kon ek, \Zku enosti s aktivn m sni ov n m hluku v potrub ", Sborn k 55. akustick semin, Kouty, 5362, 1997. [30] O. Ji ek, \Strategie sni ov n hluku en ho potrub m", Sborn k 56. akustick semin, Jet ichovice, 1621, 1997. [31] Ji ek, O.: Aktivn sni ov n hluku v potrub, Habilita n pr ce, VUT, 1998. [32] Ji ek, O., Aktivn sni ov n vy ch m d v potrub, Proc. of 36th Conference on Acoustics/60. akustick semin, 3441, Kouty, 2000. cond ej Ji ek, 2001 23