Pomocník. z matematiky. pre 7.roèník ZŠ. Zošit. a 2.roèník gymnázií s osemroèným štúdiom. pre učiteľa. OrbisPictusIstropolitana Bratislava

Zuzana Berová Peter Bero Pomocník z matematiky pre 7.roèník ZŠ Zošit a.roèník gymnázií s osemroèným štúdiom pre učiteľa OrbisPictusIstropolitana Bratislava

Na zvládnutie problematiky zlomkov v celej šírke považujeme za podstatné zvládnuť úvodné časti čo je zlomok, aká je jeho geometrická interpretácia, aký význam má menovateľ a čitateľ. Preto týmto základným veciam venujeme veľkú pozornosť. Na tejto strane delíme spejeme k menovateľovi (a ku krajším zajtrajškom) na rôzne veľké časti, diskrétne veci, spojité útvary. 1. zošit

Na tejto strane časť z rozdelených častí vyfarbujeme spejeme k čitateľovi (a ešte k lepším pozajtrajškom). 8 Úloha 6d) Úloha 6e) Úloha 6f) Prvýkrát ukazujeme, ako sa dá modelovať zlomok väčší ako 1! Úloha 7 Na tomto príklade ukazujeme niekoľko vecí: propedeutika zjednodušovania zlomkov (napr. zadanie a) : je vyfarbená jedna polovica alebo štyri osminy?); sčitovanie zlomkov (čo dostaneme, keď sčítame vyfarbené a nevyfarbené časti?); pomocné delenie celku na rovnaké diely zadanie f). 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. zošit

Úloha 8 Pozor na vzájomnú polohu bodov Ba! Úloha 10 Nakreslený obrázok môže pomôcť žiakom pri určení správnej odpovede. Pokiaľ žiaci napíšu odpovede (tak ako my), je to správne, ale vyzvite ich, aby sa ich pokúsili zapísať aj iným spôsobom (odvolávajte sa na bežnú prax: všetci predsa vieme, že 1 hodín je polovica dňa a pod.). A = AB 9 A = AB 8 A = 11 AB 7 A = 6 AB = AB Úloha 11 Za základ, samozrejme, považujeme 1 mesiacov. Pri počítaní na dni by veci asi boli zložitejšie, veď mesiace majú rôzne počty dní a podľa toho sú inou časťou roka. Ak to deťom napadne, vysvetlite im to, ak nie, nie je to podstatné. 1 1 1 1 = 1 6 = 1 = 1 8 = 1 1 1 1 1 = 1 6 1 = 1 1 = 1 6 1 = 1 7 1. zošit

0 minút 0 minút Úloha 1 Kreslite podobné obrázky a učte žiakov riešiť príklady pomocou nich. Neskôr nebudú mať problémy so slovnými úlohami. 1 minút 10 minút minút minút dni 0 dní dní 1 dní dní 1 dní 67 eur 1 0 eur 0 60 eur 900 eur 16 eur 90 minút futbal 60 minút hokej 0 minút basketbal 1. zošit

Úlohy na tejto strane sú zoradené od najľahších po ťažšie. Pri prvých úlohách ponúkame obrázok, ktorý pomáha žiakom úlohu vyriešiť. Pri posledných si žiaci musia obrázok nakresliť sami. Učte ich riešiť úlohy o zlomkoch pomocou zmysluplných obrázkov! Jeden takýto obrázok je lepší ako tisíc skvelých postupov, do ktorých žiaci nevidia. Posledný príklad je komplikovanejší tým, že tu sa ťažšie kreslí skutočný počet guľôčok (aj keď ani to nie je nemožné) a žiaci musia zovšeobecňovať. s s s s s s s s s s Hore bol 1 dňa. Nevyfarbené zostali kruhu. Ešte musí urobiť výšivky. výlet Doma zostalo 10 žiakov. kvety Na pestovanie zeleniny určila záhonov. 8 Je to 1 záhonov. a) B= b) B 100:= B M M= M (100 ): = Č=10 Č (100 ):=10 1. zošit 6 Č Z Z=0 Z 100 10=0

Úloha ieľom úlohy je, aby sa žiaci naučili identifikovať zlomky aj v písanom texte. Môžete sa so žiakmi rozprávať o tom, či vedia z textu určiť presný počet žiakov v triede, učiteľov v učiteľskom zbore... Úloha Úloha Úloha Úloha 6 Úloha 7 Úlohy slúžia na to, aby žiaci vedeli určiť, ktoré z čísel zlomku je jeho čitateľom a ktoré jeho menovateľom. 1<<<<<1<< 91>>1>1>1>9>7> 1 7 9 1 11 19 9 1 7 8 1 10 8 8 11 7 1 9 1 1 1 9 8 1. zošit 7

Úloha 1 V tejto úlohe pracujeme s úsečkou ako celkom, ktorý treba rozdeliť na toľko častí, aké číslo je v menovateli zlomku a z nich vyznačiť toľko častí, aké číslo je v čitateli zlomku. Všimnite si so žiakmi, že polovica úsečky, štyri osminy úsečky, dve štvrtiny úsečky je tá istá časť už v nasledujúcej kapitole sa budeme venovať rozširovaniu a kráteniu zlomkov. Úloha Využívame zručnosť z predchádzajúcej úlohy. Teraz za celok považujeme jednotkovú úsečku (teda vzdialenosť obrazu čísla 1 od obrazu čísla nula na jednotkovej osi). Podstatné je, aby si žiaci uvedomili, že pri zlomku, ktorý je väčší ako jedna, budú musieť deliť úsečku medzi obrazom čísla 1 a obrazom čísla na číselnej osi. Úloha Žiaci si môžu prostredníctvom tejto úlohy uvedomiť, že ku každému zlomku vieme nájsť prirodzené číslo, ktoré je najbližšie menšie a najbližšie väčšie ako daný zlomok. Pýtajte sa žiakov, či táto vlastnosť platí pre ľubovoľný zlomok. 1 1 1 1 0 8 9 8 9 11 8 7 1 1. zošit 8 9 8

1 18 10 1 0 16 Úloha 1 Rozšíriť daný zlomok na obrázku vlastne znamená narezať danú časť na viac rovnakých častí. Úloha Trvajte na tom, aby žiaci všade dopísali číslo, ktorým sa rozširuje. ieľom je, aby si žiaci uvedomili, že rozširovať zlomok znamená násobiť čitateľa i menovateľa tým istým číslom. Neustále si to slovne pripomínajte. 6 6 9 1 6 6 10 70 6 7 1 6 8 7 0 100 0 0 1. zošit 9

Úloha Opäť nútime žiakov písať číslo, ktorým delíme čitateľa i menovateľa, aby si uvedomili, čo znamená krátiť zlomok daným číslom. 9 9 9 9 7 1 1 7 7 11 6 6 6 8 6 6 6 9 9 10 10 7 7 10 10 1 9 1 1 1 1 18 9 1 1. zošit 10

,,, 10, 0,, 6, 9, 18,, 9,, 6, 17,, 1, 10,,, 10, 0,, 8, 16 Úloha 9 Pretože žiaci nemajú v rukách nástroje deliteľnosti, hľadanie všetkých riešení môže byť pre niektorých zdĺhavé a nezaujímavé. Preto doporučujeme úlohu zadať ako skupinovú prácu, prípadne ako súťaž: ktorá skupina v najkratšom čase nájde všetky čísla, ktorými sa dajú zjednodušiť zlomky v úlohe.,, 11, 1 7 1 6 10, 1,, 99,, 0, 60 7, 6 0 80 66 6 1 78 90 jeden dva 11 1 11 1 8 1 1,,,, 1. zošit 11

Úloha 1 Úloha 1 Je na vás, či necháte všetkých žiakov upravovať všetky zlomky do základného tvaru. Bez použitia nástrojov deliteľnosti to môže byť pre menej šikovných žiakov v niektorých prípadoch problém (napr. 60/80). Navrhujeme, aby ste zadávanie jednotlivých zlomkov diferencovali, alebo motivovali žiakov špeciálnou prémiou. 7 1 8 1 7 11 6 17 0 10 7 1 7 7 1 7 8 1 6 60 1 0 7 16 9 10 8 6 0 60 1 60 9 0 1 0 6 8 9 8 1 8 16 8 1 86 10 9 10 80 7 80 1 0 1 hodiny 1 kg 1 1 ceny 7 išli na výlet, ostali doma 7 1. zošit 1

6 7 9 1 8 0 8 10 1 9 1 8 1 0 8 0 0 8 1 0 1 0 8 0 18 1 Úloha 16 Ak máte v triede šikovných žiakov a dostatok času, môžete ich naučiť hľadať najmenšieho spoločného menovateľa ako najmenší spoločný násobok menovateľov pomocou rozkladu na súčin prvočísel. Inak budú hľadať žiaci najmenšieho spoločného menovateľa metódou pokus omyl. 1. zošit 1

Úloha V zadaní a) rozdelíme celok na rovnaké časti a čím viac týchto častí vezmeme, tým viac máme. V zadaní b) berieme rovnako veľa častí, ale čím je menší menovateľ, tým je každá z týchto častí väčšia (lebo sme celok delili na menší počet častí), a teda tým viac berieme. Nakreslite si to. Kto chce, iba vypĺňa znaky (ne)rovnosti, kto chce, najprv počíta alebo kreslí, podobne ako v úlohe 1. Kocúr Ide o zovšeobecnenie konkrétnych skúseností, ktoré môže byť pre mnohých náročné. Úloha Riešenie môžu deti nakresliť, alebo môžu zapísať zlomky v správnom poradí, alebo ku každému zlomku napísať jeho poradie... Každý z týchto spôsobov je rôzne náročný pre deti s rôznymi spôsobmi myslenia. S menším čitateľom. S menším menovateľom. 0 8 1 8 8 7 8 8 9 1 8 8 8 1 1 1 10 8 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1. zošit 1

8 9 1 1 8 9 7 7 9 1 1 elá strana je tematicky venovaná porovnávaniu rôznych zlomkov a čísla 1. Úloha Ukazuje základné pravidlá. Ak má zlomok čitateľa menšieho ako menovateľa, je menší ako 1. Ak má čitateľa väčšieho ako menovateľa, je väčší ako 1. Úloha 6 Tu si žiaci slovne sformulujú skúsenosti z úloha. Úloha 7 Pozor veľa riešení!,,, 7 1 7 9 0, 8, 6 1 6 1, 1 1, 11, 1,, 8 10 1 6, 11 1 9 väčší sa rovná menšieho 1 7 6 1 7 9 9 0 8 11 0 1 1 00 1000 17 0 1. zošit 1

Úloha 8 My sme menovatele pri riešení upravovali na najmenšieho spoločného menovateľa. Vaši žiaci tak nemusia urobiť. V konkrétnych prípadoch je lepšie dať prednosť špecifickej úvahe: /8 je menej ako 1, / je viac ako 1, takže /8 < /. = 1 6 = 6 10 = 16 1 = 1 0 = 1 9 6 = 1 1 7 10 = 1 0 = 7 6 6 Úloha 9 Zlomky porovnávame úpravou na spoločného menovateľa. Niekedy je jednoduchšie najprv zlomky vykrátiť! Úloha 10 Pripomínajte vašim žiakom správny postup pri usporadúvaní zlomkov s rôznymi menovateľmi: Zlomky upravíme na spoločného menovateľa (ideálne na najmenšieho a spoločného menovateľa). Usporiadame ich podľa veľkosti. V odpovedi zapíšeme usporiadané zlomky v takom tvare, v akom boli v zadaní. > = 6 = > > > 8 10 = 0 = 0 6 0 0 100 = = 8 1 168 = 0 1 18 0 = 1 18 7 11 9 6 1 6 11 7 0 = 1 10 8 0 9 6 7 8 1 7 8 1. zošit 16 8 16 9 9 1 1 10 1 0

6 6 8 7 10 6 6 11 11 8 9 8 7 Zväčší sa. Nezmení sa. Zmenší sa. 11 6 1 1 Úloha 11 Je potrebné vypočítať a uvedomiť si oveľa viac príkladov, aby sa pre žiakov tento fakt stal samozrejmosťou. Ale raz treba začať... Diskutujte o tom, ktoré zlomky kam patria. Úloha 1 Príklad c) nemá v obore prirodzených čísel riešenie. Koľkým z vašich žiakov napadne dopísať číslo 1? To si zaslúži veľkú pochvalu! 7 1 6 6 6 0 1 1 1 6 1 6 0 > 1 0 90 0 100 0 11 0 6 7 18 0 1 0 6 16 1 9 1 8 7 11 7 1 7 11 1 9 1 1 7 6 6 1 10 6 1 0 8 1 1 11 11 1 6 9 10 9 8 7 10 7 7 6 7 7 6 1. zošit 17

Niekto uprednostní porovnávanie pomocou kreslenia, iný také, aké sme použili my, niekto úplne iné... n (7, ) = 8 = 0 7 8 Väčší je zelený hrniec. = 1 8 n (16, 0) = 80 9 16 = 1 80 0 = 60 80 Dlhšie opravovali auto pána Kováča. n (, ) = 0 Väčšiu časť plota natrel Jurko. Andrej Jurko n (1, ) = 8 7 1 = 1 = 1 8 8 Kratšie robila úlohu z matematiky. n (6,10,)=0 = 7 6 0 10 = 1 = 0 0 Najviac pršalo v Bratislave a najmenej v Trnave. n (10, 8, ) = 00 7 10 = 10 = 7 00 8 00 = 18 00 Najďalej je na stanicu a najbližšie k lesu. 0 = 00 00 1. zošit 18 n (, 8, ) = 0 = 8 6 1 = 70 = 7 70 0 8 0 0 Najviac spotrebovali zelenej a modrej, najmenej žltej.

Úloha Využite miesto a každé tvrdenie potvrďte niekoľkými príkladmi. 1 1 1 1 1 7 1 9 11 1 6 1 6 1 10 60 1 Úloha Využite možnosť a povedzte žiakom, že krúžok na konci úsečky, ktorá označuje množinu pravých zlomkov znamená, že čísla0a1 do tejto množiny nepatria, pretože to nie sú pravé zlomky. 1 6 1 1 16 8 7 11 1 9 106 8 9 6 11 9 8 9 61 8 1 8 9 1 7 0 9 6 11 8 menší väčší 1. zošit 19

Úloha Môžeme rozširovať, ale i krátiť. Úloha 6 Dá sa to, samozrejme, aj delením (niekedy iba delením). Porovnajte obidva spôsoby. 6 10 100 100 0 100 10 7 10 87 1000 6 100 10 1 100 10 600 1000 7 0,7 = =0,8 8 10 1:6=0,16 1 10 = 0, 10 =, :9=0, 0,6 6 = 0,6 100 :=1,6 10 0, 11 =1,1 1000 1:7=0,187 1 = 8 17 100 0 8 10 1 = 9 100 0 10 17 6 = 10 6 10 1 1 100 0 1. zošit 0 100 1 = 7 1000 8

Úloha 9 Spomeňte si na úlohu zo s. 1. Úloha 10 Aj naše vysvetlenia sú diskutabilné, ale v tom je zmysel úlohy. Delenie nuly a delenie nulou je vždy dráždivý problém. 1 10 1 1 1 1 8 7 1 6 1 1 8 11 1 0 0 0,0 0, 1 1,1 7 8 1,1 0,9 0, 0, 0 1 7 9 Úloha 11 Zlomky poznali už Babylončania, ale cieľavedome ich používali Egypťania. Dokladá to Rhindov papyrus (podľa škótskeho egyptológa Henryho Rhinda, ktorý ho kúpil v Luxore v roku 188 a v súčasnosti sa nachádza v expozícii Britského múzea), ktorý obsahuje 87 matematických problémov. Na papyrus ich zapísal okolo roku 160 p. n. l. pisár Ahmes, ktorý vyhlásil, že je kópiou o 00 rokov staršieho dokumentu. Egypťania používali znaky iba pre zlomky jedna polovica, jedna tretina, jedna štvrtina, jedna pätina, atď. Zapisovali ich tak, že nad číslo, ktoré my máme v menovateli, dávali znak, ktorý mal tvar oka. Gréci sa zlomkom usilovali vyhnúť, ale pretože to nie vždy bolo možné, pre niektoré zlomky mali špeciálne označenia. 0 Nič rozdelíme na päť častí a dostaneme nič. =0 0 Päť rozdelíme na nula častí a to sa nedá. 0 0 1. zošit 1

Úloha 1 hceli sme žiakom ukázať, že niekedy je výhodnejšie najprv zlomky upraviť do základného tvaru a až potom ich sčítať. Ukážte si také situácie (prípadne nechajte žiakov vymýšľať príklady, kde je to výhodné a príklady, kde nie). Úloha Príklady tohto typu môžeme počítať tak, že najprv sčítame celé časti a potom zlomkové časti, ako sme riešili zadanie a), alebo tak, že zmiešané čísla upravíme na zlomky a potom zlomky sčítame. Opäť platí, že niekedy sa to oplatí... Úloha V tomto príklade nie je zatiaľ nutné výsledky upravovať do tvaru zmiešaného čísla. Žiaci by ale mali všetky výsledky upraviť do základného tvaru (čitateľ a menovateľ sú nesúdeliteľné čísla). 1. zošit = = +6 10 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 17 =17 =18 + 1 + = 11 7 + = 109 = 9 10 0 0 0 118 =7 1 1 1 1 10 = 19 1 1 = 101 1 0 0 1 0 7 18 1 7 1 11 6 + = 1 +1 = 10 = 1 10 10 6 1

18 = 9 =7 19 0 0 0 =1 0 = 10 0 1 1 = 10 10 = 1 1 1 Úloha V tomto, ani v nasledujúcich príkladoch nie je zatiaľ nutné výsledky upravovať do tvaru zmiešaného čísla. Žiaci by ale mali všetky výsledky upraviť do základného tvaru (čitateľ a menovateľ sú nesúdeliteľné čísla). Úloha 6 Nám sa príklad v zadaní c) (aj niektoré ďalšie) lepšie počíta v tvare desatinných čísel. Ak niektorý žiak tiež inklinuje k počítaniu pomocou desatinných čísel, nie je to dôvod na postih. Treba sa so žiakmi porozprávať, že v tejto chvíli, keď trénujeme sčítanie a odčítanie zlomkov, treba všetky príklady riešiť v tvare zlomkov, ale obidva spôsoby sú rovnocenné a zameniteľné. 8 7 0 =1 17 0 =17 1 0 0 1,7 =8 1 1 0 0 =9 18 1 1 1 1. zošit

= 8 1 1 1 1 7 18 67 = 7 0 0 1 =1 10 10 1 18 7 0 = 17 0 1 = 7 1 1,9 7 10 1 8 1 1 0, + 1 + 1 6 1. zošit 7 10

1 10 = 10 11 1 =1 1 1 9 7 16 8 Úloha Príklady sa dajú počítať tak, ako sme ukázali v a) alebo v c). Obidva postupy sú rovnocenné a zameniteľné, ale z pohľadu matematickej perspektívy vašich žiakov je užitočné, aby si zapamätali a stotožnili sa s postupom, ktorý sme ukázali v príklade a). Čas venovaný tejto práci sa vám vráti pri počítaní úloh podobného typu s výrazmi, pri riešení slovných úloh a pod. Úloha Naučte žiakov krátiť pred násobením. 0 = 1 1 1 1 0 8 0:= =8 9 7 =1 6 1 7 0 = 9 9 1 = 16 6 =7 1 1 = 1. zošit

Úloha Odpoveď číslo je -krát väčšie ako číslo... je žiakom jasná a zrozumiteľná. Horšie to bude s odpoveďou číslo je osem tretínkrát väčšie ako číslo.... Čo však s odpoveďou číslo je štrnásť pätnástinkrát väčšie ako číslo...? Overte si, či vaši žiaci vedia správne interpretovať tieto tvrdenia. Vedia napríklad porovnať veľkosti čísla a, keď vedia, že číslo a je (zlomok)-krát väčšie ako číslo b? Úloha 6 Počíta sa v druhom stĺpci to isté ako v prvom? 1 1 =6 0 = 8 18 =1 1 1 6 7 1 1 16 1 =1 1 1 1 6 1 1 1 9 17 8 7 16 7 0 19 0 10 0 10 10 10 1. zošit 6

Úloha 1 Typ slovnej úlohy a+ b+ c. Úloha Typ slovnej úlohy a+ ( a+ m). 6 + + = 7 10 =11 1 1 0 0 Poštár František doručil 11 1 kg balíkov. 0 Úloha Typ slovnej úlohy a b. Úloha Typ slovnej úlohy a+ ( a m). +( +1 ) 1 = 19 = 1 6 6 6 6 V kajaku strávili 1 hodiny. 6 = 1 =1 1 0 0 Slon má hmotnosť 1 tony. 1 0 +( )= 1 9 =10 6 9 7 7 hlapci zjedli 10 9 čokolády. 1. zošit 7

Úloha 6 Vypočítajte podobný údaj pre každého žiaka v triede a výsledky štatisticky spracujte (tabuľka, graf, aritmetický priemer atď.). Uvažovali vaši žiaci o Jakubovom výkone? hod=min Prešiel by 1 kilometrov. =1 1 9 = 08 7 08 180 = 110 880 m = 110,88 km Počas školského roka nachodí 110,88 km. Janko: 111 1 :, = 668 =, kg 1 Miško: 8 :,= =91,kg 18 Peťko: 19 1 :, = 91 = 78, kg Robo: 16 1 :, = 117 = 8, kg. Odpad: 1 = kg 1 1 0 0 matreiál na výrobu: = kg 00 0 80 1. zošit 8 figúrok: : =8ks. 80 1

70 000 m 70=980m 70 (980+000)=70m V oblakoch je 70 m vrchu. Úloha 9 Obrázok nie je iba ilustračný. Ponúka žiakom možnosť znázorniť si údaje (aj to, čo je dané, aj to, čo treba vypočítať) a vzťahy medzi nimi. Úloha 10 Na znázornenie použitého gélu použite predkreslené poháre. Úloha 11 Pletivo kupujeme na celé metre. Zelený 1+ + + = 1 1 1 7 6 červený 0+ + + = 1 1 6 Viac minuli zeleného. (0 +6 ) 1 = 7 8 =111 m 67 Musia kúpiť 11 m pletiva. + = 0 7 1 1... 1 guľôčka 1... 1 guľôčok 1 1 1. zošit 9

Úloha 1 Typ slovnej úlohy na zlomky, ktorá sa pohodlne a rýchlo vyrieši, ak si ju žiaci znázornia. Upozornite ich, že nepotrebujú nevyhnutne zostaviť rovnicu, aby takúto úlohu vyriešili. (Samozrejme, dá sa to aj pomocou rovnice, aj logickou úvahou, aj inými postupmi.) Ukážte si všetky spôsoby, ktoré vaši žiaci nájdu. 6 1 =6 Trieda má 6 žiakov. Úloha 1 Naše riešenie zachytáva podstatné medzivýsledky riešenia. Úloha 16 Náročnejšie pre žiakov môže byť uvedomiť si, že jedna tretina záhrady sú vlastne dve šestiny záhrady. Keď sa v úlohe vyskytujú polovice a tretiny, je dobré prejsť do jazyka šestín. a) V=10 0 =17000l 1 1 ( + )= objemu 1 17000=60000l b) = m 6 10 0 =60m 1 6 =60000l Kráľ minuli 1 ostalo Kráľovná minuli ostalo... 1 000 1 Ohňostrojci nakúpili 00 rakiet.... 00 polovica tretina 1. zošit 0... 6,6 m 6 (6,6 : ) 6=,9 m Záhrada má výmeru,9 m.

Úloha 1 Podobné úlohy si môže každý vymyslieť, keď na štvorčekový papier napíše napr. svoje meno. Úloha Môžete porovnávať, ktorá vlajka má najväčšiu časť modrú alebo červenú, sčitovať ich... Úloha Zväčšením vlajky sa zväčšia aj písmená, teda pomer modrej a červenej časti sa zachová. Ak však niekto nezväčší písmená (a aj tak sa dá zadanie chápať), potom už treba počítať... 0 0 0 6 0 6 8 6 10 10 8 8 1 11 1 1 0 1 6 18 1 18 1 11 1 8 9 7 9 1 11 1 1 1 18 1 18 1 11 1 9 7 9 1 8 7 10 6 0 1 7 10 8 1,, 0,,87 1,8, 1. zošit 1

Úloha ieľom je upevniť u žiakov vzťah zlomok desatinné číslo zmiešané číslo. Nie je dôležité, či je zlomok v základnom tvare alebo nie (záleží na vašej dohode so žiakmi). Úloha 6 Nezáleží na tom, či budete upravovať zlomky na desatinné čísla alebo desatinné čísla na zlomky. Úloha 7 hybný príklad sa dá opraviť viacerými spôsobmi (oprava desatinného čísla, zmena čitateľa alebo menovateľa zlomku...). Opäť skvelá príležitosť diskutovať, argumentovať. Všimnite si spoločne zadanie g). Ešte stále je to častá chyba, ktorú robia vaši žiaci? Úloha 8 Nie je dôležité, aby žiaci narysovali presne polohu čísla na číselnej osi. Podstatné je, aby vedeli, že obraz čísla 0/7 je tam, kde obraz čísla 0, že obraz čísla 0, je pred obrazom čísla 1... = 0,0769 = 18 =1 9 1 1 7 7 0 0 = 0, = 0, = 1 7 =1 1 18 1 1 =0,1 1 =0, =1 11 0 = 8 1 6 6 10 0 = 0 11 = 0,809 = 1 6 = 1 9 9 1 1 = 9 70 = =0 0 7 98 =1 7 0 7 0, 1 8 1. zošit 1 0,7 1,

Úloha 9 Žiakom sa asi bude lepšie porovnávať tak, že upravia zlomok na desatinné číslo. Aj my sme tak porovnávali :). Úloha 10 Úloha 11 Pri takýchto úlohách je potrebné upraviť všetky čísla do rovnakého tvaru alebo na zlomky s rovnakým menovateľom a potom poradie určujeme podľa ich čitateľov, alebo na desatinné čísla. Prípad od prípadu a žiak od žiaka sa bude líšiť, kto si aký spôsob vyberie. Podstatné je, aby vo výslednom usporiadaní boli čísla v takom tvare, v akom boli v zadaní. 1 = 0,6 0,7 87 0 0 1 1 1 7 8 7 6 9 = 0,6 1 6 0,7 1 9 0, 1 1 8 1 8 7 1. zošit

Úloha 1 Toto je jedna z mála úloh, v ktorej chceme, aby ju žiaci vyriešili bez použitia kalkulačky. Je zameraná najmä na sčítanie zlomkov spamäti. Môžete zaradiť niekoľko výziev: kto nájde najviac súčtov, kto nájde všetky súčty, kto v danom časovom intervale nájde najviac súčtov, kto nájde prvých (10, 1...) súčtov. Úloha 1 V magickom štvorci platí: ak všetky čísla zväčšíme/zmenšíme niekoľkokrát (o niekoľko), štvorec ostane magickým.užnaprvom stupni ZŠ sme do našich pracovných materiálov pre žiakov zaradili niekoľko úloh, ktoré demonštrovali túto myšlienku. Ak si žiaci nespomenú, zaraďte pred riešenie tejto úlohy inú, pomocou ktorej si túto základnú myšlienku pripomeniete. Úloha sa dá, samozrejme, riešiť aj sčítavaním a odčítavaním daných zlomkov a dosť sa pri tom natrápite. Iná cesta je vynásobiť čísla v štvorci menovateľom (tým sa dostanete do oboru prirodzených čísel), tu nájsť riešenie a potom už len vydeliť výsledky hodnotou menovateľa. Ak máte dostatok času, nechajte žiakov vytrápiť sa prvým spôsobom a potom im ukážte ten druhý. Úloha 1 Pripomeňte si so žiakmi poradie počítania najprv treba vypočítať príklady v zátvorkách a potom zvyšok. 1. zošit 9 1 8 1 19 70 = 1 1 1 =1 1 =1 6 1

=0, 1 = 0, = 1,6 8 = 7 1, 0 =1 9 1 8 8 11 1 10 = 0, = 0,7 1 1 =1,07 Úloha 1 Úloha 16 Nechajte žiakov porovnať efektívnosť a hlavne presnosť riešenia takýchto príkladov v reči zlomkov a v reči desatinných čísel, do ktorej sa pravdepodobne dostanú, keď ich začnú počítať pomocou kalkulačky. Diskutujte s nimi o tom, kedy je výhodné a vhodné použiť jednotlivé spôsoby počítania a hlavne si stanovte pravidlá: aké výpočty akceptujete vy od nich. 1 6 89 6 =1 6 6 1 1 7 1 1 : + :0, 6 7 6 7 16 6 + :1, 6 8 6 1. zošit

Úloha 19 Úloha 1 Vypočítajte tak, že (1) upravíte všetky čísla na zlomky, () všetky čísla upravíte na desatinné čísla (v prípade potreby zaokrúhlite na desatinné čísla). Porovnajte presnosť výsledku. Nechajte žiakov vopred tipovať budú výsledky pri oboch spôsoboch výpočtu alebo sa budú líšiť? Diskutujte s nimi o tom, kedy je vhodné použiť počítanie s desatinnými číslami a zaokrúhľovaním (potrebujeme iba odhadnúť veľkosť výsledku a potrebujeme to urobiť rýchlo) a kedy je potrebné počítať so zlomkami (potrebujeme presný výsledok). Je dôležité, aby vaši žiaci vedeli, aký spôsob počítania od nich očakávate vy. Úloha 0 Podobné úlohy môžete vymýšľať aj vy, ale hlavne vaši žiaci. Nechajte im vyskúšať si, že zostaviť takúto zlomkovú pyramídu tak, aby v nej vychádzali slušné zlomky, nie je úplne jednoduché. A ak sa im to podarí, oceňte ich snahu. 1 7 6 67 8 0,7 1 = 0,7 1 18 60 7 180 00 19 7 1 1 1 = 7,71 7 1 =,67 1. zošit 6

Úloha Naozaj pre fajnšmekrov. Máte takých v triede? Úloha Takéto riešenie sa nám zdá elegantnejšie a najmä jednoduchšie ako rovnica: 0 x 1 x 1 ( x 1 x) 1 ( x 1 x 1 ( x 1 x)) 1 ( x 1 x 1 ( x 1 x) 1 ( x 1 x 1 ( x 1 x)))= ( x je počet buchiet, ktoré mama upiekla na večeru). Naozaj napísali sme ju správne? 1 Martin Anka mama Janko 1 = Všetkých buchiet bolo. 1. zošit 7

1 9 0 16 9 o 7 60 7 0 1 ( 1 + ) =... zelených... 16 7 8 1 1... červených... 1 7 spolu... 1 78... modrých... 900 8 Deň D deňd+1 deňd+ 000 000 mravcov 7 000000=96000 0 7 96000=98 0 7 00 vošiek 700=7800 6 7800=811 6 1. zošit 8 Na každých 61 mravcov pripadne 1 voška.

ieľom tejto strany nie je naučiť žiakov sčítavať nekonečné rady, ale ukázať im, ako možno pomocou zlomkov vytvárať predstavu o nekonečne. + =, 1 1 + + =, 1 1 1 7 8 8 + + + =, 1 1 1 1 1 8 16 16 + + 1 1 + 1 +...=1 1 8 16 0 1 Prvý súčet sa dá nájsť pomerne ľahko. Pravdepodobne žiaci nájdu výsledok sami. Pre vás: je to geometrický rad s kvocientom 1 1 a jeho súčet je =1. 1 1 V druhej úlohe sú to opäť dva geometrické rady, v zadaní a) je kvocient 1 a súčet je 1 =, v zadaní b) je kvocient 1 1 1 a súčet 1 =. 1 1 V tretej úlohe žiaci pri trpezlivom počítaní iste zistia, že súčet sa blíži k číslu. Pre zaujímavosť uvádzame schému, ktorá je vlastne rozpísaním súčtu nekonečne veľa zlomkov na nekonečne veľa súčtov nekonečne veľa zlomkov. Súčty vieme určiť na základe výsledkov predchádzajúcich úloh a sčítať nekonečne veľa výsledkov sme sa naučili v prvej úlohe. Nie je to nekonečne zaujímavé? a+ aq+ aq + aq +... = a : (1 q) + + + + +...= 1 8 16 + + + + +...=1 1 1 1 1 1 8 16 + + + +...= 1 1 1 1 1 8 16 + + +...= 1 1 1 1 8 16... 1. zošit 9

Vprvých častiach tejto kapitoly sa venujeme nácviku techniky počítania, ktorú potom uplatňujeme v podkapitole Slovné úlohy. Úlohy na tejto strane ukazujú vzájomný vzťah zlomok desatinné číslo percento, upevňujú zručnosti, ktoré žiaci využijú neskôr. 1 10 0, 0,6 7 10 11 0 1 100 0, 0,9 0,7 1, 6, 70 90 1 10 100 100 100 100 100 100 0,7 0, 0,8 6, 7 0,08 0,00 0,0 0,00 00 0 000 70 1 600 180 1 00 770 00 618 189, 1 110 66 0,6 0,1 100 6, 00 0,91 8,8,8 80 9,8 10 8,8 70, 0 6 6,6 10,1 10 10 1. zošit 0 7 6 0

,16 6,8 0,00,0 1 0,0 0,01,8,0 0,07 0,000 9 700 800 600 0 600 1 00 0 00 00 800 0 0, 0 % % 10 % 0 % 1, % 1 % 1 10 10 10 1 10 100 10 10 1 10 m; 1 m; 6, m m;1,m;1,1m mm; mm; 6, mm 0, cm; 0, cm; 6 cm 0, 7,8 0,0 960 1. zošit 1

90 71 kúpeľňa, sprchovací kút automatická práčka ústredné kúrenie osobný automobil modrá zelená zelená 0 modrá červená žltá 60 červená modrá zelená žltá zelená modrá červená 0 1. zošit

1 0 7 10 189 1 0 8 1 Úloha 1 Zaradením veľkej tabuľky sme vám chceli dať možnosť vybrať si, ako dlho chcete jednotlivých žiakov zamestnať počítaním časti prislúchajúcej počtu percent. 1 7 10 7 600 9 106 100 1 17 6,18 0,9 61,8 1, 7, 89, 8,78 9, 87,1 68,9, 71 1 168 1,6 88, 6 19 691 0, 1,, 6, 10 1,7 17,7 0,7 6, 0,07 0, 0,7 1,7,8,1,97,6 6,6 7, 0,008 0,0 0,08 0, 0, 0,0 0,68 0,6 0,76 0,8 0, 1,77, 8,87 1,,6,0 8,,7 7,7 0,009 0,019 0,09 0,097 0,16 0,7 0,769 0,1 0,70 0,09 0,06 0,8 0,6 1,,,8,976,8,,88 8 11 7 198 7,8 7 11, 0,0 8 0 10 6 1 8 6 1 96 T I S Í Š T Y R I S T O Š E S Ť D E S I A T 1. zošit

Úloha 8 Takáto všeobecná úvaha je náročná a vhodná najmä pre riešiteľov matematickej olympiády. (Tým nechceme povedať, že by ju nezvládol ktorýkoľvek žiak ZŠ možno je pre niektorých iba priskoro.) Vymyslite si konkrétnu výšku vreckového, konkrétnu cenu banánov a počítajte. Keď bude mať každý iné čísla, môžete sa venovať zovšeobecňovaniu a na záver ukázať krásu a jednoduchosť riešenia pomocou premennej. 60 000 70 6 000 0,6 0 60, 600, 900 = = 1, 0, 0 1,1 166, 60 6,8 80 0,6 8,08 1, 0 1,8 1,1 9,6 18 777, 11 960 69, 680 1,69 1 106,, 8,1 17 90 67,8 8 0 1, 0,6 10 0,9 1 0, 90 6 000 9 000 0 = 6,6 = 70 = 1, = 7 = 0, 1 1,7 78,7 10,01 6,1,9 1. zošit pomaranče... x vreckové... y... zvýšené = 1,y môže kúpiť... 1,y = 1, y pomarančov x x Výhodnejšie je zlacnenie pomarančov. pomaranče... 0,8x vreckové... y môže kúpiť... y = 1, y 0,8x x

, % % % 1, 6 % % 0, % 0, 1 % 1,6 % 1,6 % 1, 8 % 18, % 107,1 %, %,61 %,71 % 18,19 % 1, % 71, %, % 187, % 97% 1% 1 0 % Úloha 1 Opäť sme vám dali možnosť vybrať si, ako dlho chcete jednotlivých žiakov zamestnať počítaním počtu percent. Periodické výsledky sme nezaokrúhľovali. Pomocou tabuľky si môžete všimnúť pekné závislosti (1 zo 10 je 10 %, 1 z 00 je % a pod.). 8 % 1 % 0,9 % 116, 6 % 00 % 1, % 119, % 6 0 %, 6 % 1, % 0,08 % 11, 1 % 8,7 % 18,1 % 11, 6 % 00 % 6% 0, % % 6,9 %, %,7 % 6 % 0, % 0,6 % 0,0 %, %,71 % 9,6 %, 7 % 00 % 0,16 % 0,08 % 0,01 % 0,69 % 1,79 % 9,6 % 0,71 % 16, % 6, 6 %, % 0, % 7, 7 % 71, % 70, 7 % 8,1 % 6 0 % 0, 6 % 0, % 0,0 %, 7 % 7,1 % 7,0,8 % 6 % 1 % 11 % % 0 % 00 % 0 % 6 % 00 % 10 % % 1 % 0% Los Angeles 0 10 7 6 0 0 80 10 1. zošit

Úloha Túto tabuľku sme zaradili, aby si žiaci uvedomili rozdiel medzi zlacnením o a zlacnením na. Všimnite si súčet percent v jednom riadku. Úloha Túto tabuľku sme zaradili, aby si žiaci uvedomili rozdiel medzi zdražením o a zdražením na. Všimnite si vzťah medzi percentami v jednom riadku. Úloha 6 Zatiaľ iba v malom zhromaždenie štatistických údajov, ich spracovanie do tabuľky a potom do kruhového diagramu. 0 % 16, 6 %,7 % 7, 7 % 6, %,1 % % 0 %, % 11, 1 % 16 % 18,6 % 80 % 8, % 9,6 % 7, 7 % 9,7 % 97,9 % 1 % 10 % 10, % 111, 1 % 116 % 118,6 % 1. zošit 6 7 8,1 6 01,610 0 7 0 0,08

6 700 00 10 0 000 00 80 900 0 0 70 600 Úloha Zaujal vašich žiakov tento spôsob počítania? Nám sa zdá pohodlnejší a rýchlejší (okrem toho dobre trénuje priamu úmernosť, čo sa dá využiť pri riešení slovných úloh). Úloha Pýtajte sa žiakov, či treba počítať celú plochu sadov, alebo stačí porovnať 1 %. 11 000 800 00 0 68 0 1 0 00 000 00 0 0 16 1 0 00 187, 100%:10 %=10; 10=0 Hruška... 0,0 ha = 00 m Slivka... 0 m Malina... a=00m Najväčší sad má pán Slivka. 1. zošit 7

Nechceme, aby ste považovali náš spôsob riešenia jednotlivých úloh za jediný možný. Úloha Podobné úlohy bývajú chytákom pre žiakov na testoch. Upozornite ich, aby si všímali zadanie a skutočne odpovedali na otázku. Úloha Niektoré úlohy na percentá sú pre žiakov problematické nie preto, že nevedia počítať s percentami, ale preto, že si nesprávne určia základ alebo zle priradia časť príslušnému počtu percent. Na tejto úlohe môžete pekne ukázať, ako sa počas riešenia neustále mení základ a porovnať čiastkové zlacnenia s celkovým. : 0 = 0,96 Pešo chodí 96 % žiakov. a) 80 : 1 000 = 0, 100 =% Sedelo % divákov. b) 1 000 80 = 7 10 7 10 : 1 000 = 0, Úloha Ukazujeme obidve riešenia cestu cez konkrétne hodnoty aj výsledné zovšeobecnenie. Záleží na vás, ktorou pôjdete (a najmä na vašich žiakoch). 6 0 0 10 10 na 6 % na % na 0 % 6 na 6,1 %, o 9,8 % 1. zošit 8 a) stála... 10 kúpil... 60 predáva... 80 80:60=1, Predáva ju o, % drahšie ako ju kúpil. b) stála... x kúpil... x predáva... x x : = =1, x

a) 0, 1 000 = 0 1 000 0 = 770 Vyklíčilo 770 semien. b)100% %=77% 0,77 1 000 = 770 Úloha 7 Opäť jedna z úloh, ktorá nie je matematicky náročná, ale žiaci sa v nej zamotajú a obvykle určia zlé číslo ako výsledok. Učte ich postupne zapisovať postup riešenia a ku každému číslu si napísať, čo znamená.,... 1 %,9... 1% 90... 100 % 90, = 6, Nová cena práčky je 6, eura. % okuliare... 0, 60 = 196 % ženy... 0, 196 = 9 muži... 196 9=17 17 mužov v kine malo okuliare. 1. možnosť... 700=116, 1 1 6 eur. možnosť... 0,16 700 = 11 eur Má si vybrať 1. možnosť. 1. zošit 9

Úloha 1 Zadanie zvádza súhlasiť s učňom úhrn úspor, ktoré navrhuje, na prvý pohľad, skutočne dáva 100 %. 7 %... 70 eur 1 %... 10 eur 100 %... 1 000 eur Karol ušetril 1 000 eur. 90 %... 10 eur 1 %..., eur 100 %..., eur Pred zlacnením stála, eur. Žien = 1, mužov 1,M M=0,M... rozdiel v počte mužov a žien Žien je o 0 % viac ako mužov. 1. zošit 0 Náklady... 1 000 eur 1. rok %... 0 eur nové náklady (0, 1 000). rok 0 %... 8 eur (0,7 ). rok %... 88,7 eur (0,7 8) 88,7 : 1 000 = 0,88 7 Nemá pravdu. Náklady sa znížia na 8,87 %.

x 0=0,9 0 x = = 9 7 100 0 Úloha 16 Dajte žiakom úlohu, aby zistili, o koľko percent by museli zvýšiť cenu, aby bola taká ako na začiatku. Číslo 0 musíme vynásobiť zlomkom. 7 0 a) náhrdelník... x... 80 náramok... 0,6 x... 88 768 1,6 x = 768 x = 80 b) náhrdelník... x... 0 náramok... 1, x... 8 768, x = 768 x = 0 a) zisk 0 %... kúpi za 100, predá za 10 cena o 10 % dolu... 0,9 10 = 108 108 : 100 = 1,08... zisk 8 % b) zisk 0 %... kúpi za x, predá za 1,x cena o 10 % dolu... 0,9 1, x= 1,08 x... zisk 8 % ena... 1 000 eur zníženie o 0 %... cena 700 eur zníženie o 0 %... cena 60 eur zvýšenie o 0 %... cena 80 eur Výsledná cena bola o 16 % nižšia ako pôvodná. 1. zošit 1

Úloha 19 Závisí výsledok úlohy od výšky dane, ktorá bola pred rozhodnutím parlamentu? (Myslíme si, že pre siedmakov je zjednodušený výlet do sveta miezd a daní užitočný.) Úloha 0 Najjednoduchšia cesta vedie cez rozklad na súčin prvočísel. Ak ju žiaci neobjavia hneď, nevadí. Nechajte ich skúšať a násobiť, počítať percentá. Prvé... 60 druhé... 0,8 60 = 8 tretie... 0, (60 + 8) = (60+8+):= Aritmetický priemer čísel je. III. II. I. Štvrté... 100 štvorčekov... 00 tretie... 0 štvorčekov... 60 druhé... 8 štvorčekov... prvé... štvorčekov... 1 spolu... 1 štvorčekov... 96 1štvorček= Bolo: plat p prvý: plat 1,1p druhý: plat 1,1p daň 0,p daň 0, 1,1 p= 0,p daň 0, 1,1 p= 0,00 p dostal 0,8p dostal 0,77p dostal 0,77 p Výhodnejší je prvý. 1= =9 1 0, 1=6 6+=9 Súto9a1. 1. zošit

10 %... 600 1 %... 600:10=0 100 %... 0 100=000 Plánovaných bolo 000 prihlášok. 60 %... 00 eur 1 %... eur 0 %... 00 eur enu znížili o 00 eur. 10 %... 00...večer 1 %... 00:10= 100 %... 100=00... ráno Ráno bolo vyklíčených 00 rastlín. a)+0% 1,x 0 % 0,7 1, x= 0,91x o 9 % lacnejšie b) 0% 0,7x + 0 % 1, 0,7 x= 0,91x o 9 % lacnejšie 1. zošit

Úloha 6 Úloha je náročná najmä tým, že najpohodlnejšie sa rieši pomocou sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi. Nie je však problém zostaviť iba jednu rovnicu s jednou neznámou (dosadzovacia metóda). Ak sa vám úloha zdá pre vašich žiakov ešte náročná, pokojne ju preskočte. Úloha 8 Pripomeňte si so žiakmi, čo to znamená, že priemerná výška skupiny je 16,7 cm (keby boli všetci štyria členovia skupiny rovnako vysokí, merali by každý 16,7cm). Pavol... x Peter... 1, x= p x= 0,8p Pavlovo auto je o 0 % lacnejšie ako Petrovo. 100 %... 8 00 1 %... 8 10 %... 11 00 Predal ich za 11 00 eur. Parlament... x prítomných... x= 0,8x za... 80 % z 0,8 x= 0,8 0,8 x= 0,6 x schválený pri... 60 % z x= 0,6 x 0,6 x> 0,6x Program bol schválený. 16,7 cm 1. zošit 168, cm

Úloha 9 Najlepšie sa rieši táto úloha cez zlomky. Vyfarbená časť je jedna štvrtina útvaru, to znamená, že to bude % (lebo štvrtina zo 100% je %). 0 % % 7 % 60 % Pôvodný a o=a S= a nový a' = 1,a o' = 1, a=1, a=1,o... o % väčší S' = 1, a 1, a = 1,87a... o 87, % väčší a= 0,b o=( a+ b) 101, = (0, b + b) b =cm a = 1,7 cm Rozmery obdĺžnika sú 1,7 cm a cm. 1. zošit

Okrem otázky o koľko percent? sa môžete v každej úlohe pýtať na koľko percent?. Pôvodný nový V= a b c V' = 0,8 a b c= 0,8V Ojem sa zmenší o 0 %. Pôvodný nový 10 000... 100 % 100... 1 % 9 600... 96 % V =10 0 0=10000cm V =8 0=9600cm Pôvodný nový 1... 100 % 1,... 1 % 19,76... 10 % V = 6 8=1dm V =, 7,8 8 = 19,76 dm 1. zošit 6 0cm=dm 0,9m=9dm Pôvodný nový 60... 100 %,6... 1 % 187,... % V = 8 9=60dm V = 11,7=187,dm

Úloha 7 Žiaci už vyriešili viacero úloh tohto typu, preto si myslíme, že by mohli skúsiť hneď riešenie s premennou. Ak to nejde, nevadí, vráťte sa opäť ku konkrétnym číslamakzovšeobecneniu. 0 % % 0 % 0 % Úloha 8 Zaskočte žiakov otázkou, či je to vždy možné. Či nevedia nájsť obdĺžnik, pre ktorý tento výsledok neplatí. 1 a 1 a 1 cm bola dĺžka pôvodnej strany štvorca. % 1 a Pôvodný... a, b S= ab Zmenený... a' = 1, a b' = 0,8 b S' = 1, a 0,8 b = ab = S Je to možné. b= 0,6a o=( a+ b) 1 = ( a+ 0,6 a) a =0dm b =6dm 1. zošit 7

Úrokovanie jedna z mála vecí z hodín matematiky, o ktorých môžeme žiakom s čistým svedomím povedať, že ju budú potrebovať vo svojom živote. V tejto chvíli sa zameriavame na jednoduché príklady, aby žiaci mali možnosť pochopiť fungovanie úrokovania. Veľké množstvo ďalších (jednoduchých i náročnejších) úloh nájdete v pracovných zošitoch autorov Bero Berová Praktické financie z dielne vydavateľstva Orbis Pictus Istropolitana. 00 100 1 0 000 90 00 Vklad... 10 000 eur úrok... 00 eur spolu... 10 00 eur Pani Danka bude mať po roku 10 00 eur. Istina... 000 eur úrok... 17 eur Pán Karol musí zaplatiť 17 eur. 1. zošit 8 Úver... 1 000 eur úrok... 1 1 eur dotácia... 800 eur rozdiel... eur Po prvom roku podnikania zaplatí eur.

% % 1% 10% 8% % % Pôžička... 8 00 eur úrok... 1 eur úroková miera... % Pani Betka má úrokovú mieru % p.a. Pán Adam vklad... 0 000 eur úrok... 600 eur úroková miera... % Pán Milan vklad... 0 000 eur úrok... 0 eur úroková miera...,7 % Úloha 8 Táto úloha v zjednodušenej forme opisuje rozhodovanie, v ktorom sa ocitá čoraz viac našich spoluobčanov chcú si požičať peniaze a rozhodujú sa iba na základe výšky splátok. Upozorňujte žiakov na to, že spoločnosti v reklamách a ponukách využívajú túto fintu, pretože sa ňou veľmi dobre lákajú klienti, ktorí si v skutočnosti neuvedomujú, koľko ich bude pôžička stáť. Hľadajte so žiakmi reálne ponuky bánk a spoločností a porovnávajte ich. Diskutujte so žiakmi o tom, či je rozumné si požičiavať, kedy je rozumné si požičiavať a na čo všetko treba pri pôžičke myslieť. Rozprávajte sa o reklamných sloganoch spoločností, ktoré nás presviedčajú, že výhodnejšie je si požičať ako našetriť a že veci zostarnú skôr, ako si na ne našetríme. Táto téma poskytuje množstvo výchovných momentov, ďalšie tipy a námety nájdete v pracovných zošitoch Praktické financie. Pôžička Smetuprevas 000 eur 10 0 = 00 eur úrok... 00 eur úroková miera... 0 % Rýchlepeniaze 1 10=0eur úrok... 0 eur úroková miera... 6 % Výhodnejšiu úrokovú mieru má spol. Smetuprevas. 1. zošit 9

0 000 6 0 700 000 7 600 1 00 18 100 166,66 Úrok... 00 eur... úroková miera, % p.a. úver... 100 000 eur Novákovci si vzali úver 100 000 eur. Úrok... eur... úroková miera 1, % p.a. vklad... 0 eur Pred rokom mala pani Eva 0 eur. Úrok... 00 eur... úroková miera, % p.a. vklad... 100 000 eur 1. zošit 60 Pán Jakub si vložil 100 000 eur.

1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Postupne si vyberá 9 0 = 00 eur spolu 19 00 eur. po desiatich rokoch má na účte 1 0 eur 1000 10 191,01690,91 1688,61789,1 17910,79 188,1119001,1971,60 0 6,0 77,1 91,7 06,8 1,67 7,, 70,0 87,1 Po desiatich rokochmá na účte 0 18,7 eur. 0 eur 1 eur 6, eur 1 0 eur Úloha 1 ieľom tejto úlohy je porovnať výhodnosť oboch spôsobov šetrenia. Pri druhom spôsobe, keďže navyšujeme každý rok istinu, zvyšuje sa nám aj úrok. Preto je tento spôsob výhodnejší, ak chceme, aby naše peniaze zarábali ďalšie peniaze. Diskutujte so žiakmi o tom, či je pre nás dobré mať zarábajúce peniaze. Čo ešte okrem peňazí môžeme vlastniť a bude nám to zarábať peniaze? Napríklad, ak vlastníme nehnuteľnosť a dávame ju do prenájmu... Ďalšie tipy a námety nájdete v pracovných zošitoch Praktické financie. Úloha 1 Úloha 1 Úloha upozorňuje na to, že okrem úrokovej miery je potrebné si všímať aj obdobie, počas ktorého máme uložené peniaze alebo si požičiavame peniaze. Pretože aj tento faktor ovplyvňuje výšku nášho úroku za dané obdobie. 00 eur 10 eur 7 eur 1 00 eur 1. zošit 61

Úloha 16 Pozornosť žiakov treba zamerať na frekvenciu pripisovania úrokov. Pán Šetrný si na začiatku roka vloží istú sumu (napr. 1 000 eur), ale výška jeho konta po roku závisí od toho, ako často mu budú pripisované úroky. Ak budete mať čas a chuť, môžete sa hrať na týždenné, denné či iné úročenie. Úloha 17 Hypotekárny úver sa v tomto prípade spláca tak, že pán Staviteľ platí mesačne rovnako veľkú splátku 100 000. Časť z nej tvorí úrok z dlžnej sumy a zvyšok je splátka istiny. Ako sa zmenšuje dlžná suma, zmenšuje sa aj splátka úroku, ktorú pán Staviteľ mesačne platí, a zvyšuje sa splátka istiny. Pre zaujímavosť si môžete vypočítať zisk banky na tomto hypotekárnom úvere (a to sme ešte nezarátali poplatky za poskytnutie úveru). Ďalší problém, ktorý žiaci môžu riešiť, je, či by pán Staviteľ zaplatil banke viac, keby splácal svoju hypotéku dlhšie (platil by mesačne menšie splátky). Vklad = 1 000 eur A = 1 10 eur B = 1 1,60 eur = 1 1,1 eur D = 1 16,16 eur E = 1 16,80 eur 8 68,70 8 6,80 90 666,0 91 7,0 71 111,0 7 11,10 9 88,90 Júl 68 6,60 6 86,0 9 1,80 August 6 08,80 6,10 9 7,90 September 70 860,90 708,60 9 91,0 Október 7 69,0 7,70 96,0 November 79,0 79,0 97 06,70 December 18 118,0 1 81,0 98 178,80 1. zošit 6 8 99,70 89,0 8 99,70 1 00 000

Katka podpis: 0 eur 10,17 = 1,70 Mária podpis: 0 eur 10 61,0 = 61,00 Výhodnejšia je Katkina pôžička. Viac zaplatí pani Mária (o 1,0 eur). Katka 601,70 o 0, % Mária 61,00 o,8 % A prvá splátka 000 eur 6 99,7 = 1 80,9 eur spolu B prvá splátka 17 80,9 eur 000 eur 8 08,7 = 1 796,96 eur spolu 17 796,96 eur Prvý spôsob je výhodnejší. spolu 601,70 eur spolu 61,00 eur Úloha 18 Učte žiakov, že keď už sa dostanú do situácie, že si potrebujú požičať, je potrebné si všetko dobre prepočítať. Neorientovať sa iba podľa výšky splátok, ale aj podľa úrokovej miery a hlavne podľa čísla r.p.m.n. (ročná priemerná miera navýšenia). Toto je údaj, ktorý v skutočnosti prezrádza, koľko klient zaplatí za pôžičku a každý, kto požičiava, je povinný uvádzať ho (aj v reklame, aj v zmluve). Upozorňujte žiakov, že v našej spoločnosti je (žiaľ) zvykom, že najdôležitejšie veci sú často v zmluve napísané tým najmenším písmom a že je potrebné zmluvu si poriadne prečítať a keď jej úplne nerozumiem, poradiť sa s niekým kvalifikovaným. Hovorte so žiakmi o tom, čo sa stane dlžníkom, ktorý nesplácajú svoje dlhy. Úloha 19 V zásade platí čím dlhšie splácam, tým viac za požičanie zaplatím. Aj preto je prvý spôsob výhodnejší, aj keď podľa výšky splátok sa to nezdá. Ďalší dôležitý faktor je, že pri väčšine lízingových zmlúv sa stanete vlastníkom splácaného auta až po jeho úplnom zaplatení (tu môžu nastať problémy napríklad vtedy, ak vám auto ukradnú a poisťovňa v tom prípade plní škodu lízingovej spoločnosti a nie vám hoci ste už veľa peňazí za auto zaplatili, nemáte ani auto, ani peniaze). Ďalšie tipy a námety nájdete v pracovných zošitoch Praktické financie. 1. zošit 6

1. zošit 6

Úloha Pozor tabuľka hovorí o ľuďoch, ktorí sa pravidelne nevenujú športu a v úlohách sa pýtame na ľudí, ktorí športujú. Dá sa, samozrejme, vymyslieť oveľa viac otázok, na ktoré nájdete odpoveď pomocou vypracovaného stĺpcového diagramu. My vieme, že vy to zvládnete hravo a práve preto nechajte úlohy vymýšľať vašich žiakov. Kto vymyslí najviac otázok (zmysluplných), kto vymyslí najzábavnejšiu, najkomplikovanejšiu... Námet úlohy môžete využiť na diskusiu o tom, koľko žiakov vo vašej triede pravidelne športuje, čo to znamená pravidelne športovať, aký význam má pre naše zdravie pravidelné športovanie Portugalsko Fínsko 1 krajín menej ako SK; 10 krajín viac ako SK 1. zošit 6

Úloha Kruhový diagram je výhodný vtedy, ak delíme jednu skupinu (100%) na niekoľko častí napríklad rozdelenie jazykových znalostí žiakov jednej triedy. Výhodnejší je stĺpcový diagram. 60 % 0 % 0 % 0 % 0 % 10 % aspoň 1 aspoň aspoň žiadny 1. zošit 66

tisícina Úloha Princíp počítania je ten istý ako pri percentách, len sa nachádzame na území tisícin. 1 600 190 1 000 0,06, 1, Úloha My sme sa pri riešení úlohy držali logiky definície stúpania/klesania. Vždy sme si vypočítali, o koľko metrov cesta stúpne/klesne pri vodorovnej vzdialenosti 1 000 m. 0 60,0 1,7, 6 000 m..., m 1 000 m... 1,7 m 70 m... 10 m 1 000 m..., 6 m 1 0, 8 000 m... 8 m 1 000 m... 1 m 00 m... m 1 000 m... 0, m 1 91 m... 7 m 1 000 m... 18,8 m Stúpanie lanovky je 18,8. 1. zošit 67

Úloha Vypočítať, koľko promile alkoholu je v krvi človeka, ktorý pil alkohol, nie je jednoduché. Výsledok ovplyvňuje veľa faktorov (vek človeka, jeho hmotnosť, pohlavie, čas, ktorý uplynul od vypitia alkoholu...). Preto sme výpočet zjednodušili tým, že sme vyliali alkohol do suda. Všetky vypočítané údaje teda platia pre muža s hmotnosťou 90 kg. Diskutujte so žiakmi o tom, aké promile alkoholu by mali oni po vypití rovnakého množstva alkoholu a aké by potom bolo ich správanie. Úloha nemá žiakov navádzať na pitie alkoholu, má im priblížiť a zvedomiť problémy, do ktorých sa môžu dostať. Úloha 6 Práve z dôvodov, ktoré sme opísali pri predchádzajúcej úlohe, sa budú výsledky jednotlivých kalkulačiek od seba odlišovať. 180 8 10 108 1 0,0,86 0,76 1,90 1,71 1,9 1. zošit 68

Príprava a realizácia celého projektu tak, ako je opísaný, môže trvať aj niekoľko týždňov. Veľká časť práce je na domácej príprave žiakov a kooperácii v skupinách do ktorých sa rozdelili. Nepodceňujte rozdelenie žiakov do skupín takto dáte možnosť vyniknúť všetkým žiakom v triede (aj tým, ktorí nie sú dobrí v matematike). Skôr, ako začnú žiaci vymýšľať identifikačné prvky banky (logo, názov, letáky, produkty...) je dobré, aby si pozreli, ako to vyzerá v reálnych bankách. Nech sa do nich vyberú, prinesú letáky, pozrú si ich webové stránky... Samotnú matematiku využijú žiaci pri zostavovaní ponuky banky. Zamerajte sa iba na dve veci: (1) za akých podmienok banka požičiava peniaze a () za akých podmienok si u nej môžu klienti uložiť peniaze. Žiaci pri vymýšľaní musia brať do úvahy aj konkurenciu a postaviť svoje produkty tak, aby boli konkurencieschopní. Samotnú prezentáciu môžete ozvláštniť tým, že na ňu pozvete rodičov alebo kolegov a títo budú predstavovať klientov, ktorí sa budú rozhodovať, ktorú banku by si vybrali. Nech žiaci pripravia prezentáciu na počítači alebo akýmkoľvek iným spôsobom, o ktorom budú presvedčení, že zaujme a priláka klientov. Nezabudnite zdôrazniť, že banka musí pôsobiť dôveryhodne (veď ide o naše peniaze) a diskutujte o tom, ako sa dôveryhodnosť prezentuje (budovy, oblečenie pracovníkov, farebnosť propagačných materiálov...). 1. zošit 69

Úloha 1 Diskutujte so žiakmi o tom, aké geometrické útvary sú vrcholy, hrany a steny kvádra a kocky. Úloha Nechávame žiakov kresliť pravý aj ľavý pohľad, neskôr nech si každý žiak vyberie ten, ktorý mu viac vyhovuje. kváder K, L, M, N, O, P,R,S KL, LM, MN, NK, KO, LP, MR, NS, KLMN, OPRS, KLPO, LMRP, NMRS, KNSO 8 1 6 OP, PR, RS, SO kocka A, B,, D, E, F, G, H AB, B, D, DA, AE, BF, G, DH, EF, FG, GH, HE ABD, EFGH, ABFE, BGF, DGH, ADHE 8 1 6 1. zošit 70

Miesto na náčrt majú žiaci vyznačené osobitne, aby mali neustále na pamäti, že robiť náčrt je užitočné a hlavne zmysluplné. Diskutujte s nimi o tom, prečo je to zmysluplné. E H F G E cm A H D 7cm G F B 6cm D A B M' L' N' K' K' N' L' M' K' cm K N' N cm M' L' M L cm M N N M L K K L 1. zošit 71

Úloha 1 Kresliť alebo rysovať obrazy telies čo i len v jednobodovej perspektíve vôbec nie je jednoduché. Ale ten pocit, keď sa vám podarí narysovať to správne stojí za to. My sme pre vás a vašich žiakov pripravili iba také letmé stretnutie s perspektívou. Skúste ako spojenca vziať učiteľa výtvarnej výchovy a nechajte žiakov kresliť komiksový príbeh. Majte však podmienku: všetky budovy a veci v komikse musia byť nakreslené v perspektíve (jedno, dvoj alebo pre najväčších fanatikov v trojbodovej). Želáme vám príjemné pozeranie a čítanie. 1. zošit 7

Úloha Pre najväčších odvážlivcov pripravte samostatnú prácu na čistom papieri vyznačte priamku a dva body nechajte žiakov samostatne narysovať obraz kocky alebo kvádra. 1. zošit 7

Pre túto aj nasledujúce strany platí: možno sa nájdu vo vašej triede žiaci, ktorí si budú vedieť stavby z kociek predstaviť a splniť zadanie úlohy. My vám však radíme: zožeňte si kocky a nechajte žiakov, aby stavby stavali, pozerali sa na ne z rôznych strán a potom kreslili čo vidia. Možno budú vaše hodiny trochu hlučnejšie ako ste zvyknutí, no priestorovej predstavivosti vašich žiakov to pomôže oveľa viac ako keby ste ju nechali pracovať samú. 1. zošit 7

1. zošit 7

Úloha Ak budú žiaci kresliť obrazy stavieb pomocou kociek s rozmerom štvorčeky, zmestia sa im na túto stranu iba obrazy telies bez nárysov, pôdorysov a bokorysov. Je na vás, ako zadáte úlohu žiakom. Jedna z možností je, nech každý postaví a nakreslí čo najviac stavieb, potom rozdeľte triedu na tri skupiny nárysovú, pôdorysovú a bokorysovú a nechajte každú skupinu kresliť iba príslušné obrázky. Potom skúste spolu priraďovať ktorý nárys, bokorys a pôdorys patrí ktorému telesu. 1. zošit 76

Úloha Nechajte žiakov urobiť papierové modely všetkých troch telies. Potom nech stavajú stavby a kreslia ich obrazy vo voľnom rovnobežnom premietaní. 1. zošit 77

Úloha 7 Ak to vašim žiakom nevychádza, treba ich upozorniť, že síce väčšina hracích kociek je pravotočivá, ale tá naša je ľavotočivá. Ak majú problém s predstavivosťou, odporučte im, aby si takúto kocku zostrojili (z papiera), napr. podľa siete na obrázku nižšie. 1. zošit 78

Nech vaši žiaci nájdu viac informácií o Euklidovi či inom starovekom alebo novovekom matematikovi. Urobte si hodinu Histórie matematiky, na ktorej môžu žiaci napríklad v dobových kostýmoch informovať svojich spolužiakov o zaujímavostiach zo života týchto géniov i o ich objavoch. Nezabudnite pozvať rodičov! Vysvetlite si so žiakmi, čo sú to prvočísla. Dôraz kladieme na slovné spojenie vysvetlite si. To znamená, že nie vy ste ten/tá, kto to musí ostatným vysvetliť. Nechajte žiakov, nech si naštudujú, čo sú to prvočísla, a navzájom si vysvetlia tento krásny (a jednoduchý) matematický pojem. 1. zošit 79

Úloha Žiaci si môžu dokresliť kocky do obrázka tak, alebo si každý kváder vymodelujú na lavici z menších kociek. Práca so skutočnými kockami je síce hlučná, ale pre žiakov veľmi atraktívna. Navyše, veľmi dobre pomáha pri budovaní pojmu objem a pri utváraní predstavy o jednotkách objemu. 1 0 0 1 7 0. zošit 6 7 1 0

Úloha Získať predstavu o tom, čo je skutočne 1 cm alebo 1 dm, je veľmi dôležité. Pomôže nám aj narysovanie obrazu týchto jednotiek vo voľnom rovnobežnom premietaní. Oveľa lepšie však je, ak si každý žiak zhotoví model decimetra kubického alebo centimetra kubického. Ak by ste mali dostatočný počet kociek, môžete si v triede poskladať aj meter kubický. Úloha 6 Vyznačte si aj vzťah medzi cm a mililitrom. 1 000 1 000 000 1 000 000 000 1 000 1 000 000 1 000 000 000 : 1 000 : 1 000 :10 10 :100 :10 1 000 1 000 :10 :10 100 10 10 10. zošit

Úloha 8 Už to máš? 00 0,81 000 0 000 0 000 11 000, 0 18 6,767 1 00 1 6 1 6 cm 181 000 cm 000 cm,006 cm 000 cm M Á Š T O 0,00 cm cm 000 cm 000 000 cm 000 cm 0,0 cm 0 cm 000 cm 1 90 cm 000 cm 798 cm 00 cm. zošit Najmenší rozdiel najväčší rozdiel

Úloha Pozor na rozdielne jednotky! V = 1 cm V= a V = =1cm V = 1 000 dm V =7m V =91,1mm a V =60dm V= a b c V = =60dm V = 100 dm V = 17,7 dm V = 1, cm a b c 160 0,00 197 800 0,1 16 dm,197 cm 80 cm 1 mm 16 l 0,00 197 dm 80 000 dm 0,1 cm 160 dl 0,00 197 l 80 000 l 0,1 ml 800 hl. zošit

Učme žiakov kresliť si náčrty aj pri výpočtovej geometrii. Spôsob zápisu úlohy a jej riešenia nechávame na vás. V =87,l=87,dm c c= V:( a b) 0,7 m cm c =dm Akvárium má hĺbku dm. V =, m m a= V:( b c) a 1, m a = 1,8 dm Tretí rozmer skrine je 1,8 m. Róbert Norbert V = 0,6 cm V = 1,8 cm 0,6 1,8 =,6 Viac čokolády má Róbert, o,6 cm. a b c a =1cm a =cm V =1cm V =6cm a m = 0, kg m = 1,8 kg a a. zošit 6 Kocka s hranou cm má hmotnosť 1,8 kg.

10 m 1, m 1m V =10m c =10:(70 10) c = 0,0 m Treba vykopať 10 m zeminy. Vrstva hliny bude vysoká, cm. a =m=0dm b =m=0dm c =1m=0,1dm m m 1cm V = 7 700 dm V = 7 700 l Na záhradu napršalo 7 700 l vody. S= a b S= V: c S =0m a b 0 cm V miestnosti môžu pracovať ľudia.. zošit 7

Úloha Skúška správnosti znamená vystrihni a zlož.. zošit 8

Úloha Skúška správnosti opäť znamená vystrihni a zlož. Existuje 11 rôznych sietí kocky.. zošit 9

Úloha 8 Pozor na rozdielne jednotky! 0,000 000 1 0,000 1 0,01 100 10 000 1 000 000 0,000 7 0,07 700 70 000 7 000 000 700 000 000 0,000 0 0,00 0, 0 000 000 000 0,7 70 7 000 700 000 70 000 000 7 000 000 000 0,000 00 0,000 0,0, 0 000 0,007 7 7 00 70 000 7 000 000 7 00 000 000 S =m S=6a S =6 =6 9= S = 0, dm S =110mm 6a S = 98,1 cm S = 18 dm S=( ab+ bc+ ca) S =(6 + + 6) S =18 S = 6 00 cm ( ab + bc + ca) S = 60,8 dm. zošit 10 S = 0 0 cm

Pri náčrtoch je dobré pracovať s farebnými ceruzkami. a a = S:6 =6 a Úloha 11 Podlahu nemaľujeme. a =6 Dĺžka hrany kocky je 6 cm. a a Úloha 1 Zmáčaných vodou je iba päť stien akvária. (Predpokladáme, že voda presakuje cez piesok a štrk na dne akvária.) =( + c+ c) c =dm dm c 0 cm S=ab+( bc+ca) S = 6, m 6, 70 m 7 plechoviek Potrebujeme 7 plechoviek farby. m, m m 80 cm 0 cm c= V:( a b) c =0cm S= ab+ ( bc+ca) 7 cm 0 cm cm 7 cm S =197cm cm V akváriu je zmáčaných 1 97 cm stien.. zošit 11

Modrá kocka a = S:6 a =9 a =7 Červená kocka a =7 0,dm=cm a = 900 cm 600 cm 60 cm 10 cm 90 cm 10 cm 00 cm 00 cm 600 cm 00 cm 1 mm 700 mm 1 170 mm 180 mm 180 mm cm 680 cm cm 0 cm 16 cm m m 10 m 18 m 0 m m m 9m 9m 9m 6cm 6cm 60 cm 1 cm 60 cm. zošit 1 l l 1l= l 1 l l=1 l 1 l l l= l l l 6l= l 7l= l l 8l=l+l 9l= l 10l= l...

S pl = 0,6,8 S pl = 7,8 m 7,8 m = 1,8 m 1,8 1 = 6,08 Zaplatíme 6,089 eura. Úloha Urobiť všeobecné riešenie tejto úlohy je zatiaľ nad matematické možnosti vašich žiakov. Nech si zmerajú jednotlivé dĺžky, a potom vypočítajú objemy a povrchy telies. a a a a 6a cm 1 cm 8cm 16 cm cm 6a a 16a a a 8a 1a a 10a a 8a 0a a 6a. zošit 1

Úloha 7 Jeden i druhý spôsob riešenia je správny. Nájdu vaši žiaci ďalší? 8 7 8 7 = = 8 11 = 6 kociek a) 11 11 11 11+ = = 1 1 97 + = 1 088 kociek b)11 6 = = 1 088 kociek V =(6 8): V = 10 dm Kváder V = 6= 10 cm kocka V = = 1 cm Bude nám chýbať cm plastelíny.. zošit 1

Kocka 6 6 6=16štvorcov schody (6+++++1)= 6 6 =7 1 6 =7 spolu + 7 + 7 = 186 štvorcov Kocka má väčší povrch ako 0 štvorcov. Úloha 1 Vyfarbujte alebo ešte lepšie doneste si kocky a zreálnite celú úlohu. Taký istý ako povrch kocky s hranou 1 cm. 6 1 1=86cm 6 6 6=16 16 6 =96 96 1 =8 8 8 vrcholov 8 0 16 (96+8+8)=6 alebo =6 6. zošit 1

Možno zistíte aj vy sami, že odhadnúť objem ľubovoľného telesa v našom okolí nemusí byť triviálne. Aj to však patrí medzi matematické zručnosti. Ponúkame vám jednu stranu, kde si žiaci môžu túto zručnosť natrénovať.. zošit 16

Úloha 1 Povrch nového oltára by bol a a jeho nový objem by bol 8 a ; Úloha Hrana kocky by mala mať rozmer a ; Úloha Hrana kocky by mala mať rozmer a. Od žiakov by sme očakávali približné, experimentálne získavané riešenia.. zošit 17

Úloha Úloha dáva možnosť lepšie pochopiť univerzálnosť vyjadrenia veľkostí (počtu, množstva atď.) pomocou pomeru. Úloha V podstate krátime a rozširujeme pomer užitočné cvičenie. Prídu vaši žiaci na to, koľko má táto úloha riešení? AB =cm D =cm A B D AB =cm D =6cm A B D AB =6cm D =9cm A B D Z = 6 Č=10 M=1 alebo Z=9 Č=1 M=18 alebo Z = 1 Č=0 M=. zošit 18

A = 1, cm A =8cm Úloha Ako by sa zmenili čísla v tabuľke, keby sme vymenili poradie bodov A, B,? Diskutujte o tom so žiakmi. V úlohe implicitne predpokladáme, že body A, B, ležia na priamke. Ako by sa zmenila situácia, keby neležali? A =cm A =6cm 1 cm cm : :1 Úloha 6 Zmeňte poradie bodov A, B, a potom znovu porovnajte dĺžky jednotlivých úsečiek. Úloha 7 Dobrý obrázok nič nepokazí, skôr naopak. Otázka: Čo v praxi znamená o diely viac? cm 10 cm cm 0 cm 1 cm 1 cm < > = < štrku cement o diely -krát štrk. zošit 19

Úloha 11 Úloha nadväzuje na predchádzajúce cvičenia zo s. 18 a 19, tu však už pracujeme so samotnými pomermi. Ak by to niektorým žiakom robilo problém, vráťte sa napríklad k počtu vecí. : :7 1:1 1: :7 1: :1 1: 17:9 9: : 17: 6:1 6:16 0:0 0:0 1:16 0:0 :1 : :1 1: : :8 1: 1: 8: 8: :8 :1 1:8 8:1 10:1 : :8 80:16 7: 0:0 10: :117. zošit 0 :1=6:=9:=1:=1: 6:1=9:1=1:8=1:=18: 1:=:6=:9=:1=:1 1:0=:10=6: 0=9:0=1:0 :1=1:=0:=:=0:6

10 6 17, 0 16 6 18 1 6:=10:= 10:6=1:9= Úloha 1 Úloha ukazuje peknú súvislosť medzi zlomkami a pomerom. Žiaľ, táto matematická krása často ostáva pre žiakov utajená, aj keď pri riešení úloh je veľmi prospešná. Preto sa tejto úlohe oplatí venovať dostatočne veľa času. Úloha 1 Pomer je opäť jedna z tém, kde by sme pri riešení úloh mali žiakov nabádať najmä kresliť, znázorňovať si situácie. Dobre nakreslený obrázok často ponúkne okamžitú odpoveď na položenú otázku. 1: 1 : :8 8 9:16 9 16 Úloha 16 Zapíšte si aj slovnú interpretáciu každého pomeru. o 1 pôvodný zvýšený -krát h : D =: V: M=1: P: š=1: L: Z=:1 L: H=1:1 H: G= : 100 L: G=1:1. zošit 1

Úloha 19 Vráťte sa k úlohe 1 na strane 1. Úloha 0 Aj tu môže vašim žiakom pomôcť návrat k zlomkom a pomeru v úlohe 1 na strane 1. Úloha 1 A čo nevyfarbené pomery? 1:10 1:8 1: 1 000 : 1 1: :1 1: 10:1 1 10 8 1 9 0 9 1+=, :=1, 1 =9 9 =6 1 0 = 60 1 =60 18 =81 1 0 = 1 70 =1 10 0 111 =7 60 =10 8 zelená červená. zošit

Kreslíme, kreslíme, kreslíme... A potom trochu počítame. 900 g múka orechy 1 000 g 100 g iné diely múka 1 diel orechy diely... 900 g 1 diel... 00 g... orechy diely... 600 g... múka Úloha Myšlienka používania dielov pri riešení úloh tohto typu je zatiaľ pre niektorých žiakov ukrytá a vzdialená. Možno by im ju pomohol objaviť návrat k úlohe na strane 18. sk.: spolu 00 + 600 + 100 = 1 000 g Róbert 1 00 eur Norbert 1 00 : 7 = 00 00 = 800 eur... Róbert 00 = 600 eur... Norbert sk.: spolu 800 + 600 = 1 00 mosadz... 1 kg meď zinok 1:= =9kg...meď =6kg...zinok sk.:9+6=1 d d o=( d+ d)=16d,6 = 16d d = 1,6 cm d= 8 cm... a d=,8 cm... b sk.: (8 +,8) =,6. zošit

Úloha 8 Úloha 9 d Riešenie rovnice = 1 urobte úvahou. ( Ktoré číslo, keď ho vynásobíme samé sebou, dá výsledok 1? ) Ide o kosoštvorec s rovnakým pomerom výšky a strany ako v predchádzajúcom príklade, iba dĺžky strán sú dvojnásobné. Porovnajte pomerom ich obvody (0:0=1:)aichobsahy (0:80=1:).Tejtoproblematike sa ešte budeme niekoľkými príkladmi venovať tu môžete začať otázkou: Keď je pomer obvodov1:,potompomer obsahov je1:=1:? + + =180 =18 = =7 = =90 sk.:18+7+90=180 ' + ' + ' =180 ' =1 = ' = = ' =60 = ' =7 ' ' ' d d 0= d d d =1cm a= d=cm b= d=cm o =18cm. zošit 1++=9 :9= a =1 =cm b = =1cm c = =cm sk.:+1+=

Katka Danka Janka 10:1=10 60 eur 0 eur 0 eur Katka... 60 eur Danka... 0 eur Janka... 0 eur sk.:60+0+0=10 Úloha 0 Pri kreslení obrázka sme celé dieliky v pomere Katky a Danky ( : ) neskôr rozdelili na polovicu, aby sme mohli dobre porovnať Katku a Janku. Úloha 1 Problém je uvedomiť si, že musíme vyberať z niekoľkých možností určiť dvojicu sliepok tak, aby sa medzi ne dalo bez zvyšku v danom pomere rozdeliť 16 zŕn. 8+7=1dielov 8+6=1dielov 7+6=1dielov Prvá...8 1=96 16:1=10, 16:1=11,1 16:1=1 druhá...7 1=8 tretia...6 1=7 sk.:8+7=16 Úloha Pri hre nepribúdajú počas hry nové guľôčky, iba menia majiteľov. To, že súčet dielov v pomere je 1, veľmi rýchlo zvádza na vyslovenie úvahy, že na konci hry nemohli mať rovnaký počet guľôčok. Ak žiaci prezentujú takéto riešenie, povedzte im konkrétny počet, kedy sa to dá (napríklad 1, a guľôčok) a nechajte ich uvažovať ďalej. Začiatok hry d:7 d:d spolu 1d 1dsa dá rozdeliť na tri rovnaké časti ak dje násobok. napr.: d = 6 7+6=1 7+=11 6+=10 začiatok koniec 1:: 6:6:6 86 000 : 1 = 000 P = 1 000 D = 1 000 T = 88 000 86 000 : 11 = 6 000 P = 18 000 D = 16 000 T = 10 000 86 000 : 10 = 8 600 P = 00 00 D = 171 600 T = 11 000 Úloha Úloha je netypická (ťažšia) pre žiakov tým, že treba nájsť všetky riešenia. Použijeme tie isté úvahy ako v úlohe 0. Skúste spolu so žiakmi ešte pred riešením zistiť, ktorá z možností je pre synov najvýhodnejšia (t. j., keď vyberieme takú dvojicu synov, ktorej súčet dielov je najmenší, pretože vtedy delíme na malý počet dielov a na jeden diel pripadne väčšia suma peňazí).. zošit

0,:0,=1:1 60: =1:1 =60cm 10=: :=: =kg 0:10=:1 : =1: =1kg 6:=:1 0: =1: =60cm := =0g Šperk obsahuje 0 g medi.. zošit 6

x a=x b=x Úloha 7 Žiaci mocniny ešte nepreberali, ak by bol problém zapísať x x v tvare x, nechajte obsah zapísaný vtvare8 x x. o=( x+ x)=1x x x S= x x=8x Veľké... 10 s... 0-krát 1 s... -krát malé... 10 s... 6,-krát 1 s...,-krát M:V=,:=:0=:6 x = 7 6 x = x = 10, x = 8 x = x = 0 x = 0,8 x = 80 9 x =6 x = 18 7. zošit 7

00 = = 00 cm = =m 1 000 = = 000 cm = =0m 1 000 000 = = 000 000 cm = =0km :=1cm : 100 = 0, cm = :000=0,00 cm = =, mm = 0,0 mm 10 km = 1 000 000 cm 10:1000000=1:100000 000 m = 00 000 cm : 00 000 = 1 : 0 000 m=000mm :000=1:000 0,cm=mm 00 km = 00 000 000 mm,cm=mm :00000000=1:0000000 0 : 00 = 0,09 m = 9, cm. zošit 8

Skutočnosť a = 00 m b = 100 m S = 0 000 m Model a, b, c V = abc mapa a' =1m b' = 0, m S' = 0, m skutočnosť a' =0a b' =0b c' =0c V' = 1 000 V pomer S' : S= 0, : 0 000 =1:0000 0 000 = 00 pomer V:V' =1:1000 1 000 = 0 Úloha 6 Úloha 7 Pre siedmakov má zmysel riešiť tieto úlohy len vo veľmi zjednodušenej podobe. Preto má záhrada tvar obdĺžnika a teleso tvar kvádra. Pracovať s premennou (naše riešenie v úlohe 7) pri týchto typoch úloh sa darí najmä lepším žiakom. Opäť si pripomeňte, že cesta k riešeniu vedie aj cez konkrétne čísla (ako naše riešenie v úlohe 6). Závisí od vás, či riešenie každej z úloh dotiahnete až k zovšeobecneniu (ak je pomer dĺžok 1 : a, tak pomer obsahov je 1 : a a pomer objemov je 1 : a ). b),1 km Úloha 8 Pripravte si trasu výletu, vezmite mapu vášho okolia a riešte podobné úlohy. elá práca môže opäť vyústiť do pekného projektu, napríklad s názvom Stavba hotela. Zadajte podmienky, ktoré limitujú výstavbu hotela, a na rôznych mapách hľadajte ideálne lokality. Podmienkou môže byť napríklad dostupnosť od najbližšieho letiska, železničnej stanice, autobusovej zastávky, vzdialenosť od vodného zdroja, zdroja elektrickej energie, vzdialenosť od chránených lokalít, vzdialenosť od turistických atrakcií.. zošit 9

Aj keď uvádzame postupy riešenia, nemyslíme si, že sú vždy jediné možné. Našou snahou bolo ukázať, koľkými rôznymi spôsobmi sa môže každá z úloh vyriešiť (každá logicky správna cesta je dobrá, niet lepšej či horšej môže byť iba práve rýchlejšia pre konkrétny typ úlohy, ale aj to závisí od riešiteľa). Veríme, že pri riešení jednotlivých úloh sa vo vašej triede objaví viac typov riešení a vy budete mať veľký priestor na diskusiu so žiakmi. cm... 1 l cm... x l Vo váze bude 9 l vody. 7, kg... eur 1 kg... :, = eurá kg... =6eur = x 1 x = l 9 7 Za kg by zaplatili 6 eur. 00 : 18 =. 16,8 m Jozef by mal urobiť 17 dvojkrokov.. zošit 0 kg... 0 g sušených x kg... 1 000 g sušených Potrebuje 0 kg jabĺk. 7 = x 1000 0 x = kg 0 7

10:1= x :100 Na 100 kg cesta potrebujeme 86 1 kg múky. = x 0 11 9 Veža je vysoká 8 8 m. 9 Úloha 6 Veľmi dobrá metóda na určovanie výšky objektov v priestore. Vyjdite so žiakmi na školský dvor, zmerajte dĺžku tieňa palice s dĺžkou 1 meter, potom dĺžku tieňa konkrétneho objektu a výsledky máte raz-dva. Z tejto nenápadnej úlohy sa dá tiež vyjsť do projektu, ktorého zadaním by okrem spracovania výsledkov meraní na školskom dvore bolo hľadanie ďalších možností, ako sa dá zmerať výška objektu v priestore. Žiaci rýchlo pochopia, že tiene skutočných budov a stromov majú rôzne tvary a nie je úplne jasné, odkiaľ treba merať. Matematika v zošite nie vždy zodpovedá matematike reálneho sveta. jablká... 1 kg..., eura hrušky... 1 kg... eurá Lacnejšie sú jablká. x = 16 800 19 Dorota prešla 19 00 m.. zošit 1

Úloha 9 Pripomíname percentá. Veľmi zjednodušene ukazujeme žiakom, že časť nášho zárobku dávame štátu vo forme daní. Diskutujte s nimi, prečo je to tak a na čo štát použije naše dane. Je načase, aby sme prestali veriť, že napríklad školstvo je v tomto štáte zadarmo. Všetci si zaň platíme nepriamo prostredníctvom daní (a celý život). Úloha 10 Úloha 11 Pri riešení sme nepoužili trojčlenku, ale zdravý sedliacky rozum. Úloha 1 Pri zostavovaní tejto úlohy nás inšpirovala skutočná propagačná jazda, ktorú zorganizovala v Českej republike istá automobilka pri otváraní svojho nového závodu. Diskutujte so žiakmi o tom, asi akou rýchlosťou mohli autá ísť, aby to pre všetkých vodičov bolo bezpečné (vzhľadom na malú vzdialenosť medzi vozidlami). 10 škatúľ... 0 eur 19 škatúľ... x eur = x 19 0 10 x =7 100 %... 7 eur; 19 %... 10,8 eura; čistá mzda... 6,17 eura Včera zarobila 7 eur, čistá mzda bola 6,17 eura. 7 pomarančov... 1 kg pomarančov... x kg 7 Do školskej jedálne kúpili 7 kg pomarančov. 10 1, t... 10 stromov x t... 100 stromov 10 1,=1 10 Žiaci musia vyzbierať 1 ton starého papiera. 100 áut 99 medzier spolu 100 0 = 000 cm = 0 m 99 1=99m 9 m. zošit Kolóna áut mala dĺžku 9 m.

0 obedov... 0,60 eura 1 obed... 1,0 eura obedov...,69 eura 10 obedov... 10, eura Za marcové obedy zaplatili,96 eura. V apríli im vrátili 10,0 eura. kg čerstvých... 0, kg = x 0, x kg čerstvých... kg x = 1 Ešte musia nazbierať 0 1 kg húb. =0 1 1 Predajom by získali,80 eura. 8,0 =,80 Úloha 1 Obedy v školskej jedálni síce nestoja až tak veľa, ale koľkokrát vaši žiaci nejdú na obed a neodhlásia ho. Spočítajte, koľko by ušetrili, keby tak urobili. Mimochodom koľko stoja obedy vo vašej školskej jedálni? Vedia vaši žiaci, koľko by stálo, keby to isté zjedli v reštaurácii? Úloha 1 estujte aj inam. Vymyslite si so žiakmi cestu Spoznaj Slovensko, naplánujte, čo na nej chcete vidieť, a vypočítajte, koľko by vás stálo cestovanie autom. 100 km... 6,9 l 1 km... x l Majiteľ zaplatí,0 eura. = x 1 6,9 100 x = 8,97 8,97 1,16 =.,0,6 0,0. zošit

Úloha 17 Úloha 18 Separujete vo vašej obci odpad? A čo vaša škola? Koľko sa vo vašej obci platí za odvoz a likvidáciu odpadu? Kam sa odpad odváža a kde a ako sa likviduje? Vedia to vaši žiaci? Prečo je výhodné a nevyhnutné separovať odpad? Ako to robili naši predkovia? To je iba malá ukážka námetov, ktoré vám ponúkajú tieto dve úlohy. Úloha 19 Keby sa do predajnej ceny obleku započítala iba cena látky, z ktorej je zhotovený, stál by,,1 = 77, eura. Prečo stojí oblek viac? Vedia vaši žiaci čo všetko ovplyvňuje ceny tovarov, ktoré kupujeme v obchode? Takéto a podobné námety nájdete aj v pracovnom zošite Praktické financie. plasty... 1 % sklo... -krát viac 1=8 8+1= 100 =8 Sklo tvorilo 8 % separovaného odpadu. Ostatný odpad tvoril 8 %. 1 týždeň... 10 l..., eura týždňov... 6 0 l... 17,6 eura Za rok vyprodukovali 6 0 l odpadov. Za jeho odvoz zaplatia 17,6 eura. 1 oblek..., m 1 000 oblekov... 00 m 1 m...,1 eura 00 m... 77 eura Odevný závod musí kúpiť 00 m látky. Zaplatí za ňu 77 eur.. zošit žiaci... 1 % x žiakov... 100 8 = 16 % V stredu chýbali žiaci. = x 16 1 x =

8 denne... 1 dní 6 denne... x dní Prečíta ju za 0 dní. = x 8 1 6 x =0dní Úloha Jedno z riešení sa približuje fyzike, druhé používa nepriamu úmernosť. A tu by nás naozaj zaujímala frekvencia jednotlivých riešení. Trúfli by ste si ju odhadnúť pred hodinou? Úloha Na vyriešenie stačí jednoduchá úvaha ako to vidia vaši žiaci? Denne 10 strán... kniha 180 strán po týždni prečítala... 70 strán ostalo... 110 strán denne 11 strán... 10 dní celá kniha... 17 dní a) 7 km... h... 10 km h h 0min= hod 10 km... hod... 90 km h b) 7 km... hod h x km... hod h x = 90 km h Vypustenie by bolo -krát rýchlejšie minúty.. zošit

Úloha 6 Úloha 7 Úloha 8 Aj pri riešení úloh na zloženú úmeru môžu vaši žiaci prísť s rôznymi spôsobmi riešenia (vám môže byť iný spôsob riešenia bližší ako ten, ktorý sme ukázali my). Opäť platí to, čo sme povedali na začiatku: každá logicky správna cesta je dobrá, niet lepšej či horšej. 90 km... hod h x km... hod h Môže ísť rýchlosťou 7. km h = x 90 x = 7 km h 0 00 l... čerpadlá... 7 hod 16 800 l... 1 čerpadlo... 7 hod 00 l... 1 čerpadlo... 1 hod 9 600 l... 1 čerpadlo... hod 8 000 l... čerpadiel... hod Natečie o 00 l nafty menej. : :7 1 robotníkov... 1 robotníkov... dni... 180 m 6 dní... 60 m 1 robotník... 90 dní... 60 m 9 robotníkov... 10 dní... 60 m 9 robotníkov natrie plot za 10 dní. 1 :9 9 prítokov... 1 dní... 1 nádrž. zošit 6 po 9 dňoch treba naplniť 1 nádrže 1 9 prítokov... 1 dní... 1 nádrže 1 = x 9 1 6 6 prítokov... x dní... 1 nádrže 1 x =18dní

80 cm piesku + nádoba... 0 kg 9 cm piesku + nádoba... kg 1 cm piesku... 0 kg 1 cm piesku... kg a) 80 cm piesku... 160 kg... nádoba kg b) 100 cm piesku + nádoba... 00kg+kg=kg c) 10 cm piesku + nádoba... 00kg+kg=kg 1 cm 80 cm 9 cm Úloha 9 Riešenie tejto úlohy je náročné, ak si žiaci neuvedomia, že treba vypočítať hmotnosť pieskového valca s výškou 1 cm. Úloha 1 Naša odpoveď je, samozrejme, správna iba vtedy, ak dáme všetky vajíčka variť naraz do tej istej nádoby. Vieme si predstaviť, že budete mať v triede žiaka či žiakov, ktorí budú tvrdiť, že vajíčka varia postupne, preto sa čas varenia štvornásobne predĺži. Čo na to zvyšok triedy? 0 kg kg 800 m... 0 s 0 m... 1 s... rýchlosť 7 km h Dostal pokutu. 8 min = 90 s 8 000 90 = 9 60 000 m 800 km = 800 000 m h h 9 60 000 : 800 000 = 9, h minúty. zošit 7

pracovníci... hodín x pracovníkov... 1 hodín Firma musí poslať 9 pracovníkov. = x 1 x =9 -krát denne... 8 dní x-krát denne... 6 dní Musí voziť tehly -krát denne. = x 8 6 x = zubov... 0-krát 1 zubov... x-krát = x 0 1 x =80 80 0 = 0 000 cm = 00 m Zadné koleso sa otočí 80-krát. Prejde vzdialenosť 00 m.. zošit 8 60 cm... 1 0 krokov 8 cm... x krokov Otec urobí 1 080 krokov. = x 10 60 8 x = 1 080

Svetový rekord (1.. 008): 100 m za 9,7 s 100 m... 9,7 s x m... 1h=600s Musela by ísť rýchlosťou 7,0. km h 0 cm... 70 častí 70 cm... x častí Ušijú 0 sukní s dĺžkou 70 cm. x = 600 100 9,7 x =707 =7,0 m km h h = x 0 70 70 x =0 Úloha 17 Kontrola ostražitosti. Hoci sme v kapitole Nepriama úmernosť, toto je úloha na priamu úmernosť, ktorú žiaci už majú precvičenú. Vzhľadom na nesúlad v osnovách matematiky a fyziky sa môže stať, že vaši žiaci nebudú vedieť prepočítať km/h na m/s. Overte si to, a ak to nevedia, tak im s tým pomôžte. Úloha 19 Matematika je síce presná veda, ale nie vždy úplne praktická. Táto úloha je toho jasným príkladom: každá krajčírka vám potvrdí, že to čo sa dá ušiť z látky širokej 10 cm sa nemusí dať ušiť z látky širokej iba 90 cm. 10 cm...,0 m 90 cm... x m = x 10,0 90 x =7 Látky širokej 90 cm treba7 m. nanukov... 0,6 eur x komiksov...,6 eur Mohol by si kúpiť 6 komiksov. = x 0,69,6 x =. 6. zošit 9

Úloha Porovnávať mesačné nájomné rodín jednotlivých žiakov môže byť citlivá téma. Môžete si spolu so žiakmi zistiť výšku priemerného mesačného nájomného na Slovensku a časť c) riešiť s týmto údajom. * Úloha Nedá sa počítať bez toho, aby sa predtým nevyriešila úloha! * Usušia sa za rovnako dlhú dobu. 0 adries... 0 eur 1 adresa... 0,08 eura a) 1 000 : 0,08 = 1 0 adries b) 1 000 0,08 = 80 eur 1 adresa... 18 sekúnd... 0,08 eura a) 100 eur... 1 0 adries... 00 s=6h1min b) 1 sekúnd... 1 0 adries... 1 000 s=h10min. zošit 0

Úloha Čo nakreslíte do prvého stĺpca: 1/ košíka, alebo 1 košík v trvaní dve hodiny? Diskutujte so žiakmi. 1 6 6 6 Úloha Graf urobte do zošitov a spoločne na tabuľu. 1 Po 18. hodine by mal 6 košíkov. 16 16 Pokračujte v zošitoch.. zošit 1

Úloha Najťažšie na tejto úlohe asi bude pre vašich žiakov zvoliť vhodnú mierku na x-ovej a y-ovej osi. Pomôžte im s tým. Vysvetlite im, ako majú postupovať. Nami napísané výsledky sú vypočítané zgrafusadajú určiť iba odhadom. a) 700 km b) 1 00 km km 000 c) a) 000 c) 10 km d) 1 80 km d) 000 b) 1 000 1 6 h km 00 00 100. zošit 1 h

h Úloha 7 Úloha 8 Nie je podstatné, aby ste tieto grafy pomenovali nepriama úmernosť. Dôležitá je skúsenosť žiakov, že nie každý matematický graf je priamka. Podobné otázky ako sme sformulovali v úlohe 7, môžete vy a vaši žiaci tvoriť aj v úlohe 8 (a všetkých ďalších úlohách). 16 otvory l 100 0 1 h autobusy... -krát... ľudí 1 autobus... -krát... 16 ľudí 1 autobus... 1-krát... ľudí autobusy... 1-krát... 168 ľudí autobusy... -krát... 80 ľudí autobusy sa musia otočiť -krát.. zošit

1:1 Sú rovnaké.. zošit

a) b) a) b). zošit

. zošit 6

YA : AX = VB : BY Y Úloha 16 V tejto úlohe sme ukázali úvahu (postup), ktoré nám umožňujú deliť úsečku AV v ľubovoľnom pomere, aj keď nepoznáme jej dĺžku pomocou delenia úsečky BV, ktorej dĺžku si môžeme určiť tak, aby sa nám dobre delilo. B Úloha 18 Najväčším problémom pre vašich žiakov asi bude čítať z grafu potrebné údaje. Tu pomôže iba trpezlivosť a trpezlivosť a trpezlivosť. a b=a b =61 Princ musí vykopať jamu hlbokú,61 m. b b a=17cm a =17 a =87 A B 6 1 1 A A A A/B B B B/. zošit 7

8. zošit 6 7 8 9 10,,, 6 6, 7 1,17 1 0,9 0,8 0,79 0,7 0,7 0,7 6 7 8 9 10 1 1 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 8 0,87 0,6 B A Úloha 19 Úloha 0 Pripomíname aritmetický priemer.

1 hl = 100 l... 60 1 l...,6 9 l... 176, 9 l stojí 176,. 180 ks... 6 dní 0 ks... x dní 0 kusom by vystačila 7 dní. x =7dní tucet = 1 ks... gombíky... 16 halierov tuctov... 16=0halierov tuctov stojí 0 halierov. 7 hodín... 60 dní hodín... x dní Opísal by ju za 8 dní. x =8dní. zošit 9

Pozor na desatinnú čiarku! Tu sa skrýva za bodku a ešte k tomu hore! 1 robotníkov... 0 dní... 100 p 18 robotníkov... 0 dní... 10 p 18 robotníkov... dní... 180 p 18 1 0 100 l... 7, kg 6 l... x kg Získame,7 kg tvarohu. x =,7 kg 8, hod... 6 dní x hod... 1 dní x =. 1,7 hod denne Majú pracovať takmer 1 hodín denne. 1 koscov... 7 dní x koscov... dni = x 7 1 x =8 Máme najať 8 koscov.. zošit 0

Úlohy pre ozajstných matematických labužníkov! Pripomeňte vašim žiakov, že pre ich starých rodičov to boli bežné školské úlohy, z ktorých boli skúšaní a známkovaní! Po 7 dňoch: 8 robotníkov... 170 hod 70 robotníkov... 1x hod 1 = x 8 170 70 x =17 (17 dní... 10 hodín) ( x dní... 1 hodín) Sadenie dokončia po 17 dňoch. 8 dosák... m 0, m... S = 8 0,=11,m x dosák... m 0, m... x = 11, : ( 0,) = 1,9 Budeme ich potrebovať 1. 0 kg... 7 človekodní x kg... 0 10 človekodní = x 00 0 x =. 66,96 10-členná domácnosť potrebuje na mesiac 67 kg chleba.. zošit 1

Úloha 1 Pripomíname pojmy, s ktorými sa žiaci budú stretávať počas celej kapitoly. Zopakujte si vlastnosti súhlasných a striedavých uhlov. My sme vyznačili iba jednu dvojicu súhlasných a striedavých uhlov. Úloha Veľkosti uhlov môžeme počítať vychádzajúc z vlastností vnútorných a vonkajších uhlov trojuholníka alebo z dvojíc uhlov (súhlasné, vrcholové, susedné, poprípade aj striedavé). p l a b. zošit =0 =60 =80 =60

60 8 8 60 60 10 60 Úloha Zdôvodňujeme na základe vlastností rovnobežných priamok priamka, ktorá ich pretína, vytvára dvojice súhlasných uhlov a v prípade b) to tak nie je. 60 10 10 60 60 8 8 60 78 8 78 uhly sú súhlasné, priamky sú rovnobežné nie sú rovnobežné 60 7 nie sú rovnobežné sú rovnobežné. zošit

. zošit A A A A A A A A A N A A A A A A N A A A N A N A N A A N A N A N A N N A štvorec a kosoštvorec kosoštvorec a kosodĺžnik štvorec a obdĺžnik A B D e f E F G H f e K L M N f e f e O P Q R e f M N O P U V X Y e f Úloha 6 V tabuľke po vyplnení pekne vidieť, ktoré vlastnosti rovnobežníka všeobecne a ktoré sú špecifické pre ten-ktorý rovnobežník. Upozornite žiakov na to, že tabuľku môžu používať (a je dobrým pomocníkom) pri riešení ďalších úloh o rovnobežníkoch. platia

ABD je rovnostranný 60 60 0 Úloha 9 Pripomeňte žiakom, že rovnobežník má dvojice protiľahlých strán rovnobežné a súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180. Úloha 10 Jedna z najkrajších, najľahších a u žiakov najobľúbenejších dôkazových úloh. 0 <) DAB = 10 = <) DB <) AB = 0 = <) DA D 0 0 0 0 10 0 A 0 B + + =180 + + =180 + + + + + = 60. zošit

v v v1 v 1 v 1 v. zošit 6 rozpoľujú sa

D Najmä zo začiatku sa žiaci môžu stratiť v záplave geometrických značiek, ktoré pri konštrukčných úlohách používame. Podstatné je, aby zvládli, ktoré prvky charakterizujú ten-ktorý geometrický útvar a aby ho vedeli týmito prvkami určiť. Možno je dobrou cestou (najmä pri slabších žiakoch) nechať ich napríklad postup konštrukcie napísať slovami, aby vám bolo jasné, v čom má daný žiak problém. Nerozumie samotnej podstate konštrukčnej úlohy, alebo to iba nevie zašifrovať do geometrických znakov? Pri každej úlohe je naznačená myšlienka riešenia. Samozrejme, váš postup môže byť niekedy odlišný od nášho, ale tak, ako sme každý iný, rôzne pristupujeme aj k riešeniu problémov okolo seba. Úloha 1 Možností, ako postupovať pri konštrukcii štvorca, je veľa. Ponúkame jednu z ciest, ktorá využíva konštrukciu sus trojuholníka. Každý žiak si môže vybrať svoj spôsob, dôležité je, aby rozbor úlohy bol správny a postup konštrukcie zodpovedal samotnej konštrukcii. AS = 1 A ABS (sus) S AB ks; ( cm) D BS ks; ( cm) k A B. zošit 7

k D k 1 ABD (sus) k1( B; cm) k( D; cm) A B Y N Z M k K, L; KL =6cm X M LX, <) KLX = 90 kk; ( 8cm) MY, <) LMY = 90 N KZ, <) LKZ = 90 K L.zošit 8

Úloha Zatiaľ čo v prvých príkladoch sme konštrukcie trojuholníka podrobne opísali, tu už volíme skratku. k 1 k D D AB (sus) k1( ;, cm) k( A;, cm) A, cm 10 B, cm p k D A,B; AB =cm cm cm k 1, cm p AB > k B; 1( cm) pab =, cm p D k A; ( cm) A cm B. zošit 9

N X M k N KLM (sus) kk; ( cm) MX KL K 6cm 10 L cm D ASD (sus) cm S k 1 AS k S; 1( cm) B DS cm k S; ( cm) A B k. zošit 60

180 60 180 180 60 ( + ). zošit 61

Aby sa vám v celej téme lepšie orientovalo, rozdelili sme ju do niekoľkých (tematicky aj matematicky rôznorodých) častí a na záver sme pripravili jednu kapitolu, kde je všetko krížom-krážom. Úloha 1 Vyberte si písmená a píšte všetky slová. Vyhrá ten, kto ich nielen všetky napíše, ale dokáže všetky aj prečítať. Úloha Iné riešenie: na každé miesto vyberáme z troch možností, to je =7možností. Takto sme však prípad, že sa opakuje to isté písmeno na všetkých troch pozíciách započítali dvakrát pre každé písmeno to je spolu 6 možností. Takže konečný počet slovje7 6=1možností. Úloha Už pri 1 písmenách je počet slov 6 7 00 800. 1 1 1 1 1 1 6 slov začína prvým písmenom 1 1 1 1 1 1 6 slov začína druhým písmenom 111, 11, 11, 1, 1, 1, 1, 1,, 11,, 1, 1 1 možností, 1,, 11,, 1, 1 V Trilande je menej slov ako vo Fourlande. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 slov a) písmen 1=10<000 b) =10>000 6 písmen 6 1=70<000 -Land 7 písmen 7 6 1 = 00 > 000 7-Land. zošit 6 písmen našej abecedy je 6 všetkých možných 6-písmenových slov je: 6... 1 = viac ako miliarda

M J L F M J F L M L J F M L F J M F J L M F L J F J M L F J L M F M J L F M L J F L M J F L J M 1. Junák nebol prvý Majster nebol druhý Lysák nebol tretí Fairplay nebol štvrtý. Majster bol pred Lysákom MJFL, MLFJ, MFJL, FJML tieto štyri možnosti. Úloha Treba si vypísať všetky možnosti a postupne vyraďovať tie, v ktorých je Junák prvý, Majster druhý, Lysák tretí, Fairplay štvrtý a Lysák pred Majstrom. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 možností rozmiestnenia pneumatík. PABP 1,9 PABP 1,7 PBAP 1,8 PBAP 1,7 PABP 1,8 PBAP 1,9. zošit 6

Úloha 10 Prvé miesto (rád stoviek) obsadzujem zo štyroch možných číslic. Druhé miesto (rád desiatok) z troch možných číslic (jedna je už na mieste stoviek). Tretie miesto (rád jednotiek) obsadzujem z dvoch možných číslic (dve už sú určené jedna na mieste stoviek a jedna na mieste desiatok). 0 nesmie byť na prvom mieste, takže čísel bude 1 = 18. 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 10 10 10 01 01 01 10 10 01 10 01 01 0 nesmie byť na prvom mieste, takže čísel bude 1 = 96. = trojciferných čísel.. zošit 6

Ak rozoberie jednu reťaz a okami z nej pospája ostatné, tak mu stačí prerezať ôk. Možné počty priateľov v triede sú 1,,,... 17, 18, 19. Keďže detí v triede je 0, určite aspoň musia mať rovnaký počet priateľov. Úloha 1 Uvažujme, že žiadna dvojica nemá rovnaký počet priateľov. Potom sú možné počty priateľov pre jednotlivých žiakov v triede:,,,,..., 18. Lenže žiakov je 0. Osemnásť počtov priateľstiev sa nedá jednoznačne priradiť 0 žiakom. Z toho vyplýva, že aspoň dvaja majú rovnaký počet priateľov. Úloha 1 Podstatné je uvedomiť si, že čas, kedy je predchádzajúci koláč v rúre a pečie sa, je možné využiť na prípravu nasledujúceho koláča. Mama síce nebude mať čas na kávu, ale bude rýchlejšie hotová :). Jozef nie je prvý Ivan pred Simonou Ivan prvý 1. možnosť: ISJ. možnosť: IJS 1 0 0++ + 1 + 0=1min 1 0 0++ +0+ =1min 1 0 0++ 1 +0+ 10 +=1min 1 0++ ++ +0=10min 1 0 0 0+0+ 10 ++ =10min 1 0 0+0+ + +=1min 1. koláč 0 +. koláč 0 +. koláč 0 + 0 Má ich pripravuť v poradí.,., 1.. zošit 6

Úloha 1 V prvom type riešenia vypisujeme počet ciest, ktorými sa môžeme dostať do daného bodu. V druhom type riešenia sme si všetky cesty pomocou stromu aj vypísali. V ďalších úlohách (pretože nepotrebujeme poznať všetky cesty) použijeme riešenie prvého typu. Úloha a) Všimnú si vaši žiaci, že počet ciest do bodu X získame ako súčet počtu ciest z bodov, ktoré sú nad bodom X a vpravo od neho? b) Nesmieme vyfarbiť štvorce vľavo hore alebo vpravo dole, pretože sa potom nedostaneme ani k bodu Aani k bodu B. Ak vyfarbíme štvorce vľavo dole alebo vpravo hore, budú vždy existovať možné cesty z bodu A do bodu B. Úloha Vymýšľajte podobné úlohy. Aj vy, aj vaši žiaci. V prípade žiakov je, samozrejme podmienkou, aby pri zadaní vlastnej úlohy ostatným vedeli aj jej riešenie. 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 6 10 E F G I B B A H I B A F D I G G B B B B A D E F G H I B 6 možných ciest 1 1 1 X 6 1 1 1 1 6 1 X 6 6 B 6 1 1 1 A 1 1 6 =18ciest. zošit 66

Úloha Riešenie je správne iba za predpokladu, že sa posúvame iba smerom doprava a nadol. p d p p p d p d p d d d d p d d d p d p d p p p 6 d d p p p d Úloha 6 Už v úlohe ako by sme hľadali 6-písmenkové slová zložené z písmen pa d.skúste počet ciest (písmen) naťahovať a vymýšľať ďalšie úlohy. 1 1 1 Existuje 10 ciest. 1 6 1 10 p d p d p d ddd pdd d pdd d p dpp pd dp pd dp pd dp ppddd pdpdd pddpd pdddp dpdpd dpdpd dpddp ddppd ddpdp dddpp Pri cestách je možnosť ísť -krát dole (písmeno d) a -krát vpravo (písmeno p) a rôzne to kombinovať. Vytvoriť sa dá 10 slov. Z X... Z X... X K... X Y... Z K... =1ciest Y Z K... 7 K... 7=8ciest. zošit 67

Úloha 1 Ponúkli sme vašim žiakom štyri spôsoby, ako vyriešiť takúto úlohu. Myslíme si, že v triede sa objavia aj iné spôsoby. Ukážte si ich a skúste spolu so žiakmi otestovať, či sú univerzálne teda či budú fungovať aj na iné úlohy ako túto. Našim cieľom nie je, aby každý žiak ovládal všetky spôsoby riešenia, ale aby si každý dokázal vybrať ten, ktorý je najbližší jeho spôsobu uvažovania, nazerania na problémy a jeho predstavivosti. A E A F B E B F E F D E D F E F D E F E D F E F 1 0. zošit 68

Riešenie nie je správne. Bertram započítal zápasy A s B,BsA ako dva rôzne. Bertram musí výsledok deliť dvomi. Úloha Kým pri počte sú ešte všetky nami ukázané postupy dostatočne názorné, už pri počte 7 niektoré strácajú zmysel. S narastajúcim počtom treba naučiť žiakov zovšeobecniť, nájsť logiku v počte pribúdajúcich možností. Tak ako sme to naznačili v otázke b). a) B A B A B B D D E D E D F E F E G A A D B E F D G E H A E B F G D H A F B G H F G H D A G A H B H F H G H G E 7+6+ + + + + 1=8 b) x 8 A 7 B 6 D E F G 1 8 spolu F A B D E F G H A B 1 8 D 9 1 E 10 1 19 F 11 16 0 G 6 1 17 1 6 H 7 1 18 7 8 a) Dievčatá odohrali 8 zápasov. b) Ak pribudne 1 dievča, pribudne 8 zápasov.. zošit 69

Úloha Z piatich dievčat sa mi ľahšie tvoria (a vypisujú) dvojice ako trojice. Ak vytvorím dvojicu, súčasne vytvorím aj trojicu. Preto platí koľko dvojíc vytvorím z piatich dievčat, toľko z nich vytvorím aj trojíc. AB A AD AE DE BDE BE BD B BD BE ADE AE AD D E ABE ABD DE AB Úloha b) Iné riešenie je vypočítať, že päť dievčat zo 7.A by proti sebe zohralo 10 zápasov, päť dievčat zo 7.B by proti sebe zohralo tiež 10 zápasov, takže zostáva 10=zápasov. Môže postúpiť 10 trojíc. 10 dievčat, každá s každou: 9 + 8+ 7+ 6+ + + + + 1= Odohrajú zápasov. 7.A A, B,, D, E (každá zápasov) 7.B K,L,M,N,O A K L O N M O B K... L M N V turnaji bude zápasov. Andrea na 1. mieste A rovnako aj keď bude na 1. mieste Linda, Daniela alebo Peťa. L D P D P L P L D L A D P D P A P A D D A L P L P A P A L P A L D L D A D A L. zošit 70 Spolu možností.

7 6 1 6 7 7 6 6 7 6 7 7 6 6 7 6 7 6 7 6 6 6 7 7 6 7 6 7 6 7 7 možností Úloha 1 Ak by záležalo na poradí farieb, je počet možností7 6 =10 (zadane a) ) a na chrbte 7 6 =80(zadanie b) ). Každá trojica určuje práve jednu štvoricu. možností 1 10 možností Ľ=1 P= Ľ=1 P=... Ľ= P=1 10 možností 10 možností. zošit 71

Úloha Úloha Z n detí sa dá vytvoriť 1+++...+( n 1)dvojíc. Je to ako by chceli hrať turnaj systémom každý s každým. Alebo aj n n +1. Tento vzorec si viete so žiakmi jednoducho a rýchlo odvodiť. 1 + +...+( n )+( n 1) ( n 1) + ( n ) +... + + 1... n + n +... + n + n... to je ( n 1) n. Lenže každé číslo je započítané dvakrát (raz v prvom riadku a raz v druhom riadku), preto delené dvomi. Úloha Ak je v triede n detí a 1 pribudne, tak pribudne n dvojíc týždenníkov (z každým z n detí môže utvoriť jednu dvojicu). Ak je v triede n detí a 1 dieťa ubudne, tak ubudne ( n 1) dvojíc týždenníkov (toto jedno dieťa tvorilo z ostatnými z triedy n 1 dvojíc). Každá dvojica týždenníkov určí jednu dvadsaticu zostávajúcich žiakov. Dvadsatíc žiakov bude toľko isto ako dvojíc 1.. zošit 7

hudobníci hudobné nástroje 1. hudobník... možnosti. hudobník... možnosti =. hudobník... možnosti hudobných skupín 1. číslica... 9 možností. číslica... 9 možností (aj 0) 9 9 8=68. číslica... 8 možností písmená 68 = 196 V hoteli môžu mať 1 96 izieb. 0 nemôže byť prvá. 9 9 8=68 10 9 8=70 10 Najviac je stužiek, najmenej trojíc žiakov. 6 dní dni Úloha 8 Na miesto prvej číslice nemôžem dať nulu (na prízemí nie sú izby), preto iba 9 možností. Úloha 9c) Ako vypočítať počet trojíc z desiatich detí, keď žiaci nepoznajú kombinatorické vzorce? Poďme nájsť systém. Očíslujme si deti číslami 1,,,..., 10. Ak vyberieme1aknemu, ešte máme 8 možností, ako pridať žiaka do tretice (,,, 6, 7, 8, 9, 10). Ak vyberieme1aknemu, ešte máme 7 možností, ako vybrať žiaka do trojice (,, 6, 7, 8, 9, 10 možnosť 1 je už zahrnutá v predchádzajúcom)... Ak vyberieme1aknemu postupne pridávame (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice),..., máme 8+7+6+++++1možností. Ak vyberiemeaknemu, ešte máme 7 možností, ako pridať žiaka do tretice (,, 6, 7, 8, 9, 10). Ak vyberiemeaknemu, ešte máme 6 možností, ako pridať žiaka do tretice (, 6, 7, 8, 9, 10)... Ak vyberiemeaknemu postupne pridávame (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice),..., máme 7+6+++++1možností. Ak vyberiemeaknemu postupne pridávame (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice, 6 (a doplníme do trojice),..., máme 6+++++1možností... (pokračovanie na s. 7). zošit 7

7. zošit P N P N N P N P N P N P N N P N P N P P P N P N P P N P N N P N P N N M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M 1 M M M M M M M M M M M M 1 M M M M 1 M M M M 1 M M M M 1 M M M M 0 A B D 9 možností o o o o o o o z o o z o o o z z o z o o o z o z o z z o o z z z z o o o z o o z z o z o z o z z z z o o z z o z z z z o z z z z Pri piatich štvoriciach hodov padol aspoň -krát na maslovú stranu. M M M M Možností je spolu: 8+7+6+++++1 7+6+++++1 6+++++1 ++++1 +++1 ++1 +1 V tomto súčte je8 1+7 + +6 + + + 6+ 7 + 1 8 = 10 všetkých možností, ako utvoriť trojicu z 10 žiakov. Trpezlivosť výsledky prináša. Najväčším problémom pre žiakov bude nájsť si systém vo vypisovaní všetkých možností, aby ani na jednu z nich nezabudli. Potom už stačí všímať si cestu smerujúcu vľavo (tak ako my, pretože sme mali maslovú stranu vždy vľavo pri vypisovaní možností), alebo vpravo. Iná možnosť, ako riešiť podobné úlohy, je pomocou tabuľky všetkých možných situácií (tak ako sme to urobili my). Diskutujte so žiakmi o tom, ktorý spôsob je pre nich zrozumiteľnejší a prehľadnejší. 1 Úloha Úloha

1-krát 8, -krát 9: 8999, 9899, 9989, 9998 -krát 8, -krát 9: 8899, 8989, 8998, 9988, 9898, 9889 -krát 8, 1-krát 9: 8889, 8898, 8988, 9888 -krát 8: 8888 -krát 9: 9999 7=0+0+7 700 7=0+1+6 610,601,160,106 7=0++ 0, 0, 0, 0 7=0++ 0, 0, 0, 0 7=1+1+ 11,11,11 1-ciferné: 8 -ciferné: 80, 71, 17, 6, 6,,, -ciferné: 170, 107, 06, 116, 161, 1, 1, 1, 1, 1 19 čísel 7=1++ 1,1,1,1,1,1 7=1++ 1,1,1 7=++,, 8 trojciferných čísel 8=0+0+8 8=1+1+6 8=0+1+7 8=1++ 8=0++6 8=1++ 8=0++ 8=++ 8=0++ 8=++ Úloha Táto úloha sa ľahko vypočíta a ľahko sa aj vypíšu všetky možné čísla. Urobte jedno aj druhé. Úloha Prvý krok zistiť, ktoré tri cifry dajú súčet 7. Druhý krok z daných trojíc vyrobiť všetky možné trojciferné čísla. Úloha 6 Nezabudnite, že nás zaujímajú aj jednociferné aj dvojciferné čísla. Podmienka menší ako počet kandidátov značne zmenší. Úloha 7 Na miesto tisícok môžeme vyberať z 9 číslic (nulu nie), na miesto stoviek tiež z deviatich číslic (nulu plus jednu z ôsmich, ktoré sme nedali na miesto tisícok). Na miesto desiatok môžeme vyberať z ôsmich číslic. Na miesto jednotiek z dvoch (nulu alebo päťku, aby bol výsledok deliteľný piatimi). 9 9 8 =196čísel 101,111,11,11,... 191 10 0, 1,,,... 9 10... 909, 919, 99, 99,... 999 10 9 10 = 90 čísel. zošit 7

Dirichletov princíp je pomenovanie jednoduchého tvrdenia z kategórie zdravý sedliacky rozum. Jeho podstatou je, že ak umiestnime do niekoľkých priehradiek viac predmetov, ako je priehradiek, potom sú aspoň v jednej priehradke najmenej dva predmety. Úloha 1 a) Na jednom okne môže byť 0, 1 alebo vločky (menej ako ). Teda najviac sa nám podarí nalepiť = 8 vločiek. b) Na jednom okne môže byť 0, 1, alebo vločky (menej ako ). =1,čojeviac ako 10, takže vieme splniť zadanie úlohy. Úloha a) Ak by sa narodili po dvaja v jednom mesiaci, minuli by sme žiakov. Ešte nám ostane 1 = 7 žiakov, ktorí sa narodili v niektorom mesiaci. Takže nájdeme aspoň jeden mesiac, kedy sa narodili traja žiaci. b) Stačí nájsť mesiac, kedy tvrdenie neplatí (napríklad január). =8;8<10 =1;1>10 Nemôže. Môže. -ciferné čísla 10, 11, 1,... 98, 99 90 čísel 76 < 90 mohol napísať 76 rôznych 91 > 90 ak napíše 91 čísel, už sa mu musí aspoň 1 zopakovať mesiacov 1, žiakov 7 1 < 7 dní v mesiaci 8, 9, 0, 1, žiakov 7 7 < 8 < 9 < 0 < 1 mesiacov 1, po dvaja... žiakov 1 > napríklad január 1 dní, 1 žiakov 1 = 1. zošit 76 dní 7, po štyroch... 8 žiakov 8 < 1

1 + + =17 1 1+ + 1+ +1 Úloha 1 Rovnicu môžete zapísať aj pomocou neznámych ako vhodnú propedeutiku pre zoznámenie sa s neznámou a rovnicami. Vždy ju ale interpretujte spôsobom hľadáme čísla, ktoré keď vymeníme za neznámu (napíšeme do štvorčeka), dostaneme rovnosť. Úloha ABZ, ABY, AKZ, IBK, IBZ, IKZ, OBK, OBZ, OKZ, BAI, BIO, BAO, KAI, KIO, KAO, ZAI, ZIO, ZAO. 00:00:00 11:11:11 : : -krát 09:9:9 19:9:9 : 9 : 9 -krát Nedá sa to. + =18 + 6= 1h+D =9 možnosti možnosti 1D+h možnosti =9 možnosti 18 možností. zošit 77

Úloha 6 Úloha 7 Úloha 8 ieľom týchto úloh je, aby sa žiaci naučili vytvoriť si systém pri vypisovaní všetkých možností. Na záver môžete zistiť, koľko systémov sa v triede objavilo a hlasovaním zvoliť najefektívnejší, najkrajší, najkomplikovanejší Úloha 9 Táto kombinácia dáva 70 možností rôznych čiarových kódov. Čiarový kód je strojom čitateľné označovanie tovarov pomocou hrubých a tenkých čiar oddelených medzerami. Existuje veľa rôznych druhov čiarových kódov, najpoužívanejší je kód EAN. Väčšina čiarových kódov kóduje iba číslice, ale moderné čiarové kódy môžu kódovať všetky znaky ASII. Na tlač čiarových kódov sa používajú špeciálne tlačiarne, ale možno ich tlačiť aj na bežných tlačiarňach schopných pracovať v grafickom móde. Na snímanie sa používajú snímače, ktoré sú založené buď na technológii D alebo snímajú pomocou lasera. Čiarové kódy spadajú do oblasti tzv. automatickej identifikácie alebo inak povedané do oblasti registrácie dát bez použitia kláves. Množstvo zakódovanej informácie na jednotku dĺžky určuje hustota a druh kódu. Pre kódovanie menšieho počtu znakov sa používajú lineárne kódy, väčší objem informácií sa kóduje do dvojrozmerných kódov. (podľa www.sk.wikipedia.org). zošit 78 HHHTT HHTHT HHTTH HTHHT HTHTH možností. HTTHH THHHT THHTH THTHH TTHHH 10výrobkov O 1 menej, 1 možností. Napríklad hrubé atenké čiarky.

10 1=10 Úloha 1 Do prvej jamky má päť možností, ktorý figovník zasadí. Ak si jeden vyberie, do druhej môže vyberať zo štyroch figovníkov. Ak si jeden vyberie, už mu zostanú len tri figovníky, ktoré môže zasadiť do tretej jamky... 7košov 7 6= 6 košov 1-timi cestami 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 10 10 1 1 6 1 0 1 6 1 9. zošit 79