Pomocník. z matematiky. pre 7.roèník ZŠ. Zošit. a 2.roèník gymnázií s osemroèným štúdiom. pre učiteľa. OrbisPictusIstropolitana Bratislava

Transkript

1 Zuzana Berová Peter Bero Pomocník z matematiky pre 7.roèník ZŠ Zošit a.roèník gymnázií s osemroèným štúdiom pre učiteľa OrbisPictusIstropolitana Bratislava

2 Na zvládnutie problematiky zlomkov v celej šírke považujeme za podstatné zvládnuť úvodné časti čo je zlomok, aká je jeho geometrická interpretácia, aký význam má menovateľ a čitateľ. Preto týmto základným veciam venujeme veľkú pozornosť. Na tejto strane delíme spejeme k menovateľovi (a ku krajším zajtrajškom) na rôzne veľké časti, diskrétne veci, spojité útvary.. zošit

3 Na tejto strane časť z rozdelených častí vyfarbujeme spejeme k čitateľovi (a ešte k lepším pozajtrajškom). 8 Úloha 6 d) Úloha 6 e) Úloha 6 f) Prvýkrát ukazujeme, ako sa dá modelovať zlomok väčší ako! Úloha 7 Na tomto príklade ukazujeme niekoľko vecí: propedeutika zjednodušovania zlomkov (napr. zadanie a) : je vyfarbená jedna polovica alebo štyri osminy?); sčitovanie zlomkov (čo dostaneme, keď sčítame vyfarbené a nevyfarbené časti?); pomocné delenie celku na rovnaké diely zadanie f).. zošit

4 Úloha 8 Pozor na vzájomnú polohu bodov Ba! Úloha 0 Nakreslený obrázok môže pomôcť žiakom pri určení správnej odpovede. Pokiaľ žiaci napíšu odpovede (tak ako my), je to správne, ale vyzvite ich, aby sa ich pokúsili zapísať aj iným spôsobom (odvolávajte sa na bežnú prax: všetci predsa vieme, že hodín je polovica dňa a pod.). A = AB 9 A = AB 8 A = AB 7 A = 6 AB = AB Úloha Za základ, samozrejme, považujeme mesiacov. Pri počítaní na dni by veci asi boli zložitejšie, veď mesiace majú rôzne počty dní a podľa toho sú inou časťou roka. Ak to deťom napadne, vysvetlite im to, ak nie, nie je to podstatné. = 6 = = 8 = = 6 = = 6 = 7. zošit

5 0 minút 0 minút Úloha Kreslite podobné obrázky a učte žiakov riešiť príklady pomocou nich. Neskôr nebudú mať problémy so slovnými úlohami. minút 0 minút minút minút dni 0 dní dní dní dní dní 67 eur 0 eur 0 60 eur 900 eur 6 eur 90 minút futbal 60 minút hokej 0 minút basketbal. zošit

6 Úlohy na tejto strane sú zoradené od najľahších po ťažšie. Pri prvých úlohách ponúkame obrázok, ktorý pomáha žiakom úlohu vyriešiť. Pri posledných si žiaci musia obrázok nakresliť sami. Učte ich riešiť úlohy o zlomkoch pomocou zmysluplných obrázkov! Jeden takýto obrázok je lepší ako tisíc skvelých postupov, do ktorých žiaci nevidia. Posledný príklad je komplikovanejší tým, že tu sa ťažšie kreslí skutočný počet guľôčok (aj keď ani to nie je nemožné) a žiaci musia zovšeobecňovať. s s s s s s s s s s Hore bol dňa. Nevyfarbené zostali kruhu. Ešte musí urobiť výšivky. výlet Doma zostalo 0 žiakov. kvety Na pestovanie zeleniny určila záhonov. 8 Je to záhonov. a) B= b) B 00:= B M M= M (00 ): = Č=0 Č (00 ):=0. zošit 6 Č Z Z=0 Z 00 0=0

7 Úloha ieľom úlohy je, aby sa žiaci naučili identifikovať zlomky aj v písanom texte. Môžete sa so žiakmi rozprávať o tom, či vedia z textu určiť presný počet žiakov v triede, učiteľov v učiteľskom zbore... Úloha Úloha Úloha Úloha 6 Úloha 7 Úlohy slúžia na to, aby žiaci vedeli určiť, ktoré z čísel zlomku je jeho čitateľom a ktoré jeho menovateľom. <<<<<<< 9>>>>>9>7> zošit 7

8 Úloha V tejto úlohe pracujeme s úsečkou ako celkom, ktorý treba rozdeliť na toľko častí, aké číslo je v menovateli zlomku a z nich vyznačiť toľko častí, aké číslo je v čitateli zlomku. Všimnite si so žiakmi, že polovica úsečky, štyri osminy úsečky, dve štvrtiny úsečky je tá istá časť už v nasledujúcej kapitole sa budeme venovať rozširovaniu a kráteniu zlomkov. Úloha Využívame zručnosť z predchádzajúcej úlohy. Tento krát za celok považujeme jednotkovú úsečku (teda vzdialenosť obrazu čísla od obrazu čísla nula na jednotkovej osi). Podstatné je, aby si žiaci uvedomili, že pri zlomku, ktorý je väčší ako jedna, budú musieť deliť úsečku medzi obrazom čísla a obrazom čísla na číselnej osi. Úloha Žiaci si môžu prostredníctvom tejto úlohy uvedomiť, že ku každému zlomku vieme nájsť prirodzené číslo, ktoré je najbližšie menšie a najbližšie väčšie ako daný zlomok. Pýtajte sa žiakov, či táto vlastnosť platí pre ľubovoľný zlomok zošit 8 9 8

9 Úloha Rozšíriť daný zlomok na obrázku vlastne znamená narezať danú časť na viac rovnakých častí. Úloha Trvajte na tom, aby žiaci všade dopísali číslo, ktorým sa rozširuje. ieľom je, aby si žiaci uvedomili, že rozširovať zlomok znamená násobiť čitateľa i menovateľa tým istým číslom. Neustále si to slovne pripomínajte zošit 9

10 Úloha Nemusí to byť najmenší spoločný menovateľ, teda každý príklad má viacero riešení. Úloha 6 Ak máte v triede šikovných žiakov a dostatok času, môžete ich naučiť hľadať najmenšieho spoločného menovateľa ako najmenší spoločný násobok menovateľov pomocou rozkladu na súčin prvočísel. Inak budú hľadať žiaci najmenšieho spoločného menovateľa metódou pokus omyl zošit 0, , 8 8 8, 6 8, , 0 9, 0 9

11 Úloha 8 Opäť nútime žiakov písať číslo, ktorým delíme čitateľa i menovateľa, aby si uvedomili, čo znamená krátiť zlomok daným číslom zošit

12 Úloha Pretože žiaci nemajú v rukách nástroje deliteľnosti, hľadanie všetkých riešení môže byť pre niektorých zdĺhavé a nezaujímavé. Preto doporučujeme úlohu zadať ako skupinovú prácu, prípadne ako súťaž: ktorá skupina v najkratšom čase nájde všetky čísla, ktorými sa dajú zjednodušiť zlomky v úlohe.,,, 0, 0,, 6, 9, 8,, 9,, 6, 7,,, 0,,, 0, 0,, 8, 6,,, 7 6 0,,, 99, 0,, 60 7, jeden dva 8. zošit,,,,

13 7 8 7 Úloha 6 Úloha 7 Je na vás, či necháte všetkých žiakov upravovať všetky zlomky do základného tvaru. Bez použitia nástrojov deliteľnosti to môže byť pre menej šikovných žiakov v niektorých prípadoch problém (napr. 60/80). Navrhujeme, aby ste zadávanie jednotlivých zlomkov diferencovali, alebo motivovali žiakov špeciálnou prémiou hodiny kg ceny 7 išli na výlet, ostali doma 7. zošit

14 Úloha V zadaní a) rozdelíme celok na rovnaké časti a čím viac týchto častí vezmeme, tým viac máme. V zadaní b) berieme rovnako veľa častí, ale čím je menší menovateľ, tým je každá z týchto častí väčšia (lebo sme celok delili na menší počet častí), a teda tým viac berieme. Nakreslite si to. Kto chce, iba vypĺňa znaky (ne)rovnosti, kto chce, najprv počíta alebo kreslí, podobne ako v úlohe. Kocúr Ide o zovšeobecnenie konkrétnych skúseností, ktoré môže byť pre mnohých náročné. Úloha Riešenie môžu deti nakresliť, alebo môžu zapísať zlomky v správnom poradí, alebo ku každému zlomku napísať jeho poradie... Každý z týchto spôsobov je rôzne náročný pre deti s rôznymi spôsobmi myslenia. S menším čitateľom. S menším menovateľom zošit

15 elá strana je tematicky venovaná porovnávaniu rôznych zlomkov a čísla. Úloha Ukazuje základné pravidlá. Ak má zlomok čitateľa menšieho ako menovateľa, je menší ako číslo. Ak má čitateľa väčšieho ako menovateľa, je väčší ako číslo. Úloha 6 Tu si žiaci slovne sformulujú skúsenosti z úloha. Úloha 7 Pozor veľa riešení!,,, 7 7, 9 0 8, 6 6,,,,, 8 0 6, 9 väčší sa rovná menšieho zošit

16 Úloha 8 My sme menovatele pri riešení upravovali na najmenšieho spoločného menovateľa. Vaši žiaci tak nemusia urobiť. V konkrétnych prípadoch je lepšie dať prednosť špecifickej úvahe: /8 je menej ako, / je viac ako, takže /8 < /. Úloha 9 Zlomky porovnávame úpravou na spoločného menovateľa. Niekedy je jednoduchšie najprv zlomky vykrátiť! = 6 = 6 0 = 6 = 6 = 0 = = 0 = 7 0 = 0 = = Úloha 0 Pripomínajte vašim žiakom správny postup pri usporadúvaní zlomkov s rôznymi menovateľmi: Zlomky upravíme na spoločného menovateľa (ideálne na najmenšieho a spoločného menovateľa). Usporiadame ich podľa veľkosti. V odpovedi zapíšeme usporiadané zlomky v takom tvare, v akom boli v zadaní. > = > > > 0 00 = = 8 68 = = zošit

17 Zväčší sa. Nezmení sa. Zmenší sa. 6 Úloha Je potrebné vypočítať a uvedomiť si oveľa viac príkladov, aby sa pre žiakov tento fakt stal samozrejmosťou. Ale raz treba začať... Diskutujte o tom, ktoré zlomky kam patria. Úloha Príklad c) nemá v obore prirodzených čísel riešenie. Koľkým z vašich žiakov napadne dopísať číslo? To si zaslúži veľkú pochvalu! zošit 7

18 Niekto uprednostní porovnávanie pomocou kreslenia, iný také, aké sme použili my, niekto úplne iné... n (7, ) = 8 = Väčší je zelený hrniec. = 8 n (6, 0) = = 80 0 = Dlhšie opravovali auto pána Kováča. n (, ) = 0 Väčšiu časť plota natrel Jurko. Andrej Jurko n (, ) = 8 7 = = 8 8 Kratšie robila úlohu z matematiky. n (6,0,)=0 = = = 0 0 Najviac pršalo v Bratislave a najmenej v Trnave. n (0, 8, ) = = 0 = Najďalej je na stanicu a najbližšie k lesu. = = zošit 8 n (, 8, ) = 0 = 8 6 = 70 = Najviac spotrebovali zelenej a modrej, najmenej žltej.

19 Úloha Využite miesto a každé tvrdenie potvrďte niekoľkými príkladmi Úloha Využite možnosť a povedzte žiakom, že krúžok na konci úsečky, ktorá označuje množinu pravých zlomkov znamená, že čísla0a do tejto množiny nepatria, pretože to nie sú pravé zlomky menší väčší. zošit 9

20 Úloha Môžeme rozširovať, ale i krátiť. Úloha Dá sa to, samozrejme, aj delením (niekedy iba delením). Porovnajte obidva spôsoby ,7 = =0,8 8 0 :6=0,6 0 = 0, 0 =, :9=0, 0,6 6 = 0,6 00 :=,6 0 0, =, 000 :7=0,87 = = = zošit 0 00 =

21 Úloha 9 Spomeňte si na úlohu zo s.. Úloha 0 Aj naše vysvetlenia sú diskutabilné, ale v tom je zmysel úlohy. Delenie nuly a delenie nulou je vždy dráždivý problém ,0 0,, 7 8, 0,9 0, 0, Úloha Zlomky poznali už Babylončania, ale cieľavedome ich používali Egypťania (Rhindov papyrus). Rhindov papyrus je pomenovaný podľa škótskeho egyptológa Henryho Rhinda, ktorý tento papyrus kúpil v Luxore v r. 88. Obsahuje 87 matematických problémov, ktoré na papyrus zapísal okolo r. 60 p. n. l. pisár Ahmes, ktorý vyhlásil, že je kópiou o dvesto rokov staršieho dokumentu. V súčasnosti sa nachádza v expozícii Britského múzea. Egypťania používali znaky iba pre zlomky jedna polovica, jedna tretina, jedna štvrtina, jedna pätina, atď. Zapisovali ich tak, že nad číslo, ktoré my máme v menovateli dávali znak, ktorý mal tvar oka. Gréci sa zlomkom usilovali vyhnúť, ale pretože to nie vždy bolo možné, pre niektoré zlomky mali špeciálne označenia. 0 Nič rozdelíme na päť častí a dostaneme nič. =0 0 Päť rozdelíme na nula častí a to sa nedá zošit

22 Úloha hceli sme žiakom ukázať, že niekedy je výhodnejšie najprv zlomky upraviť do základného tvaru a až potom ich sčítať. Ukážte si také situácie (prípadne nechajte žiakov vymýšľať príklady, kde je to výhodné a príklady, kde nie). Úloha Príklady tohto typu môžeme počítať tak, že najprv sčítame celé časti a potom zlomkové časti, ako sme riešili zadanie a), alebo tak, že zmiešané čísla upravíme na zlomky a potom zlomky sčítame. Opäť platí, že niekedy sa to oplatí... Úloha Nám sa príklad v zadaní c) (aj niektoré ďalšie) lepšie počíta v tvare desatinných čísel. Ak niektorý žiak tiež inklinuje k počítaniu pomocou desatinných čísel, nie je to dôvod na postih. Treba sa so žiakmi porozprávať, že v tejto chvíli, keď trénujeme sčítanie a odčítanie zlomkov, treba všetky príklady riešiť v tvare zlomkov, ale obidva spôsoby sú rovnocenné a zameniteľné. = = =7 =8 + + = = = + = 0 = 0 0 6,7. zošit 0 8

23 Ani na tejto, ani na iných stranách výsledky neupravujeme do tvaru zmiešaného čísla. Všetky sú však upravené do základného tvaru (čitateľ a menovateľ sú nesúdeliteľné čísla) zošit

24 , , zošit 7 0

25 Úloha Naučte žiakov krátiť pred násobením. Úloha Príklady sa dajú počítať tak, ako sme ukázali v a) alebo v c). Obidva postupy sú rovnocenné a zameniteľné, ale z pohľadu matematickej perspektívy vašich žiakov je užitočné, aby si zapamätali a stotožnili sa s postupom, ktorý sme ukázali v príklade a). Čas venovaný tejto práci sa vám vráti pri počítaní úloh podobného typu s výrazmi, pri riešení slovných úloh a pod. 0 = 0 8 0:= = zošit

26 Úloha Odpoveď číslo a je -krát väčšie ako číslo b je žiakom jasná a zrozumiteľná. Horšie to bude s odpoveďou číslo a je osem tretínkrát väčšie ako číslo b. Čo však s odpoveďou číslo a je štrnásť pätnástinkrát väčšie ako číslo b? Overte si, či vaši žiaci vedia správne interpretovať tieto tvrdenia. Vedia napríklad porovnať veľkosti čísla aa b, keď vedia, že číslo aje (zlomok)-krát väčšie ako číslo b? Úloha 6 Počíta sa v druhom stĺpci to isté ako v prvom? zošit 6

27 =0, = 0, =,6 8 = 7, = 0, = 0,7 =,07 Úloha 7 Úloha 8 Nechajte žiakov porovnať efektívnosť a hlavne presnosť riešenia takýchto príkladov v reči zlomkov a v reči desatinných čísel, do ktorej sa pravdepodobne dostanú, keď ich začnú počítať pomocou kalkulačky. Diskutujte s nimi o tom, kedy je výhodné a vhodné použiť jednotlivé spôsoby počítania a hlavne si stanovte pravidlá: aké výpočty akceptujete vy od nich : + :0, :, zošit 7

28 Úloha Typ slovnej úlohy a+ b+ c. Úloha Typ slovnej úlohy a+ ( a+ m). Úloha Typ slovnej úlohy a b. Úloha Typ slovnej úlohy a+ ( a m) = 7 0 = 0 0 Poštár František doručil kg balíkov. 0 +( + ) = 9 = V kajaku strávili hodiny. 6 = = 0 0 Slon má hmotnosť tony. 0 +( )= 9 = hlapci zjedli 0 9 čokolády.. zošit 8

29 hod=min Prešiel by kilometrov. = Úloha 6 Vypočítajte podobný údaj pre každého žiaka v triede a výsledky štatisticky spracujte (tabuľka, graf, aritmetický priemer atď.). Uvažovali vaši žiaci o Jakubovom výkone? 9 = = m = 0,88 km Počas školského roka nachodí 0,88 km. Janko: :, = 668 =, kg Miško: 8 :, = 8 = 9, kg Peťko: 9 :, = 9 = 78, kg Robo: 6 :, = 7 = 8, kg. Odpad: = kg 0 0 materiál na výrobu: = kg figúrok: : =8ks. 80. zošit 9

30 Úloha 9 Obrázok nie je iba ilustračný. Ponúka žiakom možnosť znázorniť si údaje (aj to, čo je dané, aj to, čo treba vypočítať) a vzťahy medzi nimi. Úloha 0 Na znázornenie použitého gélu použite predkreslené poháre. Úloha Pletivo kupujeme na celé metre m 70=980m 70 ( )=70m V oblakoch je 70 m vrchu. otec mama dcéra syn Zelený = 7 6 červený = 6 Viac minuli zeleného. (0 +6 ) = 7 8 = m 67 Musia kúpiť m pletiva. + = guľôčka... guľôčok. zošit 0

31 6 =6 Trieda má 6 žiakov. Úloha Typ slovnej úlohy na zlomky, ktorá sa pohodlne a rýchlo vyrieši, ak si ju žiaci znázornia. Upozornite ich, že nepotrebujú nevyhnutne zostaviť rovnicu, aby takúto úlohu vyriešili. (Samozrejme, dá sa to aj pomocou rovnice, aj logickou úvahou, aj inými postupmi.) Ukážte si všetky spôsoby, ktoré vaši žiaci nájdu. a) V=0 0 =7000l ( + )= objemu 7000=60000l b) = m =60m 6 =60000l Úloha Naše riešenie zachytáva podstatné medzivýsledky riešenia. Úloha 6 Náročnejšie pre žiakov môže byť uvedomiť si, že jedna tretina záhrady sú vlastne dve šestiny záhrady. Keď sa v úlohe vyskytujú polovice a tretiny, je dobré prejsť do jazyka šestín. Kráľ minuli ostalo Kráľovná minuli ostalo Ohňostrojci nakúpili 00 rakiet polovica tretina... 6,6 m 6 (6,6 : ) 6=,9 m Záhrada má výmeru,9 m.. zošit

32 Úloha Podobné úlohy si môže každý vymyslieť, keď na štvorčekový papier napíše napr. svoje meno. Úloha Môžete porovnávať, ktorá vlajka má najväčšiu časť modrú alebo červenú, sčitovať ich... Úloha Zväčšením vlajky sa zväčšia aj písmená, teda pomer modrej a červenej časti sa zachová. Ak však niekto nezväčší písmená (a aj tak sa dá zadanie chápať), potom už treba počítať ,, 0,,87,8,. zošit

33 = 0, = 9 = =0, = 0, = 7 = 8 =0, = 0, = 0 = =0 0 = 0, 809 = 6 = 9 9 Úloha ieľom je upevniť u žiakov vzťah zlomok desatinné číslo zmiešané číslo. Nie je dôležité, či je zlomok v základnom tvare alebo nie (záleží na vašej dohode so žiakmi). Úloha 6 Nezáleží na tom, či budete upravovať zlomky na desatinné čísla alebo desatinné čísla na zlomky. Úloha 7 hybný príklad sa dá opraviť viacerými spôsobmi (oprava desatinného čísla, zmena čitateľa alebo menovateľa zlomku...). Opäť skvelá príležitosť diskutovať, argumentovať. Všimnite si spoločne zadanie g). Ešte stále je to častá chyba, ktorú robia vaši žiaci? Úloha 8 Nie je dôležité, aby žiaci narysovali presne polohu čísla na číselnej osi. Podstatné je, aby vedeli, že obraz čísla 0/7 je tam, kde obraz čísla 0, že obraz čísla 0, je pred obrazom čísla,... = 6 = 70 = = , 8 0,7,. zošit

34 Úloha 9 Žiakom sa asi bude lepšie porovnávať tak, že upravia zlomok na desatinné číslo. Aj my sme tak porovnávali :). Úloha 0 Úloha Pri takýchto úlohách je potrebné upraviť všetky čísla do rovnakého tvaru alebo na zlomky s rovnakým menovateľom a potom poradie určujeme podľa ich čitateľov, alebo na desatinné čísla. Prípad od prípadu a žiak od žiaka sa bude líšiť, kto si aký spôsob vyberie. Podstatné je, aby vo výslednom usporiadaní boli čísla v takom tvare, v akom boli v zadaní. = 0,6 0, = 0,6 0, , zošit

35 Úloha Toto je jedna z mála úloh, v ktorej chceme, aby ju žiaci vyriešili bez použitia kalkulačky. Je zameraná najmä na sčítanie zlomkov spamäti. Môžete zaradiť niekoľko výziev: kto nájde najviac súčtov, kto nájde všetky súčty, kto v danom časovom intervale nájde najviac súčtov, kto nájde prvých (0,...) súčtov. Úloha V magickom štvorci platí: ak všetky čísla zväčšíme/zmenšíme niekoľkokrát (o niekoľko), štvorec ostane magickým. Už na prvom stupni ZŠ sme do našich pracovných materiálov pre žiakov zaradili niekoľko úloh, ktoré demonštrovali túto myšlienku. Ak si žiaci nespomenú, zaraďte pred riešenie tejto úlohy inú, pomocou ktorej si túto základnú myšlienku pripomeniete. Úloha sa dá, samozrejme, riešiť aj sčítavaním a odčítavaním daných zlomkov a dosť sa pri tom natrápite. Iná cesta je vynásobiť čísla v štvorci menovateľom (tým sa dostanete do oboru prirodzených čísel), tu nájsť riešenie a potom už len vydeliť výsledky hodnotou menovateľa. Ak máte dostatok času, nechajte žiakov vytrápiť sa prvým spôsobom a potom im ukážte ten druhý. Úloha Pripomeňte si so žiakmi poradie počítania najprv treba vypočítať príklady v zátvorkách a potom zvyšok.. zošit

36 Úloha Úloha 7 Vypočítajte tak, že () upravíte všetky čísla na zlomky, () všetky čísla upravíte na desatinné čísla (v prípade potreby zaokrúhlite na desatinné čísla). Porovnajte presnosť výsledku. Nechajte žiakov vopred tipovať budú výsledky pri oboch spôsoboch výpočtu rovnaké, alebo sa budú líšiť? Diskutujte s nimi o tom, kedy je vhodné použiť počítanie s desatinnými číslami a zaokrúhľovaním (potrebujeme iba odhadnúť veľkosť výsledku a potrebujeme to urobiť rýchlo) a kedy je potrebné počítať so zlomkami (potrebujeme presný výsledok). Je dôležité, aby vaši žiaci vedeli, aký spôsob počítania od nich očakávate vy. Úloha 6 Podobné úlohy môžete vymýšľať aj vy ale hlavne vaši žiaci. Nechajte im vyskúšať si, že zostaviť takúto zlomkovú pyramídu tak, aby v nej vychádzali slušné zlomky nie je úplne jednoduché. A ak sa im to podarí, oceňte ich snahu ,7 = 0, = 7,7 7 =,67. zošit 6

37 Úloha 8 Naozaj pre fajnšmekrov. Máte takých v triede? Úloha 9 Takéto riešenie sa nám zdá elegantnejšie a najmä jednoduchšie ako rovnica: 0 x x ( x x) ( x x ( x x)) ( x x ( x x) ( x x ( x x)))= ( x je počet buchiet, ktoré mama upiekla na večeru) Naozaj napísali sme ju správne? otec Martin Anka mama Janko = Všetkých buchiet bolo.. zošit 7

38 o ( + ) =... zelených červených... 7 spolu modrých Deň D deňd+ deňd mravcov = = vošiek = =8 6. zošit 8 Na každých 6 mravcovpripadne voška.

39 ieľom tejto strany nie je naučiť žiakov sčítavať nekonečné rady, ale ukázať im, ako možno pomocou zlomkov vytvárať predstavu o nekonečne. + =, + + =, =, = Prvý súčet sa dá nájsť pomerne ľahko. Pravdepodobne žiaci nájdu výsledok sami. Pre vás: je to geometrický rad s kvocientom a jeho súčet je =. V druhej úlohe sú to opäť dva geometrické rady, v zadaní a) je kvocient a súčet je =, v zadaní b) je kvocient a súčet =. V tretej úlohe žiaci pri trpezlivom počítaní iste zistia, že súčet sa blíži k číslu. Pre zaujímavosť uvádzame schému, ktorá je vlastne rozpísaním súčtu nekonečne veľa zlomkov na nekonečne veľa súčtov nekonečne veľa zlomkov. Súčty vieme určiť na základe výsledkov predchádzajúcich úloh a sčítať nekonečne veľa výsledkov sme sa naučili v prvej úlohe. Nie je to nekonečne zaujímavé? a+ aq+ aq + aq +... = a : ( q) = = = = zošit 9

40 V prvých častiach tejto kapitoly sa venujeme nácviku techniky počítania, ktorú potom uplatňujeme v podkapitole Slovné úlohy. Úlohy na tejto strane ukazujú vzájomný vzťah zlomok desatinné číslo percento, upevňujú zručnosti, ktoré žiaci využijú neskôr. 0 0, 0, , 0,9 0,7, % 6, % 70 % 90 % % 0 % 0,7 0, 0,8 6, 7 0,08 0,00 0,0 0, , ,6 0, 00 6, 00 0,9 8,8,8 80 9,8 0 8,8 70, 0 6 6,6 0, 0 0. zošit

41 90 7 kúpeľňa, sprchovací kút automatická práčka ústredné kúrenie osobný automobil modrá zelená zelená 0 modrá červená žltá 60 červená modrá zelená žltá zelená modrá červená 0. zošit

42 ,6 6,8 0,00,0 0,0 0,0,8,0 0,07 0, , 0 % % 0 % 0 %, % % m; m; 6, m m;,m;,m mm; mm; 6, mm 0, cm; 0, cm; 6 cm 0, 0,0. zošit 7,8 960

43 Úloha Zaradením veľkej tabuľky sme vám chceli dať možnosť vybrať si, ako dlho chcete jednotlivých žiakov zamestnať počítaním časti prislúchajúcej počtu percent ,8 0,9 6,8, 7, 89, 8,78 9, 87, 68,9, 7 68,6 88, ,,, 6, 0,7 7,7 0,7 6, 0,07 0, 0,7,7,8,,97,6 6,6 7, 0,008 0,0 0,08 0, 0, 0,0 0,68 0,6 0,76 0,8 0,,77, 8,87,,6,0 8,,7 7,7 0,009 0,09 0,09 0,097 0,6 0,7 0,769 0, 0,70 0,09 0,06 0,8 0,6,,,8,976,8,, ,8 7, 0, T I S Í Š T Y R I S T O Š E S Ť D E S I A T. zošit

44 Úloha 8 Takáto všeobecná úvaha je náročná a vhodná najmä pre riešiteľov matematickej olympiády. (Tým nechceme povedať, že by ju nezvládol ktorýkoľvek žiak ZŠ možno je pre niektorých iba priskoro.) Vymyslite si konkrétnu výšku vreckového, konkrétnu cenu banánov a počítajte. Keď bude mať každý iné čísla, môžete sa venovať zovšeobecňovaniu a na záver ukázať krásu a jednoduchosť riešenia pomocou premennej ,6 0 60, 600, 900 = =, 0, 0, 66, 60 6,8 80 0,6 8,08, 0,8, 9, , , 680,69 06,, 8, ,8 8 0, 0,6 0 0,9 0, = 6,6 = 70 =, = 7 = 0,,7 78,7 0,0 6,,9. zošit pomaranče... x vreckové... y... zvýšené =,y môže kúpiť...,y =, y pomarančov x x Výhodnejšie je zlacnenie pomarančov. pomaranče... 0,8x vreckové... y môže kúpiť... y =, y 0,8x x

45 , % % %, 6 % % 0, % 0, %,6 %,6 %, 8 % 8, % 07, %, %,6 %,7 % 8,9 %, % 7, %, % 87, % 97% % 0 % Úloha Opäť sme vám dali možnosť vybrať si, ako dlho chcete jednotlivých žiakov zamestnať počítaním počtu percent. Periodické výsledky sme nezaokrúhľovali. Pomocou tabuľky si môžete všimnúť pekné závislosti ( zo 0 je 0 %, z 00 je % a pod.). 8 % % 0,9 % 6, 6 % 00 %, % 9, % 6 0 %, 6 %, % 0,08 %, % 8,7 % 8, %, 6 % 00 % 6% 0, % % 6,9 %, %,7 % 6 % 0, % 0,6 % 0,0 %, %,7 % 9,6 %, 7 % 00 % 0,6 % 0,08 % 0,0 % 0,69 %,79 % 9,6 % 0,7 % 6, 6, 6 %, % 0, % 7, 7 % 7, % 70, 7 % 8, % 6 0 0, 6 % 0, % 0,0 %, 7 % 7, % 7,0,8 % 6 % % % 0 % 00 % 0 % 6 % 00 % 0 % % % 0% Los Angeles zošit

46 Úloha Túto tabuľku sme zaradili preto, aby si žiaci uvedomili rozdiel medzi zlacnením o a zlacnením na. Všimnite si súčet percent v jednom riadku. Úloha Túto tabuľku sme zaradili preto, aby si žiaci uvedomili rozdiel medzi zdražením o a zdražením na. Všimnite si vzťah medzi percentami v jednom riadku. Úloha 6 Zatiaľ iba v malom zhromaždenie štatistických údajov, ich spracovanie do tabuľky a potom do kruhového diagramu. 0 % 6, 6 %,7 % 7, 7 % 6, %, % % 0 %, %, % 6 % 8,6 % 80 % 8, % 9,6 % 7, 7 % 9,7 % 97,9 % % 0 % 0, %, % 6 % 8,6 %. zošit 6 7 8, 6 0, ,08

47 Úloha Zaujal vašich žiakov tento spôsob počítania? Nám sa zdá pohodlnejší a rýchlejší (okrem toho dobre trénuje priamu úmernosť, čo sa dá využiť pri riešení slovných úloh). Úloha Pýtajte sa žiakov, či treba počítať celú plochu sadov, alebo stačí porovnať % , 00%:0%=0, 0=0 hruška... 0,0 ha = 00 m slivka... 0 m malina... a=00m Najväčší sad má pán Slivka.. zošit 7

48 Nechceme, aby ste považovali náš spôsob riešenia jednotlivých úloh za jediný možný. Úloha Podobné úlohy bývajú chytákom pre žiakov na testoch. Upozornite ich, aby si všímali zadanie a skutočne odpovedali na otázku. Úloha Niektoré úlohy na percentá sú pre žiakov problematické nie preto, že nevedia počítať s percentami, ale preto, že si nesprávne určia základ alebo zle priradia časť príslušnému počtu percent. Na tejto úlohe môžete pekne ukázať, ako sa počas riešenia neustále mení základ a porovnať čiastkové zlacnenia s celkovým. : 0 = 0,96 Pešo chodí 96 % žiakov. a) 80 : 000 = 0, 00 =% Sedelo % divákov. b) = : 000 = 0, Úloha Ukazujeme obidve riešenia cestu cez konkrétne hodnoty aj výsledné zovšeobecnenie. Záleží na vás, ktorou pôjdete (a najmä na vašich žiakoch) na 6 % na % na 0 % 6 na 6, %, o 9,8 %. zošit 8 a) stála... 0 kúpil predáva :60=, Predáva ju o, % drahšie ako ju kúpil. b) stála... x kúpil... x predáva... x x : = =, x

49 a) 0, 000 = = 770 Vyklíčilo 770 semien. b)00% %=77% 0, = 770 Úloha 7 Opäť jedna z úloh, ktorá nie je matematicky náročná, ale žiaci sa v nej zamotajú a obvykle určia zlé číslo ako výsledok. Učte ich postupne zapisovať postup riešenia a ku každému číslu si napísať, čo znamená.,... %,9... % % 90, = 6, Nová cena práčky je 6, eura. % okuliare... 0, 60 = 96 % ženy... 0, 96 = 9 muži =7 7 mužov v kine malo okuliare.. možnosť =6, 6 eur. možnosť... 0,6 700 = eur Má si vybrať. možnosť.. zošit 9

50 Úloha Zadanie zvádza súhlasiť s učňom úhrn úspor, ktoré navrhuje, na prvý pohľad, skutočne dáva 00 %. 7 % eur %... 0 eur 00 % eur Karol ušetril 000 eur. 90 %... 0 eur %..., eur 00 %..., eur Pred zlacnením stála, eur. Žien =, mužov,m M=0,M... rozdiel v počte mužov a žien Žien je o 0 % viac ako mužov.. zošit 0 Náklady eur. rok %... 0 eur nové náklady (0, 000). rok 0 %... 8 eur (0,7 ). rok %... 88,7 eur (0,7 8) 88,7 : 000 = 0,88 7 Nemá pravdu. Náklady sa znížia na 8,87 %.

51 x 0=0,9 0 x = = Úloha 6 Dajte žiakom úlohu, aby zistili, o koľko percent by museli zvýšiť cenu, aby bola taká ako na začiatku. Číslo 0 musíme vynásobiť zlomkom. 7 0 a) náhrdelník... x náramok... 0,6 x ,6 x = 768 x = 80 b) náhrdelník... x... 0 náramok..., x , x = 768 x = 0 a) zisk 0 %... kúpi za 00, predá za 0 cena o 0 % dolu... 0,9 0 = : 00 =,08... zisk 8 % b) zisk 0 %... kúpi za x, predá za,x cena o 0 % dolu... 0,9, x=,08 x... zisk 8 % ena eur zníženie o 0 %... cena 700 eur zníženie o 0 %... cena 60 eur zvýšenie o 0 %... cena 80 eur Výsledná cena bola o 6 % nižšia ako pôvodná.. zošit

52 Úloha 9 Závisí výsledok úlohy od výšky dane, ktorá bola pred rozhodnutím parlamentu? (Myslíme si, že pre siedmakov je zjednodušený výlet do sveta miezd a daní užitočný.) Úloha 0 Najjednoduchšia cesta vedie cez rozklad na súčin prvočísel. Ak ju žiaci neobjavia hneď, nevadí. Nechajte ich skúšať a násobiť, počítať percentá. Prvé druhé... 0,8 60 = 8 tretie... 0, (60 + 8) = (60+8+):= Aritmetický priemer čísel je. III. II. I. Štvrté štvorčekov tretie... 0 štvorčekov druhé... 8 štvorčekov... prvé... štvorčekov... spolu... štvorčekov štvorček= Bolo: plat p prvý: plat,p druhý: plat,p daň 0,p daň 0,, p= 0,p daň 0,, p= 0,00 p dostal 0,8p dostal 0,77p dostal 0,77 p Výhodnejší je prvý. = =9 0, =6 6+=9 Súto9a.. zošit

53 0 % % :0=0 00 % =000 Plánovaných bolo 000 prihlášok. 60 % eur %... eur 0 % eur enu znížili o 00 eur. 0 % večer %... 00:0= 00 %... 00=00... ráno Ráno bolo vyklíčených 00 rastlín. a)+0%,x 0 % 0,7, x= 0,9x o 9 % lacnejšie b) 0% 0,7x + 0 %, 0,7 x= 0,9x o 9 % lacnejšie. zošit

54 Úloha 6 Úloha je náročná najmä tým, že najpohodlnejšie sa rieši pomocou sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi. Nie je však problém zostaviť iba jednu rovnicu s jednou neznámou (dosadzovacia metóda). Ak sa vám úloha zdá pre vašich žiakov ešte náročná, pokojne ju preskočte. Úloha 8 Pripomeňte si so žiakmi, čo to znamená, že priemerná výška skupiny je 6,7 cm (keby boli všetci štyria členovia skupiny rovnako vysokí, merali by každý 6,7cm). Pavol... x Peter..., x= p x= 0,8p Pavlovo auto je o 0 % lacnejšie ako Petrovo. 00 % % % Predal ich za 00 eur. parlament... x prítomných... x= 0,8x za % z 0,8 x= 0,8 0,8 x= 0,6x schválený pri % z x= 0,6x 0,6 x> 0,6x Program bol schválený. 6,7 cm. zošit 68, cm

55 Úloha 9 Najlepšie sa rieši táto úloha cez zlomky. Vyfarbená časť je jedna štvrtina útvaru, to znamená, že to bude % (lebo štvrtina zo 00% je %). 0 % % 7 % 60 % Pôvodný a o=a S= a nový a' =,a o' =, a=, a=,o... o % väčší S' =, a, a =,87a... o 87, % väčší a= 0,b o=( a+ b) 0, = (0, b + b) b =cm a =,7 cm Rozmery obdĺžnika sú,7 cm a cm.. zošit

56 Okrem otázky o koľko percent? sa môžete v každej úlohe pýtať na koľko percent?. Pôvodný nový V = abc V' = 0,8 abc = 0,8V Ojem sa zmenší o 0 %. Pôvodný nový % % % V =0 0 0=0000cm V =8 0=9600cm Pôvodný nový %,... % 9, % V = 6 8=dm V =, 7,8 8 = 9,76 dm. zošit 6 0cm=dm 0,9m=9dm Pôvodný nový %,6... % 87,... % V = 8 9=60dm V =,7=87,dm

57 Úloha 7 Žiaci už vyriešili viacero úloh tohto typu, preto si myslíme, že by mohli skúsiť hneď riešenie s premennou. Ak to nejde, nevadí, vráťte sa opäť ku konkrétnym číslamakzovšeobecneniu. 0 % % 0 % 0 % Úloha 8 Zaskočte žiakov otázkou, či je to vždy možné. Či nevedia nájsť obdĺžnik, pre ktorý tento výsledok neplatí. a a cm bola dĺžka pôvodnej strany štvorca. % a Pôvodný... a, b S= ab Zmenený... a' =, a b' = 0,8 b S' =, a 0,8 b = ab = S Je to možné. b= 0,6a o=( a+ b) = ( a+ 0,6 a) a =0dm b =6dm. zošit 7

58 Úrokovanie jedna z mála vecí z hodín matematiky, o ktorých môžeme žiakom s čistým svedomím povedať, že ju budú potrebovať vo svojom živote. V tejto chvíli sa zameriavame na jednoduché príklady, aby mali žiaci možnosť pochopiť fungovanie úrokovania. Veľké množstvo ďalších (jednoduchých i náročnejších) úloh môžete nájsť v pracovných zošitoch Praktické financie autorov Bero Berová z dielne vydavateľstva Orbis Pictus Istropolitana Vklad eur úrok eur spolu eur Pani Danka bude mať po roku 0 00 eur. Istina eur úrok... 7 eur Pán Karol musí zaplatiť 7 eur.. zošit 8 Úver eur úrok... eur dotácia eur rozdiel... eur Po prvom roku podnikania zaplatí eur.

59 % % % 0% 8% % % Pôžička eur úrok... eur úroková miera... % Pani Betka má úrokovú mieru % p.a. Pán Adam vklad eur úrok eur úroková miera... % Pán Milan vklad eur úrok... 0 eur úroková miera...,7 % Úloha 8 Táto úloha v zjednodušenej forme opisuje rozhodovanie, v ktorom sa ocitá čoraz viac našich spoluobčanov chcú si požičať peniaze a rozhodujú sa iba na základe výšky splátok. Upozorňujte žiakov na to, že spoločnosti v reklamách a ponukách využívajú túto fintu, pretože sa ňou veľmi dobre lákajú klienti, ktorí si v skutočnosti neuvedomujú, koľko ich bude pôžička stáť. Hľadajte so žiakmi reálne ponuky bánk a spoločností a porovnávajte ich. Diskutujte so žiakmi o tom, či je rozumné si požičiavať, kedy je rozumné si požičiavať a na čo všetko treba pri pôžičke myslieť. Rozprávajte sa o reklamných sloganoch spoločností, ktoré nás presviedčajú, že výhodnejšie je si požičať ako našetriť a že veci zostarnú skôr ako si na ne našetríme. Táto téma poskytuje množstvo výchovných momentov, ďalšie tipy a námety nájdete v pracovných zošitoch Praktické financie. Pôžička Smetuprevas 000 eur 0 0 = 00 eur úrok eur úroková miera... 0 % Rýchlepeniaze 0=0eur úrok... 0 eur úroková miera... 6 % Výhodnejšiu úrokovú mieru má spol. Smetuprevas.. zošit 9

60 ,66 Úrok 00 eur úroková miera, % p.a. úver eur Novákovci si vzali úver eur. Úrok eur úroková miera, % p.a. vklad 0 eur Pred rokom mala pani Eva 0 eur. Úrok 00 eur úroková miera, % p.a. vklad eur. zošit 60 Pán Jakub si vložil eur.

61 Postupne si vyberá 9 0 = 00 eur spolu 9 00 eur. po desiatich rokoch má na účte 0 eur ,0690,9 688,6789, 790,79 88,900,97,60 0 6,0 77, 9,7 06,8,67 7,, 70,0 87, Po desiatich rokochmá na účte 0 8,7 eur. Úloha ieľom tejto úlohy je porovnať výhodnosť oboch spôsobov šetrenia. Pri druhom spôsobe, keďže navyšujeme každý rok istinu, zvyšuje sa nám aj úrok. Preto je tento spôsob výhodnejší, ak chceme, aby naše peniaze zarábali ďalšie peniaze. Diskutujte so žiakmi o tom, či je pre nás dobré mať zarábajúce peniaze. Čo ešte okrem peňazí môžeme vlastniť a bude nám to zarábať peniaze? Napríklad, ak vlastníme nehnuteľnosť a dávame ju do prenájmu... Ďalšie tipy a námety nájdete v pracovných zošitoch Praktické financie. Úloha Úloha Úloha upozorňuje na to, že okrem úrokovej miery je potrebné si všímať aj obdobie, počas ktorého máme uložené peniaze alebo si požičiavame peniaze. Pretože aj tento faktor ovplyvňuje výšku nášho úroku za dané obdobie. 0 eur eur 6, eur 0 eur 00 eur 0 eur 7 eur 00 eur. zošit 6

62 Úloha 6 Pozornosť žiakov treba zamerať na frekvenciu pripisovania úrokov. Pán Šetrný si na začiatku roka vloží istú sumu (napr. 000 eur), ale výška jeho konta po roku závisí od toho, ako často mu budú pripisované úroky. Ak budete mať čas a chuť, môžete sa hrať na týždenné, denné či iné úročenie. Úloha 7 Hypotekárny úver sa v tomto prípade spláca tak, že pán Staviteľ platí mesačne rovnako veľkú splátku Časť z nej tvorí úrok z dlžnej sumy a zvyšok je splátka istiny. Ako sa zmenšuje dlžná suma, zmenšuje sa aj splátka úroku, ktorú pán Staviteľ mesačne platí, a zvyšuje sa splátka istiny. Pre zaujímavosť si môžete vypočítať zisk banky na tomto hypotekárnom úvere (a to sme ešte nezarátali poplatky za poskytnutie úveru). Ďalší problém, ktorý žiaci môžu riešiť, je, či by pán Staviteľ zaplatil banke viac, keby splácal svoju hypotéku dlhšie (platil by mesačne menšie splátky). Vklad = 000 eur A = 0 eur B =,60 eur =, eur D = 6,6 eur E = 6,80 eur ,0 8 68,70 8 6,80 9 7,0 7,0 7,0 9 88,90 Júl 68 6, ,0 9,80 August 6 08,80 6,0 9 7,90 September ,90 708,60 9 9,0 Október 7 69,0 7,70 96,0 November 79,0 79, ,70 December 8 8,0 8, ,80. zošit ,70 89,0 8 99,

63 Katka podpis: 0 eur 0,7 =,70 Mária podpis: 0 eur 0 6,0 = 6,00 Výhodnejšia je Katkina pôžička. Viac zaplatí pani Mária (o,0 eur). Katka 60,70 o 0, % Mária 6,00 o,8 % A prvá splátka 000 eur 6 99,7 = 80,9 eur spolu B prvá splátka 7 80,9 eur 000 eur 8 08,7 = 796,96 eur spolu 7 796,96 eur Prvý spôsob je výhodnejší. spolu 60,70 eur spolu 6,00 eur Úloha 8 Učte žiakov, že keď už sa dostanú do situácie, že si potrebujú požičať, je potrebné si všetko dobre prepočítať. Neorientovať sa iba podľa výšky splátok, ale aj podľa úrokovej miery, ale hlavne podľa čísla r. p. m. Predstavuje celkovú výšku ročných nákladov na pôžičku toto je údaj, ktorý v skutočnosti prezrádza, koľko klient zaplatí za požičanie a každý, kto požičiava, je povinný tento údaj uvádzať (aj v reklame, aj v zmluve). Upozorňujte žiakov, že v našej spoločnosti je (žiaľ) zvykom, že najdôležitejšie veci sú často v zmluve napísané tým najmenším písmom a že je potrebné zmluvu si poriadne prečítať a keď jej úplne nerozumiem, poradiť sa s niekým kvalifikovaným. Hovorte so žiakmi o tom, čo sa stane dlžníkom, ktorý nesplácajú svoje dlhy. Úloha 9 V zásade platí čím dlhšie splácam, tým viac za požičanie zaplatím. Aj preto je prvý spôsob výhodnejší, aj keď podľa výšky splátok sa to nezdá. Ďalší dôležitý faktor je aj ten, že pri väčšine lízingových zmlúv sa stanete vlastníkom splácaného auta až po jeho úplnom zaplatení (tu môžu nastať problémy napríklad vtedy, ak vám auto ukradnú a poisťovňa v tom prípade plní škodu lízingovej spoločnosti a nie vám hoci ste už veľa peňazí za auto zaplatili, nemáte ani auto, ani peniaze). Ďalšie tipy a námety nájdete v pracovných zošitoch Praktické financie.. zošit 6

64 . zošit 6

65 Úloha Pozor tabuľka hovorí o ľuďoch, ktorí sa pravidelne nevenujú športu a v úlohách sa pýtame na ľudí, ktorí športujú. Dá sa, samozrejme, vymyslieť oveľa viac otázok, na ktoré nájdete odpoveď pomocou vypracovaného stĺpcového diagramu. My vieme, že vy to zvládnete hravo a práve preto nechajte úlohy vymýšľať vašich žiakov. Kto vymyslí najviac otázok (zmysluplných), kto vymyslí najzábavnejšiu, najkomplikovanejšiu... Námet úlohy môžete využiť na diskusiu o tom, koľko žiakov vo vašej triede pravidelne športuje, čo to znamená pravidelne športovať, aký význam má pre naše zdravie pravidelné športovanie Portugalsko Fínsko krajín menej ako SK; 0 krajín viac ako SK. zošit 6

66 Úloha Kruhový diagram je výhodný vtedy, ak delíme jednu skupinu (00%) na niekoľko častí napríklad rozdelenie jazykových znalostí žiakov jednej triedy. Výhodnejší je stĺpcový diagram. 60 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % aspoň aspoň aspoň žiadny. zošit 66

67 tisícina Úloha Princíp počítania je ten istý ako pri percentách, len sa nachádzame na území tisícin ,06,, Úloha My sme sa pri riešení úlohy držali logiky definície stúpania/klesania. Vždy sme si vypočítali, o koľko metrov cesta stúpne/klesne pri vodorovnej vzdialenosti 000 m. 0 60,0,7, m..., m 000 m...,7 m 70 m... 0 m 000 m..., 6 m 0, m... 8 m 000 m... m 00 m... m 000 m... 0, m 9 m... 7 m 000 m... 8,8 m Stúpanie lanovky je 8,8.. zošit 67

68 Úloha Vypočítať, koľko promile alkoholu je v krvi človeka, ktorý pil alkohol, nie je jednoduché. Výsledok ovplyvňuje veľa faktorov (vek človeka, jeho hmotnosť, pohlavie, čas, ktorý uplynul od vypitia alkoholu...). Preto sme výpočet zjednodušili tým, že sme vyliali alkohol do suda. Všetky vypočítané údaje teda platia pre muža s hmotnosťou 90 kg. Diskutujte so žiakmi o tom, aké promile alkoholu by mali oni po vypití rovnakého množstva alkoholu a aké by potom bolo ich správanie. Úloha nemá žiakov navádzať na pitie alkoholu, má im priblížiť a zvedomiť problémy, do ktorých sa môžu dostať. Úloha 6 Práve z dôvodov, ktoré sme opísali pri predchádzajúcej úlohe, sa budú výsledky jednotlivých kalkulačiek od seba odlišovať ,0,86 0,76,90,7,9. zošit 68

69 Príprava a realizácia celého projektu tak, ako je opísaný, môže trvať aj niekoľko týždňov. Veľká časť práce je na domácej príprave žiakov a kooperácii v skupinách do ktorých sa rozdelili. Nepodceňujte rozdelenie žiakov do skupín takto dáte možnosť vyniknúť všetkým žiakom v triede (aj tým, ktorí nie sú dobrí v matematike). Skôr, ako začnú žiaci vymýšľať identifikačné prvky banky (logo, názov, letáky, produkty...) je dobré, aby si pozreli, ako to vyzerá v reálnych bankách. Nech sa do nich vyberú, prinesú letáky, pozrú si ich webové stránky... Samotnú matematiku využijú žiaci pri zostavovaní ponuky banky. Zamerajte sa iba na dve veci: () za akých podmienok banka požičiava peniaze a () za akých podmienok si u nej môžu klienti uložiť peniaze. Žiaci pri vymýšľaní musia brať do úvahy aj konkurenciu a postaviť svoje produkty tak, aby boli konkurencieschopní. Samotnú prezentáciu môžete ozvláštniť tým, že na ňu pozvete do školy rodičov, alebo kolegov a títo budú predstavovať klientov, ktorí sa budú rozhodovať, ktorú banku by si vybrali. Nechajte žiakov pripraviť prezentáciu na počítači alebo akýmkoľvek iným spôsobom, o ktorom budú presvedčení, že zaujme a priláka klientov. Nezabudnite zdôrazniť, že banka musí pôsobiť dôveryhodne (veď ide o naše peniaze) a diskutujte o tom, ako sa dôveryhodnosť prezentuje (budovy, oblečenie pracovníkov, farebnosť propagačných materiálov...).. zošit 69

70 Úloha Kresliť alebo rysovať obrazy telies čo i len v jednobodovej perspektíve vôbec nie je jednoduché. Ale ten pocit, keď sa vám podarí narysovať to správne stojí za to. My sme pre vás a vašich žiakov pripravili iba také letmé stretnutie s perspektívou. Skúste ako spojenca vziať učiteľa výtvarnej výchovy a nechajte žiakov kresliť komiksový príbeh. Majte však podmienku: všetky budovy a veci v komikse musia byť nakreslené v perspektíve (jedno, dvoj alebo pre najväčších fanatikov v trojbodovej). Želáme vám príjemné pozeranie a čítanie.. zošit 70

71 Úloha Pre najväčších odvážlivcov pripravte samostatnú prácu na čistom papieri vyznačte priamku a dva body nechajte žiakov samostatne narysovať obraz kocky alebo kvádra.. zošit 7

72 Úloha Diskutujte so žiakmi o tom, aké geometrické útvary sú vrcholy, hrany a steny kvádra a kocky. Úloha Nechávame žiakov kresliť pravý aj ľavý pohľad, neskôr nech si každý žiak vyberie ten, ktorý mu viac vyhovuje. kváder K, L, M, N, O, P,R,S KL, LM, MN, NK, KO, LP, MR, NS, KLMN, OPRS, KLPO, LMRP, NMRS, KNSO 8 6 OP, PR, RS, SO kocka A, B,, D, E, F, G, H AB, B, D, DA, AE, BF, G, DH, EF, FG, GH, HE ABD, EFGH, ABFE, BGF, DGH, ADHE 8 6. zošit 7

73 Miesto na náčrt majú žiaci vyznačené osobitne, aby mali neustále na pamäti, že robiť náčrt je užitočné a hlavne zmysluplné. Diskutujte s nimi o tom, prečo je to zmysluplné. E H F G E cm A H D 7cm G F B 6cm D A B M' L' N' K' K' N' L' M' K' cm K N' N cm M' L' M L cm M N N M L K K L. zošit 7

74 Pre túto aj nasledujúce strany platí: možno sa nájdu vo vašej triede žiaci, ktorí si budú vedieť stavby z kociek predstaviť a splniť zadanie úlohy. My vám však radíme: zožeňte si kocky a nechajte žiakov, aby stavby stavali, pozerali sa na ne z rôznych strán a potom kreslili čo vidia. Možno budú vaše hodiny trochu hlučnejšie ako ste zvyknutí, no priestorovej predstavivosti vašich žiakov to pomôže oveľa viac ako keby ste ju nechali pracovať samú.. zošit 7

75 . zošit 7

76 Úloha Ak budú žiaci kresliť obrazy stavieb pomocou kociek s rozmerom štvorčeky, zmestia sa im na túto stranu iba obrazy telies bez nárysov, pôdorysov a bokorysov. Je na vás, ako zadáte úlohu žiakom. Jedna z možností je, nech každý postaví a nakreslí čo najviac stavieb, potom rozdeľte triedu na tri skupiny nárysovú, pôdorysovú a bokorysovú a nechajte každú skupinu kresliť iba príslušné obrázky. Potom skúste spolu priraďovať ktorý nárys, bokorys a pôdorys patrí ktorému telesu.. zošit 76

77 Úloha Stavieb bude viac ako v úlohe. Tu už si mnohé žiaci nebudú môcť reálne postaviť, iba si ich predstaviť. Iba že by ste mali kocky so suchými zipsami a mohli ich k sebe prilepovať a potom zase odlepovať. Ak máte čas a chuť (pevné nervy a uši v poriadku), variujte počet kociek, z ktorých sa stavajú stavby. Bude sa dať počet stavieb postavenýchznkociek vyjadriť pomocou nejakej závislosti? (Námet na rozmýšľanie pre tých najšikovnejších.). zošit 77

78 Úloha Nechajte žiakov urobiť papierové modely všetkých troch telies. Potom nech stavajú stavby a kreslia ich obrazy vo voľnom rovnobežnom premietaní.. zošit 78

79 Úloha Vysvetlite si so žiakmi, čo sú to prvočísla. Dôraz kladieme na slovné spojenie vysvetlite si. To znamená, že nie vy ste ten/tá, kto to musí ostatným vysvetliť. Nechajte žiakov, nech si naštudujú, čo sú to prvočísla, a navzájom si vysvetlia tento krásny (a jednoduchý) matematický pojem. Nájdite (myslíme tým vašich žiakov) viac informácií o Euklidovi či inom starovekom alebo novovekom matematikovi. Urobte si hodinu Histórie matematiky, na ktorej môžu žiaci napríklad v dobových kostýmoch informovať svojich spolužiakov o zaujímavostiach zo života týchto géniov,ioich objavoch. Nezabudnite pozvať rodičov!. zošit 79

80 Návrh obsahového štandardu z matematiky 7. roč. ZŠ /. roč. GOŠ Temat. celok Zlomky. Počtové výkony so zlomkami. Racionálne čísla Odporúčané témy Pojem zlomok, jeho geometrická interpretácia. Znázornenie zlomkov na číselnej osi. Rozširovanie zlomkov a krátenie zlomkov. Racionálne čísla. Sčitovanie a odčitovanie zlomkov. Násobenie a delenie zlomkov. Odporúčaný obsahový štandard zlomok ako časť celku, zlomková čiara, čitateľ a menovateľ Odporúčané pojmy a postupy číselná os, umiestnenie zlomku na číselnej osi, porovnávanie zlomku s celým číslom, porovnávanie zlomkov pre ten istý celok krátenie a rozširovanie zlomkov, spoločný menovateľ (spoločný násobok), rovnosť zlomkov, porovnávanie zlomkov, základný tvar zlomku zmiešané číslo (pravý a nepravý zlomok), desatinný zlomok (zlomok s menovateľom 0, 00, 000,...), prepis zlomku na desatinné číslo a naopak, desatinné číslo s periódou, porovnávanie zlomkov a desatinných čísel, sčitovanie a odčitovanie zlomkov s rovnakými menovateľmi, sčitovanie a odčitovanie zlomkov s rôznymi menovateľmi násobenie a delenie zlomkov prirodzeným číslom, násobenie a delenie zlomkov, zlomková časť z celku, krížové pravidlo Odporúčaný výkonový štandard správne chápať, čítať a zapisovať zlomok, rozumieť pojmom zlomok, zlomková čiara, čitateľ a menovateľ, vedieť graficky znázorniť a zapísať zlomkovú časť z celku, rozpoznať v písanom texte zastúpenie zlomkov a chápať ich význam v kontexte vzhľadom na celok; orientovať sa na číselnej osi, vedieť znázorniť zlomok na číselnej osi vo vzťahu k celému číslu, vedieť, kedy sa zlomok rovná jednej celej, kedy sa rovná nule a kedy nemá zmysel, vedieť porovnávať a usporadúvať zlomky s rovnakým menovateľom/čitateľom, vedieť v rámci celku uviesť príklad rovnakého zlomku v inom tvare, rozširovať a krátiť zlomok, upraviť zlomok do základného tvaru, nájsť spoločného menovateľa zlomkov, porovnávať a usporadúvať zlomky, chápať súvis medzi krátením zlomku a základným tvarom zlomku, vedieť upraviť zlomok do základného tvaru, vedieť rozlíšiť pravý a nepravý zlomok a upraviť zlomok na zmiešané číslo, prepísať zlomok do tvaru desatinného čísla a naopak, rozumieť pojmu perióda a vedieť určiť periódu pri prevode zlomku na desatinné číslo, ovládať prácu s kalkulačkou pri prevode zlomku na desatinné číslo s danou presnosťou, písomne sčitovať a odčitovať zlomky s rovnakými aj rôznymi menovateľmi, ovládať prácu s kalkulačkou pre uľahčenie sčitovania a odčitovania zlomkov, písomne násobiť a deliť zlomky, vedieť vypočítať zlomkovú časť z celku, ovládať prácu s kalkulačkou pre uľahčenie násobenia a delenia zlomkov, zorientovať sa v slovných úlohách a dospieť k správnemu výsledku. Percentá Percento. Časť prislúchajúca počtu percent. Počet percent. Diagramy. Jednoduché úrokovanie. Promile. percento (%) ako časť celku, vzťah percent, zlomkov a desatinných čísel (desatinný zlomok s menovateľom 00), grafické znázornenie percent zo základu 00 určenie základu, výpočet percentuálnej časti, výpočet počtu percent, slovné úlohy znázorňovanie časti celku a počtu percent vhodným diagramom/grafom, kruhový diagram, stĺpcový graf, spojnicový graf pôžička, úrok, istina, jednoduché príklady z finančného sektora promile, promile v bežnom živote poznať význam pojmu percento, uviesť príklady percent z bežného života, na vhodných modeloch vedieť znázorniť počet percent, vedieť vypočítať%akostotinu základu, vedieť vypočítať 0 %, 0 %, %, 0 %, 00 % bez prechodu cez %; v jednoduchých príkladoch určiť a vypočítať základ, počet percent, percentuálnu časť, zorientovať sa v jednoduchých slovných úlohách o percentách, rozlíšiť v nich dôležité informácie a vedieť rozpoznať, určiť a vypočítať počet percent, základ, percentuálnu časť, ovládať prácu s kalkulačkou pre uľahčenie práce s percentami; vyčítať z diagramov/grafov informácie o percentách, vedieť spracovať a vhodným typom diagramu/grafu znázorniť požadované údaje, vedieť zostrojiť graf/diagram z údajov z tabuľky; v jednoduchých úlohách rozlíšiť pojem istina a úrok, vedieť vypočítať úrok z danej istiny pri stanovenej úrokovej miere v určenom časovom období, riešiť primerané úlohy z oblasti bankovníctva, hypoték a finančníctva, poznať význam pojmu promile, uviesť príklady z bežného života, vedieť vypočítať ako tisícinu základu, riešiť jednoduché príklady a slovné úlohy na promile.

81 Temat. celok Kocka, kváder Odporúčané témy Perspektíva. Voľné rovnobežné premietanie. Telesá zložené z kociek a kvádrov. Povrch. Objem. Odporúčaný obsahový štandard Odporúčané pojmy a postupy priestor, vzor, obraz, perspektíva (jednobodová, dvojbodová) vrchol, hrana, stena kocky/kvádra, pravidlá voľného rovnobežného premietania do roviny, viditeľné a neviditeľné hrany, náčrt telesa, pravý a ľavý pohľad na teleso teleso (jednoduché a zložené), nárys, pôdorys, bokorys, pestovanie priestorovej predstavivosti podstava a plášť telesa, sieť kocky/kvádra, jednotky obsahu, povrch kocky, povrch kádra povrch telies zložených z kocky/kvádra jednotky objemu a ich vzájomný prevod, objem kocky a kvádra, objem telies zložených z kocky/kvádra Odporúčaný výkonový štandard kresliť a rysovať obrazy telies v jednobodovej (prípadne dvojbodovej) perspektíve, vedieť načrtnúť a narysovať obraz kocky a kvádra vo voľnom rovnobežnom premietaní, vyznačiť viditeľné a neviditeľné hrany a základné prvky kocky/kvádra, zostavovať modely telies skladajúcich sa z kociek a kvádrov, zhotoviť ich náčrt, popísať na náčrte základné prvky kocky/kvádra, kresliť ich nárys, bokorys a pôdorys, rozlišovať podstavu a plášť telesa, vedieť načrtnúť a popísať sieť kocky/kvádra, poznať jednotky obsahu a ovládať ich vzájomný prevod, poznať vzťah na výpočet povrchu kocky/kvádra, riešiť primerané slovné úlohy na výpočet povrchu kocky/kvádra a telies z nich zložených, vedieť odhadnúť objem kocky/kvádra v porovnaní s jednotkovým objemom ( cm, dm...), poznať jednotky objemu, vzťah liter=dm, ovládať vzájomný prevod jednotiek objemu, poznať vzťah na výpočet objemu kocky/kvádra, riešiť primerané slovné úlohy na výpočet objemu kocky/kvádra a telies z nich zložených. Pomer. Priama a nepriama úmernosť Pomer. Mierka. Priama úmernosť. Nepriama úmernosť. pomer, grafické stvárnenie pomeru, prevrátený pomer, postupný pomer, rozdeľovanie celku v danom pomere mierka plánu/ mapy priama úmernosť ako závislosť medzi dvoma skúmanými veličinami, tabuľka priamej úmernosti, pravouhlá sústava súradníc, grafické znázornenie priamej úmernosti, trojčlenka nepriama úmernosť ako závislosť medzi dvoma skúmanými veličinami, tabuľka a grafické znázornenie nepriamej úmernosti, trojčlenka vedieť vysvetliť pojmy pomer, prevrátený pomer, postupný pomer (ako skrátený zápis jednoduchých pomerov) a rozumieť ich významu, graficky znázorniť pomer, poznať príklady na pomer známe z bežného života, vedieť zapísať, upraviť daný pomer, deliť dané množstvo na časti v danom pomere, zväčšiť/zmenšiť číslo/úsečku v danom pomere (aj konštrukčne), vedieť zapísať a upraviť postupný pomer, riešiť jednoduché slovné a geometrické úlohy na pomer rôzneho typu, rozumieť pojmu mierka mapy/plánu a správne ju interpretovať, riešiť praktické slovné úlohy s použitím mierky mapy/plánu, rozumieť a interpretovať priamu úmernosť ako vzťah medzi dvoma veličinami, ovládať prácu s pravouhlou sústavou súradníc, určiť boby v pravouhlej sústave súradníc, vedieť priamu úmernosť graficky vyhodnotiť, poznať príklady priamej úmernosti z bežného života, riešiť príklady na priamu úmernosť, riešiť úlohy jednoduchou/zloženou trojčlenkou, rozumieť a interpretovať nepriamu úmernosť ako vzťah medzi dvoma veličinami, vedieť nepriamu úmernosť graficky vyhodnotiť, poznať príklady nepriamej úmernosti z bežného života, riešiť príklady na nepriamu úmernosť, riešiť úlohy jednoduchou/zloženou trojčlenkou. Kombinatorika Riešenie kombinatorických úloh rôznymi metódami a postupmi na základe hier a pokusov. Úlohy na tvorbu skupín predmetov a ich počte z oblasti rôznych hier a športu. dáta, údaje, prvky, skupiny, spoločné znaky, hľadanie možností, všetky možnosti, triedenie, možností, riešenie kombinatorických úloh rôznymi metódami strom logických možností, stromový diagram, tabuľka, grafická interpretácia možností, pravidlo súčinu zvládnuť výpis všetkých možností podľa určitého systému, vytvárať systém a objavovať spôsob tvorby na vypisovanie všetkých možností (strom logických možností), dokázať systematicky usporiadať daný počet predmetov (prvkov, údajov) do skupín, určiť spoločnú matematickú podstatu v kombinatorickej úlohe a počet rôznych usporiadaní, vedieť z daného počtu prvkov vybrať menší počet prvkov a usporiadať a určiť počet takto vybraných prvkov (bez opakovania aj s opakovaním), používať pravidlo súčtu a súčinu pri riešení základných kombinatorckých úloh, získať skúsenosť s prácou a organizáciou v konkrétnych súboroch prvkov, riešiť rôzne jednoduché úlohy s kombinatorickou problematikou, znázorniť spracované dáta v tabuľke, stromovým diagramom/grafom alebo inou grafickou interpretáciou.

82 Úloha Žiaci si môžu dokresliť kocky do obrázka tak, ako sme to urobili v zadaní b), alebo si každý kváder vymodelujú na lavici z menších kociek. Práca so skutočnými kockami je síce hlučná, ale pre žiakov veľmi atraktívna. Navyše, veľmi dobre pomáha pri budovaní pojmu objem a pri utváraní predstavy o jednotkách objemu zošit 6 7 0

83 D Á Ž D N I K. zošit

84 . zošit Úloha V zadaní máme na mysli tunely v tvare kvádra, teda s prierezom tvaru štvorca či obdĺžnika. š š š h h h v v v 6 7 6

85 Úloha 8 Získať predstavu o tom, čo je skutočne cm alebo dm, je veľmi dôležité. Pomôže nám aj narysovanie obrazu týchto jednotiek vo voľnom rovnobežnom premietaní. Oveľa lepšie však je, ak si každý žiak zhotoví model decimetra kubického alebo centimetra kubického. Ak by ste mali dostatočný počet kociek, môžete si v triede poskladať aj meter kubický. Úloha 0 Vyznačte si aj vzťah medzi cm a mililitrom : 000 : 000 :0 0 :00 : :0 : zošit

86 Úloha Už to máš? 00 0, , 0 8 6, cm cm 000 cm,006 cm 000 cm M Á Š T O 0,00 cm cm 000 cm cm 000 cm 0 cm 0,0 cm cm 00 cm 000 cm 897 cm 000 cm 798 cm 00 cm 90 cm. zošit 6 Najmenší rozdiel najväčší rozdiel

87 Úloha 6 Pozor na rozdielne jednotky! V = cm V= a V = =cm V = 000 dm V =7m V =9,mm a V =60dm V= a b c V = =60dm V = 00 dm V = 7,7 dm V =, cm a b c 60 0, , 6 dm,97 cm 80 cm mm 6 l 0,00 97 dm dm 0, cm 60 dl 0,00 97 l l 0, ml 800 hl. zošit 7

88 Učme žiakov kresliť si náčrty aj pri výpočtovej geometrii. Spôsob zápisu úlohy a jej riešenia nechávame na vás. V =87,l=87,dm c c= V:( a b) 0,7 m cm c =dm Akvárium má hĺbku dm. V =, m m a= V:( b c) a, m a =,8 dm Tretí rozmer skrine je,8 m. Róbert Norbert V = 0,6 cm V =,8 cm 0,6,8 =,6 Viac čokolády má Róbert, o,6 cm. a b c a =cm a =cm V =cm V =6cm a m = 0, kg m =,8 kg a a. zošit 8 Kocka s hranou cm má hmotnosť,8 kg.

89 0 m, m m V =0m c =0:(70 0) c = 0,0 m Treba vykopať 0 m zeminy. Vrstva novej hliny bude vysoká, cm. a =m=0dm b =m=0dm c =cm=0,dm m m cm V = dm V = l Na záhradu napršalo l vody. S= a b S= V: c S =0m a b 0 cm V miestnosti môžu pracovať ľudia.. zošit 9

90 Úloha Skúška správnosti znamená vystrihni a zlož.. zošit 0

91 Úloha Skúška správnosti opäť znamená vystrihni a zlož. Existuje rôznych sietí kocky.. zošit

92 Úloha 8 Pozor na rozdielne jednotky! 0, ,000 0, , , , ,00 0, , , ,000 0,0, , S =m S=6a S =6 =6 9= S = 0, dm S =0mm 6a S = 98, cm S = 8 dm S=( ab+ bc+ ca) S =( ) S =8 S = 6 00 cm ( ab + bc + ca) S = 60,8 dm. zošit S = 0 0 cm

93 Pri náčrtoch je dobré pracovať s farebnými ceruzkami. a a = S:6 =6 a Úloha Podlahu nemaľujeme. a =6 Dĺžka hrany kocky je 6 cm. a a Úloha Zmáčaných vodou je iba päť stien akvária. (Predpokladáme, že voda presakuje cez piesok a štrk na dne akvária.) =( + c+ c) c =dm dm c 0 cm S=ab+( bc+ca) S = 6, m 6, 70 m 7 plechoviek Potrebujeme 7 plechoviek farby. m, m m c= V:( a b) 80 cm 0 cm c =0cm S= ab+ ( bc+ca) 7 cm cm 7 cm S =97cm cm V akváriu je zmáčaných 97 cm stien.. zošit

94 Modrá kocka a = S:6 a =9 a =7 Červená kocka a =7 0,dm=cm a = 900 cm 600 cm 60 cm 0 cm 90 cm 0 cm 00 cm 00 cm 600 cm 00 cm mm 700 mm 70 mm 80 mm 80 mm cm 680 cm cm 0 cm 6 cm m m 0 m 8 m 0 m m m 9m 9m 9m 6cm 6cm 60 cm cm 60 cm. zošit l l l= l l l= l l l l= l l l 6l= l 7l= l l 8l=l+l 9l= l 0l= l...

95 S pl = 0,6,8 S pl = 7,8 m 7,8 =,8 m,8 = 6,08 Zaplatíme 6,08 eura. Úloha Urobiť všeobecné riešenie tejto úlohy je zatiaľ nad matematické možnosti vašich žiakov. Nech si zmerajú jednotlivé dĺžky, a potom vypočítajú objemy a povrchy telies. a a a a 6a cm cm 8cm 6 cm cm 6a a 6a a a 8a a a 0a a 8a 0a a 6a. zošit

96 Úloha 7 Jeden i druhý spôsob riešenia je správny. Nájdu vaši žiaci ďalší? = = 8 = 6 kociek a) + = = 97 + = 088 kociek b) 6 = = 088 kociek V =(6 8): V = 0 dm Kváder V = 6= 0 cm kocka V = = cm Bude nám chýbať cm plastelíny.. zošit 6

97 Kocka 6 6 6=6štvorcov Schody (6+++++)= 6 6 =7 6 =7 Spolu = 86 štvorcov Kocka má väčší povrch ako 0 štvorcov. Úloha Vyfarbujte alebo ešte lepšie doneste si kocky a zreálnite celú úlohu. Taký istý ako povrch kocky s hranou cm. 6 =86cm 6 6 6=6 6 6 =96 96 =8 8 8 vrcholov (96+8+8)=6 alebo =6 6. zošit 7

98 Možno zistíte aj vy sami, že odhadnúť objem ľubovoľného telesa v našom okolí nemusí byť triviálne. Aj to však patrí medzi matematické zručnosti. Ponúkame vám jednu stranu, kde si žiaci môžu túto zručnosť natrénovať.. zošit 8

99 . Povrch nového oltára by bol a a jeho nový objem by bol 8 a ;. Hrana kocky by mala mať rozmer a ;. Hrana kocky by mala mať rozmer a. Od žiakov by sme očakávali približné, experimentálne získavané riešenia.. zošit 9

100 Úloha Úloha dáva možnosť lepšie pochopiť univerzálnosť vyjadrenia veľkostí (počtu, množstva atď.) pomocou pomeru. Úloha V podstate krátime a rozširujeme pomer užitočné cvičenie. Prídu vaši žiaci na to, koľko má táto úloha riešení? AB =cm D =cm A B D AB =cm D =6cm A B D AB =6cm D =9cm A B D Z = 6 Č=0 M= alebo Z=9 Č= M=8 alebo Z = Č=0 M=. zošit 0

101 :=6:=9:=:=: 6:=9:=:8=:=8: :=:6=:9=:=: :0=:0=6: 0=9:0=:0 :=:=0:=:=0:6 : : :8 : : : : :8 : : :8 8: 8: 8: Úloha Úloha nadväzuje na predchádzajúce cvičenia, tu však už pracujeme so samotnými pomermi. Ak by to niektorým žiakom robilo problém, vráťte sa napríklad k počtu vecí. Úloha 7 Úloha ukazuje peknú súvislosť medzi zlomkami a pomerom. Žiaľ, táto matematická krása často ostáva pre žiakov utajená, aj keď pri riešení úloh je veľmi prospešná. Preto sa tejto úlohe oplatí venovať dostatočne veľa času , :=0:= 0:6=:9 : : :8 8 9: zošit

102 Úloha 9 Ako by sa zmenili čísla v tabuľke, keby sme vymenili poradie bodov A, B,? Diskutujte o tom so žiakmi. V úlohe implicitne predpokladáme, že body A, B, ležia na priamke. Ako by sa zmenila situácia, keby neležali? A =, cm A =8cm Úloha 0 Zmeňte poradie bodov A, B,, a potom znovu porovnajte dĺžky jednotlivých úsečiek. Úloha Dobrý obrázok nič nepokazí, skôr naopak. Otázka: Čo v praxi znamená o diely viac? A =cm A =6cm cm cm : : cm 0 cm cm 0 cm cm cm < > = < štrku cement o diely. zošit -krát štrk

103 pôvodný zvýšený o h : D =: -krát Úloha Pomer je opäť jedna z tém, kde by sme pri riešení úloh mali žiakov nabádať najmä kresliť, znázorňovať si situácie. Dobre nakreslený obrázok často ponúkne okamžitú odpoveď na položenú otázku. Úloha Zapíšte si aj slovnú interpretáciu každého pomeru. V: M=: P: Š=: 0: : :8 80:6 7: 0:0 0: :7 L: Z=: L: H=: H: G= : 00 L: G=: : :7 : : :7 : : : 7:9 7: : 9: 6: 6:6 0:0 0:0 :6 0:0. zošit

104 Úloha 9 Vráťte sa k úlohe 7 na strane. Úloha 0 Aj tu môže vašim žiakom pomôcť návrat k zlomkom a pomeru v úlohe 7 na strane. Úloha A čo nevyfarbené pomery? :0 :8 : 000 : : : : 0: =, :=, =9 9 =6 0 = 60 =60 8 =8 0 = 70 = 0 0 =7 60 =0 8 zelená červená. zošit

105 Kreslíme, kreslíme, kreslíme... A potom trochu počítame. 900 g múka orechy 000 g 00 g iné diely múka diel orechy diely g diel g... orechy diely g... múka Úloha Myšlienka používania dielov pri riešení úloh tohto typu je zatiaľ pre niektorých žiakov ukrytá a vzdialená. Možno by im ju pomohol objaviť návrat k úlohe na strane 0. sk.: spolu = 000 g Róbert 00 eur Norbert 00 : 7 = = 800 eur... Róbert 00 = 600 eur... Norbert sk.: spolu = 00 mosadz... kg meď zinok := =9kg...meď =6kg...zinok sk.:9+6= d d o=( d+ d)=6d,6 = 6d d =,6 cm d= 8 cm... a d=,8 cm... b sk.: (8 +,8) =,6. zošit

106 Úloha 8 Riešenie rovnice = urobte úvahou. ( Ktoré číslo, keď ho vynásobíme samé sebou, dá výsledok? ) Úloha 9 d Ide o kosoštvorec s rovnakým pomerom výšky a strany ako v predchádzajúcom príklade, iba dĺžky strán sú dvojnásobné. Porovnajte pomerom ich obvody (0:0=:)aichobsahy (0:80=:).Tejtoproblematike sa ešte budeme niekoľkými príkladmi venovať tu môžete začať otázkou: Keď je pomer obvodov:,potompomer obsahov je:=:? + + =80 =8 = =7 = =90 sk.:8+7+90=80 ' + ' + ' =80 ' = = ' = = ' =60 = ' =7 ' ' ' d d 0= d d d =cm a= d=cm b= d=cm o =8cm. zošit 6 ++=9 :9= a = =cm b = =cm c = =cm sk.:++=

107 Katka Danka Janka 0:=0 60 eur 0 eur 0 eur Katka eur Danka... 0 eur Janka... 0 eur sk.:60+0+0=0 Úloha 0 Pri kreslení obrázka sme celé dieliky v pomere Katky a Danky ( : ) neskôr rozdelili na polovicu, aby sme mohli dobre porovnať Katku a Janku. Úloha Problém je uvedomiť si, že musíme vyberať z niekoľkých možností určiť dvojicu sliepok tak, aby sa medzi ne dalo bez zvyšku v danom pomere rozdeliť 6 zŕn. 8+7=dielov 8+6=dielov 7+6=dielov Prvá...8 =96 6:=0, 6:=, 6:= druhá...7 =8 tretia...6 =7 sk.:8+7=6 Úloha Pri hre nepribúdajú počas hry nové guľôčky, iba menia majiteľov. To, že súčet dielov v pomere je, veľmi rýchlo zvádza na vyslovenie úvahy, že na konci hry nemohli mať rovnaký počet guľôčok. Ak žiaci prezentujú takéto riešenie, povedzte im konkrétny počet, kedy sa to dá (napríklad, a guľôčok) a nechajte ich uvažovať ďalej. Začiatok hry d:7 d:d spolu d dsa dá rozdeliť na tri rovnaké časti ak dje násobok. napr.: d = 6 7+6= 7+= 6+=0 začiatok koniec :: 6:6: : = 000 P = 000 D = 000 T = : = P = D = T = : 0 = P = D = T = 000 Úloha Úloha je netypická (ťažšia) pre žiakov tým, že treba nájsť všetky riešenia. Použijeme tie isté úvahy ako v úlohe 0. Skúste spolu so žiakmi ešte pred riešením zistiť, ktorá z možností je pre synov najvýhodnejšia (t. j., keď vyberieme takú dvojicu synov, ktorej súčet dielov je najmenší, pretože vtedy delíme na malý počet dielov a na jeden diel pripadne väčšia suma peňazí).. zošit 7

108 0,:0,=: 60: =: =60cm :0=: :=: =kg 0:0=: : =: =kg 6:=: 0: =: =60cm := =0g Šperk obsahuje 0 g medi. cm cm cm. zošit 8

109 x a=x b=x Úloha 7 Žiaci mocniny ešte nepreberali, ak by bol problém zapísať x x v tvare x, nechajte obsah zapísaný vtvare8 x x. o=( x+ x)=x x x S= x x=8x Veľké... 0 s... 0-krát s... -krát malé... 0 s... 6,-krát s...,-krát M:V=,:=:0=:6 x = 7 6 x = x = 0, x = 8 x = x = 0 x = 0,8 x = 80 9 x =6 x = 8 7. zošit 9

110 00 = = 00 cm = =m 000 = = 000 cm = =0m = = cm = =0km :=cm : 00 = 0, cm = :000=0,00 cm = =, mm = 0,0 mm 0 km = cm 0:000000=: m = cm : = : m=000mm :000=:000 0,cm=mm 00 km = mm,cm=mm : =: : 00 = 0,09 m = 9, cm. zošit 0

111 Skutočnosť a = 00 m b = 00 m S = m Model a, b, c V = abc mapa a' =m b' = 0, m S' = 0, m skutočnosť a' =0a b' =0b c' =0c V' = 000 V pomer S' : S= 0, : =: = 00 pomer V:V' =: = 0 Úloha 6 Úloha 7 Pre siedmakov má zmysel riešiť tieto úlohy len vo veľmi zjednodušenej podobe. Preto má záhrada tvar obdĺžnika a teleso tvar kvádra. Pracovať s premennou (naše riešenie v úlohe 7) pri týchto typoch úloh sa darí najmä lepším žiakom. Opäť si pripomeňte, že cesta k riešeniu vedie aj cez konkrétne čísla (ako naše riešenie v úlohe 6). Závisí od vás, či riešenie každej z úloh dotiahnete až k zovšeobecneniu (ak je pomer dĺžok : a, tak pomer obsahov je : a a pomer objemov je : a ). b), km Úloha 8 Pripravte si trasu výletu, vezmite mapu vášho okolia a riešte podobné úlohy. elá práca môže opäť vyústiť do pekného projektu, napríklad s názvom Stavba hotela. Zadajte podmienky, ktoré limitujú výstavbu hotela, a na rôznych mapách hľadajte ideálne lokality. Podmienkou môže byť napríklad dostupnosť od najbližšieho letiska, železničnej stanice, autobusovej zastávky, vzdialenosť od vodného zdroja, zdroja elektrickej energie, vzdialenosť od chránených lokalít, vzdialenosť od turistických atrakcií. b). zošit

112 Aj keď uvádzame postupy riešenia, nemyslíme si, že sú vždy jediné možné. Našou snahou bolo ukázať, koľkými rôznymi spôsobmi sa môže každá z úloh vyriešiť (každá logicky správna cesta je dobrá, niet lepšej či horšej môže byť iba práve rýchlejšia pre konkrétny typ úlohy, ale aj to závisí od riešiteľa). Veríme, že pri riešení jednotlivých úloh sa vo vašej triede objaví viac typov riešení a vy budete mať veľký priestor na diskusiu so žiakmi. cm... l cm... x l Vo váze bude 9 l vody. 7, kg... eur kg... :, = eurá kg... =6eur = x x = l 9 7 Za kg by zaplatili 6 eur. 00 : 8 =. 6,8 m Jozef by mal urobiť 7 dvojkrokov.. zošit kg... 0 g sušených x kg g sušených Potrebuje 0 kg jabĺk. 7 = x x = kg 0 7

113 0:= x :00 Na 00 kg cesta potrebujeme 8 kg múky. = x 0 9 Veža je vysoká 8 8 m. 9 Úloha 6 Veľmi dobrá metóda na určovanie výšky objektov v priestore. Vyjdite so žiakmi na školský dvor, zmerajte dĺžku tieňa palice s dĺžkou meter, potom dĺžku tieňa konkrétneho objektu a výsledky máte razdva. Z tejto nenápadnej úlohy sa dá tiež vyjsť do projektu, ktorého zadaním by okrem spracovania výsledkov meraní na školskom dvore bolo hľadanie ďalších možností, ako sa dá zmerať výška objektu v priestore. Žiaci rýchlo pochopia, že tiene skutočných budov a stromov majú rôzne tvary a nie je úplne jasné, odkiaľ treba merať. Matematika v zošite nie vždy zodpovedá matematike reálneho sveta. jablká... kg..., eura hrušky... kg... eurá Lacnejšie sú jablká. x = Dorota prešla 9 00 m.. zošit

114 Úloha 9 Pripomíname percentá. Veľmi zjednodušene ukazujeme žiakom, že časť nášho zárobku dávame štátu vo forme daní. Diskutujte s nimi prečo je tak a na čo štát použije naše dane. Je načase, aby sme prestali veriť, že napríklad školstvo je v tomto štáte zadarmo. Všetci si zaň platíme nepriamo prostredníctvom daní (a celý život). Úloha 0 Úloha Pri riešení sme nepoužili trojčlenku, ale zdravý sedliacky rozum. Úloha Pri zostavovaní tejto úlohy nás inšpirovala skutočná propagačná jazda, ktorú zorganizovala jedna automobilka pri otváraní svojho nového závodu v Českej republike. Diskutujte so žiakmi o tom, akou asi rýchlosťou mohli autá ísť, aby to pre všetkých vodičov bolo bezpečné (vzhľadom na malú vzdialenosť medzi vozidlami). 0 škatúľ... 0 eur 9 škatúľ... x eur = x x =7 00 %... 7 eur; 9 %... 0,8 eura; čistá mzda... 6,7 eura Včera zarobila 7 eur, čistá mzda bola 6,7 eura. 7 pomarančov... kg pomarančov... x kg 7 Do školskej jedálne kúpili 7 kg pomarančov. 0, t... 0 stromov x t stromov 0,= 0 Žiaci musia vyzbierať ton starého papiera. 00 áut 99 medzier spolu 00 0 = 000 cm = 0 m 99 =99m 9 m. zošit Kolóna áut mala dĺžku 9 m.

115 0 obedov... 0,60 eura obed...,0 eura obedov...,69 eura 0 obedov... 0, eura Za marcové obedy zaplatili,69 eura. V apríli im vrátili 0,0 eura. kg čerstvých... 0, kg x kg čerstvých... kg Ešte musia nazbierať 0 kg húb. Predajom by získali,80 eura. = x 0, x = 8,0 =,80 =0 Úloha Obedy v školskej jedálni síce nestoja až tak veľa, ale koľkokrát vaši žiaci nejdú na obed a neodhlásia ho. Spočítajte, koľko by ušetrili, keby tak urobili. Mimochodom koľko stoja obedy vo vašej školskej jedálni? Vedia vaši žiaci, koľko by stálo, keby to isté zjedli v reštaurácii? Úloha estujte aj inam. Vymyslite si so žiakmi cestu Spoznaj Slovensko, naplánujte, čo na nej chcete vidieť a vypočítajte, koľko by vás stálo cestovanie autom. 00 km... 6,9 l km... x l = x 6,9 00 x = 8,7 8,97,7 =., Majiteľ zaplatí, eura.,6 0,0. zošit

116 Úloha 7 Úloha 8 Separujete vo vašej obci odpad? A čo vaša škola? Koľko sa vo vašej obci platí za odvoz a likvidáciu odpadu? Kam sa odpad odváža a kde a ako sa likviduje? Vedia to vaši žiaci? Prečo je výhodné a nevyhnutné separovať odpad? Ako to robili naši predkovia? To je iba malá ukážka námetov, ktoré vám ponúkajú tieto dve úlohy. Úloha 9 Keby sa do predajnej ceny obleku započítala iba cena látky, z ktorej je zhotovený, stál by,, = 77, eura. Prečo stojí oblek viac? Vedia vaši žiaci čo všetko ovplyvňuje ceny tovarov, ktoré kupujeme v obchode? Takéto a podobné námety nájdete aj v pracovnom zošite Praktické financie. plasty... % sklo... -krát viac =8 8+= 00 =8 Sklo tvorilo 8 % separovaného odpadu. Ostatný odpad tvoril 8 %. týždeň... 0 l..., eura týždňov l... 7,6 eura Za rok vyprodukovali 6 0 l odpadov. Za jeho odvoz zaplatia 7,6 eura. oblek..., m 000 oblekov m m..., eura 00 m eura Odevný závod musí kúpiť 00 m látky. Zaplatí za ňu 77 eur.. zošit 6 žiaci... % x žiakov = 6 % V stredu chýbali žiaci. = x 6 x =

117 8 denne... dní 6 denne... x dní Prečíta ju za 0 dní. = x 8 6 x =0dní Úloha Jedno z riešení sa približuje fyzike, druhé používa nepriamu úmernosť. A tu by nás naozaj zaujímala frekvencia jednotlivých riešení. Trúfli by ste si ju odhadnúť pred hodinou? Úloha Na vyriešenie stačí jednoduchá úvaha ako to vidia vaši žiaci? Denne 0 strán... kniha 80 strán po týždni prečítala strán ostalo... 0 strán denne strán... 0 dní celá kniha... 7 dní a) 7 km... h... 0 km h h 0min= hod 0 km... hod km h b) 7 km... hod h x km... hod h x =90 km h Vypustenie by bolo -krát rýchlejšie minúty.. zošit 7

118 Úloha 6 Úloha 7 Úloha 8 Aj pri riešení úloh na zloženú úmeru môžu vaši žiaci prísť s rôznymi spôsobmi riešenia (vám môže byť iný spôsob riešenia bližší ako ten, ktorý sme ukázali my). Opäť platí to, čo sme povedali na začiatku: každá logicky správna cesta je dobrá, niet lepšej či horšej. 90 km... hod h x km... hod h Môže ísť rýchlosťou 7. km h = x 90 x =7 km h 0 00 l... čerpadlá... 7 hod l... čerpadlo... 7 hod 00 l... čerpadlo... hod l... čerpadlo... hod l... čerpadiel... hod Natečie o 00 l nafty menej. : :7 robotníkov... robotníkov... dni m 6 dní m robotník dní m 9 robotníkov... 0 dní m 9 robotníkov natrie plot za 0 dní. :9 9 prítokov... dní... nádrž. zošit 8 po 9 dňoch treba naplniť nádrže 9 prítokov... dní... nádrže = x prítokov... x dní... nádrže x =8dní

119 80 cm piesku + nádoba... 0 kg 9 cm piesku + nádoba... kg cm piesku... 0 kg cm piesku... kg a) 80 cm piesku 60 kg... nádoba 0 60 = kg b) 00 cm piesku + nádoba... 00kg+kg=kg c) 0 cm piesku + nádoba... 00kg+kg=kg Úloha 9 Riešenie tejto úlohy je náročné, ak si žiaci neuvedomia, že treba vypočítať hmotnosť pieskového valca s výškou cm. Úloha Naša odpoveď je, samozrejme, správna iba vtedy, ak dáme všetky vajíčka variť naraz do tej istej nádoby. Vieme si predstaviť, že budete mať v triede žiaka či žiakov, ktorí budú tvrdiť, že vajíčka varia postupne, preto sa čas varenia štvornásobne predĺži. Čo na to zvyšok triedy? 800 m... 0 s 0 m... s... rýchlosť 7 km h Dostal pokutu. 8 min = 90 s = m 800 km = m h h : = 9, h minúty. zošit 9

120 pracovníci... hodín x pracovníkov... hodín Firma musí poslať 9 pracovníkov. = x x =9 -krát denne... 8 dní x-krát denne... 6 dní Musí voziť tehly -krát denne. = x 8 6 x = zubov... 0-krát zubov... x-krát = x 0 x = = cm = 00 m Zadné koleso sa otočí 80-krát. Prejde vzdialenosť 00 m.. zošit 0 60 cm... 0 krokov 8 cm... x krokov Otec urobí 080 krokov. = x x = 080

121 0 km = 8, m 00 m rýchlosťou 8,, m čas,0 s h s s svetový rekord... 9,7 s (.. 008) 8,0 m...,0 s,0 x = 0,9 s x = m x m 8, 9,7 s... 9,7 s s x =7,0 km h Musel by ísť rýchlosťou 7,0. km h 0 cm častí 70 cm... x častí Ušijú 0 sukní s dĺžkou 70 cm. = x x =0 Úloha 7 Vzhľadom na nesúlad v osnovách matematiky a fyziky sa môže stať, že vaši žiaci nebudú vedieť prepočítať km/h na m/s. Overte si to, a ak to nevedia, tak im s tým pomôžte. Úloha 9 Matematika je síce presná veda, ale nie vždy úplne praktická. Táto úloha je toho jasným príkladom: každá krajčírka vám potvrdí, že to čo sa dá ušiť z látky širokej 0 cm sa nemusí dať ušiť z látky širokej iba 90 cm. 0 cm...,0 m 90 cm... x m = x 0,0 90 x =7 Látky širokej 90 cm treba7 m. nanukov..., eur x komiksov...,6 eur = x,,6 x =. 0 Mohol by si kúpiť 0 komiksov.. zošit

122 Úloha Porovnávať mesačné nájomné rodín jednotlivých žiakov môže byť citlivá téma. Môžete si spolu so žiakmi zistiť výšku priemerného mesačného nájomného na Slovensku a časť c) riešiť s týmto údajom. * Úloha Nedá sa počítať bez toho, aby sa predtým nevyriešila úloha! * Usušia sa za rovnako dlhú dobu. 0 adries... 0 eur adresa... 0,08 eura a) 00 : 0,08 = 0 adries b) 000 0,08 = 80 eur adresa... 8 sekúnd... 0,08 eura a) 00 eur... 0 adries s=6hmin b) sekúnd... 0 adries s=h0min. zošit

123 Úloha Čo nakreslíte do prvého stĺpca: / košíka, alebo košík v trvaní dve hodiny? Diskutujte so žiakmi Úloha Graf urobte do zošitov a spoločne na tabuľu. Po 8. hodine by mal 6 košíkov. 6 6 Pokračujte v zošitoch.. zošit

124 Úloha Najťažšie na tejto úlohe asi bude pre vašich žiakov zvoliť vhodnú mierku na x-ovej a y-ovej osi. Pomôžte im s tým. Vysvetlite im, ako majú postupovať. Nami napísané výsledky sú vypočítané z grafu sa dajú určiť iba odhadom. a) 700 km b) 00 km km 000 c) a) 000 c) 0 km d) 80 km d) 000 b) h km zošit h

125 h l 00 6 otvory Úlohy 7, 8 Nie je podstatné, aby ste tieto grafy pomenovali nepriama úmernosť. Dôležitá je skúsenosť žiakov, že nie každý matematický graf je priamka. Podobné otázky ako sme sformulovali v úlohe 7, môžete vy a vaši žiaci tvoriť aj v úlohe 8 (a všetkých ďalších úlohách). Úloha 9 Skúste počítať vzniknuté vrcholy a hľadať vzťah medzi počtom vrcholov mnohouholníkov a počtom krokov kreslenia (alebo iný).. Krok... vrcholy. Krok... 6 vrcholov. Krok... 8 vrcholov... A skúšajte odhadnúť počet vrcholov po 0., 0., 00. kroku. Pomohol by graf? 0 h. zošit

126 : Sú rovnaké.. zošit 6

127 a) b) a) b). zošit 7

128 . zošit 8

129 VA : AX = VB : BY Y Úloha 6 V tejto úlohe sme ukázali úvahu (postup), ktoré nám umožňujú deliť úsečku AV v ľubovoľnom pomere, aj keď nepoznáme jej dĺžku pomocou delenia úsečky BV, ktorej dĺžku si môžeme určiť tak, aby sa nám dobre delilo. B Úloha 8 Najväčším problémom pre vašich žiakov asi bude čítať z grafu potrebné údaje. Tu pomôže iba trpezlivosť a trpezlivosť a trpezlivosť. a b=a b =6 Princ musí vykopať jamu hlbokú,6 m. b b a=7cm a =7 a =87 A B 6 A A A A/B B B B/. zošit 9

130 0. zošit Úloha 9 Úloha 0 Pripomíname aritmetický priemer ,,, 6 6, 7,7 0,9 0,8 0,79 0,7 0,7 0, ,87 0,6 B A

131 hl = 00 l l...,6 9 l... 76, 9 l stojí 76,. 80 ks... 6 dní 0 ks... x dní 0 kusom by vystačila 7 dní. x =7dní tucet = ks... gombíky... 6 halierov tuctov... 6=0halierov tuctov stojí 0 halierov. 7 hodín dní hodín... x dní Opísal by ju za 8 dní. x =8dní. zošit

132 Pozor na desatinnú čiarku! Tu sa skrýva za bodku a ešte k tomu hore! robotníkov... 0 dní p 8 robotníkov... 0 dní... 0 p 8 robotníkov... dní p l... 7, kg 6 l... x kg Získame,7 kg tvarohu. x =,7 kg 8, hod... 6 dní x hod... dní x =.,7 hod denne Majú pracovať takmer hodín denne. koscov... 7 dní x koscov... dni = x 7 x =8 Máme najať 7 koscov.. zošit

133 Úlohy pre ozajstných matematických labužníkov! Pripomeňte vašim žiakov, že pre ich starých rodičov to boli bežné školské úlohy, z ktorých boli skúšaní a známkovaní! Po 7 dňoch: 8 robotníkov hod 70 robotníkov... x hod = x x =7 (7 dní 0 hodín) ( x dní hodín) Sadenie dokončia po 7 dňoch. 8 dosák... m 0, m... S = 8 0,=,m x dosák... m 0, m... x =, : ( 0,) =,9 Budeme ich potrebovať. 0 kg... 7 človekodní x kg človekodní = x 00 0 x =. 66,96 0-členná domácnosť potrebuje na mesiac 67 kg chleba.. zošit

134 Aby sa vám v celej téme lepšie orientovalo, rozdelili sme ju do niekoľkých (tematicky aj matematicky rôznorodých) častí a na záver sme pripravili jednu kapitolu, kde je všetko krížom-krážom. Úloha Ponúkli sme vašim žiakom štyri spôsoby, ako vyriešiť takúto úlohu. Myslíme si, že v triede sa objavia aj iné spôsoby. Ukážte si ich a skúste spolu so žiakmi otestovať, či sú univerzálne teda či budú fungovať aj na iné úlohy ako túto. Našim cieľom nie je, aby každý žiak ovládal všetky spôsoby riešenia, ale aby si každý dokázal vybrať ten, ktorý je najbližší jeho spôsobu uvažovania, nazerania na problémy a jeho predstavivosti. A E A F B E B F E F D E D F E F D E F E D F E F 0. zošit

135 Riešenie nie je správne. Bertram započítal zápasy A s B,BsA ako dva rôzne. Bertram musí výsledok deliť dvomi. Úloha Kým pri počte sú ešte všetky nami ukázané postupy dostatočne názorné, už pri počte 7 niektoré strácajú zmysel. S narastajúcim počtom treba naučiť žiakov zovšeobecniť, nájsť logiku v počte pribúdajúcich možností. Tak ako sme to naznačili v otázke b). a) B A B A B B D D E D E D F E F E G A A D B E F D G E H A E B F G D H A F B G H F G H D A G A H B H F H G H G E =8 b) x 8 A 7 B 6 D E F G 8 spolu F A B D E F G H A B 8 D 9 E 0 9 F 6 0 G H a) Dievčatá odohrali 8 zápasov. b) Ak pribudne dievča, pribudne 8 zápasov.. zošit

136 Úloha Z piatich dievčat sa mi ľahšie tvoria (a vypisujú) dvojice ako trojice. Ak vytvorím dvojicu, súčasne vytvorím aj trojicu. Preto platí koľko dvojíc vytvorím z piatich dievčat, toľko z nich vytvorím aj trojíc. AB A AD AE DE BDE BE BD B BD BE ADE AE AD D E ABE ABD DE AB Úloha b Iné riešenie je vypočítať, že päť Môže postúpiť 0 trojíc. dievčat zo 7.A by proti sebe zohralo 0 zápasov, päť dievčat zo 7.B by proti sebe zohralo tiež 0 zápasov, takže zostáva 0=zápasov. 0 dievčat, každá s každou: = Odohrajú zápasov. 7.A: A, B,, D, E (každá zápasov) 7.B: K, L, M, N, O O A N K L M O B K... L M N V turnaji bude zápasov. Andrea na. mieste A Rovnako aj keď bude na. mieste Linda, Daniela alebo Peťa. L D P D P L P L D L A D P D P A P A D D A L P L P A P A L P A L D L D A D A L. zošit 6 Spolu možností.

137 6 slov začína prvým písmenom,,,,,,,,,,,,,,,,,, 6 slov začína druhým písmenom možností slov Úloha Vyberte si písmená a píšte všetky slová. Vyhrá ten, kto ich nielen všetky napíše, ale dokáže všetky aj prečítať. Úloha Iné riešenie: na každé miesto vyberáme z troch možností, to je =7možností. Takto sme však prípad, že sa opakuje to isté písmeno na všetkých troch pozíciách započítali dvakrát pre každé písmeno to je spolu 6 možností. Takže konečný počet slov je 7 6=možností. Úloha Už pri písmenách je počet slov V Trilande je menej slov ako vo Fourlande. a) nesmú sa opravovať b) môžu sa opravovať písmen =0<000 =0>000 6 písmen 6 =70<000 -Land 7 písmen 7 6 = 00 > Land písmen našej abecedy je 6 všetkých možných 6-písmenových slov je: 6... = viac ako miliarda. zošit 7

138 Úloha Treba si vypísať všetky možnosti a postupne vyraďovať tie, v ktorých je Junák prvý, Majster druhý, Lysák tretí, Fairplay štvrtý a Lysák pred Majstrom. M J L F M J F L M L J F M L F J M F J L M F L J F J M L F J L M F M J L F M L J F L M J F L J M. Junák nebol prvý Majster nebol druhý Lysák nebol tretí Fairplay nebol štvrtý. Majster bol pred Lysákom MJFL, MLFJ, MFJL, FJML tieto štyri možnosti. možností rozmiestnenia pneumatík. PABP,9 PABP,7 PBAP,8 PBAP,7 PABP,8 PBAP,9.zošit 8

139 0 nesmie byť na prvom mieste, takže čísel bude = Úloha 0 Prvé miesto (rád stoviek) obsadzujem zo štyroch možných číslic. Druhé miesto (rád desiatok) z troch možných číslic (jedna je už na mieste stoviek). Tretie miesto (rád jednotiek) obsadzujem z dvoch možných číslic (dve už sú určené jedna na mieste stoviek a jedna na mieste desiatok). 0 nesmie byť na prvom mieste, takže čísel bude = 96. = trojciferných čísel.. zošit 9

140 Úloha Uvažujme, že žiadna dvojica nemá rovnaký počet priateľov. Potom sú možné počty priateľov pre jednotlivých žiakov v triede:,,,,..., 8. Lenže žiakov je 0. Osemnásť počtov priateľstiev sa nedá jednoznačne priradiť 0 žiakom. Z toho vyplýva, že aspoň dvaja majú rovnaký počet priateľov. Úloha Podstatné je uvedomiť si, že čas, kedy je predchádzajúci koláč v rúre a pečie sa, je možné využiť na prípravu nasledujúceho koláča. Mama síce nebude mať čas na kávu, ale bude rýchlejšie hotová :). Ak rozoberie jednu reťaz a okami z nej pospája ostatné, tak mu stačí prerezať ôk. Možné počty priateľov v triede sú,,,... 7, 8, 9. Keďže detí v triede je 0, určite aspoň musia mať rovnaký počet priateľov. Jozef nie je prvý Ivan pred Simonou Ivan prvý. možnosť: ISJ. možnosť: IJS. zošit =min =min =min =0min =0min =min. koláč 0 +. koláč 0 +. koláč Má ich pripraviť v poradí.,.,.

141 6 6 0 E F G I B B H I B A F D I G G B B B A D E F G H I B 6 možných ciest Úloha V prvom type riešenia vypisujeme počet ciest, ktorými sa môžeme dostať do daného bodu. V druhom type riešenia sme si všetky cesty pomocou stromu aj vypísali. V ďalších úlohách (pretože nepotrebujeme poznať všetky cesty) použijeme riešenie prvého typu. Úloha a) Všimnú si vaši žiaci, že počet ciest do bodu X získame ako súčet počtu ciest z bodov, ktoré sú nad bodom X a vpravo od neho? b) Nesmieme vyfarbiť štvorce vľavo hore alebo vpravo dole, pretože sa potom nedostaneme ani k bodu A ani k bodu B. Ak vyfarbíme štvorce vľavo dole alebo vpravo hore, budú vždy existovať možné cesty z bodu A do bodu B. A B Úloha Vymýšľajte podobné úlohy. Aj vy, aj vaši žiaci. V prípade žiakov je, samozrejme podmienkou, aby pri zadaní vlastnej úlohy ostatným vedeli aj jej riešenie. X 6 6 X 6 6 B 6 A 6 =8ciest. zošit 6

142 Úloha Riešenie je správne iba za predpokladu, že sa posúvame iba smerom doprava a nadol. Úloha 6 Už v úlohe ako by sme hľadali 6-písmenkové slová zložené z písmen pa d. Skúste počet ciest (písmen) naťahovať a vymýšľať ďalšie úlohy. p d p p p d p d p d d d d p d d d p d p d p p p 6 d d p p p d Existuje 0 ciest. 6 0 p d p d p d ddd pdd d pdd d p dpp pd dp pd dp pd dp ppddd pdpdd pddpd pdddp dpdpd dpdpd dpddp ddppd ddpdp dddpp Pri cestách je možnosť ísť -krát dole (písmeno d) a -krát vpravo (písmeno p) a rôzne to kombinovať. Vytvoriť sa dá 0 slov. Z X... Z X... X K... X Y.... zošit 6 Z K... =ciest Y Z K... 7 K... 7=8ciest

143 možností Úloha Ak by záležalo na poradí farieb, je počet možností7 6 =0 (zadane a) ) a na chrbte 7 6 = 80 (zadanie b) ). Každá trojica určuje práve jednu štvoricu. možností 0 možností Ľ= P= Ľ= P=... Ľ= P= 0 možností 0 možností. zošit 6

144 Úloha Úloha Z n detí sa dá vytvoriť ( n )dvojíc. Je to ako by chceli hrať turnaj systémom každý s každým. Alebo aj n n +. Tento vzorec si viete so žiakmi jednoducho a rýchlo odvodiť ( n )+( n ) ( n ) + ( n ) n + n n + n... to je ( n ) n. Lenže každé číslo je započítané dvakrát (raz v prvom riadku a raz v druhom riadku), preto delené dvomi. Úloha Ak je v triede n detí a pribudne, tak pribudne n dvojíc týždenníkov (z každým z n detí môže utvoriť jednu dvojicu). Ak je v triede n detí a dieťa ubudne, tak ubudne ( n ) dvojíc týždenníkov (toto jedno dieťa tvorilo z ostatnými z triedy n dvojíc). Každá dvojica týždenníkov určí jednu dvadsaticu zostávajúcich žiakov. Dvadsatíc žiakov bude toľko isto ako dvojíc.. zošit 6

145 Úloha Na miesto prvej číslice nemôžem dať nulu (na prízemí nie sú izby), preto iba 9 možností. hudobníci hudobné nástroje. hudobník... možnosti. hudobník... možnosti =. hudobník... možnosti hudobných skupín. číslica... 9 možností. číslica... 9 možností (aj 0) 9 9 8=68. číslica... 8 možností písmená 68 = 96 V hoteli môžu mať 96 izieb. 0 nemôže byť prvá = =70 0 Najviac je stužiek, najmenej trojíc žiakov. 6 dní dni Úloha c) Ako vypočítať počet trojíc z desiatich detí, keď žiaci nepoznajú kombinatorické vzorce? Poďme nájsť systém. Očíslujme si deti číslami,,,..., 0. Ak vyberiemeaknemu, ešte máme 8 možností, ako pridať žiaka do tretice (,,, 6, 7, 8, 9, 0). Ak vyberiemeaknemu, ešte máme 7 možností, ako vybrať žiaka do trojice (,, 6, 7, 8, 9, 0 možnosť je už zahrnutá v predchádzajúcom)... Ak vyberiemeaknemu postupne pridávame (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice),..., máme možností. Ak vyberiemeaknemu, ešte máme 7 možností, ako pridať žiaka do tretice (,, 6, 7, 8, 9, 0). Ak vyberiemeaknemu, ešte máme 6 možností, ako pridať žiaka do tretice (, 6, 7, 8, 9, 0)... Ak vyberiemeaknemu postupne pridávame (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice),..., máme možností. Ak vyberiemeaknemu postupne pridávame (a doplníme do trojice), (a doplníme do trojice, 6 (a doplníme do trojice),..., máme možností... (pokračovanie na s. 66). zošit 6

146 Možností je spolu: V tomto súčte je = 0 všetkých možností, ako utvoriť trojicu z 0 žiakov. Školský rok = 0 mesiacov po 0 dní = 00 dní. Všetkých poradí je 6 = < = 0/0 dní áno 0/0 < 70 áno VII, VIII, IX... roky 00 = 600 < 70 áno Úloha a) Počet školských dní sme pre zjednodušenie určili odhadom a zanedbali sme prázdniny. b) Počet dní od septembra do júnasalíšiovprestupnom roku. c) Ak budeme počítať iba školské dni, tak sa to podarí, ak aj víkendy a sviatky, tak dohodu nedodržia. Úloha Skúste vypočítať, či by stačil týždeň, ak by sme pridali písmeno, alebo pridali číslicu, alebo ubrali písmeno a pridali číslicu, alebo ubrali číslicu a pridali písmeno... Úloha Ako pomôcku si vezmite rôznofarebné kocky a ukladajte si všetky možné hody. Počet všetkých možných hodov tromi rôznofarebnými kockami je6 6 6=6. Ak poznáme toto číslo a vieme, pri koľkých hodoch nepadne ani jedna šestka, vieme počet hodov, pri ktorých padne aspoň šestka, vypočítať aj ako 6 = 9. (pokračovanie na s. 67). zošit 66 písmen 6, číslic 0 všetkých možností =68000 týždeň = 7 dní = 68 hodín = minút = sekúnd < Stačil by nám menej ako týždeň. Č možností M možností B možností Č 6 M 6 B 6 =možností 7 možností = možných bodov Č+B=6,Č+M=6,B+M=6 = Č+B+M=6 možnosť možností 9 možných bodov Súčin končí nulami.

147 !=6! = 9 8=7 6 =7 9 8=7! =! =! 6 0!= ! 7! =7! =7! Úloha Podstatné je uvedomiť si, ktoré čísla prispievajú do súčinu nulou (0 a 0) a ktoré súčiny prispievajú do súčinu nulou (končiacea aleboa). Úloha Pripomeňte si so žiakmi komutatívny a asociatívny zákon a hrajte sa. Nechajte aj žiakov vymýšľať podobné rovnosti či nerovnosti. Najmä pri tejto činnosti pochopia princíp. 0!=0 0! 0!=0 00! 00! 0!=00! 0 0!=0 0! 00! 0! 0!=0 00! 0!=0 0! 00! 0>0 Úloha 6 Táto úloha môže byť pre žiakov náročnejšia, pretože musia prísť na to, ktoré činitele je potrebné nechať v tvare faktoriálov, aby sa dali obidva súčty dobre porovnať. 00! 0!>0! 0!!= krát sa dá deliť dvoma. Úloha 7 Najťažšie bude pre žiakov prijať myšlienku: Ak sa dá činiteľ deliť dvomi, aj celý súčin sa dá deliť dvomi. Začnite menšími číslami, tak, aby sa dala verifikovať (napríklad!). Úloha 8 Háčik je v tejto úlohe ukrytý v tom, že posledný deň nenecháme slimáka spadnúť dva metre späť. deň m deň + noc m noc m. deň už len m 7. deň už len m Za dní. Za dní.. zošit 67

148 68. zošit Úloha Úloha Trpezlivosť výsledky prináša. Najväčším problémom pre žiakov bude nájsť si systém vo vypisovaní všetkých možností, aby ani na jednu z nich nezabudli. Potom už stačí všímať si cestu smerujúcu vľavo (tak ako my, pretože sme mali maslovú stranu vždy vľavo pri vypisovaní možností), alebo vpravo. Iná možnosť, ako riešiť podobné úlohy je pomocou tabuľky všetkých možných situácií (tak ako sme to urobili my). Diskutujte so žiakmi o tom, ktorý spôsob je pre nich zrozumiteľnejší a prehľadnejší. P N P N N P N P N P N P N N P N P N P P P N P N P P N P N N P N P N N M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M 0 A B D 9 možností o o o o o o o z o o z o o o z z o z o o o z o z o z z o o z z z z o o o z o o z z o z o z o z z z z o o z z o z z z z o z z z z Pri piatich štvoriciach hodov padol aspoň -krát na maslovú stranu. M M M M

149 -krát 8, -krát 9: 8999, 9899, 9989, krát 8, -krát 9: 8899, 8989, 8998, 9988, 9898, krát 8, -krát 9: 8889, 8898, 8988, krát 8: krát 9: = = ,60,60,06 7=0++ 0, 0, 0, 0 7=0++ 0, 0, 0, 0 7=++,, -ciferné: 8 -ciferné: 80, 7, 7, 6, 6,,, -ciferné: 70, 07, 06, 6, 6,,,,, 9 čísel 7=++,,,,, 7=++,, 7=++,, 8 trojciferných čísel 8= =++6 8=0++7 8=++ 8=0++6 8=++ 8=0++ 8=++ 8=0++ 8=++ Úloha Táto úloha sa ľahko vypočíta a ľahko sa aj vypíšu všetky možné čísla. Urobte jedno aj druhé. Úloha Prvý krok zistiť, ktoré tri cifry dajú súčet 7. Druhý krok z daných trojíc vyrobiť všetky možné trojciferné čísla. Úloha 6 Nezabudnite, že nás zaujímajú aj jednociferné aj dvojciferné čísla. Podmienka menší ako počet kandidátov značne zmenší. Úloha 7 Na miesto tisícok môžeme vyberať z 9 číslic (nulu nie), na miesto stoviek tiež z deviatich číslic (nulu plus jednu z ôsmich, ktoré sme nedali na miesto tisícok). Na miesto desiatok môžeme vyberať z ôsmich číslic. Na miesto jednotiek z dvoch (nulu alebo päťku, aby bol výsledok deliteľný piatimi) =96čísel 0,,,, ,,,, , 99, 99, 99, = 90 čísel. zošit 69

150 Dirichletov princíp je pomenovanie jednoduchého tvrdenia z kategórie zdravý sedliacky rozum. Jeho podstatou je, že ak umiestnime do niekoľkých priehradiek viac predmetov, ako je priehradiek, potom sú aspoň v jednej priehradke najmenej dva predmety. Úloha a) Na jednom okne môže byť 0, alebo vločky (menej ako ). Teda najviac sa nám podarí nalepiť = 8 vločiek. b) Na jednom okne môže byť 0,, alebo vločky (menej ako ). =,čojeviac ako 0, takže vieme splniť zadanie úlohy. Úloha a) Ak by sa narodili po dvaja v jednom mesiaci, minuli by sme žiakov. Ešte nám ostane = 7 žiakov, ktorí sa narodili v niektorom mesiaci. Takže nájdeme aspoň jeden mesiac, kedy sa narodili traja žiaci. b) Stačí nájsť mesiac, kedy tvrdenie neplatí (napríklad január). =8 = 8<0 >0 Nemôže, môže. -ciferné čísla 0,,,... 98, čísel 76 < 90 mohol napísať 76 rôznych 9 > 90 ak napíše 9 čísel, už sa mu musí aspoň zopakovať mesiacov, žiakov 7 < 7 dní v mesiaci 8, 9, 0,, žiakov 7 7 < 8 < 9 < 0 < mesiacov, po dvaja... žiakov > napríklad január dní, žiakov =. zošit 70 dní 7, po štyroch... 8 žiakov 8 <

151 7. zošit Úloha Úloha Prvý riadok možno zvoliť šiestimi spôsobmi a pri každej z týchto volieb možno prvý člen druhého riadku zvoliť dvomi spôsobmi. Zvyšok štvorca je jednoznačne určený. Pre zaujímavosť (a výborných žiakov v triede): počet takto zadaných latinských štvorcov rádu, a je vždy, pre štvorec rádu je ich 6, pre štvorec rádu 6 6 je ich 9 08 (ale to už sa vám isto nebude chcieť vypisovať všetky možnosti :)). Viac o latinských štvorcoch sa môžete dozvedieť napr. v Juraj Bosák:, Praha 976, edícia Škola mladých matematikov. Latinské štvorce

152 Úloha Rovnicu môžete zapísať aj pomocou neznámych ako vhodnú propedeutiku pre zoznámenie sa s neznámou a rovnicami. Vždy ju ale interpretujte spôsobom hľadáme čísla, ktoré keď vymeníme za neznámu (napíšeme do štvorčeka), dostaneme rovnosť. Úloha ABZ, ABY, AKZ, IBK, IBZ, IKZ, OBK, OBZ, OKZ, BAI, BIO, BAO, KAI, KIO, KAO, ZAI, ZIO, ZAO. + + = :00:00 :: : : -krát 09:9:9 9:9:9 : 9 : 9 -krát Nedá sa to. + =8 + 6=. zošit 7 h+d =9 možnosti možnosti D+h možnosti =9 možnosti 8 možností

153 Úloha 8 Toto sú všetky možné polohy troch znamienok v šiestich medzerách medzi číslicami súčtov súčtov Úloha 9 Často krát je lepšie najprv rozmýšľať ako bezhlavo počítať. Táto úloha je toho krásnym príkladom. Pokiaľ začnete uvažovať nad tým, akú vzdialenosť preletela mucha, než sa prvýkrát zrazila s cyklistom, akú vzdialenosť prešiel cyklista medzi prvou a druhou zrážkou s muchou... nič nevypočítate. :) yklista 00 km rýchlosťou 0 km h hodín. Mucha za hodín nalietala =km.. zošit 7

154 Úloha 0 a) Čísiel začínajúcich 7 bude 8, čísiel začínajúcich 8 bude 7, čísiel začínajúcich bude 6, čísiel začínajúcich bude, čísiel začínajúcich budú, čísiel začínajúcich 9 budú, čísiel začínajúcich budú, čísiel začínajúcich bude. Spolu je to 6 čísiel. b) Podobná úvaha, iba si treba uvedomiť, že dvojciferné číslo nemôže začínať nulou. Úloha S každou číslicou v rade číslic 0a) vznikne pridaním 6 jedno nové číslo (a je jedno, či bude 6 na začiatku, na konci alebo kdekoľvek v strede radu číslic). Platilo by to aj v prípade radu 0b)? Úloha b) Šarapatu nám tu robí nula. V prípade jednociferných a štvorciferných čísel sa počet nemení. No v prípade dvojciferných a trojciferných čísel musíme dávať pozor na to, aby nula nebola na začiatku číselného radu. Úloha b) podobná úvaha ako v časti a): jednociferné, dvojciferné, trojciferné, štvorciferné, päťciferné, šesťciferné 6, sedemciferné 7, osemciferné 8, deväťciferné 7, desaťciferné 6, jedenásťciferné, dvanásťciferné, trinásťciferné, štrnásťciferné, pätnásťciferné. Spolu 6 čísel = =0 o9 o9 o9 -ciferné: -ciferné: -ciferné: 6 -ciferné: -ciferné: -ciferné: -ciferné: -ciferné: 0 spolu: spolu: -ciferné: -ciferné: -ciferné: -ciferné: -ciferné: 6-ciferné: 7-ciferné: 6 čísel 8-ciferné: spolu: 0 čísel Podľa umiestnenia nuly. (pokračovanie na s. 7). zošit 7

155 HHHTT HHTHT HHTTH HTHHT HTHTH HTTHH THHHT THHTH THTHH TTHHH 0výrobkov Úloha Z daného radu čísel vieme krúžkovaním získať čísel (8 jednociferných, 6 dvojciferných, 6 trojciferných, štvorciferných, päťciferné, šesťciferné, sedemciferné a osemciferné). Ak budeme pridávať nulu, bude sa meniť počet číslic podľa miesta, kde sa bude nula nachádzať (napríklad, ak bude na konci radu, pribudne 7 čísel, ak bude na začiatku radu, nepribudne žiadne číslo ) možností. O menej, možností. Napríklad hrubé a tenké čiarky. Úloha Úloha 6 Úloha 7 ieľom týchto úloh je, aby sa žiaci naučili vytvoriť si systém pri vypisovaní všetkých možností. Na záver môžete zisťovať, koľko systémov sa v triede objavilo a hlasovaním zvoliť najefektívnejší, najkrajší, najkomplikovanejší, Úloha 8 Táto kombinácia čiar dáva 70 možností rôznych čiarových kódov. Čiarový kód je strojom čitateľné označovanie tovarov pomocou hrubých a tenkých čiar oddelených medzerami. Existuje veľké množstvo rôznych druhov čiarových kódov, najpoužívanejší je kód EAN. Väčšina čiarových kódov kóduje iba číslice, ale moderné čiarové kódy môžu kódovať všetky znaky ASII. Na tlač čiarových kódov sa používajú špeciálne tlačiarne čiarových kódov, ale možno ich tlačiť aj pomocou univerzálnych tlačiarní schopných pracovať v grafickom móde. (pokračovanie na s. 76). zošit 7

156 Na snímanie čiarových kódov sa používajú snímače čiarových kódov, ktoré sú založené buď na technológii D alebo snímajú pomocou lasera. Čiarové kódy spadajú do oblasti tzv. automatickej identifikácie alebo inak povedané do oblasti registrácie dát bez použitia kláves. Najdôležitejšími praktickými parametrami čiarového kódu je hustota a kontrast kódu. Množstvo zakódovanej informácie na jednotku dĺžky určuje hustota a druh kódu. Pre kódovanie menšieho počtu znakov sa používajú lineárne kódy, väčší objem informácií sa úspešne kóduje do dvojrozmerných kódov. (podľa Úloha 9 b) Pozor bielych ruží má iba 8! Koľko z vašich žiakov nadšených tým, že našli systém na vypisovanie, započíta aj možnosti červená 9 bielych a 0 bielych ruží? Úloha a) Prvý si vyberie zo mobilov. Druhý už si môže vybrať iba z troch mobilov, tretí z dvoch a štvrtý z jedného. b) Zaujímajú nás iba dvojice, ktoré majú svoj mobil, zvyšok je týmto faktom daný. 6Č Č B Č B Č B Č B Č B 6B 7 možností Ku každej ľavej štyri možnosti ako obuť pravú =spôsobov LP, LP, LP, LP, LP, LP, LP, LP, LP, LP, LP, LP = možností Svoj majú AB, A, AD, B, BD, D. 6 možností 0Č 9Č B 8Č B 7Č B 6Č B Č B Č 6B Č 7B Č 8B 9 možností Ak majú, musí byť aj štvrtý. Žiadna.. zošit 76

157 zalomenia je ich viac zalomení je ich viac. zošit 77

158 Úloha Sú možné aj iné riešenia. Koľko sa vám ich podarí v triede nájsť? Úloha Činitele musia byť väčšie ako 90 (aby bol súčin väčší ako 9000): 89 89=79, 89 99=88, 90 99=890, 9 99 = trojciferné. zošit 78

159 0 Do prvej jamky má päť možností, ktorý figovník zasadí. Ak si jeden vyberie, do druhej môže vyberať zo štyroch figovníkov. Ak si jeden vyberie, už mu zostanú len tri figovníky, ktoré môže zasadiť do tretej jamky... =0 7koreňov 7 6= 6 koreňov -timi cestami zošit 79