příklad 1 Přenesme se do roku 1930 kdy bylo poprvé na fotografických deskách identifikované nové těleso sluneční soustavy později označované (až do roku 006) za devátou planetu s názvem Pluto. V okamžiku kdy se Pluto nacházelo pro pozorovatele na Zemi v opozici a poblíž perihelu své dráhy naměřili astronomové pomocí velmi výkonného dalekohledu vizuální hvězdnou velikost tohoto tělesa m P = 1385 mag. Z pozorování polohy Pluta na obloze byla rovněž vypočtena velká poloosa a numerická excentricita jeho dráhy a = 393 au a e = 049. Představy o složení tohoto tělesa vedly k odhadu jeho vizuálního geometrického albeda A g = 065. Na základě uvedených údajů spočtěte pravděpodobný poloměr R P Pluta. Může se vám hodit že vizuální hvězdná velikost Slunce je m S = 674 mag. Dráhu Země považujte za kruhovou a zanedbejte sklon roviny dráhy Pluta vůči ekliptice. Nápověda: Vizuální geometrické albedo A g sférického tělesa definujeme tak aby platilo I = I 0 A g R r kde R je poloměr tělesa r je vzdálenost od tělesa k pozorovateli I 0 je intenzita světla přicházejícího k tělesu a I je intenzita odraženého světla přicházejícího od tělesa k pozorovateli při nulovém fázovém úhlu (tj. v případě že těleso je v úplňku ). Řešení (10 bodů) Označíme si vzdálenosti Pluta od Slunce r P = a(1 e). = 95 au Země od Slunce r Z = 10 au a Pluta od Země r PZ = 85 au. K nalezení poloměru Pluta nám pomůže Pogsonova rovnice ve tvaru m P m S = 5 log I P I S kde m P resp. I P je vizuální hvězdná velikost Pluta (z formulace zadání jasně plyne že danou hodnotou myslíme hvězdnou velikost osamoceného Pluta bez dalších komponent jeho systému) resp. intenzita světla přicházejícího od Pluta v opozici v perihelu a m S resp. I S = V S /4πrZ je vizuální hvězdná velikost Slunce resp. intenzita světla přicházejícího od Slunce pro pozorovatele ze Země (V S jsme označili zářivý výkon Slunce ve vizuálním oboru elektromagnetického spektra). Pro I P potom píšeme dle nápovědy (uvažujeme že I P je intenzita pouze odraženého světla a tedy že rovnovážná povrchová teplota Pluta je dostatečně malá na to abychom mohli zanedbat termální záření ve vizuálním oboru) RP I P = I 0 A g rpz kde I 0 = V S /4πrP je intenzita světla přicházejícího k Plutu od Slunce a R P jsme označili hledaný poloměr Pluta. Dosazením do Pogsonovy rovnice a několika úpravami dostaneme 10 04(m S m P ) = A g ( RP r Z r P r PZ 1 / 8 )
a odtud už R P = r Pr PZ r Z což velmi dobře souhlasí se skutečností. příklad 1 A g 10 04(m S m P ). = 1 190 km Stejně jako mohly v dubnu 1965 páry na romantických večerních procházkách pozorovat přelety lodi Voschod můžeme i my spatřit na večerním nebi nespočet pohybujících se teček umělých družic. a) Vysvětlete proč při přeletech družic dochází k náhlému poklesu jejich jasnosti a následnému zmizení z oblohy. Neuvažujte jevy způsobené konkrétním tvarem družice ani změnou její orientace v prostoru. Večer v den jarní rovnodennosti pozoruje astronom nacházející se na rovníku přelet družice která Zemi obíhá po kruhové oběžné dráze ve výšce h = 300 km nad povrchem. Družice letí po obloze ve směru přesně od západu na východ a v okamžiku kdy prolétá směrem s azimutálními souřadnicemi A = 70 a H = 60 začne její jasnost rychle klesat až po chvíli úplně zmizí z oblohy. Na základě těchto údajů určete: b) číselnou hodnotu úhlové rychlosti ω pohybu družice po obloze kterou náš pozorovatel zaznamená když družice prolétá zenitem c) čas τ který uběhl od konce západu Slunce po okamžik kdy jasnost družice začala klesat. Při výpočtech můžete zanedbat vliv efektů spojených s přítomností zemské atmosféry. Řešení (0 bodů) a) Družice pozorujeme v odraženém slunečním světle. Pokles jejich jasnosti a následné zmizení jsou způsobeny vstupem družice do polostínu a následně plného stínu Země. b) Zřejmě platí ωh = v ω Z R Z kde v = ( ) 1 GMZ R Z + h jsme označili kruhovou rychlost družice a ω Z jsme označili úhlovou rychlost rotace Země kolem její osy. Máme tedy ω = 1 ( ) 1 GMZ ω Z R Z. h R Z + h h Číselně ω. = 139 s 1. c) Je zřejmé že okamžik kdy se jasnost družice začíná rychle zmenšovat odpovídá okamžiku vstupu družice do zemského polostínu. Na obrázku je znázorněn pohled na Zemi ze směru severního světového pólu. Body Z resp. K odpovídají bodům na rovníku kde právě začíná resp. končí západ Slunce. V případě absence atmosféry je hranice polostínu znázorněna polopřímkou z bodu Z která je kolmá na poloměr Země vedený do bodu Z. Bod D znázorňuje polohu družice v okamžiku vstupu do polostínu. Bod P značí polohu pozorovatele na rovníku který právě pozoruje náhlé zeslabení družice ve směru s azimutálními souřadnicemi A = 70 a / 8
H = 60. Konečně ρ = 16 je úhlový poloměr Slunce při pozorování ze Země. Nákres jsme mohli udělat v jedné rovině díky faktu že situace nastává v den jarní rovnodennosti. D β hranice polostínu Z v α R H P K α S R Z ρ β směr od Slunce ω Z ω rok Země Hledaný čas τ spočteme pomocí úhlu opraveného o (roční) pohyb plného stínu jako a tedy + ω rok τ = ω Z τ τ = ω Z ω rok kde ω rok jsme zde označili úhlovou rychlost oběhu Země kolem Slunce. Vzhledem k přesnosti zadané hodnoty úhlu H si však můžeme dovolit zanedbat ω rok oproti ω Z (viz vztah pro τ níže). Dále tedy píšeme τ ω Z. Stejně tak neuvažujeme změnu úhlového poloměru Slunce na číselný výsledek by tento jev měl podobný vliv. Zbývá určit úhel. Zřejmě platí (R je poloměr dráhy družice) a Máme tedy R cos H = R Z sin α sin β = R Z R. = β α ρ = α β + H ρ = arcsin Číselně potom vyjde 1 h 1 min. ( ) ( ) RZ R cos H RZ arcsin + H ρ. R 3 / 8
příklad 3 První pokusy o detekci rádiových signálů od mimozemských civilizací datujeme do 60. let minulého století tedy dlouho předtím než byla vůbec potvrzena existence planet mimo sluneční soustavu. Doba pokročila a dnes se počet objevených exoplanet šplhá k číslu 000. Některé z nich (jako například Kepler- b) dokonce obíhají svou mateřskou hvězdu v tzv. obyvatelné zóně v níž mohou nastat podmínky vhodné k životu. Pro účely této úlohy obyvatelnou zónu definujme jako oblast kolem hvězdy ve které se rovnovážná povrchová teplota sférických těles bez atmosféry a s Bondovým albedem podobným zemskému (tj. A 03) pohybuje v rozmezí 0 C až 100 C. Zaměříme se na hvězdu Pollux (vzdálenost d = 104 pc bolometrická hvězdná velikost m = 089 mag hmotnost M = 0M S poloměr R = 88R S ) u níž byla v roce 006 detekována planeta (Pollux b) obíhající po kruhové dráze o poloměru 164 au. Bude se vám také hodit že absolutní bolometrická hvězdná velikost Slunce (zářivý výkon L S = 385 10 6 W) je µ S = 483 mag. a) Na základě uvedených údajů určete hranice obyvatelné zóny hvězdy Pollux a rozhodněte jestli planeta Pollux b obíhá v této zóně. Nyní uvažujme hypotetickou planetu Pollux c s hmotností a velikostí Jupitera o níž předpokládáme pouze to že obíhá Pollux v obyvatelné zóně po kruhové dráze. b) Jaký největší posuv čáry H α (laboratorní vlnová délka λ = 6563 nm) ve spektru Polluxu může tato planeta způsobit? Řešení (0 bodů) a) Najděme nejdříve vztah pro rovnovážnou teplotu T eq rychle rotujícího tělesa (uvažujeme že povrchová teplota je všude stejná) bez atmosféry s Bondovým albedem A a poloměrem R nacházejícího se ve vzdálenosti a od hvězdy s zářivým výkonem L. Pro šedá tělesa pak můžeme psát radiační rovnováhu ve tvaru πr F 0 (1 A) = 4πR σ SB T 4 eq kde F 0 = L/4πa je příchozí zářivý tok od hvězdy a σ SB je Stefanova-Boltzmannova konstanta. Máme tedy ( ) 1 L(1 A) 4 T eq =. 16πσ SB a Vidíme že teplota závisí pouze na vzdálenosti tělesa od hvězdy obyvatelná zóna tedy bude ohraničena dvěma sférickými plochami o poloměrech a max a a min kde a max = a min = ( L(1 A) 16πσ SB Tmin 4 ( L(1 A) 16πσ SB T 4 max ) 1 ) 1 a kde T min = 73 K resp. T max = 373 K. 4 / 8
Zářivý výkon Polluxu dopočítáme pomocí jeho absolutní bolometrické hvězdné velikosti µ = m + 5 5 log(r/pc) = 080 a Pogsonovy rovnice jako L = L S 10 04(µ µ S) kde využíváme znalosti zářivého výkonu Slunce L S = 385 10 6 W a jeho absolutní bolometrické hvězdné velikosti µ S = 483 mag. Číselně pro Pollux dostaneme L = 157 108 W. = 41L S a následně a max. = 56 au a amin. = 30 au. Planeta Pollux b tedy obíhá mimo obyvatelnou zónu. b) Planeta a hvězda obíhají po kruhových trajektoriích kolem společného těžiště. Označíme-li a resp. a p vzdálenosti hvězdy resp. planety od těžiště (takže a = a + a p kde a je vzdálenost hvězdy a planety) pak platí M a = M p a p kde M p jsme označili hmotnost planety. Můžeme tedy psát a = M pa M p + M a M p M protože pro zadané parametry máme M p M. Pro velikost rychlosti hvězdy ve dráze kolem těžiště pak máme (P značíme periodu oběhu systému kolem těžiště) v = πa P = πa M p = M p GM P M M a kde poslední rovnost plyne z 3. Keplerova zákona. Konečně periodický posun čar ve spektru hvězdy je způsoben Dopplerovým jevem. Amplitudu λ tohoto posuvu pro čáru s laboratorní vlnovou délkou λ spočteme jako λ = λv cos i c = λ cos i c M p GM M a kde i jsme označili úhel který svírá zorný paprsek pozorovatele s rovinou oběhu hvězdy. Vidíme že λ bude maximální pro a = a min a i = 0 (tedy pohled z boku) tedy λ max = λ M p GM c M a min Číselně pak pro M = M s a M p = 190 10 7 kg dostaneme λ max. = 5 10 5 nm. 5 / 8
praktická úloha V této úloze si sestavíte jednoduchý přístroj k bezpečnému pozorování Slunce tzv. dírkovou komoru (lat. camera obscura) se kterou se pokusíte změřit úhlovou velikost Slunce. a) Popište princip zobrazení dírkovou komorou a její využití k měření úhlové velikosti Slunce na obloze. Svůj výklad doplňte vhodnými nákresy a komentujte vliv velikosti dírky a vzdálenosti dírky od stínítka na přesnost měření. Potřebné informace si dohledejte na internetu. b) Sestrojte funkční dírkovou komoru vhodnou k měření úhlového průměru Slunce na obloze. Pro získání plného počtu bodů z této a následujících částí přiložte k řešení fotografii vašeho přístroje. Pro konstrukci doporučujeme použít alespoň 1 m dlouhou rouru z kartonu jejíž jeden konec zaslepíte alobalem a do jeho středu uděláte špičkou špendlíku velmi malou dírku. Druhý konec zaslepte stínítkem přičemž si ke stínítku vytvořte průhled abyste mohli pozorovat obraz. Bude se vám rovněž hodit pokud stínítko polepíte milimetrovým papírem. c) Pomocí vaší dírkové komory změřte úhlový průměr Slunce na obloze. Měření několikrát opakujte a náležitě zpracujte. Bezpečnostní pokyny Při plnění praktické úlohy se vyvarujte přímého pohledu na sluneční disk a to jak pouhým okem tak i jakýmkoli optickým přístrojem! Nezapomeňte detailně popsat metodiku vašeho měření a zaznamenat do řešení všechny naměřené hodnoty. Určete rovněž nejistoty získaných hodnot. Výsledek který získáte porovnejte s očekávanou hodnotou (dohledejte v ročence nebo na internetu) a diskutujte. (30 bodů) Řešení a) Dírková komora je jednoduché zobrazovací zařízení fungující na principu přímočarého šíření paprsků. Na internetu lze dohledat že se skládá ze stínítka na nějž zobrazujeme paprsky od předmětu pomocí velmi malé dírky. Odpovídající schéma zobrazení vidíme na obrázku 1 níže. Odtud taky plyne jednoduchá metoda měření úhlového průměru α Slunce na obloze: pokud známe kolmou vzdálenost dírky od stínítka L a změříme průměr zobrazeného kotoučku h určíme α jako α h L. Mějme na paměti že takto vyjádřený úhel α vyjde v radiánech a že přiblížení platí pouze pro malé hodnoty α. Musíme si ovšem dávat pozor a namířit dírkovou komoru na Slunce tak aby směr ke Slunci souhlasil s osou dírkové komory. Schéma zobrazení pro obecnější orientaci vidíme na obrázku. Vidíme že velikost obrazu na stínítku potom bude h h. Pro malé odchylky od osy přístroje se ale dopouštíme zanedbatelné chyby. Je potřeba zdůraznit že schémata jsou přesná pro nekonečně malou dírku. Toho ovšem není možné dosáhnout a i kdyby bylo nebylo by to k užitku protože by dírkou neprostupovalo žádné světlo. V praxi tedy volíme konečně velkou dírku což má za důsledek neostrost obrazu na stínítku. Platí přitom že čím menší dírka tím ostřejší ale zároveň méně jasný obraz. Ukazuje se že použitelnou dírku lze udělat špičkou špendlíku tak jak radíme v zadání. 6 / 8
dírka obraz α h Slunce L stínítko Obrázek 1: Schéma zobrazení Slunce dírkovou komorou kde L je kolmá vzdálenost dírky a stínítka α je úhlová velikost Slunce na obloze a h je průměr disku Slunce který se zobrazí na stínítko. Slunce α dírka obraz h L stínítko Obrázek : Schéma zobrazení Slunce dírkovou komorou pro obecný směr příchozích paprsků. 7 / 8
Konečně je třeba si uvědomit že úhlový průměr Slunce na obloze dosahuje přibližně 05 obloukového stupně což nám pro L = 1 m vytvoří obraz o velikosti necelých 9 mm. Jelikož můžeme odečítat velikost obrazu s přesností maximálně 05 mm až 1 mm je třeba volit L > 1 m abychom zaručili relativní nejistotu měření menší než 10 %. b) Dírkovou komoru sestrojíme podle pokynů v zadání kdy L volíme dostatečně velké (s ohledem na diskusi přesnosti měření části a)) v našem případě L = 1 m. Tato konstrukce s sebou nese velkou výhodu: to že je dírková komora namířena přesně na Slunce (tj. že osa dírkové komory a směr ke Slunci souhlasí) poznáme tak že se nám sluneční disk zobrazí přesně do středu kruhového stínítka. c) Nejdříve provedeme měření úhlového průměru Slunce na obloze. Při každém měření odečítáme průměr h obrazu Slunce na stínítku s přesností na 05 mm. Měření desetkrát opakujeme a dáváme si pozor abychom h odečítali poblíž středu stínítka. Pro L = 1 m můžeme dostat hodnoty v tabulce 1. Dostáváme aritmetický průměr hodnot h. = 111 mm a statistickou i 1 3 4 5 6 7 8 9 10 h 105 110 110 115 105 110 115 115 110 11 mm Tabulka 1: Měření průměru slunečního disku zobrazeného na stínítku.. směrodatnou odchylku jednoho měření σ h = 04 mm. K té pythagorejsky přičteme nejistotu v odečítání hodnot = 05 mm a dostáváme odchylku jednoho měření σ h. = 06 mm. Odchylku aritmetického průměru σ h potom dopočteme jako σ h = σ h n1. = 0 mm kde n 1 = 10 jsme označili počet měření. Píšeme tedy h = (111 ± 0) mm. Dále budeme předpokládat že známe vzdálenost L velmi přesně řekněme s přesností σ L = 1 mm. Potom spočítáme nejistotu ve vypočtené hodnotě α jako (σl ) ( ) σ α = ᾱ + σ h ᾱ σ h L h h protože v našem případě σ h h σ L L. Máme tedy ᾱ = 318. a σ α = 06. Dohromady píšeme α =. (318 ± 06). Výsledek se v rámci nejistoty shoduje s očekávanou hodnotou přibližně 3. 8 / 8