ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

Transkript

1 1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé úměrnosti je v 0 - redukovaná výška závitu. p = v 0. ω, p - velikost posunutí, ω - úhel otočení ( v radiánech) Smysl šroubového pohybu v závislosti na orientaci složek pohybu: Při zobrazení v Mongeově promítání bude osa o vždy kolmá k půdorysně. Poznámka: Orientaci posunutí značíme v nárysu šipkou směrem dolů, šipka otočení vyznačená v půdorysu nad o 1 směřuje u pravotočivého pohybu doprava, u levotočivého doleva. Orientace složek šroubového pohybu je pak shodná nebo opačná vzhledem k orientaci šipek. Určení šroubového pohybu : osa o, redukovaná výška v 0 a smysl pohybu - (o, v 0, smysl) ) Základní pojmy a konstrukce Šroubovice je trajektorie bodu ve šroubovém pohybu. Je určena tvořicím bodem a šroubovým pohybem. Na obrázku je zobrazen jeden závit šroubovice na plášti rotačního válce : A, o, v 0, pravotočivý B, o, v 0, levotočivý 1

2 Složky oblouku ( A B ) pravotočivé šroubovice Vztah mezi otočením a posunutím 1) Půdorys: r A = o1 A1 - poloměr šroubovice bodu A půdorys šroubovice leží na kružnici s o, ) 1 ( 1 ra Otočení ot AB : oblouk A 1 B 1 úhel otočení ω nahradíme příslušným obloukem kružnice s 1 Posunutí se v půdorysu neprojeví ) Nárys: Otočení : úsečka A B // x1 (nárys oblouku otočení ot AB ) Posunutí p AB : úsečka B' B posunutí p AB = z B - z A A) Výpočtem : p = v 0. ω dáno ω AB pab = v0. ωab pab dáno p AB ω AB = v Orientace složek je v daném případě proti šipce o Poznámka: ω = 1 p = v0 otočení o 1 radián ( 60 ) představuje posunutí o v 0 (oblouk otočení délky r A představuje posunutí o v 0 ) B) Graficky Velikost otočení je dána délkou příslušného oblouku půdorysu šroubovice 0

3 Postup pro konstrukci dalšího bodu M šroubovice určené bodem A a red.výškou v 0 : 1) základní : pravoúhlý, odvěsny r A a v 0 (oblouk otočení délky poloměru r A šroubovice posunutí v 0 ) ) změna velikosti základního podle odvěsny příslušné složky k otočení určit posunutí k posunutí určit otočení Poznámka: Při konstrukcích použijeme rektifikaci oblouku kružnice jako v kinematice. Výška závitu šroubovice Výška závitu v = posunutí při otočení o úhel ω = π Vztah mezi v a v 0 : ω π p = πrv = 0 v = πrv0 v 0 v = πr Grafickou závislost ukazuje obrázek (l/ je polovina délky půdorysu šroubovice) Příklad: Zobrazte jeden závit pravotočivé šroubovice dané bodem A, osou o a výškou závitu v. 1) Půdorysem bude kružnice s1 ( o1,r = o1 A1 ), body šroubovice v půdoryse zvolíme s krokem otočení 30 o (30 o = 360 o /1). ) Nárys těchto bodů dostaneme pomocí kroku posunutí = v/1 3

4 3) Základní úlohy (1) Průsečík šroubovice s rovinou ρ rovnoběžnou s osou ( ρ π ) () Průsečík šroubovice s rovinou ρ kolmou k ose ( ρ // π ) (3) Tečna šroubovice Úlohy budeme řešit graficky. Při početním řešení je nutné úhel otočení převádět z radiánů na stupně (a naopak) a použít vztahů (α je úhel otočení ve stupních): πα p = v 0 ω p = v0 k otočení (ve stupních) určit posunutí 180 p p 180 ω = α = k posunutí určit otočení (ve stupních) v π v 0 0 Příklad 1a: Sestrojte průsečík R šroubovice (A, o, v 0, pravotočivý) s polorovinou ρ π. 1) ( o,r o A ) s1 1 A = 1 1 ) půdorys R 1 : R1 s 1 ρ1 otočení ot = oblouk A 1 R 1 AR 3) posunutí p AR : 4) nárys R : R1 R, zr - za = p AR orientace: otočení proti šipce posunutí také proti šipce Poznámky: Úloha má nekonečně mnoho řešení (počet průsečíků odpovídá počtu závitů šroubovice). V dalších úlohách se omezíme na řešení v rámci jednoho závitu. V případě celé roviny budou další průsečíky k bodům R výškově posunuty o polovinu výšky závitu šroubovice. Jejich konstrukce je podobná. 4

5 Příklad 1b: Sestrojte průsečík R šroubovice (A, o, v 0, levotočivý) s rovinou ρ π. 5

6 Příklad a: Sestrojte průsečík R šroubovice (A, o, v 0, levotočivý) s rovinou ρ // π. 1) ( o,r o A ) s1 1 A = 1 1 ) nárys : p AR = výškový rozdíl A a ρ 3) otočení ot AR : 4) půdorys R1 s1 : oblouk A 1 R 1 = ot AR orientace: posunutí po šipce otočení také po šipce nárys R : R ρ 1 R Příklad b: Sestrojte průsečík R šroubovice (A, o, v 0, pravotočivý) s rovinou ρ // π. 6

7 Tečna šroubovice A α, α o,s o α k ( S,r = Průsečíky tečen šroubovice s rovinou α leží na evolventě e kružnice k. AS ) Tečny šroubovice svírají s rovinou α konstantní úhel ϕ - šroubovice je křivka konstantního spádu. Tečna t šroubovice s v bodě T je rovnoběžná s površkou t řídicího kužele (vrchol V, výška v 0, podstava s 1 ). Příklad 3a: Sestrojte tečnu t šroubovice (T, o, v 0, pravotočivý) v bodě T. 1) s o, ) 1 ( 1 rt ) t 1 tečna s 1 v bodě T 1 3) T1 T1 s1 (otočením o 90 o po šipce) T 1 T x1 4) t // T V 7

8 Příklad 3b: Sestrojte tečnu t šroubovice (T, o, v 0, levotočivý) v bodě T. Příklad 3c: Sestrojte tečnu t šroubovice (T, o, v 0, pravotočivý) v bodě T. Jiné řešení příkladu 3a 1) s o, ) 1 ( 1 rt ) t 1 tečna s 1 v bodě T 1 3) Q1 t1, T 1Q1 = r T Q, z Q zt = v0 1 Q 4) t Q T Poznámky: V tomto případě posuneme površku t řídicího kužele do bodu T ( T Q ). Orientace při konstrukci bodu Q je dána šipkami. 8

9 4) Parametrické rovnice šroubovice Parametrické rovnice jednoho závitu pravotočivé šroubovice ( A x, o z, v 0 ) r = OA X 0 = ( r cost, r sin t, v t), t 0, π Úkol: Napište rovnici levotočivé šroubovice Průmět šroubovice do roviny (xz) y = 0 x = r cost, z = v0t z x = r cos v 0 Tečna šroubovice r tečný vektor s = ( x, y, z ) = ( r sin t, r cost, v0 ) r půdorys s 1 = ( r sin t, r cost, 0) r r s.s1 r sin t + r cos t úhel ϕ : cos ϕ = r r = s. s 1 r + v r 0 = r r + v 0 = konstanta Šroubovice je křivka konstantního spádu. 9

10 Řešení příkladů ze 3.kapitoly Příklad 1b: Sestrojte průsečík R šroubovice (A, o, v 0, levotočivý) s rovinou ρ π. 10

11 Příklad b: Sestrojte průsečík R šroubovice (A, o, v 0, pravotočivý) s rovinou ρ // π. Příklad 3b: Sestrojte tečnu t šroubovice (T, o, v 0, levotočivý) v bodě T. 11