Soustředění 2014/15, kategorie CD, EF, Valašské Meziříčí června 2015

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Soustředění 2014/15, kategorie CD, EF, Valašské Meziříčí června 2015"

Transkript

1 . Soustředění 2014/15, kategorie CD, EF, Valašské Meziříčí června 2015 část A 1. příklad Planetka má shodnou hustotu jako Země, ale její poloměr je 100krát menší (předpokládejme, že má kulový tvar a nerotuje). Kolik budeme potřebovat paliva, které bude unikat z motoru sondy rychlostí 3 km/s, aby tato sonda s celkovou hmotností kg (zanedbejme úbytek hmotnosti vlivem úbytku paliva) mohla opustit planetku? (zdroj finále AO kategorie CD 2010 ) Aby mohla sonda opustit planetku, musí dosáhnout 2. kosmické rychlosti, která se dá vypočítat podle vztahu: 2GM 8πGρ v = R = R. 3 Pokud je hustota shodná s hustotou Země a poloměr je 100krát menší, můžeme odvodit, že druhá kosmická rychlost pro planetku je 1/100 analogické veličiny pro Zemi, tedy 112 m/s. Pokud označíme hmotnost sondy M a hmotnost paliva m a rychlost tryskání paliva u, pak platí Mv = mu a tedy m = Mv. A po dosazení zjistíme, že sonda spotřebuje 37,3 kg paliva. u 1

2 část A 2. příklad Dva kamarádi se po maturitě vydali studovat vysoké školy docela jiných zaměření. Jeden se chtěl stát historikem, zatímco druhý propadl astronomii. Protože pak studovali v různých městech, scházeli se na kus řeči o víkendech v rodném městě v klubu U Mrkve. Představ si, že ani na té historii se nevyhnu té proklaté matice! Co šílíš? Počítáte kosti Přemyslovců? To bys měl dát, néé? Ty jsi chytrý, tak schválně. Představ si, že v roce 264 př. n. l. zavedl řecký historik Timaos celkem podivné počítání roků podle olympiád. Sice se užívalo jenom asi do 5. stol. n. l., ale ten náš asistent, co ho máme na cvičení z antiky, chce, abychom mu příště řekli, kdy se podle našeho letopočtu odehrála bitva u Salamíny, když to bylo v roce Ol Tak přece mrkneš do wiki a bude, ne? Jo, to jsem udělal hned na tom cviku. A měl jsi ho vidět! Prý, kde mám odvozený algoritmus převodu a tak... Aha, jasně. No a řekl vám alespoň, od kdy se ty olympiády počítají? Jo, ta první prý byla 1. července 776 př. n. l. Tak to je v pohodě, objednej mi kolu a než ji přinesou, budeš to mít. Je to ale skutečně tak jednoduché? Určete: a) rok podle našeho letopočtu, ve kterém se odehrála bitva u Salamíny b) olympijským datováním vyjádřete rok, kdy byl uveden do chodu orloj v Praze (1410 n. l.) c) olympijským datováním vyjádřete rok 2015, kdy se koná toto soustředění Poznámka: Letopočet podle olympiád začínal písmeny Ol a pak následovalo číslo, tedy datování začíná řadou roků: Ol 1.1, Ol 1.2, Ol 1.3, Ol 1.4, Ol 2.1 atd. Například označení Ol 75.1 znamená 1. rok po 75. olympiádě. Rok v tomto kalendáři začíná 1. července (viz předchozí text). Reformy kalendáře můžete zanedbat. (zdroj KK CD 2009 ) a) Označme jako X počet proběhlých olympiád a jako Y číslo roku uběhlého od poslední olympiády. Potom počet roků, které uběhly od první olympiády až do zmíněné bitvy lze popsat výrazem N = 4(X 1) + (Y 1) = 296. Ve vzorci se odečítá 1 od X, protože se počítá od první olympiády a analogicky se odečítá 1 od hodnoty Y. Bitva u Salamíny se odehrála na podzim roku 480 př. n. l. b) Rok začíná v olympijském datování v létě, vždy 1. července, takže pokud nemáme přesnější údaj o datu dokončení orloje (1410), bude se jednat o 2 zápisy. Nejprve si vypočteme počet let uběhlých od první olympiády N = = 2185, kde odečítáme 1, protože neproběhl rok nula našeho letopočtu. Pokud pak vydělíme číslo 4, zjistíme, že proběhlo 546 cyklů a ještě uběhl jeden rok. Nejistota v přesném datu pak vede k zápisu Ol a také Ol 547.2, pokud byl orloj spuštěn až po 1. červenci c) Naše soustředění AO ve Valašském Meziříčí (postup viz odpověď b) se odehrává v roce Ol

3 část A 3. příklad James Bond zjistil, že drogový kartel používá k distribuci zásilek do celého světa velmi důmyslný systém, který je tvořen dopravním letadlem letícím podél světového rovníku od západu na východ ve výšce 12 kilometrů a ze kterého jsou nad zájmovým územím vypouštěny samostatně se navigující zásilky na padácích. Agent 007 navrhl svým nadřízeným, aby činnost letadla byla nepřetržitě monitorována špionážní družicí, která by se pohybovala přesně nad letadlem. Měřením bylo zjištěno, že letadlo po výstupu do operační výšky má vzhledem k zemskému povrchu stálou rychlost 900 km/h. Nadřízení souhlasili s tím, že jim má Bond předložit výpočty, jak vysoko se má družice nacházet a jaká pak bude vzdálenost mezi letadlem a družicí, aby ji mohli vybavit odpovídajícím optickým systémem. Jenže na takový úkol nebyl připraven ani agent 007, ba dokonce ani jeho (mo)mentální přítelkyně. Můžete mu s výpočtem pomoci? (zdroj KK CD 2008 ) Vypočtěte: a) V jaké výšce nad povrchem Země bude družice obíhat a jaká bude vzdálenost mezi družicí a letadlem? b) Jak se výsledek změní, pokud se bude letadlo pohybovat v opačném směru? a) Letadlo se pohybuje rychlostí 900 km/h vzhledem k nějakému bodu na rovníku, ale i Země se otáčí ve směru pohybu letadla. Rychlost otáčení Země v 0 = 2πR T 0 je 1674 km/h, pokud za rovníkový poloměr Země R dosadíme 6378,1 km a za periodu rotace Země T 0 hodnotu hvězdného dne (23, 933 hodin). Celková rychlost letadla je pak 2574 km/h. Touto rychlostí urazí letadlo jednu otočku za čas T = 2π(R+h) v+v 0, tedy za 15,598 hodin. Pokud by měla družice být stále nad letadlem, musí mít shodnou úhlovou rychlost a tedy i periodu. Poloměr dráhy družice lze vyjádřit z obecného znění 3. Keplerova zákona: r = ( ) GMT 2 1/3, 4π 2 tedy km (zaokrouhleno) od středu Země, km nad povrchem Země a km nad letadlem. b) V tom případě se nebudou rychlosti letadla a rotace Země sčítat, ale odečítat (774 km/h). Po dosazení do vztahu T = 2π(R+h) v+v 0, zjistíme periodu (51,87 hodin). A dále už je postup shodný s předchozím ( km od středu Země, km od povrchu a km od letadla). 3

4 část A 4. příklad Celková hvězdná velikost systému, který je tvořen třemi Slunci podobnými hvězdami je m uk1 = 8, 3 mag. Vypočtěte vzdálenost soustavy ve světelných rocích (absolutní hvězdná velikost Slunce je M S = 4, 7 mag. Za jak dlouho dosáhne systém jasnosti m uk2 = 9, 3 mag, jestliže se od nás vzdaluje rychlostí 40 km/s? Rychlost světla je km/s. (zdroj Damir Hržina) K výpočtu využijeme informaci, že soustava je tvořena 3 hvězdami podobnými Slunci: a podosazení obdržíme hodnotu 1, , 512 m uk1 = 3 2, 512 m 1, m 1 = log(1, ) 0, 4 = 9, 49 a dosadíme do rovnice M S = m log r a vypočteme vzdálenost soustavy r = 90, 78pc, tedy 296 ly. Identický výpočet provedeme také pro druhou polohu soustavy a obdržíme vzdálenost 469 ly. Rozdíl vzdáleností bude 173 ly, tedy 1, km. Tuto vzdálenost soustava urazí za čas t = s/v, po dosazení tedy za 1, roků. 4

5 část A 5. příklad Astronom, nacházející se na ϕ = ,01 severní šířky, během večera 20. dubna 2015 pozoroval hvězdu Betelgeuse (α Ori) a zaznamenával si její hvězdnou velikost a polohu na obloze. Jeho měření, shrnuta v tabulce 1, nám poslouží k určení závislosti atmosferické refrakce na výšce nad obzorem. Velikost atmosferické refrakce budeme určovat jako rozdíl pozorované a geometricky předpokládané výšky nad obzorem. Hvězda Betelgeuse má rektascenzi α 0 = 5 h 56 m 00 s a deklinaci δ 0 = Astronom si povšiml, že hvězda Tania Borealis (λ UMa) se v 20:23:46 přesně nacházela na azimutu A 1 = a ve výšce h 1 = nad obzorem. Předpokládejte, že takto blízko k zenitu je refrakce zanedbatelná. Tania Borealis má rektascenzi α 1 = 10 h 18 m 01 s a deklinaci δ 1 = Počítejte s délkou roku 365,25 dne. Pohyb jarního bodu je zanedbatelný. Polohy hvězd jsou určeny vzhledem k poloze jarního bodu v daný okamžik. Ve své práci využijte následující vztahy mezi rovníkovými a azimutálními souřadnicemi: cos h sin t = cos δ, sin h = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos t. sin A a) Vytvořte graf závislosti hvězdné velikosti Betelgeuse na čase. b) Určete délku hvězdného dne ze znalosti délky jednoho roku. c) Určete hodinový úhel hvězdy Tania Borealis ve 20:23:46 a čas, kdy bude procházet meridiánem. Použijte k tomu první z rovnic v zadání. d) Pro všechna měření určete hodinový úhel ve stupních. Pozor: pozorovaná výška nad obzorem je zatížena neznámou refrakcí. e) Pomocí určených hodinových úhlů spočítejte geometricky předpokládanou výšku nad obzorem pro všechna měření. f) Určete refrakci, tedy rozdíl mezi pozorovanou a předpokládanou výškou nad obzorem, pro všechna měření. g) Vytvořte graf refrakce jako funkce naměřené výšky nad obzorem. h) Pomocí Bennettova empirického vztahu pro refrakci R = cotg (h + 7,31/(h + 5,11)), pro refrakci R v úhlových minutách a výšku nad obzorem h ve stupních, určete předpokládané hodnoty refrakce pro všechna měření. i) Vytvořte graf rozdílu vypočítané refrakce a refrakce získané z Bennettova vztahu v závislosti na pozorované výšce nad obzorem. Okomentujte, jak přesně vztah odpovídá naměřeným datům. (zdroj finále AO 2015, kategorie CD, Stanislav Fořt) 5

6 m Měření Čas (UT+2) mag Azimut Výška 1 19:08:21 0, :22:03 0, :32:54 0, :47:17 0, :57:30 0, :17:27 0, :34:39 1, :52:07 1, :08:56 1, :21:15 1, :33:41 1, :45:56 1, :54:19 1, :03:06 2, :12:25 2, :23:39 3, :27:16 3, :31:11 4, Tabulka 1: Data z pozorování hvězdy Betelgeuse dne 20. dubna Graf závislosti hvězdné velikosti na čase vytvořím přímo z daných dat, například jako na obrázku 1. Určení délky hvězdného dne provedeme snadno pomocí součtu úhlových rychlostí rotace Země a pohybu Země kolem Slunce. Za předpokladu, že rok má 365,25 dní, určíme délku hvězdného dne jako 1/(1 + 1/365,25) dne = 23 h 56 m 4,1 s. Tento úkol byl návodný. Slouží k tomu, aby si účastníci uvědomili, že kulminace se opakují jednou za hvězdný den. Pomocí první z rovnic ze zadání určíme hodinový úhel hvězdy Tania Borealis jako t 1 = 0,567. Použitím hvězdného dne určíme, že kulminace nastane za 2,26 min. Jelikož známe rozdíl rektascenzí hvězd Betelgeuse a Tania Borealis, můžeme nyní určovat hodinové úhly pro Betelgeuse. Jako záchytný bod slouží čas 20:23:46, ve kterém se Tania Borealias nacházela 2,26 minut před kulminací. Rozdíl rektascenzí α 0 α 1 = 4,3670 h odpovídá časovému rozdílu 4,3550 h. Nejsnadnější je pravděpodobně určit rozdíly časů pozorování od 20:23:46, přičíst 4,3550 h kvůli rozdílu rektascenzí a odečíst 2,26 min díky počátečnímu posunu. Takto získáme čas od průchodu Betelgeuse meridiánem, který pomocí délky hvězdného dne převedeme na hodinový úhel t. Výsledky jsou k dispozici v tabulce 2. Pomocí první či druhé rovnice ze zadání určím předpokládanou geometrickou výšku nad obzorem pro každé měření. Výsledky jsou k dispozici v tabulce 2. Určení refrakce spočívá v odečtení naměřené výšky nad obzorem od geometrického předpokladu. Výsledky jsou k dispozici v tabulce 2. Graf refrakce je k dispozici na obrázku 2 společně s Bennettovým vztahem. Rozdíl mezi měřením a výpočtem je určen v tabulce 2 a jeho graf na obrázku 3. Vztah odpovídá velice dobře, ale odchyluje se pro malé výšky nad obzorem. Odchylka je nepodstatná. 6

7 δt Měření Čas od meridiánu h h t stupně Geometrické h stupně Poz. refrakce minuty Bennett. refrakce minuty 1 1,257 3,060 46,031 32,731 1,27 1,54 2 1,029 3,289 49,466 30,828 1,40 1,66 3 0,848 3,470 52,185 29,278 1,53 1,77 4 0,608 3,709 55,791 27,172 1,70 1,93 5 0,438 3,880 58,352 25,645 1,86 2,06 6 0,105 4,212 63,354 22,600 2,22 2,37 7 0,181 4,499 67,665 19,921 2,61 2,71 8 0,473 4,790 72,044 17,162 3,10 3,16 9 0,753 5,070 76,260 14,480 3,73 3, ,958 5,275 79,347 12,505 4,33 4, ,165 5,483 82,464 10,507 5,14 5, ,369 5,687 85,535 8,536 6,22 6, ,509 5,826 87,637 7,188 7,24 7, ,664 5,981 89,964 5,699 8,76 8, ,811 6,128 92,174 4,287 10,83 10, ,998 6,315 94,990 2,495 15,13 15, ,058 6,376 95,897 1,921 17,18 17, ,124 6,441 96,879 1,299 20,00 21,07 Tabulka 2: Výsledky. Obrázek 1: Hvězdná velikost jako funkce času. 7

8 Obrázek 2: Naměřená refrakce jako funkce naměřené výšky nad obzorem. Obrázek 3: Rozdíl mezi naměřenou refrakcí a výpočtem podle Bennettova empirického vztahu. 8

9 část B 1. příklad Při dostavbě úředně již dávno dokončené dálnice narazili dělníci při výkopových pracích na hliněnou nádobu. Protože bratr jednoho z nich byl archeolog, tak vše podle zákona ohlásili, stavební práce se zastavily a začal archeologický výzkum. Nalezená hliněná nádoba obsahovala několik stříbrných mincí a také pergamen s datem 14. května 1596 a podivným textem, který po přeložení z latiny zněl asi takto: Tohle je jen závdavek, skutečný poklad, který čítá asi 20 hřiven stříbra a několik tisíc mincí, je zakopán v hloubce 2 metrů na místě se shodnou zeměpisnou délkou, ale jinou zeměpisnou šířkou. Je to místo, kde se sluneční kotouč odlepí od ideálního horizontu v tomtéž bodě, ve kterém se o den dříve, tedy 20. března, objevily první sluneční paprsky. Jak sami chápete, že tohle je úkol hodný přímo Indiana Jonese, nicméně kvůli pokračování stavby jej bylo nutné vyřešit. Vypočtěte zeměpisnou šířku místa, kde se nachází poklad (zanedbejte atmosférickou refrakci). (zdroj KK CD 2010 ) Popsaná situace odpovídá době těsně kolem jarní rovnodennosti, můžeme tedy předpokládat, že se Slunce nachází v rovině světového rovníku a jeho deklinace je blízká nule. Sluneční kotouč se tak pohybuje prakticky rovnoběžně s touto rovinou pod úhlem (90 ϕ ), kde ϕ je zeměpisná šířka místa pozorování. Ze zadání příkladu je rovněž zřejmé, že se nacházíme na severní polokouli a hodnota zeměpisné šířky bude kladná. Za jeden den se Slunce posune po ekliptice o úhel l = 360 t = T 0986, kde t je délka slunečního dne a T délka tropického roku. Slunce se pohybuje vzhledem k rovníku pod úhlem ε, který má hodnotu 23,45. Za jeden den se tedy deklinace změní o hodnotu δ = l sin ε = 0, 392. Jak vyplývá z obrázku, je zeměpisná šířka místa, kde je zakopán poklad, dána vztahem ϕ = arcsin δ, kde r 2r je úhlový poloměr Slunce (v době popisované v textu je roven 0,266 ). Zeměpisná šířka místa, kde je zakopán poklad, je pak 47,5 severní šířky, tedy na území dnešního Maďarska. Práce na dálnici mohou pokračovat. Obrázek 4: Znázornění situace a označení veličin. 9

10 část B 2. příklad Hodnota deklinace hvězdy A je dvakrát větší než hodnota deklinace hvězdy B. Na jaké zeměpisné šířce nastane jejich horní kulminace na stejném almukantarátu, jestliže spodní kulminace hvězdy A bude přesně na horizontu? Refrakci zanedbejte. Pozorování se musí odehrát na severní polokouli, daleko od severního pólu. (zdroj ruská národní AO 2009, 10. třída) Označíme δ A deklinaci hvězdy A a δ B deklinaci hvězdy B a ze zadání víme, že platí δ A = 2δ B. Nepozorujeme na pólu, tedy deklinace hvězdy A není rovna nule, tedy deklinace obou hvězd jsou různé. Aby byly splněny podmínky zadání, je zřejmé, že kulminace hvězdy A s vyšší hodnotou deklinace musí nastat severně od zenitu a kulminace hvězdy B na jih od zenitu. Pokud označíme zeměpisnou šířku místa pozorování jako ϕ a zenitovou vzdálenost hvězd A a B v horní kulminaci jako z, dostaneme rovnice: { ϕ + za = δ A ϕ z B = δ B { ϕ + z = 2δB ϕ z = δ B Další úpravou rovnic obdržíme vztah: 2ϕ = 3δ B, a z podmínky, že ke spodní kulminaci hvězdy A dochází na horizontu, obdržíme rovnici: 2δ B + ϕ = 90, po dosazení: Zeměpisná šířka ϕ je tedy 38, ϕ + ϕ = 90, Obrázek 5: Znázornění situace a označení veličin. 10

11 část B 3. příklad Na exoplanetě sférického tvaru jsou délky rovníku a obratníku ve stejném poměru jako délka obratníku k délce polárního kruhu. Vypočtěte maximální možnou výšku jediné centrální hvězdy soustavy na polárním kruhu. Úhlový rozměr centrální hvězdy a refrakci zanedbejte. (zdroj ruská národní AO 2014, 10. třída) Šířka obratníku a polárního kruhu jsou: ϕ 1 = ε; ϕ 2 = 90 ε, kde ε je úhel mezi rovinou rovníku a rovinou oběžné dráhy exoplanety. Pokud označíme délku rovníku L 0, pak délky obratníku a polárního kruhu budou rovny: L 1 = L 0 cos ϕ 1 = L 0 cos ε, Z podmínek v zadání vyplývá: L 2 = L 0 cos ϕ 2 = L 0 sin ε. L 0 L 1 = L 1 L 2 ; 1 cos ε = cos ε sin ε. Tuto rovnici lze upravit do podoby 1 sin 2 ε = sin ε. V intervalu [0;1] má daná kvadratická rovnice jeden kořen: 5 1 sin ε = = 0, 618; ε = Výška centrální hvězdy bude na polárním kruhu maximální v den letního slunovratu a bude rovna h = 90 ϕ 2 + ε = 2ε =

12 část B 4. příklad Pilot letadla pohybujícího se rychlostí 800 km/h si všiml, že během celého šestihodinového letu byly horizontální souřadnice hvězd stále stejné. Vypočítejte o kolik kilometrů by byla trasa kratší, kdyby pilot letěl nejkratší trasou. Místa startu i přistání se nezmění. (zdroj ruská národní AO 2014, 10. třída) Horizontální souřadnice hvězd se mění vlivem rotace Země. To znamená, že letadlo letělo tak, že muselo kompenzovat rotaci. Velikost rychlosti zemské rotace závisí na zeměpisné šířce: v = 2π R cos ϕ. T Rychlost 800 km/h odpovídá velikosti rychlosti rotace Země v zeměpisné šířce 61 (na severní nebo jižní polokouli). Za 6 hodin letadlo uletělo 4800 km po dráze 1 (viz obrázek), což odpovídá rozdílu zeměpisných délek λ asi 90. Pilot by letěl kratší trasou, pokud by letěl podél oblouku velké kružnice (na obrázku trasa 2). Označme tento oblouk jako β. Přímá vzdálenost mezi startem a cílem l je pak: l = 2R sin β 2 = 2R cos ϕ sin λ 2 = 2R cos ϕ. Odsud obdržíme, že velikost oblouku velké kružnice β je rovna 40 a odpovídající vzdálenost je 4400 km. Rozdíl délek obou trajektorií je tedy 400 km. Obrázek 6: Znázornění trajektorií a označení veličin. 12

13 část C 1. příklad Na observatoři v Ondřejově astronomové sledovali vícenásobný hvězdný systém a zjistili, že je složen ze dvou hvězd o sluneční hmotnosti (každá z nich), které obíhají kolem společného hmotného středu jednou za 25 dní. V systému se však nachází ještě jedna složka, také podobná Slunci a se stejnou hmotností, která obíhá kolem zmíněné dvojice hvězd ve vzdálenosti 100x větší než je vzdálenost mezi složkami centrální dvojhvězdy. Pak se část oddělení odebrala na dovolenou a zbytek jel na vědeckou konferenci. Zůstal tam jen středoškolský stážista a tomu, aby se nenudil, zadali dvě otázky, které máte za úkol vyřešit i vy (za předpokladu, že hvězdy soustavy obíhají po kruhových drahách): a) Jaká bude perioda oběhu třetí složky? b) Jak se změní perioda oběhu třetí složky, pokud se vzdálenost prvních dvou složek systému zvětší o 50 % (zdroj KK CD 2008 ) a) Vzdálenost mezi dvěma složkami těsné dvojhvězdy je možné určit ze zobecněného 3. Keplerova zákona: ( ) G2MT 2 1/3 a =, 4π 2 kde M je hmotnost Slunce a T perioda oběhu, tedy po dosazení získáme hodnotu 0,21 AU. Třetí složka se nachází ve vzdálenosti b=21 AU a její periodu opět vypočteme z 3. Keplerova zákona. Budeme předpokládat, že celková hmotnost soustavy jsou 3 hmotnosti Slunce, pak má výsledný vztah tento tvar: ( 4π 2 b 3 ) 1/2 t =, G3M a po dosazení vychází perioda 55,9 let. b) Výsledek a) vynásobíme koeficientem (1, 5) 3/2 = 1, 84, tedy 102,7 roků. 13

14 část C 2. příklad Hvězda Sirius (δ = ) je pozorována dalekohledem s průměrem objektivu D = 20 cm a f/15. S jedním okulárem projde zorné pole za 1 min 53 s, při použití druhého pak za 38 s. Určete ohniskovou vzdálenost a zvětšení okulárů a zorné pole dalekohledu, pokud je zorný úhel okulárů 33,3. (zdroj Damir Hržina) Ohnisková vzdálenost dalekohledu je F = 15 D = 3000 mm. Úhel zorného pole dalekohledu je možné vypočítat podle vztahu: ZP = 2 π t cos δ (výsledek bude v radiánech), kde t je doba průchodu zorným polem a T je délka hvězdného dne T (23 h 56 min 4 s). Po dosazení a převedení na úhlové minuty obdržíme hodnoty 9, 13 a 27, 14. Zvětšení jednoho okuláru bude, vyjádřeno v úhlových minutách P 1 = 33, ,14 = 74 krát, obdobně pro druhý okulár to bude 220 krát. Pro zvětšení okuláru zároveň platí vztah Z = F d f o, kde F d je ohnisková vzdálenost dalekohledu a f o ohnisková vzdálenost okuláru, dosazením číselných hodnot pak obdržíme hodnoty ohniskových vzdáleností 40,5 mm a 13,6 mm. 14

15 část C 3. příklad Kulová hvězdokupa obsahuje celkem hvězd, z nichž každá má absolutní hvězdnou velikost stejnou jako naše Slunce. a) Spočítejte hvězdnou velikost této hvězdokupy pro pozorovatele na Zemi, když víte, že její vzdálenost je 10 kpc (pokládejte vzdálenost všech hvězd ve hvězdokupě za shodnou, tedy 10 kpc). b) Jak by se změnila hvězdná velikost celé hvězdokupy, pokud by počet jejich členů byl dvojnásobný? (další charakteristiky považujte za neměnné) c) Jak by se změnila hvězdná velikost původní hvězdokupy ( členů), pokud by její vzdálenost byla dvojnásobná? (další charakteristiky považujte za neměnné) (zdroj zadání finále AO kategorie CD 2010, upraveno) a) V tabulkách nalezneme hodnotu M S = +4, 8 mag, pak platí pro celou hvězdokupu: M H M S = 2, 5 log I H I S, kde I H = I S a poté dosadíme do rovnice pro modul vzdálenosti M H m H = 5 5 log r. Po dosazení zjistíme, že hvězdná velikost hvězdokupy bude 7,3 magnitudy. b) Hvězdná velikost hvězdokupy bude 6,6 magnitudy. c) Hvězdná velikost by byla 8,8 magnitudy. 15

16 část C 4. příklad Pulzující proměnná hvězda mění své charakteristiky tak, že poměr rychlosti tepelného pohybu a druhé kosmické rychlosti je na jejím povrchu konstantní. Vypočítejte poměr rozměrů hvězdy v maximu a minimu její jasnosti, pokud víme, že amplituda změny její hvězdné velikosti je 2,5 magnitudy. Plyn v povrchových částech hvězdy považujte za neionizovaný a ve stavu termodynamické rovnováhy. (zdroj ruská národní AO 2010, 10. třída) Pro neionizovaný plyn v termodynamické rovnováze platí pro rychlost tepelného pohybu: v T = 3kT µ, kde µ je atomová hmotnost, T je teplota odvozená ze střední kinetické energie částic plynu. Pokud je látka ve stavu termodynamické rovnováhy, je tato teplota rovna efektivní teplotě hvězdy. Druhá kosmická rychlost je rovna: v 2 = 2GM R, kde M a R je hmotnost a poloměr hvězdy. Poměr obou veličin je pak roven: v T v 2 = 3kT R 2GMµ = 3k 2GMµ T R = konstanta Hmotnost hvězdy ani atomová hmotnost se nemění, takže platí T R = konstanta, tedy teplota hvězdy je nepřímo úměrná jejímu poloměru. Označme T 1 a R 1 teplotu a poloměr hvězdy v maximu a podobně T 2 a R 2 v minimu jasnosti. Můžeme pak vyjádřit rozdíl hvězdných velikostí v maximu a minimu: m 2 m 1 = 2, 5 log R2 2T 4 2 R 2 1T 4 1 = 2, 5 log R2 1 R 2 2 = 2, 5. Odsud dostaneme poměr poloměrů: A v maximu bude hvězda menší než v minimu. R 1 R 2 = 10 0,5 = 0,

Obr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku

Obr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku 4 ZÁKLADY SFÉRICKÉ ASTRONOMIE K posouzení proslunění budovy nebo oslunění pozemku je vždy nutné stanovit polohu slunce na obloze. K tomu slouží vztahy sférické astronomie slunce. Pro sledování změn slunečního

Více

Astronomická pozorování

Astronomická pozorování KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

Soutěžní úlohy části A a B (12. 6. 2012)

Soutěžní úlohy části A a B (12. 6. 2012) Soutěžní úlohy části A a B (1. 6. 01) Pokyny k úlohám: Řešení úlohy musí obsahovat rozbor problému (náčrtek dané situace), základní vztahy (vzorce) použité v řešení a přesný postup (stačí heslovitě). Nestačí

Více

Vzdálenosti a východ Slunce

Vzdálenosti a východ Slunce Vzdálenosti a východ Slunce Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Vzdálenosti a východ Slunce Aplikace matem. pro učitele 1 / 8 Osnova Zdeněk Halas (KDM

Více

základy astronomie 2 praktikum 5 Dynamická paralaxa hvězd

základy astronomie 2 praktikum 5 Dynamická paralaxa hvězd základy astronomie praktikum Dynamická paralaxa hvězd 1 Úvod Dvojhvězdy jsou nenahraditelným zdrojem informací ze světa hvězd. Nejvýznamnější jsou z tohoto pohledu zákrytové dvojhvězdy, tedy soustavy,

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA KATEDRA GEOGRAFIE. Planetární geografie seminář

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA KATEDRA GEOGRAFIE. Planetární geografie seminář MASARYKOA UNIERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA KATEDRA GEOGRAFIE květen 2008 I Měření vzdáleností ve vesmíru 1) ýpočet hodnoty pc a ly ze známé AU a převod těchto hodnot. 1 AU = 150 10 6 km Z definice paralaxy

Více

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km. 9. Astrofyzika 9.1 Uvažujme hvězdu, která je ve vzdálenosti 4 parseky od sluneční soustavy. Určete: a) jaká je vzdálenost této hvězdy vyjádřená v kilometrech, b) dobu, za kterou dospěje světlo z této hvězdy

Více

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů AA a BB a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu

Více

pohyb hvězdy ve vesmírném prostoru vlastní pohyb hvězdy pohyb, změna, souřadné soustavy vzhledem ke stálicím precese,

pohyb hvězdy ve vesmírném prostoru vlastní pohyb hvězdy pohyb, změna, souřadné soustavy vzhledem ke stálicím precese, Změny souřadnic nebeských těles pohyb hvězdy ve vesmírném prostoru vlastní pohyb hvězdy vlastní pohyb max. 10 /rok, v průměru 0.013 /rok pohyb, změna, souřadné soustavy vzhledem ke stálicím precese, nutace,

Více

Filip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse

Filip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse ÚTFA,Přírodovědecká fakulta MU, Brno, CZ březen 2005 březnového tématu Březnové téma je věnováno klasické sférické astronomii. Úkol se skládá z měření, výpočtu a porovnání výsledků získaných v obou částech.

Více

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles. 2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?

Více

základy astronomie 1 praktikum 3. Astronomické souřadnice

základy astronomie 1 praktikum 3. Astronomické souřadnice základy astronomie 1 praktikum 3. Astronomické souřadnice 1 Úvod Znalost a správné používání astronomických souřadnic patří k základní výbavě astronoma. Bez nich se prostě neobejdete. Nejde ale jen o znalost

Více

Seriál VII.IV Astronomické souřadnice

Seriál VII.IV Astronomické souřadnice Výfučtení: Astronomické souřadnice Představme si naši oblíbenou hvězdu, kterou chceme ukázat našemu kamarádovi. Kamarád je ale zrovna na dovolené, a tak mu ji nemůžeme ukázat přímo. Rádi bychom mu tedy

Více

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie EF A) Úvodní test

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie EF A) Úvodní test Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie EF A) Úvodní test 1. Ve kterém městě je pohřben Tycho Brahe? [a] v Kodani [b] v Praze [c] v Gdaňsku [d] v Pise 2. Země je od Slunce nejdál [a] začátkem ledna.

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 1/99 Výpočet zeměpisné šířky z měřených

Více

Korekce souřadnic. 2s [ rad] R. malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů. výška pozorovatele

Korekce souřadnic. 2s [ rad] R. malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů. výška pozorovatele OPT/AST L07 Korekce souřadnic malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů výška pozorovatele konečný poloměr země R výška h objektu závisí na výšce s stanoviště

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 5/ Určování astronomických zeměpisných

Více

Astronomická refrakce

Astronomická refrakce Astronomická refrakce Co mají společného zamilované páry, které v láskyplném objetí nedočkavě čekají na západ slunce a parta podivně vyhlížejících mladých lidí, kteří s teodolitem pobíhají po parku a hledají

Více

Datová analýza. Strana 1 ze 5

Datová analýza. Strana 1 ze 5 Strana 1 ze 5 (D1) Binární pulzar Astronomové díky systematickému hledání v posledních desetiletích objevili velké množství milisekundových pulzarů (perioda rotace 10 ms). Většinu těchto pulzarů pozorujeme

Více

Identifikace práce. Žák jméno příjmení věk. Bydliště ulice, č.p. město PSČ. Škola ulice, č.p. město PSČ

Identifikace práce. Žák jméno příjmení věk. Bydliště ulice, č.p. město PSČ. Škola ulice, č.p. město PSČ vyplňuje žák Identifikace práce Žák jméno příjmení věk Bydliště ulice, č.p. město PSČ vyplňuje škola Učitel jméno příjmení podpis Škola ulice, č.p. město PSČ jiný kontakt (např. e-mail) A. Přehledový test

Více

Eudoxovy modely. Apollónios (225 př. Kr.) ukázal, že oba přístupy jsou při aplikaci na Slunce ekvivalentní. Deferent, epicykl a excentr

Eudoxovy modely. Apollónios (225 př. Kr.) ukázal, že oba přístupy jsou při aplikaci na Slunce ekvivalentní. Deferent, epicykl a excentr Počátek goniometrie Eudoxovy modely Deferent, epicykl a excentr Apollónios (225 př Kr) ukázal, že oba přístupy jsou při aplikaci na Slunce ekvivalentní Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Goniometrie v antice 25

Více

KINEMATIKA. 17. ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI II. Frekvence, perioda. Mgr. Jana Oslancová VY_32_INOVACE_F1r0217

KINEMATIKA. 17. ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI II. Frekvence, perioda. Mgr. Jana Oslancová VY_32_INOVACE_F1r0217 KINEMATIKA 17. ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI II. Frekvence, perioda Mgr. Jana Oslancová VY_32_INOVACE_F1r0217 OPAKOVÁNÍ Otázka 1: Uveď příklady takových hmotných bodů, které vykonávají rovnoměrný pohyb

Více

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm 7. Gravitační pole a pohyb těles v něm Gravitační pole - existuje v okolí každého hmotného tělesa - představuje formu hmoty - zprostředkovává vzájemné silové působení mezi tělesy Newtonův gravitační zákon:

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Astronomie jednoduchými prostředky. Miroslav Jagelka

Astronomie jednoduchými prostředky. Miroslav Jagelka Astronomie jednoduchými prostředky Miroslav Jagelka 20.10.2016 Když si vystačíte s kameny... Stonehenge (1600-3100 BC) Pyramidy v Gize (2550 BC) El Castilllo (1000 BC) ... nebo s hůlkou Gnomón (5000 BC)

Více

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Kinematika hmotného bodu Kinematika = obor fyziky zabývající se pohybem bez ohledu na jeho příčiny Hmotný bod - zastupuje

Více

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1 PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY Maturitní otázka č. 1 TVAR ZEMĚ Geoid = skutečný tvar Země Nelze vyjádřit matematicky Rotační elipsoid rovníkový poloměr = 6 378 km vzdálenost od středu Země k pólu = 6 358 km

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

Česká astronomická společnost http://www.astro.cz http://olympiada.astro.cz Krajské kolo 2013/14, kategorie GH (6. a 7. třída ZŠ) Identifikace

Česká astronomická společnost http://www.astro.cz http://olympiada.astro.cz Krajské kolo 2013/14, kategorie GH (6. a 7. třída ZŠ) Identifikace Identifikace Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na /korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ Hodnocení A: (max. 25 b) B I: (max. 20 b) B

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné

Více

Část A strana A 1. (14 b) (26 b) (60 b) (100 b)

Část A strana A 1. (14 b) (26 b) (60 b) (100 b) Část A strana A 1 Bodové hodnocení vyplňuje komise! část A B C Celkem body (14 b) (26 b) (60 b) (100 b) Pokyny k testovým otázkám: U následujících otázek zakroužkuj vždy právě jednu správnou odpověď. Zmýlíš-li

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Krajské kolo 2014/15, kategorie CD (1. a 2. ročník SŠ) 2 I P = I 0 A g,

Krajské kolo 2014/15, kategorie CD (1. a 2. ročník SŠ) 2 I P = I 0 A g, příklad 1 Přenesme se do roku 1930 kdy bylo poprvé na fotografických deskách identifikované nové těleso sluneční soustavy později označované (až do roku 006) za devátou planetu s názvem Pluto. V okamžiku

Více

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností

Více

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2 Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu

Více

1.6.9 Keplerovy zákony

1.6.9 Keplerovy zákony 1.6.9 Keplerovy zákony Předpoklady: 1608 Pedagogická poznámka: K výkladu této hodiny používám freewareový program Celestia (3D simulátor vesmíru), který umožňuje putovat vesmírem a sledovat ho z různých

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici

Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici Kinematika Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici Základní pojmy Kinematika - popisuje pohyb tělesa, nestuduje jeho příčiny Klid (pohyb)

Více

plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na

plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností

Více

ČAS. Anotace: Materiál je určen k výuce zeměpisu v 6. ročníku základní školy. Seznamuje žáky s pohyby Země, počítáním času a časovými pásmy.

ČAS. Anotace: Materiál je určen k výuce zeměpisu v 6. ročníku základní školy. Seznamuje žáky s pohyby Země, počítáním času a časovými pásmy. ČAS Anotace: Materiál je určen k výuce zeměpisu v 6. ročníku základní školy. Seznamuje žáky s pohyby Země, počítáním času a časovými pásmy. Pohyby Země v minulosti si lidé mysleli, že je Země centrem Sluneční

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Obsah. 1 Sférická astronomie Základní problémy sférické astronomie... 8

Obsah. 1 Sférická astronomie Základní problémy sférické astronomie... 8 Obsah 1 Sférická astronomie 3 1.1 Základní pojmy sférické astronomie................. 3 1.2 Souřadnicové soustavy........................ 5 1.2.1 Azimutální souřadnicový systém............... 6 1.2.2 Ekvatoreální

Více

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady 1. Rychlosti vesmírných těles, např. planet, komet, ale i družic, se obvykle udávají v kilometrech za sekundu. V únoru jsme mohli v novinách

Více

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0 Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:

Více

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ODRAZ A LOM SVĚTLA 1) Index lomu vody je 1,33. Jakou rychlost má

Více

KINEMATIKA. 18. ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI III. Úhlová rychlost. Mgr. Jana Oslancová VY_32_INOVACE_F1r0218

KINEMATIKA. 18. ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI III. Úhlová rychlost. Mgr. Jana Oslancová VY_32_INOVACE_F1r0218 KINEMATIKA 18. ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI III. Úhlová rychlost Mgr. Jana Oslancová VY_32_INOVACE_F1r0218 Úkol 1: Roztřiď do dvou sloupců, které veličiny, popisující pohyb, jsou u všech bodů otáčejícího

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace ŘEŠENÍ

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace ŘEŠENÍ Identifikace ŘEŠENÍ Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ Hodnocení A:

Více

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83 Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179

Více

Rotace zeměkoule. pohyb po kružnici

Rotace zeměkoule. pohyb po kružnici Rotace zeměkoule pohyb po kružnici O čem to bude Spočítáme rychlost pohybu Země kolem Slunce z pohybu hmotného bodu po kružnici. 2/35 O čem to bude Spočítáme rychlost pohybu Země kolem Slunce z pohybu

Více

Systémy pro využití sluneční energie

Systémy pro využití sluneční energie Systémy pro využití sluneční energie Slunce vyzáří na Zemi celosvětovou roční potřebu energie přibližně během tří hodin Se slunečním zářením jsou spojeny biomasa pohyb vzduchu koloběh vody Energie

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Praktikum z astronomie 0. Měření refrakce. Zadání

Praktikum z astronomie 0. Měření refrakce. Zadání 20. února 2007 Praktikum z astronomie 0 Zadání Astronomická refrakce Úkolem je určit polohu zapadajícího nebo vycházejícího nebeského tělesa měřením a výpočtem. str. 48 Teodolitem změřte polohu známého

Více

Výfučtení: Vzdálenosti ve vesmíru

Výfučtení: Vzdálenosti ve vesmíru Výfučtení: Vzdálenosti ve vesmíru Není jednotka jako jednotka Na měření rozměrů nebo vzdáleností různých objektů je nutné zavést nějakou jednotku vzdálenosti. Jednou ze základních jednotek soustavy SI

Více

Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem

Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na /korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ

Více

Magnetické pole drátu ve tvaru V

Magnetické pole drátu ve tvaru V Magnetické pole drátu ve tvaru V K prvním úspěchům získaným Ampèrem při využívání magnetických jevů patří výpočet indukce magnetického pole B, vytvořeného elektrickým proudem procházejícím vodiči. Srovnáme

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace Identifikace Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ Hodnocení A: (max.

Více

Základní škola, Ostrava-Poruba, I. Sekaniny 1804, příspěvková organizace

Základní škola, Ostrava-Poruba, I. Sekaniny 1804, příspěvková organizace Základní škola, Ostrava-Poruba, I. Sekaniny 1804, příspěvková organizace Název projektu Zkvalitnění vzdělávání na ZŠ I.Sekaniny - Škola pro 21. století Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.1475

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Čas a kalendář. RNDr. Aleš Ruda, Ph.D.

Čas a kalendář. RNDr. Aleš Ruda, Ph.D. Čas a kalendář RNDr. Aleš Ruda, Ph.D. Obsah přednášky 1) Čas a způsoby jeho 2) Místní a pásmový čas 3) Datová hranice 4) Kalendář 1. Čas a způsoby jeho podstata určování času rotace Země - druhy časů:

Více

Finále 2018/19, kategorie GH (6. a 7. třída ZŠ) řešení. A Přehledový test. (max. 20 bodů)

Finále 2018/19, kategorie GH (6. a 7. třída ZŠ) řešení. A Přehledový test. (max. 20 bodů) A Přehledový test (max. 20 bodů) POKYNY: U každé otázky zakroužkuj právě jednu správnou odpověď. Pokud se spleteš, původní odpověď zřetelně škrtni a zakroužkuj jinou. Je povolena maximálně jedna oprava.

Více

DUM č. 20 v sadě. 12. Fy-3 Průvodce učitele fyziky pro 4. ročník

DUM č. 20 v sadě. 12. Fy-3 Průvodce učitele fyziky pro 4. ročník projekt GML Brno Docens DUM č. 20 v sadě 12. Fy-3 Průvodce učitele fyziky pro 4. ročník Autor: Miroslav Kubera Datum: 21.06.2014 Ročník: 4B Anotace DUMu: Prezentace je zaměřena na základní popis a charakteristiky

Více

Identifikace práce. B III: (max. 18b)

Identifikace práce. B III: (max. 18b) vyplňuje žák čitelně tiskacím písmem. Identifikace práce Žák identifikátor / jméno příjmení rok narození* (*nehodící se škrtni, identifikační číslo obdržíš po vyřešení části online) Pokud jsi část řešil(a)

Více

Vyřešením pohybových rovnic s těmito počátečními podmínkami dostáváme trajektorii. x = v 0 t cos α (1) y = h + v 0 t sin α 1 2 gt2 (2)

Vyřešením pohybových rovnic s těmito počátečními podmínkami dostáváme trajektorii. x = v 0 t cos α (1) y = h + v 0 t sin α 1 2 gt2 (2) Test a. Lučištník vystřelil z hradby vysoké 40 m šíp o hmotnosti 50 g rychlostí 60 m s pod úhlem 5 vzhůru vzhledem k vodorovnému směru. (a V jaké vzdálenosti od hradeb se šíp zabodl do země? (b Jaký úhel

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

CVIČNÝ TEST 29. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 29. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 29 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Smrk má vysokou klíčivost, jen 5 % semen nevyklíčí.

Více

Astronomie, sluneční soustava

Astronomie, sluneční soustava Základní škola Nový Bor, náměstí Míru 128, okres Česká Lípa, příspěvková organizace e mail: info@zsnamesti.cz; www.zsnamesti.cz; telefon: 487 722 010; fax: 487 722 378 Registrační číslo: CZ.1.07/1.4.00/21.3267

Více

CZECH REPUBLIC. Pravidla soutěže týmů

CZECH REPUBLIC. Pravidla soutěže týmů Pravidla soutěže týmů 1. Soutěže týmů se mohou účastnit týmy tří a více studentů. 2. Tým dostane sadu 5 úloh, na jejichž řešení má 60 minut. 3. O výsledku týmů rozhoduje celkový součet bodů za všech 5

Více

1.2 Sluneční hodiny. 100+1 příklad z techniky prostředí

1.2 Sluneční hodiny. 100+1 příklad z techniky prostředí 1.2 Sluneční hodiny Sluneční hodiny udávají pravý sluneční čas, který se od našeho běžného času liší. Zejména tím, že pohyb Slunce během roku je nepravidelný (to postihuje časová rovnice) a také tím, že

Více

HVĚZDNÁ OBLOHA, SOUHVĚZDÍ

HVĚZDNÁ OBLOHA, SOUHVĚZDÍ HVĚZDNÁ OBLOHA, SOUHVĚZDÍ Souhvězdí I. Souhvězdí je optické uskupení hvězd různých jasností na obloze, které mají přesně stanovené hranice Podle usnesení IAU je celá obloha rozdělena na 88 souhvězdí Ptolemaios

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

CVIČNÝ TEST 17. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 17. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 17 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Jsou dány funkce f: y = x + A, g: y = x B,

Více

Země třetí planetou vhodné podmínky pro život kosmického prachu a plynu Měsíc

Země třetí planetou vhodné podmínky pro život kosmického prachu a plynu Měsíc ZEMĚ V POHYBU Anotace: Materiál je určen k výuce přírodovědy v 5. ročníku ZŠ. Seznamuje žáky se základními informacemi o Zemi, jejích pohybech a o historii výzkumu vesmíru. Země Země je třetí planetou

Více

Petr Šafařík 21,5. 99,1kPa 61% Astrofyzika Druhý Třetí

Petr Šafařík 21,5. 99,1kPa 61% Astrofyzika Druhý Třetí 1 Petr Šafařík Astrofyzika Druhý Třetí 1,5 11 99,1kPa 61% Fyzikální praktika 11 Měření tloušt ky tenkých vrstev Tolanského metodou Průchod světla planparalelní deskou a hranolem Petr Šafařík 0. listopadu

Více

Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,2 m. Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,3 m

Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,2 m. Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,3 m Řešení úloh 1. kola 59. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (1,, 3, 4, 7), J. Jírů (5), P. Šedivý (6) 1.a) Je-li pohyb kuličky rovnoměrně zrychlený, bude pro uraženou dráhu

Více

CVIČNÝ TEST 7. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 7. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 7 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete přirozené číslo n tak, aby platilo: 3 + 12 + 27 = n. 1 bod 2 Doplňte

Více

1 Co jste o sluneèních hodinách nevìdìli?

1 Co jste o sluneèních hodinách nevìdìli? 1 Co jste o sluneèních hodinách nevìdìli? 1.1 Měsíční hodiny Drahomíra Pecinová Sluneční hodiny různých typů můžeme doplnit měsíčními hodinami a rozšířit tak jejich použití i na noci, kdy svítí Měsíc.

Více

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s.

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s. Řešení úloh. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů.a) Doba jízdy na prvním úseku (v 5 m s ): t v a 30 s. Konečná rychlost jízdy druhého úseku je v v + a t 3 m s. Pro rovnoměrně

Více

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. 5. GRAVITAČNÍ POLE 5.1. NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. Newtonův gravitační zákon Znění: Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami

Více

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5.1. Zadání úlohy 1. Určete velikost tíhového zrychlení pro Prahu reverzním kyvadlem.. Stanovte chybu měření tíhového zrychlení.

Více

ASTRONOMICKÉ ÚLOHY A WEBOVÉ ONLINE APLIKACE NA ASTRONOMIA

ASTRONOMICKÉ ÚLOHY A WEBOVÉ ONLINE APLIKACE NA ASTRONOMIA ASTRONOMICKÉ ÚLOHY A WEBOVÉ ONLINE APLIKACE NA ASTRONOMIA Ota Kéhar Oddělení fyziky Katedry matematiky, fyziky a technické výchovy ZČU v Plzni Abstrakt: V příspěvku představím několik webových online aplikací

Více

Řešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 3), V. Vícha (4)

Řešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 3), V. Vícha (4) Řešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas 1,, ), V. Vícha 4) 1.a) Mezi spodní destičkou a podložkou působí proti vzájemnému pohybu síla tření o velikosti

Více

Úvod do nebeské mechaniky

Úvod do nebeské mechaniky OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení

Více

Po stopách Isaaca Newtona

Po stopách Isaaca Newtona Po stopách Isaaca Newtona Lukáš Vejmelka, GOB a SOŠ Telč, lukasv@somt.cz Jakub Šindelář, Gymnázium Třebíč, sindelar.jakub@gmail.com Zuzana Černáková, Gymnázium Česká Lípa, cernakova.zuzka@gmail.com Hana

Více

Derivace goniometrických funkcí

Derivace goniometrických funkcí Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 4: Cavendishův experiment Datum měření: 3. 1. 015 Skupina: 8, čtvrtek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: 1 Zadání 1. DÚ: V přípravě odvoďte vztah pro

Více