l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky

Transkript

1 Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení α 1 na tělese Řešení: Kliku těleso volíme jako člen hnací Na něm jsou zadány všechny kinematické veličiny, tj ω 1 konst α 1 0, ϕ ω 1 t Ostatní členy těhlici 3 a vahadlo jsou hnané Nejprve řešíme úlohu polohy Pro nalezení zdvihové funkce ϕ f ϕ použijeme jak trigonometrickou, tak vektorovou metodu a Trigonometrická metoda Kinematickému schématu čtyřkloubového mechanismu přiřadíme podle obrázku dva obecné trojúhelníky A0C a ACB Řešením obecného A0C dostáváme pro úhel ϕ 1 tg ϕ 1 l sin ϕ l sin ϕ ϕ 1 arctg 1 l l cos ϕ l l cos ϕ Nyní aplikujeme kosínovou větu na ACB l 3 AC + l AC l cos ϕ cos ϕ AC + l l 3 AC l Velikost strany AC v A0C určíme pomocí kosínové věty použité na A0C, tedy AC l + l ll cos ϕ Dosazením do vztahu pro úhel ϕ platí l + l + l l3 ll cos ϕ ϕ arccos 3 l l + l ll cos ϕ 1

2 Hledaná zdvihová funkce ϕ f ϕ je potom dána vztahem l sin ϕ l + l + l l3 ll cos ϕ ϕ ϕ 1 ϕ + ϕ ϕ arctg + arccos l l cos ϕ l l + l ll cos ϕ Úhlovou rychlost ω 1 hnaného tělesa ω 1 dϕ kde p ϕ dϕ 1 + dϕ tělesa platí získáme jako dϕ1 ϕ + dϕ ϕ ω 1 p ϕ ω 1, 5 je převod 1 převodová funkce Pro úhlové zrychlení α 1 hnaného α 1 dω 1 p ϕ ω1, 6 kde p ϕ je derivace převodu převodová funkce Derivace si už proved te sami b Vektorová metoda Kinematickému schématu čtyřkloubového mechanismu přiřadíme podle obrázku l d m uzavřený vektorový mnohoúhelník čtyřúhelník 0ABC Zapíšeme jeho vektorovou rovnici 0A + AB + BC + C0 0 a tu rozepíšeme do dvou skalárních rovnic ve směrech souřadnicových os x a y, tedy x : l cos ϕ + l 3 cos ϕ 3 + l cos ϕ l 0, 7 y : l sin ϕ + l 3 sin ϕ 3 l sin ϕ 0 8 Vidíme, že jsme aplikací vektorové metody velice snadno a rychle sestavili soustavu dvou transcendentních rovnic Bohužel se nám z nich ale nepodaří explicitně vyjádřit hledanou zdvihovou funkci ϕ f ϕ Musíme tedy v tomto případě řešit úlohu polohy numericky pomocí metody postupného zpřesňování v kinematice iterační metoda Výklad numerické metody postupného zpřesňování v kinematice V každém časovém okamžiku t je natočení kliky známo, nebot ϕ ω 1 t Pro tuto polohu odhadneme letmou konstrukcí čtyřúhelníka 0ABC, viz obrázek, počáteční startovací hodnoty úhlů ϕ 0 3 a ϕ 0, které opravíme ϕ 1 3 ϕ ϕ 3, ϕ 1 ϕ 0 + ϕ 9 Zde ϕ 1 3, ϕ 1 jsou hledané zpřesněné hodnoty úhlů, ϕ 0 3, ϕ 0 jsou počáteční odhadnuté hodnoty a ϕ 3, ϕ jsou jejich hledané opravy Necht i 3,, potom sin ϕ 1 i sin ϕ 0 i + ϕ i sin ϕ 0 i cos ϕ i + sin ϕ i cos ϕ 0 i, 10 cos ϕ 1 i cos ϕ 0 i + ϕ i cos ϕ 0 i cos ϕ i sin ϕ i sin ϕ 0 i 11 Protože předpokládáme, že opravy ϕ i jsou velmi malé hodnoty, můžeme provést linearizaci, tj cos ϕ i 1, sin ϕ i ϕ i Dosazením do vztahů 10 a 11 dostáváme sin ϕ 1 i sin ϕ 0 i + ϕ i cos ϕ 0 i, 1 cos ϕ 1 i cos ϕ 0 i ϕ i sin ϕ 0 i 13

3 Vztahy 1 a 13 dále dosadíme pro i 3, do rovnic 7 a 8 l cos ϕ + l 3 cos ϕ 0 3 ϕ 3 l 3 sin ϕ l cos ϕ 0 ϕ l sin ϕ 0 l, 1 l sin ϕ + l 3 sin ϕ ϕ 3 l 3 cos ϕ 0 3 l sin ϕ 0 ϕ l cos ϕ Nyní se již jedná o soustavu dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé opravy ϕ 3 a ϕ Obecně lze numerické řešení úlohy polohy formulovat jako iterační proces, kde hledané řešení v k + 1-ní iteraci je definováno jako ϕ k+1 i ϕ k i + ϕ k i, pro k 0, 1,, i 3, 16 Hledaná oprava ϕ k i v k-té iteraci splňuje soustavu zapsanou v maticovém tvaru [ ] [ ] [ l3 sin ϕ k 3 l sin ϕ k k ϕ 3 l cos ϕ l 3 cos ϕ k 3 l cos ϕ k + l l 3 cos ϕ k 3 l cos ϕ k A k ϕ k } {{ } x k l sin ϕ l 3 sin ϕ k 3 + l sin ϕ k b k ] 17 Řešením soustavy algebraických rovnic A k x k b k dostaneme hledané opravy ϕ k i Iterační proces zastavíme, pokud ϕ k+1 max 3 ϕ k 3, ϕ k+1 ϕ k < ε, 18 kde ε > 0 je zvolená přesnost výsledku Tím máme vyřešenou úlohu polohy, tj v libovolném časovém okamžiku t známe ϕ ω 1 t a dále výchylky hnaných členů ϕ 3 a ϕ odpovídající poloze ϕ tělesa Rovnice 7 a 8 zderivujeme podle úhlu ϕ l sin ϕ l 3 sin ϕ 3 dϕ 3 l sin ϕ dϕ 0, 19 l cos ϕ + l 3 cos ϕ 3 dϕ 3 l cos ϕ dϕ 0 0 Pro konkrétní úhel ϕ a při znalosti úhlů ϕ 3 a ϕ z výše vyřešené úlohy polohy se jedná o soustavu dvou lineárních rovnic pro dva neznámé převody p 3 ϕ dϕ 3 a p ϕ dϕ, kterou zapíšeme v maticovém tvaru [ ] dϕ 3 [ ] l3 sin ϕ 3 l sin ϕ dϕ l sin ϕ 1 l 3 cos ϕ 3 l cos ϕ dϕ l cos ϕ dϕ }{{ } A y b 1 Řešením této soustavy rovnic Ay b 1 dostaneme hledané převody p 3 ϕ dϕ 3 a p ϕ dϕ 3

4 Další derivací rovnic 19 a 0 podle úhlu ϕ dostaneme dϕ3 l cos ϕ l 3 cos ϕ 3 l 3 sin ϕ 3 d ϕ 3 dϕ3 l sin ϕ l 3 sin ϕ 3 + l 3 cos ϕ 3 d ϕ 3 dϕ l cos ϕ l sin ϕ d ϕ dϕ + l sin ϕ l cos ϕ d ϕ 0, 0 Pro konkrétní úhel ϕ a při znalosti úhlů ϕ 3, ϕ a převodů dϕ 3 a dϕ z výše uvedeného postupu je to soustava dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé derivace převodů p 3ϕ d ϕ 3 a p ϕ d ϕ Tuto soustavu zapíšeme maticově [ l3 sin ϕ 3 l sin ϕ ] } l 3 cos ϕ 3 l cos ϕ {{ } A d ϕ 3 d ϕ z dϕ 3 dϕ dϕ dϕ l cos ϕ + l 3 cos ϕ 3 + l cos ϕ dϕ l sin ϕ + l 3 sin ϕ 3 3 l sin ϕ b Řešením této soustavy rovnic Ay b dostaneme neznámé derivace převodů p 3ϕ d ϕ 3 a p ϕ d ϕ Nyní již máme vše potřebné pro to, abychom mohli v libovolném časovém okamžiku t určit úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení α 1 členu Platí ω 1 dϕ dϕ ω 1, α 1 dω 1 d ϕ ω 1

5 Algoritmus výpočtu Numerická metoda postupného zpřesňování v kinematice je podle výše uvedeného algoritmu implementována ve výpočtovém prostředí MATLAB pro kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu viz přiložený programu ctyrkloubakm 5

6 Kinematické řešení mechanismu vačky s vahadlem Dáno: Cíl: h, r, e, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného mechanismu vačky s vahadlem, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 31 a úhlové zrychlení α 31 na tělese 3 Řešení: Excentricky uloženou kruhovou vačku těleso volíme jako člen hnací Na něm jsou zadány všechny kinematické veličiny, tj ω 1 konst α 1 0, ϕ ω 1 t Vahadlo 3 je hnaným členem Podobně jako u předchozího příkladu řešíme nejprve úlohu polohy Pro nalezení zdvihové funkce ϕ 3 f 3 ϕ použijeme jak trigonometrickou, tak vektorovou metodu a Trigonometrická metoda Kinematickému schématu mechanismu vačky s vahadlem přiřadíme podle obrázku dva trojúhelníky S0B a SAB Řešením obecného S0B dostáváme pro úhel ϕ 31 tg ϕ 31 e sin ϕ e sin ϕ ϕ 31 arctg 3 h e cos ϕ h e cos ϕ V případě pravoúhlého SAB platí r SB sin ϕ 3 Velikost strany SB v SAB určíme pomocí kosínové věty použité na S0B, tedy SB e + h eh cos ϕ Dosazením do vztahu dostaneme pro úhel ϕ 3 r ϕ 3 arcsin 5 e + h eh cos ϕ 6

7 Pro hledanou zdvihovou funkci ϕ 3 f 3 ϕ potom platí e sin ϕ r ϕ 3 ϕ 31 ϕ + ϕ 3 ϕ arctg + arcsin 6 h e cos ϕ e + h eh cos ϕ Úhlovou rychlost ω 31 hnaného tělesa 3 ω 31 dϕ 3 kde p 3 ϕ dϕ 31 + dϕ 3 tělesa 3 platí získáme jako dϕ31 ϕ + dϕ 3ϕ ω 1 p 3 ϕ ω 1, 7 je převod 1 převodová funkce Pro úhlové zrychlení α 31 hnaného α 31 dω 31 p 3ϕ ω1, 8 kde p 3ϕ je derivace převodu převodová funkce Derivace si proved te sami b Vektorová metoda Kinematickému schématu mechanismu vačky s vahadlem přiřadíme podle obrázku l d m uzavřený vektorový mnohoúhelník čtyřúhelník 0SAB Zapíšeme jeho vektorovou rovnici 0S+SA+AB+B0 0 a tu rozepíšeme do dvou skalárních rovnic ve směrech souřadnicových os x a y, tedy x : e cos ϕ + r sin ϕ 3 + AB cos ϕ 3 h 0, 9 y : e sin ϕ + r cos ϕ 3 AB sin ϕ Podobně jako u dříve řešeného čtyřkloubového mechanismu i zde vidíme, že jsme aplikací vektorové metody velice snadno a rychle sestavili soustavu dvou transcendentních rovnic pro neznámé ϕ 3 a AB Bohužel ani v tomto případě nelze hledanou zdvihovou funkci ϕ 3 f 3 ϕ vyjádřit explicitně Musíme tedy úlohu polohy opět řešit numericky pomocí metody postupného zpřesňování v kinematice, jejíž princip byl podrobně popsán u kinematického řešení čtyřkloubového mechanismu 7