8. Implikácia Implikáciu B A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna. Implikáciu B' A' nazývame obmenou implikácie A B. Implikácia má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako jej obmena. Pravdivostné hodnoty implikácie, obrátenej implikácie a obmeny implikácie nájdeme v nasledujúcej tabuľke pravdivostných hodnôt. implikácia obmena implikácie obrátená implikácia A B A B A B B ' A' B A 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Implikácia: Ak je dnes utorok, potom máme školu až do šiestej. Obmena: Ak nemáme školu až do šiestej, potom nie je dnes utorok. Obrátená implikácia: Ak máme školu až do šiestej, potom je dnes utorok. Implikácia: Ak 3 delí 9, potom 6 delí 5. Obmena: Ak 6 nedelí 5, potom 3 nedelí 9. Obrátená implikácia: Ak 6 delí 5, potom 3 delí 9. Implikácia: Ak nosím okuliare, potom som ďalekozraký. Obmena: Ak nie som ďalekozraký, potom nenosím okuliare. Obrátená implikácia: Ak som ďalekozraký, potom nosím okuliare. Implikácia: Ak Dunaj tečie cez Bratislavu, potom tvorí časť hranice s Maďarskom. Obmena: Ak Dunaj netvorí časť hranice s Maďarskom, potom netečie cez Bratislavu. Obrátená implikácia: Ak Dunaj tvorí časť hranice s Maďarskom, potom tečie cez Bratislavu. 40
9. Tautológie a kontradikcie Tautológiou nazývame každú formulu zloženú zo znakov p, q,... a logických spojok, ktorá sa zmení na pravdivý výrok, keď za p, q,... dosadíme akýkoľvek výrok (pravdivý alebo nepravdivý. Kontradikciou nazývame každú formulu zloženú zo znakov p, q,... a logických spojok, ktorá sa zmení na nepravdivý výrok, keď za p, q,... dosadíme akýkoľvek výrok (pravdivý alebo nepravdivý. Formulu zloženú zo znakov p, q,... a logických spojok nazývame splniteľnou, ak sa zmení na pravdivý výrok pri vhodnom dosadení výrokov za p, q,.... Teda každá takáto formula, ktorá nie je kontradikciou, je splniteľná. Nech p, q, r sú ľubovoľné výroky. Potom nasledujúce formuly sú tautológie. 1. ( p q ( q p ( komutatívny zákon,. ( p q ( q p ( komutatívny zákon, p q r p q r ( asociatívny zákon, 3. ( ( p q r p q r ( asociatívny zákon, 4. ( ( 5. p ( q r ( p q ( p r ( distributívny zákon, 6. p p ' ( platí výrok alebo jeho negácia, 7. ( p p' 0 ( výrok a jeho negácia neplatia zároveň, 8. ( p q ' ( p' q' 9. ( p q ' ( p' q' (de Morganovo pravidlo pravidlo pre negáciu konjunkcie, (de Morganovo pravidlo pravidlo pre negáciu disjunkcie, 10. ( p q ( q r ( p r ( tranzitívnosť implikácie, 11. ( p q ( q' p' ( obmena implikácie, 1. ( p q ( p' q (implikácia je pravdivá, ak neplatí predpoklad alebo platí tvrdenie, 13. ( p q ' ( p q' (pravidlo pre negáciu implikácie, 14. ( p q ( p q ( q p ( zápis ekvivalencie ako dvojitej implikácie, 41
15. ( p q ' ( p q' ( p' q (pravidlo pre negáciu ekvivalencie, Okrem týchto formúl existuje ešte mnoho iných tautológií. To, či formula ( p q ( q p je tautológiou, môžeme overiť pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt. p q p q q p ( p q ( q p 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Z vytieňovaného stĺpca vidíme, že bez ohľadu na pravdivosť výrokov p, q je formula ( p q ( q p vždy pravdivá. Teda formula ( p q ( q p je tautológiou. Nech p, q sú ľubovoľné výroky. Potom nasledujúce formuly sú kontradikcie. 1. p p ' (výrok a jeho negácia nemôže platiť zároveň,. ( p p' 0, 3. ( p q ( p' q' 4. ( p q ( p' q',. Okrem týchto formúl existuje ešte mnoho iných kontradikcií. To, či formula ( p q ( p' q' je kontradikciou, môžeme overiť pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt. p q p q p q p ' q ' ( p q ( p' q' 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 Z vytieňovaného stĺpca vidíme, že bez ohľadu na pravdivosť výrokov p, q je formula ( p q ( p' q' vždy nepravdivá. Teda formula ( p q ( p' q' je kontradikciou. 4
10. Dôkazy Matematika sa líši od mnohých iných vied najmä tým, že všetky svoje tvrdenia vždy podrobne dokazuje. Nezaoberá sa iba otázkou Ako?, ale najmä otázkou Prečo?. Na rozdiel od niektorých iných vied, nič nepovažuje za samozrejmé alebo očividné. Pri budovaní matematickej teórie si na začiatku zvolíme tvrdenia, ktorých platnosť nedokazujeme. Tieto tvrdenia nazývame axiómy. Príkladom axiómy v geometrii je napríklad výrok Danými dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka.. Okrem toho si na začiatku zvolíme určitú množinu základných pojmov - v geometrii je to napríklad bod. Z axióm potom postupne vybudujeme celú matematickú teóriu. Vytvoríme definície, ktoré pomenovávajú určité objekty alebo ich vlastnosti a vety, ktoré charakterizujú vzťahy medzi objektmi a ich vlastnosťami. Všetky matematické vety, ktoré v teórii vytvoríme, musíme dokázať pomocou axióm a už predtým dokázaných viet. Matematické vety by sme mohli rozdeliť do dvoch skupín: 1. Jednoduché výroky napríklad Uhlopriečky v štvorci sú navzájom kolmé.,. Výroky v tvare implikácie či ekvivalencie napríklad Ak je ciferný súčet prirodzeného čísla deliteľný tromi, potom toto číslo je deliteľné tromi.. 10.1 Priamy dôkaz Priamy dôkaz matematického výroku spočíva v tom, že z už dokázaných výrokov (viet a axióm dokážeme tento výrok po konečnom počte korektných úsudkov. Príklad na priamy dôkaz nájdeme v nasledujúcich dvoch úlohách. Úloha: Dokážte, že Riešenie: 1 3 < 6. 1 1 3+ 3+ 3+ = = = = 3+ 9 8 ( 3 3 3+ 3 Pretože Teda 3 <, dostaneme 1 3 < 6. 1 3 3 3 3 3 6 3 = + < + = + =. 43
Úloha: Ak 3 delí n, potom 9 delí n 3. Dokážte! Riešenie: Ak 3 delí n, potom existuje také celé číslo k, pre ktoré platí n= 3. k Potom n 3 ( 3k 3 7k 3 9 ( 3k 3 = = =, z čoho vyplýva, že 9 delí n 3. 10. Nepriamy dôkaz Nepriamy dôkaz jednoduchého výroku T vychádza z predpokladu, že výrok T je nepravdivý, z čoho odvodíme očividne nepravdivé tvrdenie. Pretože odvodené tvrdenie je nepravdivé, musí byť nepravdivý aj pôvodný predpoklad o nepravdivosti tvrdenia T. Teda tvrdenie T je pravdivé. Nepriamy dôkaz implikácie A B uskutočníme tak, že priamym spôsobom dokážeme obmenu implikácie B ' A'. Pretože táto obmena má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako implikácia A B, je pravdivá nielen obmena, ale aj implikácia A B. Príklad na nepriamy dôkaz nájdeme v nasledujúcej úlohe. Úloha: Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla n platí: Ak 5 nedelí n. Riešenie: Vytvoríme obmenu implikácie: Ak 5 delí n, potom 5 delí Túto obmenu dokážeme priamo. n. Ak 5 delí n, potom existuje také celé číslo k, pre ktoré platí n= 5. k n = 5k = 5 k, z čoho vyplýva, že 5 delí n. Potom ( Pretože obmena implikácie je pravdivá, je pravdivá aj pôvodná implikácia. Teda pre všetky prirodzené čísla n platí: Ak 5 nedelí n, potom 5 nedelí n. n, potom 5 nedelí 10.3 Iné spôsoby používané pri dôkazoch Všeobecný alebo existenčný výrok možno vyvrátiť už jedným jediným príkladom. Takýto príklad nazývame protipríklad. 44
Napríklad francúzsky matematik A. Legendre (175-1833 sa domnieval, že neexistujú také 3 3 p r prirodzené čísla p, q, r, s, pre ktoré platí + = 6. q s Túto hypotézu vyvrátil protipríkladom anglický matematik H. Dudeney (1857-1931, ktorý 3 3 17 37 zistil, že + = 6. 1 1 n ( P. Fermat (1601-1655 sa domnieval, že všetky čísla tvaru + 1 sú prvočísla. Avšak L. Euler (1707-1783 našiel ako protipríklad rozklad čísla 5 ( 3 + 1 = + 1 = 49496797 = 641 6700417. Jeden z najstarších existenčných dôkazov poznal už Euklides. Vedel dokázať, že prvočísel je nekonečne veľa. Úloha: Dokážte, že prvočísel je nekonečne veľa. Riešenie: Použijeme nepriamy dôkaz. Budeme preto vychádzať z tvrdenia, že prvočísel je konečne veľa. Sú to p1, p, p3,..., p n. Ukážeme, že za tohto predpokladu by aj číslo p1 p... 1 p3 p n + bolo prvočíslo. Číslo p1 p... 1 p3 p n + očividne nie je deliteľné žiadnym z čísel p1, p, p3,..., p n, pretože po delení týmito číslami dáva zvyšok 1. Teda číslo p1 p... 1 p3 p n + je prvočíslom, čo je v spore s predpokladom, že všetky prvočísla sú p1, p, p3,..., p n. Nakoľko negácia výroku neplatí, platí výrok Prvočísel je nekonečne veľa. Uvedomme si, že predchádzajúci dôkaz dokazuje iba to, že prvočísel je nekonečne veľa, ale nedáva nám návod na vytvorenie ľubovoľne veľkého prvočísla. Napríklad číslo 3 5 7 11 13 + 1 = 30031, ktoré vznikne súčinom prvých 6 prvočísel zväčšeným o 1, nie je prvočíslo, pretože sa dá zapísať v tvare 30031 = 59 509. Dirichletov princíp nám hovorí, že ak máme utriediť n objektov do m tried, pričom n>m, potom exuistuje taká trieda, v ktorej sú aspoň dva objekty. 45
Úloha: Dokážte, že ak je v miestnosti s rozmermi 10 x 10 metrov 30 osôb, potom aspoň dve osoby sú od seba vzdialené menej ako 3 metre. Riešenie: Miestnosť s rozmermi 10x10 metrov rozdelíme na štvorce so stranou dĺžky metre. Týchto štvorcov je 5. Pretože osôb je 30, musia sa aspoň dve osoby nachádzať v jednom štvorci, a teda ich vzdialenosť je menšia ako uhlopriečka štvorca so stranou metre. Podľa Pytagorovej vety pre uhlopriečku štvorca so stranou metre platí u u u u = + = 8 = 8,83 metra. Teda v miestnosti skutočne existujú aspoň dve osoby, ktoré sú od seba vzdialené menej ako 3 metre. Uvedomme si, že predchádzajúci dôkaz nám nevraví, ktoré sú to osoby. Dokazuje iba to, že taká dvojica existuje. 10.4 Dôkaz matematickou indukciou Matematickou indukciou dokazujeme výroky typu Pre každé prirodzené číslo n N platí výrok V ( n. Pri dôkaze matematickou indukciou používame nasledujúci postup: 1. Dokážeme, že platí V ( 1, teda že výrok V je pravdivý pre n = 1.. Dokážeme, že k N : V ( k V ( k+ 1, teda ak platí V ( k, potom platí aj ( 1 V k+. 3. Vyslovíme záver n N : V( n, teda pre každé prirodzené číslo n platí výrok ( V n. Úloha: Dokážte, že pre súčet prvých n nepárnych čísel platí 1+ 3+ 5 + 7 +... + (n 1 = n. Riešenie: Použijeme dôkaz matematickou indukciou. 1. Nech n=1. Potom 1= 1. Teda tvrdenie platí pre n=1.. Predpokladajme, že tvrdenie platí pre n=k, teda že 1+ 3+ 5 + 7 +... + (k 1 = k. 46
Dokážeme, že potom platí tvrdenie aj pre n=k+1, teda že 1+ 3+ 5 + 7 +... + ( k+ 1 1 = ( k+ 1 Najprv upravíme ľavú stranu:. ( k ( k ( k ( k 1+ 3+ 5 + 7 +... + + 1 1 = 1+ 3+ 5 + 7 +... + + 1 = 1+ 3+ 5 + 7 +... + 1 + + 1 Použijeme predpoklad, podľa ktorého 1+ 3+ 5 + 7 +... + (k 1 = k. ( k ( k k ( k k k ( k 1+ 3+ 5+ 7 +... + 1 + + 1 = + + 1 = + + 1= + 1 Teda 1+ 3+ 5 + 7 +... + ( k+ 1 1 = ( k+ 1. 3. Pre súčet prvých n nepárnych čísel platí 1+ 3+ 5 + 7 +... + (n 1 = n. Test č. 4 V nasledujúcom teste je 30 úloh z oblasti implikácií, tautológií, kontradikcií a dôkazov v matematike. Na nich si prakticky precvičíme: - implikácie, obrátené implikácie, obmeny implikácií, - určovanie, či daná výroková forma je tautológiou, kontradikciou, či splniteľnou, - rozdiel medzi definíciou a vetou v matematike, - základné metódy dokazovania v matematike. Test č. 4 nájdeme aj v elektronickej verzii v súbore 4.exe. 1. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obmenu implikácie A B. a B' A' b B A c A B ' d A B '. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje negáciu implikácie A B. a B' A' b B A c A B ' d A B ' 47
3. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obrátenú implikáciu k implikácii A B. a B' A' b B A c A B ' d A B ' 4. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obmenu implikácie B A. a A' B ' b A B c A B ' d A' B 5. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje negáciu implikácie B A. a A' B ' b A B c A B ' d A' B 6. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obrátenú implikáciu k implikácii B A. a A' B ' b A B c A B ' d A' B 7. Priraďte implikácie k ich negáciám. a A B ' 1. A B b A' B '. B' A c A' B 3. A' B ' d A B 4. A B ' 8. Priraďte k sebe implikácie s rovnakou pravdivostnou hodnotou. a B' A' 1. A B 48
b A' B. B' A c B A 3. A B ' d B A' 4. A' B ' 9. Priraďte formuly k ich vzťahu k implikácii B A. a obmena 1. A B ' b negácia. A B c obrátená implikácia 3. B A' d negácia obrátenej implikácie 4. A' B ' 10. Priraďte implikácie k ich negáciám. a Bude pekne a nepôjdem hrať tenis. 1. Ak bude pekne, nepôjdem hrať tenis. b Nebude pekne a pôjdem hrať tenis.. Ak bude pekne, pôjdem hrať tenis. c Bude pekne a pôjdem hrať tenis. 3. Ak nepôjdem hrať tenis, bude pekne. d Nebude pekne a nepôjdem hrať tenis. 4. Ak nebude pekne, nepôjdem hrať tenis. 11. Priraďte k sebe implikácie s rovnakou pravdivostnou hodnotou. a Ak nebude pekne, pôjdem hrať tenis. 1. Ak bude pekne, pôjdem hrať tenis. b Ak pôjdem hrať tenis, nebude pekne.. Ak nebude pekne, nepôjdem hrať tenis. c Ak pôjdem hrať tenis, bude pekne. 3. Ak bude pekne, nepôjdem hrať tenis. d Ak nepôjdem hrať tenis, nebude pekne. 4. Ak nepôjdem hrať tenis, bude pekne. 1. Priraďte formuly podľa ich vzťahu k implikácii Ak budeš dobrý, dostaneš cukríky. a obrátená implikácia 1. Budeš dobrý a nedostaneš cukríky. b negácia. Ak dostaneš cukríky, budeš dobrý. c negácia obrátenej implikácie 3. Nebudeš dobrý a dostaneš cukríky. d obmena 4. Ak nedostaneš cukríky, nebudeš dobrý. 13. Priraďte formuly podľa ich vzťahu k implikácii Ak nebudeš dobrý, zostaneš doma. a obmena 1. Budeš dobrý a zostaneš doma. b negácia. Ak nezostaneš doma, budeš dobrý. c obrátená implikácia 3. Nebudeš dobrý a nezostaneš doma. d negácia obrátenej implikácie 4. Ak zostaneš doma, nebudeš dobrý. 49
14. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q ( q p je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 15. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q' ( p' q' je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 16. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q ' ( p' q' je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 17. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q'' ( p q je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 18. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula (( p q ( p r ( q r je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 19. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p ( q r ( q r je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 0. Označte matematické tvrdenia, ktoré majú tvar implikácie či ekvivalencie. a Číslo 1 má práve šesť deliteľov. b Súčet veľkostí uhlov v päťuholníku je 540. c Ak je trojuholník pravouhlý, potom pre dĺžky jeho strán platí Pytagorova veta. 50
d Prirodzené číslo je deliteľné dvoma, ak končí číslicou 0,, 4, 6, 8. 1. Označte matematické tvrdenia, ktoré majú tvar implikácie či ekvivalencie. a Štvoruholník je štvorec práve vtedy, ak má všetky strany rovnakej dĺžky. b Štvoruholník je štvorec práve vtedy, ak má všetky uhly pravé. c Kocka má práve 1 hrán. d Dĺžka telesovej uhlopriečky v kocke je väčšia ako dĺžka jej stenovej uhlopriečky.. Označte tie výroky, ktoré môžu predstavovať definície. a Štvorec je štvoruholník, ktorý má všetky strany rovnakej dĺžky a všetky vnútorné uhly pravé. b Aritmetická postupnosť je taká postupnosť, pri ktorej rozdiel ľubovoľných dvoch po sebe nasledujúcich členov je konštantný. c Číslo 1 má práve šesť rôznych kladných deliteľov. d Všetky prvočísla sú párne. 3. Označte tie výroky, ktoré môžu predstavovať definície. a Binárna relácia z A do B je ľubovoľná podmnožina karteziánskeho súčinu AxB. b Pravidelný štvorboký ihlan má osem hrán. c Číslo 1 je zložené číslo. d Prvočíslo je také prirodzené číslo, ktoré má práve dva rôzne kladné delitele. 4. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 51
5. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 6. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 7. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. 5
a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 8. Označte pravdivé tvrdenie. a Kontrapríklady možno využiť pri dôkaze algebraických tvrdení, ale nie geometrických. b Kontrapríklad predstavuje prvý krok pri dôkaze matematickou indukciou. c Pomocou kontrapríkladu dokazujeme platnosť všeobecných výrokov. d Pomocou kontrapríkladu možno vyvrátiť platnosť všeobecného výroku. 9. Označte tvrdenia, pri dôkaze ktorých je výhodné využiť Dirichletov princíp. a V Bratislave žijú aspoň dvaja ľudia, ktorí sa narodili v ten istý deň. b Ak je trojuholník pravouhlý, potom obsah štvorca zostrojeného nad jeho preponou sa rovná súčtu obsahu štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami. c Ak v telocvični s rozmermi 30 x 30 metrov cvičí 91 ľudí, tak vzdialenosť aspoň dvoch z nich je menej ako 1,5 metra. d Prvočíselných dvojčiat je nekonečne veľa. 30. Ak by sme dokázali, že žiadne dve prvočíselné dvojčatá nie sú väčšie ako číslo 9999999999 ( 9999999999 9999999999, znamenalo by to, že: a neexistujú žiadne prvočíselné dvojčatá, b prvočíselných dvojčiat je konečne veľa, c existujú iba dve prvočíselné dvojčatá, d prvočíselných dvojčiat je nekonečne veľa. 1. a. d 3. b 4. a 5. d 6. b Test č. 4 správne riešenia 7. a1,b,c3,d4 13. a,b3,c4,d1 19. 11110111 8. a1,b,c4,d3 14. 1111 0. cd 9. a4,b3,c,d1 15. 1001 1. ab 10. a,b4,c1,d3 16. 1011. ab 11. a4,b3,c,d1 17. 1101 3. ad 1. a,b1,c3,d4 18. 11110111 4. a 5. b 6. c 7. d 8. d 9. ac 30. b 53