Odhad nejistoty chemických měření se započtením vychýlení

Metodický list 16 EURACHEM-ČR 2016 Editor: Zbyněk Plzák (plzak@iic.cas.cz) Odhad nejistoty chemických měření se započtením vychýlení Odhad nejistoty měření obvykle vychází z předpokladu, že pokud měřicí postup vykazuje metodicky neodstranitelnou systematickou chybu-vychýlení, jsou výsledky měření na toto vychýlení korigovány, přičemž nejistota určení hodnoty korekce je započtena jako jedna z integrálních složek celkové kombinované nejistoty. V analytických a zdravotnických laboratoří se relativně často setkáváme se situací, kdy nemáme takovou detailní znalost charakteru vychýlení a tak spolehlivý odhad jeho hodnoty, abychom si mohli být jisti, že provedení korekce přiblíží každý individuální výsledek skutečně k pravé hodnotě měření a že korekcí dojde ke snížení nejistoty měření. V takových případech je možno volit postup, že namísto korekce výsledku měření mu přiřadíme nejistotu, kterou zvětšíme započtením vychýlení. Tento metodický list pojednává o způsobech jak a proč toto učinit a na závěr uvádí příklad výpočtu. Úvod Některé měřicí postupy vykazují systematickou chybu, vychýlení (v anglosaské literatuře bias), které definuje Mezinárodní metrologický slovník VIM3 [1] jako hodnotu odhadu systematické chyby měření, tedy složky chyby měření, která v opakovaných měřeních zůstává konstantní nebo se mění předvídatelným způsobem. Ke kompenzaci známé systematické chyby měření může být aplikována korekce. Vychýlení bias měření se vyhodnocuje v rámci validační studie typicky porovnáním výsledků s měřeními provedenými měřicím postupem vyšší metrologické úrovně, analýzou vhodných certifikovaných referenčních materiálů, účastí laboratoře v mezilaboratorních porovnáváních a pomocí experimentálních studií s přídavky, ev. i měřením slepých pokusů. Podrobně popisuje způsob vyhodnocování nejistoty měření chemických měření příručka Eurachem [2], která, stejně jako základní dokument ISO GUM (Guide to the expression of uncertainty in measurement) [3], obecně vyžaduje, aby byly korigovány všechny poznané významné systematické vlivy. Pro rozhodování, zda může být známé vychýlení důvodně zanedbáno, se doporučuje porovnat vychýlení s odhadnutou rozšířenou kombinovanou nejistotou. Je-li vychýlení ve srovnání s kombinovanou nejistotou významné, je nutno vychýlení eliminovat (např. upravením kalibrace, případně postupu analýzy) nebo provést korekci a zahrnout příspěvek nejistoty korekce do celkové kombinované nejistoty. Jinou alternativou je uvést pozorované vychýlení a jeho nejistotu spolu s výsledkem měření a jeho nejistotou. Poslední způsob je obecný, korektní pro většinu případů, poskytuje dostatek informací pro hodnocení výsledku analýzy, ale přenáší břímě hodnocení výsledku na zákazníka, který často nemá kvalifikaci posuzovat souvislosti měřicího procesu a očekává dodání jediné hodnoty s přidruženou nejistotou. V analytických a zdravotnických laboratořích se poměrně často setkáváme se situací, že víme, že daný měřicí postup vykazuje statisticky významné vychýlení (vzhledem k standardní nejistotě jeho určení), ale nemáme dost poznatků, abychom mohli ospravedlnit provedení korekce u všech výsledků. Je to například v případech, že vychýlení bylo vyhodnoceno pomocí jediného referenčního materiálu, který je k dispozici, přičemž měřicí postup je validován pro různé matrice daného typu vzorku a široké koncentrační rozmezí. Podobná situace může nastávat u studií s přídavkem a v těch případech, kdy zjištěné vychýlení je statisticky významné, ale relativně malé, nebo precizní studie závislosti vychýlení oddíl PUBLIKACE

na koncentraci a matrici by si vyžadovala neúměrné časové a finanční náklady. V takových případech může laboratoř zvolit řešení, že zahrne příspěvek vychýlení zvýšením hodnoty nejistoty měření, kterou bude uvádět u každého výsledku. Neexistuje dosud univerzální harmonizovaný postup, jak v takovém případě postupovat, a tento metodický list by měl laboratořím pomoci ve výběru vhodné metodiky z těch, které byly publikované v odborné literatuře. Tento metodický list hovoří o koncentraci jako měřené veličině, uváděný postup lze však analogicky použít i pro další veličiny měřené v analytických i zdravotnických laboratořích. Způsoby zahrnutí nekorigovaného vychýlení do rozšířené nejistoty měření V literatuře nalezneme řadu návodů jak modifikovat rozšířenou nejistotu namísto korekce výsledku na významné vychýlení, žádný z nich není možné považovat za ideální. Uvádíme proto všechny v literatuře často citované postupy. Pro pochopení postupu doporučeného tímto metodickým listem se však stačí seznámit pouze s metodami RSSu a Ue(95%). Názvy vypočtených intervalů a symbolika vychází z literatury. Je rozlišováno názvem i symbolem, zda se jedná o normální rozšířenou nejistotu U (nejistota dle [3]), nebo o rozšířenou nejistotu modifikovanou vychýlením. Modifikace rozšířené nejistoty spočívá až na jednu výjimku ve zvětšení intervalu pokrytí, a to tím větším, čím větší je vychýlení. Tím se zvětšuje pravděpodobnost pokrytí, která v případě intervalu vymezeného rozšířenou nejistotou kolem vychýleného (nekorigovaného) výsledku s rostoucím vychýlením klesá (viz tab. 1). Metody se liší především účelností tohoto zvětšení z hlediska udržení předpokládané pravděpodobnosti pokrytí, což bývá obvykle 95 %. (Podle VIM [1] je pravděpodobnost pokrytí definována jako pravděpodobnost, že soubor pravých hodnot veličiny měřené veličiny je obsažen ve specifikovaném intervalu pokrytí.) Při výpočtu vycházíme z nalezené hodnoty vychýlení (b), z celkové standardní nejistoty (u c) kombinované ze všech složek včetně standardní nejistoty vychýlení (u b), případně z rozšířené nejistoty (U), vypočtené z u c vynásobením příslušným koeficientem rozšíření (k). Metoda SUMU Metoda počítá jinak pravou (horní) stranu (U +) a jinak levou (dolní) stranu (U -) intervalu. Výpočet probíhá různě podle velikosti vychýlení vzhledem k nejistotě U [4-6]. Pokud je rozšířená nejistota větší než absolutní hodnota b, tj. U > b, hodnoty rozšířené nejistoty modifikujeme takto: pravá strana levá strana U + = U b U = U + b Pokud je rozšířená nejistota menší než absolutní hodnota b či rovna, tj. U b, hodnoty rozšířené nejistoty modifikujeme takto: Při kladném vychýlení platí pravá strana U + = 0 levá strana U = U + b Při záporném vychýlení platí pravá strana U + = U b levá strana U = 0 Při výpočtech musíme použít vychýlení s nalezeným znaménkem. Při výsledcích vychýlených k vyšším hodnotám je kladné a při vychýlení k nižším hodnotám je záporné, tzn., že při odečítání záporného vychýlení vlastně přičítáme jeho absolutní hodnotu. Ze vzorců je patrno, že určený interval není rozložen symetricky kolem naměřené nekorigované hodnoty. Nejistota SUMU je počítána tak, že v případě U > b je vymezený interval pokrytí vlastně totožný s normálním intervalem definovaným rozšířenou nejistotou kolem korigovaného výsledku, kolem nějž 2

je tedy rozložen symetricky. Pravděpodobnost pokrytí je v tomto případě rovna předpokládané pravděpodobnosti odpovídající použité hodnotě k. De facto jsou namísto naměřeného výsledku korigovány strany (pološířky) intervalu. Pokud platí, že U b, je interval na jedné straně vymezen přímo naměřeným výsledkem a na druhé je pro zajištění pravděpodobnosti pokrytí rozšířená nejistota zvětšována právě o vychýlení. Pravděpodobnost pokrytí je v tomto případě vyšší než předpokládaná dle použité hodnoty k. Tento interval je ze všech modifikovaných intervalů nejužší, z hlediska účelnosti šířky vzhledem k žádané pravděpodobnosti pokrytí je tedy nejvhodnější. Nedostatkem intervalu, především při dalším matematickém použití, je jeho asymetrie vzhledem k naměřenému nekorigovanému výsledku, takže bývá pro uživatele těžko přijatelný. Metoda U(bias) Pro interval je vedle označení U(bias) [5] používáno také označení SUMU Max [6]. Rozšířená nejistota je zvětšována prostým připočtením absolutní hodnoty vychýlení: U(bias) = U + b Metoda je uvedena např. v IUPAC harmonised protocol [7] a také s výhradami v ISO GUM [3]. Tento interval pokrytí je symetrický kolem naměřeného nekorigovaného výsledku, větší než v případě intervalu vymezeného pouze rozšířenou nejistotou kolem korigovaného výsledku a pravděpodobnost pokrytí je vyšší než předpokládaná dle použité hodnoty k. Metoda RSSU Tento typ rozšířené nejistoty modifikované vychýlením počítáme dle vztahu [4-6]: U(RSSU) = U 2 + b 2 = k u 2 c + (b k) 2 Je založena na principu, že v případě nevýznamného vychýlení je interval vymezený kolem nekorigovaného výsledku pouze rozšířenou nejistotou považován za dostatečně pokrývající (tento předpoklad ale nemusí platit, viz dále). Stačí tedy pro dané nalezené vychýlení započítat do celkové kombinované nejistoty takovou standardní nejistotu vychýlení, při níž by bylo vychýlení testováno jako nevýznamné. V případě, že koeficient rozšíření k budeme považovat také za kritickou hodnotu testu, započtená standardní nejistota vychýlení by byla (b k). Tato složka je při výpočtu kombinována v celkové nejistotě vedle vlastní nejistoty vychýlení; je zde chápána jako zvětšení za neprovedenou korekci (nejde o dvojí započítávání obdobné nejistoty). I tento interval je symetrický kolem naměřeného nekorigovaného výsledku, hned po intervalu SUMU je nejméně zvětšený proti intervalu vymezenému pouze rozšířenou nejistotou. Jeho nedostatkem je, že pravděpodobnost pokrytí nepřijatelně klesá pod předpokládanou hodnotu, pokud je vychýlení srovnatelné s celkovou kombinovanou nejistotou či větší (např. pro b u c = 1 je pravděpodobnost pokrytí jen 90 místo 95 %). Metoda RSSu Tento typ rozšířené nejistoty modifikované vychýlením počítáme dle vztahu [4-6]: U(RSSu) = k u c 2 + b 2 Tato metoda je uvedena např. v dokumentu Nordtest technical report [8]. Takto vymezený interval je symetrický kolem naměřeného nekorigovaného výsledku. Rozšířená nejistota je modifikována tak, že je vychýlení započítáváno kvadraticky, jako by se jednalo o standardní nejistotu, tj. o míru rozptýlení náhodnými vlivy a nikoliv o míru systematického posunu výsledků. Z toho důvodu pak zvětšení intervalu proti vymezení pouze rozšířenou nejistotou silně narůstá, když je vychýlení zřetelně větší než celková kombinovaná nejistota; pro b > 1,3u c je interval RSSu nejširší ze všech uváděných. Pravděpodobnost pokrytí je vyšší než předpokládaná dle použité hodnoty k. Metoda U e(95%) Tato metoda počítá interval vymezený symetricky kolem naměřeného nekorigovaného výsledku tak, aby pravděpodobnost pokrytí korigované hodnoty byla právě 95 % [9]: 3

U e (95%) = U + E b Koeficient E, který udává, jak má být pološířka intervalu zvětšena nalezeným vychýlením b, závisí na poměru b u c. Hodnoty koeficientu E jsou pro vybrané hodnoty tohoto poměru uvedeny v tabulce 2 Když poměr b u c překročí hodnotu 0,5, lze U e(95%) počítat jednodušším způsobem: U e (95%) = 1,7u c + b kde 1,7 představuje 95% kvantil pro standardizované normální rozdělení. Tento interval, symetrický kolem naměřeného nekorigovaného výsledku, je širší než interval vymezený pouze rozšířenou nejistotou kolem korigovaného výsledku. Když je b > 0,5u c, je tento interval užší než intervaly U(bias) a RSSu, přičemž pravděpodobnost pokrytí je udržována na 95 %. Užší jsou jen intervaly SUMU (asymetrický) a RSSU (podhodnocující pokrytí). Nevýhodou je komplikovanost výpočtu pro nižší hodnoty vychýlení. Absolutní a relativní model vychýlení Při kvantifikaci vychýlení je nutno volit model vychýlení pro dané podmínky (dle výsledků studie vychýlení). Počítá se buď s absolutním vychýlením, je-li předpokládáno vychýlení konstantní v daném koncentračním rozmezí, anebo když v daném rozmezí roste vychýlení úměrně s koncentrací, počítá se s relativním (proporcionálním) vychýlením, což je poměr vychýlení k pravé hodnotě (při výpočtu nahrazené referenční hodnotou). Vzorce pro výpočet rozšířených nejistot modifikovaných na vychýlení jsou psány pro konstantní absolutní vychýlení. V případě konstantního relativního vychýlení lze použít stejné vzorce s tím, že symboly nejistot jsou míněny jako relativní nejistoty (tj. relativní standardní nejistota jako relativní směrodatná odchylka) a symbol vychýlení jako relativní vychýlení. Místo relativního vychýlení se většinou používá výtěžnost (relativní vychýlení plus 1, resp. 100 %). Který postup modifikace rozšířené nejistoty použít? Poslední hodnocení rozšířených intervalů modifikovaných vychýlením v odborné literatuře [10] doporučuje kombinaci dvou postupů. Pro mírná vychýlení ( b < u c ) by měla být použita metoda RSSu, pro větší vychýlení metoda U e(95%). Oba postupy dávají intervaly symetrické kolem naměřené nekorigované hodnoty, postup RSSu kombinuje vychýlení a nejistotu kvadratickým sčítáním, přičemž dává v doporučené oblasti prakticky stejně široký interval jako U e(95%), který se v této oblasti hůře počítá. V oblasti větších vychýlení již postup RSSu nevyhovuje, neboť takto vymezený interval se příliš zvětšuje kvadratickým započítáváním vychýlení, zatímco postup U e(95%) dává intervaly užší, s předpokládanou pravděpodobností pokrytí, i výpočet pro tuto oblast je již snadný. Zvolený hraniční poměr b u c pro změnu způsobu výpočtu je snadno poznatelný, oba typy intervalů na sebe šířkou i pokrytím plynně navazují (může být použita i nižší hraniční hodnota poměru, např. 0,5). Korekce vychýlení či zvětšení nejistoty nekorigovaného výsledku? V práci Magnusona a Ellisona [10] jsou uvedena kritéria, dle kterých by se měl analytik rozhodovat, zda za daných podmínek je rozumné výsledky měření korigovat nebo raději započítat vychýlení některým ze způsobů do nejistoty bez korekce výsledku. Autoři rozdělili kritéria na technická a ekonomická. K technickým kritériím patří: (i) Potvrzení, že efekt je prakticky signifikantní: významnost nalezeného vychýlení potvrzena statistickým testem, s čímž souvisí reprodukovatelnost vychýlení pro stejné nebo podobné systémy, a praktická důležitost korekce pro užití výsledků. (ii) Nalezení příčinného vztahu mezi pozorovaným vychýlením a ovlivňujícím faktorem. (iii) Dostatečně přesný odhad vychýlení pro daný materiál; buď předpovědět korekci s nízkou nejistotou na základě kvantitativního vztahu, nebo dostatečně přesně empiricky stanovit. (iv) Použití korekce musí vést k užitečnému snížení nejistoty (tj. malá korekce s velkou nejistotou nemá smysl). V některých případech nelze prakticky splnit většinu požadavků potřebných pro to, aby bylo rozumné individuálně korigovat každý naměřený výsledek, v řadě případů by zajištění těchto požadavků vyžadovalo příliš vysoké náklady. Analytik se pak přikloní k úpravě rozšířené nejistoty. Je třeba upozornit, že při ekonomické rozvaze bychom však neměli brát v úvahu jen náklady na detailní studium vychýlení, či na složitější analytický postup eliminující signifikantní vychýlení, ale i to, že by rozhodování na základě vychýlených výsledků mohlo 4

mít velké a nejen ekonomické důsledky. Při jak velkém vychýlení je třeba činit opatření Uvádí se, že vychýlením je třeba korigovat výsledek nebo jím modifikovat rozšířenou nejistotu, pokud bylo t-testem prokázáno jako statisticky významné (testování vzhledem k nejistotě vychýlení u b). To je jistě rozumně volená nutná podmínka, pokud jde o individuální korekce každého naměřeného výsledku (podle předchozího odstavce nemusí být podmínkou dostačující). Ovšem důsledky pro pravděpodobnost pokrytí intervalu vymezeného pouze rozšířenou nejistotou kolem naměřeného nekorigovaného výsledku má každé vychýlení b, které je velké vzhledem k celkové kombinované nejistotě měření u c. Přitom nemusí být prokázáno jako staticky významné vzhledem k u b, a bylo by tedy pochybné na toto vychýlení všechny výsledky individuálně korigovat [5, 6, 9]. Pravděpodobnost pokrytí intervalu vymezeného rozšířenou nejistotou kolem nekorigovaného výsledku klesá, roste-li poměr b u c (viz tab. 1). Např. při poměru přes 1,1 klesne pravděpodobnost z přepokládaných 95 % pod 80 % (v takovém případě by nebylo vychýlení prokázáno testem jako signifikantní, pokud by pro nejistotu vychýlení platilo, že u b > 0,6u c ) [9]. Vhodné opatření v takovém případě je modifikace rozšířené nejistoty, nikoli korekce naměřené hodnoty. Tabulka 1 Závislost pravděpodobnosti pokrytí intervalu vymezeného rozšířenou nejistotou kolem vychýleného výsledku na b / u c [9] b / u c PP [%] b / u c PP [%] 0,1 94,9 1,1 80,4 0,2 94,5 1,2 77,6 0,3 94,0 1,3 74,5 0,4 93,1 1,4 71,2 0,5 92,1 1,5 67,7 0,6 90,8 1,6 64,0 0,7 89,2 1,7 60,2 0,8 87,4 1,8 56,3 0,9 85,3 1,9 52,4 1,0 83,0 2,0 48,4 Tabulka 2 Závislost koeficientu E pro výpočet U e(95%) na b / u c [9] b / u c E 0,1 0,098 0,2 0,193 0,3 0,284 0,4 0,368 0,5 0,443 0,6 0,509 0,7 0,566 0,8 0,613 0,9 0,653 1,0 0,686 Závěr Při uvádění poznaného statisticky významného vychýlení výsledků měřicího postupu mají laboratoře několik možností. Od pouhého uvedení výsledku s nejistotou a hodnoty vychýlení s jeho nejistotou, provedení korekce a zahrnutí nejistoty korekce do celkové bilance nejistoty až po ponechání nekorigované hodnoty měření a rozšíření nejistoty o příspěvek odpovídající odhadovanému vychýlení. Pro způsob jak zacházet s poznanou hodnotou vychýlení není dosud stanovena žádná obecně závazná směrnice a laboratoř musí zvolit vhodný postup, který je též v souladu s odvětvovými závaznými právními předpisy a odvětvovými směrnicemi. V případě, že zvolí řešení zohlednit vychýlení rozšířením nejistoty měření, lze doporučit, aby zvolila postup uvedený v tomto metodickém listu. Zpracoval: V. Synek a Z. Plzák Literatura 1. TNI 01 0115:2009 Mezinárodní metrologický slovník - Základní a všeobecné pojmy a přidružené termíny (VIM). 2. Kvalimetrie 19. Stanovení nejistoty analytického měření, str.34. M. Suchánek a D. Milde (eds.) EURACHEM-ČR Praha 2014, ISBN 978-80-86322-07-0. 5

3. Evaluation of measurement data Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM), JCGM 100:2008 (corrected version 2010), www.bipm.org. Printed as ISO/IEC Guide 98-3:2008. 4. Phillips S. D. a Eberhardt K. R.: Guidelines for Expressing the Uncertainty of Measurement Results Containing Uncorrected Bias. J. Res. Nat. Inst. Stand. Technol. 102, 577 (1997). 5. Maroto A., Boqu e R., Riu J., Rius F. X.: Should non-significant bias be included in the uncertainty budget? Accred. Qual. Assur. 7, 90 (2002). 6. O Donnell G. E., Hibbert D. B.: Treatment of bias in estimating measurement uncertainty. Analyst 130, 720 (2005) 7. Thompson M., Ellison S. L. R., Fajgelj A.,Willetts P., Wood R..: Harmonised guidelines for the use of recovery information in analytical measurement (Technical report). Pure & Appl. Chem., 71,337 (1999). 8. Magnusson B., Näykki T., Hovind H., Krysell M.: Handbook for Calculation of Measurement Uncertainty in Environmental Laboratories. Nordtest technical report 537, ed. 3.1. Nordtest, 2012. 9. Synek V.: Attempts to include uncorrected bias in the measurement uncertainty. Talanta 65, 829 (2005). 10. Magnusson B., Ellison S. L. R.: Treatment of uncorrected measurement bias in uncertainty estimation for chemical measurements. Anal. Bioanal. Chem. 390, 201 (2008). Příklad výpočtu pro nejistotu výsledků stanovení kadmia v pitné vodě Z 18 hodnot měření CRM za podmínek mezilehlé preciznosti vynášených v regulačním diagramu byly určeny: vychýlení metody (bias) b = -0,365 ng ml 1 ; standardní nejistota vychýlení u b = 0,188 ng ml 1 ; kombinovaná standardní nejistota u c = 0,233 ng ml 1. Při n = 18 mají obě standardní nejistoty dostatečně vysoký efektivní počet stupňů volnosti. Pro daný vzorek byla na koncentrační úrovni CRM naměřena vychýlená hodnota x obs = 6,11 ng ml 1. Úkolem je určit interval pokrytí s konfidenční úrovní přibližně 95 %, a tedy použít postup započítávající vychýlení do nejistoty se zachováním zadané konfidenční úrovně. Řešení Nejprve se přesvědčíme, zda je vskutku nutné použít postup započítávající vychýlení do nejistoty. Porovnáme vychýlení se standardní nejistotou jeho určení: t = b u b = 0,365 0,188= 1,94 Hodnota t < 2 (hodnotu 2 můžeme považovat v prvním přiblížení za kritickou hodnotu při dostatečně vysokém ; přesná hodnota může být jen o něco větší), takže vychýlení není prokázáno jako statisticky významné na sledované konfidenční úrovni, není tedy splněna ani tato základní nutná podmínka pro korekci výsledků na vychýlení. Porovnáme vychýlení s kombinovanou standardním nejistotou: b u c = 0,365 0,233= 1,57 Dle tabulky 1 při daném poměru b/u c pravděpodobnost pokrytí intervalu vymezeného klasickou rozšířenou nejistotou U při k = 2 poklesne asi na 65 %. Je třeba učinit opatření na zvýšení pravděpodobnosti pokrytí, tj. použít výpočet nejistoty se započtením vychýlení. Podle poměru b/u c (větší než doporučená hraniční hodnota ať již užijeme 0,5 nebo 1) zvolíme postup U e (95%) = 1,7u c + b = 1,7 0,233 + 0,365 = 0,76 ng ml 1. Pozn. Při poměru b/u c < 0,5 (resp. < 1) je doporučováno použít jako zjednodušující náhradní způsob výpočtu metodou RSSu. Výsledek: Koncentrace kadmia ve vzorku vody je (6,11 ± 0,76) ng ml 1. Uvedená nejistota je rozšířená nejistota modifikovaná započtením vychýlení měřicí metody postupem U e(95%), takto stanovený interval pokrytí je vymezen s konfidenční úrovní přibližně 95 %. 6