3 Mechanická práca a energia

3 Mechanická práca a energia U áut je bežné hodnotiť ich výkon v jednotke kone. Napríklad podľa výrobcu, model auta Peugeot 07 má výkon 68 koní. Na súťažiach F sú od sezóny 007 používané motory s výkonom 750 koní. Aká je to jednotka? Základné pojmy: práca, výkon, účinnosť, dôsledok konania práce, kinetická energia, potenciálna energia, mechanická energia, zákon zachovania mechanickej energie V prechádzajúcej časti sme sa zaoberali príčinou pohybu telies, ktorou bola sila. V tejto kapitole sa budeme zaoberať dráhovým účinkom sily, t.j. pôsobením sily na teleso po dráhe mechanickou prácou. Bude nás zaujímať, čo je dôsledkom pôsobenia sily na teleso. Zadefinujeme veličiny, ktoré s touto problematikou súvisia a uvedieme návody ako riešiť úlohy z tejto oblasti. Ak stála sila F pôsobí na teleso po dráhe s (posúva ho po tejto dráhe), pričom jej smer je rovnaký ako smer dráhy, potom sila koná mechanickú prácu, ktorá je daná vzťahom W = Fs. (3.) Ak stála sila F zviera s dráhou s uhol, potom práca je daná W = Fs cos, (3.) kde F cos = F je priemet sily do smeru dráhy (Obr.3.). 45

Obr. 3. Práca je skalárna veličina a jej jednotkou je Joule, (W) = J. Často nás zaujíma ako rýchlo je práca vykonávaná. Rýchlosť konania práce hodnotí výkon, ktorý je definovaný W P, t (3.3) kde W je práca rovnomerne vykonaná za dobu t. Jednotkou výkonu v SI je watt, (P) = W. Staršou jednotkou používanou pri hodnotení výkonov áut je kôň, k = 735,5 W. Práca sa pomocou výkonu dá vyjadriť v tvare W Pt. (3.4) Pre výkon platí aj odvodený vzťah P Fv. (3.5) Vzťah (3.5) platí len v prípade, ak sila a rýchlosť majú rovnaký smer. Príkon P p vyjadruje ako rýchlo do daného zariadenia prichádza energia z okolia, resp. je to výkon, ktorý stroju dodávame. Jednotkou príkonu je watt, (P p ) = W. Podiel výkonu P a príkonu P p sa nazýva účinnosť zariadenia P P (3.6) a vyjadruje sa v percentách. 46

Pohybový stav telesa vzhľadom na zvolenú inerciálnu vzťažnú sústavu charakterizuje skalárna veličina kinetická (pohybová) energia. Je definovaná vzťahom E mv k, (3.7) kde m je hmotnosť telesa a v je jeho rýchlosť. Jednotkou kinetickej energie je Joule, (E k ) = J. So zmenou kinetickej energie súvisí práca: Zmena kinetickej energie sa rovná práci, ktorú koná výslednica všetkých pôsobiacich síl na teleso. Dôsledkom konania práce sa mení kinetická energia telesa, čo vyjadruje vzťah (3.8). Sila koná prácu a premiestňuje teleso po dráhe, pričom sa mení jeho rýchlosť z hodnoty v na v a tým sa mení jeho kinetická energia z E k na E k Ek Ek Ek mv mv W. (3.8) Ak by sme dvíhali teleso z výšky h o hmotnosti m do výšky h konštantnou rýchlosťou v, opäť by sme konali prácu. V tomto prípade sa u telesa nemení rýchlosť (v = konšt.), ale jeho výška (poloha), v ktorej sa nachádza. Polohu telesa vo výške h charakterizuje potenciálna (polohová) energia E p. Je to skalárna veličina a jej jednotkou je Joule, (E p ) = J. Potom E p E E E E W p p (3.9) Na rozdiel od kinetickej energie, potenciálna energia môže byť vyjadrená rôznym spôsobom, závisí to od sústavy (poľa), v ktorej polohu telesa popisujeme. Okrem toho, pri určovaní potenciálnej energie je potrebné zvoliť tzv. nulovú hladinu potenciálnej energie, pre ktorú je E p = 0 J. V prípade tiažového poľa Zeme sa často za nulovú hladinu potenciálnej energie volí povrch Zeme. Vzhľadom na túto hladinu potom potenciálna energia telesa vo výške h je 47

E p = mgh, (3.0) kde g = 9,8 m/s je tiažové zrýchlenie. Súčet kinetickej a potenciálnej energie sa nazýva mechanická energia E E = E k + E p. (3.) V súvislosti s mechanickou energiou platí zákon zachovania mechanickej energie, ktorý hovorí: Súčet kinetickej a potenciálnej energie (mechanická energia) v každom bode izolovanej sústavy sa zachováva. Matematicky zápis tohto zákona je E = E k + E p = konšt. (3.) Pod izolovanou sústavou rozumieme sústavu, v ktorej na teleso nepôsobia sily prostredia (napr. trenie). Predpokladá sa, že v takejto sústave sa kinetická energia mení len na potenciálnu energiu a naopak, nie na iné formy energie, pričom nenastávajú žiadne straty energie do okolia. 48

o Riešené príklady Príklad 3. Elektrický rušeň pôsobí na vlak pri rozbehu po vodorovnej trati ťažnou silou 600 000 N. Vlak sa rozbieha rovnomerne zrýchleným priamočiarym pohybom a za minúty dosiahne rýchlosť 0 m/s. Akú veľkú prácu vykoná rušeň? Trenie a odpor vzduchu zanedbajte. t = min. = 0 s v = 0 m/s F = 600 000 N W =? Rušeň pôsobí na vlak silou, ktorá je konštantná, po priamej dráhe s. Koná teda prácu. Keďže smer sily je totožný so smerom dráhy pre prácu platí vzťah W = Fs. Aby sme mohli vypočítať prácu sily rušňa, potrebujeme vedieť dráhu s. Pôsobením sily sa vlak pohybuje rovnomerne zrýchleným priamočiarym pohybom, ktorého rýchlosť a dráha v v 0 at s v 0 t at Rušeň bol na začiatku v pokoji (v 0 = 0), potom v at s at Na vyjadrenie dráhy potrebujeme vedieť zrýchlenie, ktoré rušeň nadobudne v pôsobením sily F. To vyjadríme z rovnice pre rýchlosť pohybu vlaku v tvare a. t Dosadením do rovnice pre dráhu a úpravou s vt. Potom práca W F vt 6 Číselne W 600000 0. 0 360. 0 J Rušeň vykoná prácu 360 MJ. Príklad 3. Výťah s hmotnosťou 500 kg sa pohybuje smerom nahor so zrýchlením m/s. Akú prácu vykoná motor výťahu na dráhe 0 m? 49

m = 500 kg a = m/s d = 0 m W =? FL FG Obr. 3. Na výťah pôsobí tiažová sila F G a sila motora výťahu F m. Výsledná sila, ktorá spôsobuje pohyb výťahu so zrýchlením a smerom nahor je F F m FG. Pre veľkosť výslednice síl F = F m F G (). Za kladný smer pohybu uvažujeme pohyb výťahu nahor, preto tiažová sila má opačné znamienko. Pre silu motora výťahu z rovnice () vyplýva F m = F + F G = ma + mg. Motor výťahu pôsobí na výťah silou F m po priamej dráhe d. Potom pre prácu motora podľa vzťahu (3.) W = Fd = (ma + mg).d Číselne práca W = (500. + 500.9,8).0 = 8 000 J Motor výťahu vykoná prácu 8 kj. Príklad 3.3 Remenica elektromotora prenáša pomocou remeňa ťahovú silu 60 N. Priemer remenice je 80 mm a motor vykonáva 440 otáčok za minútu. Vypočítajte výkon elektromotora. F = 60 N f = 440 min - = 4 s - d = 80 mm = 0,08 m P =? Na výpočet výkonu elektromotora použijeme vzťah P = Fv, v ktorom vystupuje sila a rýchlosť. Sila je daná a na výpočet rýchlosti pôsobiska sily použijeme vzťah v = r. V tomto prípade je rýchlosť pôsobiska sily daná obvodovou rýchlosťou. Uhlovú 50

rýchlosť vyjadríme pomocou frekvencie motora f, = f. Potom výkon P = Fv = F r = F fr, d kde r je polomer remenice. 0, 08 Číselne výkon P 60.. 4. 964, 608 Výkon elektromotora je približne 965 W. Príklad 3.4 Športové auto hmotnosti 600 kg sa rozbieha rovnomerne zrýchleným pohybom. Aký výkon má jeho motor, ak autu udelí rýchlosť 360 km/h na dráhe 600 m? Na auto počas pohybu pôsobí odporová sila, ktorá tvorí 40% tiaže auta. m = 600 kg s = 600 m v = 360 km/h = 00 m/s F = 0,4 G () P =? Výkon motora športového auta je daný vzťahom P = F m. v, kde F m je sila motora auta. Pohyb auta ovplyvňuje aj odporová sila prostredia, ktorá pôsobí na auto opačným smerom. Potom výsledná sila pôsobiaca na auto je daná vektorovým súčtom sily motora a odporovej sily F F m F o. Pre jej veľkosť F = F m F o. W Vo vzťahu pre veľkosť výslednej sily sme dosadili pre smer odporovej sily znamienko mínus, pretože pôsobí opačným smerom na auto. Sila motora F m = F + F o. () Výsledná sila F spôsobuje pohyb auta so zrýchlením a, potom F = ma. (3) Dosadením za sily () a (3) do () dostaneme F m = ma + 0,4G. Tiaž je G = mg. Zrýchlenie vyjadrené pomocou dráhy a rýchlosti v a. s 5

Zrýchlenie sme dostali úpravou vzťahu v s z príkladu.. a Výkon motora v P ( ma 0, 4mg). v ( m 0, 4mg). v s 00 P ( 600 0, 4. 600. 9, 8). 00 735440 W. 600 Výkon motora športového auta je približne 0,74 MW. Príklad 3.5 Za akú dobu zdvihne rovnomerným pohybom žeriav, ktorého elektromotor má príkon 9 kw, bremeno hmotnosti 000 kg do výšky 9 m, ak účinnosť celého zariadenia je 65,4%? m = 000 kg h = 9 m P p = 9 kw = 65,4% t =? Pri výpočte doby, za ktorú žeriav zdvihne bremeno do výšky 9 m vyjdeme zo vzťahu pre účinnosť P, () P P kde výkon P predstavuje prácu, ktorú vykoná žeriav pri rovnomernom premiestení bremena za dobu t W P. () t V tomto prípade dôsledkom konania práce sa mení výška bremena, resp. potenciálna energia bremena vzhľadom na povrch Zeme. Veľkosť vykonanej práce vyjadríme vzťahom (3.9) W E E E. (3) p p Potenciálna energia na povrchu Zeme E = 0 a vo výške h E p = mgh (4). Dosadením (4) a (3) do rovnice () dostaneme E P p E t mgh 0 mgh. (5) t t 5

Dosadením (5) do vzťahu () pre účinnosť získame rovnicu mgh, P t p z ktorej si odvodíme vzťah pre dobu, za ktorú bude bremeno zodvihnuté do výšky h. t mgh P p 000.9,8.9 80 s 3 min. 3 9.0.0,654 Pri číselnom vyjadrení účinnosti berieme do úvahy, že je vyjadrená v %, preto skôr ako za účinnosť dosadíme príslušnú číselnú hodnotu, musíme ju predeliť 00 %. V tomto prípade číselná hodnota účinnosti je = 0,654. Bremeno bude zdvihnuté do výšky 9 m za 3 minúty. Príklad 3.6 Na teleso s hmotnosťou 0 kg v pokoji začala pôsobiť sila veľkosti 5 N. Akú kinetickú energiu malo teleso 4 sekundy od začiatku pohybu? m = 0 kg F = 5 N v 0 = 0 m/s t = 4 s E k =? Kinetickú energiu telesa si vyjadríme zo vzťahu (3.7) E mv k. () Na teleso začala pôsobiť konštantná sila, preto sa teleso bude pohybovať priamočiarym rovnomerne zrýchleným pohybom so zrýchlením a. Jeho rýchlosť vieme popísať rovnicou v = at + v 0. Teleso bolo na začiatku v pokoji preto počiatočná rýchlosť v 0 = 0, potom platí v = at. () Zrýchlenie vyjadríme zo vzťahu pre silu F a. (3) m Dosadení (3) do () získame rovnicu pre rýchlosť F v t. (4) m Po dosadení (4) do () dostaneme upravený vzťah pre kinetickú energiu 53

F F t 5.4 E k m t 0 J. m m.0 Teleso má v 4 sekunde kinetickú energiu 0 J. Príklad 3.7 Vo vzduchovke pôsobí na náboj s hmotnosťou 4 g stlačený vzduch priemernou silou 00 N. Akou rýchlosťou opustí náboj 60 cm dlhú hlaveň? m = 4 g F = 00 N l = 60 cm v =? Na náboj v hlavni vzduchovky pôsobí vzduch silou F, ktorá ho po výstrele presúva v hlavni po dráhe 60 cm. Sila koná prácu v dôsledku čoho sa zmení rýchlosť náboja z v 0 = 0 na rýchlosť v, teda sa mení kinetická energia náboja z E k0 na E k. Matematicky to zapíšeme v tvare W E E E. k k Použitím vzťahu pre kinetickú energiu (3.7), si prácu vyjadrime v tvare W mv mv0. k0 Keďže počiatočná rýchlosť je nulová, je nulová aj počiatočná kinetická energia. Potom práca W mv. Odtiaľ si vyjadríme rýchlosť náboja W v. () m Pre prácu, podľa vzťahu (3.), platí W = Fl. Dosadením do () vypočítame rýchlosť, ktorou opustí náboj hlaveň Fl. 00. 0, 6 v 44, 948 m/s. m 0, 004 Náboj opustí hlaveň rýchlosťou 45 m/s. Príklad 3.8 Lietadlo má hmotnosť 000 kg. Akú prácu vykonal jeho motor od štartu do okamihu, keď lietadlo bolo vo výške 000 m a malo rýchlosť 70 km/h? m = 000 kg 54

v 0 = 70 km/h h = 000 m W =? Na lietadlo pri štarte začne pôsobiť sila, ktorá spôsobí, že sa dostane do výšky 000 m a nadobudne rýchlosť 70 km/h. U lietadla sa od štartu až po tento okamih zmenila rýchlosť z v 0 = 0 na rýchlosť v a poloha z h 0 = 0 m na h. Teda dôsledkom konania práce motora sa u lietadla zmenila jeho kinetická a potenciálna energia W E k E p. () Zmena kinetickej energie je Zmena potenciálnej energie E E E. () k p k k0 E E E. (3) p0 Dosadíme () a (3) do rovnice () W E E E E, k k0 p0 pričom platí že E k0 = 0, E p0 = 0. Za nulovú potenciálnu hladinu (E p0 = 0) sme zvolili povrch Zeme. Potom práca W E k E mv mgh 000.00 000.9,8.000 59 60000 J. Motor lietadla vykonal prácu 59,6 MJ. Príklad 3.9 Teleso hmotnosti 00 g je vyhodené z povrchu Zeme zvislo nahor začiatočnou rýchlosťou 30 m/s. Vypočítajte maximálnu výšku, ktorú dosiahne počas svojho pohybu. Aká bola jeho kinetická energia na začiatku pohybu? 55

v 0 = 30 m/s m = 00 g h =? E k0 =? Ek + E = E Ek = E h V0 Ek0 + Ep0 = E0 Ep0 =0 Obr. 3.3 Teleso je vrhnuté zvislo nahor s počiatočnou rýchlosťou v 0. Počas jeho pohybu sa mení jeho rýchlosť a výška vzhľadom na povrch Zeme. Zaujíma nás jeho kinetická energia na počiatku pohybu a maximálna výška, ktorú dosiahne, resp. potenciálna energia na konci pohybu. V tomto prípade môžeme pri výpočte použiť zákon zachovania mechanickej energie. Preto si najprv určíme nulovú potenciálnu hladinu E p0 = 0, ktorú preložíme cez povrch Zeme. Vzhľadom na ňu popíšeme celkovú mechanickú energiu E vo výške h E E, () k E kde E k = 0, pretože v maximálnej výške v = 0 (teleso sa zastaví). Celková mechanická energia E 0 na povrchu Zeme E E, () 0 k0 Ep0 kde E p0 = 0. Podľa zákona zachovania mechanickej energie platí, že E E konšt. (3) 0 Dosadením () a () do (3) dostaneme Ek0 E. (4) Potenciálne energia telesa vo výške h je E = mgh a kinetická energia na začiatku pohybu je E k0 mv 0. Následným dosadením do rovnice (4) dostaneme vzťah mgh mv 0, z ktorého si odvodíme maximálnu výšku Pre kinetickú energiu na začiatku pohybu platí v0 30 h 45, 87 m. g. 9, 8 56

E k0 mv0 0,. 30 45 J. Keďže platí zákon zachovania mechanickej energie, potom potenciálna energia na konci pohybu je 45 J. Rovnako celková mechanická energia telesa v akejkoľvek výške je 45 J. Teleso pri svojom pohybe dosiahne výšku 45,9 m a jeho kinetická energia na začiatku pohybu bola 45 J. 57