4 Mechanika sústavy hmotného bodu a tuhého telesa

Transkript

1 4 Mechanka sústavy hmotného bodu a tuhého telesa Z matematky veme že ťažsko štvorca sa nachádza na presečníku jeho uhloprečok Ale ako to bude s ťažskom telesa ktoré ne je symetrcké? Napríklad kde sa bude nachádzať ťažsko písmenka L? L Základné pojmy: podmenky rovnováhy ťažsko sústavy hmotných bodov a tuhého telesa moment sly moment hybnost a veta mpulzová zákon zachovana hybnost zákon zachovana momentu hybnost moment zotrvačnost knetcká energa práca a výkon telesa rotujúceho okolo pevnej os 6

2 Doteraz sme rešl príklady zaoberajúce sa pohybm teles ktoré sme mohl nahradť jedným hmotným bodom (HB) Nekedy pr počítaní ne je možné teleso nahradť jedným hmotným bodom V takomto prípade teleso nahradíme sústavou hmotných bodov alebo ho bereme do úvahy ako celok V tejto kaptole zavedeme dva nové pojmy Dokonale tuhé teleso je to teleso ktoré za žadnych okolností nemení svoj tvar Pod sústavou hmotných bodov budeme rozumeť model v ktorom pr skúmaní pohybu sústavy teles je každé teleso nahradené HB alebo stavebné častce telesa považujeme za HB Ťažsko sústavy hmotných bodov (SHB) a tuhého telesa (TT) Najjednoduchšu SHB predstavuje sústava HB s hmotnosťam m a m Túto sústavu umestnme v gravtačnom pol Zeme Predpokladajme že teto HB sú pevne spojené väzbou Potom výsledná vnútorná nterakčná sla ktorá je daná vektorovým súčtom všetkých vnútorných nterakčných síl F nt (sú to sly ktorým na seba navzájom pôsoba HB danej sústavy) je nulová F F nt Na sústavu pôsoba len gravtačné sly F F (obr 4) a teda sústava bude v pokoj ak na HB budú pôsobť rovnako veľké sly opačného smeru r r A F F Obr 4 F F Obr 4 Danú sústavu upevníme v bode A (obr 4) 6

3 Moment sly M charakterzuje meru otáčavého účnku síl pôsobacch na SHB Bude tým väčša čím je vzdalenosť mesta upevnena väčša a čím je závaže ťažše Jednotkou momentu síl je Newton krát meter (M) = Nm M r F M rfsn (4) kde r je rameno sly F je pôsobaca sla a je uhol ktorý zvera vektor ramena sly r a vektor sly F Pre našu sústavu platí: M M M Ak budeme predpokladať že m m r r a 9 potom pre výsledný moment platí M r F r F Podmenky rovnováhy: Sústava ktorú tvorí n hmotných bodov je v pokoj ak výslednca všetkých vonkajších síl ktoré na sústavu pôsoba je nulová F n Sústava ktorú tvorí n hmotných bodov je v pokoj ak výslednca momentov všetkých síl ktoré na sústavu pôsoba je nulová M Bod v ktorom treba sústavu n hmotných bodov upevnť aby bol splnené teto podmenky sa nazýva ťažskom sústavy Tento bod sa chová tak ako keby v ňom bola sústredená celá hmotnosť sústavy hmotných bodov resp celá hmotnosť tuhého telesa n Pre sústavu n hmotných bodov platí: r T n n m r m n mr m (4) 63

4 kde r T je polohový vektor ťažska r je polohový vektor - teho hmotného bodu jeho hmotnosť a m je celková hmotnosť sústavy m je veta mpulzová (veta o hybnost sústavy): vektorový súčet všetkých vonkajších síl f pôsobacch na sústavu hmotných bodov (tuhé teleso) sa rovná časovej zmene celkovej hybnost sústavy p p F f t (43) Veta o pohybe ťažska: vektorový súčet všetkých síl pôsobacch na sústavu sa rovná súčnu celkovej hmotnost sústavy a zrýchlena jej ťažska To znamená že ťažsko sústavy sa pohybuje ako častca hmotnost m na ktorú pôsobí výsledná sla F F f m a T (44) Zákon zachovana hybnost pre sústavu hmotných bodov a tuhého telesa: Ak je výslednca vonkajších síl F pôsobacch na sústavu nulová potom celková hybnosť sústavy ostáva v čase konštantnou p Matematcky to môžeme vyjadrť v tvare: F p konšt t Moment hybnost L charakterzuje pohybový stav pr otáčavom pohybe Je defnovaný ako: L r mv r p L rmv sn rp sn (45) kde r je polohový vektor HB hmotnost m je uhol medz polohovým vektorom a vektorom hybnost 64

5 Jednotkou momentu hybnost je klogram krát meter lomeno sekunda (L) = kgm/s Medz momentom sly a momentom hybnost exstuje súvs: M r L f (46) t Ak na sústavu HB pôsobí vacero momentov hybností potom výsledný moment hybnost vypočítame vektorovým súčtom: L r mv L (47) veta mpulzová (veta o momente hybnost): vektorový súčet všetkých momentov síl M pôsobacch na sústavu sa rovná časovej zmene celkového momentu hybnost sústavy M L M t (48) Zákon zachovana momentu hybnost: celkový moment hybnost SHB pre ktorú sa výsledný moment síl rovná nule ostáva konštantný - nemení sa L Matematcky to môžeme vyjadrť v tvare: M L konšt t Moment zotrvačnost - I - je merou zotrvačných vlastností otáčajúceho sa telesa závsí od rozložena hmotnost telesa vzhľadom na os otáčana Jednotkou momentu zotrvačnost je klogram krát meter štvorcový (I) = kgm Ak I je moment zotrvačnost telesa hmotnost m vzhľadom na os o (prechádzajúcu bodom A) a I je moment zotrvačnost toho stého telesa vzhľadom na os o prechádzajúcu ťažskom prčom obe os sú rovnobežné a vzdalenosť medz nm je a (obr 43) potom platí vzťah medz I a I ktorý nazývame Stenerova veta 65

6 Matematcky túto vetu vyjadríme v tvare I I ma (49) A a T o o Obr 43 Tabuľka momentov zotrvačnost hmotný bod hmotnost m nachádzajúc sa vo vzdalenost r od os otáčana kruhová doska hmotnost m polomeru r otáčajúca sa vzhľadom na os prechádzajúcu ťažskom kolmo na rovnu dosky valec hmotnost m polomeru r otáčajúc sa okolo svojej geometrckej os I mr I m r I m r tenká obruč hmotnost m polomeru r vzhľadom na geometrckú os I mr dutý valec hmotnost m s polomerm r a r vzhľadom na geometrckú os I m r r guľa hmotnost m polomeru r vzhľadom na os otáčana prechádzajúcu jej stredom tyč hmotnost m dĺžky l vzhľadom na os otáčana prechádzajúcu jej ťažskom kolmo na tyč I m r 5 I m l 66

7 Vzťah medz momentom hybnost a momentom zotrvačnost: L I (4) Knetcká energa rotujúceho tuhého telesa okolo pevnej os K I (4) Jednotkou knetckej energe je joule ( k ) = J Ak teleso koná súčasne postupný pohyb aj otáčavý pohyb okolo os potom celková knetcká energa pohybujúceho sa telesa sa rovná súčtu knetckej energe rotačného pohybu a knetckej energe postupného pohybu K I mv (4) Pohybová rovnca pre rotujúce teleso: M L I (43) t V prípade symetrckého rotujúceho telesa platí skalárny tvar pohybovej rovnce: M I Práca W vykonaná vonkajším slam pr otočení telesa o uhol W M (44) kde M je výsledný moment pôsobacch síl Jednotkou práce je joule (W) = J Veta o knetckej energ v prípade otáčavého pohybu tuhého telesa okolo pevnej os 67

8 W I I (45) kde sú uhlové rýchlost otáčana tuhého telesa na začatku a na konc pôsobena momentu vonkajších síl M Výkon predstavuje prácu vykonanú za jednotku času V prípade otáčavého pohybu tuhého telesa je daný vzťahom: W P M t (46) kde je uhlová rýchlosť rotujúceho telesa 68

9 o Rešené príklady Príklad 4 Sedem štvorcov o strane a = cm zanedbateľnej hrúbky tvorí písmeno L Vypočítajte súradnce jeho ťažska a = cm x T =? y T =? 3 y a Obr 44 a x Rešene: Ťažsko každého štvorca leží v presečníku jeho uhloprečok To znamená že ťažská daných sedmych štvorcov ktoré sú usporadané podľa obr 44 majú súradnce: 4a 4cm T 3a 3cm T a cm T 3 a cm T 4 cm T 5 cm T 6 cm T 7 Daný model sedmych štvorcov s potom môžeme zjednodušť na sústavu sedmych hmotných bodov ktoré leža v mestach príslušných ťažísk Každý hmotný bod má rovnakú hmotnosť označme ju m Je to hmotnosť jedného štvorca Vychádzajúc zo vzorca pre polohový vektor ťažska r 69 N N rm môžeme jednotlvé súradnce x T m

10 a y T vypočítať x y T T 7 5 m m m 3m 49 cm 7m 7m 7 7 x m m 4 m 3 m m m 3 m m 49 cm 7m 7m 7 y m m Súradnce ťažska sú 49;49cm Príklad 4 Vypočítajte súradnce ťažska útvaru ktorý vznkne keď z homogénnej tenkej kruhovej dosky s polomerom R 5 m vyrežeme štvorec so stranou a = R/ ktorého stred je vo vzdalenost d = R/ od stredu kruhovej dosky (obr 45) R = 5 m y d = R/ a = R/ T =? F G z d F G x F G Obr 45 Rešene: Na rešene využjeme podmenku rovnováhy M () Taž celej kruhovej dosky môžeme vyjadrť ako súčet rovnobežných síl a to tažovej sly vyrezaného štvorca FG a tažovej sly zvyšnej čast kruhovej dosky F G F G F F () G G 7

11 Pre momenty síl vzhľadom na bod podľa () platí že M M teda FG d FG z (3) Po vyjadrení sly FG z rovnce () a následnom dosadení do rovnce (3) dostaneme FG d ( F F ) z G G FG d z (4) ( F F ) G G Tažové sly F G a F G môžeme upravť F G m g S g R R g F G S g g kde je plošná hustota materálu dosky g je tažové zrýchlene S je plocha kruhu a S je plocha vyrezaného štvorca Po dosadení do rovnce (4) a vykrátení g dostaneme R d z 4 R R 4 R 5 m 8 8 Keďže z je vzdalenosť ťažska od počatku súradnej sústavy potom súradnce ťažska T m môžeme vyjadrť v tvare ; Súradnce ťažska sú ; m Príklad 43 Valec s hmotnosťou 5 kg sa kotúľa po vodorovnej podložke stálou rýchlosťou veľkost 5 m/s Vypočítajte knetckú energu valca m = 5 kg v = 5 m/s K =? 7

12 Rešene: Kotúľajúc sa valec koná otáčavý pohyb okolo svojej geometrckej os a súčasne koná posuvný pohyb po vodorovnej podložke Preto knetcká energa kotúľajúceho sa valca pozostáva z dvoch častí K () K K kde K je knetcká energa posuvného pohybu (37) a K je knetcká energa otáčavého pohybu (4) mv K () K I (3) kde I je moment zotrvačnost a je uhlová rýchlosť otáčana Moment zotrvačnost valca ktorý sa otáča okolo svojej geometrckej os je I m R (4) kde R je polomer valca m je jeho hmotnosť Uhlovú rýchlosť môžeme vyjadrť podľa vzťahu () v (5) R Po dosadení (4) a (5) do (3) dostaneme v R m v 4 K m R Potom pre celkovú knetckú energu platí: K mv m v J Knetcká energa pohybujúceho sa valca je 85 J 7

13 Príklad 44 Krasokorčular sa otáča okolo zvslej os so stálou frekvencou 5 s - prčom jeho moment zotrvačnost vzhľadom na os otáčana je I = 3 kgm Ako sa zmení jeho uhlová rýchlosť otáčana ak roztahnutím rúk zväčší svoj moment zotrvačnost na I = 55 kgm? f = 5 s - I = 3 kgm I = 55 kgm? Rešene: Zmenu uhlovej rýchlost krasokorčulara môžeme vyjadrť v tvare () kde f () Pre otáčavý pohyb krasokorčulara platí zákon zachovana momentu hybnost L I konšt podľa ktorého sa moment hybnost krasokorčulara pred roztahnutím rúk L musí rovnať momentu hybnost po roztahnutí rúk L L L I I Odtaľ pre uhlovú rýchlosť otáčana krasokorčulara po roztahnutí rúk platí I I f (3) I I Potom po dosadení () a (3) do () dostaneme zmenu uhlovej rýchlost I f f s 5 47 I 55 Zmena uhlovej rýchlost krasokorčulara je -47 s - krasokorčular roztahnutím rúk svoj otáčavý pohyb spomall 73

14 Príklad 45 Kotúč hmotnost 5 kg a premeru 4 m koná 5 otáčok za mnútu Pôsobením konštantného momentu brzdných síl sa zastaví za sekúnd Vypočítajte veľkosť momentu brzdných síl! m = 5 kg d = 4 m r = d/ = m f = 5 mn - = 5 s - t = s M =? Rešene: Pohybovú rovncu rotujúceho kotúča môžeme vyjadrť v tvare (43) M I () kde I je jeho moment zotrvačnost a je uhlové spomalene Moment zotrvačnost kotúča je I m r () Kotúč vykonáva rovnomerne spomalený otáčavý pohyb pre ktorý platí t (3) kde je uhlová rýchlosť v čase t a f je počatočná uhlová rýchlosť V čase t skotúč zastaví a preto Po dosadení do rovnce (3) za a dostaneme f t Odtaľ s uhlové spomalene kotúča vyjadríme v tvare f (4) t Potom po dosadení () a (4) do rovnce () dostaneme veľkosť momentu brzdných síl 74

15 M f 345 mr Nm t Veľkosť momentu brzdných síl je 785 Nm 75