Obsah Úvod do měření 1 Fyzikální veličiny a jejich jednotky 5 2 Měřicí metody 8 3 Chyby měření 11 3.1 Hrubé chyby 11 3.2 Soustavné (systematické chyby 12 3.3 Chyby měřicích přístrojů 13 3.4 Náhodné chyby 14 3.5 Chyby nepřímých měření 17 4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí 19 4.1 Lineární závislost 20 4.2 Exponenciální a mocninná závislost 21 4.3 Zásady tvorby grafů 24 4.4 Grafy v Excelu 25 5 Práce v laboratoři 28 5.1 Teoretická příprava na měření 28 5.2 Testy ve fyzikálním praktiku 29 5.3 Zapojování obvodů 30 5.4 Bezpečnost práce 31 5.5 Vlastní měření 33 6 Pokyny ke zpracování naměřených hodnot 34 6.1 Příklady 36 6.2 Vypracování protokolu o měření 38 7 Měřicí přístroje a zdroje 39 00 / 1
Milí studenti, součástí základního kursu Fyzika na fakultách FEKT a FIT VUT je kromě teoretického také laboratorní cvičení, kterým Vás budou provázet tato skripta. Jsou rozdělena na dvě části. V první z nich Úvodu do měření najdete informace o základech měření a vyhodnocení naměřených hodnot, o přístrojích a zdrojích používaných v laboratořích fyziky a o bezpečnosti práce v laboratoři. Alespoň v minimální míře jsme se věnovali i samotnému průběhu laboratorních měření a úrovni odevzdávaných protokolů. Doufáme, že po prostudování Úvodu do měření Vám bude srozumitelnější zejména základní úkol každé experimentální činnosti, tj. důkladná analýza všech chyb, které se při měření vyskytly. Výsledek bez uvedení přesnosti nemá smysl nelze jej porovnat s jiným naměřeným výsledkem. V praxi je tento postup samozřejmý. V kapitole 6 najdete dostatek příkladů vzorového zpracování včetně ukázky, jak využít při výpočtech kalkulátoru. Druhá část skript Laboratorní úlohy obsahuje podrobný popis jednotlivých úloh. Každá z nich je nejdříve vyložena po teoretické stránce a pak je vysvětlen postup při měření a zpracování výsledků. Konkrétní měřicí metody a výpočty chyb jsou u úloh pouze zmíněny, je tedy nezbytné prostudovat také Úvod do měření, kde je vysvětlení podrobné. Stejně tak je vhodné obrátit se v případě potřeby i k další odborné literatuře, neboť skripta jsou pouze základní učební pomůckou. Naší snahou je, aby laboratorní měření nepředstavovala pro Vás pouze ztrátu času věřte, že i ve školní laboratoři můžete poznat objevitelskou radost a zažít uspokojení ze zdárného průběhu měření. Podmínkou je ovšem pečlivá příprava a schopnost samostatného a kritického myšlení, což je ostatně obecný požadavek pro celé vysokoškolské studium. Rádi bychom na závěr poděkovali kolegům a doktorandům našeho ústavu: Ing. Petru Sedlákovi, Ph.D., Ing. Knápkovi, Ing. Macků, Ing. Palai-Danymu, Ing. Škarvadovi a dalším, kteří se velkou měrou podíleli na inovaci laboratorních úloh a na zavádění nových úloh do fyzikálního praktika. V Brně, září 2010 kolektiv autorů 00 / 2
1 Fyzikální veličiny a jejich jednotky Hlavním zdrojem poznatků ve fyzice (jako ostatně v každé přírodní vědě) je pozorování a pokus. Základním úkolem při tom je měření fyzikálních veličin. Termín fyzikální veličina obvykle popisuje některou konkrétní vlastnost zkoumaného objektu, příp. jeho stav. Tak například moment setrvačnosti J je mírou setrvačných vlastností tělesa v rotaci kolem dané osy. Fyzikální veličiny jsou dvojího charakteru: Veličiny extenzivní neboli tzv. množství, které popisují kvantitativní vlastnosti těles (soustav). Jejich základní vlastností je aditivnost při skládání těles ve složitější soustavy se tyto veličiny sečítají. Mezi extenzivní veličiny patří hmotnost, náboj, délka, teplo aj. Při měření extenzivní veličiny se zvolí určitá její hodnota za jednotku a pak se srovnává, kolikrát je měřená veličina větší nebo menší než tato jednotka. Veličiny intenzivní neboli stavové, které popisují kvalitativní, jakostní vlastnosti těles (soustav). Pro stavové veličiny je typické, že při skládání těles jednodušších ve složitější se vzájemně vyrovnávají. Při určování jejich velikosti je nutno postupovat jinak, než u extenzivních veličin. U veličin intenzivních se nejprve stanoví stupnice jednotlivých stavů, které přiřadíme čísla. Při vlastním měření pak zjišťujeme, s kterou hodnotou na této stupnici souhlasí stav měřené veličiny. Stupnici zpravidla definujeme tak, že různé stavy jednoznačně přiřadíme k velikosti určité veličiny extenzivní - např. teplotní stupnici definujeme tak, že teplota je přímo úměrná objemu určitého množství látky. Příkladem intenzivní veličiny je teplota, tlak, potenciál aj. Poněkud zvláštní postavení mezi fyzikálními veličinami má čas, který narůstá jedním směrem (tzv. veličina protenzivní). Měřením fyzikální veličiny se rozumí určení její velikosti ve zvolených jednotkách. Každé fyzikální veličině přiřazujeme značku (symbol), kterou obecně označujeme X. Značky jsou stanoveny dohodou, např. pro hmotnost značka m, pro rychlost v, pro elektrický proud I. Často jde o první písmena anglických názvů veličin: např. mass m, velocity v. Hodnotu fyzikální veličiny X určenou měřením vyjadřujeme rovnicí X = {X} [X], kde {X} je číselná hodnota a [X] je jednotka dané veličiny. Hodnota veličiny nezávisí na jednotce, avšak její číselná hodnota ano. Proto musíme vždy uvést, v jaké jednotce udáváme číselnou hodnotu veličiny. V minulosti byly zaváděny jednotky pro různé veličiny nezávisle na sobě. Později bylo nezbytné na základě poznané souvislosti mezi veličinami dát do vztahu i jejich jednotky. Podle stupně poznání a technické úrovni využívala fyzika různých soustav fyzikálních jednotek. V současné době převažuje ve světě Mezinárodní soustava jednotek SI (Système International d Unités) přijatá na 11. generální konferenci pro váhy a míry v Paříži v r.1960 a uzákoněna i u nás. Základní, odvozené a doplňkové jednotky jsou definovány v ČSN ISO 31-0. 00 / 3
Základních jednotek je sedm: metr (m), kilogram (kg), sekunda (s), ampér (A), kelvin (K), mol (mol) a kandela (cd). Jejich definice je následující: 1. Metr je délka trajektorie, kterou proběhne světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy. 2. Kilogram je hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu uloženého v Mezinárodním úřadě pro váhy a míry v Sèvres u Paříže. 3. Sekunda je doba rovnající se 9 192 631 770 periodám záření, které odpovídá přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133. 4. Ampér je stálý elektrický proud, který při průtoku dvěma rovnoběžnými přímými a nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového průřezu, umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti 1 metru, vyvolá mezi nimi stálou sílu o velikosti 2.10-7 newtonu na 1 metr délky. 5. Kelvin je 1 část termodynamické teploty trojného bodu vody. 273,16 6. Mol je látkové množství soustavy, která obsahuje právě tolik elementárních jedinců (entit) 1 12 kolik je atomů v nuklidu uhlíku 6 C o hmotnosti 0,012 kilogramů. 7. Kandela je svítivost zdroje, který v daném směru vysílá monofrekvenční záření o kmitočtu 540.10 12 hertzů a jehož zářivost v tomto směru je 1 683 wattu na steradián. Odvozené jednotky se odvozují ze základních jednotek pomocí definičních rovnic. Např. fyzikální veličina hustota je určena vztahem m, V kde m je hmotnost a V je objem tělesa. Dosadíme-li do vztahu jednotku hmotnosti (kg) a objemu (m 3 ), je jednotkou hustoty kilogram na metr krychlový (kg.m -3 ). Odvozené jednotky lze vyjádřit součinem mocnin jednotek základních. Toto vyjádření nazýváme rozměr fyzikální jednotky. Některé odvozené jednotky mají vlastní názvy a značky, zpravidla podle jmen vynikajících fyziků; např. jednotka síly se nazývá newton (N). Základní a odvozené jednotky nazýváme souhrnným názvem hlavní jednotky. Doplňkové jednotky Odvozeným veličinám a jejich jednotkám, které mají rozměr roven jedné, říkáme bezrozměrné. Jsou to tzv. doplňkové jednotky. Příkladem je rovinný úhel a jeho jednotka radián (rad): m 1 radián (rad), r m kde je délka oblouku na kružnici o poloměru r, opsané kolem vrcholu rovinného úhlu. Při dosazování do veličinových rovnic jednotku rad u číselné hodnoty rovinného úhlu neuvádíme. Obdobnou jednotkou je steradián (sr) pro veličinu prostorový úhel. 1 Elementárními jedinci (entitami) mohou být např. atom, molekula, ion, elementární částice apod. 00 / 4
Kromě hlavních jednotek je možno používat jejich násobků nebo dílů, vytvořených pomocí mocnin čísla 10. Násobky a díly jednotek se tvoří z hlavních jednotek násobením nebo dělením vhodnou mocninou deseti (přednostně v řadě s kvocientem 10 3 ) pomocí předpon, které se spojují s názvem jednotky v jedno slovo. Je to jiná možnost, jak vyjádřit velmi velké nebo velmi malé hodnoty veličin. Např.: 2,35.10-9 s = 2,35 nanosekundy = 2,35 ns. Normalizovaná předpona značka znamená násobek peta p 10 15 tera T 10 12 giga G 10 9 mega M 10 6 kilo k 10 3 mili m 10-3 mikro 10-6 nano n 10-9 piko p 10-12 femto f 10-15 Tab. 1.1 Nejčastěji používané předpony fyzikálních veličin Kromě hlavních jednotek a jejich násobků a dílů lze z praktických důvodů používat i vedlejší jednotky, např. pro čas minuta (min), hodina (h), pro objem litr ( ), pro hmotnost tuna (t) apod. Tyto jednotky nejsou součástí soustavy SI. Při výpočtech číselných hodnot fyzikálních veličin často potřebujeme měnit jednotky, v nichž veličinu vyjadřujeme. Tento přepočet nazýváme převod jednotek. Převod můžeme snadno provést například tak, že vynásobíme původní zadanou či změřenou hodnotu převodním koeficientem. Uveďme příklad: Údaje 1 min a 60 s představují stejné časové intervaly. Můžeme proto psát 2 min = 2 (60 s) = 120 s Pro počítání s jednotkami platí stejná algebraická pravidla jako pro proměnné a čísla. 00 / 5
2 Měřicí metody Měření je základem každé experimentální vědy, kvalitní výroby a stálého technického rozvoje. Aby měření splnilo svůj účel, musí být potřebné hodnoty měřeny co nejspolehlivěji a co nejpřesněji. Postup, používaný při kvantifikaci (tj. stanovení číselné hodnoty) fyzikální veličiny, nazýváme měřicí metodou. Závisí především na povaze měřené veličiny a na tom, ze kterých vztahů vyjdeme a jakých měřicích přístrojů a uspořádání použijeme. Obvykle lze každou veličinu měřit několika různými metodami. Při rozhodování bývá často určující požadovaná přesnost výsledku. Uvedeme stručnou charakteristiku některých základních metod. Metody přímé a nepřímé U přímých metod se velikost měřené veličiny zjišťuje přímým srovnáním veličiny s jednotkou (měření délky čárkovým měřidlem) anebo se přímo odečítá na přístrojích (měření času stopkami, teploty teploměrem, napětí voltmetrem...). U nepřímých metod se hodnota měřené veličiny získává výpočtem z jiných přímo měřených veličin. Metody absolutní a relativní Absolutní metoda poskytuje hodnotu měřené veličiny vyjádřenou přímo v příslušné jednotce, např. čas v sekundách, proud v ampérech apod. Měření relativní jsou založena na srovnání s veličinou stejných rozměrů (např. hustota oleje se určuje porovnáním se známou hustotou vody, rovněž každé srovnávání s etalonem, normálem nebo standardem je relativní metodou). Metody statické a dynamické Mezi statické zařazujeme taková měření, při nichž se nejen měřená veličina, ale i ostatní veličiny nemění v čase a jejíž velikost odečteme na příslušném měřicím přístroji. U dynamické metody se měřená veličina (nebo dílčí veličiny, na kterých měřená závisí) mění s časem, a to zpravidla periodicky. Všechna měření (statická i dynamická) ovšem provádíme pokud možno za ustáleného stavu, tj. za stavu, kdy měřené veličiny zůstávají dostatečně dlouho neměnné. Např. při periodickém pohybu kyvadla se snažíme, aby amplituda výchylky neklesala, stejně tak požadujeme, aby v elektrickém obvodu neklesalo napětí zdroje v důsledku vybíjení baterie, apod. Není-li to z nějakého důvodu možné, jsou získané hodnoty méně spolehlivé. Velmi pomalé změny můžeme nechtě přehlédnout (měření kvazistatické). To bývá jeden z nejčastějších zdrojů chyb měření. Metody substituční a kompenzační Princip substituční metody spočívá v tom, že se neznámá velikost měřené veličiny postupně nahrazuje řadou různých známých hodnot (normálů, etalonů) této veličiny. Při užití kompenzační metody vyrovnáváme měřenou veličinu stejně velkou hodnotou téže veličiny. Kompenzační metoda je obvykle přesnější než substituční, protože kompenzace probíhá ve stejném časovém okamžiku, kdežto u substituční metody hledáme vhodný normál postupně a podmínky měření nemusí zůstat stálé. 00 / 6
Metodu kompenzační používáme např. při vážení, často se používá u elektrických a magnetických měření. Obvykle jde o metodu nulovou, při níž je výchylka měřicího přístroje rovna nule. Metody interpolační a extrapolační Při měření funkčních závislostí y = f(x) změříme pouze konečný počet hodnot y1, y2,... y n odpovídající hodnotám x1, x2,... x n. Často nás však zajímá hodnota y 0, která by náležela hodnotě x 0 ležící uvnitř intervalu x1, x2. Hledanou hodnotu zjistíme nejrychleji interpolací. Pro lineární funkční závislosti nebo pro určení funkční hodnoty v malém intervalu x, x je výpočet hledané hodnoty velmi jednoduchý: 1 2 y y y y y y x x x x x x 0 1 2 1 y0 y1 x0 x1 2 1 0 1 2 1 2 1 Obr. 2.1 Lineární interpolace Obr. 2.2 Lineární extrapolace Interpolační metodu lze zpracovat i graficky. Tento způsob je vhodný zejména u nelineárních závislostí, kdy je výpočet složitější. Naměřenými body v tom případě proložíme křivku odpovídající teorii měřené funkční závislosti a hledanou hodnotu y 0, jež přísluší x 0, odečteme na ose y. Jestliže z naměřených hodnot odhadujeme hodnotu y 0 v bodě, který leží mimo měřený interval, hovoříme o extrapolaci. U lineárních závislostí platí při extrapolaci pro y 0 obdobný vztah jako u lineární interpolace. Při extrapolaci však musíme být mnohem opatrnější než při interpolaci, zejména leží-li x 0 daleko od měřeného intervalu. Mimo měřený interval mohou mít totiž podstatný vliv nové fyzikální jevy, které se v měřeném intervalu neprojevily. Například při měření teplotní závislosti odporu vodiče v intervalu teplot od 10 ºC do 40 ºC naměříme lineární závislost a extrapolujeme ji do 100 ºC. Dodatečně pak zjistíme, že vodič se roztavil při teplotě 60 ºC, takže extrapolace nad tuto hodnotu byla nepřípustná. Zpravidla se nedoporučuje extrapolovat dále než o 20 % délky intervalu x1, x2. 00 / 7
Metoda postupná Většinou provádíme řadu měření nezávisle na sobě. Při měření opakujících se dějů je však užitečnější (a kratší), jestliže výsledek předchozího měření těsně navazuje na výsledek následujícího měření, tj. koncová hodnota jednoho měření je zároveň počáteční hodnotou měření dalšího. Pokud bychom zvětšili chybným údajem hodnotu prvního měření, nutně se musela hodnota druhého měření zmenšit, čímž se tedy chyby měření částečně eliminují. Např. při měření doby kmitu reverzního kyvadla je možno zaznamenat čas po každém desátém kmitu, aniž bychom stopky (nebo čítač spouštěný optoelektronickou závorou) zastavovali. Pro 50 kmitů tak dostaneme 10 údajů, které mají stále větší hodnotu. Pro kmit 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 čas (s) 0 19,92 39,84 59,76 79,67 99,85 119,65 139,64 159,54 179,52 Při vlastním měření proběhlo našich 90 kmitů za poměrně krátkou dobu (179,52 s). Postupná metoda však umožňuje získat za stejný čas větší soubor hodnot než 90 kmitů obdržíme tedy přesnější výsledek. To je důležité zejména u periodických dějů, kdy je nebezpečí, že vlivem tlumení děj ustane ještě před naměřením dostatečného množství hodnot. Naměřené hodnoty zaznamenáme do tabulky následujícím způsobem: počet kmitů A čas (s) počet kmitů B čas (s) rozdíly sloupců B A 50T (s) 0T 0,00 50T 99,85 99,85 10T 19,92 60T 119,65 99,73 20T 39,84 70T 139,64 99,80 30T 59,76 80T 159,51 99,75 40T 79,67 90T 179,52 99,85 V posledním sloupci je 5 hodnot vždy po 50 kmitech. Měřili jsme 90 kmitů, ale uvedené výsledky nám dovolují určit pomocí této metody výsledek se stejnou přesností, jako bychom měřili 5-krát 50T, tj. 250 kmitů. Další zpracování výsledků je již standardní: určíme průměrnou hodnotu doby padesáti kmitů a chybu výsledku (50 T) pro n = 5 měření a pravděpodobnost P = 0,95 (viz. str. 00-3/6) 50T (99,80 0,07) s Pro jeden kmit je výsledek i chyba 50-krát menší, tedy T (1,996 0,002) s Poznámka Při měření pravidelně se opakujících veličin postačuje však mnohdy (nemáme-li velké nároky na přesnost) změřit n-násobek dané veličiny a chybu odhadnout z použitého měřicího přístroje. Označíme-li tedy n-násobek veličiny X symbolem X, pak hodnota veličiny X je: X X n, ale také chyba n n ( X n) ( X ). n 00 / 8
3 Chyby měření Za daných podmínek má každá fyzikální veličina určitou hodnotu, kterou ovšem z principiálních důvodů nemůžeme zjistit úplně přesně. Každé měření je totiž zatíženo chybami, které jsou nejrůznějšího původu. Výsledek měření ovlivňují vlastnosti měřicích přístrojů i samotná osoba, která měření provádí. Dalším zdrojem chyb může být zvolená metoda měření a mnoho jiných, většinou nezjistitelných vlivů. Přesnost měření vyjadřuje blízkost výsledku měření ke skutečné hodnotě měřené veličiny. Skutečná pravá hodnota veličiny je ovšem pojem ideální. V teorii měření ji nahrazujeme tzv. konvenčně pravou hodnotou, což je hodnota, která se skutečné blíží natolik, že jejich rozdíl můžeme považovat za zanedbatelný. Při různých nárocích na přesnost můžeme např. za pravou hodnotu Planckovy konstanty jednou považovat 6,6256.10-34 J.s, jindy 6,6.10-34 J.s. Při opakovaných měřeních (po korekci soustavných chyb) klademe pravou hodnotu veličiny rovnu aritmetickému průměru naměřených hodnot. Přesnost, s jakou dané měření uskutečníme, musíme vždy stanovit, neboť výsledek měření bez uvedení přesnosti nemá smysl nelze ho totiž porovnat s jiným naměřeným výsledkem. Součástí každého měření je tedy důkladná analýza všech chyb, které se při něm uplatnily. Chyby měření lze roztřídit do několika kategorií, a to podle různých hledisek. Podle původu (chyby osobní a chyby měřicích přístrojů, metody), podle charakteru (chyby náhodné a chyby soustavné) nebo podle analytického vyjádření (chyby absolutní a relativní). Můžeme uvést také chybu krajní (mezní), což je maximální chyba měření, ke které může za daných podmínek dojít, nebo chybu větší než maximální tzv. chybu nadměrnou (hrubou). Ta svědčí o nespolehlivosti měření způsobené poruchou přístroje, omylem experimentátora apod. Některé výše uvedené druhy chyb se vzájemně prolínají a jejich rozlišení je mnohdy obtížné. Například soustavné chyby měření zůstávají při opakování měření za stejných podmínek konstantní. Mění-li se však podmínky měření (často si to ani neuvědomíme), mění se i hodnoty soustavných chyb a snadno dojde k jejich záměně s náhodnými chybami. Uvedeme-li chybu měření (ať už soustavnou, náhodnou nebo hrubou, či jinou) v jednotkách měřené veličiny, hovoříme o chybě absolutní. Lepší představu o přesnosti měření však dává chyba relativní, vyjádřena jako podíl absolutní chyby a měřené veličiny. Je to bezrozměrné číslo, což je výhodné, máme-li porovnat přesnost měření fyzikálních veličin různého druhu. V praxi se uvádí obvykle procentuální vyjádření relativní chyby. 3.1 Hrubé chyby Měření zatížené hrubou chybou poznáme snadno, protože dává proti ostatním měřením téže veličiny příliš odlišnou hodnotu. Hrubé chyby vznikají nepozorností nebo únavou (na stupnici čteme 13 místo 18), při zhoršených podmínkách měření (špatná viditelnost), může k nim dojít také při nevhodné volbě měřicí metody a měřicích přístrojů. Např. magnetoelektrické voltmetry s usměrňovačem pro měření střídavých napětí jsou cejchovány v efektivních hodnotách napětí. Toto cejchování však platí jen pro napětí harmonického průběhu. Jestliže by se takovým voltmetrem měřilo napětí neharmonického průběhu, údaj voltmetru by byl chybný. Při zpracování měření je nutno hrubé chyby vyloučit, aby nezkreslovaly výsledek měření. 00 / 9
3.2 Soustavné (systematické) chyby Největší problém z hlediska posouzení přesnosti měření představují soustavné chyby, protože jejich původ a velikost se dá určit mnohdy velmi obtížně. V praxi se navíc běžně vyskytují soustavné chyby společně s chybami náhodnými. Soustavnou chybou měření se rozumí chyba, jejíž hodnota se nemění, opakuje-li se měření za stejných podmínek (což není vždy splněno). Zdroje soustavných chyb jsou různé: jejich původem jsou měřicí metody, používané měřicí přístroje nebo osoby provádějící měření. Na rozdíl od náhodných chyb, u kterých nedovedeme přesně popsat příčiny vzniku, lze pečlivým rozborem měření (analýzou) soustavné chyby odhalit a odhadnout jejich velikost a znaménko (případně je odstranit). I když nebudeme ve cvičení úlohu opakovat, můžeme svoje zkušenosti a poznatky uplatnit u jiné úlohy, kde je použita stejná metoda měření, popřípadě stejné měřicí přístroje. Tak například při měření napětí voltmetrem dostáváme pro napětí hodnoty poněkud menší, protože vnitřní odpor voltmetru není nekonečně velký. Tady můžeme chybu vyloučit početní korekcí, nebo měření nahradit např. kompenzační metodou. Použijeme-li při měření gravitačního zrychlení reverzním kyvadlem vzorce pro dobu kmitu platného pro nulový rozkmit, dostáváme pro gravitační zrychlení hodnotu vždy o něco menší, než je skutečná hodnota. Potřebujeme-li velmi přesný výsledek, opravíme dobu kmitu podle tabulky na nulový rozkmit. Alespoň částečné eliminace soustavných chyb se dá dosáhnout opakováním měření různými metodami. Soustavné chyby tím dostanou charakter proměnlivých chyb se souměrným rozložením. Po vyhodnocení způsobem obvyklým u náhodných chyb dospějeme k přesnější hodnotě měřené veličiny. V některých případech (je-li rozptyl takto získaných hodnot značný) vyjádříme pouze rozpětí, ve kterém leží měřená veličina intervalem X, X. min max Existuje celá řada testů, kterými lze zjišťovat, zda skutečné chyby opakovaných měření (za stejných podmínek) obsahují kromě náhodné chyby i chybu soustavnou. Nejjednodušší je sledování posloupnosti znamének chyb. Odchylky se sledem znamének + + + + + + + (nebo obdobným) jsou náhodné, zatímco u odchylek např. + + + + + + + se dá předpokládat soustavná složka, která se měnila z kladné na zápornou hodnotu. Chyby vnáší do měření i samotný objekt měření. Mnohé materiály delším provozem mění svoje vlastnosti (únava materiálu), takže interval, ve kterém určíme naměřenou veličinu se buď částečně nebo vůbec nekryje s intervalem, který udávají tabulky. Např. nižší hodnoty modulů se dají přirozeně vysvětlit a lze je v závěru protokolu zdůvodnit. Opožděné spuštění stopek při měření času, chybný způsob odečítání hodnot ze stupnice (tzv. paralaktická chyba), příliš hrubý odhad zlomků nejmenšího dílku to jsou chyby osobní. Ty se nejúčinněji odstraní automatizací měření. Častými zdroji soustavných chyb jsou samotné měřicí přístroje, u nichž může být třeba nerovnoměrně nanesená stupnice (ověřujeme cejchováním). Důležité je rovněž správné nastavení přístrojů (nastavení nuly, citlivosti), a to před měřením i v průběhu měření. Není také vhodné měřit elektronickými měřicími přístroji hned po jejich zapnutí. Jejich vlastnosti jsou ustálené až po uplynutí dostatečně dlouhé doby. Soustavnou chybu, která byla zjištěna, je nutno korigovat. Ve zpracování výsledku měření se použijí opravené hodnoty měření. 00 / 10
3.3 Chyby měřicích přístrojů Vzhledem k rozmanitému původu soustavných chyb a jejich závislosti na podmínkách měření není ovšem mnohdy možné stanovit jejich hodnotu a opravit výsledek měření. V takovém případě určíme (nebo pouze odhadneme) alespoň interval, ve kterém s jistotou leží chyba jednoho měření. kde Výsledek měření tedy zapíšeme ve tvaru x N ux ( ) X xn u( X ), r( X ), (3.1) x je naměřená hodnota veličiny X, u(x) je mezní chyba měřidla v absolutním tvaru a ( X ) je relativní chyba výsledku. Chyby měřidel bývají zařazeny mezi soustavné chyby. r U analogových (ručkových) měřicích přístrojů vymezíme interval, ve kterém leží měřená veličina, z třídy přesnosti. Ta je definována jako číslo n, které udává, že mezní chyba měření je n % z největší hodnoty zvoleného měřicího rozsahu, a to pro všechny hodnoty odečtené na tomto rozsahu. Velikost chyby z třídy přesnosti je jednoznačně určena zařazeným rozsahem. Na různých rozsazích je tedy různá, zpravidla větší než desetina nejmenšího dílku dělení. Výrobce zaručuje, že v těchto mezích leží součet všech dílčích soustavných chyb (způsobených nepřesností výroby, oteplením přístrojů vlastní spotřebou, stárnutím materiálů, rušivými mechanickými silami tření, atd.) i mezní náhodná chyba. Snažíme se o co nejpřesnější odečítání hodnot, minimálně odhadneme polovinu nejjemnějšího dělení. Zatímco absolutní mezní chyba je pro daný rozsah konstantní, velikost relativní chyby závisí na hodnotě měřené veličiny. Z hlediska přesnosti měření je proto volba vhodného měřicího rozsahu velmi důležitá. N Příklad: Měřicí přístroj třídy přesnosti 0,2 má na rozsahu 1500 ma mezní absolutní chybu 3 ma (tj. 0,2 % z 1500 ma) pro všechny hodnoty. Odečítáme-li tedy na tomto rozsahu 1500 ma, je relativní chyba 0,2 %, ale při měření proudu 750 ma už 0,4 % a pro hodnotu 150 ma dokonce 2 %. Rozsah přístroje musíme proto volit vždy tak, aby se výchylka pohybovala pokud možno v poslední třetině nebo alespoň v druhé polovině stupnice, protože pouze tady měříme s relativní chybou jen o něco větší než je třída přesnosti. U číslicových měřicích přístrojů není mezní chyba dosud stanovena normami jako u analogových třídou přesnosti. Zpravidla se však celková chyba vyjadřuje součtem dvou čísel. První číslo je část chyby v % měřené hodnoty, druhé číslo je část chyby v % plného rozsahu (zde se uplatní zejména chyby související s kvantováním). Za mezní chybu vážení budeme považovat rozdíl nulových poloh před a po vážení dělený citlivostí vah. U stopek byla mezní chyba měření způsobená strojem a lidským faktorem odhadnuta na 0,3 s pro jeden odečet času. U všech měření, kdy odečítáme na stupnici, můžeme za maximální chybu považovat nejmenší dílek dělení (obvykle to bývá 1mm), někdy také jeho polovinu (stanovíme dohodou). Přesně odečteme celé dílky a není-li měřítko opatřeno noniem, desetiny dílku odhadneme. Úroveň svých měřicích schopností a tím i přesnost odečítání ze stupnice určí nejlépe každý sám. Je ovšem samozřejmé, že se snažíme o co nejlepší výsledek. 00 / 11
U většiny měření se vyskytuje více druhů chyb. Např. při měření napětí voltmetrem chyba odečítání na stupnici i chyba vymezená z třídy přesnosti. Srovnáním jejich velikostí zjistíme, kterou z nich můžeme zanedbat. 3.4 Náhodné chyby Opakujeme-li měření s dostatečnou rozlišovací schopností, pak i při konstantní hodnotě měřené veličiny dostaneme výsledky, které se navzájem liší. Příčinu spatřujeme v tom, že při každém měření působí řada víceméně nepostižitelných vlivů, které se náhodně kombinují a způsobují náhodné (nahodilé) chyby měření. Těmto chybám není možné se vyhnout a vynikají tím více, čím přesnější měření provádíme. Obdobně dostaneme náhodně rozložené výsledky opakovaných měření v případě, že měřená veličina má náhodný charakter, i kdyby samotná měření byla bez chyb. Pravděpodobnost a statistika nám umožňuje vyřešit problém, jak z těchto různých naměřených hodnot určit tu, která je s největší pravděpodobností skutečnou (pravou) hodnotou naší veličiny. Kdybychom provedli velmi mnoho (a velmi mnoho znamená počet n měření, ukázalo by se, že rozložení hodnot na číselné ose vykazuje jistou zákonitost. Nejvíce jich leží v blízkém okolí hodnoty, kterou nazýváme střední hodnota. Malé odchylky od střední hodnoty jsou tedy daleko četnější než velké. Většina veličin měřených ve fyzice má symetrické rozložení kolem střední hodnoty pro každou kladnou odchylku od střední hodnoty bychom při velkém souboru hodnot našli stejně velkou zápornou odchylku. Takovéto rozložení se nazývá normální neboli Gaussovo rozložení a je popsáno funkcí 2 1 ( x) 2 2 1 px ( ) e. (3.2) 2 Je to známá zvonovitá křivka (obr. 3.1), která vyjadřuje hustotu pravděpodobností hodnot veličiny x (jsou to všechny hodnoty x i, jež by při našem měření mohla nabývat tato fyzikální veličina). Hodnoty x i jsou diskrétní, ale pro n jsou rozloženy tak hustě, že je můžeme aproximovat spojitým rozložením. Funkce p(x) má jediné maximum právě v bodě x a její průběh závisí na parametru. Čím menší je, tím vyšší a ostřejší je maximum, tj. naměřené hodnoty jsou méně rozptýleny. Obr. 3.1 Průběh normálního rozdělení pro různé hodnoty rozptylu 00 / 12
2 Rozptýlenost hodnot na číselné ose vyjadřuje veličina, jež se nazývá rozptyl. Je definována jako průměrný čtverec odchylek jednotlivých hodnot od střední hodnoty : 1 (3.3) n 2 2 ( x i ) Druhá odmocnina z rozptylu se nazývá směrodatná (standardní) odchylka), v některých publikacích také střední kvadratická odchylka. Patří spolu se střední hodnotou k základním charakteristikám Gaussova rozložení. Protože p(x) vyjadřuje rozložení pravděpodobností hodnot, dá se řešením integrálu x 2 p( x) dx (3.4) x 1 vyčíslit pravděpodobnost, s jakou se měřená veličina nachází v určitém intervalu x1, x2. Definiční obor funkce (3.4) je,, v tomto intervalu se tedy veličina nachází se 100 %-ní pravděpodobností. Vymezíme-li na ose x význačné body, pak intervalu, přísluší 68,26 %-ní pravděpodobnost výskytu náhodné veličiny, intervalu 2, 2 pravděpodobnost 95,44 %, a v intervalu 3, 3 leží s 99,72%- ní pravděpodobností skutečná hodnota měřené veličiny (obr.3.2). Jinak řečeno, má-li naše veličina normální rozložení, je téměř 100 %-ní pravděpodobnost, že žádná z hodnot, kterou naměříme, se nebude odchylovat od střední hodnoty více než 3. Normální Gaussovo rozložení (rozdělení) připouští sice teoreticky i výskyt velmi velkých odchylek od střední hodnoty, ale jejich pravděpodobnost je velmi malá. Obr. 3.2 Normální Gaussovo rozdělení Zkušenost ukazuje, že hodnoty náhodné veličiny nikdy nepřesáhnou určitou mez. Měřímeli vzdálenost 10 m, není prakticky možné, abychom v důsledku náhodných chyb naměřili např. 8 m. Za maximální možnou odchylku se bere nejčastěji Δmax 3. Hodnoty, které přesáhnou tuto mez, vyloučíme obvykle ze zpracování jako hrubé chyby. Je to známé pravidlo tří sigma. Soubor n hodnot pro n se ve statistice nazývá základní soubor a svými parametry a je popsán jednoznačně. V praxi je ovšem nemožné provést nekonečně mnoho měření, a to nejen z časových důvodů. U některých veličin by došlo k nevratným změnám, u jiných měřených objektů dokonce ke zničení. Musíme se proto spokojit s menším počtem měření a pokusit se i z tohoto tzv. náhodného výběru odhadnout parametry (tj. střední hodnotu a rozptyl, resp. směrodatnou odchylku) základního souboru. 00 / 13
Bodovým odhadem střední hodnoty je aritmetický průměr naměřených hodnot x : 1 x x i (3.5) n Výběrový rozptyl s 2, kterým odhadujeme rozptyl základního souboru 2, je definován 2 x i x (3.6) 2 ( ) s n 1 a výběrová směrodatná odchylka (střední kvadratická odchylka jednoho měření) s je potom s 2 ( x i x) (3.7) n 1 Aritmetický průměr a výběrový rozptyl ovšem nejsou obecně (z hlediska základního souboru) konstanty, neboť pro každou sadu měření bychom obdrželi poněkud jiné hodnoty jak aritmetického průměru, tak výběrového rozptylu. S jakou přesností můžeme považovat aritmetický průměr naměřených hodnot x za pravou hodnotu měřené veličiny? Tuto přesnost odhadu popisuje interval spolehlivosti: s s x tn, P, x tn, P, (3.8) n n kde x je aritmetický průměr naměřených hodnot, s je výběrová směrodatná odchylka a t np, je koeficient Studentova rozdělení. Výraz s x s n 2 ( xi x) (3.9) nn ( 1) se nazývá výběrová směrodatná odchylka aritmetického průměru. s Součin ( X) tnp, (3.10) n je chyba výsledku z n měření s pravděpodobností P (tzv. hladina spolehlivosti). Obvykle uvádíme i relativní chybu výsledku ( ) r ( ) X X. (3.11) x Hodnoty t jsou tabelovány v příslušných normách, zde uvedeme pouze zkrácenou tabulku t pro vybrané hodnoty počtu měření n a některé pravděpodobnosti P. t np, n P = 0,50 P = 0,68 P = 0,95 P = 0,99 3 0,817 1,321 4,526 19,210 5 0,741 1,110 2,968 6,620 10 0,703 1,059 2,320 3,250 15 0,692 1,037 2,145 2,997 20 0,688 1,027 2,093 2,861 Tab. 3.1 Tabulka vybraných hodnot koeficientů Studentova rozdělení 00 / 14
V technické praxi je obvyklé požadovat 95 %-ní pravděpodobnost výsledku (tedy hladinu spolehlivosti 0,95). Znamená to zároveň, že je pouze 5 %-ní riziko, že v našem intervalu se pravá hodnota měřené veličiny nenachází. Při běžných měřeních bývají výsledky uvedeny s hladinou spolehlivosti 0,68 (tedy s pravděpodobností 68 %). U výsledku se zapsanou chybou vždy uvedeme zvolenou pravděpodobnost a počet měření. Interval spolehlivosti se zužuje při rostoucím počtu měření v důsledku zmenšujících se hodnot t a rostoucího jmenovatele n ve vztahu (3.9). Na obr. 3.3 je však vidět, že při velkých n klesá s x jen pozvolna, takže provádění velkého počtu měření je neekonomické. Kromě toho nelze vždy zaručit stálost měřené veličiny a podmínek měření. Za vhodný počet měření se obvykle považuje 10 20. Obr. 3.3 Závislost výběrové směrodatné odchylky na počtu měření 3.5 Chyby nepřímých měření Přímo naměřené veličiny dosazujeme ve většině případů do fyzikálních vztahů, abychom vypočetli hledanou fyzikální veličinu jedná se o nepřímé měření. Vyvstává tedy otázka, jak veliká je chyba výsledné veličiny, jestliže známe chyby vstupních hodnot. Předpokládejme, že fyzikální veličina, kterou je nutno určit, souvisí s dílčími veličinami vztahem V f ( X, Y,...) Hodnoty veličin X,Y,... změříme přímo a standardním postupem (s. 34) určíme také jejich chyby ( X), ( Y),... Nejpravděpodobnější hodnotu hledané veličiny obdržíme, dosadíme-li do vztahu aritmetické průměry změřených veličin, tj. v f ( x, y,...) (3.12) Pokud jsme některou z veličin změřili jednorázově, dosadíme tuto hodnotu (např. Chyba takto vypočítané veličiny je dána vztahem y N ). ( ) f f V ( X ) ( Y)... x y 2 2, (3.13) kde ( X ) je chyba výsledku měření veličiny X a ( Y) chyba výsledku měření veličiny Y, atd. 00 / 15
Nemusí se přitom jednat o stejný druh chyb, neboť velmi často měříme některé veličiny pouze jednou, jiné opakovaně. Uvedený vztah se nazývá zákon šíření chyb a uvádíme ho bez důkazu. Ve většině případů nám však požadovaná přesnost dovolí použít jednoduššího tvaru téhož zákona ( ) f f V ( X ) ( Y)... x y (3.14) Pro praktickou potřebu výpočtu přesnosti výsledku uvedeme několik aplikací vzorce (3.14) pro nejčastěji se vyskytující tvary funkce V, kde a, b, k, m jsou konstanty, a ( X ) a ( X ) absolutní a relativní chyby. r V ax ( V) a( X ) V ax by ( V) a ( X ) b( Y) V V k ax r( V) kr( X ) k m ax by r ( V) kr ( X ) mr ( Y) X V Y k m ( V) k ( X ) m ( Y) r r r Tab. 3.2 Výpočet absolutních a relativních chyb pro nejčastěji se vyskytující funkce Je-li tedy nepřímo měřená veličina součtem či rozdílem přímo měřených veličin, rozhoduje o chybě výsledku větší z absolutních chyb. V zájmu ekonomického měření je třeba volit metody měření obou veličin tak, aby ( X) ( Y) (bez ohledu na chyby relativní). Nemá tedy v tomto případě ani smysl některou z veličin měřit daleko přesněji (s menší absolutní chybou) než ostatní, neboť na chybu výsledku nemá prakticky vliv. Je-li naopak nepřímo měřená veličina součinem nebo podílem přímo měřených veličin (a jejich mocnin), platí obdobný závěr pro relativní chyby. Pro velikost výsledné relativní chyby je určující největší relativní chyba (exponenty se přitom objevují jako koeficienty u příslušných relativních chyb) tab. 3.2. Z toho také plyne, že veličiny, které se v určujícím vzorci vyskytují s vyššími mocninami, je třeba měřit s větší přesností než ostatní. V praxi se někdy naskytne i opačný úkol: stanovit, s jakou maximální chybou mohou být naměřeny hodnoty výchozích veličin, aby maximální chyba výsledku (tj. nepřímo měřené veličiny) nepřestoupila zadanou přípustnou mez. Postup se nazývá optimalizace měření. Nejčastěji se přitom vychází ze zásady stejného vlivu, tj. z předpokladu, že všechny členy na pravé straně rovnice (3.14) jsou stejně velké a tomuto požadavku se přizpůsobí výběr měřicích přístrojů a metoda měření. Obvyklá přesnost v laboratorním měření je okolo 1 %. Chceme-li posoudit pravděpodobnost, s jakou se nepřímo měřená veličina nachází ve vypočteném intervalu, musíme uvážit, s jakou pravděpodobností máme určeny dílčí veličiny. Nejmenší z těchto pravděpodobností je zároveň pravděpodobnost výsledku. (Je to aplikace známé zásady pevnost řetězu je rovna pevnosti jeho nejslabšího článku.) 00 / 16
4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle proměnné, jinak řečeno argumentu). Každá taková funkční závislost je určena tabulkou, grafem, nebo analytickým zápisem. Při vlastním měření ke zvoleným hodnotám x1, x2,... x n (rostoucím nebo klesajícím) zaznamenáváme do tabulky naměřené hodnoty y1, y2,... y n. Dvojice hodnot xi, yipak vyneseme do grafu a podle přibližného tvaru křivky, spojující tyto body, rozhodneme, jakou funkcí vyjádříme hledanou závislost y y( x). Může to být funkce lineární, kvadratická popř. i funkce s vyššími mocninami x. Časté jsou také funkce exponenciální či logaritmické. V praxi se mohou vyskytnout dva případy: 1. Měřená závislost je známa a experiment ji více nebo méně přesně potvrdí. Je nutné tedy najít správné hodnoty koeficientů v analytickém vyjádření funkce. Touto problematikou se zabývá vyrovnávací počet. 2. Fyzikální interpretace měřené závislosti není v literatuře jednoznačně popsaná, tzn. že nemůžeme předem znát tvar funkční závislosti tzv. modelovou funkci. Pak je možné pokusit se vyslovit hypotézu o funkční závislosti a ověřit výsledky jinou metodou. Je nutno zdůraznit, že tzv. modelová funkce musí být fyzikálně opodstatněná. Předpokládáme-li lineární závislost, není vhodné proložit naši naměřenou závislost např. kvadratickou funkcí, i kdybychom dospěli k lepší shodě s naměřenými údaji. V takovém případě musíme výsledky měření analyzovat a pokusit se nalézt zdroj možných chyb měření. Využití počítačů v této problematice nám umožňuje nalézt analytické vyjádření funkce, která nejlépe reprodukuje skutečně naměřenou funkční závislost i ve složitějším tvaru (např. polynom n-tého stupně, logaritmická či exponenciální funkce, popřípadě jejich kombinace). Při hledání vhodné funkce nesmíme zapomenout, že naměřené hodnoty závisle i nezávisle proměnné jsou zatíženy chybami stejně jako naměřené hodnoty konstantní veličiny (tj. chybami hrubými, soustavnými a nahodilými). Hodnoty v tabulce jsou tedy vyjádřením funkce, která osciluje kolem funkce hledané (uvažujeme-li chyby nahodilé), popřípadě je posunuta vůči funkci hledané (jestliže jsme neodstranili chyby soustavné). Nejvíce patrné jsou ovšem chyby hrubé, které vyloučíme pokud možno ještě před zpracováním. Po zadání tvaru funkce nám vhodný program sám určí potřebné koeficienty (konstanty) ve vzorci. Správnost těchto konstant pak určuje tzv. regresní koeficient, který se při úplné shodě teorie s praktickým měřením rovná 1. Ve Fyzikálním praktiku půjde většinou o ověření závislostí y a bx, y e, y ax bx b 00 / 17
4.1 Lineární závislost Řada jednodušších fyzikálních zákonů a závislostí je lineární, grafem je tedy přímka vyjádřená rovnicí kde a, b jsou konstanty. y a bx, (4.1) Z vyrovnávacích metod je v tabulkových kalkulátorech nejčastěji používána metoda nejmenších čtverců. Pracují s ní i kvalitnější programovatelné kapesní kalkulátory. Dává dobré výsledky při normálním (gaussovském) rozložení chyb. Pokud však opomeneme vyloučit hrubé chyby, výrazně zkreslují výsledek svým čtvercem. Nemáme-li k dispozici program, můžeme určit hledané koeficienty graficky. Existují grafické metody, které umožňují s dostatečnou přesností nalézt přímku, která se body vynesenými do grafu prokládá. Zkušenější experimentátor je schopen v případech, že požadavky na přesnost nejsou vysoké, proložit těmito body přímku od oka. Na obr. 4.1 jsou zobrazeny výsledky měření závislosti brzdného napětí na frekvenci, naměřené při stanovování Planckovy konstanty. Závislost je vyrovnána skupinovou metodou graficky. Měření, jehož obrazem je bod A, je zřejmě zatíženo hrubou chybou, proto jej do vyhodnocování nezahrneme. Ostatní body jsou rozděleny do dvou skupin, jsou nalezena jejich těžiště a jimi je proložena přímka. Bodu B byla přisouzena dvojnásobná váha, neboť při opakování měření jsme obdrželi stejnou hodnotu brzdného napětí. Obr. 4.1 Přímka proložená naměřenými body grafickou metodou Směrnice lineární závislosti Prodloužíme-li přímku až po x = 0, určíme koeficient a jako úsek na svislé ose. Koeficient b, tj. směrnici lineární závislosti, určíme ze vzorce: b y x y x 2 1 2 1. (4.2)! Pozor! Z geometrie jste zvyklí určovat směrnici přímky jako tangentu jejího směrového úhlu. To ovšem platí jen tehdy, jsou-li na obou osách zvolena stejná měřítka. 00 / 18
Obr. 4.2 Směrnice zobrazení 1 Obr. 4.3 Směrnice zobrazení 2 Na obr. 4.2 a 4.3 je zobrazena tatáž lineární závislost. Na svislé ose je však v druhém případě jiné měřítko než na ose vodorovné. Při použití vztahu b tg vidíme, že při vyhodnocení téže lineární závislosti dostaneme při zobrazení v různých měřítkách různý výsledek. Stanovíme-li však pro obě zobrazení směrnice hodnotu b výpočtem podle vztahu (4.2): vyjde podle očekávání v obou případech stejná. 56 mv 48 mv b1 8,0 Ω, b2 8,0 Ω (4.3) 7,0 ma 6,0 ma Je třeba zdůraznit, že směrnice není obecně bezrozměrné číslo. Rozměr, resp. jednotku obdržíme po dosazení rozměrů (jednotek) veličin x, y do rovnice (4.2), tak jak je vidět v rovnici (4.3). 4.2 Exponenciální a mocninná závislost Máme-li zpracovat výsledky měření veličiny, jejíž závislost na nezávisle proměnné veličině je exponenciální nebo mocninná, lze vhodným zobrazením u exponenciální funkce semilogaritmickým, u mocninné logaritmickým převést tyto závislosti na lineární. Postup používáme zejména tehdy, nemáme-li přístup k automatizovanému zpracování, neboť vyrovnání lineární závislosti zvládneme jednoduchými prostředky. Snadno pak z grafu určíme koeficienty v původní měřené závislosti. Tato metoda má však své výhody i v případě počítačového zpracování měření, kdy nám koeficienty funkce v hledané závislosti určí program přímo a nemuseli bychom tedy graf linearizovat. Před samotným zpracováním je nutno totiž zjistit, zda měření neobsahuje hrubé chyby. V transformované přímce postřehneme tyto chyby snáze než v exponenciální nebo mocninné závislosti a můžeme je vyřadit. Mnohdy také podle zalomení přímky zjistíme, že naměřené hodnoty je vhodné rozdělit do dvou skupin a pro každou z nich určit jiné koeficienty prokládané funkce. 00 / 19
Exponenciální funkce má tvar y a, (4.4) e bx po logaritmování (přirozené logaritmy) obdržíme: Provedeme následující transformaci: Y ln y, X x, A ln a. ln y ln a bx. (4.5) Po dosazení do (4.5) je vidět, že exponenciální závislost dostala tvar lineární funkce Y A bx. V souřadnicích X, Y bude tedy funkce zobrazena přímkou. Používáme SW nástroje (v programu Excel nastavíme pro jednu z os logaritmické měřítko), nebo semilogaritmický papír (jedna z os má předtištěné logaritmické měřítko). Obr. 4.4 Exponenciální funkce v semilogaritmickém zobrazení U logaritmických os jsou na patřičných místech zobrazeny mocniny 10, neboť i když na osu vynášíme logaritmus hodnoty, pro větší přehlednost připisujeme k dělícím bodům přímo hodnoty, nikoliv jejich logaritmy. Při výpočtech musíme vzít v úvahu, že osa je dělena v dekadických, nikoliv přirozených logaritmech. Po vynesení bodů do semilogaritmického zobrazení provedeme podle potřeby vyrovnání lineární závislosti a sestrojíme přímku. Směrnici této přímky, tj. koeficient b v závislosti (4.4), obdržíme ze vztahu log y b x log y ln10. (4.6) x 2 1 2 1 Do rovnice (4.6) dosazujeme souřadnice dvou dostatečně vzdálených bodů vyrovnávající přímky. Nedosazujeme hodnoty z tabulky, ale dva body ležící na proložené přímce. Nevolte vždy paušálně krajní body přímky, okrajové hodnoty měřeného intervalu jsou měřeny obvykle s menší přesností. Fyzikální rozměr koeficientu b je v tomto případě určen rozměrem jmenovatele zlomku, neboť logaritmus veličiny je vždy bezrozměrné číslo. Na obr. 4.4 je závislost relativního světelného toku na tloušťce pohlcujícího prostředí x při absorpci světla, která má tvar Φ r e ax. 00 / 20
Závislost má v semilogaritmickém zobrazení (osa x má lineární a osa y logaritmické měřítko) tvar klesající přímky. Směrnice této přímky k (přičemž k = a) je log 2 log30 k ln10 0,54 cm (7,0 2,0) cm 1 Mocninnou závislost jednoduchého typu b y ax (4.7) lze také transformovat na závislost lineární. Rovnici (4.7) logaritmujeme: log y log a blog x (4.8) a po substituci Y = log y, X = log x, A = log a obdržíme rovnici přímky Y A bx. (4.9) V tomto případě, jak sami vidíte, musejí mít obě osy logaritmické měřítko. Takže v Excelu nastavíte logaritmické měřítko u obou os nebo použijete logaritmický papír (tj. obě osy mají logaritmické měřítko). Na obr. 4.5 je závislost výkonu vyzařovaného žárovkou na teplotě vlákna této žárovky. Podle Stefanova Boltzmannova zákona má být vyzařovaný výkon úměrný čtvrté mocnině absolutní teploty: Obr. 4.5 Mocninná závislost v logaritmickém zobrazení P S T. 4 V logaritmickém zobrazení tedy očekáváme přímku, jejíž směrnice je 4. Ze souřadnic dvou bodů nalezené přímky vypočítáme směrnici přímky, tj. koeficient b, podle vztahu Po dosazení obdržíme log y b log x log y log x 2 1 2 1 log P log 2,4 log 0,2 b 4,03, logt log1000 log 540 což je v dobré shodě s ověřovaným Stefanovým Boltzmannovým zákonem. Na s. 25-28 si ukážeme postup vytvoření tohoto grafu v aplikaci MS Excel.. 00 / 21
4.3 Zásady tvorby grafů Grafické zobrazení je díky názornosti velmi časté a v odborné fyzikální literatuře je téměř každá naměřená závislost doplněna grafem. Pro jejich zhotovování nejsou jednoznačná pravidla v každém oboru jsou trochu odlišné zvyklosti. Ve fyzikálním praktiku doporučujeme držet se následujících zásad: 1. Grafy zhotovujeme na milimetrovém, popřípadě jiném speciálním grafickém papíře (semilogaritmický, logaritmický, polární), obvykle formátu A4. V pravoúhlé soustavě souřadnic se nezávisle proměnná vynáší na vodorovnou osu, přičemž kladné hodnoty veličin vzrůstají vpravo a nahoru od počátku souřadnic. V polární soustavě souřadnic musí ležet počátek čtení úhlů na vodorovné nebo svislé ose a kladný smysl úhlových souřadnic musí odpovídat opačnému smyslu otáčení hodinových ručiček. 2. Osy grafu musejí být popsány symbolem nebo názvem veličiny. Do kulaté závorky nebo za lomítko uvedeme i její jednotku (není-li veličina bezrozměrná). Na vnější stranu os vyneseme stupnici, jejíž body jsou přiměřeně daleko od sebe, abychom mohli z grafu pohodlně odečítat. Čísla se píší vodorovně, a to i u svislé osy. Pokud je to účelné, užíváme mocnin 10 popř. násobků jednotek. Souřadnice naměřených bodů na osách nevyznačujeme, ty lze vyhledat v tabulce. 3. Měřítka a stupnice grafu volíme tak, aby vynášené křivky zaplňovaly co největší plochu mezi osami. Do průsečíku os klademe nuly stupnic pouze v některých případech (chceme-li např. ukázat, že graf neprochází počátkem souřadnic). Jinak začíná stupnice hodnotou o něco menší než je nejmenší vynášená. 4. Chyba při odečítání obou souřadnic je stejná jen v té části křivky, kde směrnice příslušné tečny je rovna 1. V místech, kde se křivky příliš přibližují rovnoběžkám s některou osou, je chyba odečtu jedné či druhé souřadnice z grafu větší. Tuto chybu nelze vždy odstranit pouhou změnou měřítek stupnic na osách. 5. Jednotlivé naměřené hodnoty v grafu výrazně označíme nejlépe křížkem. Naprosto nevhodné jsou pouhé tečky, které po vytažení křivky většinou zmizí. Potřebujeme-li do jednoho grafického pole vynést více křivek a mohlo by dojít k záměně bodů, odlišujeme je různými černobílými značkami (,,,,,,). Barvy použijeme pouze tehdy, bude-li graf tisknut barevně a také barevně rozmnožován. Ke každé křivce zapíšeme hodnotu parametru, který ji určuje. 6. Body nespojujeme lomenou křivkou, spojnice bodů nemá zpravidla žádný fyzikální význam. Pokud je žádoucí vytvořit spojnici bodů, prokládáme hladkou křivku (např. pomocí křivítka). Křivku volíme tak, aby neměla fyzikálně neopodstatněné skoky, zlomy a extrémy, byla dostatečně hladká a měla přibližně stejný počet bodů nad a pod čarou. 7. Graf musí mít svoje číslo a stručný a výstižný název. Pokud to situace vyžaduje uvedeme i další potřebné údaje (datum, typ vzorku, parametry a podmínky měření, apod.). Často musíme z grafu odečíst určitou hodnotu, kterou potřebujeme pro další zpracování měření. Tyto význačné body označíme odlišně od naměřených hodnot, a to jak na křivce, tak na příslušné ose. Na následujícím obrázku jsou V A charakteristiky diody, které budete měřit při zjišťování výstupní práce elektronu z kovu. Každou z nich jsme měřili při jiné konstantní hodnotě žhavicího proudu I ž. 00 / 22
Body, v nichž anodový proud I A dosahuje nasycení (charakteristika přejde v lineární), jsou na křivce vyznačeny kolečkem a jejich souřadnice je vynesena na osu I A, neboť právě tyto hodnoty I an (v obrázku jsou vyznačeny IS1, IS2, I S3) potřebujeme k dalším výpočtům. Všechny zásady uvedené na předchozí straně platí i pro počítačovou tvorbu grafů. Grafy ovšem v tomto případě netiskneme na milimetrový papír, ale na jednobarevný, nebo je vkládáme přímo do textu. 4.4 Grafy v MS Excelu Vzhledem k tomu, že většina studentů používá při zpracování protokolů počítač, zmíníme se stručně i o zpracování grafů v tabulkovém procesoru MS Excel. Nepůjde samozřejmě o vyčerpávající návod, většina z vás základní práci s Excelem ovládá. Zdůrazníme jenom některé kroky při tvorbě grafů, v nichž studenti nejvíce chybují. Nejlépe si vysvětlíme postup na konkrétní úloze, kterou budete měřit v laboratorním cvičení z fyziky v letním semestru, a to na ověřování platnosti Stefanova-Boltzmannova zákona. Podle Stefanova-Boltzmannova zákona (S-B zákon) je vyzářený výkon úměrný čtvrté mocnině teploty vlákna, tedy 4 P konst T. Má-li tento zákon platit, grafem musí být mocninná funkce. Měřením a výpočty byly získány hodnoty V-A charakteristiky, příkon, odpor a teplota vlákna žárovky a koeficient pohltivosti, které jsou uvedeny v následující tabulce: 00 / 23
U I P R R/R0 T α V ma W Ω - K - 0,4 51 0,020 7,84 2,48 583 0,436 1,0 86 0,086 11,63 3,68 818 0,475 2,0 128 0,256 15,63 4,94 1058 0,506 4,0 193 0,772 20,73 6,56 1354 0,568 5,0 219 1,095 22,83 7,23 1473 0,576 6,0 245 1,470 24,49 7,75 1566 0,605 8,0 289 2,312 27,68 8,76 1741 0,623 10,0 332 3,320 30,12 9,53 1872 0,669 12,0 367 4,404 32,70 10,35 2010 0,668 14,0 402 5,628 34,83 11,02 2120 0,689 Sloupce veličin T a P uspořádáte v Excelu vedle sebe, vyznačíte data v tabulce a kliknutím na ikonu vyvoláte Průvodce grafem. V prvním dialogovém okně 1/4 vyberete typ grafu. Pro fyzikální závislosti budete vždy volit XY bodový graf. Jednotlivé body nespojujeme lomenou křivkou, spojnice bodů nemá zpravidla žádný fyzikální význam. Ve druhém okně 2/4 upravujete oblast dat, ve většině situací lze toto okno přeskočit. Po stisknutí tlačítka další přejdete na okno 3/4, kde zadáte název grafu a popis os, na posledním 4/4 zadáte umístění grafu. Takto vytvořený graf můžete snadno znovu editovat, a to tak, že na něj 2krát kliknete a otevřete ho tím pro úpravy. 00 / 24
Pak jej můžete dále doplňovat a formátovat, tentokrát klikáním pravým tlačítkem myši. Tak např. můžete naměřenými body proložit křivku, která odpovídá dané závislosti a podívat 4 se, zda opravdu platí S-B zákon, tedy že P konst T. Kliknete pravým tlačítkem myši na jeden z bodů grafu (ty se podsvítí) a zvolíte přidat spojnici trendu. Poté volíte typ trendu a regrese, v našem případě funkci mocninnou a na kartě možnosti zaškrtnete položku zobrazit rovnici regrese. V grafu se objeví rovnice vyrovnané mocninné funkce. V exponentu jsme očekávali 4, nám vyšla mocnina 4,37. Můžeme to však považovat za dobrou shodu s teorií chyba nepřesahuje 5 %. Takovýmto postupem můžete upravovat i další parametry grafu. Např. měřítko os, hodnoty maxima a minima na osách, hodnoty průsečíku, písmo, legendu grafu, aj. Regresní funkci volíme samozřejmě podle typu fyzikální závislosti, ne podle vzhledu grafu. 4 Nevolíme tedy lineární závislost, ale mocninnou, neboť S-B zákon má tvar P konst T. Naše body jsou v přímce jen díky logaritmickému měřítku na obou osách (viz také s. 23). 00 / 25