1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

Transkript

1 Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky nebo mají větší časový odstup od maturity. Proto při řešení jednotlivých příkladů uvedeme všechny potřebné kroky včetně těch zcela samozřejmých a přitom připomeneme některé středoškolské znalosti. Nejde o sbírku příkladů, ale chceme studenty motivovat k seznámení se základními metodami a obecnými postupy řešení na těch co nejjednodušších příkladech. Tyto postupy by si měl student osvojit a procvičit samostatným řešením příkladů obsažených např. ve skriptu Budínský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky pro vysoké školy ekonomického a technického zaměření. 1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Čísla přirozená: N=,,,, Čísla celá: Z=,,,,,,, Čísla racionální (zlomky): P=,, čí á ř Každé racionální číslo lze vyjádřit jako desetinný zlomek o konečném počtu desetinných míst(např. =0,75), nebo jako periodický desetinný zlomek s nekonečně se opakující skupinou desetinných míst (např. =1, ). Čísla iracionální: Neperiodické desetinné zlomky s nekonečným počtem desetinných míst. (Příklady: 2=1, , nebo číslo =3, , Eulerovo číslo, ). Čísla reálná: Sjednocením množiny čísel racionálních s množinou čísel iracionálních vznikne množina R, jejíž prvky nazýváme reálná čísla, která znázorňujeme pomocí bodů na číselné ose: Obr.1 Pro reálná čísla jsou definovány běžně známé aritmetické operace součtu, součinu a podílu, jejichž výsledkem jsou opět reálná čísla. Připomeňme, že pro libovolná reálná čísla a, b, c platí: a+(-b)=a-b, a-(-b)=a+b, a.(-b)=-a.b, (-a).(-b)=a.b,... (např. 3+(-5)=3-5=-2, 3-(-5)=3+5=8, 3.(-5)=-15, (-3).(-5)=15,. Dále platí:..,. ě! )

2 Příklad: Množinu reálných čísel rozšiřujeme o dva symboly a,( které ovšem nejsou reálnými čísly!) definované touto vlastností: pro každé reálné číslo. Pro tyto dva symboly definujeme:, 0 pro každé reálné číslo x, a dále také. žé áé čí 0 (např. 5+, (- 5). 5., 0, 0). Pozor! Výrazy typu,,., definovány! (nemají žádný smysl)., nejsou Mocnina a odmocnina reálného čísla: Pro každé reálné číslo (základ) a přirozené číslo n (exponent) definujeme n-tou mocninu:... (n-krát vynásobené ). Příklady: 5 5, , 3 27, Dále zde připomeneme důležité vzorce: (1) Druhá mocninu dvojčlenu: (2) Rozdíl druhých mocnin:. (3) Binomická věta:, kde symbol... ).!!! je tzv. kombinační číslo. (např..., Výraz! čteme n-faktoriál (např. 3!=1.2.3=6, 1!=1, také definujeme: 0!=1). Pro každé reálné číslo 0 a přirozené číslo n definujeme n-tou odmocninu: nezáporné reálné číslo takové, že pro něj platí:. jako V případě, že je číslo liché, definujeme také n-tou odmocninu pro 0 následovně: 4 4 2, 8 (neboť (neboť pak 0). Příklady: 2, 16 2, 2 1,414, 27 Mocnina se záporným exponentem je definována takto: Pro přirozené číslo a reálné číslo 0 definujeme: Příklady: 2,, =

3 Mocnina s lomeným exponentem: Pro nezáporný základ x a lomený exponent definujeme. Příklady: , 2 0,707 Součin mocnin:.. Příklady: , , Složená mocnina (mocnina mocniny):.. Příklady: , =16. Poznámka 1.: Pro kladné reálné číslo lze definovat, jak ukážeme později, (viz odstavec o exponenciále a logaritmu) také mocninu s libovolným reálným exponentem a. Výše uvedená pravidla platí i v tomto případě:,.,.. Řešení lineárních rovnic a nerovnic Základní pravidlo pro řešení rovnic: Řešení rovnice se nezmění, přičteme-li k oběma stranám stejné číslo nebo vynásobíme-li obě strany stejným nenulovým číslem. a) lineární rovnice s neznámou x má obecně tvar:. kde, jsou daná reálná čísla. Vynásobíme-li její obě strany číslem dostaneme...,takže její řešení je. Příklady: 1) Rovnici 2x+5=9 řešíme tak, že nejprve přičteme k oběma stranám číslo 5: 2x+5+(-5)=9+(-5), tím dostaneme 2x=4, a po vynásobení číslem máme řešení x=2. 2) Rovnice 2x+5 = 0 má řešení, zatím co rovnice 0.x+5=9 nemá žádné řešení. 3) Rovnice 3x+2=6x+2-3x po přičtení 3x dává identitu 6x+2= 6x+2, takže řešením je libovolné reálné číslo (rovnice má nekonečně mnoho řešení). -3-

4 b) lineární nerovnice s neznámou x má obecně tvar:. á,.. á nebo. á,.. á Základní pravidlo pro řešení nerovnic: Řešení nerovnice se nezmění, přičteme-li k oběma stranám stejné číslo nebo vynásobíme-li obě strany stejným kladným číslem.(po vynásobení záporným číslem změní se znaménko nerovnosti na opačné.) Poznámka 2.: Řešení nerovnic tvoří často množiny reálných čísel, které nazýváme intervaly: Jsou-li a, b daná reálná čísla taková,že, potom množina všech čísel x pro něž platí,. se nazývá otevřený (resp. uzavřený) interval s počátečním bodem a a koncovým bodem b. Intervaly značíme symboly, (., ) a znázorňujeme je úsečkami na reálné ose. Pro nebo označujeme symboly,., množiny těch reálných čísel pro něž platí,.. Poznámka 3.:Pro stručné vyjádření faktu, že nějaký prvek (číslo, nebo jiný objekt) patří do dané množiny často používáme symbol,( patří do množiny, je elementem množiny ). Množinu určenou nějakými vlastnostmi,,, zapisujeme takto :,,,. Např., množinu všech reálných čísel, která jsou kladná (vlastnost ) a současně menší nebo rovna pěti (vlastnost zapíšeme : 0, 5. Příklady: 1) Nerovnici řešíme takto: K oběma stranám nerovnice přičteme číslo 3 a současně odečteme. Tím dostaneme, neboli 4. Řešením jsou tedy všechna reálná čísla ležící v otevřeném intervalu od do 4, což symbolicky zapisujeme,. 2) V případě dvojité nerovnice.. 4 jde vlastně o soustavu dvou nerovnic. a.. 4, které musí platit současně. Řešením budou proto ta, která vyhovují oběma nerovnicím. Přičteme-li k první nerovnici číslo, máme nerovnost., kterou vynásobíme kladným číslem a tím dostaneme. Řešením první nerovnosti je tedy interval,. Podobně přičteme k oběma stranám druhé nerovnosti.. číslo 5, takže máme.. a přičtením nakonec dostaneme.. 9, neboli. Řešením druhé nerovnosti je tedy interval,. Řešením původní nerovnice je pak společná část obou intervalů a, neboli jejich průnik, který značíme symbolem. V našem případě je to průnik 2,,,. -4-

5 Oba intervaly i jejich průnik můžeme snadno znázornit na reálné ose: 0 9 Obr.2 3) Nerovnice s absolutní hodnotou tvaru, kde c a r jsou daná čísla, řešíme takto: Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla platí: Pro je a pro 0 je. Řešeními nerovnice jsou tedy ta reálná čísla, která vyhovují buďto nerovnici:, tedy,, nebo nerovnici:, která po vynásobení záporným číslem přejde na opačnou nerovnici, odkud přičtením čísla dostaneme její řešení, neboli,. Množina těch čísel, která vyhovují původní nerovnici jsou body buďto z intervalu nebo z. Tuto množinu nazýváme sjednocením intervalů a a značíme ji symbolem. Poznámka 4 : Jelikož intervaly a mají společný bod, můžeme zapsat řešení nerovnice jako symetrický interval,, (což se snadno pamatuje). Příklad: Nerovnici 4 řešíme takto: Nejprve ji zjednodušíme vydělením dvěma na tvar 2, pak určíme střed symetrického intervalu řešením rovnice, odkud nalezneme, takže konečným řešením nerovnice je interval,,. Kvadratické rovnice a nerovnice a) kvadratická rovnice pro neznámou s koeficienty,, má obecný tvar. Například, je kvadratická rovnice, kde,,. Dále ukážeme obecný postup pro řešení kvadratické rovnice: Rovnici nejprve upravíme vydělením koeficientem na rovnici. Dále označíme, a dostaneme jednodušší tvar :, neboli. -5-

6 Nyní přičteme k oběma stranám rovnice výraz, takže dostaneme. Výraz na levé straně rovnice: vyjádříme (pomocí vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu, viz vzorec (1)) takto:. Tímto obratem jsme převedli původní rovnici na tvar:. Pokud je výraz nezáporný, můžeme obě strany rovnice odmocnit:. Podle definice absolutní hodnoty pak platí: Je-li, potom, odkud snadno vypočteme jedno řešení. Je-li 0, potom je a druhé řešení je. Zpětným dosazením za konstanty a po úpravě zjistíme, že rovnice 1) má dvě různá řešení tvaru,, je-li diskriminant 0, 2) má jediné (dvojnásobné) řešení,, je-li diskriminant, 3) nemá žádné řešení v oboru reálných čísel, je-li diskriminant 0. Poznámka 5.: Řešením kvadratické rovnice říkáme kořeny. Příklad: Rovnici řešíme tak, že ji nejprve vydělíme číslem 3 a dostaneme rovnici. Pak,, takže a podle vzorce (1) rovnici upravíme na tvar. Po odmocnění dostaneme -6-

7 ,, takže rovnice má dva reálné kořeny:,. Stejný výsledek dostaneme také přímo užitím vzorce podle 1), neboť diskriminant.. 0, takže,.. Poznámka 6.: Úpravě kvadratického trojčlenu: říkáme úprava doplněním na úplný čtverec a má uplatnění také při řešení některých neurčitých integrálů. Příklad: Upravíme-li trojčlen +1, vidíme, že kvadratická rovnice 0 nemůže mít reálné kořeny, protože +1 0 pro každé reálné číslo. (Její diskriminant. je záporný.) Příklad: Kvadratickou rovnici upravíme podle poznámky 6. na tvar. Je tedy, takže rovnice má jediný (dvojnásobný) kořen. b) Řešení kvadratické nerovnice: 0 1) V případě reálných kořenů, rovnice převedeme nerovnici na tvar 0 a řešíme následující alternativy : 0 a současně 0, nebo 0 a současně 0. Příklad: Řešme nerovnici 0. Protože rovnice má reálné kořeny, (viz příklad v poznámce 5), můžeme nerovnici přepsat na tvar 0 a řešíme alternativy: 0 a současně 0, nebo 0 a současně 0. První alternativa dává průnik intervalů,,,, druhá dává průnik intervalů,,,, takže řešením kvadratické nerovnice je sjednocení intervalů,,. 2) V obecném případě lze pro řešení nerovnice 0 využít grafu kvadratické funkce, jímž je parabola, (např.. Řešením je pak množina těch, pro něž graf leží nad osou Ox. Podobně je řešením opačné nerovnice 0 množina těch, pro něž graf leží pod osou Ox, (viz následující Obr.3). -7-

8 Obr. 3 Z obrázku je ihned vidět, že řešením nerovnice 0 je sjednocení intervalů, a,. Obecně platí pro řešení nerovnice 0: 1) Je-li 0, 0, pak řešením je sjednocení,,. 2) Je-li 0, 0, pak řešením je interval,. 3) Je-li 0, 0, pak řešením je,. 4) Je-li 0, 0, pak nerovnice nemá řešení. Poznámka 7.: Nerovnici 0 převedeme na předchozí případ vynásobením obou stran nerovnice číslem -1. Při řešení neostré nerovnice 0 snadno zjistíme, že v případě 1) je řešením,, + a případě 2),. Rozhodněte dále sami, jak vypadá řešení v případě. -8-

9 Příklad: Řešme nerovnici. Po vynásobení nerovnice číslem -1 dostaneme, takže 0,.. 0, takže kořeny jsou, a řešením je uzavřený interval 2, 3. Poznámka 8.: Použitá metoda užití grafu kvadratické funkce pro řešení nerovnice lze zobecnit na řešení nerovnice 0, kde je spojitá funkce tak, že nalezneme všechny kořeny rovnice, označme je,,,, jež rozdělí definiční obor funkce na n+1 intervalů,,,. Nyní zvolíme v každém z těchto intervalů libovolný bod, 1, 2,. 1 a vybereme ty intervaly, u nichž platí 0. Sjednocení těchto intervalů dává pak řešení naší nerovnice. Příklad: Řešme nerovnici 0. Funkce má tři kořeny,,, které dostaneme řešením rovnice, neboli rovnice. Je tedy buďto x=0, nebo, takže kořeny rovnice jsou,,. Potom je,,,,,,,. Zvolíme-li např.,,, a vypočteme hodnoty 0, ) = 0, 0, 0, vidíme, že řešením naší nerovnice je sjednocení intervalů,, ). -9-

10 Obr. 4 Na Obr. 4 vidíte graf dané funkce, na kterém se můžete přesvědčit o správnosti řešení nerovnice. Řešením jsou ty intervaly na ose x, kde příslušné části grafu leží nad osou x (tj. v horní polorovině). Pro vyřešení samotné nerovnice však tento graf není nutný, jak je zřejmé z předcházejícího výpočtu. Přesto je velmi důležité znát předem alespoň grafy tzv. základních elementárních funkcí, k nimž patří např. následující funkce:, 1, ;, ; log,, ln é ; áí ; sin, cos, tg, cotg é ;,,, é -10-

11 V následujících obrázcích jsou grafy některých těchto funkcí. Graf funkce Obr.5

12 Graf funkce Obr.6

23 Obr.1 Graf funkce obr.17