Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Transkript

1 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly být dostatečně jasné. Řešení 1a Budeme vyšetřovat průběh funkce: = a) Určíme definiční obor funkce. Oba činitelé v zápisu funkce jsou definovány v celém oboru reálných čísel. Jejich součin je tedy v tomto oboru definován rovněž. Odtud = b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Oba činitelé v zápisu funkce jsou spojité v celém oboru reálných čísel. Jejich součin je tedy v tomto oboru spojitý rovněž. c) Určíme ity v krajních bodech.(ve druhém případě s využitím l Hospitalova pravidla) =+ 1 = = = 1 =0 d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická = Tento výraz se nerovná ani, ani. Naše funkce tedy není ani sudá, ani lichá. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Budeme řešit rovnici = =0. Ta má jediné řešení =0. Graf funkce protíná osu v bodu =0. Současně 0=0. Graf funkce protíná osu rovněž v bodu =0. Graf funkce má tedy jediný průsečík s osami a tím je bod 0,0. f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Nejprve si uvědomíme, že funkce je vždy kladná. Řešíme nerovnici = >0. Ta má řešení 0,. Pro kladné argumenty je tedy naše funkce kladná. Řešíme nerovnici = <0. Ta má řešení,0. Pro záporné argumenty je tedy naše funkce záporná. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme 1

2 = = + = + =1+ = h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce Lokální extrémy nalezneme řešením rovnice =1+ =0. Ta má jediné řešení = 1. Hodnota funkce v tomto bodu je 1= 1 =. Souřadnice bodu s tímto extrémem tedy jsou 1,. Funkce je rostoucí pro všechna, pro která platí =1+ >0. Tato nerovnice má řešení 1,+. Funkce je klesající pro všechna, pro která platí =1+ <0. Tato nerovnice má řešení, 1. i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme = =1+ = = + + =2+ = j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní, resp. konkávní, a stanovíme inflexní body funkce Inflexní body nalezneme řešením rovnice =2+ =0. Ta má jediné řešení = 2. Hodnota funkce v tomto bodu je 2= 2 = 2. Souřadnice bodu s tímto extrémem tedy jsou 2, 2. Směrnice inflexní tečny =+ v tomto bodě má hodnotu = 2=1+ 2 = Posunutí se počítá z hodnoty funkce, která je v tomto bodě stejná, jako hodnota tečny, neboli =+. Odtud = 2 2= 4 Inflexní tečna tedy má rovnici = 4 Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí =2+ >0. Tato nerovnice má řešení 2,+. Funkce je konkávní pro všechna, pro která platí =2+ <0. Tato nerovnice má řešení, 2. k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Funkce má jediný lokální extrém. K tomuto extrému funkce klesá, od něj stoupá. Tento lokální extrém je tedy i extrémem globálním. Globálním extrémem funkce tedy je bod 1, l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Pro všechny krajní body definičního oboru budeme hledat dvojice it. Nejprve pro = = 1+ =0 = = 0= =0 Asymptota v tedy má rovnici =0+0=0. Asymptotou tedy je osa. Nyní pro + = = 1+ =+ Limita v nekonečnu je nekonečná, asymptota tam tedy nemůže existovat. 2

3 m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech Funkce nemá žádné další zajímavé body. n) Načrtneme graf funkce : 3

4 Řešení 1b Budeme vyšetřovat průběh funkce: = a) Určíme definiční obor funkce. Čitatel i jmenovatel v zápisu funkce jsou definovány v celém oboru reálných čísel. Jejich podíl je tedy v tomto oboru definován rovněž s výjimkou bodů, kde je jmenovatel nulový. Jmenovatel je nulový v bodech =± 3. Odtud = 3; 3. b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Čitatel i jmenovatel v zápisu funkce jsou spojité v celém definičním oboru funkce. Protože v definičním oboru již nejsou body, ve kterých je jmenovatel nulový, je jejich podíl je tedy v definičním oboru spojitý rovněž. Body nespojitosti (mimo definiční obor) jsou body =± 3. c) Určíme ity v krajních bodech. 3 = = 3 3 = 3 =+ 0 3 = 3 = =0 3 =+ 3 =+ 0 3 =+ 3 = 0 3 = 0 = =0 d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická = 3 = 3 = Z toho je jasně patrné, že funkce je lichá a její graf je tudíž symetrický podle počátku systému souřadnic. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Budeme řešit rovnici fx= =0. Ta má jediné řešení x=0. Graf funkce protíná osu x v bodu x=0. Současně f0=0. Graf funkce protíná osu y rovněž v bodu x=0. Graf funkce má tedy jediný průsečík s osami a tím je bod 0,0. f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Budeme vycházet z toho, že podíl je kladný, jsou-li čitatel i jmenovatel současně kladné či současně záporné. V opačném případě je podíl záporný. Protože víme, že funkce je lichá, budeme ji dále vyšetřovat jen pro kladná x. Jmenovatel je kladný pro 0; 3, v tomto intervalu je i funkce kladná. V intervalu 3; + je jmenovatel záporný a tedy i funkce 4

5 je zde záporná. Symetricky dle počátku je v intervalu 3;0 funkce záporná a v intervalu ; 3 je funkce kladná. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme = 3 = = 3; 3 = = 3+ 3 h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce První derivace funkce má vždy kladného čitatele i jmenovatele. Proto je první derivace také vždy kladná. Z toho vyplývá, že funkce je v celém definičním oboru rostoucí a nemá žádný lokální extrém. i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme = 3+ 3 = = = =29+ 3 = 3; 3 = j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní respektive konkávní a stanovíme inflexní body funkce Druhá derivace je nulová v bodě =0. V tomto bodu je tedy inflexní bod funkce. Hodnota funkce v tomto bodu je 0=0. Směrnice inflexní tečny v tomto bodu je = 0= = 3 3 =1 3 Posunutí se počítá z hodnoty funkce, která je v tomto bodě stejná, jako hodnota tečny, neboli =+. Odtud = =0 Inflexní tečna tedy má rovnici = = 3 Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí = >0. Tato nerovnice má řešení, 3 0, 3. K tomu si stačí jen uvědomit, kdy může být uvedený zlomek kladný. Funkce je konkávní pro všechna, pro která platí = <0. Tato nerovnice má řešení 3,0 3,+. k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Funkce nemá žádné lokální extrémy, nemá tedy ani žádné globální extrémy. l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Funkce má asymptoty v bodech nespojitosti. Asymptotami tedy jsou =± 3 5

6 m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech Funkce nemá žádné další významné body. n) Načrtneme graf funkce : 6

7 Řešení 1c Budeme vyšetřovat průběh funkce:= a) Určíme definiční obor funkce. Vnější funkce ( ) je definována v celém oboru reálných čísel. Vnitřní funkce ( ) rovněž. Jejich složení je tedy v tomto oboru definován rovněž. Odtud = b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Vnější i vnitřní funkce jsou spojité v celém oboru reálných čísel. Jejich složení je tedy v tomto oboru spojité rovněž. c) Určíme ity v krajních bodech. =0 =0 d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická = = = Funkce je sudá. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Nejprve budeme hledat průsečík s osou. Budeme tedy řešit rovnici = =0 Tato rovnice ale nemá řešení, protože exponenciální funkce se pro žádný svůj argument nerovná nule. Proto nemá graf funkce žádný průsečík s osou. Průsečík s osou se hledá výpočtem hodnoty 0= = =1. Průsečík s osou tedy má souřadnice (0; 1). f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Exponenciální funkce je kladná v celém svém definičním oboru. Proto je v celém definičním oboru kladná i funkce. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme = = 2= 2 = h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce Pro určení lokálního extrému budeme řešit rovnici = 2 =0. Tato rovnice má jediné řešení =0. Vypočteme 0= = =1. Lokální extrém tedy má souřadnice (0;1). Funkce je rostoucí pokud = 2 >0. Tato situace nastává pro všechna záporná. Tedy funkce je rostoucí na intervalu ;0. Funkce je klesající na intervalu 0; +. i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme = 2 = =4 2 =4 2 = j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní, resp. konkávní, a stanovíme inflexní body funkce 7

8 Inflexní body funkce jsou řešením rovnice =4 2 =0. Tato rovnice má dvě řešení =± =±. Vypočteme =± =. Souřadnice inflexních bodů tedy jsou =+ ; a = ;. Směrnice inflexních tečen v těchto bodech jsou = = 2+ 2 = 2 2 = = 2 =+ 2 Posunutí se počítá z hodnoty funkce, která je v tomto bodě stejná, jako hodnota tečny, neboli =+. Odtud = = =2 = = =2 Inflexní tečny tedy mají rovnice = 2 +2 = Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí =4 2 >0. Tato nerovnice má řešení, +,+. K tomu si stačí jen uvědomit, kdy může být uvedený zlomek kladný. Funkce je konkávní pro všechna, pro která platí =4 2 <0. Tato nerovnice má řešení,+. k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Funkce má jediný lokální extrém. K němu funkce stoupá, za ním klesá. Neexistuje žádná vyšší hodnota, než tento lokální extrém. Proto je bod (0;1) i extrémem globálním. l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Prozkoumáme ity derivace v krajních bodech definičního oboru. Dostáváme (nejsnáze s využitím l Hospitalova pravidla) Nyní vypočteme posunutí = = 2 =0 = = 2 =0 = = 0= =0 = = 0= =0 Asymptotou pro tedy je přímka =0+0=0. Stejná přímka je asymptotou i pro +. m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech 8

9 Funkce nemá žádné další významné body. n) Načrtneme graf funkce : 9

10 Řešení 1d Budeme vyšetřovat průběh funkce: =ln1+ a) Určíme definiční obor funkce. Vnější funkce logaritmus je definovaná jen pro kladné argumenty. Vnitřní funkce je 1+, je tedy vždy kladná. Proto je složená funkce definována v celém oboru reálných čísel. Tedy = b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Vnější i vnitřní funkce jsou spojité v celém oboru reálných čísel. Jejich složení je tedy také spojité v tomto oboru. c) Určíme ity v krajních bodech. ln1+ =+ ln1+ =+ d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická =ln1+ =ln1+ = Proto je funkce sudá. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Nejprve budeme hledat průsečík s osou. Budeme tedy řešit rovnici =ln1+ =0 Logaritmus dosahuje hodnoty 0 pouze pro argument 1. Proto musí být =0. Průsečík s osou má souřadnice (0; 0). Průsečík s osou se hledá výpočtem hodnoty 0=ln1+0 =ln1=0. Průsečík s osou tedy má souřadnice (0; 0). Jedná se o stejný bod. f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Logaritmus nabývá záporných hodnot jen pro argumenty z intervalu (0; 1). Ale vnitřní funkce nabývá hodnot 1 a více. Funkce je tedy nezáporná v celém definičním oboru. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme =ln1+ = 2 1+ = h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce Pro určení lokálního extrému budeme řešit rovnici = =0. Tato rovnice má jediné řešení =0. Vypočteme 0= =0. Lokální extrém tedy má souřadnice (0; 0). Funkce je rostoucí pokud = >0. Tato situace nastává pro všechna kladná. Tedy funkce je rostoucí na intervalu 0; +. ;0. Funkce je klesající na intervalu ;0 i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme = 2 1+ = = = = j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní, resp. konkávní, a stanovíme inflexní body funkce 10

11 Inflexní body funkce jsou řešením rovnice = =0. Tato rovnice má dvě řešení =±1. Vypočteme =ln1+±1 =ln2. Souřadnice inflexních bodů tedy jsou = 1; ln2 a =+1; ln2. Směrnice inflexních tečen v těchto bodech jsou = 1= = 2 2 = 1 = +1= =+2 2 =+1 Posunutí se počítá z hodnoty funkce, která je v tomto bodě stejná, jako hodnota tečny, neboli =+. Odtud =ln2 1 1=ln2 1 =ln2 +1+1=ln2 1 Inflexní tečny tedy mají rovnice = +ln2 1 =++ln2 1 Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí = >0. Tato nerovnice má řešení 1,+1. K tomu si stačí jen uvědomit, kdy může být uvedený zlomek kladný. Funkce je konkávní pro všechna, pro která platí = <0. Tato nerovnice má řešení, 1 +1,+. k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Funkce má jediný lokální extrém (0; 0). K němu funkce klesá, od něj stoupá. Bod (0; 0) je tedy i globálním minimem funkce. l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Prozkoumáme ity derivace v krajních bodech definičního oboru. Dostáváme (nejsnáze s využitím l Hospitalova pravidla) 2 = = 1+ =0 2 = = 1+ =0 Nyní vypočteme posunutí = = ln1+ 0= ln1+ =+ = = ln1+ 0= ln1+ =+ Hodnoty posunutí jsou nekonečné, asymptota tedy neexistuje. m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech Funkce nemá žádné další významné body. n) Načrtneme graf funkce : 11

12 12

13 Řešení 1e Budeme vyšetřovat průběh funkce: =ln a) Určíme definiční obor funkce. První činitel v zápisu funkce je definován v celém oboru reálných čísel. Druhý (logaritmus) je definován pouze pro kladná reálná čísla. Jejich součin je tedy definován rovněž pro kladná reálná čísla. Odtud =0,+ b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Oba činitelé v zápisu funkce jsou spojité v celém definičním oboru. Jejich součin je tedy v tomto oboru spojitý rovněž. c) Určíme ity v krajních bodech (v prvním případu lze s výhodou užít l Hospitalova pravidla). ln=0 ln=+ d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická Funkce nemůže být ani sudá ani lichá. Není totiž definována na symetrickém definičním oboru. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Nejprve budeme hledat průsečík s osou. Budeme tedy řešit rovnici =ln=0 Logaritmus dosahuje hodnoty 0 pouze pro argument 1. Proto musí být =1. Průsečík s osou má souřadnice (1; 0). Druhá možnost (=0) nepřipadá v úvahu, protože je mimo definiční obor funkce. Průsečík s osou se hledá výpočtem hodnoty 0. To ale není v tomto případě možné, protože bod 0 je mimo definiční obor funkce. Průsečík s osou tedy neexistuje. f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Hodnota proměnné x je kladná v celém definičním oboru. Logaritmus je záporný pouze pro argumenty z intervalu (0; 1). Proto je funkce f záporná na intervalu (0; 1) a kladná na intervalu 1;. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme =ln =1 ln+ 1 =1+ln =0,+ h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce Pro určení lokálního extrému budeme řešit rovnici =1+ln=0. Tato rovnice má jediné řešení =. Vypočteme = ln =. Lokální extrém tedy má souřadnice ( ;. Funkce je rostoucí pokud =1+ln>0. Tedy funkce je rostoucí na intervalu ; +. Funkce je klesající na intervalu 0; i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme =1+ln = 1 =0,+ 13

14 j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní, resp. konkávní, a stanovíme inflexní body funkce Inflexní body funkce jsou řešením rovnice = =0. Tato rovnice nemá řešení. Funkce tedy nemá žádný inflexní bod. Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí = >0. To je splněno pro všechny body definičního oboru. Funkce je tedy konvexní v celém definičním oboru. Funkce není konkávní v žádném bodu definičního oboru. k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Funkce má jediný lokální extrém ( ;. K němu funkce klesá, od něj stoupá. Bod ( ; je tedy i globálním minimem funkce. l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Prozkoumáme ity derivace v krajních bodech definičního oboru. Dostáváme (nejsnáze s využitím l Hospitalova pravidla) = = 1+ln= = = 1+ln=+ Nyní vypočteme posunutí. Ale to v prvním případě není nutné, protože se jedná o svislou poloasymptotu =0. Ve druhém případě je zřejmé, že asymptota nemůže existovat. m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech Funkce nemá žádné další významné body. n) Načrtneme graf funkce : 14

15 15

16 Řešení 1f Budeme vyšetřovat průběh funkce: = a) Určíme definiční obor funkce. Čitatel i jmenovatel zlomku jsou definovány v celém oboru reálných čísel. Jmenovatel je vždy kladný. Jejich podíl je tedy v tomto oboru definován rovněž. Odtud = b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Čitatel i jmenovatel zlomku jsou spojité v celém oboru reálných čísel. Jmenovatel je kladný v celém definičním oboru. Jejich podíl je tedy v tomto oboru spojitý rovněž. c) Určíme ity v krajních bodech. +1 =0 +1 =0 d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická = = = Funkce je tedy lichá. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Nejprve budeme hledat průsečík s osou. Budeme tedy řešit rovnici = +1 =0 Ta má zjevně jediné řešení =0. Průsečík s osou má souřadnice (0; 0). Průsečík s osou se hledá výpočtem hodnoty 0= = =0. Průsečík s osou tedy má souřadnice (0; 0). Jedná se o stejný bod. f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Jmenovatel je vždy kladný. Proto se znaménko funkce řídí čitatelem. Proto je funkce záporná na intervalu ;0 a kladná na intervalu 0;. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme +1 2 = +1 =1 +1 = = 1 +1 = h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce Pro určení lokálního extrému budeme řešit rovnici = =0. Tato rovnice má dvě řešení =±1. Vypočteme 1= = ; +1= =+ Lokální extrémy tedy mají souřadnice ( 1; a +1; +. Funkce je rostoucí pokud = >0. Tedy funkce je rostoucí na intervalu 1; +1. Funkce je klesající na intervalu ; 1 1;+ i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme 16

17 = 1 +1 = = = = = = j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní, resp. konkávní, a stanovíme inflexní body funkce Inflexní body funkce jsou řešením rovnice = řešení Vypočteme Souřadnice inflexních bodů tedy jsou = 3 =0 =+ 3 3= = =0 + 3= = 3; 3 4 =0;0 =+ 3; Směrnice inflexních tečen v těchto bodech jsou = 3 4 =+ 3 4 = 3= = 16 = 1 8 = 0= =+1 1 =1 = + 3= = 16 = 1 8 =0. Tato rovnice má tři Posunutí se počítá z hodnoty funkce, která je v tomto bodě stejná, jako hodnota tečny, neboli =+. Odtud = = =

18 =0 +10=0 = = = Inflexní tečny tedy mají rovnice = =++0= = Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí = >0. Tato nerovnice má řešení 3,0 3;. K tomu si stačí jen uvědomit, kdy může být uvedený zlomek kladný. Funkce je konkávní pro všechna, pro která platí = má řešení, 3 0, 3. <0. Tato nerovnice k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Lokální extrémy funkce jsou zároveň i extrémy globálními. Globální extrémy tedy mají souřadnice ( 1; a +1; + l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Prozkoumáme ity derivace v krajních bodech definičního oboru. Dostáváme 1 = = +1 =0 Nyní vypočteme posunutí = = 1 +1 =0 = = +1 0=0 = = +1 0=0 Pro oba konce definičního oboru existuje společná asymptota =0 m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech Funkce nemá žádné další významné body. n) Načrtneme graf funkce : 18

19 19

20 Příklad 2 Určete rovnici tečny a normály v dotykovém bodě ke grafu funkcí uvedených v Příkladě 1. Bod stanovte jako význačný bod grafu funkce, například průsečík s osami či, nebo inflexní bod, popřípadě lokální extrém. Poznámka Rovnici tečny budeme zjišťovat pro tvar =+ze vztahů = a =, protože dotykový bod musí mít stejnou hodnotovou souřadnici na grafu funkce i tečně. Normála je kolmice na tečnu vedená dotykovým bodem. Bude tedy mít směrnici. Normála tedy bude mít obecnou rovnici = +. Hodnotu vypočítáme dosazením souřadnic dotykového bodu. Všechna řešení doplníme obrázkem. Na něm bude vždy část grafu funkce v modré barvě, tečna bude zelená a normála červená. 20

21 Řešení 2a Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =0,0 ke grafu funkce Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce 1 Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení 10 Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek

22 Řešení 2b Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =0,0 ke grafu funkce Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek 22

23 Řešení 2c Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =+ ; ke grafu funkce Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce 22 Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek

24 Řešení 2d Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =+1; ln2 ke grafu funkce ln1 Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce ln1 2 1 Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme 11 1ln11 1ln21 Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení 1ln21ln21 Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek ln ln ln21ln21 24

25 Řešení 2e Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =1,0 ke grafu funkce ln Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce ln 1 ln 1 1ln Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) 11ln1101 Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme ln Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení 111 Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme ln Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek 25

26 Řešení 2f Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =+ 3; ke grafu funkce Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek