1 MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE 1.1 MECHANICKÁ PRÁCE Rychlý náhled Zavedeme skalární veličinu práce a naučíme se řešit úlohy z praxe. Odvodíme si jednotku práce a ukážeme, jak se dá práce vypočítat z grafu síly na dráze. Cíle kapitoly Řeší jednoduché úlohy z praxe na výpočet práce při pohybu tělesa působením stálé síly. Předpokládaný čas samostudia kapitoly 45 minut. Čas potřebný ke studiu Mechanická práce, joul. Klíčová slova Výklad Mechanickou práci W (z anglického work) fyzikové zavedli pro popis dějů - nevyplývá z žádného fyzikálního zákona. Pojem mech. práce je spojen s pohybem těles při působení sil - př. jedu na kole, působím silou na šlapadla a konám tím práci. Práci koná těleso, které působí silou na jiné těleso a dává ho do pohybu např. kámen padá gravitační silou k Zemi - práci koná gravitační pole Země. Konání mechanické práce představuje děj, při němž: se mění mechanická energie dochází k přeměně jedné formy energie na druhou př. otáčením mixéru se ohřívá látka - forma mechanická se mění na tepelnou Uveďme si příklady konání práce: tlačíme-li silou bednu po podlaze po dráze s, táhneme-li vozík tahovou silou F po dráze 5 m, zvedáme-li kufr tíhovou silou do výšky 1 m, motor auta při jízdě. Na čem závisí velikost vykonané práce? Jakou silou zvedám tělesa 10 kg a 100 kg? U kterého vykonám větší práci? o Tělesa zvedám tíhovou silou G=m.g= 10 kg.10 m/s2 = 100 N u prvního a 1000N u druhého tělesa. Práci vykonám 10x větší při zvedání druhého tělesa. Čím na těleso působím větší silou F, tím je vykonaná práce větší. V kterém případě zvedání vykonám větší práci - zvedám -li těleso do 2 nebo deseti metrů? o Při zvedání do výšky 10 m vykonám 5 x větší práci než do výšky 2m Čím po větší dráze s působíme, tím je práce větší. Kdy práci nekonáme?
o Pokud tělesem nepohybujeme - např. držíme tašku na místě, když se těleso pohybuje setrvačností (není zde síla), pokud působíme silou kolmo na dráhu pohybu - tato síla nemůže těleso uvést do pohybu - např. na vlak působíme směrem nahoru a chceme vlak touto silou uvést do pohybu. Vlak sice zvednu, ale po kolejích neujedu ani metr - práci tedy nekonám. Práci nekonáme, je-li síla působící na těleso kolmá k jeho trajektorii. Protože pro kolmý úhel 90 je kosinus nulový, pro libovolný úhel α, který svírá síla F se směrem pohybu použijeme funkci cos α. Největší se pro úhel 0 - cos 0 je 1. Obrázek 1:mechanická práce Proto je W=F.s.cos α, kde F je síla působící na těleso, s je dráha a α úhel mezi silou a směrem pohybu (viz obrázek). Jednotkou je Joul *Džaul+. Práci 1 J vykoná síla působící po dráze 1 metru (např. zvedám-li 10 gramů do 1 metru). Působí-li na těleso (hmotný bod) konstantní síla velikosti F rovnoběžně s trajektorií tělesa a může-li se toto těleso pohybovat, je práce vykonaná touto silou po dráze s rovna: ; (joule). Svírá-li konstantní síla se směrem pohybu tělesa konstantní úhel α, působí ve směru pohybu pouze tečná složka této síly:. Složka síly, která je kolmá na trajektorii tělesa, práci nekoná. Práci vykonanou silou lze psát ve tvaru: Je-li α < 90 je cos α > 0 práce je kladná, říkáme, že těleso koná práci Je-li 90 < α < 180 je cos α < 0 práce je záporná, říkáme, že těleso práci spotřebuje. Mechanickou práci lze určit také graficky z obrázku (kde je vyplněna žlutou barvou), zobrazíme-li závislost velikosti síly, která koná práci, na dráze do pravoúhlého systému souřadnic s. Svírá-li síla se směrem pohybu tělesa úhel zobrazujeme do grafu pouze její tečnou složku. Práce W vykonaná silou na dráze odpovídá obsahu plochy pod křivkou, která znázorňuje závislost velikosti síly na dráze. V případě konstantní síly je grafem závislosti na dráze Obrázek 2: odvození mech. práce polopřímka (resp. úsečka), a tedy práce vykonaná na dráze odpovídá obsahu obdélníka. Graf, z něhož jsme schopni určit vykonanou práci, se nazývá pracovní diagram. Pokud na těleso působí síla, která není konstantní, tj. mění se s časem, rozdělíme dráhu s na takové úseky, na nichž je možné považovat sílu za konstantní - v obrázku je práce síly vyšrafována žlutě. Poté určíme elementární práci na jednotlivých úsecích dráhy. Tato elementární práce je rovna obsahu obdélníka, jehož jednou stranou je délka jednoho úseku dráhy a druhou je velikost síly na daném úseku : Obrázek 3: práce pro proměnnou sílu
. Celkovou práci W (v obrázku vyšrafována žlutě), kterou vykoná proměnná síla na dráze s, určíme jako součet jednotlivých elementárních prací. Tedy Rychleji lze celkovou práci získat použitím integrálního počtu. Obrázky Obrázek 4: součet elementů budou vypadat stejně, jen se výpočet na základě určitých pravidel zjednoduší. Na siloměru (ocejchované pružině) se působením síly 40 N protáhne pružina o délku (dráhu) 5 cm. Jakou vykonáme při tomto protažení práci? o Protože síla není konstantní - stejná, ale mění svoji velikost od 0 do 40 N musíme při výpočtu vyjít z grafu, kde je ze žlutě vybarvená práce síly. Jde o obsah trojúhelníka (polovina obsahu obdélníka o stranách F a s. Proto W= 1/2. F. s Obrázek 5: práce při natahování pružiny Otázky a řešení Po vodorovné silnici jede stálou rychlostí cyklista, který překonává celkovou odporovou sílu o velikosti 20 N. Jakou práci vykoná na dráze 5 km? o F = 20 N, s = 5 km = 5 000 m; W =? W = Fs = 100 000 J = 100 kj Po vodorovné silnici táhne traktor stálou rychlostí kmen stromu o hmotnosti 1,5 t do vzdálenosti 2 km. Jakou mechanickou práci vykoná, je-li součinitel smykového tření 0,6? o m = 1,5 t = 1,5 10 3 kg, s = 2 km = 2 10 3 m, f = 0,6, g = 10 m s 2 ; W =? o F = F t = fmg o W = F s = fmgs = 18 10 6 J = 18 MJ
Člověk o hmotnosti 75 kg vynese do třetího poschodí balík o hmotnosti 25 kg. Výška jednoho poschodí je 4 m. a) Jak velká práce připadne na vynesení balíku? b) Jakou celkovou práci člověk vykoná? o m 1 = 75 kg, m 2 = 25 kg, h = 4 m, n = 3, g = 10 m s 2 ; a) W 1 =?, b) W =? W 1 = nm2gh = 3 000 J = 3 kj W = n(m1 + m2)gh = 12 000 J = 12 kj Jakou mechanickou práci vykonáme, když závaží o hmotnosti 5 kg a) zvedneme rovnoměrným pohybem do výšky 2 m, b) držíme ve výšce 2 m nad zemí, c) přemístíme ve vodorovném směru do vzdálenosti 2 m? Tření neuvažujte. o m = 5 kg, s = 2 m, g = 10 m s 2 ; W =? a) Zvedáme-li závaží směrem vzhůru rovnoměrným pohybem, působíme na ně silou, která se rovná tíhové síle F G = mg. Zvedneme-li je do výšky s, vykonáme práci W = F G s = 100 J. b) Držíme-li závaží, působíme na ně také silou FG, ale protože je nepřemísťujeme, je dráha s = 0 a práce W = 0. c) Při přemísťování závaží ve vodorovném směru svírá působící síla se směrem pohybu úhel 90. Protože cos 90 = 0, je opět mechanická práce W = 0. Jakou mechanickou práci vykonáme, táhneme-li po vodorovné rovině vozík do vzdálenosti 100 m, přičemž na něj působíme silou o velikosti 20 N? Řešte pro případy, kdy síla působící na vozík svírá se směrem trajektorie úhel a) 0, b) 30, c) 60. o s = 100 m, F = 20 N, a) α = 0, b) α = 30, c) α = 60 ; W =? W = Fscosα a) W = 2 000 J b) W = 1 730 J c) W = 1 000 J Po vodorovné trati se rozjíždí vlak se zrychlením 0,5 m s 2. Jakou práci vykoná lokomotiva o tažné síle 40 kn za dobu 1 min? Odporové síly neuvažujte. o a = 0,5 m s 2, F = 40 kn = 4 10 4 N, t = 1 min = 60 s; W =? Z grafu na obrázku určete práci, kterou vykoná stálá síla působící na těleso po dráze a) 6 m, b) 10 m. Síla působí ve směru pohybu tělesa. o Při konstantní síle je práce dána obsahem obdélníku o stranách F, s. a) W = 240 J, b) W = 400 Z grafu na obrázku určete práci, kterou vykoná síla při natažení pružiny o délku 5 cm.
o Práce je dána obsahem trojúhelníku o základně s a výšce F, tj. Pro F = 40 N a s = 5 cm = 0,05 m je W = 1 J. Ocelová pružina se prodlouží silou 5 N o 1 cm. Jakou práci vykonáme, prodloužíme-li pružinu o 8 cm? o F1 = 5 N, s 1 = 1 cm = 0,01 m, s 2 = 8 cm = 0,08 m; W =? Síla je přímo úměrná prodloužení: Práce: (11) Shrnutí Mechanická práce W = Fs cosα [W] = N.m = J joule 1J je práce, ktrerou vykoná síla 1N po dráze 1 metr konání mechanické práce je podmíněno silovým působením na těleso a pohybem tělesa viz vztah; práce se nekoná, je-li síla na těleso působící kolmá na jeho trajektorii z grafu síly na dráze lze určit práci jako obsah plochy pod křivkou Literatura Bibliografie 1. Bednařík, Milan a Široká, M. Mechanika. Praha : Prometheus, 1993. ISBN 80-901619-3-6. 8. Encyklopedie fyziky. fyzika.jreichl.com. [Online] [Citace: 04. 07 2010.] http://fyzika.jreichl.com/index.php?sekce=browse&page=1. 9. Lepil, Oldřich a Bednařík, Milan. Fyzika pro střední školy 1.díl. Praha : Prometheus, 1993. ISBN 80-85849-87-9. 11. Lepil, Oldřich. Sbírka úloh pro střední školy. Praha : Prometheus, 1995. ISBN 80-7196-48-9.
1.2 VÝKON A ÚČINNOST Rychlý náhled Zavedeme skalární veličinu průměrný a okamžitý výkon a naučíme se řešit úlohy z praxe. Zejména u strojů se používá účinnost, kterou budeme používat v příkladech. Naučíme se převádět kwh na Jouly. Cíle kapitoly Určí převod z kwh na jouly. Řeší jednoduché úlohy z praxe na výpočet výkonu a účinnosti při pohybu tělesa působením stálé síly. Předpokládaný čas samostudia kapitoly 45 minut. Čas potřebný ke studiu Výkon, příkon, účinnost, kilowathodina. Klíčová slova Výklad V praxi posuzujeme činnost strojů pomocí práce a z hlediska rychlosti pomocí výkonu. Máme dva stroje - jeden vykoná práci 200 J za 2 hodiny, druhý 400 J za 8 hodin. Který z nich je výkonnější? o Výkon je práce, kterou stroj vykoná za časovou jednotku např. hodinu. V našem příkladě první stroj za hodinu vykoná 100 J, druhý 400/8=50 J. První stroj má vyšší výkon. Průměrný výkon P je podíl práce W a doby t, za kterou se práce vykonala. P=W/t [P]=J/s=W Watt v základních jednotkách je: P=N.m/s=kg.m 2.s -3 Výkon 1 Wattu má stroj, který vykoná práci 1 J za 1 sekundu. Práci W vypočítáme z průměrného výkonu P: W=P.t Často se práce elektřiny udává v kilowatthodinách zkr. kwhod. Převod na Jouly : 1kW = 1000 W 1 hod= 3600 s a protože práce W=P.t po dosazení 1 kwh = W.t = 100W.3600s = 3 600 000 J = 3,6 MJ Měříme-li výkon za malou dobu Δt 0 (čteme za malý časový okamžik blížící se nule), pak změna práce ΔW za tuto malou dobu je okamžotý výkon: P=ΔW/Δt. Těleso, pohybující se stálou silou F, urazí za krátkou dobu Δt dráhu Δs=v.Δt (v je okamžitá rychlost). Práce, kterou síla za tuto dobu vykoná je: ΔW=F.Δs pak výkon P = ΔW/Δt = F.Δs/Δt = F.v.Δt/ Δt = F.v Okamžitý výkon je roven součinu velikosti působící síly na těleso a okamžité rychlosti tělesa. Při činnosti strojů se přeměňuje energie z jedné formy na jinou - např. motor převádí elektrickou energii na mechanickou. Při přeměně se však vždy část energie ztrácí ve stroji jako nevyužitá - motor se zahřívá, vibruje a to je ztrátová energie. Energie dodaná stroji E za 1 sekundu je vlastně příkon Po a práce W vykonaná za 1 sekundu je výkon stroje. Účinnost udává, kolik energie (jaká část
příkonu) je ve stroji přeměněna na užitečnou práci (výkon). Značí se řeckým písmenem etha η. Udává se jako poměr bez jednotky nebo vynásobená 100 v procentech %. Vypočítáme ji: η=w/e nebo η = P/Po [η]= - bezrozměrné číslo η=w/e.100 nebo η = P/Po.100 [η]= % procenta Protože vznikají ztráty, je účinnost reálný strojů vždy menší než 100% nebo menší než 1. Ideální stroj beze ztrát by měl účinnost 100%. Stroj s ještě větší účinností se nazývá perpetum mobile I. druhu. Perpetum mobile I. druhu je stroj, který by vykonal větší práci, než je energie jemu dodaná. Tento stroj podle současného fyzikálního poznání světa neexistuje. (8) Otázky a řešení Motor výtahu dopraví náklad o hmotnosti 250 kg rovnoměrným pohybem do výšky 18 m za 30 s. a) Jakou práci motor vykoná? b) Jaký je výkon motoru? o m = 250 kg, h = 18 m, t = 30 s, g = 10 m s 2 ; a) W =?, b) P =? Vzpěrač vyzvedl činku o hmotnosti 150 kg do výšky 2 m za 3 s. Jaký byl jeho průměrný výkon? o m = 150 kg, h = 2 m, t = 3 s, g = 10 m s 2 ; P =? Porovnejte výkony dvou chlapců při závodech ve šplhání. Chlapec o hmotnosti 60 kg vyšplhá do výšky 4 m za 5 s, chlapec o hmotnosti 72 kg do stejné výšky za 6 s. o h = 4 m, m1 = 60 kg, t 1 = 5 s, m2 = 72 kg, t2 = 6 s; P 1 /P 2 =? Výkony obou chlapců jsou stejné. Vodní čerpadlo vyčerpá vodu o hmotnosti 750 kg z hloubky 6 m za dobu 3 min. Určete výkon čerpadla. o m = 750 kg, h = 6 m, t = 3 min = 180 s, g = 10 m s 2 ; P =? Motor o výkonu 24 kw dopraví rovnoměrným pohybem náklad do výšky 12 m za 8 s. Jakou největší hmotnost může mít náklad včetně kabiny výtahu? o P = 24 kw = 24 000 W, h = 12 m, t = 8 s, g = 10 m s 2 ; m =? o Motor o výkonu P vykoná za dobu t práci W = Pt. Má-li motor dopravit rovnoměrným pohybem náklad s kabinou o hmotnosti m do výšky h, musí vykonat práci W = mgh. Proto P t = mgh a odtud o
Důlní čerpadlo o výkonu 300 kw čerpá vodu z hloubky 180 m. Jaké množství vody vyčerpá za 1 h? o P = 300 kw = 3 10 5 W, h = 180 m, g = 10 m s 2, t = 1 h = 3 600 s; m =? Objem vyčerpané vody: Automobil vyvíjí při rychlosti 72 km h 1 tažnou sílu 1,8 kn. Jaký je jeho okamžitý výkon? o v = 72 km h 1 = 20 m s 1, F = 1,8 kn = 1 800 N; P =? P = Fv = 36 10 3 W = 36 kw Automobil jede při výkonu 50 kw rychlostí 90 km h 1. a) Jak velkou tažnou sílu vyvíjí? b) Jakou práci vykoná při stálém výkonu za dobu 30 min? o P = 50 kw = 50 10 3 W, v = 90 km h 1 = 25 m s 1 ; a) F =?, b) t = 30 min = 1 800 s; W =? Automobil o hmotnosti 900 kg se rozjíždí z klidu se stálým zrychlením, přičemž za dobu 18 s dosáhne rychlosti 72 km. h 1. Jaký je jeho průměrný výkon při rozjíždění? o m = 900 kg, t = 18 s, v = 72 km h 1 = 20 m s 1 ; P =? Elektromotor jeřábu o příkonu 20 kw dopravuje náklad o hmotnosti 800 kg stálou rychlostí 2 m. s 1. Určete účinnost zařízení. o P0 = 20 kw, m = 800 kg, v = 2 m. s 1, η =? Účinnost je dána vztahem η = P/P 0, kde P 0 je příkon elektromotoru a P výkon jeřábu, dopravujícího náklad požadovanou rychlostí. Výkon jeřábu určíme ze vztahu P = Fv = mgv. Po dosazení do vztahu pro účinnost dostáváme Jaká část příkonu elektromotoru v předchozí úloze se pro dopravu nákladu nevyužije? o P 0 P = P 0 (1 η) = 4 kw, Elektromotor o příkonu 10 kw pracuje s účinností 90 %. Jakou mechanickou práci vykoná za 6 hodin? o P 0 = 10 kw, η = 90 %, tj. η = 0,9, t = 6 h; W =? W = ηp 0 t = 54 kw h Motor výtahu, který pracuje s účinností 80 %, zvedne rovnoměrným pohybem náklad o hmotnosti 750 kg do výšky 24 m za 0,5 min. Určete příkon motoru. o η = 0,8, m = 750 kg, h = 24 m, t = 0,5 min = 30 s, g = 10 m s 2 ; P0 =?
(11) Shrnutí Výkon a účinnost P = ΔW/Δt P p = W/t P = Fv η = P/P 0 výkon - P = ΔW/Δt *P+ = W watt průměrný výkon - P p = W/t okamžitý výkon - odvození: ΔW = FΔs = FvΔt P = FvΔt/Δt = Fvúčinnost - η - *éta+ výkon stroje je vždy menší než příkon, protože část energie se vždy mění na nevyužitou energii, např. tření součástek apod. η = P/P 0 - podíl výkonu a příkonu, udává se v % (9) Literatura Citovaná literatura 1. Bednařík, Milan a Široká, M. Mechanika. Praha : Prometheus, 1993. ISBN 80-901619-3-6. 2. Miklasová, Věra. Fyzika - sbírka úloh pro SOŠ a SOU. Praha : Prometheus, 1999. ISBN 80-7196- 135-3. 9. Lepil, Oldřich a Bednařík, Milan. Fyzika pro střední školy 1.díl. Praha : Prometheus, 1993. ISBN 80-85849-87-9. 11. Lepil, Oldřich. Sbírka úloh pro střední školy. Praha : Prometheus, 1995. ISBN 80-7196-48-9. 1.3 MECHANICKÁ ENERGIE Rychlý náhled Zavedeme skalární veličinu pohybová a polohová energie a naučíme se řešit úlohy z praxe zejména na zákon zachování mechanické energie. Vysvětlíme, které zákony zachování využijeme při pružných a nepružných srážkách. Cíle kapitoly Řeší jednoduché úlohy z praxe na výpočet mechanické energie při pohybu tělesa působením stálé síly. Aplikuje na příkladech platnost zákona zachování energie. Předpokládaný čas samostudia kapitoly 90 minut. Čas potřebný ke studiu
Klíčová slova Mechanická energie, pohybová (kinetická) energie, polohová (potenciální) energie, zákon zachování energie, pružná srážka, nepružná srážka. Pohybová (kinetická) energie Výklad Všechna pohybující se tělesa mají kinetickou (pohybovou) energii. Co musíme vykonat k uvedení tělesa z klidu do pohybu? o Musíme na těleso působit silou F po dráze s - vykonat práci W. Dále se omezíme na tělesa, které nahradíme hmotnými body, na která nepůsobí síly tření ani odpor prostředí. Těleso, na které působí síla se pohybuje zrychleně dle zákona síly F=m.a, urazí dráhu. Při urychlení tělesa vykonáme práci: (uvažujeme sílu ve směru dráhy tělesa).po dosazení: Práce vykonaná silou je mírou změny kinetické energie:. Vzhledem k tomu, že na počátku byl hmotný bod v klidu (a tedy jeho kinetická energie byla nulová), je práce vykonaná silou na dráze s rovna kinetické energii ;. Pro změnu kinetické energie je rozhodující práce, kterou síla vykoná. Proto je jednotka energie stejná jako práce - Joul *Džaul+. Energie nezávisí na směru rychlosti, mění-li se směr rychlosti a velikost rychlosti je stejná, pak i pohybová energie je stejná. Práce se nekoná, je-li síla kolmá k směru pohybu. Totéž platí i o energii. Dostředivá síla při pohybu po kružnici je kolmá na směr rychlosti a nekoná práci. Znamená to, že při pohybu rovnoměrném po kružnici je pohybová energie konstantní. Motor rozjíždějícího auta koná kladnou práci - síla má směr dráhy, rychlost roste, kinetická energie vzrůstá.. Motor zastavujícího automobilu koná brzdící silou zápornou práci - rychlost se zmenšuje, kinetická energie klesá. Změna kinetické energie je rovna práci, kterou vykoná výslednice působících sil: Kinetická energie je závislá na volbě vztažné soustavy. Př. zavazadlo o hmotnosti 5 kg ležící na sedadle jedoucího automobilu rychlostí 20 m/s má kinetickou energii vzhledem k autu nulovou a vzhledem k Zemi 1000 J. Někdy se stane, že potřebujeme určit kinetickou energii celé soustavy hmotných bodů. Kinetická energie soustavy n hmotných bodů, které mají hmotnosti a velikosti rychlostí vzhledem k určité vztažné soustavě, je dána součtem kinetických energií jednotlivých hmotných bodů:. Takto lze určit celkovou kinetickou energii různých soustav bodů např. : molekul plynu v nádobě, těles Sluneční soustavy, střepin po vybuchlém granátu.
Polohová (potenciální) energie Mají ji tělesa v silových polích jiných těles (magnetickém, elektrickém, gravitačním) a také pružně deformovaná tělesa. Proto jsou schopna konat práci. V gravitačním poli Země, které bude zkoumat nejdříve, mají tělesa tíhovou potenciální energii Ep. Obrázek 6: polohová energie Na obrázku uvažujme místo tělesa opět hmotný bod o hmotnosti m, který padá volným pádem v tíhovém poli Země po přímce. Na hmotný bod působí tíhová síla. Podél trajektorie mezi body A a B urazí hmotný bod dráhu s. Tíhová síla, jejíž směr má směr trajektorie hmotného bodu, vykoná práci, neboť bod A je ve výšce a bod B ve výšce nad povrchem Země. Práce, kterou vykoná tíhová síla, určuje úbytek tíhové potenciální energie hmotného bodu:. Práce vykonaná tíhovou silou závisí na hmotnosti hmotného bodu, velikosti tíhového zrychlení a na počáteční a koncové výšce hmotného bodu nad povrchem Země. Nezávisí na tvaru trajektorie ani na délce dráhy. Zvolíme-li základní - nulovou hladinu tíhové potenciální energie na povrchu Země - Ep =0 J, pak ve výšce h nad zvolenou nulovou hladinou je Ep=m.g.h. Jednotkou je Joul. Těleso pod Zemí má dle této dohody zápornou polohovou energii. Jinak vypočítáme polohovou energii pružnosti např. praku, tětivy luku. Nejjednodušší je příklad napjaté pružiny, která může zavěšené těleso rozkmitat - viz obrázek.. Stlačená pružina má tuhost k (udávající, jakou silou ji můžeme protáhnout o 1 metr) a výchylku z rovnovážné polohy y (jde o dráhu tělesa s na pružině zavěšené). Platí F=k.y. Práce, kterou pružina vykoná je z grafu síly na dráze rovna obsahu plochy pod čarou - obsahu trojúhelníka tj W = Ep =1/2. F.y = 1/2.k.y.y. Obrázek 7: odvození polohové energie Zákon zachování mechanické energie Letící letadlo má obě energie - pohybovou Ek a polohovou Ep. Celková mechanická energie se vypočítá: Co se s těmito druhy mechanické energie děje, když vyhodíme míček nahoru? o Největší rychlost a tedy i pohybová energie míčku je nejvyšší dole při hodu. Tím jak míček stoupá, rychlost a tím i pohybová energie klesá. Naopak polohová energie je nejnižší dole a s rostoucí výškou klesá. Kinetická energie se mění na polohovou. Při pádu dolů je tomu naopak. Součet energií v každém místě letu míčku dá v případě izolovaných těles stejnou hodnotu - neboli celková mechanická energie je stejná. Zákon zachování mechanické energie: při všech mechanických dějích se mění pohybová energie na polohovou a naopak, celková mechanická energie soustavy je však konstantní (stejná) E= Ek+Ep= konst. Popište změnu energie při padání pružného míčku. o Polohová energie se mění na pohybovou, po nárazu na zem se pohybová mění na polohovou pružnosti - míček se deformuje. Pak se narovnává pružná deformace - tedy
polohová pružnosti se mění na pohybovou a ta následně na pohybovou. Kdyby byl míček dokonale pružný, vystoupil by po odrazu do stejné výšky. Popište změnu energie u kyvadla a u tělesa, zavěšeného na pružině. V praxi jsou všechna tělesa reálná - nelze je považovat ani za izolovaná, ani za hmotné body. Působí na ně odporové síly, které způsobují zmenšování celkové mechanické energie. To však neznamená, že energie může zanikat nebo vznikat. Pokud se zmenšuje mechanická energie těles např. třením, nedokonalou pružností. Přeměňuje se tato energie v jiné formy energie - zejména na vnitřní energii, která se projevuje zahříváním. Př: řidič autobusu brzdí, zmenšuje se mechanická energie autobusu, ale zahřívají se brzdy, případně i pneumatiky vozu. Balon tím, že se při dopadu stlačí, tím se zvýší jeho vnitřní energie - není dokonale pružný, tak se zahřeje. Ve vodních elektrárnách se mění mechanická energie vody na elektrickou energii. Elektrická ve spotřebičích se mění na teplo (vařič), světlo (zářivka), mechanický pohyb (motory). Proto byl zákon zachování mechanické energie rozšířen na veškeré druhy energie: Zákon zachování energie: při všech dějích v izolované soustavě se mění jedna forma energie v jinou, nebo přechází energie z jednoho tělesa na druhé. Celková energie soustavy se však nemění. Jde o základní zákon fyziky, doplňující zákon zachování hmotnosti a hybnosti. Je nutno zopakovat, že práce a energie jsou velmi podobné veličiny, které však nesmíme zaměňovat. Energie charakterizuje stav soustavy (tělesa) -je to stavová veličina. Práce charakterizuje děj, při němž nastává přeměna nebo přenos energie. Srážky těles Při vyšetřování srážek dvou (a více) těles, rozeznáváme dva druhy těchto srážek. ráz pružný - při něm platí zákon zachování hybnosti i zákon zachování mechanické energie. V tomto případě tedy neuvažujeme třecí a odporové síly působící proti směru pohybu. Př.: srážka dvou kulečníkových koulí na dokonale hladkém stole, srážka dvou vagónů, které se svými nárazníky od sebe odrazí, ráz nepružný - při něm platí pouze zákon zachování hybnosti. Mechanická energie se zde nezachovává - část se jí mění na energii vnitřní nebo se spotřebovává na překonání třecích a odporových sil. Př. : kulka, která prostřelí strom, srážka dvou vagónů, které se do sebe po srážce zaklesnou, srážka dvou těles, která se pohybují v odporujícím prostředí; (8) Otázky a odpovědi Jakou kinetickou energii má automobil o hmotnosti 800 kg, jede-li rychlostí 10 m. s 1, 20 m. s 1, 30 m. s 1? o m = 800 kg, v 1 = 10 m s 1, v 2 = 20 m s 1, v 3 = 30 m s 1 ; Ek =? E k1 = 4 000 J = 40 kj, E k2 = 160 000 J = 160 kj, E k3 = 360 000 J = 360 kj. Jakou kinetickou energii má volně padající těleso o hmotnosti 1 kg za dobu 1 s, 2 s a 3 s od začátku pohybu? Odpor vzduchu neuvažujte. o m = 1 kg, g = 10 m s 2, t 1 = 1 s, t 2 = 2 s, t 3 = 3 s; E k =?
E k1 = 50 J, E k2 = 200 J, E k3 = 450 J. Chlapec o hmotnosti 40 kg, který běží po hřišti rychlostí 2 m.s 1, vykopne míč o hmotnosti 0,5 kg počáteční rychlostí 20 m. s 1. Určete kinetickou energii chlapce a míče. o m1 = 40 kg, v 1 = 2 m s 1 ; E k1 =?, m 2 = 0,5 kg, v 2 = 20 m s 1 ; E k2 =? Střela o hmotnosti 20 g zasáhla strom a pronikla do hloubky 10 cm, Jak velkou rychlostí se pohybovala před zásahem, je-li průměrná odporová síla dřeva stromu 4 kn? o m = 20 g = 0,02 kg, s = 10 cm = 0,1 m; F = 4 000 N, v =? o Při vniknutí střely do stromu překonává střela odporovou sílu F stromu po dráze s, přičemž vykoná mechanickou práci W = Fs. Tato práce se koná na úkor kinetické energie střely E = mv 2 /2, jejíž počáteční rychlost byla v. Platí tedy a odtud rychlost střely Těleso o hmotnosti 3 kg zvedneme do výšky 50 cm nad horní desku stolu, která je ve výšce 80 cm nad podlahou. Určete tíhovou potenciální energii tělesa a) vzhledem k desce stolu, b) vzhledem k podlaze. o m = 3 kg, a) h 1 = 50 cm = 0,5 m; E p1 =?, b) h2 = 80 cm = 0,8 m, g = 10 m s 2 ; E p2 =? o a) E p1 = mgh1 = 15 J o b) E p2 = mg(h1 + h2) = 39 J Těleso o hmotnosti 1 kg volně padá z výšky 45 m. Určete jeho tíhovou potenciální energii vzhledem k povrchu Země za dobu 1 s, 2 s, 3 s jeho pohybu. Odpor vzduchu neuvažujte. o m = 1 kg, g = 10 m s 2, h = 45 m, t 1 = 1 s, t 2 = 2 s, t 3 = 3 s; E p =? V čase t 3 = 3 s je těleso na zemském povrchu, tj. v nulové výšce. Beran na zatloukání kůlů do země má hmotnost 400 kg. Z jaké výšky spadl beran, jestliže po jeho dopadu pronikl kůl do hloubky 80 cm? Průměrná odporová síla půdy je 12 kn. o m = 400 kg, s = 80 cm = 0,8 m, F = 12 kn = 12 10 3 N, g = 10 m s 2 ; h =? Letadlo o hmotnosti 60 t vystoupilo z výšky 1 000 m do výšky 3 000 m, přičemž zvětšilo rychlost ze 160 m. s 1 na 200 m. s 1. Jakou práci vykonaly motory letadla? Odpor vzduchu neuvažujte.
o m = 60 t = 60 10 3 kg, h1 = 1 000 m, h 2 = 3 000 m, v 1 = 160 m s 1, v 2 = 200 m s 1, g = 10 m s 2 ; W =? Z okna domu ve výšce 8 m nad povrchem země upustí dítě míč o hmotnosti 0,4 kg. Během pádu působí na míč odpor vzduchu, takže míč dopadne na zem rychlostí 5 m. s 1. Jak velká je průměrná odporová síla vzduchu? o h = 8 m, m = 0,4 kg, v = 5 m s 1, g = 10 m s 2 ; F =? Práce vykonaná odporovou silou se rovná úbytku mechanické energie, velikost odporové síly Při působení odporových sil neplatí zákon zachování mechanické energie, část mechanické energie se přemění v jiné druhy energie, především ve vnitřní energii. (11) Shrnutí Kinetická energie E k = ½ mv2 W = ΔEk = Ek1 - Ek2 Ek = ½ m 1 v 2 1 + ½ m 2 v 2 2 2 + + ½ m n v n mají ji tělesa, která se vzhledem k dané vztažné soustavě pohybují odvození: W = Fs F = ma s = ½(at 2 ) W = ½ m(at) 2 = ½ mv 2 změna kinetické energie je rovna práci, kterou vykoná výslednice působících sil: W = ΔE k = E k1 - E k2 kinetická energie je závislá na volbě vztažné soustavy celková kinetická energie E k soustavy n bodů je dána součtem kinetických energií jednotlivých bodů: E k = ½ m 1 v 2 1 + ½ m 2 v 2 2 2 + + ½ m n v n Potenciální energie Ep = mgh tíhová potenciální energie - má těleso v tíhovém poli Země odvození: W = Fs F = mg. s = h 1 h 2 W = mg(h 1 h 2 ) práce vykonaná tíhovou silou záleží na počáteční a konečné výšce hmotného bodu nad povrchem Země tíhovou potenciální energii Ep určujeme vždy k nulové hladině potenciální energie, kterou si určíme zvedneme-li těleso o výšku h, vykonám práci, která je rovna přírůstku tíhové potenciální energie tělesa potenciální energie pružnosti je rovna práci vykonané při napínání (deformaci) pružiny Mechanická energie E = Ek + Ep mechanická energie - celkovou mechanickou energii tělesa tvoří součet kinetické a potenciální energie tělesa
zákon zachování mechanické energie při všech mechanických dějích se může měnit kinetická energie v potenciální a naopak, celková energie soustavy je však konstantní: E = Ek + Ep = konst. Obecný zákon zachování energie zákon zachování energie = obecný princip zachování energie při všech dějích v izolované soustavě těles se mění jedna forma energie v jinou nebo přechází energie z jednoho tělesa na druhé, celková energie soustavy se však nemění energie charakterizuje stav soustavy, práce charakterizuje děj při kterém nastává přeměna nebo přenos energie Literatura Citovaná literatura 1. Bednařík, Milan a Široká, M. Mechanika. Praha : Prometheus, 1993. ISBN 80-901619-3-6. 2. Miklasová, Věra. Fyzika - sbírka úloh pro SOŠ a SOU. Praha : Prometheus, 1999. ISBN 80-7196- 135-3. 9. Lepil, Oldřich a Bednařík, Milan. Fyzika pro střední školy 1.díl. Praha : Prometheus, 1993. ISBN 80-85849-87-9. 11. Lepil, Oldřich. Sbírka úloh pro střední školy. Praha : Prometheus, 1995. ISBN 80-7196-48-9.