FYZIKÁLNÍ MINIMUM PRO UČITELE ZEMĚPISU

UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA FYZIKY PETRA KLAPKOVÁ DYMEŠOVÁ FYZIKÁLNÍ MINIMUM PRO UČITELE ZEMĚPISU Metodická příručka pro učitele zeměpisu na základních i středních školách 1

I. Určení polohy bodu na povrchu Země Chceme-li ve fyzice popsat polohu nějakého tělesa, obvykle zavádíme pojem hmotný bod. Je to idealizovaný objekt, u něhoţ zanedbáme jeho rozměry a tvar, pracujeme pouze s jeho hmotností. Popis polohy hmotného bodu v rovině tak bude určen dvěma prostorovými souřadnicemi a údajem o čase. S dvojrozměrným zobrazením se v zeměpise setkáváme při práci s mapou nebo plánem. Při zobrazování objektů v dvojrozměrném prostoru vyuţíváme znalostí z geometrie. Nejprve zvolíme dvě na sebe kolmé osy, průsečík kolmic nazveme počátkem O. Vodorovnou přímku nazveme osou x, přímku k ní kolmou osou y. Kaţdý bod, který je umístěný v takto vytvořené soustavě Oxy, lze popsat uspořádanou dvojicí [x, y]. K jednoznačnému určení polohy bodu v čase t, který se mění, je třeba přidat třetí časovou souřadnici. Pak píšeme [x, y, t]. Obr. č. 1 Pro vzdálenost dvou bodů platí: XY x x y. 1 y1 Obr. č. K popisu hmotného bodu lze pouţít i tzv. polohový vektor. Spojíme-li bod X a počátek souřadné soustavy O, získáme polohový vektor, který určuje souřadnice polohy x, y. Změny polohy pak vyjadřujeme změnami souřadnic polohového vektoru r xi yj, nebo-li r ( r cos ) i ( r sin ) i, kde i, j jsou jednotkové vektory ve směru os x, y. Vztah pro goniometrické funkce úhlu lze odvodit z obrázku. Obr. č. 3

V praxi se do dvojrozměrné mapy přidává ještě třetí souřadnice a to údaj o nadmořské výšce. Na podrobných turistických mapách jsou místa o stejné nadmořské výšce spojena tzv. vrstevnicí. Je třeba si uvědomit, ţe zobrazení zakřiveného zemského povrchu do dvojrozměrnému prostoru vţdy podléhá určitému zkreslení. Pro výuku zeměpisu lze rovněţ vyuţít údaje ze satelitních map umístěných na serverech www.googleearth.com či www.mapy.cz. Zde je poloha kaţdého bodu na zemském povrchu velmi přesně popsána třemi souřadnicemi zeměpisnou délkou a šířkou a nadmořskou výškou. V trojrozměrném prostoru lze bod X v daném časovém okamţiku popsat třemi souřadnicemi x, y, z a časem t. Podobně jako při zobrazení v rovině lze v trojrozměrném prostoru zavést polohový vektor a jednotkové vektory i, j, k. Potom píšeme r xi yj zk. Pro vzdálenost dvou bodů X x, y, z, Y x, y z 1 1 1, platí analogicky jako v dvojrozměrném Obr. č. 4 prostoru: XY x x y y z. 1 1 z1 Souřadnice x, y, z nazýváme kartézské. Pro popis polohy bodu na zemském povrchu a s tím souvisejícím zavedením pojmu zeměpisné souřadnice je třeba zmínit sférické souřadnice. Poloha hmotného Obr.č. 5 bodu na povrchu koule je pak popsána třemi souřadnicemi - r,,, kde r je nám známý polohový vektor, je úhel, který svírá průmět polohového vektoru do roviny Oxy s osou x a je úhel, který svírá polohový vektor s osou z. Platí: z r cos x r sin cos y r sin sin Obr. č. 6 3

Pro popis polohy libovolného bodu tak můţeme pouţít jak kartézské, tak sférické souřadnice. Praktickou aplikací sférických souřadnic jsou zeměpisné souřadnice. Pokud tvar Země zjednodušíme na ideální kouli, můţeme k popisu libovolného místa na zemském povrchu pouţít tři souřadnice: zeměpisnou délku λ, zeměpisnou šířku φ a nadmořskou výšku. Nejprve uvedeme některé důleţité pojmy. Země se otáčí kolem osy rotace, která protíná zemský povrch ve dvou bodech: N severní geografický pól a S jiţní geografický pól. Průsečnice povrchu Země a rovin kolmých k ose rotace se nazývají rovnoběţky. Mají různé poloměry a délky, průsečnice roviny procházející středem Země kolmo k ose a povrchu Země se nazývá rovník. Průsečnice polorovin obsahující osu rotace a dané místo na povrchu Země (dle obr. č. 7 bod P) se nazývají poledníky. Jsou to spojnice míst na Zemi, ve kterých nastává ve stejném okamţiku poledne. Jako nulový poledník se označuje ten, který prochází hvězdárnou v Greenwich. V minulosti se jako základní poledník povaţoval ten, který prochází ostrovem Ferrio (nyní Hierro v souostroví Kanárské ostrovy, 18 z. d.), coţ lze najít ve starých mapách. Zeměpisná délka je úhel, který svírá polorovina místního poledníku s polorovinou nultého poledníku. Nabývá hodnot 0 aţ 180 v. d. a 0 aţ 180 z. d. Správně matematicky bychom měli zapsat 180,0 0, 180. Zeměpisná šířka je úhel, který svírá průvodič daného místa na povrchu Země s rovinou rovníku. Nabývá hodnot 0 aţ 90 s. š. a 0 aţ 90 j. š. Matematicky 90,0 0, 90. K určení nadmořské výšky se volí základní referenční výška, všechna měření pak vztahujeme k této hodnotě. Obr. č. 7 1 1 Zdroj: 4

Popis obrázku: zeměpisná šířka n normála S jižní pól zeměpisná délka S střed Země r rovník a hlavní poloosa N severní pól b vedlejší poloosa Uvedli jsme tedy, ţe k přesné definici zeměpisných souřadnic je třeba mít jisté matematicko-fyzikální znalosti. Zde je nutné poukázat na nesoulad učebních plánů fyziky a zeměpisu na základní a střední škole. Budeme se nyní zabývat situací na základní škole. Určení polohy na Zemi pomocí zeměpisných souřadnic je na většině škol učivem 6. ročníku. V této době však ţáci nemají osvojen příslušný matematický aparát, neznají pojem koule, rovina, souřadná soustava, dokonce ani úhel. Neznají jednotky vztahující se k úhlům, tedy stupeň, minuta a vteřina. V některých učebnicích zeměpisu je pak na okraji textu napsána poznámka určená ţákům: O stupních se budeš učit v matematice. Je ovšem otázkou, zda po několika měsících dojde u ţáků k propojení poznatků, vţdyť je jim nejprve dáván praktický příklad a o několik měsíců později vysvětlována podstatu jevu. Rovněţ definování zeměpisných souřadnic není správné: Vzdálenost místa od hlavního poledníku vyjádřená ve stupních se nazývá zeměpisná délka nebo analogicky Vzdálenost kteréhokoliv místa od rovníku směrem k pólům vyjádřená ve stupních se nazývá zeměpisná šířka 3. Zeměpis definuje tyto pojmy jako vzdálenost, ale z hlediska fyziky se jedná o úhly vyjádřené ve stupních, jak bylo řečeno výše. V některých učebnicích zeměpisu pro 6. ročník se lze setkat s jednotkou zeměpisný stupeň. Při výkladu zeměpisných souřadnic musí tedy učitel základní školy postupovat velmi obezřetně. V šestém ročníku postačí říci, ţe poloha kaţdého bodu na Zemi je určena třemi údaji zeměpisnou šířkou, délkou a nadmořskou výškou. Lze pak pracovat se souřadnou soustavou na podobném principu, jako děti hrají hru lodě. Správné odvození pak můţe přijít později, třeba aţ v devátém ročníku. I zde však musíme dobře zváţit, jak budeme při definování postupovat, neboť na základní ani střední škole se polární souřadnice nezavádějí, to je záleţitostí aţ vysokoškolské matematiky či fyziky. Tudíţ ani v prvním ročníku střední školy studenti tyto znalosti mít nemohou. ČERVENÝ P., DOKOUPIL J., KOPP J., Zeměpis 6, str. 11 3 DEMEK J., HORNÍK S., HOFMANN E., Zeměpis 6: Planeta Země, str. 13 5

Nyní uvedeme několik výpočtových příkladů souvisejících s určováním polohy na Zemi, které lze zařadit ve výuce zeměpisu. Příklad 1: Výpočet délky rovnoběžky a poledníku K určení délky libovolné rovnoběţky je nutné vypočítat její poloměr. K tomu je třeba znát poloměr referenční koule a mít základní znalosti o goniometrických funkcích. Pro poloměr rovnoběţky platí: r R cos, kde R je poloměr Země 6 371 km. Délka 45. rovnoběţky je tedy: d r. R cos 45 8 306 km. Obr. č. 8 Pro délku poledníku vyjde 40 030 km. Příklad : Přesnost měření na satelitních mapách. Nyní můţeme určit s jakou přesností v metrech měříme, pokud pouţijeme server www.mapy.cz, kde lze polohu určit s přesností na tisíciny úhlové vteřiny. Při výpočtu berme v úvahu zeměpisnou šířku 50 a délku 15, coţ je údaj odpovídající přibliţně středu České republiky. Délku 50. rovnoběţky určíme stejně jako v předchozím případě, tedy d r. R cos 50 5 759 km. Na jeden úhlový stupeň tak připadá 71,6 km, úhlu 1 odpovídá 1,193 km a úhlu 1 0,0 km. Jedné úhlové vteřině odpovídá vzdálenost 0 m. Měříme tedy s přesností na cm. Délku 15. poledníku určíme ze vzorce pro délku kruţnice d r 6 371 40 030 km. 1 tedy odpovídá 111 km, 1 odpovídá 1,849 km a 1 pak vzdálenost 0,031 km. V poledníkovém směru znamená přesnost na tisíciny úhlové vteřiny 3 cm. Podobně lze určit přesnost měření na serveru www.googleearth.com. Studenti si mohou vyzkoušet měření různých objektů a budov a porovnat jejich rozměry se skutečností. Příklad 3: Zkreslení mapy Výpočtem můţeme ověřit velikost zkreslení, které musíme brát v úvahu při práci s atlasem. Je třeba ţáky upozornit na to, ţe zobrazení zemského povrchu vţdy doprovází zkreslení, které se odvíjí od typu projekce. Na základní škole sice ţáci nemají matematické znalosti potřebné k výkladu různých typů zobrazování, ale můţeme jim vše vysvětlit na jednoduchém příkladě. Potřebujeme k tomu jen školní atlas světa. 6

Budeme chtít určit vzdálenost (délku rovnoběţky), která leţí mezi poledníky 0 a 60, jedná se tedy o 40 zeměpisné délky. Tuto vzdálenost budeme určovat na 80 a 70 zeměpisné šířky. 40 zeměpisné délky je jednou devítinou délky celé rovnoběţky. Pro zeměpisnou šířku 80 vypočítáme vzdálenost: π r cos80 x 77 km. 9 Pro zeměpisnou šířku 70 získáme vzdálenost: π r cos 70 x 151km. 9 Obr. č. 9 Výpočtem jsme zjistili, ţe 40 zeměpisné délky, zobrazené v různých zeměpisných šířkách, není stejnou vzdáleností, ačkoliv pohled do běţného atlasu světa říká něco jiného. Některé mapy tak zobrazují díky zkreslení Grónsko stejně velké jako např. Austrálii (Hughes: Velká všeobecná obrazová encyklopedie, str. 57-573), ačkoliv rozloha Grónska je 158 960 km a Austrálie 7 68 300 km. Pokud bychom porovnali mapy v různých kartografických zobrazeních, zjistíme, ţe Grónsko má pokaţdé jiný tvar. Můţeme tak s ţáky porovnávat tvar a velikost ostrovů či světadílů v různých mapách a zeměpisných publikacích. Pouţít můţeme rovněţ satelitní mapu. Příklad 4: Stanovení délky rovníku pomocí tištěné nebo satelitní mapy Ke stanovení délky rovníku musíme změřit vzdálenost dvou míst s nulovou zeměpisnou šířkou. Můţeme pouţít zeměpisný atlas nebo mapy www.googleearth.com. Pokud pouţijeme zeměpisný atlas, vybereme libovolný úsek rovníku, v zeměpisné síti změříme vzdálenost dvou poledníků, které daný úsek vymezují, a přepočítáme podle měřítka. Při pouţití Nového atlasu světa s měřítkem mapy 1: 4 500 000 vypočteme vzdálenost 39 690 km. Z měření na GoogleEarth.com vybereme například část rovníku procházející přes indonéský ostrov Kalimantan. Souřadnice západního břehu: 109 09, souřadnice druhého břehu 117 30. Naměřená vzdálenost těchto míst pomocí satelitní mapy je 930,56 km. Rozdíl v zeměpisných délkách je 501. Úhlové minutě odpovídá vzdálenost 1 857 m, úhlovému stupni 111,4 km. Délka rovníku potom je 40 111 km, coţ je v porovnání s udávanou hodnotou v literatuře 40 075 km velmi dobrý výsledek. 7

Jelikoţ jsou v satelitních mapách vzdálenosti určené s přesností na setinu úhlové vteřiny, je velikým uměním umístit značku přesně na rovník. Příklad 5: Určení vzdálenosti dvou míst Určujeme-li vzdálenost dvou míst leţících na stejném poledníku, stačí znát jejich zeměpisnou šířku. Z rozdílu hodnot zeměpisných šířek a ze znalosti poloměru Země lze vypočítat: d R. V případě, ţe obě místa leţí na stejné rovnoběţce, lze podobně určit jejich vzdálenost z rozdílu zeměpisných šířek. Výpočet je velmi jednoduchý, je však třeba upozornit studenty na to, ţe výsledek nevyjadřuje skutečnou vzdálenost daných míst. Nejpřesnější vzdálenost získáme na GoogleEarth, který pro měření vzdálenosti pouţívá ortodromu, coţ je průsečnice povrchu Země a roviny, proloţené oběma uvaţovanými místy a středem Země. Studenti si rovněţ mohou vyzkoušet, ţe při určení vzdálenosti dvou míst na stejné rovnoběţce nekopíruje nejkratší spojnice dvou míst rovnoběţku, ale odchyluje se od ní tím více, čím více se blíţíme k pólům. Pouze při měření na rovníku či poledníku má ortodroma stejný směr jako rovnoběţka či poledník. Ortodroma je sice nejkratší spojnicí dvou míst, ale v navigaci se pouţívá loxodroma. To je křivka, která protíná všechny Obr. č. 10 4 poledníky pod stejným úhlem. Loxodroma se shoduje s ortodromou pouze ve směru po polednících a po rovníku. Pokud se například budeme pohybovat v blízkosti pólů daným azimutem 45, naší trajektorií bude loxodroma. Ačkoliv tyto pojmy jsou zařazeny v katalogu poţadavků ke státním maturitám, překvapivě v učebnicích zeměpisu o nich nenajdeme ani zmínku. Velmi zajímavé můţe být pro studenty zjištění, kudy vede např. nejkratší cesta z čínského Pekingu do amerického města Springfield. Ačkoliv obě města leţí přibliţně na 39. rovnoběţce, nejkratší trasou se dostaneme do polárních oblastí aţ k 75. rovnoběţce. Obr. č. 11 5 4 Zdroj. www.wikipedie.cz 8

Tím získáme důkaz toho, co bylo psáno výše, tedy ţe výpočet vzdálenosti dvou míst z rozdílu zeměpisných délek není přesný. Můţeme ho uţít jen jako přibliţný pro vzdálenosti do 1 000 km. Vše si můţeme vyzkoušet na následujícím příkladě: Určete vzdálenost letiště Praha- Ruzyně a letiště v ukrajinském Kyjevě. K určení vzdálenosti můţeme pouţít jeden ze tří způsobů. Nejprve zvolíme měření podle atlasu světa. Pouţijme mapu v Novém atlase světa s měřítkem 1: 4 500 000. Vzdálenost naměřená na mapě je 5 cm, přepočteno na skutečnou vzdálenost 1 15 km. Další moţností je výpočet. Jelikoţ obě města leţí přibliţně na 50. rovnoběţce, určíme hledanou vzdálenost z rozdílu zeměpisných délek: pro město Kyjev 30 6 a Praha 14 15. Délka 50. rovnoběţky d R cos 50 5 731 km. Na jeden úhlový stupeň tak připadá vzdálenost 71,48 km, na jednu úhlovou vteřinu 1,19 km. Rozdílu zeměpisných délek 16 11 tedy odpovídá vypočtená vzdálenost 1 157 km. Ověříme-li nyní vypočtenou vzdálenost na satelitní mapě, získáme údaj 1 15 km. Příklad 6: Pohyb na různých místech na Zemi Představte si situaci, ţe v rámci orientačního běhu máte následující instrukce, jak se lze dostat k cíli: nejprve směřujte z výchozího místa na sever, změna zeměpisné šířky je 10 a poté změňte směr na východní a opět se posuňte o 10 zeměpisné délky. V tomto případě je nutné určit, jaká bude poloha výchozího bodu na Zemi. Pohyb směrem na sever (jih) je pohyb po poledníku, tady na jeden úhlový stupeň připadá stejná vzdálenost bez ohledu na umístění na Zemi. Pohyb ve směru východ (západ) je pohyb po rovnoběţce, tady jiţ záleţí na umístění výchozího bodu, neboť délka rovnoběţky se ve směru od rovníku k pólům zkracuje. Z toho plyne, ţe vzdálenost, kterou ujdeme v okolí rovníku bude větší, neţ vzdálenost v okolí pólu. Příklad 7: Je plastický globus věrným zobrazením Země? Nyní si pomocí jednoduché úvahy ukáţeme, zda plastický globus svým zobrazením zemského reliéfu odpovídá realitě. Zmenšení je u globu vyjádřeno jeho měřítkem, např. 1: 60 000 000, tzn. 1 cm = 600 km. Aby byly rozměry zobrazeny opravdu věrohodně, musel by mít glóbus s tímto měřítkem průměr 1, cm. V tomto měřítku však není 5 Zdroj: www.wikipedie.cz 9

moţné vytvořit plastický glóbus. Například Mount Everest vysoký 8 848 m by měl výšku 0,15 mm, naopak Mariánský příkop (-10 94 m) by byl na plastickém globu hluboký 0,18 mm. Naší nejvyšší hoře Sněţce -1 603 m by odpovídala velikost 0,07 mm, coţ by nebylo proveditelné. Běţně prodejné plastické globy nemají tedy se skutečností moc společného, slouţí jen pro větší názornost. II. Výpočet základních charakteristik zemského tělesa povrch, objem, hustota V zeměpise v 6. ročníku základní školy děti učíme údaje o zemském tělese. Uvádíme číselné údaje o povrchu, hustotě, popřípadě načrtneme obrázek, kde rozdělíme Zemi na kůru, jádro a plášť. Zde se obvykle zeměpisci zmiňují o takových fyzikálních veličinách jako je teplota, hustota či tlak. Je třeba si uvědomit, ţe v tomto stádiu vzdělávacího procesu, jsou ţáci seznámeni pouze s pojmem teplota, pojem hustota se vyučuje obvykle aţ v druhém pololetí 6. ročníku, s pojmem tlak se ţáci ve fyzice seznamují aţ v ročníku sedmém. Nyní si na jednoduchém výpočtu ukáţeme, jak si mohou ţáci uváděné údaje spočítat. K tomu jsou však potřebné jisté matematické znalosti, které ţáci získávají aţ v 8. ročníku základní školy. Zemské těleso můţeme nahradit koulí o poloměru 6 371 km. Vypočítáme nyní povrch a objem Země. S 4 r 4 6 371 km 510 10 6 km. 4 3 3 1 3 1 V r 1,083 10 km 1,08 10 m. 3 Ze známé hodnoty hmotnosti Země můţeme určit její hustotu: V M 4 6 10 1,08 10 1 5 560 kg m 3. Takto vypočítaná hodnota je však průměrnou hustotou. Hustota jednotlivých slupek se pohybuje od 700 kg/m 3 do 900 kg/m 3 pro zemskou kůru, aţ po hodnotu 13 500 kg/m 3 pro zemské jádro. Toto je údaj, který uvádí pouze některé zdroje, obvykle se v učebnicích setkáme s hustotou jádra kolem 6 500 kg/m 3. Údaje o zemském nitru lze získat buď přímo nejhlubší vrt je kolem 1 km (poloostrov Kola), nebo zprostředkovaně z údajů, které získáváme studiem zemětřesení. 10

Studuje se hlavně rychlost šíření a dráhy zemětřesných vln. Informace jsou tím přesnější, čím větší počet seizmických stanic dané zemětřesení zachytí a čím je větší počet studovaných zemětřesení. Podrobně bude popsáno v kapitole X. Stavba Země. Hmotnost Země lze rovněţ vypočítat ze známé doby oběhu a poloměru oběţné dráhy zemského satelitu. Výpočet bude uveden později. III. Pohyb rovnoměrný po kružnici Pokud chceme popsat tvar nebo pohyby Země, je třeba zmínit kinematický a dynamický popis pohybu rovnoměrného po kruţnici. Jedná se učivo druhého pololetí prvního ročníku střední školy, tedy opět ţáci získávají v zeměpise pouze formální znalosti. Rovnoměrný pohyb po kruţnici koná hmotný bod, jestliţe ve stejných libovolně zvolených dobách opíše stejně dlouhé oblouky kruţnice úhlů s, kterým přísluší stejné velikosti. Při rovnoměrném pohybu po kruţnici má okamţitá rychlost stálou velikost, mění se však její směr. Platí: s. r v rf. t T Doba T je perioda oběhu, f je frekvence (jednotkou je hertz Hz = s -1 ). Obr. č. 1 6 Pro popis pohybu hmotného bodu po kruţnici se zavádí úhlová rychlost. t Známe-li periodu úhlového pohybu, platí: f. T Pro vztah mezi úhlovou a obvodovou rychlostí dostaneme v r Jednotkou úhlové rychlosti je rad s -1. V některých středoškolských učebnicích zeměpisu se můţeme setkat s informací, ţe hodnota úhlové rychlosti zemské rotace je 360 za 4 hodin. Takto definovaná jednotka odporuje z fyzikálního hlediska závazné normě SI. Správně by muselo být napsáno, ţe průvodič kaţdého bodu na zemském povrchu opíše úhel 360 za 3 hodin 56 min a 4 s, tedy za dobu hvězdného dne, coţ je správný údaj pro 6 Zdroj: www.nabla.cz 11

dobu rotace Země kolem osy. Z předchozích vztahů tak můţeme například spočítat rychlost, kterou mají tělesa na povrchu Země v různých zeměpisných šířkách, nebo dobu oběhu druţice kolem Země. I kdyţ rotace Země není příkladem rovnoměrného pohybu, pro účely školské fyziky toto zjednodušení postačuje. Jak jiţ bylo řečeno, při pohybu rovnoměrném po kruţnici se mění směr vektoru rychlosti. Změna rychlosti v je způsobena změnou směru vektoru rychlosti, jedná se tedy o pohyb mající zrychlení. Pro dostředivé zrychlení platí: v 4 v r 4 f r r. r T a d Vektor dostředivého zrychlení při pohybu hmotného bodu po kruţnici je kolmý k vektoru okamţité rychlosti, má směr do středu trajektorie. Aby se bod pohyboval po kruţnici, musí na něj Obr. č. 13 7 působit dostředivá síla: F ma. Dostředivé zrychlení i dostředivá síla jsou D d veličinami vektorovými, jejich velikost je u rovnoměrného pohybu konstantní a směr se neustále mění tak, aby směřovaly do středu kruţnice. Při oběhu druţice nebo Měsíce kolem Země je dostředivou silou síla gravitační, stejně tak při oběhu Země kolem Slunce je dostředivou silou gravitační síla, kterou působí na Zemi Slunce. Na těleso v otáčející se soustavě působí i odstředivé síly. První je reakcí na dostředivou sílu v inerciální vztaţné soustavě, druhá je síla zdánlivá, zavádíme ji v otáčející se vztaţné soustavě. Nemá původ v silovém působení ostatních těles, ale ve zrychlení vztaţné soustavy. Je to setrvačná odstředivá síla. Tyto síly se často nesprávně zaměňují či Obr. č. 14 ztotoţňují. Pro setrvačnou odstředivou sílu platí F S = - F D. V následujícím příkladě si ukáţeme výpočet obvodové a úhlové rychlosti. Úhlová rychlost zemské rotace je na všech místech zemského povrchu stejná, obvodová rychlost se s umístěním na Zemi mění, největší je na rovníku, směrem k pólům se sniţuje. Vyšší obvodové rychlosti v rovníkových oblastech se vyuţívá např. ke stavbě 7 Zdroj: www.nabla.cz 1

kosmodromů. Rozdílná obvodová rychlost souvisí i s různou velikostí odstředivé síly, coţ má vliv na tvar Země, jak bude uvedeno později. Příklad: Určete, jakou úhlovou rychlostí se pohybuje člověk v zeměpisné šířce 50. Určete jeho obvodovou rychlost. Nejprve je nutné znát poloměr 50. rovnoběţky: r = 6 371 cos 50 = 4 095 km. r 5 79,6 Pro obvodovou rychlost platí: v 98 km.h -1 T 86 400 Pro výpočet úhlové rychlosti pouţijeme vztah 7,7 10-5 rad s -1. v r z něhoţ určíme hodnotu IV. Gravitační a tíhové pole Země Tato kapitola je velmi důleţitá pro popis tvaru zemského tělesa i pro pochopení takových jevů, jako je mořské a atmosférické proudění. Na kaţdé těleso na povrchu Země působí gravitační a odstředivá síla. Gravitace je vzájemná přitaţlivost dvou těles. Velikost gravitační síly, kterou se přitahují dvě tělesa, je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. Velikost gravitační síly, kterou Země přitahuje všechna tělesa, je tedy úměrná hmotnosti Země a klesá se vzrůstající vzdáleností od Země. Platí: m M F r z, kde je gravitační konstanta. Její velikost, která byla změřena experimentálně, je = 6,67 10 11 N m kg -. S gravitačním zákonem v této podobě se setkávají ţáci ve středoškolské fyzice. Ve fyzice základní školy se v 7. ročníku uvádí vzorec F g = m g, kde m je hmotnost tělesa a g je tíhové zrychlení na daném místě Země. Ve skutečnosti je to vzorec pro výpočet tíhové síly tělesa. Mluví se tedy pouze o přímé úměrnosti mezi gravitační silou a hmotností tělesa, nikoliv o gravitační síle, která působí mezi kaţdými dvěma tělesy. Je třeba dodat, ţe tíhové zrychlení se na základní škole nedefinuje. Gravitační konstantu určil Cavendish (r. 1798) pomocí torzních váţek (obr. č. 15). Tímto pokusem se poprvé dokazovala přímá síla mezi dvěma velkými olověnými koulemi a dvěma menšími olověnými koulemi umístěnými na koncích vahadla 13

upevněného na velmi jemném, tzv. torzním vlákně. Měřením úhlu zkroucení vlákna je moţné určit velikost síly a přesvědčit se, ţe je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti. Určením z tohoto měření je moţné určit hmotnost Země. Hmotnost Země je 5,97 369 10 4 kg. Opakovaně změřil i Jolly (r. 1881). Obr. č. 15 8 Pokud na těleso nepůsobí jiné síly (zanedbejme prozatím rotaci Země a existenci odstředivé síly), bude působením gravitační síly F padat ke středu Země. Síle F M odpovídá zrychlení, které nazýváme gravitační a g. Platí: F = m a g = r Gravitační zákon vysvětluje mnoho jevů, například slapové jevy způsobené měsíční přitaţlivostí. Z gravitačního zákona můţeme také určit hmotnost planet (z pohybu jejich druţic), odvodit tvar Země, nebo tvar trajektorií, po kterých se pohybují planety. Gravitace podmiňuje téměř veškerou erozi na zemském povrchu. Vlivem gravitace padá déšť, pohybují se řeky a ledovce, zpevňují se sedimenty. Rotace Země vyvolává odstředivou sílu (viz. Kapitola III.), jejíţ hodnota je největší u rovníku. To způsobilo, ţe se Země, kdyţ nebyla ještě tuhá, na rovníku mírně vydula a na pólech zploštila. Zemský povrch není tedy přesně kulový, ale má tvar podobný elipsoidu, jehoţ rovníkový poloměr je (6 378 160 m) přibliţně o 1 386 m větší neţ poloměr polární (6 356 774 m). Odstředivá síla má nejen vliv na tvar Země, ale projevuje se i na směru pohybu atmosféry, mořských a říčních proudů. Tady je třeba zmínit pojem rotační elipsoid. Ačkoliv se tento pojem ve středoškolských učebnicích zeměpisu vyskytuje, na základní škole se s ním ţáci nesetkávají a není ani obsahem učebních plánů střední školy. Ve třetím ročníku střední školy se v rámci učiva o kuţelosečkách studenti seznamují pouze s elipsou. Tíhovým polem nazýváme pole gravitační, deformované vlivem odstředivé síly (ve smyslu jejich vektorového součtu). Na těleso o hmotnosti m působí tedy na povrchu Země dvě síly: gravitační síla F g, která směřuje do středu Země a setrvačná odstředivá síla F S, která je kolmá na osu rotace. Výslednicí gravitační a odstředivé síly je tíhová síla F G (obr. č. 16). Platí: F G = F g + F S. Toto je definice středoškolská, na základní škole se sice tíhová síla nedefinuje, ale vzorec pro její výpočet F = m g se uvádí. 8 Zdroj: www.aldebaran.cz 14

v souvislosti s gravitační silou, jak jiţ bylo uvedeno výše. To vede k častému zaměňování pojmů gravitační a tíhová síla mezi studenty. Často se rovněţ zaměňují pojmy tíhová síla a tíha. Tíha se označuje G = m g, má stejnou velikost i směr jako tíhová síla, ale nepůsobí v těţišti tělesa, nýbrţ v místě závěsu, nebo dotyku tělesa s podloţkou. Působením tíhové síly koná volně puštěné těleso ve vakuu volný pád se zrychlením g, které se nazývá tíhové zrychlení. Tíhové zrychlení a gravitační zrychlení se liší ze tří důvodů: Země není homogenní, jejím tvarem není přesně koule a rotuje kolem své osy, tudíţ musíme počítat s odstředivou silou. Tíhové zrychlení je na daném místě stejné pro všechna tělesa. Protoţe se velikost odstředivé síly mění se zeměpisnou šířkou (maximální je na rovníku, nulová na zeměpisných pólech), mění se společně se zeměpisnou šířkou i velikost tíhového zrychlení. Obr. č. 16 9 V následujícím příkladě si uvedeme výpočet odstředivého zrychlení. Příklad 1: Pro výpočet odstředivého zrychlení způsobeného rotací Země, pouţijeme vzorec uvedený v kapitole III. Poloměr rotace r je v tomto případě poloměr příslušné rovnoběţky. Tento výpočet jsme uvedli v kapitole I. Pro odstředivé zrychlení platí: a n = r = R cos. Pro Prahu je 50 5, a protoţe poloměr Země je R 6,37 10 6 m, je odstředivé zrychlení v Praze a n 6,37 10 6 cos 50 5 (7,9 10 5 ) =,59 10 m s -. Z předchozího příkladu plyne, ţe hodnota výsledného tíhového zrychlení je vlivem odstředivého zrychlení menší. Směr výsledného tíhového zrychlení je odkloněn směrem jiţním, tento odklon způsobil, ţe se tvar Země, kdyţ byla v plastickém tvaru, změnil tak, aby její povrch byl v kaţdém místě kolmý ke směru výsledného tíhového zrychlení. Tím Země nabyla velmi přibliţně tvaru elipsoidu, zploštělého na pólech. 9 Zdroj: http://web.gfxs.cz/gpole/ 15

Různá velikost tíhového zrychlení v různých místech na povrchu Země je tedy způsobena jednak různou vzdáleností od středu, jednak různým odstředivým zrychlením, způsobeným rotací Země kolem vlastní osy. Příklad : Vypočítejte maximální odstředivé zrychlení, které můţe na člověka působit na povrchu Země. Pro výpočet opět pouţijeme vzorec a n = r = R cos. Největší odstředivé zrychlení bude na rovníku, proto = 0. Výpočtem získáme hodnotu 3,38 10 - m s -. Kdyby se gravitační síla vyrovnala síle odstředivé, pocítili bychom stav beztíţe. Rychlost rotace by však musela být větší, čímţ by se doba rotace Země zmenšila na několik desítek minut. Nyní si uvedeme hodnoty tíhového zrychlení na různých místech Země. Na rovníku má tíhové zrychlení velikost 9,780 m s, na pólech 9,833 m s. Jako normální tíhové zrychlení se definuje 9,80 665 m s (přibliţně rovné tíhovému zrychlení na 45 severní šířky při mořské hladině). Kromě toho se počítá tzv. normální velikost tíhového zrychlení v místě zeměpisné šířky a nadmořské výšky H metrů podle vzorce, stanoveného Mezinárodního geodeticko- fyzikální unií (1930): g = (9,780 49 ( 1+ 0,005 88 4 sin - 0,000 005 sin ) 0,000 001 967 H) m s. Ve školské fyzice lze vyuţít i mezinárodní vzorec pro tíhové zrychlení u hladiny moře: g = 9,78 03 (1+ 0,005 78 sin +0,000 03 sin 4 ). Znalosti tíhového pole v bodech na zemském povrchu vyuţíváme k popisu idealizovaného tvaru Země. Ve skutečnosti však ani rotační elipsoid nevystihuje skutečný tvar Země. Jako střední hladina moře se označuje průměrná hladina moře mezi přílivem a odlivem. Slouţí jako základní měřítko při měření výšek a je vţdy kolmá ke směru tíhové síly. Taková plocha zkonstruovaná pro Obr. č. 17 10 10 Zdroj: http://www.uriit.ru/japan/our_resources/books/remotesensing/sect11/nicktutor_11-1.html 16

celou Zemi se označuje jako geoid (obr. č. 17). Je to plocha konstantního gravitačního potenciálu. Protoţe se mění velikost tíhové síly, je i geoid nepravidelný. Pro výzkum tvaru geoidu se nyní vyuţívají záznamy o poruchách drah umělých druţic. Tvar geoidu se určuje odchylkou od tzv. referenčního elipsoidu, který se těsně přimyká k tvaru Země. V tomto případě se bere za základ průměrná úroveň pevniny a moře. Průběh geoidu vůči elipsoidu se zjišťuje nivelací. Nejnovější model geoidu byl představen vědci 31. 3. 011 na čtvrtém mezinárodním workshopu druţice GOCE, který se uskutečnil na Technische Universität München (Mnichov, Německo). Evropská druţice GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer) shromáţdila za dva roky na oběţné dráze mnoţství dat k zmapování gravitačního pole Země. Rozdílné barvy na modelu geoidu (obr. č. 18) představují výškové odchylky (-100 aţ +100 m) od ideálního tvaru geoidu. Modré odstíny barvy představují záporné odchylky, červené a ţluté odstíny barvy zase kladné odchylky od ideálního tvaru geoidu. Geoid je však pro svůj sloţitý tvar nevhodný k výpočtům, nahrazuje se rotačním elipsoidem. Pro účely školské Obr. č. 18 11 fyziky postačuje nahrazení koulí o poloměru 6 371 km. Rotační elipsoid je definován malou a velkou poloosou, uvádí se zploštění, tj. poměr rozdílu poloos k velké poloose. V tabulce uvádíme výsledky některých výpočtů. V systému WGS 1984 pracuje globální systém určování polohy GPS. Autor Rok Velká poloosa (m) Zploštění Delambre- Méchain 1810 6 376 985 1: 308,6 Airy 1830 6 377 491 1: 99,3 Struve 1860 6 378 98 1: 94,7 Hayford 1910 6 378 388 1: 97,0 Krasovskij 1940 6 378 95 1: 98,4 WGS 1984 1984 6 378 136 1: 98,57 11 Zdroj:http://www.astrovm.cz/cz/pro-navstevniky/novinky_obr/zemekoule-neni-koule.html?hledat=geoid 17

V. Tuhé těleso Ještě před tím, neţ popíšeme pohyby Země, zavedeme pojem tuhé těleso. Usnadní nám to pozdější pochopení precese a nutace nebo slapových sil. Tuhé těleso je pouze model, je to ideální těleso, které nemění svůj objem a tvar působením vnějších sil, coţ pro Zemi tak úplně neplatí. Pohyb tuhého tělesa si lze představit sloţený z pohybu posuvného a rotačního. Posuvný pohyb lze popsat podobně jako pohyb hmotného bodu. U rotačního pohybu tuhého tělesa se všechny body pohybují stejnou úhlovou rychlostí po kruţnicích, jejichţ středy leţí na ose otáčení. Pro jednoduchost budeme uvaţovat nehybnou osu. Otáčivý účinek síly na těleso vyjadřuje veličina moment síly vzhledem k ose otáčení M = F r, jednotka N m. Tento vztah nám říká, ţe působí-li na těleso síla, která leţí v rovině kolmé na osu otáčení, závisí otáčivý účinek síly nejen na její velikosti, ale také na vzdálenosti od osy otáčení. Moment síly je vektorovou veličinou, k určení jeho směru pouţijeme pravidlo pravé ruky: pokud poloţíme pravou ruku na povrch tělesa tak, aby prsty ukazovaly směr působící Obr. č. 19 síly, pak vztyčený palec bude ukazovat směr vektoru momentu síly. Posuneme-li působiště síly v tuhém tělese po vektorové přímce, účinek síly na těleso se nezmění. Jestliţe vektorový součet všech momentů sil na těleso působících vzhledem k ose je nulový, pak se otáčivý účinek ruší. Koná-li tuhé těleso rovnoměrný otáčivý pohyb kolem nehybné osy, pohybují se všechny jeho body rovnoměrně po kruţnici v rovinách kolmých na osu otáčení. Proto k popisu tohoto pohybu můţeme pouţít úhlovou rychlost. Jelikoţ vzdálenosti jednotlivých bodů tělesa od osy otáčení jsou různé, je různá i velikost obvodové rychlosti. Zavedeme veličinu moment setrvačnosti, která závisí na rozloţení látky v tělese: J = m r 1 Kinetická energie otáčivého pohybu: E K J. 18

Zemi můţeme povaţovat za kouli, moment setrvačnosti koule určíme podle vztahu J 5 m R. Dosazením hodnot získáme: J = m r = 9,74 10 37 kg m. Kinetická energie rotačního 1 9 pohybu Země: E K J,6 10 J (úhlová rychlost rotace Země ω = 7,9 10-5 rad). Těţiště tělesa je působiště výslednice tíhových sil, které působí na jednotlivé části tělesa v tíhovém poli Země. V těţišti tělesa je výsledný moment tíhových sil nulový. Pokud těleso zavěsíme či podepřeme v těţišti je těleso v statické rovnováze. Na závěr je třeba napsat, ţe popisem rotačního pohybu tuhého tělesa se studenti seznamují v. pololetí prvního ročníku střední školy. Pojem precese, který se vyskytuje v učebnicích zeměpisu, nepatří do učebních plánů fyziky střední školy. VI. Keplerovy zákony, kosmické rychlosti Pohyby Země můţeme rozdělit na pravidelné a nepravidelné. Pravidelné pohyby lze pro účely školské fyziky popsat Keplerovými zákony. Mezi pravidelné pohyby řadíme: a. pohyb Země kolem Slunce b. rotační pohyb kolem vlastní osy c. pohyb Země kolem těţiště soustavy Země-Měsíc d. pohyb vůči těţišti naší galaxie a společný pohyb naší galaxie ve vztahu k ostatním galaxiím Zabývat se dále budeme prvními třemi pohyby. Nepravidelné pohyby Země, jsou způsobovány gravitačními vlivy Měsíce a ostatních těles sluneční soustavy. Keplerovy zákony: 1. Planety se kolem Slunce pohybují po elipsách, v jejichž společném ohnisku je Slunce. Tento zákon platí i pro satelity, které obíhají kolem Země nebo jakéhokoliv jiného objektu. Obecně tedy můţeme napsat: Částice se pod vlivem centrální síly pohybuje po kuţelosečce, která má ohnisko v centru síly. 19

Lineární excentricita elipsy s poloosami a, b je dána vzdáleností e ohniska od středu vztahem: (Z didaktických důvodů zvětšujeme výstřednost e a skutečnosti tomu tak není.) b elipsy pro větší názornost, ve V astronomii se pouţívá často numerická excentricita (číselná výstřednost), vyjádřená poměrem:. Obr. č. 0 e. a Čím více se tento poměr blíţí nule, tím je výstřednost elipsy menší. V učebnicích zeměpisu je mnohdy uváděno, ţe střední vzdálenost Země-Slunce je rovna astronomické jednotce (AU). Původně tomu tak skutečně bylo, kvůli vyšší přesnosti však Mezinárodní astronomická unie přijala novou definici, podle které je AU délka poloměru nerušené oběţné kruhové dráhy tělesa se zanedbatelnou hmotností, pohybujícího se okolo Slunce rychlostí 0,017 0 098 950 radiánů za den (86 400 s). 1 AU = 149 597 870 691 ± 6 m (hodnota z roku 000) Všechny vzdálenosti ve vesmíru lze tak odvodit pomocí astronomické jednotky.. Plochy opsané průvodičem planety za jednotku času jsou stejně velké. Plocha opsaná průvodičem za 1 sekundu je plošná rychlost. Proto lze. Keplerův zákon vyslovit i takto: Plošná rychlost planety je stálá. Z druhého zákona plyne, ţe se planeta bude pohybovat nejpomaleji, kdyţ je od Slunce nejdále, a nejrychleji, kdyţ je Slunci nejblíţe. Průměrná rychlost pohybu Země kolem Slunce v p = 9, 783 km/s. Obr. č. 1 Největší rychlost: v = 30, 87 km/s. Nejmenší rychlost: v = 9,91 km/s. 0

3. Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je roven poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich drah. T a 3 4 M Výraz na pravé straně můţeme v prvním přiblíţení povaţovat za konstantu, jejíţ hodnota závisí pouze na hmotnosti centrálního tělesa. Z třetího Keplerova zákona můţeme například určit hmotnost Slunce ze známé doby oběhu Země a poloměru její oběţné dráhy, za předpokladu, ţe je kruhová nebo vzdálenost komet od Slunce, či oběţné doby druţic. Dále uvedeme jednoduchý výpočet hmotnosti Země, při němţ vyuţijeme třetího Keplerova zákona. Příklad 1: Zjisti hmotnost Země, znáš-li gravitační konstantu, poloměr oběţné dráhy Měsíce a dobu, za kterou Měsíc Zemi oběhne. Předpokládejme, ţe Měsíc se pohybuje kolem Země po kruţnici o poloměru 384 000 km, doba oběhu je T = 7,3 dne. T Vyjdeme z třetího Keplerova zákona: a 3 4, a vyjádříme z něj hmotnost: M M z 3 3 r 4 314, 38 400 000 kg 6, 04 10 11 T 358 70 6, 67 10 4 4 kg. Stejným způsobem lze určit hmotnost Slunce, nebo jiných planet (např. Jupitera, známe-li poloměr oběţné dráhy a dobu oběhu některého z jeho měsíců). Znalost a aplikace Keplerových zákonů je jedním z poţadavků ke státní maturitní zkoušce ze zeměpisu. V učebnicích zeměpisu však jejich podrobný výklad chybí. Příklad : Jedním z poţadavků ke státní maturitní zkoušce ze zeměpisu je i objasnění principu pohybu umělých kosmických těles a znalost kosmických rychlostí. Nyní uţ máme všechny informace, potřebné k jejich odvození. V gravitačním poli Země existuje pro určitou výšku nad povrchem Země taková počáteční rychlost v, při které se těleso pohybuje kolem Země po kruţnici (tzv. kruhová rychlost, tj. nejmenší rychlost, při které se těleso stane druţicí Země). Velikost této 1

rychlosti určíme následující úvahou. Na těleso pohybující se po kruţnici působí dostředivá síla F d, která způsobuje stálé zakřivení trajektorie při pohybu. Protoţe se těleso pohybuje v gravitačním poli Země, je touto dostředivou silou gravitační síla F g. Platí tedy F g = F d, přičemţ v Fd m r Tedy: m M Z, Fg r. 4 m M Z r m. T r Z toho lze vyjádřit vztah pro dobu oběhu tělesa kolem Země, poloměr kruţnice a pro rychlost: T 4 r M 3, r 3 M T 4, v M. r Pro rychlost v určité výšce h nad povrchem Země platí: v MZ. R h Z Po dosazení do vztahu pro rychlost za M = 6 10 4 kg, r = 6,37 106 m je v 1 = 7,9 km s -1. Těleso by se pohybovalo těsně nad povrchem Země, to však není reálné. Této rychlosti se říká první kosmická rychlost. Doba oběhu tělesa pohybujícího se první kosmickou rychlostí kolem Země je T = 5 064 s = 84,4 minut. Je-li tělesu v určité výšce udělena rychlost, jejíţ velikost je větší neţ kruhová rychlost, pohybuje se těleso po elipse. Velikost rychlosti ovlivňuje tvar elipsy, čím je počáteční rychlost větší, tím je elipsa protáhlejší. Dosáhne-li těleso určité rychlosti, změní se uzavřená eliptická trajektorie v parabolu a těleso se vzdaluje od Země. Rychlost v v 1, se nazývá úniková, nebo také parabolická rychlost. Pro bod v blízkosti povrchu Země je parabolická rychlost v = 11, km s -1, coţ je druhá kosmická rychlost. Úniková rychlost nezávisí na směru, kterým je střela vypuštěna. Uváţíme-li však rotaci Země kolem vlastní osy, je získání této rychlosti snadnější, pokud je střela vypuštěna ve směru rotačního pohybu Země. Například rakety startující na východ od mysu Canaveral mají

navíc rychlost 1 500 km/h, kterou se mys pohybuje na východ díky rotaci Země. Proto většina kosmodromů byla vybudována v blízkosti rovníku. Třetí kosmická rychlost je rychlost, kterou je třeba udělit tělesu, aby opustilo sluneční soustavu. Její hodnota je 16,7 km/s. VII. Pohyb Země kolem Slunce, rotace kolem osy Na úvod je třeba napsat, ţe zemská osa svírá s rovinou ekliptiky (rovina oběţné dráhy Země) úhel 66 33 0, nebo můţeme napsat, ţe rovina zemského rovníku svírá s rovinou ekliptiky úhel přibliţně 3 7. Rovina ekliptiky a rovina rovníku se protínají ve dvou bodech, jarním a podzimním bodě. V těchto bodech je Slunce v okamţiku jarní, resp. podzimní rovnodennosti. Informaci o sklonu zemské osy si ţáci mohou přečíst jiţ v učebnici zeměpisu pro šestý ročník. Je to však dříve neţ se setkají s pojmem úhel v matematice. Obr. č. 1 Siderická oběţná doba je doba, za kterou opíše průvodič planety Země úhel 360. Je to tedy doba, která je potřebná k tomu, aby planeta dosáhla po jednom oběhu výchozího bodu své dráhy, který se vzhledem ke vzdáleným hvězdám nemění. V případě Země je to 365 dní 6 hodin 9 minut a 9,5 s. Naproti tomu synodická oběţná doba je doba mezi dvěma po sobě následujícími konjunkcemi nebo opozicemi planety se Sluncem. Je to tedy oběţná doba zdánlivá, jak se nám jeví ze Země. Jeden oběh kolem Slunce vykoná Země za jeden rok, tj. 365 dní 5 hodin 48 minut a 45,7 sekund. Tato doba se nazývá tropický rok a je to doba, která uplyne mezi dvěma průchody Slunce jarním bodem. Tropický rok je kratší neţ siderický rok asi o 1 minut, jarní bod se totiţ vlivem precese a nutace posouvá o 50 za rok. Celou elipsu tak opíše za 0 tisíc let. Tropický rok trvá přibliţně o 6 hodin déle neţ 365 dní, coţ za 4 roky tvoří jeden den. Proto je kaţdý čtvrtý rok v kalendáři přestupný a má 366 dní. Tak by ale byl 1 Zdroj: http://astronomia.zcu.cz/planety/zeme/1940-stridani-rocnich-obdobi 3

kalendářní rok o 11 minut a 14 sekund delší neţ rok tropický. Proto bylo jiţ v 16. století stanoveno, ţe roky, kterými končí století, jsou přestupné jen tehdy, kdyţ jsou dělitelné 400. Takţe například rok 000 byl rokem přestupným. Toto je velmi důleţité, ale ve středoškolských učebnicích zeměpisu (na rozdíl od některých učebnic ZŠ) to uvedeno není. Tím se průměrná délka kalendářního roku zkrátí na 365, 45 dne a přiblíţí se délce tropického roku. Takto upravený kalendář se nazývá gregoriánský, podle papeţe Řehoře VIII., který reformu provedl. Země se otáčí od západu na východ. Pozorovateli na Zemi se to jeví jako pohyb Slunce na obloze od východu k západu v průběhu jednoho dne. Doba, za kterou se Země otočí kolem své osy se nazývá hvězdný den. Je to doba, která uplyne mezi dvěma následujícími horními vyvrcholeními jarního bodu na stejném poledníku. Hvězdný den trvá 3 hodin 56 minut a 4 sekundy. Pojem hvězdný den je velmi důleţitý. V mnoha učebnicích zeměpisu, a to i středoškolských, je nesprávně uvedeno, ţe doba rotace Země kolem osy je 4 hodin, nebo se ztotoţňuje hvězdný a sluneční den. Délka pravého slunečního dne je doba, která uplyne mezi dvěma po sobě následujícími vyvrcholeními Slunce na místním poledníku. Tato doba se mění, protoţe se mění i rychlost oběhu Země kolem Slunce v přísluní a odsluní. Nejrychleji se Země pohybuje v přísluní, nejpomaleji v odsluní. Proto období od jarní do podzimní rovnodennosti je delší o 7 dní neţ období druhé poloviny roku. Jinými slovy pravý sluneční čas je o něco kratší v létě neţ v zimě. Takto to platí pro severní polokouli. Vzhledem k těmto nepravidelnostem se kromě pravého slunečního dne zavedl ještě střední sluneční den, který trvá přesně 4 hodin a pouţívá se v běţné praxi. Maximální rozdíly mezi pravým a středním slunečním dnem jsou během roku 15 minut. V průběhu jednoho otočení Země kolem vlastní osy, opíší průvodiče všech bodů na zemském povrchu úhel 360. Na jednu hodinu tak připadá pootočení o 15. Je to tzv. úhlová rychlost otáčení Země ([ ] = rad s -1 ). Všechny body na zemském povrchu (mimo bodů, kterými prochází osa zemské rotace) mají stejnou úhlovou rychlost. V okamţiku, kdy na nultém poledníku Slunce právě vrcholí, tj. ve 1 hodin, na 15 západní zeměpisné délky bude vrcholit aţ o jednu hodinu později (protoţe Země se otáčí od západu na východ). Na základě této skutečnosti se Země dělí na jednotlivá časová pásma (4 časových pásem, tzv. pásmový čas). Východiskem dělení je nultý poledník. Světový čas (UTC) = Universal Time Coordinated, neboli západoevropský (ZEČ) platí v pásmu se středním poledníkem 0, to znamená, ţe je shodný s místním časem nultého poledníku. U nás platí středoevropský pásmový čas (SEČ), má o hodinu 4

víc neţ světový čas. Dohodou byla stanovena datová hranice, která probíhá přibliţně kolem 180. poledníku. Čas na obou stranách datové hranice je stejný, na západní straně datové hranice je však o jeden den více neţ na východní části. Při určování časových pásem je ale třeba brát v úvahu i hranice států a místních oblastí. Například Londýn a Paříţ se liší zeměpisnou délkou o pouhé, ale kaţdý leţí v jiném časovém pásmu. Rychlost rotace Země však není stálá. (Šolc, Zahradník: Astronomie, astrofyzika, geofyzika 1, str. 63-64): Některé sloţky změny rychlosti (čtrnáctidenní, měsíční a půlroční) jsou poměrně snadno kvantitativně vysvětlitelné jako důsledek slapového působení Měsíce a Slunce, roční perioda pak jako důsledek přesunů atmosférických hmot se změnou ročních období. Zajímavější z hlediska vnitřní stavby Země jsou však delší periody. Ovlivňují je mechanické a elektromagnetické vazby mezi pláštěm a jádrem. Podrobněji si povšimneme jen nejpomalejší změny, označované jako dlouhodobé zpomalování rotace. Mimo historických záznamů o zatmění (posledních 3 000 let), nám informace poskytují tzv. "korálové hladiny", neboli periodicky narůstající denní, měsíční a roční prouţky mořských korálů. V průměru se za posledních 370 mil. let rotace zpomaluje o 0,0 04 s za 100 let. Zpomalování zemské rotace však není rovnoměrné. Není vyloučeno, ţe jeho rychlejší a pomalejší fáze souvisejí s historií pohybu kontinentů. Příčina zpomalování je v tom, ţe Země nerotuje jako tuhé těleso, nýbrţ těleso nedokonale elastické, které je deformováno gravitačním působením Měsíce a Slunce. V důsledku nedokonalé elasticity země nesměřuje slapové "vydutí" Země přímo na rušivé těleso, nýbrţ je opoţděno. Toto opoţdění deformace vytváří silový moment, který způsobuje zpomalování rotace. Tento proces se označuje jako slapové tření. Důsledkem dlouhodobého zpomalování rotace je ovlivňování dráhy Měsíce. Zemi a Měsíc je přibliţně moţno povaţovat za izolovanou soustavu dvou těles, jejíţ moment hybnosti se zachovává. Zpomalování rotace pak má za následek zvětšování oběţné doby Měsíce. Jako důsledek zvětšování oběţné doby Měsíce dostáváme z Keplerova zákona zvětšování vzdálenosti, ve které Měsíc obíhá kolem Země. Za posledních 370 mil. let se Měsíc vzdaloval průměrně o 3,3 cm/rok. Změny v rychlosti rotace Země mohou vyvolat i velká zemětřesení, jako například v roce 004 v Indonésii, či v roce 011 v Japonsku. 5

VIII. Coriolisova síla jako důsledek rotace Země Ve středoškolských učebnicích zeměpisu se setkáváme s pojmem Coriolisova síla. Zeměpisci se na tento pojem odkazují, chtějí-li dokázat, ţe Země se otáčí kolem své osy. Zapomínají ovšem na to, ţe středoškolská fyzika se o Coriolisově síle nezmiňuje, její výklad je záleţitostí vysokoškolské fyziky. Coriolisova síla působí na všechna tělesa, která se pohybují vůči Zemi rychlostí v, pokud jejich rychlost nemá směr osy rotace. Tuto sílu lze určit pomocí vektorového součinu úhlové rychlosti a rychlosti v, kterou se těleso vzhledem k rotující soustavě pohybuje: F m v C. Její velikost pak je F C m v sin, kde φ je úhel, který svírá vektor úhlové rychlosti s vektorem rychlosti tělesa. V případě pohybu po Zemi se jedná o zeměpisnou šířku. Kaţdé těleso, které se po povrchu Země pohybuje určitou rychlostí, je vlivem Coriolisovy síly stáčeno od svého původního směru. Na severní polokouli se projeví při volném pádu odklon k východu. Lze to vysvětlit tak, ţe se těleso v okamţiku, kdy bylo puštěno, otáčelo se Zemí od západu na východ obvodovou rychlostí, která se rovná součinu jeho vzdálenosti od zemské osy a úhlové rychlosti zemské rotace. Při pádu přichází do míst, jeţ leţí blíţe k rotační ose (tj. do míst s menší obvodovou rychlostí), proto je předbíhá a odchyluje se od svislého směru na východ. Coriolisova síla se projevuje například tak, ţe vzduchové a vodní proudy se na severní polokouli stáčejí vpravo, zatímco na jiţní vlevo. V souladu s působením této síly je směr proudění v cyklóně na severní polokouli proti směru hodinových ručiček, zatímco v anticyklóně ve směru pohybu hodinových ručiček. Na jiţní polokouli je tomu naopak. Musíme s ní počítat u balistických střel, důsledkem jejího působení je i asymetrie říčních koryt a údolí. Řeky tekoucí přibliţně poledníkovým směrem na severní polokouli podemílají více pravé břehy a na jiţní levé břehy. Můţeme vše jednoduše shrnout takto: 1. Pohybuje-li se těleso na severní polokouli v severojiţním směru, odchyluje se vpravo od svého původního pohybu (na jiţní polokouli naopak).. Pohybuje-li se těleso na severní polokouli směrem na východ, má Coriolisova síla směr odstředivé síly (směrem na západ, má směr dostředivé síly). 3. Překračuje-li těleso rovník v severojiţním směru, je Coriolisova síla, která na toto těleso působí, nulová. 6

V jiných případech má Coriolisova síla směr daný pravidlem pravé ruky. V oblasti okolo rovníku je velikost Coriolisovy síly minimální, proto v těchto oblastech vznikají pouze vyjímečně tropické cyklóny, k jejichţ vzniku tato síla také přispívá. Coriolisovým efektem můţeme také vysvětlit stáčení roviny kyvu Foucaltova kyvadla. Slavný pokus provedl Foucalt v roce 1851 s koulí zavěšenou na lanku v kupoli paříţského Pantheonu. Provedl tak důkaz rotace Země. Pokud se totiţ takové kyvadlo kýve po delší dobu, pozorujeme stáčení roviny kyvu ve smyslu denního pohybu Slunce. Pozorovatel v soustavě spojené se Zemí tento jev přisuzuje Coriolosově síle, vzhledem k soustavě spojené s hvězdami Obr. č. 3 zachovává kyvadlo stejnou rovinu kyvu. Pokud se kyvadlo kýve na zemských pólech, rovina kyvu zůstává stálá a Země se pod kyvadlem otočí o 360 za 4 hodin. Kyvadlo zavěšené na rovníku by při kývání směrem západovýchodním rovinu kyvu neměnilo. V ostatních zeměpisných šířkám musíme uvaţovat to, ţe se rovina kyvu otáčí kolem svislého směru menší úhlovou rychlostí. Platí: ω = ω sin φ. Potom například v zeměpisné šířce 50 nedojde za 4 hodin k otočení o 360, ale pouze o přibliţně 55, neboť ω = ω sin φ = 15 sin 50 = 10,6 za hodinu. IX. Precese Při výkladu pojmu precese se setkáváme se stejným problémem jako u pojmu Coriolisova síla. Ačkoliv ho středoškolská geografie běţně pouţívá, fyzika na střední škole nikoliv. Precese je periodický kuţelový pohyb zemské osy, který vzniká gravitačním působením Měsíce a Slunce. Perioda precese je 5 75 roků, tzv. platónský rok. Precesní pohyb se projevuje změnou polohy světového rovníku k hvězdám, a tudíţ i pohybem jarního bodu (50,37 za rok). Je to tzv. lunisolární precese. Ale ani poloha ekliptiky není stálá, její sklon se pomalu zmenšuje vlivem gravitačního působení planet o 0,47 za rok. Za předpokladu pevného rovníku působí planetární precese pohyb jarního bodu o 0,1 za rok, ale ve směru opačném, neţ je pohyb působený lunisolární precesí. Výsledný pohyb jarního bodu, tzv. generální precese je 50,5 za rok. Precese byla známá jiţ Hipparchovi. 7

Na následujícím obrázku je popsán vznik precese. Jelikoţ Země má přibliţně tvar elipsoidu a protoţe její osa není kolmá k rovině ekliptiky ani k rovině oběhu Měsíce, neprochází výslednice gravitačních sil od působení Slunce a Měsíce hmotným středem Země. Na vydutý vrchlík elipsoidu, který je blíţe Slunce (dle obrázku Z) působí větší přitaţlivá síla. Z toho důvodu vznikne po přenosu sil do hmotného středu moment dvojice sil, který se snaţí změnit polohu zemské osy a ta se stejně jako jiný volný setrvačník odchyluje od kolmého směru a opisuje Obr. č. 4 13 plášť kuţele. Nutace je periodické kolísání zemské osy, překládající se přes precesní pohyb. Perioda nutace je 18 a /3 roku a její hlavní příčinou je gravitační působení Měsíce. Jeho eliptická oběţná dráha je oproti ekliptice skloněna přibliţně o 5, a proto se neustále mění velikost a směr jeho gravitační síly. Mění se tedy moment síly působící na Zemi. Výstupný uzel trajektorie Měsíce se posouvá zpětně a za kaţdých 18,6 let opíše úhel 360. Vlivem nutace neopisuje zemská osa hladký povrch kuţelu, ale společně s precesí Obr. č. 5 14 způsobuje vlnivý pohyb kolem pólu ekliptiky. X. Důsledky pohybu Země kolem Slunce Jak jiţ bylo napsáno, zemská osa svírá s rovinou ekliptiky úhel 66 33. Kdyby osa rotace byla kolmá k rovině ekliptiky, osvětlení severní a jiţní polokoule by se během roku neměnilo, zeměkoule by byla vzhledem k slunečním paprskům stále ve stejné poloze. Neexistovala by roční období a rovněţ délka dne a noci by byla stále a všude na Zemi stejná. Poloha hranice mezi osvětlenou a neosvětlenou částí Země se však v průběhu roku mění. Popišme si nyní jednotlivé dny (rovnodennosti, slunovraty), významné vzhledem k vzájemné poloze Slunce a Země. 13 Zdroj: http://astronomia.zcu.cz 14 Zdroj: http://www.greier-greiner.at/hc/praezession.htm 8