Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Výrazy a jejich úpravy MATN1 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1
Výrazy a jejich úpravy 1. Výrazy Již ze základní školy víme, že pro mocniny platí: a a a 1 Za předpokladu, že a je reálné číslo a r,s jsou čísla přirozená. Co však vzorec (1) znamená? Vždyť se v něm nevyskytuje žádné konkrétní číslo a přesto říkáme, že je to pravidlo pro počítání s mocninami. Tento vzorec popisuje celou řadu početních výkonů, které se řídí stejným pravidlem; znamená např., že 5 5 5,, π π π atd. Písmeno a ve vzorci (1) zastupuje libovolné reálné číslo, písmena r, s libovolná přirozená čísla. Takovým písmenům, která v daném zápisu zastupují čísla z určité číselné množiny, říkáme proměnné. Oborem proměnné a je ve vzorci (1) množina všech nenulových reálných čísel, oborem proměnných r, s je množina všech celých čísel. Domluvíme se na tom, že v případech, kdy obor proměnné nebude uveden nebo nebude patrný z textu úlohy, budeme za něj považovat množinu všech reálných čísel takových, pro něž má smysl za proměnné dosazovat. S celou řadou vzorců podobných vzorci (1) jste pracovali již dříve v geometrii, fyzice, chemii a budete s nimi pracovat i v odborných předmětech. V geometrii jsou to např. vzorce: 2 r vzorec pro výpočet obvodu kružnice.(2) c a b... vzorec pro výpočet předpony pravoúhlého trojúhelníka.(3) v πr v... vzorec pro výpočet objemu kužele..(4) V těchto vzorcích jsou proměnné o, r, a, b, c, v, V. Jejich oborem je množina všech kladných reálných čísel (víte, že číselná hodnota obvodu, poloměru, délky strany v trojúhelníku, objemu, výšky může být jen kladné reálné číslo). Ve vzorcích (2) a (4) je písmeno π, které jsme neoznačili jako proměnnou. Toto písmeno totiž na rozdíl od ostatních písmen v těchto vzorcích nezastupuje libovolné číslo z určitého oboru, ale jedno určité číslo ( = 3,14 ). Taková písmena, která nahrazují určitá čísla, nazýváme konstanty. 2
Ausdrücke und ihre Behandlungen 1. Ausdrücke Schon aus der Grundschule wissen wir, dass für Potenzen Folgendes gilt: a a a 1 Unter der Voraussetzung, dass a eine reale Zahl ist und r, s natürliche Zahlen sind. Was bedeutet aber die Formel (1)? Es enthält ja keine konkrete Zahl, und trotzdem sagen wir, dass es die Regel für die Berechnung mit Potenzen ist. Diese Formel beschreibt eine ganze Reihe von Rechenleistungen, die durch die gleiche Regel geregelt werden; es bedeutet zum Beispiel, dass: 5 5 5,, π π π usw. Der Buchstabe a in der Formel (1) vertritt eine beliebige reale Zahl und die Buchstaben r, s vertreten beliebige natürliche Zahlen. Solche Buchstaben, die in der gegebenen Eintragung Zahlen von einer bestimmten Zahlmenge vertreten, nennt man veränderliche. Der Bereich der Veränderlichen a ist in der Formel (1) eine Menge aller nullfreien realen Zahlen, der Bereich der Veränderlichen r, s ist eine Menge aller Ganzzahlen. Wir einigen uns darauf, dass in den Fällen, wann der Bereich der Veränderlichen nicht angeführt wird oder nicht aus dem Text der Aufgabe sichtlich wird, werden wir ihn als die Menge aller solchen realen Zahlen betrachten, für die es Sinn hat, für die Veränderlichen einzusetzen. Mit einer ganzen Reihe von Formeln, die der Formel (1) ähnlich sind, habt ihr schon früher in der Geometrie, Physik, Chemie gearbeitet und ihr werdet mit ihnen auch in fachgerechten Fächern arbeiten. In der Geometrie sind das z.b. folgende Formeln: 2 r die Formel für die Berechnung des Kreisumfanges (2) c a b die Formel für die Berechnung der Hypotenuse des winkelrechten Dreiecks (3) v πr v die Formel für die Berechnung des Kegelrauminhaltes... (4) In diesen Formeln sind die Veränderlichen o, r, a, b, c, v, V. Ihr Bereich ist die Menge aller positiven realen Zahlen (sie wissen, dass der Zahlenwert des Umfanges, des Halbmessers, der Seitenlänge im Dreieck, des Rauminhaltes, der Höhe nur eine positive reale Zahl sein kann). In den Formeln (2) und (4) ist die Buchstabe π, die wir nicht als die Veränderliche bezeichnet haben. Dieser Buchstabe im Unterschied zu anderen Buchstaben in diesen Formeln vertritt nämlich nicht eine beliebige Zahl von einem bestimmten Bereich, aber einen bestimmte Zahl ( = 3,14 ). Solche Buchstaben, die bestimmte Zahlen vertreten, nennt man Konstanten. 3
Ve vzorcích (2), (3), (4), se vyskytují výrazy 2 r, a b, v πr v. Na základní škole jste se domluvili, že za výraz budete považovat každý zápis, který je správně utvořen podle dohod o zápisech čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí. S tímto vymezením vystačíme i v této kapitole. Jinak slovo výraz používáme často i v širším slova smyslu než jsme si vymezili na základní škole. Probíráme-li teorii množin, pak např. pracujeme s výrazem ( ) C apod. Výrazy, v nichž se vyskytovala pouze reálná čísla, např. 2, 3, 11, 3 4,,, jste nazývali číselné výrazy. Výrazy, ve kterých se vyskytuje alespoň jedna proměnná, např. 4, 5 3, 3,,,, jste nazývali výrazy s proměnou. Ty výrazy, ve kterých je proměnná ve jmenovateli, jste někdy nazývali lomené výrazy. Z předcházejících příkladů jsou lomené výrazy např. výrazy,. U lomených výrazů nebo u výrazů, v nichž je proměnná pod odmocninou apod., musíme vždy udat takové podmínky pro proměnnou, aby výraz měl smysl (tzn. definiční obor výrazu). Tak např. má smysl jedině za předpokladu 0, protože zlomky se jmenovatelem nula nejsou definovány. Výraz 1, má smysl pouze za předpokladu 1, protože druhá odmocnina je definována pouze pro nezáporná reálná čísla. Mezi jednotlivými výrazy, se kterými jste se již setkali, byly i mnohočleny. Mnohočleny jsou např. výrazy 2 3 2, 3 5 2 3, 5 1.Obecně bychom si mohli mnohočlen s jednou proměnou (viz předcházející příklady) definovat následujícím způsobem. Mnohočlen n-tého stupně o proměnné x je výraz., kde je proměnná, jsou konstanty, n je celé nezáporné číslo a. Číslo n udává stupeň mnohočlenů. Tak např. 3 4 5 2 3 je mnohočlen pátého stupně o proměnné x; 5 2 je mnohočlen šestého stupně o proměnné x. Podle počtu nenulových členů mnohočlenu mluvíme o jednočlenu 3, dvojčlenu 2 2, trojčlenu 3 4 apod., mnohočleny mohou obsahovat i více proměnných např. 2 2 5 3,6 5 5 3 3 2, kde x, y, z jsou proměnné. 4
In den Formeln (2), (3), (4), treten die Ausdrücke 2 r, a b, v πr v auf. In der Grundschule verabredetet ihr euch, dass ihr als Ausdruck jede Eintragung, die richtig nach dem Übereinkommen über Zahleintragungen, Veränderlichen, Operationsergebnissen und Funktionswerten gebildet ist, betrachten. Mit dieser Abgrenzung kommen wir auch in diesem Kapitel aus. Anders benutzt man das Wort Ausdruck oft auch in einem weiteren Sinn als wir in der Grundschule begrenzt haben. Wenn wir die Mengentheorie behandeln, arbeiten wir dann mit den Ausdrücken ( ) C u.ä. Die Ausdrücke, in denen nur reale Zahlen auftreten, z.b. 2, 3, 11, 3 4,,, habt ihr als Zahlausdrücke bezeichnet. Die Ausdrücke, in denen mindestens eine Veränderliche auftritt, z.b. 4, 5 3, 3,,,, habt ihr als Ausdrücke mit der Veränderlichen bezeichnet. Die Ausdrücke, in denen die Veränderliche in dem Nenner ist, habt ihr als Bruchausdrücke bezeichnet. Von den vorigen Beispielen sind Bruchausdrücke z.b. Ausdrücke:,. Bei den gebrochenen Ausdrücken oder bei den Ausdrücken, bei denen ist die Veränderliche unter der Wurzel u.ä. ist muss man immer solche Bedingungen für die Veränderliche eingeben, damit der Ausdruck den Sinn hat (d.h. Ausdrucksdefinitionsbereich). So hat z.b. Sinn nur unter der Voraussetzung, dass 0, weil Bruchzahlen mit dem Nenner Null nicht definiert sind. Der Ausdruck 1 hat Sinn nur unter Voraussetzung, dass 1, weil der Quadratwurzel nur für nichtnegative reale Zahlen definiert ist. Zwischen den Ausdrücken, die sie schon getroffen haben, sind auch Polynome gewesen. Polynome sind z.b. Ausdrücke 2 3 2, 3 5 2 3, 5 1. Allgemein könnten wir Polynom mit einer Veränderlichen (sieh vorige Beispiele) in folgender Weise definieren. Polynom n-ten Grades der Veränderlichen x ist Ausdruck., wo die Veränderliche ist, Konstanten sind, n ganze nichtnegative Zahl ist und. Die Zahl n gibt den Grad der Polynome an. So z.b. 3 4 5 2 3 ist Polynom des fünften Grades der Veränderlichen x; 5 2 ist Polynom des sechsten Grades der Veränderlichen x. Nach der Zahl der nullfreien Glieder des Polynoms spricht man von einem Monom 3, einem Binom 2 2, einem Trinom 3 4 u.ä. Polynome können auch mehrere 2 2 2 2 2 2 3 Veränderliche enthalten, z.b. 2x y 2xy xy + 5x 3,6x y 5xy z + 5xy 3x + 3z + 2, wo x, y, z die Veränderlichen sind. 5
Cvičení 1. Zapište pomocí proměnné x : a) součet trojnásobku libovolného čísla a čísla 2; b) trojnásobek součtu libovolného čísla a čísla 2; c) druhou mocninu součtu dvojnásobku libovolného čísla a čísla 8; d) třetí odmocninu rozdílu libovolného čísla a trojnásobku čísla 6. 2. Zapište pomocí proměnné n v oboru celých čísel : a) libovolné sudé číslo; b) libovolné liché číslo; c) součet dvou sudých čísel za sebou bezprostředně následujících; d) součin dvou sudých čísel za sebou bezprostředně následujících; e) součet dvou lichých čísel za sebou bezprostředně následujících; f) součin dvou lichých čísel za sebou bezprostředně následujících; 3. Zapište výrazy; a) součet druhých mocnin proměnných a, b; b) druhá mocnina součtu proměnných a, b; c) k proměnné x přičtu číslo 4 a výsledek násobím číslem, které je o 4 menší než daná proměnná; k tomu součtu přičtu 15 a výsledek dělíme číslem o 1menší než je daná proměnná. 4. Udejte, kdy mají smysl následující výrazy: a) b) c) d) e) f) 7 g) 3 6
Übungen: 1. Schreiben Sie mit der Hilfe der Veränderlichen x ein: a) die Summe des Dreifachen einer beliebigen Zahl und der Zahl 2; b) das Dreifache der Summe einer beliebigen Zahl und der Zahl 2; c) die Quadratzahl der Summe des Zweifachen einer beliebigen Zahl und der Zahl 8; d) die Kubikzahl des Unterschiedes einer beliebigen Zahl und des Dreifachen der Zahl 6. 2. Schreiben Sie mit Hilfe der Veränderlichen n im Bereich der Ganze Zahlen ein: a) eine beliebige gerade Zahl; b) eine beliebige ungerade Zahl; c) die Summe von zwei geraden, in einer Reihe direkt nachfolgenden Zahlen; d) das Produkt von zwei geraden, in einer Reihe direkt nachfolgenden Zahlen; e) die Summe von zwei ungeraden, in einer Reihe direkt nachfolgenden Zahlen; f) das Produkt von zwei ungeraden, in einer Reihe direkt nachfolgenden Zahlen; 3. Schreiben Sie folgende Ausdrücke ein; a) die Summe der Quadratzahlen der Veränderlichen a, b; b) die Quadratzahl der Summe der Veränderlichen a, b; c) zu der Veränderlichen x rechne ich die Zahl 4 zu und das Ergebnis multipliziere ich mit der Zahl, die um 4 kleiner als die gegebene Veränderliche ist; zu dem Ergebnis rechne ich 15 zu und das Ergebnis dividiere ich mit der Zahl, die um 1 kleiner als die gegebene Veränderliche ist. 4. Geben Sie an, wann folgende Ausdrücke Sinn haben: a) b) c) d) e) f) 7 g) 3 7
2. Počítání s mnohočleny Nejdřív obrátíme svoji pozornost na zopakování operací s mnohočleny. Připomeňme si na několika příkladech, jak se mnoho členy sčítají, odčítají, násobí a jak se dělí mnohočlen jednočlenem. Příklad 1 Sečti mnohočleny 2 3 5 7, 7a 3b 3a. 2 3 5 7 7 3 3 2 3 5 7 7 3 3 3 3 12 10 3 Příklad 2 Od mnohočlenu odečtěte mnohočlen 3. 3 3 3 2 4 Příklad 3 Násobte mnohočlen jednočlenem 24. 3 4 1 6 5 3 24 3 4 24 1 6 24 5 3 24 18 4 40 8
2. Rechnung mit Polynomen Zuerst kehren wir unsere Aufmerksamkeit auf das Wiederholen der Operationen mit Polynomen um. Erinnern wir uns auf ein Paar Beispielen daran, wie man Polynome addieren, abnehmen, multiplizieren, und wie man Polynom mit einem Monom dividiert. Beispiel 1 Addieren Sie folgende Polynome 2 3 5 7, 7a 3b 3a. 2 3 5 7 7 3 3 2 3 5 7 7 3 3 3 3 12 10 3 Beispiel 2 Von dem Polynom nehmt den Polynom 3 ab. 3 3 3 2 4 Beispiel 3 Multiplizieren Sie den Polynom mit dem Monom 24. 3 4 1 6 5 3 24 3 4 24 1 6 24 5 3 24 18 4 40 9
Příklad 4 Násobte mnohočleny 2 3, 2. 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 4 6 2 Příklad 5 Dělte mnohočleny 18 27 9 90 jednočlenem 9. Dělení má smysl za předpokladu 0 18 27 9 90 9 18 9 27 9 9 9 90 9 2 3 10 Při násobení mnohočlenu jste se na základní škole naučili pro zkrácení výpočtů počítat se vzorci 2, 2, ve kterých písmena A, B představovala obvykle jednočleny. V následujících dvou příkladech si zopakujeme počítání podle těchto vzorců. Příklad 6 Vypočítejte 2. 2 2 2 2 6 4 10
Beispiel 4 Multiplizieren Sie die Polynome 2 3, 2. 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 4 6 2 Beispiel 5 Dividieren Sie die Polynome 18 27 9 90 durch den Monom 9. Division hat Sinn unter der Voraussetzung, dass 0 18 27 9 90 9 18 9 27 9 9 9 90 9 2 3 10 Bei der Multiplikation eines Polynoms habt ihr in der Grundschule gelernt, für Kürzung der Rechnungen mit Formeln rechnen, 2, 2, in denen die Buchstaben A, B gewöhnlich Monome dargestellt haben. In zwei folgenden Beispielen wiederholen wir Rechnung nach diesen Formeln. Beispiel 6 Berechnen Sie 2. 2 2 2 2 6 4 11
Příklad 7 Vypočítej 2 0,05. 2 3,05 2 2 2 0,05 0,05 4 0,2 0,0025 Dále si odvodíme vzorce pro výpočet třetí mocniny dvojčlenů, 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3 Platí tedy: 3 3 3 3 V dalších příkladech počítání podle těchto vzorců procvičíme. si Příklad 8 Vypočítejte 0,2 10. 0,2 10 0,2 3 0,2 10 3 0,2 10 10 0,008 1,2 60 100 Příklad 9 Vypočítejte 2. 12
Beispiel 7 Berechnen Sie 2 0,05. 2 3,05 2 2 2 0,05 0,05 4 0,2 0,0025 Weiter leiten wir Formeln für die Rechnung der Kubikzahl von Binomen, ab. 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3 Es gilt also: 3 3 3 3 In weiteren Beispielen üben wir die Rechnung nach diesen Formeln. Beispiel 8 Berechnen Sie 0,2 10. 0,2 10 0,2 3 0,2 10 3 0,2 10 10 0,008 1,2 60 100 Beispiel 9 Berechnen Sie 2. 13
2 2 3 2 3 2 8 12 6 Cvičení 1. Vypočítejte: a) b) 2 c) 9 8 5 7 7 2 9 11 2. Násobte: a) 5 3 8 9 b) c) d) 2 e) 3 7 2 f) 1 2 3 g) 4 3 2 3 2 1 2 3 3. Vypočítejte: a) 3 5 3 5 3 5 b) 3 5 3 5 3 5 c) 3 5 3 5 3 5 14
d) 3 5 3 5 3 5 2 2 3 2 3 2 8 12 6 Übungen 1. Berechnen Sie: a) b) 2 c) 9 8 5 7 7 2 9 11 2. Multiplizieren Sie: a) 5 3 8 9 b) c) d) 2 e) 3 7 2 f) 1 2 3 g) 4 3 2 3 2 1 2 3 3. Berechnen Sie: a) 3 5 3 5 3 5 b) 3 5 3 5 3 5 c) 3 5 3 5 3 5 15
d) 3 5 3 5 3 5 4. Dělte (a nezapomeňte udat, kdy má dělení smysl): a) 15 12 9 6 3 b) 8 6 4 2 2 c) 4 16 8 4 8 d) c) 3 9 15 21 9 5. Vypočtěte s využitím probraných vzorců: a) b) 0,2 3 c) 2 d) 2 5 e) 0,1 0,2 f) g) 3 2 3 2 8 h) 3. Dělení mnohočlenů mnohočleny Dělit mnohočlen jednočlenem už umíte; zbývá ještě naučit se dělit mnohočlen mnohočlenem. Pro potřeby střední školy stačí se omezit na mnohočleny s jednou proměnnou. Při dělení mnohočlenu mnohočlenem postupujeme podle návodu, který je popsán v následujícím příkladu. Příklad 10 Vypočtěte 20 32 7 5 1 7. Postupujeme podle tohoto návodu: 16
4. Dividieren Sie (und vergesset nicht anzugeben, wann die Division Sinn hat): a) 15 12 9 6 3 b) 8 6 4 2 2 c) 4 16 8 4 8 d) 3 9 15 21 9 5. Berechnen Sie mit Hilfe der gelernten Formeln: a) b) 0,2 3 c) 2 d) 2 5 e) 0,1 0,2 f) g) 3 2 3 2 8 h) 3. Division der Polynome durch Polynome Sie können schon ein Polynom durch ein Monom dividieren; es bleibt noch zu lernen, ein Polynom durch ein Polynom zu dividieren. Für den Bedarf der Mittelschule reicht es sich auf Polynome mit einer Veränderlichen zu beschränken. Bei der Division eines Polynoms durch ein Polynom verfahren wir nach der Anleitung, die in folgendem Beispiel beschrieben ist. Beispiel 10 Berechnen Sie 20 32 7 5 1 7. Wir verfahren nach dieser Anleitung: 17
1. Oba mnohočleny uspořádáme sestupně podle klesajících mocnin proměnné a: 7 20 32 5 7 1 2. Dělíme: a) První člen dělence dělíme prvním členem dělitele 7 7. Získaný podílem násobíme všechny členy dělitele, tj. 7 1 7. Tento dílčí výsledek odečteme od dělence. Zápis: 7 20 32 5 7 1 7 21 32 5 b) Postup opakujeme, a to tak, že prvním členem dělitele dělíme první člen zbytku, který je uspořádán sestupně 21 7 3. Získaným podílem 3 násobíme dělitele, tj. 7 1 3 21 3 a tento další dílčí výsledek odečteme od zbytku. Zápis: 7 20 32 5 7 1 3 7 21 32 5 21 3 35 5 c) Opět zopakujme postup z předcházejících dvou kroků, tj. 35 7 5, 7 1 5 35 5 a tento dílčí výsledek odečteme od zbytku. 18
1. Beide Polynome ordnen wir abwärts nach den sinkenden Potenzen der Veränderlichen a: 7 20 32 5 7 1 2. Wir dividieren: a) Den ersten Mitglied des Dividenden dividieren wir durch das erste Mitglied des Teilers 7 7. Mit dem gewonnenen Teilwert multiplizieren wir alle Mitglieder des Teilers, d.h. 7 1 7. Dieses Teilergebnis ziehen wir von dem Dividenden ab. Eintragung: 7 20 32 5 7 1 7 21 32 5 b) Wir wiederholen den Vorgang und zwar so, dass wir durch das erste Mitglied das erste Mitglied des Restes, das abwärts geordnet ist, dividieren 21 7 3. Mit dem gewonnenen Ergebnis 3 multiplizieren wir den Teiler, d.h. 7 1 3 21 3 und dieses Teilergebnis ziehen wir von dem Rest ab. Eintragung: 7 20 32 5 7 1 3 7 21 32 5 21 3 35 5 c) Noch mal wiederholen wir den Vorgang der vorherigen Schritte, d.h.: 35 7 5, 7 1 5 35 5 und dieses Teilergebnis ziehen wir von dem Rest ab. 19
Zápis: 7 20 32 5 7 1 3 +5a 7 21 3 5 21 3 35 5 35 5 0 3. O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou, kdy zjistíme, zda součin dělitele a podílu je roven dělenci: 3 5 7 1 7 21 35 3 5 7 20 32 5 Příklad 11 Vypočtěte 2 11 5 24 2 3. 2 11 5 24 2 3 7 8 2 3 14 5 24-14 21 16 24-16 24 20
0 Eintragung: 7 20 32 5 7 1 3 +5a 7 21 3 5 21 3 35 5 35 5 0 3. Von der Richtigkeit des Ergebnisses können wir uns so überzeugen, dass wir eine Probe machen. Wir erfinden, ob das Produkt des Teilers und des Teilwertes dem Dividenden gleich ist: 3 5 7 1 7 21 35 3 5 7 20 32 5 Beispiel 11 Berechnen Sie: 2 11 5 24 2 3. 2 11 5 24 2 3 7 8 2 3 14 5 24-14 21 16 24-16 24 21
0 Výsledek: 2 11 5 24 2 3 7 8, Zkouška: 7 8 2 3 2 14 16 3 21 24 2 11 5 24 Příklad 12 Vypočtěte 10 15 27 3 2 3 5 5 2x 3x 5. 10 15 27 3 2 3 5 5 2x 3x 5 5 10 15 25 2 3 5 0 2 3 2 3 5 5 2 3 5 2 5 3 5 5 2 3 5 2 3 2 3 5 5 0 Výsledek: 10 15 27 3 2 3 5 5 2x 3x 5 22
5, 2x 3x 5 0 Ergebnis: 2 11 5 24 2 3 7 8, Probe: 7 8 2 3 2 14 16 3 21 24 2 11 5 24 Beispiel 12 Berechnen Sie: 10 15 27 3 2 3 5 5 2x 3x 5. 10 15 27 3 2 3 5 5 2x 3x 5 5 10 15 25 2 3 5 0 2 3 2 3 5 5 2 3 5 2 5 3 5 5 2 3 5 2 3 2 3 5 5 10 15 27 3 2 3 5 5 2x 3x 5 5, 2x 3x 5 0 23
Zkouška: 2 3 5 5 10 15 25 2 3 5 2 3 5 2 3 5 10 15 27 3 2 3 5 5 Příklad 13 Vypočtěte 21 31 39 6 : 7 1. 21 31 39 6 : 7 1 3 4 5 21 31 28 39 6 28 4 35 6 35 5 1 Jednočlen -1 (tj. - 1 ) má nižší stupeň než mnohočlen 7 1. Proto v dělení dále pokračujeme. Mnohočlen 3 4 5 se nazývá částečný podíl, jednočlen -1 se nazývá zbytek. Výsledek: 21 31 39 6 7 1 3 4 5 7 1 0 24
Probe: 2 3 5 5 10 15 25 2 3 5 2 3 5 2 3 5 10 15 27 3 2 3 5 5 Beispiel 13 Berechnen Sie: 21 31 39 6 : 7 1. 21 31 39 6 : 7 1 3 4 5 21 31 28 39 6 28 4 35 6 35 5 1 Das Monom -1 (d.h. - 1 ) hat niedrigeren Grad als das Polynom 7 1. Deswegen setzen wir im Dividieren fort. Das Polynom 3 4 5 nennt man teilweiser Teilwert, das Monom -1 nennt man Rest. Ergebnis: 21 31 39 6 7 1 3 4 5 7 1 0 25
Zkouška: 3 4 5 1 7 1 7 1 3 4 5 7 1 1 7 1 7 1 21 28 35 3 4 5 1 21 31 39 6 Příklad 14 Dělte 14 4 2 3 5 2 1. 14 4 2 3 5 2 1 7 2 3 2 14 7, 4 6 2 3 5 4 2 6 4 3 5 6 3 4 6 5 4 2 6 7 Výsledek: 14 4 2 3 5 2 1 7 2 3 2 ; Zkouška: 7 2 3 2 2 1 7 2 3 2 2 1 2 1 14 4 2 3 5 26
Probe: 3 4 5 1 7 1 7 1 3 4 5 7 1 1 7 1 7 1 21 28 35 3 4 5 1 21 31 39 6 Beispiel 14 Dividieren Sie: 14 4 2 3 5 2 1. 14 4 2 3 5 2 1 7 2 3 2 14 7, 4 6 2 3 5 4 2 6 4 3 5 6 3 4 6 5 4 2 6 7 Ergebnis: 14 4 2 3 5 2 1 7 2 3 2 ; Probe: 27
: 7 2 3 2 2 1 7 2 3 2 2 1 2 1 14 4 2 3 5 Cvičení: 1. Vypočítejte: a) 3 3 1 1 b) 4 4 29 2 3 c) 8 24 32 26 1 2. Vypočítejte: a) 3 11 8 b) 2 1 c) 7 9 2 d) 3 5 1 4. Rozklad pomocí vytýkání Ze základní školy umíte najít společný násobek a společného dělitele dvou či více celých čísel. Znalost určování společného násobku celých čísel využíváme např. při sčítání zlomků. Tak při sčítání 7 12 5 6 1 24 28
je nutné určit jejich společného jmenovatele. Tím může být např. číslo 1 728 jako součin jednotlivých jmenovatelů 12. 6. 24. Protože si však jistě nechce komplikovat výpočet zbytečně velkými čísly, zvolte jako společný jmenovatel číslo 24, které je nejvhodnějším společným násobkem těchto tří čísel. Übungen: 1. Berechnen Sie: a) 3 3 1 1 b) 4 4 29 2 3 c) 8 24 32 26 1 2. Berechnen Sie: a) 3 11 8 b) 2 1 c) 7 9 2 d) 3 5 1 4. Die Zerlegung mit Hilfe von Vorsetzen Aus der Grundschule können wir die gemeinsame Vielfache und den gemeinsamen Teiler von zwei oder mehr Ganzzahlen finden. Die Kenntnis der Bestimmung der gemeinsamen Vielfachen von Ganzzahlen nutzen wir z.b. beim Addieren von Bruchzahlen. So ist es beim Addieren 29
7 12 5 6 1 24 nötig, den gemeinsamen Nenner zu bestimmen. Das kann z.b. die Nummer 1 728 als das Produkt der einzelnen Nenner 12. 6. 24 sein. Da wir sicher nicht wollen, die Rechnung mit vergeblich großen Zahlen zu komplizieren, wählen wir als den gemeinsamen Nenner die Nummer 24, die geeignetste gemeinsame Vielfache dieser drei Zahlen ist. Při hledání rozkladu daného výrazů v součin používáme různé druhy úprav. Jednou z nich je vytýkání společného činitele z daného výrazu. Máme např. rozložit v součin výraz 22 28 14. Protože 22 2 11, 28 2 14, 14 2 7, je nejvhodnějším společným dělitelem těchto tří sčítanců výraz 2ab. Je tedy 22 28 14 2 11 2 14 2 7. Po vytknutí výrazu 2ab dostaneme původní výraz ve tvaru součinu dvou výrazů 2 11 14 7. Platí tedy 22 28 14 2 11 14 7. Příklad 15 Rozložte v součinu výraz 18 45 63. Protože nejvhodnějším společný dělitel všech tří sčítanců je jednočlen 9, platí 18 45 63 9 2 5 7 30
V následujícím příkladu si ukážeme dva postupy při počítání s výrazy; jednak bez rozkladu výrazu v součin, jednak s rozkladem výrazu v součin. Sami posuďte, který z nich je namáhavější a zdlouhavější. Příklad 16 Vypočtěte povrch válce o průměru 24 mm a výšce 9mm. Bei dem Suchen der Zerlegung des gegebenen Ausdruckes in das Produkt nutzen wir verschiedene Arten von Bearbeitungen. Einen von ihnen ist das Vorsetzen des gemeinsamen Multiplikators aus dem gegebenen Ausdruck. Wir sollen z.b. den Ausdruck 22 28 14 in das Produkt zerlegen. Da 22 2 11, 28 2 14, 14 2 7, der geeignetste gemeinsame Teiler dieser drei Summanden der Ausdruck 2ab ist. Es gilt also: 22 28 14 2 11 2 14 2 7. Nach dem Vorsetzen des Ausdruckes 2ab bekommen wir den ursprünglichen Ausdruck in der Form vom Produkt von zwei Ausdrücken Es gilt also 2 11 14 7. 22 28 14 2 11 14 7. Beispiel 15 Zerlegen Sie im Produkt den Ausdruck 18 45 63. Da der geeignetste gemeinsame Teiler aller drei Summanden das Monom 9 ist, gilt 18 45 63 9 2 5 7 31
Im folgenden Beispiel zeigen wir uns zwei Vorgänge beim Addieren mit Ausdrücken; einerseits ohne Zerlegung des Ausdruckes ins Produkt, anderseits mit Zerlegung des Ausdruckes ins Produkt. Bewertet selbst, welcher von ihnen mühsamer und zeitaufwendiger ist. Beispiel 16 Berechnen Sie die Oberfläche des Zylinders vom Durchmesser 24 mm und von der Höhe 9 mm. 1. způsob: dosazeni do vzorce 2 2 dostaneme: 2 3,14 12 2 3,14 12 9 2 3,14 144 3,14 12 18 6,28 144 3,14 216 904,32 678,24 1582,56 1,583 2. Způsob: upravíme-li vzorec 2 2 na tvar 2, je numerický výpočet jednodušší: 2 3,14 12 12 9 3,14 24 21 3,14 504 1582,56 1583 Vytýkání společného násobku ze všech členů výrazu je pouze jedním z možných způsobů, jak rozložit výraz v součinu. Např. úlohu rozložit v součin výraz 5 15 4 12 tímto způsobem nevyřešíme (můžeme vytknout pouze 1nebo -1). Zkusíme, zda lze tento výraz rozložit jiným způsobem. Můžeme si např. všimnout, že první dva členy mají společného dělitele 5, poslední dva 4. Vytkneme: 32
5 3 4 3 Po této úpravě jsme dostali dva sčítance, jejichž společným dělitelem je výraz 3, který vytkneme 3 5 4 Dostali jsme tedy: 5 15 4 12 3 5 4 Tomuto způsobu rozkladu výrazu v součin říkáme postupné vytýkání. 1. Form: durch die Einsetzung in die Formel 2 2 bekommen wir: 2 3,14 12 2 3,14 12 9 2 3,14 144 3,14 12 18 6,28 144 3,14 216 904,32 678,24 1582,56 1,583 2. Form: wenn wir die Formel 2 2 an die Form 2 bearbeiten, ist die numerische Rechnung einfacher: 2 3,14 12 12 9 3,14 24 21 3,14 504 1582,56 1583 Das Vorsetzen der gemeinsamen Vielfachen aus allen Gliedern des Ausdruckes ist nur eine von mehreren möglichen Formen, wie man den Ausdruck im Produkt zerlegen kann. Z.B. die Aufgabe, den Ausdruck ins Produkt zu zerlegen, 5 15 4 12 Lösen wir in dieser Weise nicht (wir können nur 1 oder -1 vorsetzen). Wir versuchen, ob es möglich ist, diesen Ausdruck auf einer anderen Weise zu zerlegen. Wir können z.b. merken, dass die ersten zwei Glieder den gemeinsamen Teiler 5 haben. Die letzten zwei haben 4. Wir setzen vor: 33
5 3 4 3 Nach dieser Bearbeitung haben wir zwei Summanden bekommen, deren gemeinsame Teiler der Ausdruck 3, den wir vorsetzen, ist: Wir haben also bekommen: 3 5 4 5 15 4 12 3 5 4 Diese Weise der Zerlegung des Ausdruckes ins Produkt nennt man Stufen Vorsetzen. Příklad 17 Rozložte v součinu výraz 7 7. Zdůvodněte jednotlivé kroky v následujícím výpočtu: 7 7 7 7 7 7 1 7 7 Dostáváme tak: 7 7 7 Zkouška: 7 7 7 Příklad 18 Rozložte v součin výraz. 34
Zkouška: Beispiel 17 Zerlegen Sie im Produkt den Ausdruck 7 7. Begründen Sie die einzelnen Schritte in der folgenden Berechnung: 7 7 7 7 7 7 1 7 7 Wir bekommen so: 7 7 7 Probe: 7 7 7 Beispiel 18 Zerlegen Sie ins Produkt den Ausdruck. 35
Probe: Cvičení 1. Rozložte v součin: a) b) 6 3 c) d) 15 30 2. Rozložte v součin: a) 32 48 64 b) 33 27 24 3. Rozložte v součin: a) 9 9 b) 2 c) 2 3 3 2 d) 2 4. Rozložte v součin: a) 2 2 2 b) 2 3 2 36
c) d) 2 3 1 3 1 e) f) 4 5. Rozklad výrazů pomocí vzorců Dalším z možných postupů, které lze při rozkladu výrazů v součin použít, je rozklad pomocí vzorců. Zatím známe vzorce : 2 2 Übungen 1. Zerlegen Sie ins Produkt: a) b) 6 3 c) d) 15 30 2. Zerlegen Sie ins Produkt: a) 32 48 64 b) 33 27 24 3. Zerlegen Sie ins Produkt: a) 9 9 b) 2 c) 2 3 3 2 d) 2 4. Zerlegen Sie ins Produkt: a) 2 2 2 b) 2 3 2 37
c) d) 2 3 1 3 1 e) f) 4 5. Zerlegung der Ausdrücke mit Hilfe von Formeln Eine weitere Weise von möglichen Vorgängen, die man bei der Zerlegung von Ausdrücken ins Produkt nutzen kann, ist die Zerlegung mit Hilfe von Formeln. Wie kennen jetzt Formeln: Doplníme si tyto vzorce ještě dalšími: 2 2 3 3 3 3 O jejich správnosti se můžeme přesvědčit vynásobením mnohočlenů na pravých stranách. Příklad 19 Rozložte v součin. Použijeme vzorec, v němž položíme,. Dostaneme: 1 9 1 3 1 3 38
Příklad 20 Rozložte v součin 9 12 4. Užitím vzorce 2, kde 3, 2, dostaneme: 9 12 4 3 2 3 2 2 3 2 3 3 3 3 Wir ergänzen diese Formeln noch mit anderen Formeln: Von ihrer Richtigkeit können wir uns so überzeugen, dass wir die Polynome auf den rechten Seiten multiplizieren. Beispiel 19 Zerlegen Sie ins Produkt. Wie nutzen die Formel, in der wir, geben. Wir bekommen: 1 9 1 3 1 3 39
Beispiel 20 Zerlegen Sie ins Produkt 9 12 4. Mit Hilfe der Formel 2, wo 3, 2, bekommen wir: 9 12 4 3 2 3 2 2 3 2 Příklad 21 Rozložte v součin 0,25 2. Ze vzorce =, kde 0,5, 2, máme:, 0,25-2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 Příklad 22 Rozložte v součin 6 12 8. Použijeme vzorec 3 3, kde, 2, a dostaneme: 6 12 8 3 2 3 2 2 = (x+2y 40
Příklad 23 Rozložte v součin 27 8. K rozkladu použijeme vzorec, 3, 2 : 27-8 3 2 3 3 2 2 = =(3-2x 9 6 4 Beispiel 21 Zerlegen Sie ins Produkt 0,25 2. Aus der Formel =, wo 0,5, 2, haben wir:, 0,25-2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 Beispiel 22 Zerlegen Sie ins Produkt 6 12 8. Wir nutzen die Formel 3 3, wo, 2, und wir bekommen: =(x+2y 6 12 8 3 2 3 2 2 41
Beispiel 23 Zerlegen Sie ins Produkt 27 8. Für die Zerlegung benutzen wir die Formel, 3, 2 : 27-8 3 2 3 3 2 2 = =(3-2x 9 6 4 Příklad 24 Rozložte v součin 81. Použijeme vzorec, 9,. 81 9 9 Použijeme-li na dvojčlen 9 3 znovu vzorec pro Rozdíl druhých mocnin, dostáváme: 81 9 9 3 3 9 Cvičení 1. Rozložte v součin : a) 4 b) 36 1 c) 16 d) e) 4 f) 1 g) h) 42
2. Rozložte v součin : a) 4 4 b) 9 12 4 c) 2 d) 1 3 3 e) 8 27 36 54 Literatura:doc. RNDr. Emil Calda a kolektiv:matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část Beispiel 24 Zerlegen Sie ins Produkt 81. Wir nutzen die Formel, 9,. 81 9 9 Wenn wir für das Polynom 9 3 wieder die Formel für Differenz der Quadratzahlen, bekommen wir: 81 9 9 3 3 9 Übungen 1. Zerlegen Sie ins Produkt: a) 4 b) 36 1 c) 16 d) e) 4 f) 1 g) h) 43
2. Zerlegen Sie ins Produkt: a) 4 4 b) 9 12 4 c) 2 d) 1 3 3 e) 8 27 36 54 Literatur:doc. RNDr. Calda, Emil und Kol.:Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1.Teil 44