Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Transkript

1 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Ročník 1. Datum tvorby Anotace 1) pro žáky jako text látky, do kterého si mohou po vytisknutí psát poznámky podle výkladu učitele (nezdržují se opisováním pouček a mohou se soustředit na výklad) ) pro učitele k promítnutí na tabuli a názornému výkladu 3) pro žáky, kteří chyběli (nemusí si látku opisovat od spolužáků) 4) základní učivo je na boku zvýrazněno dvojitou modrou čárou

2 OPERACE S MNOHOČLENY Sčítání a odčítání mnohočlenů Mnohočleny sčítáme (odčítáme) tak, že sečteme (odečteme) členy, které mají stejný základ i mocnitel. Př. (5x 3 3x + x ) + (x + 5) = 5x 3 x + x + 3 Př. (x y 3xy ) + (8x y + xy ) = 9x y xy Př. (3x x + 8) (x 1) = 3x x + 8 x + 1 = 3x² x + 9 odečtení mnohočlenu je přičtení mnohočlenu opačného Násobení mnohočlenů Mnohočleny násobíme tak, že každý člen jednoho mnohočlenu násobíme každým členem druhého mnohočlenu (a pak popř. sečteme). Př. (x x + 1). (3x ) = 6x 3 3x + 3x 4x + x = 6x 3 7x + 5x Dělení mnohočlenů a) jednočlenem: postupujeme tak, že tímto jednočlenem dělíme každý člen mnohočlenu. Př. (4x + x) : x = x + 1 b) mnohočlenem: máme vydělit ( x 3 + x 5x + 3x 4 ) : ( + x ), postupujeme podle následujícího schématu:

3 1) uspořádáme dělence i dělitele podle mocnin sestupně (3x 4 x 3 5x + x ) : (x ) ) dělíme první člen dělence prvním členem dělitele (3x 4 x 3 5x + x ) : (x ) = 3x ) tímto výsledkem vynásobíme celého dělitele (x ). 3x = 3x 4 6x a výsledný mnohočlen zapíšeme pod příslušné členy dělence, dáme do závorky a odečteme. Tak získáme dělence pro další dělení (3x 4 x 3 5x + x ) : (x ) = 3x x..... (3x 4 6x ) x 3 + x + x 4) tento postup opakujeme tak dlouho, až dostaneme 0 nebo mnohočlen nižšího stupně než má dělitel (3x 4 x 3 5x + x ) : (x ) = 3x x + 1 (3x 4 6x ) x 3 + x + x ( x 3 + x) x (x ) 0 5) nezapomeneme na podmínky (dělitel 0) x 0 x x x Někdy místo 0 dostaneme tzv. zbytek, tj. mnohočlen nižšího stupně než má dělitel. Tento zbytkový mnohočlen lomíme dělitelem a připíšeme k výsledku: Př. (4x 4 x + x) : ( x + 1 ) = x 3 + (4x 4 + x ) 3x + x ( 3x² 3) x + 3 x 3 x 1 mnohočlen nižšího stupně než dělitel ( lomíme ho x 3 dělitelem a připíšeme k výsledku). x 1 Podmínka: x platí pro všechna x R.

4 Poznámka: V tomto příkladu vidíme, že podíl mnohočlenů nemusí být vždy mnohočlen. Výraz x 3 + x 3 x 1 není mnohočlen. Umocňování mnohočlenů Dvojčleny (binomy) umocňujeme podle binomických vzorů. Obecný binomický vzorec pro (a ± b) n, kde n N, udává binomická věta (bude probíráno v oddíle Kombinatorika). Pro (a ± b), (a ± b) 3 si pamatujeme tyto vzorce: (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 Př. (4x 1) = 16x 4 8x + 1 (x + y) 3 = 8x 3 + 1x y + 6xy + y 3 Rozklad mnohočlenů a) vytýkáním před závorku b) užitím vzorců c) kombinací vytýkání a vzorců a) vytýkáním před závorku: Př. 6a 3 = 3 (a 1) x + xy = x (1 + y) z + 4z zy = z (z + y) Př. Př. Při vytýkání ( 1) se změní všechna znaménka v závorce a před závorkou píšeme místo 1 jen znaménko x + x 1 = (x x + 1) = (x 1) Vytýkání můžeme několikrát opakovat z různých skupin členů (tzv. částečné vytýkání), popř. si mnohočlen před vytýkáním vhodně opravit: y 3y + 1 = y y y + 1 = y ( y 1) (y 1) = (y 1). (y 1) Př. y x + yx 1 = y 1 + x ( 1 + y) = y 1 + x (y 1) = (y 1) (1 + x) Poznámka: Zkoušku správnosti můžeme provést zpětným roznásobením.

5 b) užitím vzorců: a b = (a + b) (a b) a 3 + b 3 = (a + b) (a ab + b ) a 3 b 3 = (a b) (a + ab + b ) a + ab + b = (a + b) a ab + b = (a b) a 3 + 3a b + 3ab + b 3 = (a + b) 3 a 3 3a b + 3ab b 3 = (a b) 3 a + b nelze v množině R rozložit Př. 9x 16 = (3x + 4). (3x 4) y = (y + 1). (y y + 1) 7a 3 8 = (3a ). (9a + 6a + 4) x + 10x + 5 = (x + 5) 4a 1a + 9 = (a 3) c) někdy používáme kombinaci vytýkání a vzorců: Př. 3x 5 + x 3 3x 1 = x 3 (3x + 1) (3x + 1) = = (3x + 1). (x 3 1) = (3x + 1).(x 1).(x + x + 1) Poznámka: Na další stránce si procvičíme často používané učivo Rozklad kvadratického trojčlenu a Doplnění kvadratického trojčlenu na druhou mocninu dvojčlenu a užití.

6 Rozklad kvadratického trojčlenu na tzv. součin kořenových činitelů: ax + bx + c je kvadratický trojčlen x 1, x jsou kořeny (nulové body) tohoto trojčlenu Rozklad tohoto trojčlenu na součin tzv. kořenových činitelů: ax + bx + c = a (x x 1 ) (x x ) a 0 resp. x + px + q = (x x 1 ) (x x ) = x (x 1 + x ) x + x 1 x p = kde p = x 1 + x q = x 1. x Viètovy vzorce b a ; q = c a Př. x 3x + = (x 1).(x ) p = 3 3 = x 1 + x x 1 = 1 q = = x 1. x x = Kořeny x 1, x se snažíme vypočítat zpaměti podle Viètových vzorců. Zkoušku správnosti můžeme provést roznásobením (zpaměti). Př. x + 1x + 16 = (x + 6x + 8) = (x + ) (x + 4) p = 6 6 = x 1 + x x 1 = ; x = 4 q = 8 8 = x 1. x Př. x + x 1 = (x + 4). (x 3) p = 1 1 = x 1 + x x 1 = 4 ; x = 3 q = 1 1 = x 1. x Doplnění kvadratického trojčlenu na druhou mocninu dvojčlenu se někdy nazývá doplnění kvadratického trojčlenu na úplný čtverec. Přičte se takové číslo, aby s kvadratickým a lineárním členem dalo druhou mocninu dvojčlenu - užívá se při tom vzorec (a b). Od absolutního členu se pak toto číslo musí odečíst (aby se hodnota kvadratického trojčlenu nezměnila). Př. Doplňte kvadratický člen na druhou mocninu dvojčlenu (hodnota trojčlenu musí vždy zůstat stejná): x 4x + 7 = (x 4x + 4) = (x ) + 3 a ab + b (a b)

7 Užití mnohočlenu pro umocňování čísel končících cifrou 5 (zpaměti) Čísla, končící cifrou 5 lze zapsat ve tvaru 10x + 5, kde x N 0. Tento dvojčlen pak umocníme na druhou a dostaneme vzorec, podle kterého můžeme čísla končící 5 umocňovat na druhou zpaměti : (10x + 5) = 100x + 100x + 5 = 100 x (x + 1) + 5 Př. 35 = ( ) = = = ( ) = = = ( ) = = = = = =