1 Mnohočleny a algebraické rovnice
|
|
- Květoslava Švecová
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem x označujeme proměnnou. Naznačujeme tím, že za x lze dosazovat různá čísla (reálná či komplexní). Například pro kvadratický trojčlen 3x 2 5x + 1 po dosazení Výraz tvaru x = 0 dostaneme = 1 (hodnota v bodě x = 0), x = 2 dostaneme 3 ( 2) 2 5 ( 2) + 1 = 23 (hodnota v bodě x = 2) a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = n a k x k, a n 0 (1) se nazývá mnohočlen n-tého stupně v proměnné x a čísla (reálná, resp. komplexní) a k, k = 0, 1, 2,..., n, n N se nazývají koeficienty mnohočlenu. Namísto názvu mnohočlen se pro výraz ( 1) používá označení polynom n-tého stupně v proměnné x (v dalším textu budeme používat označení polynom ). Číslo n a k α k = a n α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 se nazývá hodnota polynomu v čísle α. Je dán polynom x 4 4x 3 76x x 405. Vypočtěte hodnotu v bodech α 1 = 1 a α 2 = 2 + i. Řešení: Hodnota v bodě α 1 = 1: ( 1) 4 4( 1) 3 76( 1) ( 1) 405 = = 800. Hodnota v bodě α 2 = 2 + i: (2 + i) 4 4(2 + i) 3 76(2 + i) (2 + i) 405 = = ( i) 4(2 + 11i) 76(3 + 4i) + 324(2 + i) 405 = 0. 1
2 y polynomů: 3 a k x k = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 je polynom třetího stupně, když a 3 0, 2 a k x k = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 je polynom druhého stupně, když a 2 0, 1 a k x k = a 1 x + a 0 je polynom prvního stupně, když a 1 0, 0 a k x k = a 0 je polynom nultého stupně, když a 0 0. Polynom, který má všechny koeficienty rovny nule, se nazývá nulový polynom. Nulový polynom nemá stupeň. Mezi všemi polynomy je pouze jeden nulový polynom, ale můžeme jej zapsat rozmanitými způsoby. Například: 0 x x 0, 0 x 7 0 x x x x x x 1 + 0, n a k x k, a k = 0 pro všechny indexy k = 0, 1,..., n. 1.2 Algebraické operace s polynomy Dva polynomy n a k x k, a n 0 a n b k x k, b n 0 si jsou rovny, je-li a k = b k pro k = 0, 1, 2,..., n, tj. rovnají-li se koefiecienty u stejných mocnin x. Určete koeficienty A, B, C polynomu A(x 2 + 1) + Bx 2 + Cx(x 2 + 1) tak, aby byl roven polynomu x 3 + x + 1. Řešení: Úpravou dostáváme Z rovnosti A(x 2 + 1) + Bx 2 + Cx(x 2 + 1) = Cx 3 + (A + B)x 2 + Cx + A. Cx 3 + (A + B)x 2 + Cx + A = x 3 + x + 1 dostaneme porovnáním koeficientů u stejných mocnin x podmínky C = 1, A + B = 0, A = 1, takže A = 1, B = 1, C = 1. 2
3 Polynomy můžeme (stejně jako čísla) sečítat, odečítat, násobit i dělit. Sčítat a odečítat polynomy budeme podle následujícího návodu: (3x 2 x + 7) + (5x 4 7x x 1) = 5x 4 + (3 7)x 2 + ( )x + (7 1) = = 5x 4 4x x + 6, (3x 2 x + 7) (5x 4 7x x 1) = 5x 4 + (3 + 7)x 2 + ( 1 12)x + (7 + 1) = = 5x x 2 13x + 8. Násobit polynomy budeme podle distributivního zákona, tj. násobíme každý člen jednoho polynomu s každým členem druhého: (x 2 + 1)(x 3 x) = x 5 + x 3 x 3 x = x 5 x. Vidíme, že součet, rozdíl i součin polynomů je opět polynom. Jsou-li si dva polynomy rovny, jejich rozdíl je nulový polynom. Dělení polynomů je složitější a (jak uvidíme v dalším textu) výsledkem není vždy polynom. Dělení polynomu polynomem nultého stupně (tj. nenulovou konstantou) je definováno takto: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. Dělení polynomů definujeme obecně podobně jako dělení přirozených čísel: 11 4 = = (dělení se zbytkem, podíl není přirozené číslo), = 3 12 = 3 4 (dělení beze zbytku, podíl je přirozené číslo). Chceme-li stanovit podíl polynomů P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a S(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + (pro nenulový S(x)), musíme najít takové polynomy Q(x) a R(x) tak, aby platil vztah neboli P (x) S(x) (2) = Q(x) + R(x) S(x), (3) P (x) = S(x)Q(x) + R(x) (4) (srovnej s ( 2) pro dělení přirozených čísel). Pokud stupeň polynomu S(x) je větší než stupeň P (x), pak Q(x) = 0 a R(x) = P (x). Postup, který pro dané polynomy P (x) a S(x) určí polynom Q(x) (tj. podíl, resp. částečný podíl) a polynom R(x) (tj. zbytek) se nazývá algoritmus dělení polynomů. 3
4 Vypočtěte podíl, resp. částečný podíl polynomů x 3 2x 2 + x 1 a x 2 3x + 2. (x 3 2x 2 + x 1) : (x 2 3x + 2) = x + 1 (částečný podíl) ±x 3 3x 2 ± 2x x 2 x 1 ±x 2 3x ± 2 2x 3 (zbytek) Tedy resp. (Srovnej s ( 2).) x 3 2x 2 + x 1 x 2 3x + 2 = x x 3 x 2 3x + 2, x 3 2x 2 + x 1 = (x 2 3x + 2)(x + 1) + 2x Hornerův algoritmus Ve speciálním případě, když dělíme polynom P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 lineárním polynomem (polynomem prvního stupně) S(x) = x α, kde α je dané číslo, je algoritmus dělení velmi jednoduchý a nazývá se Hornerův algoritmus. Než si jej uvedeme, připomeňme, že v tomto případě mají vzorce ( 3) a ( 4) tvar resp. P (x) x α = Q(x) + R x α, (5) P (x) = (x α)q(x) + R, (6) kde R je polynom nultého stupně (konstanta) a je to hodnota polynomu P (x) v čísle α. Je totiž P (α) = (α α)q(x) + R = 0 Q(x) + R = R. Tento poznatek bude velice důležitý při určování kořenů algebraických rovnic (odst. 1.5). Ilustrujme nyní různé verze algoritmu dělení lineárním činitelem. 4
5 1. verze algoritmu Je tedy (7x 4 2x 3 +3x +8) : (x + 1) = 7x 3 9x 2 + 9x 6 ±7x 4 ±7x 3 9x 3 +3x +8 9x 3 9x 2 9x 2 +3x +8 ±9x 2 ±9x 6x +8 6x 6 14 (zbytek) 7x 4 2x 3 +3x+8 x+1 = 7x 3 9x 2 + 9x x+1 R = P ( 1) = verze algoritmu Polynom P (x) = 7x 4 2x 3 + 3x + 8 napíšeme ve tvaru P (x) = (((7x 2)x + 0)x + 3)x + 8. (7) Pro x = 1 počítáme hodnoty jednotlivých závorek: q 3 = a 4 = 7 q 2 = 7( 1) 2 = q 3 α + a 3 = 9 q 1 = 9( 1) + 0 = q 2 α + a 2 = 9 q 0 = 9( 1) + 3 = q 1 α + a 1 = 6 R = 6( 1) + 8 = q 0 α + a 0 = 14 = P (α) Získaná čísla q 0, q 1, q 2, q 3 jsou koeficienty polynomu Q(x), je tedy Q(x) = 7x 3 9x 2 + 9x verze algoritmu Upravíme-li polynom do tvaru ( 7), lze pomocí kalkulátoru velice snadno vypočítat koeficienty polynomu Q(x) i hodnotu P ( 1). 4. verze algoritmu Předchozí postup se dá zapsat do schématu, který se dobře pamatuje (v prvním řádku jsou koeficienty polynomu P (x)): Postup výpočtu: 1. q 3 = a 4 = 7; a 4 = 7 a 3 = 2 a 2 = 0 a 1 = 3 a 0 = q 3 = 7 q 2 = 9 q 1 = 9 q 0 = 6 14 = P ( 1) 5
6 2. q 2 = αq 3 + a 3 = ( 1) 7 2 = 9; 3. q 1 = αq 2 + a 2 = ( 1) ( 9) + 0 = 9 4. q 0 = αq 1 + a 1 = ( 1) = 6; 5. P ( 1) = αq 0 + a 0 = ( 1) ( 6) + 8 = 14. Tato verze Hornerova algoritmu je známa pod názvem Hornerovo schéma. 1.4 Algebraické rovnice Rovnice typu a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, (8) kde a k pro k = 0, 1, 2,..., n jsou daná čísla (tzv. koeficienty rovnice) a a n 0, se nazývá algebraická rovnice n-tého stupně v proměnné x. Na levé straně rovnice je polynom P (x) = n a k x k obecně s komplexními koeficienty. Řešení (kořen) rovnice ( 8) je číslo α takové, že P (α) = 0. Platí následující velice důležitá základní věta algebry, kterou uvádíme bez důkazu: Věta Každá algebraická rovnice má v oboru komplexních čísel alespoň jeden kořen. Jinými slovy: Pro každou algebraickou rovnici (je lhostejné, zda koeficienty jsou komplexní či reálné) existuje alespoň jedno číslo, které je kořenem této rovnice. Je-li číslo α kořenem rovnice ( 8), je ve vztahu ( 6) R = 0 a platí tedy rovnost P (x) = (x α)q(x), kde Q(x) je polynom stupně n 1. Lineární polynom x α se nazývá kořenový činitel. Jedním kořenem rovnice x 3 2x 2 x + 2 = 0 je číslo 1. Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení Dělením polynomu x 3 2x 2 x + 2 kořenovým činitelem x 1 (např. Hornerovým schématem) zjistíme, že rovnici lze psát ve tvaru (x 1)(x 2 x 2) = 0. Další kořeny zjistíme řešením kvadratické rovnice x 2 x 2 = 0. Kořeny této kvadratické rovnice jsou čísla 1 a 2. Daná rovnice třetího stupně má tedy kořeny 1, 1, 2. Z předchozího vidíme, že známe-li kořen α algebraické rovnice n-tého stupně, můžeme dělením kořenovým činitelem x α dostat algebraickou rovnici stupně n 1. Opakováním 6
7 tohoto postupu lze tedy polynom na levé straně rovnice rozložit na součin kořenových činitelů: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a n (x α 1 )(x α 2 ) (x α n ), kde α 1, α 2,..., α n jsou kořeny algebraické rovnice a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0. Vyskytuje-li se v rozkladu kořenový činitel x α i k-krát, nazývá se kořen α i k-násobný kořen algebraické rovnice P (x) = 0. Mají-li kořeny α 1, α 2,..., α k násobnosti k 1, k 2,..., k r, r n, k 1 + k k r = n, rozklad polynomu lze zapsat ve tvaru a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a n (x α 1 ) k 1 (x α 2 ) k2 (x α r ) k r. Jedním kořenem rovnice 8x 3 36x x 27 = 0 je číslo α 1 = 2 3. Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení: Dělením polynomu 8x 3 36x x 27 polynomem x 3 2 získáme polynom 8x 2 24x + 18, řešíme tedy rovnici 8x 2 24x + 18 = 0 4x 2 12x + 9 = 0 α 2,3 = 3 2. Daná rovnice má tedy jeden trojnásobný kořen α 1,2,3 = 3 2. Poznámka Rozklad polynomu 8x 3 36x x 27 na součin kořenových činitelů má tvar ( 8x 3 36x x 27 = 8 x ) Vlastnosti kořenů algebraické rovnice s reálnými koeficienty 1. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořen α = a + bi, má také kořen α = a bi (číslo komplexně sdružené k α). 2. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty vícenásobný komplexní kořen, potom číslo komplexně sdružené je také vícenásobným kořenem této rovnice a násobnosti obou kořenů jsou stejné. 3. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořeny, je jejich počet sudý. 4. Každá algebraická rovnice s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden kořen reálný. 7
8 Jedním kořenem rovnice x 4 8x x 2 36x + 24 = 0 je číslo α 1 = 3 3i. Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení: Druhým kořenem je číslo α 2 = 3 + 3i. Hledáme polynom q(x) takový, aby (x 3 + 3i)(x 3 3i)q(x) = x 4 8x x 2 36x + 24 (x 2 6x + 12)q(x) = x 4 8x x 2 36x + 24 q(x) = x4 8x 3 +26x 2 36x+24 x 2 6x+12 Dělením zjistíme, že q(x) = x 2 2x + 2. Stačí tedy najít kořeny rovnice x 2 2x + 2 = 0 α 3 = 1 + i, α 4 = 1 i. Daná rovnice má tedy kořeny: α 1 = 3 3i, α 2 = 3 + 3i, α 3 = 1 + i, α 4 = 1 i. Vypočtěte kořeny rovnice x 4 + 4x 3 16x 16 = 0. Řešení: Postupným dosazováním (zkusíme např. dosadit čísla 1, 1, 2, 2 atd.) zjistíme, že čísla 2 a 2 jsou kořeny naší rovnice. Je tedy (x 2)(x + 2)(x 2 + 4x + 4) = 0 a zbývá vyřešit kvadratickou rovnici x 2 + 4x + 4 = 0. Ta má jeden dvojnásobný kořen 2. Daná rovnice má tedy jeden trojnásobný kořen 2 a jednonásobný (jednoduchý) kořen 2. Vypočtěte kořeny rovnice 3x 3 + 2x 2 x 4 = 0. Řešení: Postupným dosazováním zjistíme, že rovnice má kořen 1. Je tedy (x 1)(3x 2 + 5x + 4) = 0 a řešením rovnice 3x 2 + 5x + 4 = 0 jsou čísla 5 6 ± 23 6 i. Daná rovnice má tedy tři kořeny 1 a 5 6 ± 23 6 i. 1.5 Souvislost kořenů a koeficientů algebraické rovnice Z předchozích příkladů je zřejmé, že u algebraických rovnic vyšších stupňů nám nezbývá nic jiného, než některá řešení rovnice buď uhádnout nebo je určovat numerickými metodami, kterými se zabývá tzv. numerická matematika. Pro rovnice 3. a 4. stupně je sice možné použít vzorce pro výpočet kořenů, ale ty jsou značně komplikované. Pro rovnice vyšších stupňů takové vzorce vůbec neexistují. K určení kořenů napomohou vztahy (tzv. Viétovy vzorce) mezi koeficienty a kořeny polynomu. Pro nás budou významné dva z nich: 8
9 1. Součet všech kořenů násobený koeficientem a n je roven opačnému koeficientu u x n 1, tj. (α 1 + α α n )a n = a n Pro součin všech kořenů a koeficientu a n platí (α 1 α 2 α n ) a n = ( 1) n a 0. Poznámka 1. Kořeny algebraické rovnice odhadujeme tak, že určíme dělitele absolutního členu a 0 a dosazením se přesvědčíme, zda je kořenem. 2. Pro kvadratický trojčlen lze velice snadno uvedené vlastnosti odvodit z rovnosti: x 2 + a 1 x + a 0 = (x α 1 )(x α 2 ) = x 2 (α 1 + α 2 )x + α 1 α 2. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostáváme a 1 = (α 1 + α 2 ), a 0 = α 1 α 2. 9
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last
a a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
Polynomy a racionální lomené funkce
Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových
Věta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných
Lineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011
Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění
Lineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie
POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních
ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Pomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108
ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární
Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:
Sbírka příkladů z polynomů pro předmět Cvičení z algebry I Dělení v okruzích polynomů 1. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x 5 + x 3 2x + 1) : ( x 3 + x + 1), b) (3x 3 + 10x 2 + 2x 3) : (5x 2 + 25x
Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
Matematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických
Kapitola 1. Hlavním cílem této kapitoly je naučit se rychle a bezchybně upravovat složité algebraické výrazy. To ovšem
Kapitola Algebraické výrazy Hlavním cílem této kapitoly je naučit se rychle a bezchybně upravovat složité algebraické výrazy. To ovšem předpokládá bezproblémové zvládnutí základních úprav jednoduchých
kuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()
Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Polynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí
Polynomy Vlasnosti reálných čísel: 1 (komutativitaoperace+)provšechnačísla a, b Rplatí, a+b=b+a 2 (asociativitaoperace+)provšechnačísla a, b, c Rplatí a+(b+c)=(a+b)+c, 3 (existencenulovéhoprvku)provšechnačísla
2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN
ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.
Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.
Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:
Algebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace
Algebraické výrazy-ii
Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Abstrakt. Bairstowovy iterační metody. V práci je odvozena Bairstowova metoda
Hledání kořenů algebraické rovnice Michaela Kožuchová 1,MichaelaSládková 2,Vojtěch Pék 3 Abstrakt Práce se zabývá hledáním kořenů algebraické rovnice za pomoci Bairstowovy iterační metody. V práci je odvozena
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy
. Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
M - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Klauzurní část školního kola kategorie A se koná
56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin
ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
Rozklad na součin vytýkáním
Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:
13. Kvadratické rovnice 2 body
13. Kvadratické rovnice 2 body 13.1. Rovnice x 2 + 2x + 2 m = 0 (s neznámou x) má dva různé reálné kořeny, které jsou oba menší než tři, právě a) m (1, 17), b) m = 2, c) m = 2 m = 5, d) m 2, 5, e) m >
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/34.0 Zlepšení podmínek pro
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc
Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc Proč historická metoda v dnešní počítačové době? Dnes údajně počítače
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
M - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
M - Algebraické výrazy
M - Algebraické výrazy Určeno jako studijní text pro studenty dálkového studia a jako shrnující textpro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,
Diferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
1. ČÍSELNÉ OBORY
ČÍSELNÉ OBORY 1. ČÍSELNÉ OBORY Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený.
a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.
Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Argumentace a ověřování Gradovaný řetězec úloh Autor: Stanislav Trávníček Úloha 1 (úroveň 1)
Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice