MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

Transkript

1 Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Poděbrady vadratické rovnice Mgr. arel Lhotský Datum: 3. listopadu 13 Ročník: Anotace: 1. ročník HŠ Učební materiál určený nejen k výkladu v hodinách matematiky, ale především k samostudiu, popřípadě k samostatnému opakování a procvičování učiva.

2 vadratické rovnice a + b + c

3 Základní pojmy aždá rovnice, kterou lze převést na tvar a + b + c, kde a se nazývá kvadratická. (a, b, c R) Hledané číslo se nazývá neznámá. (a b + c je rovnice lineární) Příklady: a) + 15 a 1, b, c 15 b) a 9, b, c 5 c) a 11, b 7, c a + b + c kvadratický trojčlen a kvadratický člen b lineární člen c.. absolutní (prostý) člen 3

4 Rozdělení kvadratických rovnic a + b + c (a ) b a c b nebo c úplná kvadratická rovnice neúplná kvadratická rovnice b c ryze kvadratická rovnice a + c kvadratická rovnice bez absolutního členu a + b 4

5 Řešení ryze kvadratické rovnice (1) Př. 1: ± V rovnici se vyskytuje neznámá na jediném místě a jako druhá mocnina. Vypočítáme nejprve. Odmocníme obě strany rovnice. ořen rovnice může být kladný i záporný (po umocnění se záporné číslo stane kladným). Rovnice má dva kořeny navzájem opačné. O správnosti výsledku bychom se mohli přesvědčit zkouškou. 5

6 Řešení ryze kvadratické rovnice () + 9 Př. : Z rovnice vyjádříme. 9 9 Na prvé straně rovnice je záporné číslo, které nemůže být druhou mocninou reálného čísla. Rovnice nemá reálné kořeny. Množina kořenů je prázdná. tomuto závěru jsme mohli dojít hned ze zadání: ; 9 > Součet nezáporného a kladného čísla se nerovná nule. 6

7 Řešení ryze kvadratické rovnice (3) Př. 3: Vydělíme koeficientem u. 1 1, { } Nebo jinak: Součin dvou čísel se rovná, právě když se aspoň jeden činitel rovná. Protože, musí být. Rovnice má jeden dvojnásobný kořen, a to nulu. 7

8 Řešení ryze kvadratické rovnice (4) a + c ; a a c c a a c a c a c > <... ± { } c a Obecný postup řešení ryze kvadratické rovnice je zřejmý. 8

9 Př. 4: Řešení kvadratické rovnice bez absolutního členu (1) ( 11 7) ; 11 Na levé straně rovnice můžeme vytknout neznámou. Součin dvou čísel se rovná, právě když se aspoň jeden činitel rovná. ořen nula dostáváme hned, druhý kořen najdeme prostřednictvím lineární rovnice. vadratická rovnice bez absolutního členu má vždy jeden kořen roven nule. 9

10 Řešení kvadratické rovnice bez a + b ; a ( a + b) 1 absolutního členu () a + b a b b a b ; a Obecný postup řešení ryze kvadratické rovnice je zřejmý. Jedním z kořenů kvadratické rovnice bez absolutního členu je číslo. 1

11 Řešení ryze kvadratické rovnice (4) 9 5 Vrátíme se k příkladu 1. ( 3) 5 Ryze kvadratickou rovnici lze rovněž řešit pomocí rozkladu v součin. ( )( ) ± 3 Levou stranu můžeme rozložit v součin podle vzorce: A B A B A + B ( )( ) Součin dvou čísel se rovná, právě když se aspoň jeden činitel rovná. ořeny kvadratické rovnice najdeme prostřednictvím řešení lineárních rovnic. 11

12 Př. 5: Řešení úplné kvadratické rovnice (1) ( + 1) 16 ( + 1) [( ) ][( ) ] ( )( ) { 3; 5} vadratický trojčlen na levé straně rovnice lze často rozložit v součin lineárních dvojčlenů. do tuto operaci zvládl, jistě náš trojčlen bez problémů rozloží. Ukážeme si univerzální postup. výrazu na levé straně rovnice přičteme a odečteme 1, abychom získali + + 1, což je druhá mocnina dvojčlenu. Dále postupujeme stejně jako v předešlém. 1

13 Řešení úplné kvadratické rovnice () Př. 6: Rozklad trojčlenu na levé straně je zřejmý: (+3)(+4). Ukážeme si řešení jako u př. 5. Upravíme podle vzorce: A + AB + B A + B, kde A, AB 7. ( ) 7 Z toho plyne, že B. Dále postupujeme stejným způsobem. 13

14 Řešení úplné kvadratické rovnice (3) ( + 3 )( + 4) { 3; 4} 14

15 Řešení úplné kvadratické rovnice (4) Př. 7: ( 3) + 1 Do třetice stejná situace? ( 3) ; 1 > Součet těchto dvou výrazů se nemůže rovnat nule. Rovnice nemá reálný kořen. 15

16 Řešení úplné kvadratické rovnice (5) Př. 8: ( +1) , { 1} Na levé straně rovnice je přímo vzorec (A + B). Druhá mocnina se rovná nule, právě když se její základ rovná nule. Tato kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný kořen. Proč dvojnásobný? ( ) ( )( ) Obě závorky jsou stejné, a proto určují stejný kořen. 16

17 Řešení úplné kvadratické rovnice (6) Vyřešili jsme několik příkladů kvadratických rovnic. Stejně můžeme postupovat pro obecné koeficienty a, b, c a odvodit vzorec pro kořeny libovolné kvadratické rovnice. a + b + c, pro a. b + D b D 1,, D b 4ac a a Číslo D se nazývá diskriminant kvadratické rovnice. Je vhodné jej vždy stanovit nejdříve. Na jeho hodnotě závisí počet kořenů rovnice. Vzorce pro 1, lze použít i při řešení neúplných kvadratických rovnic. Tento postup je však zbytečně pracný a zdlouhavý. 17

18 Řešení úplné kvadratické rovnice (7) Je-li D > má kvadratická rovnice dva různé reálné kořeny ( 1 ). Je-li D má kvadratická rovnice jeden reálný kořen (dvojnásobný, 1 ). Je-li D < nemá kvadratická rovnice reálné kořeny. Vyřešte všechny dosud uvedené příklady dosazením do vzorců. 18

19 Př. 9: a Řešení kvadratických rovnic podle 7 + 4, b 7, c D b 4ac 4 ( ) b ± D 1, a ( 7 ) ± 17 7 ± ; vzorců (1) Pro přehlednost můžeme vypsat hodnoty koeficientů. D > dva různé reálné kořeny Vypočítáme 1,. Číslo 17 nelze odmocnit. Necháme jej pod odmocninou. 19

20 Řešení kvadratických rovnic podle vzorců () Př. 1: a 1, b 14, c 49 D b 4ac ( ) 1, 14 b ± a 14 ± 1 ( ) 7 1 D,7 {,7} Vypočítáme diskriminant. D jeden dvojnásobný kořen Vypočítáme 1,.

21 Řešení kvadratických rovnic podle vzorců (3) 4 Př. 11: Diskriminant je záporný. a 3, b 4, c 5 D b 4ac Rovnice nemá reálné kořeny < 1

22 Př. 1: Řešení kvadratických rovnic podle ( + 1) a 1, b 7, c 6 D b 4ac 1, b ± a 7 D ± 5 1 vzorců (4) 5 1 1, 6 { 6 } + 1 Neznámá se vyskytuje ve jmenovatelích zlomků, proto musí být splněny podmínky:, 1 Vynásobením obou stran výrazem ( + 1) se zbavíme zlomků. První kořen nevyhovuje podmínkám. Rovnice má jen jeden kořen.

23 Příklady k procvičení (1): ± 4 8 ± 5 7 ± 4 { ±13} { ± 1} 3

24 Příklady k procvičení (): ( ) ( ) { ; 6} { ;17} { ; 3} { ;1} { ;,5} { ; 4} 4

25 Příklady k procvičení (3): { 1;} { 6; 5} { ; 5} { 5; 9} { 3; 7} { 11; 5} { 7} { 13} 5

26 Příklady k procvičení (4): ; 1 ; ; ; ; ; 9 6

27 Příklady k procvičení (5): ( ) ( ) ( ) ( ) 4 { } { 1} { 4;9} 5. ( 18) { 4} { } 7

28 Příklady k procvičení (5): { } ( ) { 3} ( ) 3 1.( ) ( ) 3.( 1) + 47 ( ) 3 ( 9) { 4;3} 13 3; 8 ;1; 6 { } 8