ALGEBRA I PRO INFORMATIKY

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY Uvod Tento text si klade za cl seznamit studenty informatiky s nejzakladnejsmi pojmy, koncepty a v neposledn rade i konkretnmi objekty, ktere jsou predmetem zkouman soucasne algebry. Vyber a usporadan teorie, kterou zde prezentujeme, je zvolen s ohledem na tri zakladn hlediska. Predevsm se snazme navazat na koncepty a zpusoby uvazovan, ktere jsou pro studenta informatiky prirozene, dale se v ramci velmi omezeneho prostoru pokousme demonstrovat nekolik elemntarnch algebraickych vysledku, ktere jsou uzitecne v informatickych aplikacch a konecne za nepominutelne povazujeme prstup, ktery muzeme neprlis presne oznacit jako kontextualn, a jmz mnme seznamen studenta s terminologickymi a historickymi kontexty soucasne algebry. Velmi zhruba receno je centralnm objektem zajmu algebry mnozina opatrena jistym systemem operac. Pritom nas mohou zajmat nejen strukturn vlastnosti takove mnoziny popsane podmnkami vyjadrene prave pomoc operac, nybrz i vztahy ruznych mnozin s podobnymi systemy operac ci vlastnosti trd takovych mnozin. Drve nez se zacneme systematicky zabyvat abstraktnmi uvahami o algebraickych objektech (ktere se budou zpravidla oprat o nejaky system axiomatickych pozadavku na operace), uvedeme nekolik motivacnch prkladu, ktere by nam pomohly usnadnit porozumen duvodum (at' uz praktickym tak historickym), proc prave tu ci onu vlastnost sledujeme. Tvrzen teto a nasledujc kapitoly budou bez dukazu vyuzvat zakladnch poznatku teorie csel, predevsm jednoznacnost (az na porad) ireducibilnho rozkladu a Euklidova algoritmu na nalezen nejvetsho spolecneho delitele. Prklad 0.1. Uvazujme mnozinu celych csel Z a na n obvykle operace sctan + a nasoben. Pro libovolne prirozene cslo n polozme nz = fn zj z 2 Zg. Nyn si muzeme vsimnout, ze je mnozina nz,,uzavrena"na obe uvazovane operace, tj. pro kazdou dvojici a; b 2 nz plat, ze a + b; a b 2 nz, tedy operace + a muzeme uvazovat take omezene na mnozine nz. Ackoli pro zadne n > 1 mnoziny nz a Z nesplyvaj, nelze pomoc vlastnost operace + obe mnoziny odlisit (tj. maj stejne,,algebraicke"vlastnosti vzhledem ke sctan), coz ozrejmme, zavedeme-li zobrazen f n : Z! nz predpisem f n (k) = kn. Zjevne se jedna o bijekci, ktera navc splnuje podmnku f n (a + b) = f n (a) + f n (b). Poznamenejme, ze takova vlastnost zobrazen nen nijak samozrejma, naprklad vzhledem k operaci nasoben f n obdobnou podmnku nesplnuje. Uvazme-li navc podmnku,,existuje prvek e tak, ze pro vsechny prvky a plat a e = a", pak je tato podmnka na mnozine Z splnena pro e = 1, zatmco na mnozine nz zjevne neplat. Prklad 0.2. V souladu se znacenm zavedenym na kurzu linearn algebry polozme Z n = f0; 1; : : : ; n 1g pro nejake cele cslo n > 1. Zaved'me na Z n operace + a predpisem a + b = (a + b)mod n a a b = (a b)mod n, kde mod n znamena zbytek Date : 20.12.2013. 1

2 ALGEBRA I PRO INFORMATIKY po celocselnem delen hodnotou n a v zavorce uvazujeme vzdy obvykle sctan a nasoben celych csel. Konecne denujme zobrazen F n : Z! Z n predpisem F n (k) = (k)mod n. Vsimneme si, ze tentokrat zobrazen F sice nen bijekce, ale obe operace sctan a nasoben,,prevad"na nove zavedene + a, tedy F n (a+b) = F n (a)+f n (b) i F n (a b) = F n (a) F n (b). Denice. Binarn operac na mnozine A budeme rozumet libovolne zobrazen A A! A (obvykle ji budeme zapisovat centralne). Mame-li binarn operaci na mnozine A, nejakou podmnozinu U mnoziny A a binarn operaci na mnozine B. Rekneme, ze U je uzavrena na operaci, jestlize pro vsechna x; y 2 U plat, ze x y 2 U, a zobrazen f : A! B nazveme slucitelne s operacemi a je-li pro vsechna x; y 2 A splnena rovnost f(x y) = f(x) f(y). Vsimneme si, ze zobrazen f n z 0.1 je slucitelne s operacemi + a nen slucitelne s operacemi, zatmco zobrazen F n z 0.2 je slucitelne s obema pary operac + i. Navc mnozina nz je uzavrena na operace + i. Pripomenme, ze relac na mnozine A rozumme libovolnou podmnozinu A A. Necht' je relace na A, oznacme: - 1 = f(b; a)j (a; b) 2 g (opacna relace), - + = f(a; b)j 9a = a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ; a n = b 2 A; (a i ; a i+1 ) 2 g (tranzitivn obal), - id = f(a; a)j a 2 Ag (identita). Rekneme, ze relace je - symetricka, jestlize 1, - reexivn, v prpade, ze id a - tranzitivn, pokud +. Ekvivalenc budeme nazyvat kazdou symetrickou, reexivn a tranzitivn relaci. Je-li ekvivalence na mnozine A, pripomenme, ze faktorem mnoziny (casto se take mluv o kvocientu) A podle ekvivalence jako mnozinu A= = f[a] j a 2 Ag, kde [a] = fb 2 Aj (a; b) 2 g jsou rozkladove trdy (kosety), tedy A= tvor rozklad mnoziny A. Naopak mame-li fb i j i 2 Ig rozklad mnoziny A, pak relace urcena podmnkou: (a; b) 2, 9i 2 I : a; b 2 B i je ekvivalenc a A= = fb i j i 2 Ig. Pro libovolne zobrazen : A! B je relace ker f = f(x; y) 2 A Aj (x) = (y)g ekvivalence. Prklad 0.3. Vezmeme prirozene cslo n 2 a oznacme (mod n) relaci na mnozine celych csel Z danou predpisem: a b (mod n) $ n=(a b). Nen tezke si uvedomit, ze se jedna o ekvivalenci (obvykle se j rka kongruence na Z). Navc si muzeme vsimnout jejho tesneho vztahu k zobrazen F n z 0.2, nebot' plat, ze a b (mod n), prave kdyz F n (a) = F n (b), tedy kongruence (mod n) je rovna prave ekvivalence ker F n. Teorie csel, tedy otazky delitelnosti na prirozenych (nebo celych cslech), je jednm z historickych zdroju algebraickych konceptu a terminologie. Drve nez zacneme pouzvat termn kongruence v mnohem obecnejs situaci, pripomenme si nekolik jednoduchych vlastnost, ktere kongruence na celych cslech ma: Poznamka 0.4. Pro kazde a; b; c; d 2 Z a k; n 2 N, kde n > 1, plat: (1) jestlize a b (mod n) a c d (mod n), pak a + c b + d (mod n), a c b d (mod n), a c b d (mod n) a a k b k (mod n),

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 3 (2) jestlize c 6= 0, pak a b (mod n), prave kdyz a c b c (mod cn), (3) jestlize NSD(c; n) = 1, pak a b (mod n), prave kdyz a c b c (mod n). Dukaz. (1) Predpokladame-li, ze n=(a b); (c d), pak n=(a b) + (c d) = (a + c) (b + d); n=(a b) (c d) = (a c) (b d); n=(a b) c + b (c d) = (a c) (b d) a posledn kongruenci dostaneme indukcnm pouzitm predchoz pro a = c a b = d. (2) a b (mod n), n=(a b), nc=(ac bc), ac bc (mod cn). (3) Prma implikace plyne okamzite z (1), protoze c c (mod n). Jakmile n=ac bc = (a b)c a c a n jsou nesoudelna csla, pak nutne n=(a b). Denice. Uvazujme na mnozine A binarn operaci a ekvivalenci. Rekneme, ze je slucitelna s operac, jestlize pro vsechny takove prvky a 1 ; a 2 ; b 1 ; b 2 2 A, pro nez a 1 b 1 a a 2 b 2 plat, ze (a 1 a 2 ) (b 1 b 2 ). V Poznamce 0.4 jsme tedy zjistili, ze je kongruence (mod n) slucitelna s obema operacemi + i. Prklad 0.5. Mejme kladna Q cela csla n 1 ; : : : ; n k a polozme n = n 1 n k. Zaved'me k nyn na kartezskem soucinu i=1 Z n i po slozkach operace + a : (a 1 ; a 2 ; : : : ; a k ) + (b 1 ; b 2 ; : : : ; b k ) = (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ; : : : ; a k + b k ) a (a 1 ; a 2 ; : : : ; a k ) (b 1 ; b 2 ; : : : ; b k ) = (a 1 b 1 ; a 2 b 2 ; : : : ; a k b k ) a denujme zobrazen G : Z! Q k i=1 Z n i predpisem G(a) = ((a)mod n 1 ; : : : ; (a)mod n k ) a stejnym predpisem zavedeme i zobrazen H : Z n! Q k i=1 Z n i. Obe zobrazen jsou opet slucitelna s + a. V nasledujc poznamce budeme uvazovat operace na kartezskych soucinech zavedene v Prkladu 0.5. Poznamka 0.6 ( Cnska veta o zbytcch). Necht' n 1 ; n 2 ; : : : ; n k jsou po Q dvou nesoudelna kladna cela csla a n = n 1 n 2 n k, potom zobrazen f : Z n! k i=1 Z n i dane predpisem f(x) = (x mod n 1 ; x mod n 2 ; : : : ; x mod n k ) je bijekce slucitelna s operac + a s operac. Dukaz. V Prkladu 0.5 jsme si uvedomili, ze je f zobrazen slucitelne s obema operacemi. Zbyva nahlednout, ze jde o bijekci. Protoze jsou Z n a Q k i=1 Z n i stejne velke konecne mnoziny, stac overit, ze je f proste. Necht' pro a b 2 Z n plat, ze f(a) = f(b). Potom f(b a) = 0, tedy n i =b a pro vsechna i = 1; : : : ; k. Protoze jsou n i po dvou nesoudelna a 0 b a n 1, mame i n=b a, tudz b = a. Uvedeny dukaz Cnske vety o zbytcch sice nen konstruktivn, nasledujc prklad ovsem ukazuje, ze hledat vzory zobrazen H nen tezke. Prklad 0.7. Uvedomme si, ze podle Cnske vety o zbytcch existuje prave jedno x 2 Z 35 spnujc kongruence x 2 (mod 5) a x 3 (mod 7). pokusme se ho najt. Nejprve si vsimneme, ze z prvn kongruence plyne, ze x = 5y + 2 pro vhodna y 2 Z a toto vyjadren dosadme do druhe kongruence a pomoc Poznamky 0.4 budeme kongruenci upravovat ekvivalentnmi upravami: 5y + 2 3 (mod 7), 5y 1 (mod 7), 3 5y 3 1 (mod 7), y 3 (mod 7): Poznamenejme, ze jsme v poslednm kroku vyuzili toho, ze umme najt,,inverz modulo 7"k cslu 5 jmz je 3). Hledanym resenm je tedy x = 5 3 + 2 = 17.

4 ALGEBRA I PRO INFORMATIKY Cnska veta o zbytcch nam umoznuje,,algebraicky"presne reprezentovat vets mnozinu Z n pomoc poctan v mensch mnozinach Z ni, coz je postup, ktery pri potrebe exaktnho poctan s velkymi csly lze pouzt. Denice. Zobrazen ' : N! N dane predpisem '(n) = jf0 < k < nj NSD(k; n) = 1gj nazveme Eulerovou funkc. Poznamka 0.8. Je-li p prvocslo a k kladne cele cslo, pak '(p k ) = (p 1) p k 1. Dukaz. Cslo mens nez p k je soudelne s p k prave tehdy, kdyz je nasobkem csla p. Kladnych nasobku csla p mensch nez p k je zrejme prave p k 1 1. To znamena, ze naopak kladnych csel nesoudelnych s p k mame '(p k ) = (p k 1) (p k 1 1) = p k p k 1 = (p 1)p k 1. Veta 0.9. Bud' p 1 < p 2 < < p k prvocsla a r 1 ; r 2 ; : : : ; r k kladna cela csla. Potom '( Q k i=1 pri i ) = Q k i=1 '(pri i ) = Q k i=1 (p i 1)p ri 1 i. Q k Dukaz. Polozme n = i=1 n i a Q zvolme libovolne a 2 Z n. Dale polozme n i = p ri i a k uvazujme zobrazen f : Z n! i=1 Z p r i z Poznamky 0.6. Protoze jsou n i 1 ; : : : ; n k nesoudelna csla, je Q f podle 0.6 Q bijekce. Nyn polozme (a 1 ; : : : ; a k ) = f(a). Abychom k overili rovnost '( i=1 pri i ) = k i=1 '(pri i ), stac nam nahlednout, ze NSD(a; n) = 1 prave tehdy, kdyz NSD(a i ; n i ) = 1 pro vsechna i = 1; : : : ; k, protoze ky i=1 '(n i ) = j ky i=1 fa 2 Z ni n f0gj NSD(a; n i ) = 1gj: Jestlize NSD(a; n) 6= 1, existuje prvocslo p, ktere del n, a dky jednoznacnosti prvocselneho rozkladu tudz existuje i, pro nez p del n i. Tedy bud' a i = 0 nebo p del a i, proto NSD(a i ; n i ) 6= 1. Naopak, jestlize NSD(a i ; n i ) 6= 1, pak existuje delitel c > 1 csel a i i n i, proto c del i a = a i + xn i i n = n 1 : : : n i : : : n k. i plyne okamzite z 0.8 Konecne rovnost Q k i=1 '(pri i ) = Q k i=1 (p i 1)p ri 1 1. Mnoziny s asociativn binarn operac Pripomenme, ze binarn operace na A je asociativn (resp. komutativn), plat-li pro vsechna x; y; z 2 A rovnost x (y z) = (x y) z (resp. x y = y x). Denice. Uvazujme binarn operac na mnozine A. Neutralnm prvkem operace rozumme takovy prvek e 2 A, ze g e = e g = g pro vsechna g 2 A. Poznamka 1.1. Kazda binarn operace ma nejvyse jeden neutraln prvek. Dukaz. Jsou-li e; f dva neutraln prvky, pak e = e f = f. Nasledujc prklad ukazuje, ze se v denici neutralnho prvku nemuzeme omezit jen na jednu ze dvou rovnost: Prklad 1.2. Je-li X aspon dvouprvkova mnozina a denujeme-li na X binarn operaci predpisem x y = x, je operace asociativn, ale X neobsahuje zadny neutraln prvek. Pritom dokonce kazdy prvek X splnuje prvn z rovnost, kterou je neutraln prvek denovan.

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 5 Denice. Necht' je binarn operace na mnozine S a 1 je jej neutraln prvek. Rekneme, ze prvek s 2 S je invertibiln, existuje-li takovy prvek s 1 2 S, ze s 1 s = s s 1 = 1. Prvek s 1 nazveme inverznm prvkem k prvku s. Denice. Mnozine G s binarn operac budeme rkat grupoid (a budeme psat G( )). O grupoidu G( ) rekneme, ze je: - pologrupa, je-li operace asociativn, - monoid, je-li operace asociativn a v G lez jej neutraln prvek, - grupa, je-li G( ) monoid, jehoz kazdy prvek je invertibiln, - komutativn grupa (nebo abelovska grupa), je-li G( ) grupa a je komutativn. V Prkladech 0.1 a 0.3 jsme pripomneli asociativn a komutativn operace + a na mnozine celych csel (a v Prkladech 0.2 a 0.5 jsme si uvedomili, ze asociativitu i komutativitu splnuj jimi indukovane operace na mnozinach Z n ). Jiste zde nen treba opakovat, jak vypadaj odpovdajc neutraln a invertibiln prvky. Uved'me jeste nekolik dobre znamych, ac mene elementarnch prkladu asociativnch binarnch operac. Prklad 1.3. (1) Necht' X je neprazdna mnozina psmen a M(X) je mnozina vsech slov, tj. vsech konecnych posloupnost psmen. Zaved'me na teto mnozine binarn operaci skladan : x 1 : : : x n y 1 : : : y m = x 1 : : : x n y 1 : : : y m a dale oznacme prazdne slovo. Snadno nahledneme, ze je operace asociativn (je-li X aspon dvouprvkova mnozina, pak operace nen komutativn) a plat, ze s = s = s pro kazde s 2 M(X), tedy M(X)( ) je tzv. slovn monoid. (2) Bud' X nejaka neprazdna mnozina a oznacme T (X) mnozinu vsech zobrazen mnoziny X do sebe. Potom T (X)() tvor (s operac skladan ) (tzv. transformacn) monoid. (3) Ctvercove matice M n (T ) nad telesem T stupne n spolu s nasobenm tvor monoid M n (T )( ) (neutralnm prvkem je zde jednotkova matice). (4) Z n ( ) je konecny komutativn monoid, ktery nen grupou, protoze prvek 0 nen invertibiln. Nestanovme-li jinak, bude v nasledujcm 1 oznacovat neutraln prvek operace (a 0 pro operaci +) a s 1 bude inverzn prvek k s vzhledem k operaci (a s bude inverz vzhledem k operaci +). Poznamka 1.4. Bud' S( ) monoid a a; b; c 2 S. Plat-li, ze a b = c a = 1, potom b = c je jednoznacne urceny inverzn prvek k prvku a. Dukaz. Stac overit, ze b = c. S vyuzitm asociativity poctejme: c = c 1 = c (a b) = (c a) b = 1 b = b. Prklad 1.5. Uvazujme transformacn monoid T (N) na mnozine vsech prirozenych csel a necht' (k) = 2k a (k) = [ k 2 ]. Pak = Id a 6= Id. Prvky a monoidu T (N) splnuj prave jednu z denitorickych rovnost invertibilnho prvku, invertibiln tedy nejsou (a podle 1.4 byt nemohou). Poznamka 1.6. Je-li S( ) monoid a s; t 2 S jeho invertibiln prvky, pak s t a s 1 jsou take invertibiln. Navc (s t) 1 = t 1 s 1 a (s 1 ) 1 = s. Dukaz. Protoze s s 1 = s 1 s = 1, je zrejme s 1 invertibiln a dky 1.4 mame (s 1 ) 1 = s. Nyn stac dokazat, ze je prvek t 1 s 1 inverzn k s t: (s t) (t 1 s 1 ) = s (t t 1 ) s 1 = s 1 s 1 = s s 1 = 1

6 ALGEBRA I PRO INFORMATIKY a symetricky (t 1 s 1 ) (s t) = t 1 (s 1 s) t = t 1 1 t = t 1 t = 1: Vsimneme si, ze jsme v predchoz uvaze dokazali, ze mnozina vsech invertibilnch prvku monoidu S( ) je uzavrena na operaci. Poznamka 1.7. Necht' S( ) je monoid a S mnozina vsech jeho invertibilnch prvku. Oznacme-li S restrikci j S S operace na mnozinu S S, pak S ( S ) je grupa. Dukaz. Podle 1.6 je mnozina S uzavrena na operaci, proto je j S S dobre denovana asociativn binarn operace na S. Protoze 1 1 = 1, lez neutraln prvek 1 v mnozine S. Konecne, S obsahuje inverzn prvky opet dky 1.6. Prklad 1.8. (1) Grupa invertibilnch prvku M(X)( ) obsahuje pouze neutraln prvek. (2) Grupu invertibilnch prvku transformacnho monoidu T (X)() tvor prave vsechny bijekce S(X) na mnozine X (mluvme o symetricke grupe nebo grupe permutac). (3) Grupu invertibilnch prvku monoidu ctvercovych matic M n (T )( ) stupne n tvor prave vsechny regularn matice stupne n (znacme je GL n (T )). (4) Ukazeme, ze Z n ( ) = f0 < a < nj NSD(a; n) = 1g. Jestlize a 2 Z n, existuj x 2 Z n a y 2 Z, pro nez ax + by = 1. Je-li s spolecny delitel csel a, n, pak s=(ax + ny) = 1, proto NSD(a; n) = 1. Necht' naopak NSD(a; n) = 1, potom dky Euklidovu algoritmu existuj x 2 Z n a y 2 Z, pro ktere ax + ny = 1, proto a 1 = xmod n, tudz a 2 Z n. Jednoduchym dusledkem tohoto pozorovan je fakt, ze jz nj = '(n). Denice. Podgrupou grupy G( ) budeme rozumet kazdou podmnozinu H mnoziny G, ktera je uzavrena na, obsahuje prvek 1 a pro jejz kazdy prvek h 2 H plat, ze h 1 2 H. Normaln podgrupa je podgrupa H grupy G splnujc navc podmnku g h g 1 2 H pro kazde g 2 G a h 2 H. Protoze podle 1.6 pro kazdy prvek g grupy G( ) plat, ze (g 1 ) 1 = g, mohli jsme normaln podgrupu H take ekvivalentne denovat take symetrickou podmnkou g 1 h g 2 H pro kazde g 2 G a h 2 H. Poznamka 1.9. Necht' G( ) je grupa, H a H i, i 2 I jej podgrupy. (1) H( ) tvor s operac omezenou na mnozinu H opet grupu, (2) T i2i H i je podgrupa grupy G( ), (3) jsou-li vsechny podgrupy H i normaln, pak je i podgrupa T i2i H i normaln, (4) je-li G( ) komutativn grupa, pak je podgrupa H vzdy normaln. Dukaz. (1) Plyne okamzite z denice podgrupy a vlastnost operace na G (srovnej s 1.6). T (2) 1 2 H i pro vsechna i 2 I podle, tedy 1 2 T i2i H i. Zvolme libovolne a; b 2 i2i H i. Potom T a b 2 H i pro kazde i 2 I dky uzavrenosti H i na operaci, tedy a b 2 i2i H i. Podobne podle denice a 1 2 H i pro kazde i 2 I, proto a 1 2 T i2i H i. (3) Zvolme h 2 T i2i H i a g 2 G. Pak g h g 1 2 H i pro vsechna i 2 I, a tudz g h g 1 2 T i2i H i.

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 7 (4) Dky komutativite binarn operace plat pro kazde g 2 G a h 2 H, ze g h g 1 = g g 1 h = h 2 H. Prklad 1.10. (1) Vsimneme si, ze v kazde grupe G( ) tvor mnoziny f1g a G (tzv. trivialn) prklady normalnch podgrup. (2) Uvazujme grupu permutac na mnozine f1; : : : ; ng, obvykle se znac S n () (viz take 1.8(2)). Snadno nahledneme, ze mnozina vsech sudych permutac A n je normaln podgrupou S n (). Navc lze (elementarnmi prostredky) dokazat, ze grupa S n () neobsahuje pro n 6= 4 jine normaln podgrupy nez fidg, S n a A n (v prpade S 4 se vyskytuje jeste jedna tzv. Kleinova normaln podgrupa K = fid; (12)(34); (13)(24); (14)(23)g). Uved'me alespon prklad zjevne podgrupy T = fid; (12)g grupy S 3, ktera nen normaln, protoze naprklad (13) (12) (13) 1 = (23) 62 T. (3) Protoze det(a B) = det(a) det(b), snadno spoctame, ze mnoziny S = fa 2 GL n (T )j det(a) = 1g a P = fa 2 GL n (T )j det(a) = 1g jsou normaln podgrupy grupy GL n (T )( ). (4) Uvazujeme-li komutativn grupu celych csel Z(+) (s neutralnm prvkem 0 a inverznmi prvky znacenymi standardne symbolem ), potom mnoziny tvaru nz = fn zj z 2 Zg jsou pro kazde nezaporne cele n podgrupou grupy Z(+) (viz 0.1). Naopak, uvazujme libovolnou nenulovou podgrupu P grupy Z(+). Protoze P obsahuje nejaky nenulovy prvek a s kazdym a 2 P je i a 2 P, lez v P jiste nejaky kladny prvek a my muzeme zvolit nejmens kladne cslo obsazene v P, oznacme ho n. Ukazme, ze nutne P = nz. Indukc dky uzavrenosti P na sctan nahledneme, ze 2n = n + n 2 P, 3n 2 P,..., kn 2 P,..., pro kazde prirozene k. Protoze n 2 P, dostaneme stejnym argumentem, ze nz P. Nyn zvolme libovolne a 2 P. Potom vydelme se zbytkem cslo a cslem n, t.j. najdeme cele q a nezaporne cele z < n, pro ktera a = qn + z. Z uzavrenosti P na + pouzite pro prvky a; qn 2 P plyne, ze z = a + ( qn) 2 P, a z minimality volby n dostavame, ze z = 0, tedy nz = P. Denice. Necht' H a K jsou dve podmnoziny grupy G( ) a g 2 G. Denujme mnoziny H K = fh kj h 2 H; k 2 Kg, gh = fggh a Hg = Hfgg. V prpade grup s operac budeme casto psat hk msto h k a HK msto H K. Prklad 1.11. (1) Mejme dve normaln podgrupy H a K grupy G( ). Pak pro kazde h 0 2 H a k 2 K existuje h 1 2 H, pro ktere k h 0 k 1 = h 1, tedy k h 0 = h 1 k a KH HK. Symetricky argument dokazuje i obracenou inkluzi, proto KH = HK. Nyn snadno nahledneme, ze je soucin HK rovnez podgrupou G( ): zrejme 1 = 1 1 2 HK a zvolme-li h 0 ; h 1 2 H a k 0 ; k 1 2 K, potom (h 0 k 0 ) 1 = k0 1 h0 1 2 KH = HK a dale existuje takove h 2 2 H, ze k 0 h 1 = h 2 k 0, proto h 0 k 0 h 1 k 1 = h 0 h 2 k 0 k 1 2 HK. Konecne vezmeme-li libovolne prvky g 2 G, h 2 H a k 2 K, pak plat g h k g 1 = (g h g 1 ) (g k g 1 ) 2 HK dky predpokladane normalite obou podgrup. Vidme, ze,,soucin"normalnch podgrup (naprklad tedy soucin libovolnych podgrup komutativn grupy) dava opet normaln podgrupu. Poznamenejme, ze soucin podgrup, ktere normaln nejsou, vubec nemus byt podgrupou (stac uvazit naprklad podgrupy H = fid; (12)g a K = fid; (13)g grupy S 3 ). (2) Uvazujeme-li komutativn grupu A(+) a H, K jej podgrupy, pak H + K = fh + kj h 2 H; k 2 Kg je podle predchozho pozorovan opet podgrupa. Specialne,

8 ALGEBRA I PRO INFORMATIKY vezmeme-li grupu celych csel Z(+), pak 30Z + 54Z = f30x + 54yj x; y 2 Zg = NSD(30; 54)Z = 6Z. Vsimneme si take, ze 30Z \ 54Z = fz 2 Zj 30=z; 54=zg = nsn(30; 54)Z = 270Z. Denice. Je-li H podgrupa G, denujme na G relaci rmod H (resp. lmod H) podmnkou: (a; b) 2 rmod H (resp. (a; b) 2 lmod H), a b 1 2 H (resp. a 1 b 2 H). Poznamka 1.12. Necht' G( ) je grupa a H jej podgrupa. Potom plat: (1) rmod H i lmod H jsou ekvivalence na G, (2) (a; b) 2 rmod H, (a 1 ; b 1 ) 2 lmod H pro kazde a; b 2 G, (3) jg=rmod Hj = jg=lmod Hj, (4) rmod H = lmod H, prave kdyz je H normaln podgrupa G( ), (5) [a] rmod H = Ha a [a] lmod H = ah pro kazde a 2 G, (6) j[a] rmod H j = j[a] lmod H j = jhj pro kazde a 2 G. Dukaz. (1) Tvrzen dokazeme jen o rmod H, pro lmod H bude dukaz symetricky. Podgrupa H obsahuje neutraln prvek 1, proto pro kazde a 2 G mame a a 1 = 1 2 H, tedy (a; a) 2 rmod H. Predpokladame-li, ze (a; b) 2 rmod H, pak a b 1 2 H, proto i b a 1 = (a b 1 ) 1 2 H (podle 1.4 a 1.6), tudz (b; a) 2 rmod H. Nyn predpokladejme, ze (a; b); (b; c) 2 rmod H, coz podle denice nas relace znamena, ze a b 1 ; b c 1 2 H. Z uzavrenosti H na binarn operaci plyne, ze (a b 1 ) (b c 1 ) 2 H, tedy a c 1 = a b 1 b c 1 2 H a (a; c) 2 rmod H. Tm jsme overili, ze je relace rmod H reexivn, symetricka a tranzitivn. (2) Dky 1.6 mame rovnost a b 1 = (a 1 ) 1 b 1, proto a b 1 2 H, (a 1 ) 1 b 1 2 H, cmz jsme dokoncili dukaz. (3) Podle (2) je zobrazen [a] rmod H! [a 1 ] lmod H korektne denovanou bijekc, tedy faktorove mnoziny G=rmod H a G=lmod H maj stejne prvku. (4) Predpokladejme, ze rmod H = lmod H a zvolme h 2 H a g 2 G. Potom (g h) 1 g = h 1 g 1 g = h 1 2 H, tedy (g h; g) 2 lmod H = rmod H. Z denice rmod H dostaneme g h g 1 2 H. Nyn predpokladejme, ze je H normaln podgrupa grupy G( ). Zvolme-li (a; b) 2 rmod H, vme, ze a b 1 2 H. Podle denice normaln podgrupy b 1 a = b 1 a b 1 (b 1 ) 1 2 H, tedy (b; a) 2 lmod H a dky (1) (a; b) 2 lmod H, cmz jsme overili, ze rmod H lmod H. Symetricky argument dokazuje obracenou implikaci. (5) Opet se budeme venovat jen ekvivalenci rmod H. Pouzijeme denici rozkladove trdy: [a] rmod H = fb 2 Aj (a; b) 2 rmod Hg = fb 2 Aj 9h 2 H : a b 1 = hg = = fb 2 Aj 9h 2 H : b = h 1 ag = fb 2 Aj 9h 0 2 H : b = h 0 ag = Ha: (6) Denujme zobrazen b : H! Ha (resp. H! ah) predpisem b(h) = h a (resp. b(h) = a h). Zrejme jde o zobrazen na Ha (resp. na ah) a predpokladejme, ze b(h 0 ) = b(h 1 ), tedy h 0 a = h 1 a. Tuto rovnost zprava (resp. zleva) prenasobme hodnotou a 1, abychom dostali h 0 = h 0 a a 1 = h 1 a a 1 = h 1. Tedy b je bijekce a vsechny mnoziny H, ah, Ha maj stejny pocet prvku. Nyn zbyva pouzt (5). Denice. Bud' H podgrupa grupy G( ). Potom cslu [G : H] = jg=rmod Hj (= jg=lmod Hj podle 1.12) budeme rkat index podgrupy H v grupe G a velikosti jgj mnoziny G budeme rkat rad grupy G.

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 9 Veta 1.13 (Lagrange). Je-li H podgrupa grupy G( ), pak jgj = [G : H] jhj. Dukaz. Podle 1.12(1) je rmod H ekvivalence, proto G = SA2G=rmod _ HA, kde sjednocujeme disjunktn mnoziny. Vyuzijeme-li dale poznatek 1.12(6), ktery rka, ze vsechny ekvivalencn trdy maj pocet prvku stejny jako mnozina H, pak dostavame X X jgj = j [A2G=rmod Aj = jaj = jhj = [G : H] jhj: H A2G=rmod H A2G=rmod H Dusledek 1.14. Je-li G( ) konecna grupa, potom rad kazde jej podgrupy del rad grupy G. Prklad 1.15. Z predchozho dusledku okamzite plynou nasledujc pozorovan: (1) Grupa prvocselneho radu obsahuje jen trivialn podgrupy, tedy G a f1g. (2) Protoze js 10 j = 10! a 11 nedel 10!, permutacn grupa radu S 10 () neobsahuje zadnou podgrupu radu 11. (3) Jsou-li H a K dve konecne podgrupy nejake grupy G( ) a plat-li, ze jsou rady H a K nesoudelne, pak H \ K = f1g. Veta 1.16. Necht' G( ) je grupa a relace na G. Pak je ekvivalence slucitelna s operac prave tehdy, kdyz H = [1] je normaln podgrupa G( ) a = rmod H (= lmod H). Dukaz. ()) Nejprve predpokladejme, ze je je ekvivalence slucitelna s operac. Protoze je reexivn relace, lez 1 v trde [1]. Zvolme a; b 2 [1] a g 2 G. Vidme, ze (1; a); (1; b) 2, navc, z reexivity plyne, ze (a 1 ; a 1 ); (g 1 ; g 1 ); (g; g) 2. Nyn vyuzijeme slucitelnosti s, abychom dostali, ze (1 1; a b) 2, dale ze (1 a 1 ; a a 1 ) 2 a (g 1 g 1 ; g a g 1 ) 2. Vyuzijeme-li vlastnost neutralnho prvku a symetrie, vidme, ze (1; a b); (1; a 1 ); (1; g a g 1 ) 2, tedy a b; a 1 ; g a g 1 2 [1], cmz mame overeno, ze je [1] normaln podgrupa G( ). Pripomenme, ze podle 1.12(4) rmod [1] = lmod [1]. Nyn bychom meli dokazat, ze (a; b) 2, prave kdyz (a; b) 2 lmod [1]. Jestlize nejprve (a; b) 2, potom (1; a 1 b) = (a 1 a; a 1 b) 2, protoze je ekvivalence slucitelna s, tedy (a; b) 2 lmod [1]. Naopak, zvolme-li (a; b) 2 lmod [1], pak (a; b) = (a 1; a a 1 b) 2. (() Predpokladejme, ze je H normaln podgrupa G( ) a denujme relaci jako rmod H (tj. (a; b) 2 $ a b 1 2 H). Podle 1.12(1) je ekvivalence a prmym vypoctem zjistme, ze [1] = H. Zvolme nyn (a 0 ; b 0 ); (a 1 ; b 1 ) 2, tj. a 0 b0 1 i a 1 b1 1 jsou prvky H. Nyn pouzijeme normalitu H, abychom dostali, ze b0 1 a 0 = b0 1 (a 0 b0 1 ) b 0 2 H. Uzavrenost H na zarucuje, ze b0 1 a 0 a 1 b1 1 2 H a dalsm vyuzitm normality zskame a 0 a 1 (b 0 b 1 ) 1 = b 0 (b0 1 a 0 a 1 b1 1 ) b 0 1 2 H, tedy (a 0 a 1 ; b 0 b 1 ) 2, cmz jsme overili slucitelnost s s operac. Vsimneme si, ze kongruence (mod n) na mnozine Z(+) popsana v Prkladu 0.3 je prave ekvivalenc rmodnz = lmodnz. Poznamka 1.17. Necht' G( ) a H( ) jsou grupy a f : G! H je zobrazen slucitelne s operac. Pak je f(1) = 1 a f(g 1 ) = (f(g)) 1 pro kazde g 2 G. Dukaz. Protoze f(1) = f(1 1) = f(1) f(1), stac rovnost f(1) = f(1) f(1) prenasobit prvkem f(1) 1, abychom dostali 1 = f(1) f(1) 1 = f(1) f(1) f(1) 1 =

10 ALGEBRA I PRO INFORMATIKY f(1). Dale 1 = f(1) = f(g 1 g) = f(g 1 ) f(g) a podobne 1 = f(g) f(g 1 ), proto f(g 1 ) = (f(g)) 1. Denice. Zobrazen f : G! H grup G( ) a H( ) slucitelne s jejich binarnmi operacemi se nazyva (grupovy) homomorsmus. Bijektivn homomorsmus budeme nazyvat izomorsmus. Podmnozine Kerf = fg 2 Gj f(g) = 1g i relaci ker f = f(g 1 ; g 2 ) 2 G Gj f(g 1 ) = f(g 2 )g budeme rkat jadro homomorsmu. Jestlize mezi dvema grupami G 1 a G 2 existuje izomorsmus, rkame, ze G 1 a G 2 jsou izomorfn a pseme G 1 = G2. Poznamka 1.18. Necht' G 1 ( ), G 2 ( ) a G 3 ( ) jsou grupy, f : G 1! G 2 a g : G 2! G 3 jsou homomorsmy a H podgrupa grupy G 2 ( ). (1) gf je take homomorsmus, (2) je-li f bijekce, pak f 1 je izomorsmus, (3) obraz g(h) je podgrupa G 3 ( ) a uplny vzor f 1 (H) je podgrupa G 1 ( ), (4) Kerf je normaln podgrupa G 1 ( ) a ker f = rmod Kerf = lmod Kerf, (5) ker f je ekvivalence slucitelna s operac na G 1, (6) f je prosty homomorsmus, prave kdyz Kerf = f1g a to nastava, prave kdyz ker f = id. Dukaz. (1) Je-li a; b 2 G 1, pak gf(a b) = g(f(a) f(b)) = g(f(a)) g(f(b)). (2) Stac overit, ze f 1 je homomorsmus. Zvolme-li c; d 2 G 2, potom f(f 1 (c) f 1 (d)) = c d, proto f 1 (c) f 1 (d) = f 1 (c d). (3) Nejprve ukazeme, ze je g(h) podgrupa G 3 ( ). Podle 1.17 je 1 = g(1) 2 g(h). Vezmeme u; v 2 g(h), tj. existuj c; d 2 H, pro ktera g(c) = u a g(d) = v. Protoze c d; c 1 2 H, dostavame prmo z denice, ze u v = g(c) g(d) = g(c d) 2 g(h), a u 1 = g(c) 1 = g(c 1 ) 2 g(h) podle 1.17. Poznamenejme, ze 1 2 f 1 (H) a zvolme a; b 2 f 1 (H), tj. f(a); f(b) 2 H. Potom opet f(a) f(b) = f(a b) 2 H, a f(a 1 ) = f(a) 1 2 H, tedy a b; a 1 2 f 1 (H), proto je f 1 (H) podgrupa. (4) Protoze f1g je podgrupa G 2 ( ) a Kerf = f 1 (f1g), je Kerf podgrupa podle (3). Vezmeme-li libovolne g 2 G 1 a h 2 Kerf, potom f(g h g 1 ) = f(g) f(h) f(g 1 ) = f(g) 1 f(g) 1 = 1; tedy g h g 1 2 Kerf. Zbyva si uvedomit, ze f(a) = f(b), f(a) f(b) 1 = 1, f(a b 1 ) = 1, a b 1 2 Kerf. (5) Plyne okamzite z (4) a 1.16. (6) Je-li f proste, pak existuje jediny vzor jednotky, tedy Kerf = f1g a jestlize ker f = id, pak je zrejme f proste. Konecne, jestlize Kerf = f1g, potom ker f = rmod Kerf = rmod f1g = id podle (4). Prklad 1.19. ze nasledujc dvojice prirozene denovanych zobrazen jsou grupove homomorsmy: (1) V ramci kurzu linearn algebry bylo dokazano, ze znamenko soucinu permutac je rovno soucinu jejich znamenek, tedy, ze sgn : S n! f1; 1g je homomorsmus grupp permutac na n prvcch a grupy f1; 1g( ). Snadno nahledneme, Ker sgn = A n, coz je podle 1.18 normaln podgrupa grupy S n. (2) Rovnez v linearn algebre se dokazuje, ze determinant det je homomorsmus z grupy regularnch matice n n nad telesem T do multiplikativn grupy telesa

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 11 T n f0g( ) je homomorsmus a tedy Ker det je dky 1.18 normaln podgrupa matice s determinantem 1. (3) Uvazujme pro kazde k 2 Z n na grupe Z n (+) zobrazen k : Z n! Z n dane predpisem k (a) = (k a)mod n. Potom se jedna opet o grupovy homomorsmus. Je-li G mnozina a ekvivalence na G, pak prirozenou projekci na faktorovou mnozinu G= rozumme zobrazen : G! G= dane podmnkou (g) = [g], kde g 2 G. Vsimneme si, ze ker =. Poznamka 1.20. Necht' G( ) je grupa a ekvivalence na G slucitelna s. Na faktorove mnozine G= denujeme operaci predpisem [a] [b] = [a b]. Tato denice je korektn, G=() je opet grupa a prirozena projekce je homomorsmus. Dukaz. Abychom overili korektnost denice, musme ukazat, ze denice nezavis na volbe zastupce ekvivalencnch trd. Mejme tedy [a] = [c] a [b] = [d], tj. (a; c); (b; d) 2. Potom dky slucitelnosti s operac mame (a b; c d) 2, proto [a b] = [c d]. Vezmeme-li [a] ; [b] ; [c] 2, pak prmo z denice vidme, ze [a] ([b] [c] ]) = [a (b c)] = [(a b) c] = ([a] [b] ) [c] ; tedy operace je asociativn. To, ze je neutralnm prvkem prave [1] a inverznm prvkem k prvku [a] prave prvek [a 1 ], dostaneme prmym vypoctem. Konecne (a b) = [a b] = [a] [b] = (a) (b) z denice. Grupu zavedenou na faktorove mnozine budeme nazyvat faktorovou grupou. Veta 1.16, ktera rka, ze kazde ekvivalenci slucitelne s binarn operac na grupe jednoznacne odpovda normaln podgrupa H = [1], nam umoznuje faktorovou mnozinu zapisovat ve tvaru G=H, tedy G=H := G=rmodH. Navc je bezne, ze se operace na faktorove grupe oznacuje stejne jako operace na puvodn grupe. Obvykly zapis faktorove grupy G=() bude tedy G=H( ), kde H = [1] a [a] [b] = [a b]. Podobne budeme prirozenou projekci G na G=H oznacovat symbolem H a msto [a] budeme psat [a] H = ah = Ha (posledn rovnosti plat podle 1.12(4) a (5)). Prklad 1.21. Uvazme-li na grupe Z(+) ekvivalenci (mod n) zavedenou v Prkladu 0.3, jedna se o ekvivalenci slucitelnou s operac + a [0] (mod n) = nz, tedy (mod n) = rmod nz a na faktorove mnozine Z=nZ = Z=( (mod n)) mame dobre zavedenu strukturu grupy Z=nZ(+) predpisem [a] (mod n) + [b] (mod n) = [a + b] (mod n). Veta 1.22 (Veta o homomorsmu). Bud' f : G 1! G 2 homomorsmus grup G 1 ( ) a G 2 ( ) a necht' H je normaln podgrupa G 1 ( ). Pak existuje homomorsmus g : G 1 =H! G 2 splnujc podmnku g H = f prave tehdy, kdyz H Kerf (tj. rmodh rmod Kerf). Navc, jestlize g existuje, je g izomorsmus, prave kdyz f je na a Kerf = H. Dukaz. Nejprve predpokladejme, ze existuje homomorsmus g : G 1 =H! G 2 splnujc g H = f, tedy g([a] H ) = f(a). Zvolme a 2 H. Pak [a] H = H = [1] H je neutraln prvek grupy G 1 =H( ), a proto f(a) = g([a] H ) = 1 podle 1.17. Tedy a 2 Kerf, cmz jsme overili, ze H Kerf. Naopak, necht' H Kerf. Musme overit, ze jedina mozna denice g dana predpisem g([a] H ) = f(a) je korektn. Vezmeme proto [a] H = [b] H. Potom a b 1 2

12 ALGEBRA I PRO INFORMATIKY H Kerf, tedy 1 = f(a b 1 ) = f(a) f(b) 1 podle 1.17, a proto f(a) = f(b). Konecne g([a] H [b] H ) = g([a b] H ) = f(a b) = f(a) f(b) = g([a] H ) g([b] H ); tedy g je homomorsmus. Zbyva overit zaverecnou ekvivalenci. Predne si uvedomme, ze g(g 1 =H) = f(g 1 ), tedy g je na, prave kdyz je f na. Necht' je g navc proste a zvolme a 2 Kerf. Pak g([a] H ) = f(a) = 1. Protoze g([1] H ) = g(h) = 1, plyne z prostoty g, ze [a] H = H, tedy a 2 H. Overili jsme, ze Kerf H, a protoze uz vme, ze H Kerf, mame rovnost H = Kerf. Konecne predpokladejme, ze g([a] H ) = g([b] H ). Potom f(a) = f(b) a a b 1 2 Kerf = H. Tudz (a; b) 2 rmodh a [a] H = [b] H, cmz jsme overili, ze je g proste. Veta 1.23 (1. veta o izomorsmu). Necht' f : G 1! G 2 homomorsmus grup G 1 ( ) a G 2 ( ). Pak f(g 1 ) je podgrupa G 2 (tedy opet grupa) a G 1 =Kerf( ) je izomorfn f(g 1 )( ). Dukaz. Z 1.18(3) dostavame, ze f(g 1 ) je podgrupa G 2. Omezme-li obor hodnot zobrazen f, muzeme ho chapat jako homomorsmus f : G 1! f(g 1 ). Nyn aplikujeme 1.22 pro H = Kerf a dostaneme prmo pozadovany izomorsmus g : G 1 =Kerf! f(g 1 ). Prklad 1.24. Mejme homomorsmus f n : Z! Z n grupy Z(+) do grupy Z n (+) s poctanm modulo n dany predpisem f n (k) = (k)mod n. Pak mame podle 1.23 izomorsmus Z=Ker f n (+) = Z n (+), navc je zjevne (a; b) 2 ker f n, prave kdyz n=(a b), a Ker f n = nz. Veta 1.25 (2. veta o izomorsmu). Necht' G( ) je grupa a H, K jej normaln podgrupy. Jestlize H K, pak K=H je normaln podgrupa grupy G=H( ) a faktorova grupa G=K( ) je izomorfn grupe (G=H)=(K=H)( ). Dukaz. Opet nejprve pouzijeme 1.22 pro homomorsmy K : G! G=K (jako f z 1.22) a H : G! G=H (jako H z 1.22). Protoze podle predpokladu H K = Ker K, dava nam 1.22 homomorsmus g : G=H! G=K splnujc vztah g([a] H ) = [a] K. Vsimneme si, ze je g zjevne na. Nyn prmocare spoctame Kerg = f[a] H 2 G=Hj g([a] H ) = [a] K = [1] K g = K=H. Poznamenejme, ze je Kerg = K=H normaln podgrupa G=H( ) podle 1.18(4). Nyn pro homomorsmus g vyuzijeme 1.23, abychom dostali G=K = g(g=h) = (G=H)=Kerg = (G=H)=(K=H). 2. Cyklicke grupy Pripomenme, ze podle 1.9(2) je prunik libovolneho systemu podgrup zase podgrupou. Uvazme-li grupu G( ) a podmnozinu X G, pak prunik vsech podgrup G( ) obsahujcch X je rovnez podgrupou obsahujc X, oznacme ho hxi, zjevne se jedna o nejmens takovou podgrupu vzhledem k inkluzi. Specialne budeme psat hgi msto hfggi, je-li g 2 G. Denice. Bud' G( ) grupa a X G. Podgrupu hxi nazveme podgrupu G( ) generovanou mnozinou X. Rekneme, ze G( ) je cyklicka grupa, existuje-li takovy prvek g 2 G, ze hgi = G.

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 13 Prklad 2.1. (1) Z(+) je cyklicka grupa, kde Z = h1i = h 1i. (2) Z n (+) je pro kazde prirozene n cyklicka grupa s operacemi denovanymi modulo n, kde Z n = hai, prave kdyz NSD(a; n) = 1. Necht' G( ) je grupa a 2 G. Denujme indukc: a 0 = 1, a n = a n 1 a pro kazde n > 0, a n = (a 1 ) n pro kazde n < 0. Poznamka 2.2. Necht' G( ) je grupa a a 2 G. Zobrazen : Z! G dane predpisem (n) = a n je homomorsmus grupy Z(+) do grupy G( ) a (Z) = hai = fa n j n 2 Zg. Dukaz. Potrebujeme pro kazdou dvojici m; n 2 Z overit, ze (n + m) = a n+m = a n a m = (n) (m). Pritom a n+m = a n a m zjevne plat pro obe nezaporna a obe zaporna m; n. Je-li n zaporne a m+n nezaporne, pak a n a m = (a 1 ) n a m = a n+m. Podobne pro n zaporne, m kladne a m + n zaporne mame a n a m = (a 1 ) n a m = (a 1 ) n m = a n+m. Zaverem poznamenejme, ze (Z) je prave tvaru (Z) = fa n j n 2 Zg, a proto se jedna o nejmens podgrupu G( ) obsahujc a. Dusledek 2.3. Necht' G( ) je grupa a a 2 G. Potom pro kazde n; m 2 Z plat, ze a n = (a n ) 1 a (a n ) m = a nm. Veta 2.4. Bud' G( ) cyklicka grupa. (1) Je-li G nekonecna, pak G( ) = Z(+). (2) Je-li n = jgj konecne, pak G( ) = Z n (+). Dukaz. Vezmeme nejaky generator g cyklicke grupy G( ), tedy hgi = G a denujme zobrazen : Z! G dane predpisem (n) = g n. Podle 2.2 jde o homomorsmus a (Z) = hgi = G, tedy je zobrazen na. Nyn podle 1.23 je Z=Ker(+) = G( ). Zbyva si rozmyslet, jak vypada Z=Ker. Z 1.10(4) vme, ze Ker = nz pro vhodne nezaporne cele n. V prpade, ze n = 0, pak Z=Ker = Z=f0g = Z, a v prpade kladneho n je Z=Ker = Z=nZ = Z n podle 1.24. Poznamka 2.5. Kazda faktorova grupa i podgrupa cyklicke grupy je opet cyklicka. Dukaz. Snadno nahledneme, ze je-li g generator cyklicke grupy G( ), pak [g] H je generator jej faktorove grupy G=H( ). Dky 2.4 stac tvrzen o podgrupach dokazat pro grupy Z(+) a Z n (+). Nejprve ho dokazme pro grupu Z(+). V 1.10(4) jsme overili, ze Z(+) jine podgrupy nez podgrupy tvaru nz neobsahuje. Pritom hni = nz je cyklicka grupa, cmz je tvrzen overeno. Nyn vyuzijeme homomorsmu f n : Z! Z n z 1.24. Zvolme-li podgrupu H grupy Z n (+), pak f n 1 (H) je podle predchoz uvahy a 1.18(3) cyklicka podgrupa Z, tedy H = f n (f n 1(H)) je cyklicka podgrupa Z n(+). Pripomenme, ze pro kazde prirozene k znacme kz = hki = fkzj z 2 Zg. Podobne budeme pro kazde k 2 Z n oznacovat kz n = hki = fk zj z 2 Z n g. Poznamka 2.6. Necht' n 2 N, a 2 Z n n f0g a k=n. Pak az n = kz n, prave kdyz NSD(a; n) = k.

14 ALGEBRA I PRO INFORMATIKY Dukaz. Nejprve predpokladejme, ze az n = kz n. Potom k 2 az n, tedy existuje cele x, pro ktere (a x)mod n = k. Proto take existuje takove cele y, ze a x + n y = k. Odtud plyne, ze NSD(a; n)=k. Podobne, protoze a 2 kz n existuj cela u a v, pro nez k u + n v = a, a protoze k=n, nutne mus k=a. Vidme, ze k=nsd(a; n), tudz NSD(a; n) = k. Nyn predpokladejme, ze NSD(a; n) = k. Potom dky Euklidovu algoritmu existuj x 2 Z n a cele y, pro nez a x + n y = k. Proto (a x)mod n = k, tudz k 2 az n a kz n az n. Konecne, protoze k=a, vidme, ze a 2 kz n, a proto az n kz n, coz znamena, ze kz n = az n. Uvedomme-li si, ze specialnm prpadem predchoz poznamky pro k = 1 je tvrzen, ze az n = Z n (tj. a generuje grupu Z n (+)), prave kdyz NSD(a; n) = 1, okamzite dostavame: Dusledek 2.7. Je-li n 2 N, pak cslo '(n) udava pocet prvku, ktere generuj grupu Z n (+) a pocet invertibilnch prvku monoidu Z n ( ). Poznamka 2.8. Bud' G( ) konecna grupa. Potom g jgj = 1 pro kazdy prvek g 2 G. Dukaz. hgi je cyklicka grupa radu n, tedy je podle 2.4 izomorfn Z n (+), proto g n = 1. Podle 1.13 n=jgj, tedy g jgj = (g n ) jgj jgj n = 1 n = 1, kde 1. rovnost plyne z 2.3. Veta 2.9. Necht' G( ) je konecna cyklicka grupa. Pak pro kazde prirozene k, ktere del rad grupy G, existuje prave jedna podgrupa grupy G radu k. Dukaz. K dukazu vyuzijeme charakterizace cyklickych grup 2.4, dky nemuz stac tvrzen dokazat pro (izomorfn) grupu Z n (+). Jestlize k = 1, je tvrzen trivialn, predpokladejme tedy, ze k > 1. Potom snadno nahledneme, ze mnozina h n k i = f0; n k ; 2 n k ; : : : ; (k 1) n k g je podgrupa a jh n k ij = k. Mejme nyn nejakou podgrupu H grupy Z n (+) radu k. Pak je H podle 2.5 cyklicka, a tedy existuje h 2 H, pro H = hhi. Z 2.8 plyne, ze (k h)mod n = 0, a proto k h = c n pro vhodne cele cslo c. Tedy h = c n k. Tm jsme overili, ze H je cast podgrupy h n k i. Protoze se jedna o dve konecne stejne velke mnoziny, dostavame, ze H = h n k i, cmz jsme overili jednoznacnost volby. Prklad 2.10. (1) Uvazujme konecnou cyklickou grupu G( ). Potom nam 2.7 rka, ze G( ) obsahuje prave '(jgj) generatoru. Protoze dky Lagrangeove vete rad podgrupy vzdy del rad grupy podle 2.9 G( ) pro kazdy delitel radu cyklicke grupy existuje prave jedna podgrupoa daneho radu, obsahuje G( ) prave tolik podgrup, kolik existuje delitelu jejho radu. Mame-li n = Q k i=1 pri i, kde p 1 < p 2 < < p k jsou prvocsla a r i 2 N, pak Q Q k delitely n jsou prave csla i=1 psi i, Q kde 0 s i r i, k tedy G( ) obsahuje prave i=1 (r k i +1) podgrup a podle 0.9 prave i=1 (p i 1)p ri 1 i generatoru. (2) Vezmeme cyklickou grupu Z 50 (+). Protoze 50 = 2 5 2, dostavame z bodu (1), ze Z 50 (+) obsahuje '(50) = 20 generatoru a prave 6 = 2 3 podgrup. Vezmeme-li naprklad podgrupu h42i grupy Z 50 (+) (a jine nez cyklicke podgrupy tato grupa podle 2.5 neobsahuje), pak dky 2.6 vme, ze h42i = hnsd(42; 50)i = h2i = 2Z 50, a jedna se tedy o podgrupu radu 25 = 50 2. Nasledujc tvrzen je pro prvocselne n znamo take jako Mala Fermatova veta:

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 15 Veta 2.11 (Eulerova veta). Pro nesoudelna kladna cela csla a; n > 1 je a '(n) 1 (mod n): Dukaz. Dky Poznamce 0.4 tvrzen stac dokazat pro kladne a < n. Pouzijeme k tomu Poznamku 2.8, kde jako grupu G vezmeme grupu invertibilnch prvku Z n ( ) monoidu Z n( ) tj. prvku nesoudelnych s n podle 2.7. Protoze a 2 Z n, je (a '(n) )mod n = (a jz n j )mod n = 1 dky 2.8 a 2.7. Poznamka 2.12. Bud' p a q dve ruzna licha prvocsla a m = nsn(p 1; q 1). Potom pro kazde a 2 Z pq a u 2 N plat, ze (a mu+1 )mod pq = a. Dukaz. Nejprve ukazeme, ze (a m+1 )mod pq = a. Podle Vety 2.11 (x m )mod p = 1 a (y m )mod q = 1 pro ta x, ktera nejsou nasobkem p a ta y, ktera nejsou nasobkem q. Dale zrejme plat ((up) m+1 )mod p = 0, a proto i (x m+1 )mod p = (x)mod p a (y m+1 )mod q = (y)mod q pro kazde nezaporne cele x a y. Vezmeme nyn a 2 Z pq. Z predchozho pozorovan plyne, ze ((a)mod p; (a)mod q) = ((a m+1 )mod p; (a m+1 )mod q), a dky Vete 0.6 pouzite pro bijekci Z pq! Z p Z q dostavame, ze shodne jsou i vzory prvku ((a)mod p; (a)mod q) a ((a m+1 )mod p; (a m+1 )mod q), tedy, ze (a m+1 )mod pq = a. Nyn indukc dky 2.3 dostavame, ze a um+1 = a (u 1)m a m+1 = a (u 1)m+1 = a pro kazde u 2 N a a 2 Z pq. Prklad 2.13 (Rivest, Shamir, Adleman). Opet zvolme p a q dve ruzna licha prvocsla a polozme m = nsn(p 1; q 1). Vezmeme e < m nesoudelne s m a pak (naprklad pomoc Euklidova algoritmu) najdeme takove d < m, ze (ed)mod m = 1. Nyn podle 2.12 pro kazde a 2 Z pq plat, ze (a e ) d = a ed = a um+1 = a (poctano v Z pq, tedy modulo pq). Pomoc vlastnosti csel p, q, m, d, e muzeme nyn popsat protokol asymetrickeho sifrovan znamy pod zkratkou RSA. Polozme-li n = p q, je verejnym klcem dvojice csel (n; e) a soukromy klc tvor tajny exponent d. Chceme-li informaci vyjadrenou posloupnost hodnot a 1 ; : : : ; a k 2 Z n adresovat majiteli soukromeho klce, stac ji zasifrovat pomoc mocnen verejne znamou hodnotou e v monoidu Z n ( ), tj. odeslat zpravu (a e 1 )mod pq; : : : ; (ae k )mod pq. K jejmu rozlusten stac umocnit v Z n( ) pomoc tajneho exponentu, protoze (a e i )d = a ed i = a i. Naopak, zverejnen-li majitel soukromeho klce zasifrovanou zpravu (a d 1 )mod n; : : : ; (ad k )mod n, mohou si prjemci zpravy stejnym zpusobem (tj. umocnenm na verejne znamy exponent e: ((a d 1 )e )mod n; : : : ; ((a d k )e )mod n = a 1 ; : : : ; a k ) overit, ze odesilatel zpravy opravdu zna tajny exponent (vlastnictv soukromeho klce tedy garantuje pravost elektronickeho podpisu). Poznamenejme, ze je ze znalosti n = pq a e obtzne najt d (odpovda to nalezen prvocselneho rozkladu csla n, coz je uloha, pro nz nen znam algoritmus polynomialn slozitosti), zatmco mocnen csel v Z pq je (i pro velke exponenty a velke pq) velmi snadne a rychle. Dukaz nasledujcho tvrzen o cyklickych grupach je elegantnejs, vyuzijeme-li jistych znalost z teorie polynomu nad obecnym telesem, proto ho provedeme az v prstm semestru: Veta 2.14. Necht' T (+; ) je komutativn teleso a necht' G je konecna podgrupa multiplikativn grupy T n f0g( ). Potom G je cyklicka grupa.

16 ALGEBRA I PRO INFORMATIKY Prklad 2.15. (1) Je-li p prvocslo, pak Z p je se sctanm a nasobenm modulo p teleso, proto je podle predchoz vety Z p ( ) cyklicka grupa radu p 1. Je-li p 1 = Q k i=1 psi i prvocselny rozklad, kde p 1 < p 2 < < p k a r i > 0, pak muzeme generatory a podgrupy Q grupy Z p ( ) poctat postupem Q Prkladu 2.10. Tedy Z p ( ) k obsahuje prave i=1 (p i 1)p ri 1 k i generatoru a i=1 (r i + 1) podgrup. (2) Z predchoz uvahy plyne, ze Z 53 ( ) je cyklicka grupa radu 52 = 22 13, proto ( ) obsahuje prave 2 12 = 24 generatoru a 3 2 = 6 podgrup. Z 53 3. Univerzaln pohled: pojem algebry Denice. Pro kazde cele n 0 nazveme n-arn operac na mnozine A kazde zobrazen A n! A (cslo n budeme nazyvat aritou nebo cetnost operace). Je-li I mnozina, budeme rkat zobrazen : I! N 0 = N [ f0g typ. Rekneme, ze A( i j i 2 I) je algebra typu, je-li A neprazdna a pro kazde i 2 I je i prave (i)-arn operac na A. 1-arn operace se obvykle nazyvaj unarnmi operacemi, 2-arnm operacm se rka binarn operace a 3-arn se nazyvaj ternarnmi operacemi. Vsimneme si, ze mnozina A 0 sestava prave z prazdne posloupnosti, tedy je jednoprvkova. Nularn operace tudz vyznacuje v algebre jeden jej prvek, a proto ji muzeme s tmto vyznacenym prvkem ztotoznit. Denice. Bud' n-arn operace na A. Rekneme, ze podmnozina B A je uzavrena na operaci, jestlize (a 1 ; : : : ; a n ) 2 B pro vsechna a 1 ; : : : ; a n 2 B. Rekneme, ze B A je podalgebra algebry A( i j i 2 I), je-li B uzavrena na vsechny operace i, i 2 I. Prklad 3.1. (1) Uvazme grupu G( ) s unarn operac inverznho prvku 1 a nularn operac 1. Pak G( ), G( ; 1 ), G( ; 1 ; 1) tvor (nejen formalne) ruzne algebery. Nahledneme, jak v jednotlivych prpadech vypadaj podalgebry: (a) Podalgebry G( ; 1 ; 1) jsou prave podmnoziny G uzavrene na 1 (tj. obsahujc prvek 1), na inverzy a souciny, coz jsou podle denice prave podgrupy grupy G( ). (b) Je-li H neprazdna podalgebra G( ; 1 ), pak existuje h 2 H, a proto 1 = h h 1 2 H. Tedy neprazdne podlagebry G( ; 1 ) jsou prave podgrupy G( ), navc prazdna mnozina je v souladu s denic take podalgebra. (c) Podalgeber algebry G( ) je obecne mnohem vc nez podgrup grupy G( ). Naprklad pro kazde g 2 G a n 2 N tvor mnozina fg k j k ng podalgebru G( ). V prpade G( ) = Z(+) to znamena, ze mnoziny fakj k ng jsou podalgebry, specialne mnozina vsech prirozenych csel, ktera podgrupou Z(+) urcite nen. (2) Je-li T teleso, pak je algebrou T(+; ) ci T(+; ; ; 0; 1), pro vektorovy prostor V nad T, je algebrou V (+; tjt 2 T). Vsimneme si, ze pro nekonecne teleso potrebujeme uvazovat na V (+; tjt 2 T) nekonecne mnoho unarnch operac. Podalgebrou algebry V (+; tjt 2 T) jsou prave podprostory tohoto vektoroveho prostoru a prazdna mnozina. Oznacme-li i = i j B n omezen n-arn operace i na B n, potom pro podalgebru B lez vsechny hodnoty zobrazen i opet v B. Zobrazen i tedy muzeme chapat

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 17 jako operace na mnozine B a tak dostavame strukturu algebry B( i j i 2 I) na kazde podalgebre B. Denice. Necht' symbol oznacuje n-arn operaci na mnozine A i B. Rekneme, ze zobrazen f : A! B je slucitelne s operac, jestlize f((a 1 ; : : : ; a n )) = (f(a 1 ); : : : ; f(a n )). Zobrazen f : A! B mezi dvema algebrami A( i j i 2 I) a B( i j i 2 I) stejneho typu budeme rkat homomorsmus, je-li slucitelne se vsemi operacemi i, i 2 I. Bijektivn homomorsmus budeme nazyvat izomorsmus. Prklad 3.2. (1) Bud' G i ( ) pro i = 1; 2 grupy s unarn operac inverznho prvku 1 a nularn operac 1. pak kazdy homomorsmus grup G 1 ( ) a G 2 ( ) je podle 1.17 homomorsmem algeber G 1 ( ) a G 2 ( ), G 1 ( ; 1 ) a G 2 ( 1 ) i G 1 ( ; 1 ; 1) a G 2 ( ; 1 ; 1) (2) Necht' U a V jsou dva vektorove prostory nad telesem T. Potom kazde linearn zobrazen (homomorsmus) vektorovych prostoru je homomorsmem algeber U(+; tjt 2 T ) a V (+; tjt 2 T ). (3) Oznacme M n (T ) mnozinu vsech ctvercovych matic nad telesem T a budiz symbolem nasoben matic. Potom zobrazen, ktere kazde matici prirad jej determinant, je homomorsmem algebry M n (T )( ) do T ( ) (poznamenejme, ze se jedna prave o monoidy). Denice. Necht' je ekvivalence a je n-arn operace na mnozine A. Rekneme, ze je slucitelna s, jestlize pro kazdy system prvku a 1 ; : : : ; a n ; b 1 : : : ; b n 2 A, pro ktere (a i ; b i ) 2, i = 1; : : : ; n, plat, ze ((a 1 ; : : : ; a n ); (b 1 ; : : : ; b n )) 2. Je-li A( i j i 2 I) algebra a ekvivalence na mnozine A, pak nazveme kongruenc, je-li slucitelna se vsemi operacemi i, i 2 I. Prklad 3.3. (1) id a A A jsou kongruence na libovolne algebre A. (2) Kazda ekvivalence je slucitelna s libovolnou nularn operac. (3) Ekvivalence slucitelna s operac na grupe G( ) je kongruenc algeber G( ), G( ; 1 ) a G( ; 1 ; 1). Pripomenme, ze je-li f : A! B zobrazen, rozumme jeho jadrem ker f relaci danou predpisem: (a; b) 2 ker f, f(a) = f(b). Nyn jsme pripraveni vyslovit obdobu Poznamky 1.18 pro obecne algebry: Poznamka 3.4. Necht' A 1 ( i j i 2 I), A 2 ( i j i 2 I) a A 3 ( i j i 2 I) jsou algebry stejneho typu, f : A 1! A 2 a g : A 2! A 3 jsou homomorsmy a B je podalgebra algebry A 2 ( ). (1) gf je take homomorsmus, (2) je-li f bijekce, pak f 1 je izomorsmus, (3) obraz g(b) je podalgebra algebry A 3 ( i j i 2 I) a uplny vzor f 1 (B) je podalgebra algebry A 1 ( i j i 2 I), (4) ker f je kongruence na algebre A 1 ( i j i 2 I). Dukaz. Dukaz je snadnym zobecnenm dukazu prslusnych bodu 1.18. (1) Je-li i n-arn operace na A 1, A 2 a A 3 a vezmeme-li a 1 ; : : : a n 2 A 1, pak gf( i (a 1 ; : : : a n )) = g( i (f(a 1 ); : : : f(a n ))) = i (gf(a 1 ); : : : gf(a n )). (2) Stac opet overit, ze f 1 je homomorsmus. Zvolme-li libovolne n-arn operaci i a prvky a 1 ; : : : a n 2 A 2, potom f( i (f 1 (a 1 ); : : : ; f 1 (a n ))) = i (a 1 ; : : : a n ), proto i (f 1 (a 1 ); : : : ; f 1 (a n )) = f 1 ( i (a 1 ; : : : a n )). (3) Necht' je opet i libovolna n-arn operace na A 2 i A 3. Vezmeme nejprve c 1 ; : : : c n 2 g(b), tj. existuj b 1 ; : : : b n 2 B, pro ktera g(b j ) = c j, j = 1; : : : ; n.

18 ALGEBRA I PRO INFORMATIKY Protoze i (b 1 ; : : : b n ) 2 B, dostavame bezprostredne z denice, ze i (c 1 ; : : : c n ) = i (g(b 1 ); : : : g(b n )) = g( i (b 1 ; : : : b n )) 2 g(b). Nyn zvolme a 1 ; : : : a n 2 f 1 (B), tj. f(a j ) 2 B. Potom f( i (a 1 ; : : : a n )) = i (f(a 1 ); : : : f(a n )) 2 B. (4) Vezmeme n-arn operaci i na A 1 a A 2 a prvky a 1 ; : : : a n ; b 1 ; : : : b n 2 A 1, o nichz vme, ze (a j ; b j ) 2 ker f, tedy f(a j ) = f(b j ), pro kazde j = 1 : : : n. Potom z denice homomorsmu dostaneme rovnost f( i (a 1 ; : : : a n )) = i (f(a 1 ); : : : f(a n )) = i (f(b 1 ); : : : f(b n )) = f( i (b 1 ; : : : b n )); cmz jsme overili, ze ( i (a 1 ; : : : a n ); i (b 1 ; : : : b n )) 2 ker f. Ze se jedna o ekvivalenci je snadne cvicen. Poznamka 3.5. Necht' A( i j i 2 I) je algebra a A j jsou podalgebry A a j kongruence na A pro kazde j 2 J. (1) T j2j A j je podalgebra A, (2) T j2j j je kongruence na A. Dukaz. (1) Obdoba Poznamky 1.9(2). Necht' i je libovolna n-arn operace na A a a 1 ; : : : a n 2 T j2j A j. Protoze T j2j A j A k pro kazde k 2 J a A k je podalgebra A( i j i 2 I) mame i (a 1 ; : : : a n ) 2 A k, tedy i (a 1 ; : : : a n ) 2 T j2j A j. (2) Protoze id j pro vsechna j 2 J, mame id T j2j j, tedy relace T j2j j je reexivn. Je-li (a; b) 2 T j2j j, mame (a; b) 2 j, ze symetrie potom j i (b; a) 2 j pro vsechna j 2 J, tudz (b; a) 2 T j2j j. Konecne plat-li, ze (a; b); (b; c) 2 T j2j j, pak tranzitivita jednotlivych relac j, ktere vsechny obsahuj prunik T j2j j implikuje, ze (a; c) 2 j, a proto (a; c) 2 T j2j j. Mejme i nejakou n-arn operaci na A a vezmeme prvky a 1 ; : : : a n ; b 1 ; : : : b n 2 A, pro nez plat, ze (a k ; b k ) 2 T j2j j ( j pro vsechna j 2 J). Potom pro vsechna j 2 J mame ( i (a 1 ; : : : a n ); i (b 1 ; : : : b n )) 2 j, tedy ( i (a 1 ; : : : a n ); i (b 1 ; : : : b n )) 2 T j2j j. Denice. Necht' je A mnozina a C P(A) je nejaky system podmnozin mnoziny A. Rekneme, ze C je uzaverovym systemem nad A, pokud (1) A 2 C, (2) pro kazdy podsystem fb i j i 2 Ig C, je T fb i j i 2 Ig 2 C. Dusledek 3.6. Necht' A( i j i 2 I) je algebra. Pak vsechny podalgebry algebry A( i j i 2 I) tvor uzaverovy system na A a vsechny kongruence na algebre A( i j i 2 I) tvor uzaverovy system na A A. Prklad 3.7. Vsechny uzaverove systemy nad mnozinou A tvor uzaverovy system nad P(A). Zrejme P(A) obsahuje A a je uzavrene na libovolne pruniky, tedy jde o uzaverovy system. Uvazme-li prunik mnoziny uzaverovych systemu na A, pak i ten mus obsahovat A (vsechny uzaverove systemy obsahuj A) a rovnez mus obsahovat prunik kazdeho podsystemu, nebot' tato podmnka plat o vsech uzaverovych systemech. V prpade, ze nemuze dojt k omylu nebo jednotlive operace na algebre nepotrebujeme explicitne uvazovat, budeme v nasledujcm oznacovat algebru jen jej nosnou mnozinou. Nyn zobecnme denici ze zacatku 2.kapitoly. Vsimneme si, ze pojem muzeme zavest pro kazdy uzaverovy system.