1 Soustavy lineárních rovnic
|
|
- Tomáš Vítek
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem T ): a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... (1) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Se soustavou (1) jsou spojeny následující dvě matice. Matice soustavy A: A = Rozšířená matice soustavy A : A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m Poznámka. Pro označení rozšířené matice používáme i jiné symboly než A. Například Aroz Maticový zápis soustavy Užitím uvedených matic můžeme soustavu (1) zapsat ve tvaru x 1 x n A u = b, x 2 kde u =. je vektor neznámých a b 2 b = je vektor pravých stran rovnic. soustavy. Tyto vektory můžeme chápat také jako matice, pak použijeme zápis A X = B, 1 b 1 b m
2 kde X = u a B = b. Často je výhodné hledět na soustavu (1) jako na lineární kombinaci sloupcových vektorů matice A: a 11 a 21 x 1. a m1 + x 2 Což stručněji zapíšeme ve tvaru: a 12 a 22. a m x n a 1n a 2n. a mn x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b. = b 1 b 2. b m. (2) Podle vektoru pravých stran b rozlišujeme soustavy (1) na dva typy: 1) Homogenní soustavy pro b = o =(0, 0,..., 0) 2) Nehomogenní soustavy pro b o 1.2 Řešitelnost soustavy Zajímá nás, jak poznáme, zda má soustava řešení a kolik různých řešení může mít. Věta 1.1 (Frobeniova věta). Soustava m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem T má aspoň jedno řešení právě tehdy, když hodnost matice této soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. h(a) =h(a ). Důkaz. Frobeniova věta má formu ekvivalence. Můžeme ji schematicky vyjádřit takto: aspoň jedno řešení h(a) =h(a ). Dokazujeme tedy příslušné dvě implikace: (1) aspoň jedno řešení h(a) =h(a ) aspoň jedno řešení ex. x 1,x 2,..., x n tak, že x 1 a 1 +x 2 a x n a n = b b je lineární kombinací vektorů a 1, a 2,..., a n. Potom se jeho přidáním k matici tvořené vektory a 1, a 2,..., a n nemůže zvýšit její hodnost, tj. h(a) =h(a ). Symbolicky zapsáno: [a 1, a 2,..., a n ]=[a 1, a 2,..., a n,b] h(a) =h(a ). 1 1 Zápisem [ u 1, u 2,..., u n ]rozumímetzv.lineární obal množiny vektorů u 1, u 2,..., u n,cožje množina všech lineárních kombinací těchto vektorů. Více v partiích věnovaných pojmu Vektorový prostor. 2
3 (2) h(a) =h(a ) aspoň jedno řešení h(a) =h(a ) b je lineární kombinací vektorů a 1, a 2,..., a n existuje řešení x 1,x 2,..., x n Příklad 1. Zjistěte, zda je řešitelná tato soustava x 1 3x 2 +2x 3 =1 2x 1 3x 2 x 3 +5x 4 = 7 3x 1 7x 2 + x 3 5x 4 = 6 x 2 x 3 x 4 = 1 Poznámka. Řešení soustavy lineárních rovnic může dopadnout trojím způsobem. Buď má právě jedno řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení a nebo řešení nemá. Jiná možnost není. Jak to dopadne, poznáme už při ověřování platnosti Frobeniovy podmínky takto: (i) h(a) =h(a )=n... soustava má právě jedno řešení (tj. jednu uspořádanou n tici), (ii) h(a) =h(a ) <n... soustava má nekonečně mnoho řešení, (iii) h(a) h(a )... soustava nemá řešení Cvičení 1. Rozhodněte o řešitelnosti daných soustav. U každé z nich rozhodněte, zda má právě jedno řešení, nekonečně mnoho řešení, či zda nemá žádné řešení. Své tvrzení zdůvodněte. a) 2x y + z =1 x +2y z =3 b) 3x + y z =1 x y +2z =0 c) x + y z =2 2x y +3z =1 4x +3y z =7, x +3y 5z =2, x + y +2z =4. 3
4 1.3 Množiny řešení soustav lineárních rovnic Příklad 2. Určete množiny bodů, které jsou společné rovinám α, β, γ, které jsou dány obecnými rovnicemi: a) α :3x + y z 7=0 β : x +2y 5z 15 = 0 b) α : x + y + z 5=0 β :3x 2y + z 3=0 γ :3x +5y +2z 9=0, γ :4x y +2z 10 = 0, c) α : x +2y + z 1=0 β :3x z 6=0 d) α : x 2y + z 1=0 β :2x 4y +2z 2=0 γ :7x 4y 5z 16 = 0, γ : 5x +10y 5z +5=0. NEHOMOGENNÍ SOUSTAVY Množina všech řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic je BODOVÝ PROSTOR. Prvky bodového prostoru (definice bude uvedena později, viz Pech: AGLÚ/str Def. 2.1) nazýváme body. Každý bod, který je řešením nehomogenní soustavy, se dá vyjádřit jako součet jednoho konkrétního bodu a lineární kombinace vektorů (které jsou řešením příslušné homogenní soustavy). Příklad 3. Určete množiny bodů, které jsou společné rovinám α, β, γ, které jsou dány obecnými rovnicemi: a) α :3x + y z =0 β : x +2y 5z =0 b) α : x + y + z =0 β :3x 2y + z =0 γ :3x +5y +2z =0, γ :4x y +2z =0, c) α : x +2y + z =0 β :3x z =0 d) α : x 2y + z =0 β :2x 4y +2z =0 γ :7x 4y 5z =0, γ : 5x +10y 5z =0. HOMOGENNÍ SOUSTAVY Množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic je VEKTOROVÝ PROSTOR. 4
5 Prvky vektorového prostoru (definice bude uvedena později, viz Pech: AGLÚ/str. 8 - Def. 1.1) nazýváme vektory. Každý vektor se dá vyjádřit jako lineární kombinace skupiny vektorů z téhož prostoru, kterou nazýváme systém (množina) generátorů daného vektorového prostoru. Dimenze vektorového prostoru je číslo, které udává počet lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineární kombinací mohu vytvořit každý vektor uvažovaného prostoru. Systém generátorů v.p., který je tvořen lineárně nezávislými vektory se nazývá báze vektorového prostoru. Dimenze je tak rovna počtu vektorů báze daného vektorového prostoru. Příklad 4. Bod (počátek) má dimenzi 0, přímka dimenzi 1, rovina dimenzi 2 a prostor má dimenzi 3. Zdůvodněte tato tvrzení. Příklad 5. Řešte dané dané dvojice homogenních a nehomogenních soustav lineárních rovnic. Každé řešení náležitě zapište, geometricky interpretujte a rozhodněte, zda se jedná o bodový či vektorový prostor, určete jeho dimenzi. a) x +2y =0, x+2y =5, b) x +2y =0 x + y =0, x +2y =3 x + y = 1, c) x 3y +2z =0, x 3y +2z =1, d) x 3y +2z =0 2x + y z =0, e) x +2y + z =0 x + y +2z =0, x 3y +2z = 1 2x + y z =0, x +2y + z =7 x + y +2z =12. 5
6 1.4 Homogenní soustava m lineárních rovnic o n neznámých Homogenní soustavou rozumíme soustavu rovnic, které mají na pravých stranách výhradně nuly. Pro takovou soustavu je vždy splněna Frobeniova podmínka. Homogenní soustava má tedy vždy řešení. Pokud je její matice regulární, tj. h(a) =n, má jediné - triviální - řešení, kterým je uspořádaná n tice tvořená samými nulami. Pokud je matice soustavy singulární, tj. h(a) <n,má homogenní soustava nekonečně mnoho řešení. Tímto případem se teď budeme zabývat. Příklad 6. Řešte homogenní soustavu x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0 x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 7x 4 = 0 x 1 + 4x 2 + 7x x 4 = 0 (3) Poznámka. Dvě soustavy A u = o, B u = o jsou ekvivalentní právě když řádkové vektory matic A, B generují stejný podprostor. Ekvivalentní úpravy soustavy rovnic totiž odpovídají ekvivalentním úpravám odpovídající matice prováděným na jejích řádcích. Řešení: Množina řešení dané homogenní soustavy: W A = {(s +2t, 2s 3t, s, t); s, t R}, Množina W A je podprostorem vektorového prostoru R 4. Můžeme ji zapsat jako lineární obal dvou nezávislých vektorů: W A =[{(1, 2, 1, 0), (2, 3, 0, 1)}] R 4. Dimenze W A je potom dimw A =2. Věta 1.2. Nechť je dána homogenní soustava m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem R anechťmaticea této soustavy má hodnost h(a). Potom množina W A všech řešení této soustavy je podprostor aritmetického vektorového prostoru R n amádimenzin h(a), tj. dimw A = n h(a). 6
7 Důkaz. 1 (1) Nejprve dokážeme, že W A je podprostorem R n : Využijeme následující vlastnosti maticových operací (A, B, C jsou matice, r R) spolu s větou o určení podprostoru 2 : (i) A(B + C) =AB + AC, (ii) (ra)b = rab = r(ab). I. u, v W A ; Au = o, Av = o Au + Av = o A(u + v) =o u + v W A. II. u W A,α R; Au = o α(au) =o A(αu) =o αu W A. (2) Teď dokážeme, že dimw A = n h(a). Důkaz naznačíme pro případ n =3. Možnost zobecnění bude zřejmá. Využijeme větu o vztahu dimenzí jádra a obrazu homomorfismu. Tu sice ještě nemáme dokázanou, ale to napravíme během tohoto semestru. Uvažujme homomorfismus f(x 1,x 2,x 3 )=(a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3,a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 ). ProjehojádroKerf a obraz Imf zřejmě platí: Kerf = W A, Imf =[{(a 11,a 21,a 31 ), (a 12,a 22,a 32 ), (a 13,a 23,a 33 )}], kde dimenze obrazu odpovídá hodnosti matice soustavy A, tj. dim Imf = h(a). Potom, podle zmíněné věty, kterou si teprve dokážeme, platí dim Kerf =dimv dim Imf. (4) Dimenze vektorového prostoru neznámých x 1,x 2,x 3 soustavy je v případě uvedeného homomorfismu rovna 3, obecně pak n. Po dosazení Kerf = W A, dim Imf = h(a) adimv = n do 4 dostaneme dim W A = n h(a) (5) 1 K tomuto důkazu nemáme zatím vytvořen odpovídající pojmový aparát. Až se tak stane, vrátíme se k němu. 2 Neprázdná podmnožina W vektorového prostoru V je podprostorem prostoru V, právě když platí: (1) u, v W ; u + v W, (2) a T, u W ; a u W. 7
8 1.4.1 Vytvoření báze vektorového prostoru všech řešení homogenní soustavy Vraťme se k řešení příkladu 6. Viděli jsme, že si ho můžeme zapsat tvaru W A =[{(1, 2, 1, 0), (2, 3, 0, 1)}]. V této kapitole si na příkladech ukážeme, jak se dají přímo najít vektory báze podprostoru W A. Postup řešení Příkladu 6: 1. Určíme tzv. základní neznámé Provedeme Gaussovu eliminaci matice soustavy: [ ] Neznámé, které odpovídají prvním nenulovým prvkům na každém řádku matice v Gaussově tvaru (viz podtržení), nazveme základní neznámé. V našem případě se jedná o x 1 a x 2. Vzhledem k těmto neznámým pak řešíme soustavu, když zbývající neznámé ( nezákladní nebo též volné neznámé) nahradíme reálnými parametry. V našem konkrétním případě tedy základní nezn. : x 1,x 2 ; volné nezn. : x 3 = s, x 4 = t; s, t R. Odpovídající soustava má potom tvar x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 0 (6) 2. Vypočítáme dimenzi prostoru řešení W A dim W A = n h(a) =4 2=2 3. Hledáme dvě nezávislá řešení b 1, b 2 tvořící bázi W A Vektory b 1, b 2 nejprve volíme takto: b1 =(x 1,x 2, 1, 0), b2 =(y 1,y 2, 0, 1). Potom je dosadíme do soustavy (6) a dopočítáme příslušné hodnoty x 1,x 2,y 1, y 2 : b1 =(1, 2, 1, 0), b2 =(2, 3, 0, 1). 8
9 Obecné řešení x homogenní soustavy (6) pak můžeme zapsat jako lineární kombinaci vektorů b 1, b 2 : x = s(1, 2, 1, 0) + t(2, 3, 0, 1); s, t R. Příklad 7. Řešte následující homogenní soustavu lineárních rovnic a určete bázi vektorového prostoru všech řešení této soustavy: x 1 2x 2 x 3 + 2x 4 + 5x 5 =0 3x 1 6x 2 2x 3 + x 4 + 3x 5 =0 2x 1 + 4x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 =0 (7) Řešení: W A =[{(2, 1, 0, 0, 0), (3, 0, 5, 1, 0), (7, 0, 12, 0, 1)}] Obecné řešení můžeme zapsat ve tvaru x = r(2, 1, 0, 0, 0) + s(3, 0, 5, 1, 0) + t(7, 0, 12, 0, 1); r, s, t R. (8) Poznámka. Z tvrzení věty 1.2 plynou jasné závěry o počtu řešení homogenní soustavy lineárních rovnic. Je zřejmé, že hodnost matice A je vždy menší nebo rovna dimenzi n prostoru neznámých (počtu neznámých). Uvažujme nejprve h(a) =n. Po dosazení do vztahu dim W A = n h(a) dostaneme pro dimenzi prostoru řešení soustavy dim W A =0. Jedná se tedy o triviální podprostor obsahující jediné - triviální (nulové) řešení soustavy. Pro h(a) <npak dostaneme dim W A 0. Prostor řešení obsahuje tedy nekonečně mnoho prvků - soustava má nekonečně mnoho řešení soustavy. 1.5 Nehomogenní soustava m lineárních rovnic o n neznámých Zajímají nás zde hlavně neregulární soustavy, tj. soustavy, které mají nekonečně mnoho řešení. Ukážeme si, jak spolu souvisí řešení takové nehomogenní soustavy s řešením jí odpovídající soustavy homogenní. Začneme příkladem soustavy, která se, až na pravé strany, shoduje s homogenní soustavou (7) z příkladu 7. Příklad 8. Řešte následující soustavu lineárních rovnic: x 1 2x 2 x 3 + 2x 4 + 5x 5 =8 3x 1 6x 2 2x 3 + x 4 + 3x 5 =2 2x 1 + 4x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 =6 (9) 9
10 Řešení: Řešení M = {( k +3l +7m, k, l +12m, l, m)} můžeme přepsat do tvaru, v němž je patrné řešení (8) příslušné homogenní soustavy (7): M = {( 14, 0, 22, 0, 0) + k(2, 1, 0, 0, 0) + l(3, 0, 5, 1, 0) + m(7, 0, 12, 0, 1)} Věta 1.3 (Řešení nehomogenní soustavy). Nechť v je libovolné řešení nehomogenní soustavy A x = b a W A je vektorový prostor všech řešení odpovídající homogenní soustavy A x = o. Pak pro množinu M všech řešení soustavy A x = b platí: M = { v + u; u W A }. Poznámka. Věta 1.3 nám jinými slovy říká, že všechna řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic jsou určena součtem jednoho konkrétního řešení této soustavy a všech řešení příslušné homogenní soustavy. Důkaz. (1) { v + u} M; A( v + u) =A v + A u = A v + o = A v = b (2) M { v + u}; A w = b, A v = b A( w v) = o existuje u = w v W A tak, že A w = A( v + u) = b. Závěr: Při řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic s nekonečně mnoha řešeními (tj. h(a) =h(a ) <n) můžeme postupovat takto: 1. Vyřešíme příslušnou homogenní soustavu rovnic. Její obecné řešení označme x. 2. Najdeme jedno konkrétní řešení dané nehomogenní soustavy. Označme ho v. 3. Množinu M všech řešení dané nehomogenní soustavy vyjádříme jako součet jejího jednoho konkrétního řešení a obecného řešení příslušné homogenní soustavy: M = v + x Poznámka. Množina všech řešení nehomogenní soustavy netvoří vektorový prostor (neobsahuje nulový vektor). Jedná se o tzv. lineární množinu. Později si ukážeme, že se jedná o afinní bodový podprostor. 10
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1
Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
7 Ortogonální a ortonormální vektory
7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení
VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně)
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ107/2200/280141 Soustavy lineárních rovnic Michal Botur Přednáška 4 KAG/DLA1M: Lineární
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18
6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Vektorové prostory R ( n 1,2,3)
n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT 2 0 1 7 Obsah 1 Vektorové prostory 2 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 2 2 Generování podprostor u............................
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.
ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2
Lineární algebra Eva Ondráčková
Lineární algebra Eva Ondráčková Vektorové prostory Mnozízvásužsenejspíšsetkalispojmemvektor.Ukážemesi,ževektorynejsoujen množiny orientovaných úseček v rovině či trojrozměrném prostoru, ale něco zajímavějšího,
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Výběr báze. u n. a 1 u 1
Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky
z textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
10. Vektorové podprostory
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................