Model rezonanční desky koncertního klavíru Tippner J., Koňas P. Abstrakt Obsahem práce je sestavení obecného parametrického modelu rezonanční desky koncertního klavíru v prostředí software ANSYS. Parametrizace pomocí APDL je provedena v plném rozsahu popisu geometrie prvku a jednotlivých částí tohoto prvku, fyzikálního modelu zahrnujícího ortotropní lineárně elastický materiálový model a předpisu podmínek řešení základních úloh strukturální analýzy. Model umožňuje změnou parametrů simulace sledovat vliv vybraných faktorů (změny konstrukce a materiálové skladby) na odezvu desky především při dynamickém namáhání. Klíčová slova: MKP, ANSYS, rezonanční deska, klavír, dynamika, Abstract The subject of this work is building of general parametric model of grand piano soundboard in environment of software ANSYS. Parametrization by use of APDL is made in full range of component and its parts geometry description, physical model description inclusive orthotropic linear elasticity material model and prescription conditions of basic structural analysis solution. Changing of simulation parameters allows to monitoring of select factors (changes in construction and material composition) influence mainly to reaction at dynamic straining. Key words: FEM, ANSYS, soundboard, grand piano, dynamics, 1
Úvod Piana jsou hodnocena především dle akustických vlastností a jejich vyrovnaností v celém tónovém rozsahu. Vlastnosti jsou předurčeny převážně chováním rezonančních desek, nejdůležitějších částí pian. Obecně je chování rezonanční desky a zvuk nástroje ovlivněn mnoha faktory. Pianino či klavír se skládá z přibližně 7500 součástí, rezonanční deska je pak složena přibližně ze 30 částí. Každá z nich má víceméně odlišné fyzikální, mechanické a akustické vlastnosti. Rozměrová přesnost výroby prvků se pohybuje v řádech desetin milimetru, rozměrové změny způsobené např. změnou vlhkosti dřeva dosahují u některých součástí několika milimetrů a chování desek je dále významně ovlivněno rozměry a počtem žeber desek, jejich klenutím, klenutím rezonanční desky, materiálem (vlastnosti, homogennost stavby aj.), orientací anatomických os dřeva v jednotlivých částech desky, přetlakem strun, vlastnostmi kladívek, intonací atd. Výroba rezonanční desky piana začíná již výběrem vhodného dřeva smrku ztepilého, které musí obsahovat rezonanční zónu s odpovídajícími vlastnostmi dřeva a respekt k charakteristickým vlastnostem dřeva ji provází až do konce. V rámci spolupráce Vědeckovýzkumného oddělení firmy Petrof s.r.o. a Ústavem nauky o dřevě LDF MZLU v Brně byl vznesen požadavek na vhodný popis chování hudebních nástrojů a jejich součástí během výroby či užívání, při mechanickém zatížení či zatížení působeného změnami okolního prostředí. K takovému popisu je vhodný fyzikálně matematický model, který vyžaduje aplikaci MKP. Tato práce představuje simulace v kódu ANSYS zaměřené na jednu ze součástí koncertního klavíru, sestavu rezonanční desky neosazené žebry a kobylkami. Posouzení dynamických vlastností tohoto základního konstrukčního celku, posouzení vlivu faktorů, kterými jsou např. jeho geometrická a materiálová skladba, jsou prvotní pro další práci. Materiál a metodika Akustický projev nástroje je projevem složité soustavy s řadou vstupů. Soustředíme li se na konstrukci nástroje koncertního klavíru (konkrétně model IV. firmy Petrof), pro jeho dynamickou analýzu je za únosně minimalizovaný model nástroje možné považovat rezonanční desku (sestávající z přířezů proměnlivé šířky) osazenou jedenácti žebry, basovou a diskantovou kobylkou, interagující se strunným systémem a vsazenou v baraši, jakési základní dřevěné konstrukci klavíru osazené vnějšími dílci skříně nástroje a též mohutným litinovým rámem. Schematicky informuje o sestavě obr. 1. Přes nesporný vliv všech ostatních částí konstrukce na výsledné dynamické chování, lze tedy za oblast modelu zvolit systém desky osazené žebry, a dále kobylkami zprostředkujícími též vliv strunného systému a považovat jej v místě styku s hranou baraše za vetknutý v prostoru. Vlastní deska je podstatnou částí tohoto systému, výrobcem jsou často její vlastnosti posuzovány samostatně a je jí věnován též omezený prostor tohoto článku. Postup tvorby modelu spočívá standardně ve vytvoření geometrického, fyzikálního (definice materiálového modelu, okrajových a počátečních podmínek) a matematického (konečně prvkového) modelu rezonanční desky ve stavu před její montáží. Model je zpracován kompletně ve skriptovacím jazyce (APDL) se všemi svými výhodami a používán v podobě dávkového souboru. Od počátku je model sestavován s ohledem na možnost parametrického zadání vnějšího tvaru (půdorysný tvar a tloušťka desky) a definici skladby desky z jednotlivých přířezů. Pro explicitní popis tvaru desky neexistují podklady, při výrobě desky se používá klasických technologií za použití šablon. Bylo navrženo několik různých obecných modelů u nichž lze vhodnou volbou parametrů docílit požadovaného tvaru desky. Podkladem byla dostupná výkresová dokumentace výrobce a výrobcem zpracovaný 3D model korpusu baraše (exportovaný z programu Inventor v souboru formátu SAT a importovaný do prostředí ANSYS), další sběr informací probíhá ve výrobě a na hotových výrobcích. Zdokonalování popisu oblasti (vhodnější interpolace hranice desky 2
lineárními a nelineárními funkcemi a hledání parametrů těchto funkcí) je předmětem současné práce na modelu. Obr. 1 Schema sestavy vlevo: modře konstrukce barašě, červeně žebra, černě kobylky; vpravo: deska tvořená př ířezy Jsou využívány i 2D modely (použití skořepinových typů prvků, SHELL99) homogenních desek s možností snadné úpravy průběhu hrany, možností definice libovolné avšak jednotné tloušťky či skladby z vrstev různé tloušťky a odděleně definovaným libovolným odklonem souřadných os v rovině. Výhodou použití je zejména úspora strojového času při orientačních výpočtech. 3D modely využívají hexahedrálních (např. SOLID45, SOLID5) event. tetrahedrálních (např. SOLID45, SOLID98) konečných prvků. Jsou sestaveny kompletní modely homogenních desek, které nad možnosti skořepin nabízí zavedení plného obecného ortotropního příp. anisotropního materiálového modelu (s definováním obecných odklonů materiálových os) a možnost obecného zadání a změny tloušťky (odpovídající též klínovitému tvaru desky zvoleného klavíru). Z těchto modelů konečně vychází model desky sestávající z homogenních přířezů, kde skladba desky jako celku je již nehomogenní. Nad možnosti modelu homogenní desky umožňuje skladbu desky z ortotropních přířezů libovolných šířek se samostatnými materiálovými modely a možností definice odklonu os pro každý přířez. Model vzniká buď tvorbou desky a jejím následným dělením na přířezy (viz příklad níže), nebo v případě požadavku složitějšího tvaru přířezu postupným generováním jednotlivých přířezů. Tvorba modelu a řešení zvolené analýzy probíhá spuštěním dávkového souboru příkazů v APDL. V první části se skript odvolává na přehledně editovatelný skript s definicí základních parametrů modelu: měřítko modelování, x y z pozice objektu v globálním kartézském souřadném systému, x a y souřadnice bodů hrany desky, tloušťka desky ve třech známých bodech, úhel odklonu podélných hran přířezů a levou podélnou hranou desky, šest poloměrů v případě zjednodušeného popisu hrany desky, dále parametry pro síťování globální velikost elementu, počet elementů v tloušťce desky, poměr délky a šířky elementu. Následně je spuštěn preprocesor. Modelování from the bottom up 3
je zahájeno tvorbou keypointů první roviny desky, následně jsou tvořeny line příkazy lstr či larc, v některých případech je k tvorbě oblouku s výhodou využito příkazu lfillt. Následně jsou generovány tři keypointy druhé roviny desky, představující body desky o definované tloušťce. Na tyto tři body je následně příkazem cskp vztažen lokální souřadný systém tak, že rovina xy leží v druhé rovině desky. V založeném lokálním souřadném systému jsou generovány zbývající keypointy druhé roviny desky, poté je tento souřadný systém zrušen. Pomocí keypointů jsou definovány line, postupem shodným s postupem u první (spodní) roviny rezonanční desky. Tvorba drátového modelu je zakončena výmazem redundantních entit. Příkazem al jsou v další části skriptu tvořeny všechny plochy modelu, příkazem va pak objem těleso desky. Následuje postup rozdělení objemu desky na objemy přířezů, kde rozhodujícím je určení šířek jednotlivých přířezů. Šířka každého přířezu, odklon anatomických os ve směru x, y a z od podélné osy přířezu (resp. podélných hran přířezu) jsou definovány zvláštním dávkovým souborem, nebo definovány náhodným generováním hodnot. K náhodnému generování hodnot je využíváno příkazu rand (předpokládající vyrovnanou četnost a vyžadující definici minima a maxima intervalu pro generování, např. min. a max. šířky přířezů) a gdis (pracující s Gaussovo rozložením a vyžadující pak mnohdy praktičtější definici střední hodnoty a směrodatné odchylky). Volba způsobu zadání parametrů přířezů a některé konflikty v zadání (např. součet šířek přířezů vs. rozměry desky aj.) jsou ošetřeny jednoduchými podmínkami. Parametry přířezů jsou uloženy v proměnných typu pole, která jsou naplňována v cyklech. V cyklu jsou rovněž vytvořeny a nadefinovány lokální souřadné systémy každého z přířezů, pomocí pracovní roviny rozdělena deska na přířezy, přiřazeny atributy objemů (vatt) přířezů a vytvořeny jejich komponenty. V nejjednodušším případě zavedení vzájemné vazby přířezů předchází přiřazení atributů objemů a tvorbě komponent spojení objemů slepením (vglue). Posledním krokem tvorby geometrického modelu je tvorba komponent ploch pro pozdější definice okrajových podmínek řešení. Obr. 2 Geometrický model desky sestávající ze 14 homogenních přířezů (šířka generována náhodně v intervalu 80 120 mm) s naznačením omezení stupňů volnosti posunutí Tvorba konečně prvkového modelu je zahájena cyklem nastavujícím dle atributů přířezů typ elementu (vždy shodný, standardně např. hexahedrální SOLID45), případně dalších detailnějších nastavení jeho chování. Kontrola hustoty a kvality sítě spočívá ve volbě parametru určujícího počet 4
elementů v z rozměru (tloušťce) desky a vystupujícího v příkazu lesize, dále ve volbě parametru určujícího globální velikost elementu a parametru vyjadřujícího maximální zvolený poměr podélného a příčného rozměru elementu (např. 0,3). Pomocí cyklu je nalezena nejmenší tloušťka desky, ta je dělena zvoleným počtem elementů v tloušťce desky a výsledný příčný rozměr elementu je konfrontován přes poměr s definovanou globální velikostí elementu. Pokud je již poměr nevyhovující, je znovu definována největší vyhovující globální velikost elementu a o tomto zásahu do volby parametrů je podána v grafickém rozhraní informace. Konečnému spuštění generování sítě na objemech předchází cyklus přiřazující materiálové tabulky přířezů, odvoláním se v každém cyklu na dávkový soubor obsahující přehledně parametry konkrétního materiálového modelu každého přířezu a univerzálně používaný dávkový soubor zavádějící na základě těchto parametrů materiálové modely do ANSYS. Obr. 3 Konečně prvkový model (hexahedrální sweep mesh, Solid 45), pohled a detail Další dávka příkazů zabezpečuje zavedení okrajových podmínek řešení (pro modální analýzu v podstatě pouze omezení stupňů volnosti posunutí v x,y,z na bočních plochách desky), nastavení vlastního výpočtu a spuštění řešení. Postprocesing probíhá individuálně pomocí zvláštních dávkových souborů, či grafického rozhraní. Model je v současnosti využíván k simulacím strukturální analýzy (statické analýzy, modální analýzy). S výhodou je užito prestress analýzy, analýzy s počátečním rozložením napětí zjištěným předchozí strukturální či termální resp. coupled field analýzou, protože výrobci pian si zakládají na rozmanitých postupech ovlivňování vlastností nástrojů úmyslným i neúmyslným zaváděním napětí do rezonančních desek. Obecná parametrická deklarace modelů pak nabízí zařazení řady citlivostních analýz (např. vliv změn geometrie desky či přířezů, odklonu přířezů v desce, či anatomických os v přířezu, vliv materiálové skladby aj. na statickou odezvu konstrukce, vlastní frekvence a tvary). 5
Př íklady výsledků, diskuze, závěry Základní výpočet podává informace o vlastních frekvencích a tvarech Modální analýza, sparse solver, extrakce módů metodou Block Lanczos, symetrická globální matice, bez počátečních distribucí napětí, omezení stupňů volnosti posunutí ve všech směrech na bočních plochách desky. Geometrie odpovídá výrobku Petrof mod. IV (půdorys desky, tloušťky, odklon přířezů), náhodně generované šířky přířezů v intervalu 80 120 mm (s vyrovnanou četností), nulové odklony anatomických os v jednotlivých přířezech. Konečně prvkový model hexahedrální elementy typu SOLID45. Souřadná osa lokálního elementového souřadného systému x odpovídá radiálnímu anatomickému směru (R), y podélnému (L) a z tangenciálnímu (T). Použitý materiálový model (shodný pro všechny přířezy): Youngovy elastické moduly pružnosti [Pa] (Požgaj, Picea abies): Ex=789x106, Ey=13650x106, Ez=289x106; Kirchhofovy elastické moduly pružnosti [Pa] (Požgaj, Picea abies): Gxz=543x106, Gyz=474x106, Gxy=53x106; Poissonovy čísla (minor) [ ] (dopočet z Young. a Kirch. modulů pro pozitivně definitní matici elasticity): Nxz=0,4, Nyz=0,03, Nxy=0,31; objemová hmotnost [kg/m3] (Horáček, Picea sp., w=12 % abs.): R = 450. Tab.1. Přehled prvních třiceti vlastních frekvencí (set freq) 1 26.983 2 45.946 3 58.865 4 69.478 5 89.682 6 97.477 7 100.11 8 122.95 9 130.55 10 144.20 11 150.43 12 160.13 13 168.79 14 190.29 15 198.71 16 205.74 17 211.98 18 214.95 19 238.90 20 245.43 21 258.96 22 266.52 23 270.75 24 289.80 Obr. 4 Zobrazení 1. vlastního tvaru kmitání (složky posunutí v x,z,y a sumárně) 6 25 291.73 26 297.63 27 311.46 28 327.02 29 338.15 30 346.96
Závislost vlastní frekvence desky na objemové hmotnosti dřeva 160 150 140 Vlastní frekvence [Hz] 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 400 420 440 460 480 500 Objemová hmotnost [kg/m^3] Obr. 5 Grafické vyjádř ení závislosti prvních deseti vlastních frekvencí desky na objemové hmotnosti dřeva Trendy (kubickým spline proložených) hodnot výsledků simulací analýzy citlivosti desky ke změnám hustoty dřeva poukazují na poměrně nízký vliv této vlastnosti. Přesto je patrný pokles vlastních frekvencí (především ve vyšších frekvencích). Simulace předpokládaly poměrně velký rozsah měnící se hustoty a výsledky rozhodně nedokazují fatální vliv měnící se hustoty na vlastnosti desky. Tato analýza pracuje se shodným geometrickým (vyjma konstantních šířek přířezů 100 mm) a materiálovým modelem (vyjma hustoty) jako analýza předchozí, rovněž nastavení řešiče je shodné. Závislost vlstních frekvencí na odkonu přířezů Vlastní frekvence [Hz] 160 150 140 130 120 110 100 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 80 70 60 50 40 30 20 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 Odklon [ ] Obr. 6 Grafické vyjádř ení závislosti prvních deseti vlastních frekvencí desky na měnícím se odklonu hran přířezů 7
Simulace sledující vliv odklonu přířezů pracuje se změněným materiálovým modelem. Hodnoty modulů byly povýšeny (např. EL=15 500x106, ER=1000x106 Pa, ostatní konstanty úměrně). Změny vlastních frekvencí jsou srovnatelné při odklonu 52. Vliv odklonu přířezů je znatelnější, především ale stochastičtější, každá vlastní frekvence odpovídá na změnu více či méně odlišně. Zajímavou skutečností je, že u vyšších frekvencí dochází k nárůstu právě v okolí odklonu, který je v konstrukci klavíru standardně používán. Další simulace se věnují např. vlivu náhodně umístěných přířezů s odlišným materiálovým modelem. Přířez umístěný v okrajových partiích desky, jehož hustota je odlišná nemá v podstatě žádný vliv na změnu vlastních frekvencí (např. změna první vlastní frekvence je do 0,1 %). O něco výrazněji se na změnách podílí přířezy s odlišnými moduly elasticity způsobující nehomogenity skladby desky (testována změna v řádech tísíců Mpa u EL), interpretace je ovšem vzhledem k ortotropii vlastností (výskyt konstant v jedné matici elasticity) obtížná. Obr. 7 Zobrazení vybraných vlastních tvarů kmitání (posunutí sumárně ve všech složkách) 8
9
Literatura BODIG, J. & JAYNE, B. A. 1982: Mechanics of wood and wood composites. Reinhold Company. New York Cincinnati Toronto London Melbourne, Van Nostrand, 712pp. BOUTILLON, X., 1986: The piano hammer action. In: Proc. Of Catgut Acoust. Soc. Int. Symp., July 20 23 Hartford, CT BRDIČKA, M. et al. 2000: Mechanika kontinua. 2.vyd., Praha, Academia, nakladatelství AVČR, 799pp. BUCUR, V., 1995: Acoustics of Wood, Boca Raton Florida, ISBN 0 8493 4801 3 BUCHAR, J., 1993: Šíření elastických vln v různých druzích dřev. Acta univ. agric. (Brno), fac. agroecon., XXVI, No. 1 4, pp.: 209 223. CALDERSMITH, G., ROSSING,T. D., 1982: Determination of Modal Coupling in Vibrating Rectangular Plates, Northern Illionis University USA, DeKalb, IL 60115 FLETCHER, N. H., ROSSING, T. D., The Physics of Musical Instruments, 2nd ed. 1998. Corr. 3rd printing, 2000, XIX, 756 p. 485 illus., Hardcover ISBN: 0 387 98374 0, KOLÁŘ, V., NĚMEC, I., KANICKÝ, V. 1997: FEM Principy a praxe metody konečných prvků. Praha, Computer Press, 401pp. KOHNKE, P. 1998: ANSYS Theory Reference. Canonsburg, PA, USA, ANSYS, Inc. POŽGAJ, A. et al. 1997: Štruktúra a vlastnosti dreva. 2.vyd. Bratislava, PRÍRODA, a.s., 448 pp. REKTORYS, K. 1999: Variační metody v inženýrských problémech matematické fyziky. Praha, Academia, 603pp. Adresa Ing. Jan Tippner, Ing. Petr Koňas, Ph.D., Ústav nauky o dřevě, Fakulta lesnická a dřevařská, Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně, Zemědělská 3, 613 00 Brno, Česká republika Práce vznikla za podpory projektu MSM 6215648902, 5/2005 IGA MZLU v Brně a FRVŠ 3350/2005/G1. 10