Příklad 1 Kolik ml vody se musí přidat k 850 ml 0,056 M roztoku kyseliny sírové, abychom získali roztok o koncentraci 0,050 M?

Obsah 1. Obsah 2. Úvod 2 3. Vyjádření neznámé 3 Pracovní list č. 1 4 4. Odhady 5 Pracovní list č. 2 8 Pracovní list č. 3 10 5. Tabulky, grafy a diagramy 12 Pracovní list č. 5 19 Pracovní list č. 6 22 6. Funkce 23 Pracovní list č. 7 27 7. Rovnice 28 Pracovní list č. 8 29 8. Statistika 30 Pracovní list č. 9 37 9. Práce s chybou 38 Pracovní list č. 10 41 9. Praktické využití měřidel v matematice 42 10. Závěr 43 11. Literatura a internetové zdroje 44 1

Úvod 2. Úvod Matematika zaujímá důležité místo ve všech sférách lidského bytí. Nejedná se pouze o přírodní vědy, ale i o vědy společenské a humanitní. V přírodních vědách je každému známá provázanost matematiky s fyzikou, méně známé jsou vzájemné vztahy mezi biologií, chemií a geografií. Tato sbírka vznikla jako učební text pro podporu výuky žáků v přírodních vědách za pomoci měřících souprav ovládaných počítačem. Ke správnému porozumění jednotlivým demonstračním pokusům často existuje nutnost mít zafixovaný alespoň základní matematický aparát. Autor se ve sbírce věnuje někdy problematickým partiím matematiky, které mohou mít přímou souvislost s vyhodnocováním a tvorbou experimentů tohoto projektu. 2

Vyjádření neznámé 3. Vyjádření neznámé Ze školské praxe i z výsledků testování matematických dovedností žáků vyplývá, že vyjádření neznámé z určitého matematického, fyzikálního nebo chemického vzorce činí žákům problémy, a to i v případě, že nemívají potíže s řešením běžných druhů rovnic. V této kapitole ukážeme jeden řešený příklad a v pracovním listě jsou uvedeny úkoly pro domácí přípravu. Příklad 1 Kolik ml vody se musí přidat k 850 ml 0,056 M roztoku kyseliny sírové, abychom získali roztok o koncentraci 0,050 M? Problémy: 1. Jaký vzorec použít? Směšovací rovnice: c 1.V 1 + c 2.V 2 = c.v c 1,c 2 molární koncentrace roztoku 1, 2 V 1,V 2 objem roztoku1,2 c molární koncentrace výsledného roztoku V objem výsledného roztoku.. V = 850 + V 2 2. Co je neznámou? Neznámou je V 2 c 1.V 1 + c 2.V 2 = c.v c 1.V 1 + c 2.V 2 = c.(850 + V 2 ) c 1.V 1 = c.(850 + V 2 ) - c 2.V 2 c 1.V 1 = 850c + c V 2 - c 2.V 2 c 1.V 1 = 850c + V 2 (c-c 2 ) V 2 (c-c 2 ) = c 1.V 1-850c V 2 = Dosadíme známé hodnoty: V 2 = 102 (ml) c1.v1 850c c c2 0,056.850 850.0,05 0,050 V 2 = 3

Vyjádření neznámé Pracovní list č. 1 v - v 1. Ze vzorce pro výpočet zrychlení rovnoměrně zrychleného pohybu a = 0 t vyjádřete počáteční rychlost v 0. 2. Na následujícím obrázku se žák pokoušel vyjádřit ze vzorce pro výpočet velikosti magnetické indukce počet závitů cívky N. V řešení žák udělal chybu. Umíte ji opravit? 3. Vyjádřete neznámou r ze vzorce 4. Vzorec z příkladu 3 se týká jedné z oblastí přírodních věd? Zjistěte, do které oblasti tento vzorec spadá a jaký vztah popisuje. 5. V chemii a biologii často potřebujeme naředit roztoky na potřebnou koncentraci. Můžeme použít směšovací rovnici, ale elegantní řešení je možné provézt pomocí pomocí křížového pravidla. Pokud jej neznáte, tak jej můžete nastudovat například na: http://almanachchemie.webpark.cz/krizprav.htm. 6. Vyřešte následující příklad nejprve užitím směšovací rovnice a poté křížového pravidla. Máme 300 g 25% NaOH a potřebujeme 6% roztok. Kolik vody musíme přidat? 4

Odhady 4. Odhady S odhady se setkáváme běžně v životě, odhadujeme časy tras, ceny nákupů, oprav, množství surovin při vaření, přibližně odhadujeme délky, obsahy a objemy. Ne vždy se stává, že odhady žáků jsou reálné. Často se divíme závěrům, ale částečně je to vina nás učitelů matematiky, že žáky neučíme odhadovat přibližné výsledky, žáci spoléhají na výpočty na kalkulátorech a PC, kdy špatným zadáním dat dochází ke značným chybám. V matematice odhady užíváme zejména při nácviku odhadů výpočtů s racionálními čísly, výpočtu obsahů ploch a objemů těles, druhé mocniny a odmocniny, odhad vzdáleností, délky úseček, velikosti obsahů rovinných těles a objemů těles 4.1 Odhady výsledků výpočtů Pro odhadování přibližných výsledků existuje několik metod: a) Metoda počítaní se zaokrouhlenými čísly b) Metoda užívající referenční bod c) Metoda užívající odhad zepředu dozadu d) Metoda spočívající v odhadu seřazení odpovědí 4.1.1 Metoda počítání se zaokrouhlenými čísly Tato metoda využívá zaokrouhlení čísel v určitém řádu na nejbližší desítky, stovky atd., následně počítáme s takto zaokrouhlenými čísly Příklad 2 Odhadněte přibližné výsledky: a) 423 + 566 b) 28 73 c) 1620 : 4 Řešení: a) 423 + 566 = 400 + 600 = 900 b) 28 73 = 30 70 = 2100 c) 1620 : 4 = 1600 : 4 = 400 5

Odhady 4.1.2 Metoda užívající referenční bod Využíváme například při odhadu výsledků početních operací se zlomky. Příklad 3 Rozhodněte, zda 1 + 4 je menší než 1. Řešení: S využitím vztahu + = 1 snadno odvodíme, že druhý sčítanec je menší než 2 2 9, 1 a proto výsledek musí být menší než 1. 2 2 9 1 4 4 4.1.3 Metoda užívající odhad zepředu dozadu Metodu využijeme k odhadu výsledku při sčítání či odčítání čísel s nejméně třemi číslicemi Příklad 4 Odhadněte výsledek: 563 + 122 + 381 Řešení: 1) Sečteme stovky 500 + 100 + 300 = 900 2) Odhadneme součet desítek a jednotek - je větší než 100, ale menší než 200 3) Výsledek bude ležet v rozmezí 1000 1100 Příklad 5 Odhadněte výsledek 929 183 Řešení: 1) Odečteme stovky 900 100 = 800 2) Srovnáme 29 a 83 ² 29 < 83 3) Výsledek bude ležet v rozmezí 700 800 6

Odhady 4.1.4 Metoda spočívající v odhadu seřazení odpovědí Jedná se o kontrolu výsledku stanovením závěru, zda je správně uveden řád výsledku, popřípadě je-li správně umístěna desetinná čárka. Příklad 6 Určete pomocí odhadu, který výsledek příkladu x = (400 35): 70 je správný? Výsledky 2; 20; 200; 2 000; 20 000. Řešení: Odhadneme, že 100 10 = 1000 a 1000:10 = 100, z čehož plyne, že výsledek bude ve stovkách, a proto výsledek je roven 200. 7

Odhady Pracovní list č. 2 1. Odhadněte přibližný výsledek a řešení ověřte: a. 47980 : 5,89 = b. 541111 : 899 = 2. Odhadněte pomocí referenčního bodu výsledek a. 6,97 3 bude menší než 21 nebo větší b. 1 + 1 je větší nebo menší než 2 7 8 7 c. 250 : 4 je menší nebo větší než 60 d. 27 13,25 bude menší nebo větší než 14 3. Metodou zepředu dozadu odhadni výsledky a. 1567 + 345 + 488 b. 1222 383 c. 1786 + 356-867-945 4. Jsou dány následující hodnoty: U = 220 V, I = 2,5 A, t = 330s, možné výsledky jsou: 18 150; 181 500; 18 150 000. Odhadněte správný výsledek metodou seřazení odpovědí. 8

Odhady 4.2 Odhady vzdáleností Následující pasáž bude možná brána v dnešní době GPS navigací, smartphonů, laserových a ultrazvukových dálkoměrů asi jako anachronismus, na druhé straně ale seznamuje s možností využití matematiky v praktickém životě. Příklad 7 V pátém patře panelákového domu začalo hořet. Jak dlouhé potřebujeme lano, po kterém je možné se bezpečně spustit dolů? Problém: Jak je asi vysoko páté patro v panelákovém domě? Řešení: Dle výšky osoby si porovnáme přibližnou vzdálenost do stropu místnosti, připočteme šířku stropu/ přibližně 50 cm/ a výsledek vynásobíme 5. Výsledek by bylo možné přibližně ověřit přímo v terénu s využitím podobnosti trojúhelníků, samozřejmě bez spouštění lana z balkónu v pátém patře. 5.patro m n 1 n:m=(n+l):x (n+1) m x =, kde hodnoty n, m, l snadno zjistíme měřením v terénu n 9

Odhady Pracovní list č. 3 1. Odhadněte přibližný výsledek a řešení ověřte na kalkulátoru a. b. 5,68= c. 11,69= d. 2772= 0,157= 2. Odhadněte přibližný výsledek a řešení ověřte: a. 47980 : 5,89 = b. 541111 : 899 = 3. Najděte na internetu jakou funkci má skautská hůl. 4. Navrhněte řešení, které nám pomůže přibližně určit šířku řeky. Situace je schematicky znázorněna na obrázku: ŘEKA + MÍSTO POZOROVATELE (Pokud vás nenapadne žádné řešení, můžete postup nalézt na: http://cs.wikipedia.org/wiki/odhad_vzd%c3%a1lenost%c3%ad 5. Zjistěte, co je to dílcové pravidlo, a zkuste s jeho pomocí změřit výšku staveb v okolí. Návod případně najdete na http://cs.scribd.com/doc/65212628/51/ur%c4%8dovani-a-odhadvzdalenosti#outer_page_100 10

Odhady 6. Odhadněte vzdálenost z Brna do Grazu a výsledek ověřte pomocí internetu 11

Tabulky, grafy a diagramy 5. Tabulky, grafy a diagramy 5.1 Tabulky Orientace a práce s tabulkou je dovednost, při které žák provádí myšlenkové operace vzhledem ke grafickému uspořádání dat v tabulce. Žák střední školy musí rozpoznat logická pravidla rozmístění dat, zvládne orientaci v tabulce typu NxM, popřípadě orientace ve více souvisejících tabulkách a efektivní práci s daty tabulky. Žák rovněž musí umět z textu sestavit přehlednou tabulku dat a dalších údajů pro zápis poznatků a výsledků. S tabulkami se často setkáváme v běžném životě (jízdní řád, úrokové sazby, sportovní výsledky apod.). S rozvojem této dovednosti získává žák především kompetenci k řešení problémů a kompetenci komunikativní. Posiluje také kompetenci k učení a kompetenci sociální a personální. Příklad 8 Které řešení by mělo být na třetím řádku tabulky? 3 x 3 X -2x - 1:(x-1) (x+ ) 1-2 -1-2 1 x 2-4 -2 1 Příklad 9 Která číslice logicky chybí v tabulce? 2 4 8 16 32 12

Tabulky, grafy a diagramy Příklad 10 Určete součet čísel nacházejících se současně ve čtverci, kruhu a elipse -2-3 -4 5-1 1 2 3-1 4 2 3 8-2 5 Jedná se o čísla 2, 3, 4, součet je 9. 13

Tabulky, grafy a diagramy Pracovní list č. 4 1) Který řádek tabulky obsahuje správné hodnoty? Funkce Definiční obor Obor hodnot Prostá funkce sin x R - R + Ano cos x R ù-1;1 Ne tg x R Z Ano cotg x R + N Ano 2) Který oddíl v kategorii dorostu měl nejlepší výsledky ve sprintu? Dospělí Dorost Pořadí číso oddíl slalom sjezd sprint celkem slalom sjezd sprint kombinace celkem 1 9 USK Pha 81,0 23,9 12,23 81,0 111,0 6,0 15,0 12,0 144,0 2 119 Olomouc 23,78 49,5 52,5 102,0 18,0 18,0 21,0 23,3 57,0 3 57 Pardubice 32,1 34,5 33,8 68,3 12,1 34,5 11,3 12,3 45,8 4 121 Opava 23,2 24,2 6,12 0,0 16,5 12,4 18,2 23,8 16,5 5 64 Vys.Mýto 23,6 33,1 6,0 6,0 6,0 9,0 6,0 21,0 14

Tabulky, grafy a diagramy 3) Jaký je součet všech sudých čísel, které se nacházejí současně uvnitř obdélníku i uvnitř největšího trojúhelníku? 15

Tabulky, grafy a diagramy 5.2 Diagramy a grafy Grafy a diagramy znázorňují geometrická zobrazení algebraických vztahů. V médiích nalezneme celou řadu vhodných grafů a diagramů, kterými žáky zaujmeme a tímto nenáročným způsobem obohatíme výuku. Objevuje se ale problém správného porozumění jednotlivým grafům a diagramům. Názorný graf popřípadě diagram je nedílnou součástí odborné literatury z oblasti přírodních věd a úkolem nás pedagogů je naučit žáky s nimi efektivně pracovat. Žák se nejen v matematických, ale i fyzikálních a biologických úlohách nejčastěji setkává s tzv. dvojrozměrnou soustavou souřadnic. Žák střední školy musí umět vyčíst a analyzovat správná data z tabulky, popřípadě vypočítat souřadnice z příslušné tabulky, nebo díky vhodnému výpočtu získat souřadnice bodů a zaznamenat je do grafu. Nedílnou součástí je také zaznamenání průběhu funkce. Příklad č. 11 V tabulce je souhrn ovoce prodaného během roku v zelenině. Doplňte do grafu číselné údaje. ovoce podíl na prodeji hrušky 22% jablka dvojnásobek počtu banánů švestky 5% třešně polovina počtu hrušek banány 15% broskve 9% Ostatní 16

Tabulky, grafy a diagramy Problémy: a) Dopočítat údaje u jablek, třešní a ostatních druhů ovoce b) Uvědomit si, jaké jednotlivé výseče odpovídají množství prodaného ovoce Řešení: 17

Tabulky, grafy a diagramy Příklad 12 Z grafu zjistěte potřebné informace a pak o každém z následujících tvrzení rozhodněte, zda je pravdivé nebo nikoliv. a) Počet obyvatel České republiky se v jednotlivých letech uvedeného období pohyboval uvnitř intervalu od 8,7 miliónu do 10,4 miliónu. b) Přírůstek počtu obyvatel v letech 1974 1976 byl menší než přírůstek počtu obyvatel v letech 1984 1986. c) V průběhu let 1950 2000 vzrostl počet obyvatel České republiky o více než 10 %. a) ANO b) NE c) ANO 18

Tabulky, grafy a diagramy Pracovní list č. 5 Příklad 1 TV pondělí vysílaly televizní stanice od 20.00 hodin tyto pořady: TV NOVA Comeback (seriál) TV PRIMA Cesty domů (seriál) TV ČT 1 Četnické humoresky (seriál) TV ČT 2 Heinrich Himmler (dokument) TV BARRANDOV Fantomas kontra Scotland Yard (film) TV PRIMA COOL Americký chopper (dokument) TV NOVA CINEMA Nebezpečný vlak (film) Sledovanost jednotlivých pořadů je znázorněna sloupcovým grafem: SVISLE: počet obyvatel v tisících obyvatel VODOROVNĚ: sledované televizní stanice 19

Tabulky, grafy a diagramy Vyčti z grafu následující informace: 1) Kolik lidí sledovalo seriály? 2) O kolik lidí více sledovalo seriály než dokumenty? 3) O kolik lidí méně sledovalo dokumenty než filmy? 4) Kolik lidí nesledovalo filmy? 5) Kolik lidí celkem se v pondělí nedívalo na Fantomase? Příklad 2 Na obrázku je znázorněno množství srážek ve vybraných chorvatských městech. Prostudujte graf a odpovězte na tyto otázky: 1) Ve kterém měsíci a ve kterém městě byly největší a nejmenší srážky? 2) Průměrná vana má objem 120 l, kolik van bychom naplnili všemi sledovanými srážkami? 3) Kdy se nejvíce vyplatí jet do Chorvatska na dovolenou ve kterém měsíci a do kterého města? 4) O kterém měsíci můžeme říci, že jsou v Chorvatsku největší srážky? 20

Tabulky, grafy a diagramy Příklad 3 Na obrázku je graf deficitu státního rozpočtu České republiky za období 2000 2012. Sestrojte graf, který bude zobrazovat průměrný schodek rozpočtu vždy po 4 letech. 21

Tabulky, grafy a diagramy Pracovní list č. 6 1) Napište soustavu nerovnic, která je graficky vyřešena na obrázku Zdroj: www.ucebnice.krynicky.cz 2) Zapište definiční obor a obor hodnot dané funkce 3) Rozhodněte, zda grafy znázorňují sudé nebo liché funkce 22

Funkce 6. Funkce Při měření veličin přírodních věd získáváme značné množství dat, která musíme pro porozumění následně zpracovat a případně také graficky znázornit. Z funkčních vztahů je kladen důraz na lineární funkci, přímou a nepřímou úměrnost, kvadratickou funkci, goniometrické funkce a funkci logaritmickou a exponenciální. Příklad 13 Znázorněte graficky, jak se mění energie vozidla o hmotnosti 1200 kg, jestliže jeho rychlost vzrůstá rovnoměrně z klidu na hodnotu 72 km/h. Řešení: Kinetická energie tělesa je dána vztahem Převedeme rychlost na m/s v = 20 ms -1 Musíme si uvědomit, že nezavisle proměnná je velikost rychlosti a závisle proměnná je velikost energie. Sestavíme rovnici funkce Určíme definiční obor funkce: Vyplníme tabulku hodnot: rychlost v m/s 0 5 10 15 20 Pohybová energie v J 0 15 000 60 000 135 000 240 000 23

Funkce Tabulku upravíme na kj rychlost v m/s 0 5 10 15 20 Pohybová energie v kj 0 15 60 135 240 Body zobrazíme v soustavě souřadnic a spojíme křivkou. 24

Funkce Příklad 14 Máme určitý typ bakterie množící se tak, že se vždy rozdvojí. Kterou exponenciální funkcí je možné popsat tento děj a kolik bakterií bude po 10. množení? Zakreslete průběh množení graficky. Řešení: Tento jev vystihuje funkce f (x) = 2x f(10) = 2 10 = 2 3 2 3 2 3 2 = 8 8 8 2 = 1024 25

Funkce Příklad 15 Popište rovnicí děj znázorněný na obrázku Řešení: Rovnice kmitání má tvar y =ym(ωt + φ) (1) Amplituda y m = 0,2 Úhlová frekvence ω= 2π, kde T je doba, kdy se kmitající těleso dostane do stejné polohy, v našem případě T = 1 s ω = 2π = 2π =2π s -1 T 1 V čase t = 0 je okamžitá výchylka 0,1m T Všechny známé hodnoty dosadíme do rovnice (1) a upravíme 0,1 = 0,2sin(2 π 0 + φ) 1 = sin ϕ ϕ = π 2 Napíšeme výslednou rovnici: y = 0,2sin(2 π t + ) π 6 6 26

Funkce Pracovní list č. 7 1) Harmonické kmitání hmotného bodu je popsáno rovnicí y = 0,2sin(0,5πt). Určete, ve kterých časech bude okamžitá výchylka rovna 0,1 m. 2) Napište rovnici okamžité výchylky harmonického kmitání v závislosti na čase, je-li amplituda výchylky 8 cm a doba kmitu 2 s. 3) Pro hmotnost látek při radioaktivním rozpadu platí: Rozpadová konstanta je dána vztahem λ = ln2, kde T je poločas rozpadu. a. Sestavte tabulku hodnot m a t pro období 0 1 rok po 1 měsíci pro rozpad stroncia, jehož poločas rozpadu je 28 dní. b. Načrtněte graf funkce m = f (t). c. Určete vlastnosti této funkce. T 27

Rovnice 7. Rovnice Při vyhodnocování dat a při řešení různých úloh zejména ve fyzice a chemii jsme často postaveni před problém vyřešit rovnici. Tato matematická pasáž je na školách většinou důkladně probrána, ale přes tento fakt je známo, že žáci mají s výpočtem rovnic problémy, které spočívají zejména v numerickém počítání a správnosti logické úvahy. Příklad 16 Jakou hmotnost má hliníkový drát dlouhý 1,5 km, jehož odpor je 6,5 Ω, hustota mědi je kg 8930 a ρr = 1,8 10-8 Ω m? m 3 Řešení: Musíme využít dvou vztahů: Vztah pro hmotnost: m = ρv Drát má tvar válce, objem válce je dán vztahem: V= πr 2 1= S1, kde S je obsah podstavy a l délka drátu Vztah pro odpor vodiče: ı R= ρr kde S je měrný elektrický odpor mědi S Pak tedy: ρr R m = ρ S l = ρ l 2 1,8 10 8 15002 6 m = 8930 = 60,28 Drát váží přibližně 60 kg. 28

Rovnice Pracovní list č. 8 1) Určete vzdálenost, ze které lidské oko rozliší úsečku o délce 1 mm při rozlišovací schopnosti oka 1. 2) Řešte exponenciální rovnice: 3) Řešte logaritmické rovnice 29

Statistika 8. Statistika Při měření přírodovědných veličin získáváme výsledky, které musíme následně statisticky zpracovat. Statistické zpracování dat bývá často podceňováno, a to především ze dvou důvodů: 1) nedostatečná znalost cílů, metod a možností statistiky, 2) za statistiku se pokládá i to, co je ve skutečnosti pseudostatistikou. Často se vychází z mylného názoru, že pro statistické zpracování dat postačují jen obstojné znalosti z matematiky, statistika se tak stává polem působení samouků, kteří často činí nesprávné závěry Současná statistika se již neomezuje na prostý popis nashromážděných dat, ale umožňuje zobecňovat poznatky z dat a podporovat rozhodování a k tomuto přístupu bychom měli vést naše žáky. Při měření a následném vyhodnocování pokusů se můžeme zcela nevědomky dopustit mnoha chyb. Při hodnocení výsledků sice můžeme pokus brát subjektivně jako dokonalý, ale praxí zjistíme, že výsledky neodpovídají skutečnosti. Z těchto důvodů se při realizaci a vyhodnocování a interpretaci experimentů neobejdeme bez znalostí alespoň základních statistických metod. 8.1 Základní pojmy Statistiku můžeme chápat jako činnost - získávání statistických údajů, jejich zpracování a vyhodnocení jako část matematiky - zpracování shromážděných údajů a rozbor výsledků jako vědní obor - metody získávání a vyhodnocování dat 30

Statistika Statistické údaje (data) jsou údaje o hromadných jevech (tj. o jevech vyskytujících se a sledovaných ne jednotlivě, ale hromadně). Na základě statistických údajů jsou vyvozovány zákonitosti pro hromadné jevy. Př.: demografické údaje o obyvatelstvu (počty, příjmy, zaměstnání, ), údaje o firmách (objem výroby, vlastnosti výrobků, ) Statistický soubor je množina všech objektů statistického pozorování (žáci jedné školy, obyvatelé ČR, chemické továrny kraje Vysočina apod.) Počet prvků statistického souboru = rozsah souboru; značí se většinou n. Prvky statistického souboru = statistické jednotky (lidé, výrobky, čas, období aj.) Pro každé statistické zkoumání je potřeba přesně určit věcné, prostorové a časové vymezení statistických jednotek, tj. co, kde a kdy budeme zkoumat. Všechny statistické jednotky vyhovující věcnému, prostorovému a časovému vymezení tvoří základní statistický soubor. Statistické zjišťování může být úplné (zaměřené na všechny statistické jednotky základního souboru) výběrové (zaměřené pouze na část statistické jednotek tzv. výběrové soubory) Statistický znak je společná vlastnost prvků statistického souboru (statistických jednotek), jejíž proměnnost se statisticky zkoumá; značí se většinou X. Hodnoty znaku se značí x1, x2,, Xn. 31

Statistika Př.: demografický průzkum znaky: věk, zaměstnání, měsíční příjem aj. Statistické znaky dělíme na: a) kvantitativní (jejich hodnotu lze vyjádřit číslem) b) kvalitativní (hodnota vyjádřena slovně) x Rozdělení četností lze znázornit do grafu. Nejpoužívanější způsob: - osa x hodnoty xj statistického znaku popř. skupinového znaku (nebo šířka intervalu) - osa y četnost a) Polygon četnosti spojnicový graf, body [xj;nj] b) Histogram četnosti sloupcový graf, hlavně pro intervalové rozdělení četností c) 3D grafy Čísla, která popisují, jak se daný statistický znak mění v závislosti na vlastnostech statistického souboru, se nazývají statistické charakteristiky. Slouží zejména ke srovnávání různých statistických souborů. Př.: Sledovaný stat. znak příjmy různé stat. soubory různé kraje, období soc. skupiny apod. A) charakteristiky polohy (velikosti, úrovně) jsou číselné hodnoty, střední hodnoty sledovaného statistického znaku. 32

Statistika B) charakteristiky variability (proměnnosti) jsou čísla určující, jak se hodnoty znaků liší od charakteristiky polohy (např. od aritmetického průměru), popř. mezi sebou. Čím větší je variabilita, tím méně přesná je char. polohy. _ x 1) aritmetický průměr hodnot znaku X - prostý - resp. tzv. vážený aritmetický průměr (přes četnosti) Aritmetický průměr se nepoužívá při nerovnoměrném rozložení hodnot znaku kolem jeho hodnoty, při extrémně nízkých nebo vysokých hodnotách znaku, nebo jestliže součet hodnot nebo hodnota aritmetického průměru nedává věcný smysl. 2) modus - x - nejčetnější hodnota stat. znaku v souboru (hodnota aritmetického průměru by se neměla moc lišit od hodnoty modusu) 3) medián - _ x - prostřední hodnota stat. znaku v souboru, jestliže jsou hodnoty uspořádány podle velikosti (při lichém n je jednoznačně určen, při sudém n je aritmetickým průměrem dvou prostředních hodnot) 4) rozptyl - σ 2 (X), S 2 (X) - průměrná čtvercová odchylka od aritmetického průměru (aritmetický průměr druhých mocnin odchylek od aritmetického průměru znaku) Rozptyl pro základní soubor značíme σ a vypočteme podle - nepoužívanější charakteristika variability 33

Statistika 5) směrodatná odchylka sx, σ 6) Jako relativní míra variability se nejčastěji používá - variační koeficient - V - použijeme jej, chceme-li porovnat variabilitu dvou nebo více souborů s různými průměry. Variační koeficient vyjadřuje, kolik procent z průměrné hodnoty činí směrodatná odchylka. Příklad 17 Měřením v laboratoři byly zjištěny následující délky válečku (v milimetrech): 302; 310; 312; 310; 313; 318; 305; 309; 310; 309. Vypočítejte aritmetický, geometrický průměr, modus a medián. Řešení: Množinu čísel uspořádáme podle velikosti: {302; 305; 309; 309; 310; 310; 310; 312; 313; 318} 34

Statistika Příklad 18 Za měsíc leden studenti vynechali následující počty vyučovacích hodin: Děvčata: 2; 0; 6; 10; 2; 2; 4; 2; 5; 2; Chlapci: 4; 4; 0; 2; 10; 2; 6; 2; 3; 10; Porovnejte variabilitu obou statistických souborů. Řešení: Variabilita zameškaných hodin je u chlapců nižší než u děvčat. 35

Statistika Příklad 19 Dva střelci Pavel a Jan soutěžili ve střelbě na terč. Kdo střílel přesněji a soutěž vyhrál, pokud měli tyto zásahy: Pavel {9;8;8;8;7} Jan {10;10;8;7;5} Řešení: Zajímá nás rozptyl. Pavel Jan Rozptyl Pavla A je s2(a) = 0,4, rozptyl Jana je s2(b) = 3,6. Platí s2(a) < s2(b). Lepším střelcem je Pavel, který vyhrál celou soutěž. 36

Statistika Pracovní list č. 9 1) Deset opakovaných fyzikálních měření dalo tyto výsledky: 2,11; 2,01; 2,09; 2,02; 2,03; 2,03; 2,11; 2,10; 2,05; 2,05. Vypočítej průměr, směrodatnou odchylku, rozptyl, variační koeficient. 2) Ve škole je 8 tříd. V pololetí školního roku vypočetli průměrný prospěch v jednotlivých třídách: 1. A má 32 žáků a průměr 2,07; tř. 1. B má 35 žáků a průměr 2,50; tř. 2. A má 28 žáků a průměr 2,37; tř. 2. B má 33 žáků a průměr2,14; tř. 3. A má 36 žáků a průměr 3,01; tř. 3. B má 34 žáků a průměr 2,12; tř. 4. A má 31 žáků a průměr 2,39; a třída 4. B má 32 žáků a průměr 2, 73. Vypočtěte průměrný prospěch za celou školu. 3) V laboratoři došlo k měření elektrického napětí akumulátoru, bylo provedeno celkem 13 měření, která měla tyto hodnoty: 1,49;1,5;1,49;1,51;1,48;1,51;1,44;1,52;1,5;1,51;1,48;1,47;1,5 Sestavte tabulku rozdělení absolutních a relativních četností( v % na 1 des. místo) a četností kumulativních. 37

Práce s chybou 9. Práce s chybou Při vyhodnocování experimentů často provádíme numerické výpočty, při kterých pracujeme s přibližnými údaji. Jedná se například o zaokrouhlená čísla, fyzikální a chemické konstanty, hodnoty získané měřením, která jsou zatížená chybou měřicího přístroje. V těchto případech musíme v interpretaci výsledků měření zohlednit i možnou chybu Chyby, které vznikají během měření, mohou být hrubé, soustavné a náhodné. Hrubá chyba vzniká nedostatkem pozornosti nebo pečlivosti při měření, může také vzniknout poruchou měřicího přístroje nebo výběrem špatné metody měření. Korekci této chyby buď není možné provést, nebo by se jednalo o neekonomicky výhodné řešení. Obvykle v tomto případě opakujeme měření. Soustavná chyba je určena přesností (nedokonalostí) měřicího přístroje a měřicí metody, chybu lze buď korigovat nebo určit nestatistickými metodami (pomocí výrobní dokumentace nebo odhadem). Tento druh chyby je specifický v tom, že při opakovaném měření je chyba stále stejná. Pokud chyba není udána na daném měřidle, pak obvykle za chybu považujeme hodnotu jedné poloviny nejmenšího dílku měřidla. Náhodná chyba vznikne náhodným rušivým jevem například změnou fyzikálních podmínek v místě probíhajícího experimentu a druhým aspektem vzniku tohoto druhu chyby je i nedokonalost našich smyslů. Nahodilou chybu není možné dokonale odstranit, v praxi ji částečně eliminujeme opakováním měření a statistickým zpracováním výsledků. Při počítání s výše uvedenými nepřesnými čísly využíváme tzv. aproximaci. Víme-li, že přesné číslo a < a d ; a h >, pak toho číslo můžeme nahradit vhodně zvoleným číslem a < a d ; a h >, které nazýváme aproximací čísla a (hodnota a d se nazývá dolní aproximací čísla a, hodnota a h je horní aproximace čísla a). Aritmetický průměr dolní a horní aproximace čísla a se nazývá střední aproximace čísla a. _ a = 1 (a d + a h ), 2 1 2 α = (a d - a h ), α _ a δ a =. dále pak platí kde α je absolutní chyby střední aproximace kde δ a je relativní chyba střední aproximace 38

Práce s chybou Příklad 20 Určete střední aproximace a absolutní chyby středních aproximací čísla a < 5,13; 5,17> Řešení: _ 5,13+5,17 a = = 5,15 2 5,17+5,13 2 α = = 0,02 Příklad 21 Pro číslo π platí nerovnost 3 1 > π, určete absolutní a relativní chybu aproximací čísla π desetinným rozvojem 3 1 7. Řešení: 1 3 = 3,142857 =. 3,1429 7 7 π 3,1429 = 3,14159 3,1429 < 0,00014 Za absolutní chybu je tedy možné považovat číslo 0,00014. Relativní chyba 0,0014 3,1429 δ a = = 0,0005 = 0,5% 39

Práce s chybou Digitální měřidla ukazují přímo číselnou hodnotu, což vylučuje chyby vzniklé například špatným odečítáním ze stupnice nebo přepočítáváním měřených rozsahů. Na každém z digitálních měřidel by měla být výrobcem uvedena chyba přístroje, kterou udávají výrobci jako součet dvou členů a to dvěma způsoby: ± (% chyby čtení + % chyby rozsahu), nebo ± (% chyby čtení + počet digitů s nejmenší váhou (LSB)) Příklad 22 Digitální voltmetr udává na rozsahu X m =100 V napětí U=25 V. Jaká je absolutní chyba měření a rozsah skutečných možných hodnot, je li výrobcem určené chyby čtení a rozsahu ± 0,02 % a ± 0,01 %? Řešení: U 100 X m α = 0,02 + 0,01= ± 0,02 + ± 0,01= ± 0,015 V 100 25 100 100 100 Skutečná naměřená hodnota se tedy v tomto případě pohybuje od 24,985 V do 25,015 V. Příklad č. 23 Digitální multimetr udává na rozsahu X m =20,000 ma naměřenou hodnotu I = 5,000 ma. Jaká je absolutní chyba měření a rozsah skutečných možných hodnot, je li chyba čtení ± 0,01% a počet digitů je roven 3. I 5 100 100 α = 0,01+ digits LSB= ± 0,01 + ± 3 0,001= ± 0,035 ma, kde LSB = váha posledního místa displeje, v tomto případě 0,001, protože na daném rozsahu je minimální zobrazitelná hodnota 0,001 ma. Skutečná naměřená hodnota se tedy v tomto případě pohybuje od 4,9965 do 5,0035 ma. 40

Práce s chybou Pracovní list č. 10 1) Určete horní a dolní aproximace čísla x = 23,7 ±0,02 2) Digitální multimetr ±0.1 % ±0.05 % udává na rozsahu M = 200 V napětí u = 75.00 V. Určete meze, ve kterých se pohybuje skutečně naměřená hodnota. 3) Digitální multimetr s přesností ±0.08 % ± 3(digits) naměřil na rozsahu M = 60 ma hodnotu I = 05,09 ma. Určete meze, ve kterých se pohybuje skutečně naměřená hodnota. 4) U měření se často hovoří o pojmu nejistota měření. Najděte si na internetu, co tento pojem znamená. Můžete použít například tento odkaz: http://artemis.osu.cz/fyzp3/multimed/protok/protok.htm 41

Praktické využití měřidel v matematice 9. Praktické využití měřidel v matematice V hodinách matematiky můžeme pro oživení a následnou motivaci žáků použít i netradiční simulace matematických jevů pomocí počítačem podporovaných experimentů. Můžeme z výsledků měření například tvořit různé grafy, data zpracovávat statistickými metodami a využití najdeme rovněž při práci s funkcemi. Grafické znázornění naměřených veličin je možné provést téměř z libovolného měření, následně pak můžeme určovat základní statistické charakteristiky, určit chyby měření, a tuto činnost je možné i propojit s učivem informatiky, zejména s využitím tabulkových procesorů. Matematické funkce můžeme modelovat na následujících příkladech: 1. Lineární funkce a. Měření teploty při ohřívání vody varnou konvicí b. Vzrůst hydrostatického tlaku s hloubkou 2. Exponenciální funkce a. Měření výšky skákajícího míče b. Chladnutí vody v nádobě c. Stínění světla filtry 3. Logaritmická funkce a. Hladina intenzity zvuku b. Ředění kyselin a změna ph 4. Goniometrická funkce a. Fázové posuvy b. Kmitání závaží 42

Závěr 10. Závěr Tato sbírka si neklade za cíl měnit zažité formy výuky matematiky, chce jen malým dílem přispět ke zvýšení motivace v tomto předmětu a ukázat, že matematika není určitě zbytečnou přežitou vědou, ale že její význam s rozvojem vědy a techniky stále stoupá a tím také stoupá její využití v praktickém životě. Sbírka byla koncipována s velkou snahou o názornost, zpětnou vazbu a s ohledem na spojení teorie s praxí. Pokud alespoň pár jedinců zaujme do té míry, že budu mít chuť částečně změnit svůj postoj k matematice a začnou ji aktivně aplikovat třeba ve spojitosti s počítačem řízenými experimenty, pak došlo k naplnění účelu, se kterým byla psána. 43

Literatura a internetové zdroje 11. Literatura a internetové zdroje Benda, P. a ko.l (1983): Sbírka maturitních příkladů z matematiky. SPN, Praha, 199 s. Hudec, T., Rangl, M. (2010): Diagnostické nástroje pro potřeby evaluace. Tempus, Opava, 98s. Krpec. R., Ambrozková,D., Kocichová, D., Nagyová, I.(2011): Matematika, informatika a robotika. Ostravská univerzita v Ostravě, Ostrava, 161 s. Kováčik, J. a kol. (2004):Řešené příklady z matematiky pro střední školy. Aspi Publishing, s.r.o., Praha, 710 s. Polák, J. (1983): Přehled středoškolské matematiky. SPN, Praha, 627 s. Rangl, M. (2012): Sbírka úloh z matematiky. Společnost pro kvalitu školy, Ostrava, 34 s. Vejsada, F., Talafous, F.(1969): Sbírka úloh z matematiky. SPN, Praha, 687s. http://dumy.cz/material/22356-krizove-pravidlo>. http://www.ucebnice.krynicky.cz/matematika/01_zakladni_poznatky/09_vyjadreni_ nezname_ze_vzorce/1901_vyjadreni_nezname_ze_vzorce_i.pdf http://dumy.cz/material/54059-kvadraticka-funkce-v-praxi http://www.sbirkaprikladu.cz/sbirka_prikladu/mechanicke_kmitani_a_vlneni/23. html? ida=23&pp=mechanicke_kmitani_a_vlneni&cp=1&stupen=s&stranka=0 http://www.sbirkaprikladu.cz/sbirka_prikladu/elektrina_a_magnetismus/17.html? ida=17&pp=elektrina_a_magnetismus&cp=9&stupen=s&stranka=0 http://www.priklady.eu/cs/matematika/exponencialni-rovnice.alej http://www.priklady.eu/cs/matematika/pravdepodobnost-a-statistika/statistika.alej http://dumy.cz/material/19631-statistika-median-smerodatna-odchylka http://fyzika.upol.cz/cs/system/files/download/vujtek/texty/pext2-nejistoty.pdf http://cs.wikipedia.org/wiki/multimetr http://kdf.mff.cuni.cz/lide/jermar/bohm_jermar_vernier_v_matematice.pdf 44