Kombinatorické metody I Doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc.

Transkript

1 Fakulta přírodovědně humanitní a pedagogická, Technická univerzita v Liberci Kombinatorické metody I Doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc. Liberec, 2017 Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL - 1 -

2 Obsah 1. Elementární kombinatorika 1.1. Základní pravidla kombinatoriky 1.2. Variace, permutace, kombinace 1.3. Základní kombinatorické identity 1.4. Subfaktoriály, Catalanova čísla 1.5. Binomická a multinomická věta, Newtonův vzorec 2. Rozklady 2.1. Rozklady nerozlišitelných objektů do rozlišitelných tříd 2.2. Rozklady nerozlišitelných objektů do nerozlišitelných tříd 2.3. Stirlingova čísla 3. Rekurentní vztahy 3.1. Homogenní lineární rekurentní vztahy a jejich řešení 3.2. Nehomogenní lineární rekurentní vztahy a jejich řešení 4. Vytvořující funkce 4.1. Řešení rekurentních vztahů metodou vytvořujících funkcí 4.2. Věžové polynomy 5. Burnside/Pólya enumerační metoda 6. Symbolika OO, ΩΩ, ΘΘ, složitost algoritmů 7. Rekurzivní algoritmy divide and conquer 8. Přílohy 8.1. Přehled značení 8.2. Tabulka hodnot subfaktoriálů 8.3. Tabulka hodnot Fibonacciho čísel 8.4. Tabulka hodnot Catalanových čísel 8.5. Tabulka hodnot Stirlingových čísel 1. druhu 8.6. Tabulka hodnot Stirlingových čísel 2. druhu Předmluva Skripta Kombinatorické metody I jsou úvodem do elementárního kombinatorického počítání a seznamují čtenáře se základními myšlenkami a pojmy z oblasti klasické kombinatoriky. Na tato skripta navazují skripta Kombinatorické metody II, která se věnují dalším vybraným tématům zejména teorii grafů. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL - 2 -

3 1. Elementární kombinatorika Systematický rozvoj kombinatoriky lze datovat do 17. století a je spojen se jmény Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Christian Huygens a Jacob Bernoulli. Hlavní pozornost se soustředila především na řešení různých otázek spojených s problematikou hazardních her, loterií apod. V tomto kontextu lze nejjednodušší úlohu kombinatoriky formulovat následovně - kolika různými způsoby je možné z nn objektů vybrat k-tici (tj. objektů). V závislosti na podmínkách, které definují různé způsoby výběru, se dostáváme k následujícím základním kombinatorickým pojmům - variace, permutace a kombinace. První představu o obsahu těchto pojmů si lze udělat z následujícího schématu. Základní kombinatorické pojmy Variace záleží na pořadí prvků v k-tici Permutace vybíráme všechny prvky Kombinace nezáleží na pořadí prvků v k-tici 1.1. Základní pravidla kombinatoriky Při řešení kombinatorických úloh velmi rychle zjistíme, že většina z nich má tu nepříjemnou vlastnost, že nemůže být řešena metodou hrubé síly, kdy hledáme řešení výčtem, resp. vyzkoušením všech možností. Ukazuje se, že tento přístup k řešení kombinatorických úloh je i mimo možnosti současné výpočetní techniky. Z těchto důvodů jsou potřebná základní kombinatorická pravidla a metody, jejichž vhodnou aplikací lze vyřešit většinu běžných, někdy i netriviálních, kombinatorických úloh. Jde především o pravidlo součtu, pravidlo součinu, Dirichletův princip a princip inkluze a exkluze. Pravidlo součtu Nechť množina AA = {aa 1,, aa mm } obsahuje m různých prvků a množina BB = {bb 1,, bb nn } obsahuje n různých prvků, navíc AA BB =. Potom jeden prvek z množiny AA BB lze vybrat mm + nn různými způsoby. Důkaz. Vzhledem k předpokladu AA BB =, je pravidlo součtu ekvivalentní s tvrzením AA BB = AA + BB. Pravidlo součinu Nechť množina AA = {aa 1,, aa mm } obsahuje m různých prvků a množina BB = {bb 1,, bb nn } obsahuje n různých prvků. Potom uspořádanou dvojici prvků aa ii, bb jj, kde aa ii AA, bb jj BB lze vybrat mm nn různými způsoby. Důkaz. Pravidlo součinu je ekvivalentní se zřejmým tvrzením AA BB = AA BB, kde symbol označuje kartézský součin. Schematicky lze toto pravidlo znázornit maticí (aa 1, bb 1 ) (aa 1, bb 2 ) (aa 1, bb nn ) (aa AA BB = 2, bb 1 ) (aa 2, bb 2 ) (aa 2, bb nn ) (aa mm, bb 1 ) (aa mm, bb 2 ) (aa mm, bb nn ) typu mm, nn, která obsahuje (právě jednou) všechny uspořádané dvojice aa ii, bb jj, ii = 1, mm, jj = 1, nn. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL - 3 -

4 Poznámky Pravidlo součtu lze snadno zobecnit na případ více množin. Jsou-li AA 1,, AA nn po dvou disjunktní množiny (tj. ii jj AA ii AA jj = ), dostáváme AA 1 AA 2 AA nn = AA 1 + AA AA nn. V případě, kdy není splněna podmínka disjunktnosti po dvou, pravidlo součtu nelze aplikovat a je třeba použít princip inkluze a exkluze (viz poznámka dále). Pravidlo součinu lze také zobecnit na případ více (konečných) množin. Dostáváme tak AA 1 AA 2 AA nn = AA 1 AA 2 AA nn. Princip inkluze a exkluze (princip IE) Označme NN celkový počet objektů, které mohou mít některé z vlastností αα 1,, αα nn. Označme dále NN αα ii1,, αα ii počet všech objektů z celkového počtu NN, které mají vlastnosti uvedené v závorce, tj. αα ii1,, αα ii (a to bez ohledu na to, zda mají některé další vlastnosti). Potom pro počet NN(αα 1,, αα nn ) objektů, které nemají žádnou z uvedených vlastností αα 1,, αα nn platí nn NN(αα 1,, αα nn ) = NN [ ii=1 NN(αα ii )] + 1 ii 1 <ii 2 nn NN αα ii1, αα ii2 1 ii 1 <ii 2 <ii 3 nn NN αα ii1, αα ii2, αα ii3 + + ( 1) 1 ii 1 < <ii nn NN αα ii1,, αα ii + + ( 1) nn NN(αα 1, αα 2,, αα nn ) Důkaz. Matematickou indukcí dle počtu vlastností, tj. dle nn. Pro nn = 1 má princip IE triviálně platný tvar NN(αα 1 ) = NN NN(αα 1 ). Předpokládejme nyní jeho platnost pro libovolnou skupinu předmětů a (nn 1) vlastností, tj. nn 1 NN(αα 1,, αα nn 1 ) = NN ii=1 NN(αα ii ) + 1 ii 1 <ii 2 nn 1 NN αα ii1, αα ii2 + + ( 1) 1 ii 1 < <ii nn 1 NN αα ii1,, αα ii + + ( 1) nn 1 NN(αα 1, αα 2,, αα nn 1 ) Aplikací tohoto předpokladu na skupinu předmětů majících vlastnost aa nn dostáváme nn 1 NN(αα 1,, αα nn 1, αα nn ) = NN(αα nn ) ii=1 NN(αα ii, αα nn ) + 1 ii 1 <ii 2 nn 1 NN αα ii1, αα ii2, αα nn + + ( 1) 1 ii 1 < <ii nn 1 NN αα ii1,, αα ii, αα nn + + ( 1) nn 1 NN(αα 1, αα 2,, αα nn 1, αα nn ) Dále zřejmě platí NN(αα 1,, αα nn ) = NN(αα 1,, αα nn 1 ) NN(αα 1,, αα nn 1, αα nn ). Po dosazení výše uvedených vztahů a elementární úpravě dostáváme dokazované tvrzení. Poznámky Množinově bývá princip IE zapisován ve tvaru nn nn ii=1 AA ii = ii=1 AA ii 1 ii 1 <ii 2 nn AA ii1 AA ii2 + + ( 1) +1 1 ii 1 < <ii nn AA ii1 AA ii + Speciálně v případě nn = 2 dostáváme ( 1) nn+1 AA 1 AA nn NN(αα 1, αα 2 ) = NN NN(αα 1 ) NN(αα 2 ) + NN(αα 1, αα 2 ), resp. AA 1 AA 2 = AA 1 + AA 2 AA 1 AA 2. V případě nn = 3 dostáváme NN(αα 1, αα 2, αα 3 ) = NN NN(αα 1 ) NN(αα 2 ) NN(αα 3 ) + NN(αα 1, αα 2 ) + NN(αα 1, αα 3 ) + NN(αα 2, αα 3 ) NN(αα 1, αα 2, αα 3 ) resp. AA 1 AA 2 AA 2 = AA 1 + AA 2 + AA 3 AA 1 AA 2 AA 1 AA 3 AA 2 AA 3 + AA 1 AA 2 AA 3. (případy nn = 2,3 lze přehledně znázornit Vennovými diagramy). Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL - 4 -

5 Dirichletův princip (P. G. L. Dirichlet, ) Při libovolném rozmístění nn objektů do přihrádek obsahuje alespoň jedna z nich nejméně nn/ objektů. Důkaz. Sporem. Předpokládejme, že každá přihrádka obsahuje nejvýše nn/ 1 objektů. Z definice xx dostáváme nn ( nn/ 1) < (nn/) = nn. Spor - alespoň jedna přihrádka obsahuje alespoň nn/ objektů. Určete minimální počet obyvatel města, jestliže víte, že alespoň 15 lidí má ve stejný den a měsíc narozeniny (k roku nepřihlížíme a předpokládáme 365 dní v roce). Dny v roce reprezentují přihrádky, tj. = 365. V alespoň jedné má být 15 objektů (osob se stejným datem narození). Z Dirichletova principu plyne, že hledáme nejmenší přirozené nn takové, aby nn Odtud nn = Poznámka Dirichletův princip lze formulovat také následovně: Uvažujme libovolných kladných přirozených čísel nn 1,, nn. Pokud rozmístíme nn 1 + +nn + 1 objektů do skupin, potom existuje ii {1,, } a alespoň jedna skupina, která obsahuje alespoň nn ii objektů. (důkaz snadné cvičení) 1.2. Variace, permutace, kombinace Nyní se vrátíme k exaktnějšímu vymezení základních kombinatorických pojmů - variace, permutace a kombinace. Připomeňme, že pro nn NN označujeme součin 1 2 nn symbolem nn! (čteme nn faktoriál), kde definujeme 0! = 1. Definice - variace bez opakování Označme MM množinu obsahující nn různých prvků. Variací -té třídy z nn prvků (resp. na nn-prvkové množině MM) nazýváme každou uspořádanou -tici navzájem různých prvků množiny MM. Počet všech variací -té třídy z nn prvků označíme AA nn. Stručně lze variace bez opakování charakterizovat jako uspořádané -tice (tj. záleží na pořadí prvků ve vybrané -tici), ve které se jednotlivé prvky nesmí opakovat. Dvě variace (bez opakování) považujeme tedy za různé, pokud se liší na alespoň jedné pozici. Pro libovolné, nn NN, nn platí AA nn = nn (nn 1) (nn + 1) = nn! (nn )! Důkaz. Počty prvků, které jsou na výběr při obsazování jednotlivých pozic ve variaci (bez opakování), jsou zřejmě dány následující tabulkou: 1. pozice 2. pozice -tá pozice nn nn 1 nn + 1 Dle pravidla součinu tak dostáváme platnost tvrzení. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL - 5 -

6 Definice - variace s opakováním Mějme k dispozici nn různých druhů prvků, každý druh v libovolném množství. Variací -té třídy z nn prvků s opakováním nazýváme každou uspořádanou -tici vytvořenou z prvků uvedených druhů. Počet všech variací. -té třídy z nn prvků s opakováním označíme AA nn Stručně lze variace s opakováním charakterizovat jako uspořádané -tice, ve které se jednotlivé druhy prvků mohou opakovat. Dvě variace s opakováním považujeme za různé, pokud se liší na alespoň jedné pozici. Pro libovolné, nn NN platí AA nn = nn. Důkaz. Počty prvků, kterými lze obsadit jednotlivé pozice ve variaci s opakováním, jsou zřejmě dány následující tabulkou (druhy se mohou opakovat!) 1. pozice 2. pozice -tá pozice nn nn nn Dle pravidla součinu tak dostáváme platnost tvrzení. Poznámky Variace -té třídy z nn prvků lze definovat pomocí pojmu zobrazení. Označme KK = {1,2,, } a AA = {aa 1,, aa nn } množinu obsahující nn různých prvků. Variace -té třídy z nn prvků bez opakování ( nn) odpovídají všem prostým zobrazením KK do AA. Variace -té třídy z nn prvků s opakováním odpovídají všem zobrazením KK do AA. Určete počet všech podmnožin libovolné nn prvkové množiny AA. Označme AA = {aa 1,, aa nn }. Každé podmnožině BB AA lze přiřadit uspořádanou nn-tici (xx 1,, xx nn ), nazývanou charakteristický vektor podmnožiny BB tak, že xx ii = 1, aa ii BB 0, aa ii BB. Podmnožiny tak jednoznačně odpovídají výše uvedeným variacím nn-té třídy s opakováním ze dvou prvků 0, 1. Naopak, každá variace nn-té třídy z 2 prvků (s opakováním) jednoznačně definuje jistou podmnožinu množiny AA, proto počet všech podmnožin nn-prvkové množiny je roven počtu variací nn-té třídy z 2 prvků s opakováním, tj. AA 2 nn = 2 nn. Poznámka Systém všech podmnožin množiny AA se běžně označuje některým z následujících symbolů PP(AA), 2 AA a nazývá se potenční množina množiny AA. Jak plyne z výše uvedeného příkladu, pro konečnou množinu AA platí PP(AA) = 2 AA. Uveďme např., že PP( ) =, PP({ }) =, { }, PP, { } =, { },, { }. Definice - permutace bez opakování Označme MM množinu obsahující nn různých prvků. Permutací řádu nn (resp. na množině MM) nazveme libovolnou uspořádanou nn-ti vytvořenou z prvků množiny MM. Počet všech permutací řádu nn označíme PP(nn), resp. PP nn. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL - 6 -

7 Poznámky Permutace řádu nn (bez opakování) jsou speciálním případem variací bez opakování, totiž variace nn-té třídy z nn prvků, tj. PP(nn) = AA nn nn. Permutace na množině MM odpovídají všem vzájemně jednoznačným zobrazením množiny MM na sebe (tzv. bijektivní zobrazení, tj. prosté a na). Platí následující rekurentní vztahy PP(nn) = nn PP(nn 1), kde PP(0) = 1, PP(nn) = (nn 1) PP(nn 1) + PP(nn 2), kde PP(0) = 1, PP(1) = 1. S prvním z výše uvedených vztahů se ještě setkáme v celé řadě souvislostí. V této chvíli uveďme jeho možnou kombinatorickou interpretaci. Množinu všech permutací na {aa 1,, aa nn } rozložíme do nn tříd AA 1,, AA nn tak, že AA ii obsahuje právě všechny permutace, které mají na první pozici prvek aa ii. Snadno zjistíme, že takto definované třídy tvoří rozklad AA (tj. jsou po dvou disjunktní a jejich sjednocení obsahuje všechny uvažované permutace) a navíc ze zřejmých důvodů mají stejný počet prvků, tj. ii, jj AA ii = AA jj. nn Z definice jednotlivých tříd pak vyplývá, že AA ii = PP(nn 1), tedy PP(nn) = ii=1 AA ii = nnnn(nn 1). Pro libovolné nn NN platí PP(nn) = nn! kde definujeme 0! = 1. Důkaz. Počet možností jak obsadit jednotlivé pozice v permutaci jsou zřejmě dány tabulkou: 1. pozice 2. pozice nn-tá pozice nn nn 1 1 Podle pravidla součinu dostáváme platnost tvrzení. Definice - permutace s opakováním Nechť množina MM obsahuje nn 1 stejných prvků 1. druhu, nn 2 stejných prvků 2. druhu až nn stejných prvků -tého druhu. Potom každé uspořádání prvků této množiny (tj. každou uspořádanou nn-tici těchto prvků, kde nn = nn nn ) nazveme permutací s opakováním řádu (nn 1,, nn ). Počet všech permutací s opakováním řádu (nn 1,, nn ) označíme PP(nn 1,, nn ), resp. PP nn1,,nn. Pro libovolná přirozená čísla nn 1,, nn platí Důkaz. Označme MM = {aa,, aa nn 1, bb,, bb nn 2 PP(nn 1,, nn ) = (nn nn )! nn 1! nn!,, rr,, rr}, kde nn = nn nn množinu prvků, ze kterých budou nn vytvářeny permutace. Každá permutace s opakováním je zřejmě invariantní vzhledem k permutacím prvků jednotlivých druhů. Prvky ii-tého druhu lze permutovat nn ii! způsoby, tedy dle pravidla součinu dostáváme PP(nn nn ) = PP(nn 1,, nn ) nn 1! nn!, odkud je platnost tvrzení zřejmá. Kolik různých slov (bez ohledu na smysl) lze sestavit při využití všech písmen slova POPOKATEPETL. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL - 7 -

8 Evidentně jde o permutace s opakováním na množině MM = {AA, EE, EE, KK, LL, OO, OO, PP, PP, PP, TT, TT}, tedy hledaný počet slov je roven PP(1,2,1,1,2,3,2) = 12! 1! 2! 1! 1! 2! 3! 2! = Definice - kombinace bez opakování Označme MM množinu obsahující nn různých prvků. Kombinací -té třídy z nn prvků (resp. na nn-prvkové množině MM) nazýváme každou neuspořádanou -tici navzájem různých prvků množiny MM. Počet kombinací -té třídy z nn prvků (bez opakování) budeme značit CC nn. Poznámky Dvě kombinace považujeme za různé, pokud se liší v zastoupení některého prvku (bez ohledu na pozici). Číslo CC nn se v závislosti na kontextu nazývá kombinační číslo, resp. binomický koeficient a označuje se také symbolem nn, který čteme nn nad. Pro libovolná přirozená, nn NN, nn platí CC nn = nn!! (nn )! Důkaz. Z každé kombinace (neuspořádané -tice) dostaneme! různých variací (uspořádané -tice) lišící se pouze pořadím prvků, tedy AA nn =! CC nn, odtud je platnost tvrzení zřejmá. - základní vlastnosti kombinačních čísel Pro, nn NN, nn platí: a) CC nn = CC nn nn, (symetrie) b) CC nn = CC 1 nn 1 + CC nn 1, (Pascalova identita) c) CC nn = PP(, nn ), d) nn =0 CC nn = 2 nn. Důkaz kombinatorický. Označme MM = {aa 1,, aa nn }. ad a) Každá kombinace -té třídy z nn prvků jednoznačně definuje doplňkovou kombinaci (nn )-té třídy (zbylé prvky) a tedy jejich počty musí být stejné, tj. CC nn = CC nn nn. ad b) Množinu kombinací -té třídy na MM rozložíme na disjunktní množiny AA 1, AA 2, kde AA 1 tvoří všechny kombinace obsahující aa 1, AA 2 všechny ostatní. Zřejmě CC nn = AA 1 + AA 2. Pro počet kombinací v AA 1 platí AA 1 1 = CC nn 1 (kombinace obsahují aa 1, ostatních ( 1) prvků vybíráme libovolně z (nn 1) zbývajících). Počet kombinací v AA 2 je AA 2 = CC nn 1 (vybíráme prvků z (nn 1), neboť nesmíme použít aa 1 ). ad c) Každé kombinaci -té třídy z nn prvků přiřadíme charakteristický vektor, tj. uspořádanou nn-tici (xx 1,, xx nn ), kde xx ii = 1, pokud aa ii je v dané kombinaci, resp. xx ii = 0, pokud aa ii není v dané kombinaci. Vztah mezi kombinacemi a jejich charakteristickými vektory, je vzájemně jednoznačný, proto jsou jejich počty stejné. Charakteristické vektory jsou permutace s opakováním z prvků prvního druhu (1) a (nn ) prvků druhého druhu (0) a tudíž CC nn = PP(, nn ). ad d) Pravá strana rovnosti udává počet variací nn-té třídy ze dvou prvků, např. 0,1. Množinu všech těchto variací rozložíme do (nn + 1) tříd AA 0,, AA nn, kde AA ii definujeme jako množinu všech variací obsahující právě ii jedniček a (nn ii) nul. Zřejmě platí AA ii ii = PP(ii, nn ii) = CC nn a vzhledem k tomu, že množiny AA ii jsou disjunktní po dvou, dostáváme 2 nn = AA AA nn, což bylo třeba dokázati. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL - 8 -

9 Uspořádejme nyní kombinační čísla do tzv. Pascalova trojúhelníku (schéma z následujícího obr.), jehož nn-tý řádek obsahuje právě všechna kombinační čísla CC nn, 0 nn. CC 0 1 CC CC CC CC CC CC CC n Vztah části a) předchozího tvrzení lze interpretovat jako symetrii řádků (tj. -té číslo zleva se rovná -tému číslu zprava). Vztah b) vyjadřuje skutečnost, že každé číslo ve schématu (které není krajní ) je součtem dvou čísel z předcházejícího řádku umístěných v daném a předcházejícím sloupci. Vztah c) udává, že součet nn-tého řádku je roven 2 nn. Dále lze odhalit i kombinatoricky jinak méně evidentní zákonitosti, např. číslo z nn-tého řádku a -tého sloupce (který není krajní ) je rovno součtu čísel na diagonále [nn 1, ] [nn 1,0] (první číslo v dvojici určuje řádek a druhé sloupec). Platí tedy CC 0 1 nn = CC nn 1 + CC nn + +CC nn 1. Pomocí Pascalovy identity lze dodefinovat hodnoty CC nn pro, nn ZZ (tzv. rozšířený, resp. zobecněný binomický koeficient), čímž dostáváme následující schéma, které se nazývá rozšířený Pascalův trojúhelník. 0 k CC CC CC CC CC CC CC k CC CC CC CC CC CC CC CC n Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL - 9 -

10 Definice rozšířené binomické koeficienty Pro libovolná přirozená čísla, nn NN definujeme hodnoty rozšířených binomických koeficientů (kombinačních čísel) následovně: CC nn = nn! (nn )!!, pro 0 nn, CC nn = 0, pro 0 nn <, CC nn = ( 1) CC nn+ 1, pro 0, 0 < nn, CC nn = CC nn = 0, pro 0 <, 0 nn. Jak uvidíme později, odpovídá tato definice vlastnostem binomických koeficientů (kombinačních čísel) v kontextu jejich širšího využití. Definice - kombinace s opakování Mějme k dispozici nn různých druhů prvků, každý v libovolném množství. Kombinací -té třídy z nn prvků s opakováním (0, nn) nazveme libovolnou neuspořádanou -tici sestavenou z prvků uvedených druhů. Dvě kombinace s opakováním považujeme za různé, jestliže se liší v počtu zastoupení prvků některého druhu. Počet kombinací -té třídy z nn prvků s opakováním budeme značit CC nn. Pro libovolná nn, NN platí CC nn = CC nn+ 1. Důkaz. Každou kombinaci -té třídy z nn prvků {aa 1,, aa nn } s opakováním lze jednoznačně reprezentovat bitovým řetězcem délky (nn + 1) obsahujícím 1 a (nn 1) 0. Prvky 0 tvoří oddělovače jednotlivých druhů a 1 zastupují prvky vyskytující se v kombinaci. Je zřejmé, že všem kombinacím -té třídy z nn prvků s opakováním odpovídají právě všechny permutace s opakováním z 1 a (nn 1) 0, tj. CC nn = PP(, nn 1) = CC nn+ 1. Poznámka Po definici pojmů variace, kombinace a permutace lze přistoupit k některým ukázkám jejich využití, např. ve statistické fyzice. Základní úlohou statistické fyziky je určit, jak se vzhledem ke svým vlastnostem rozdělují fyzikální částice. Předpokládejme, že zkoumaný systém obsahuje částic a existuje nn různých fázových stavů, ve kterých se tyto částice mohou vyskytovat. V závislosti na jejich vlastnostech dostáváme následující modely. a) Maxwell-Boltzmannův model - nachází uplatnění v klasické fyzice (např. kinetická teorie plynů) a předpokládá, že částice jsou vzájemně rozlišitelné a každá z nich se může se stejnou pravděpodobností vyskytovat v libovolném fázovém stavu. Pro počet možných rozdělení částic tak dostáváme AA nn = nn. b) Bose-Einsteinův model. Tento model nachází uplatnění např. v kvantové fyzice a předpokládá, že částice (nazývané bosony) jsou vzájemně nerozlišitelné. Rozhodující je pouze počet částic v jednotlivých fázových stavech, proto počet možných rozdělení uvažovaných částic je CC nn. c) Fermi-Diracův model. Tento model nachází uplatnění v atomové fyzice a lze ho považovat za Bose-Einsteinův model omezený Pauliovým vylučovacím principem. Předpokládá, že každý fázový stav může obsahovat nejvýše jednu částici (nazývanou fermion). Pro počet možných rozdělení částic tak dostáváme CC nn. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

11 1.3. Základní kombinatorické identity Kombinatorické úlohy lze řešit v zásadě třemi následujícími způsoby: Přímá metoda spočívá ve vhodné úpravě výrazů a využití různých obecně platných vztahů. Bývá technicky velmi náročná a je rozumně využitelná pouze v jednoduchých případech. Kombinatorická metoda založena na kombinatorických úvahách. Názorná, technicky velmi jednoduchá a prakticky využitelná i ve složitějších případech. Metody využívající vytvořující funkce, resp. rekurentní vztahy - obecné a velmi účinné metody, využitelné i ve složitých příkladech a důkazech. Těmto metodám se budeme věnovat v navazujících skriptech. Platí a) nn ( 1) =0 CC nn = 0, b) CC nn+1 nn+ = 1 nn ii=0 CC nn+ii, ii=0 c) CC mm+nn = CC ii ii mm CC nn, min{mm, nn} (Vandermondeova identita). Důkaz. ad a) Uvedený vztah je zřejmě ekvivalentní s tvrzením, že počet všech kombinací sudého řádu z nn prvků {aa 1,, aa nn } je roven počtu kombinací lichého řádu. Zvolme libovolně jeden prvek, např. aa 1, a následně proveďme proceduru, při které ze všech kombinací obsahujících prvek aa 1 tento prvek odebereme a naopak do kombinací, které ho původně neobsahovaly, tento prvek přidáme. Je zřejmé, že opět dostaneme všechny kombinace -té třídy z nn prvků, navíc všechny kombinace lichého řádu přejdou na kombinace sudého řádu a opačně (ve všech kombinacích změníme počet prvků o jeden). ad b) Množinu všech kombinací ( 1). třídy z (nn + 2) prvků {aa 1,, aa nn+2 } s opakováním rozložíme do tříd AA 0,, AA 1, kde AA ii je třída obsahující všechny kombinace ( 1). třídy s opakováním, ve kterých se vyskytuje prvek aa ii právě ii-krát. Zřejmě tak platí CC nn+2 1 = CC nn CC nn CC nn+1 + CC nn+1. Využitím vztahu pro výpočet kombinaci s opakováním pomocí kombinací bez opakování dostáváme dokazované tvrzení. ad c) Množinu všech kombinací -té třídy z (mm + nn) prvků {aa 1,, aa mm } {bb 1,, bb nn } rozložíme podle počtu prvků z množiny {aa 1,, aa mm } do ( + 1) tříd AA 0,, AA, kde AA ii je třída obsahující všechny kombinace, ve kterých je právě ii prvků z množiny {aa 1,, aa mm } a ( ii) prvků z množiny {bb 1,, bb nn }. Zřejmě platí CC mm+nn = ii=0 AA ii, kde AA ii = CC ii mm CC ii nn. Výše uvedené identity nachází využití při řešení celé řady různých úloh. Jako příklad uvedeme vztahy pro výpočet součtů mocnin přirozených čísel. Ve vztahu b) položme nn = 1. Dostáváme tak CC CC CC 1 2 = CC +1. Odtud = (+1). 2 (Součet lze stanovit i jednodušší úvahou, kterou použil C. F. Gauss. Návod sčítejte vhodné dvojice čísel.) Pro výpočet součtu druhých mocnin využijeme opět vztah b), kde položíme nn = 2. Dostáváme tak CC CC CC +1 = CC +2 a po rozepsání ( + 1) = ii=1 ii + ii=1 ii2 = (+1)(+2). 3 Pro součet druhých mocnin tak dostáváme = (+1)(2+1) 6. Analogicky lze pokračovat i v případě výpočtu součtu vyšších mocnin (volíme nn = 3, ). Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

12 Platí a) PP( 1, 2,, rr ) = CC 1 nn CC 2 nn 1 b) PP( 1, 2,, rr ) rr =nn = rr nn. rr 1 CCnn 1 rr 2. kde se sčítá přes všechny uspořádané rr-tice ( 1,, rr ) přirozených čísel, jejichž součet je roven nn (tj. přes všechny rozklady čísla nn na rr sčítanců, na jejichž pořadí záleží). Důkaz. ad a) Všechny permutace s opakováním z 1 prvků 1. druhu, 2 prvků 2. druhu,, rr prvků rr-tého druhu lze sestavit následovně. Nejprve vybereme 1 míst pro prvky 1. druhu, což lze provést CC 1 nn různými způsoby (všechny pozice jsou zatím volné). Následně vybereme 2 míst pro prvky 2. druhu. Tato místa již vybíráme z (nn 1 ) volných pozic, tj. CC 2 nn 1 způsoby. Analogicky postupujeme i v případě prvků ostatních druhů. Aplikací pravidla součinu pak dostáváme dokazovaný vztah. ad b) Pravá strana b) je zřejmě rovna počtu všech variací nn-té třídy s opakováním z rr prvků {aa 1,, aa rr }. Všechny zmíněné variace lze rozložit podle počtu prvků jednotlivých druhů do tříd. Počet tříd je zřejmě roven počtu uspořádaných rr-tic přirozených čísel ( 1,, rr ), kde rr = nn a v každé takové třídě je PP( 1,, rr ) variací. Pro potřeby počítačového modelování je třeba mít k dispozici algoritmy, které umožní efektivně a systematicky (tj. v jasně definovaném pořadí) generovat permutace, kombinace, resp. variace. Závěrečná část této kapitoly je věnována právě této problematice. Definice - lexikografické uspořádání Nechť AA = {aa 1,, aa nn } je uspořádaná abeceda, kde aa 1 < aa 2 < < aa nn. Potom uspořádání na množině AA konečných slov nad AA definované pro xx, yy AA, kde xx = xx 1 xx mm, yy = yy 1 yy nn vztahy: i) xx = yy (mm = nn) [ ii {1,, mm} (xx ii = yy ii )], ii) xx yy (xx 1 < yy 1 ) [ {2,, min{mm, nn}} (xx 1 = yy 1,, xx 1 = yy 1 ) (xx < yy )] [(mm < nn) ( ii {1,, mm} xx ii = yy ii )] nazýváme lexikografické uspořádání na AA. Lexikografické uspořádání je uspořádání, které odpovídá běžnému řazení slov ve slovníku. Právě v tomto pořadí bude následující algoritmus generovat permutace na množině {1,2,, nn}. Algoritmus generování permutací řádu nn v lexikografickém pořadí (xx 1, xx 2,, xx nn ) = (1,2,, nn); (* generování startuje od nejmenší (lexikograficky) permutace *) while (xx 1, xx 2,, xx nn ) (nn,,2,1) do = max {ii xx ii < xx ii+1 }; (* v aktuální permutaci urči poslední pozici následovanou větším prvkem *) 1 ii nn 1 xx 1 = xx 1 ; ; xx 1 = xx 1 ; (* prvky na pozicích 1,, 1 se v nově generované permutaci nemění *) xx = min {xx ii xx ii > xx }; (* v nově generované permutaci umísti na -tou pozici nejmenší prvek +1 ii nn aktuální permutace, který je větší než xx a který následuje za -tou pozici *) (xx +1,, xx nn ) = zbývající prvky seřazené vzestupně ; (xx 1, xx 2,, xx nn ) = (xx 1, xx 2,, xx nn ); pppppppppp(xx 1, xx 2,, xx nn ); wend; Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

13 Vygenerujte prvních třináct (v lexikografickém uspořádání) permutací na množině {1,2,3,4}: (1,2, 33, 4) (1, 22, 4,3) (1,3, 22, 4) (1, 33, 4,2) (1,4, 22, 3) (11, 4,3,2) (2,1, 33, 4) (2, 11, 4,3) (2,3, 11, 4) (2, 33, 4,1) (2,4, 11, 3) (22, 4,3,1) (3,1,2,4) (tučně označený prvek odpovídá pozici ) Vygenerujte dvě bezprostředně po sobě jdoucí permutace (v lexikografickém uspořádání) následující permutaci (3,1,4,2,7,6,5): (3,1,4, 22, 7,6,5) (3,1,4,5,2, 66, 7) (3,1,4,5,2,7,6) Při generování kombinací je třeba vzít v úvahu skutečnost, že kombinace je množina, tj. nezáleží na pořadí prvků a proto nelze použít lexikografické uspořádání. U kombinací tak použijeme následující uspořádání. Pro libovolné konečné číselné množiny AA, BB definujeme: AA < BB min{(aa BB) (AA BB)} AA. (např. pro AA = {6,3,2,5,7,8}, BB = {7,3,2,4,8} platí BB < AA) Algoritmus generování kombinací řádu na množině {11, 22,, nn} (přesto, že jsou kombinace neuspořádané -tice, budeme je zapisovat jako uspořádané -tice, tj. do okrouhlých závorek) (xx 1,, xx ) = (1,, ); (* generování startuje od nejmenší kombinace, dle výše definovaného uspořádání *) while (xx 1,, xx ) (nn + 1,, nn) do mm = max {ii jj (xx 1,, xx ) (jj > xx ii )}; (* v aktuální permutaci urči poslední pozici ii {1,, } s 1 ii vlastností - existuje prvek větší než xx ii, který není v aktuální kombinaci *) xx 1 = xx 1 ; ; xx mm 1 = xx mm 1 ; (* prvky na pozicích 1,, mm 1 se v nově generované kombinaci nemění *) xx mm+ii = xx mm + (ii + 1), ii = 0,1,, mm; (* obsazení zbývajících pozic v nově generované kombinaci *) (xx 1,, xx ) = (xx 1,, xx ); pppppppppp(xx 1,, xx ); wend; Pro nn = 5, = 3 vygenerujte všechny kombinace: (1,2, 33) (1,2, 44) (1, 22, 5) (1,3, 44) (1, 33, 5) (11, 4,5) (2,3, 44) (2, 33, 5) (22, 4,5) (3,4,5) Pro nn = 8, = 5 vygenerujte dvě kombinace bezprostředně následující kombinaci (1,2,4,7,8): (1,2,4,7,8) (1,2,5,6,7) (1,2,5,6,8) Algoritmus generování variací řádu na množině {11, 22,, nn} Při generování variací -té třídy z nn prvků postupujeme následovně - postupně generujeme kombinace -té třídy z nn prvků a pro každou kombinaci vygenerujeme všechny její permutace. Popsaný způsob negeneruje variace v lexikografickém pořadí, nicméně jde o generování variací v jasně definovaném pořadí. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

14 Pro nn = 4, = 3 vygenerujte všechny variace: (1,2,3) (1,2,4) (1,3,4) (2,3,4) (1,3,2) (1,4,2) (1,4,3) (2,4,3) (2,1,3) (2,1,4) (3,1,4) (3,2,4) (2,3,1) (2,4,1) (3,4,1) (3,4,2) (3,1,2) (4,1,2) (4,1,3) (4,2,3) (3,2,1) (4,2,1) (4,3,1) (4,3,2) 1.4. Subfaktoriály, Catalanova čísla V následující části odstavce se budeme věnovat několika kombinatorickým úlohám s omezujícími podmínkami. Při jejich řešení budou využívány postupy, které mají obecný charakter a jsou významné pro řešení celé řady dalších úloh. a) Označme DD(nn) počet permutací řádu nn, ve kterých nezůstává žádný prvek na svém místě. Potom platí DD(nn) = nn! 1 1 1! + 1 2! 1 3! + + ( 1)nn 1 nn!. b) Označme DD (nn) počet permutací řádu nn, ve kterých právě (0 nn) prvků, zůstává na svém místě. Potom platí DD (nn) = CC nn DD(nn ). Důkaz. ad a) Označme NN αα ii1,, αα ii počet permutací, ve kterých prvky aa ii1,, aa ii zůstávají na svém místě a NN(αα 1,, αα nn ) počet permutací, kdy žádný prvek nezůstává na svém místě. Aplikací principu IE dostáváme DD(nn) = NN(αα 1,, αα nn ) = NN [ 1 ii nn NN(αα ii )] + 1 ii 1 <ii 2 nn NN αα ii1, αα ii2 + + ( 1) 1 ii 1 < <ii nn NN αα ii1,, αα ii + + ( 1) nn NN(αα 1, αα 2,, αα nn ) Pro jednotlivé počty permutací zřejmě platí: NN = nn! celkový počet permutací řádu nn, NN(αα ii ) = (nn 1)! počet permutací, ve kterých zůstává prvek aa ii na svém místě, zbývajících (nn 1) prvků lze umístit libovolně, NN αα ii1, αα ii2 = (nn 2)! počet permutací, ve kterých prvky aa ii1, aa ii2 zůstávají na svém místě, zbývajících (nn 2) prvků lze umístit libovolně, NN αα ii1,, αα ii = (nn )! počet permutací, ve kterých prvků aa ii1,, aa ii zůstává na svém místě, zbývajících (nn ) lze umístit libovolně, NN(αα 1, αα 2,, αα nn ) = 0! počet permutací, kde zůstávají všechny prvky na svém místě. Odtud DD(nn) = nn! CC 1 nn (nn 1)! + CC 2 nn (nn 2)! + + CC nn (nn )! + + CC nn nn 0! a po snadné úpravě DD(nn) = nn! 1 1 1! + 1 2! 1 3! + + ( 1)nn 1 nn!. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

15 ad b) Prvky (v počtu ), které zůstávají na svém místě lze vybrat CC nn způsoby, zbývajících (nn ) prvků je možné umístit DD(nn ) způsoby tak, že nejsou na svém místě. Aplikací pravidla součinu pak dostáváme dokazovaný vztah. Pozorný čtenář si jistě uvědomí, že hranatá závorka ve vztahu pro DD(nn) obsahuje prvních (nn + 1) členů rozvoje ee 1. Jelikož řada uvedená v závorce konverguje rychle, lze pro nn 2 použít k výpočtům vztah DD(nn) = rrrrrrrrrr nn! ee, kde rrrruuuuuu( ) je funkce zaokrouhlení. Definice - subfaktoriály Čísla DD(nn), nn NN definovaná ve výše uvedeném tvrzení nazýváme subfaktoriálem (řádu nn). Jak vyplyne z níže uvedeného tvrzení, mají subfaktoriály DD(nn) mnohé vlastnosti podobné faktoriálům PP(nn). Platí: a) DD(nn) = (nn 1)[DD(nn 1) + DD(nn 2)], kde DD(0) = 1, DD(1) = 0, b) DD(nn) = nnnn(nn 1) + ( 1) nn, kde DD(0) = 1, c) PP(nn) = nn =0 CC nn DD(nn ). Důkaz. ad a) Označme AA množinu všech permutací na {aa 1,, aa nn }, ve kterých nezůstává žádný prvek na svém místě. Tuto množinu lze rozložit do (nn 1) tříd AA 2,, AA nn, kde AA ii obsahuje právě všechny permutace z AA, které mají na první pozici prvek aa ii. Vzhledem k tomu, že všechny třídy mají stejný počet prvků (důsledek symetrie ), pro libovolné ii platí DD(nn) = (nn 1) AA ii. Nyní stačí určit počet permutací, např. ve třídě AA 2. Třídu AA 2 rozložíme na dvě podmnožiny AA 0 2, AA 1 0 2, kde AA 2 obsahuje všechny permutace z AA 2, ve kterých je na druhé pozici aa 1 a na zbývajících (nn 2) pozicích není žádný prvek na svém místě. Odtud AA 2 0 = DD(nn 2). Podmnožina AA 2 1 obsahuje všechny zbývající permutace z AA 2 (na první pozici je aa 2, na druhé není aa 1 a na zbývajících pozicích není žádný prvek na svém místě). Odtud AA 2 1 = DD(nn 1) a tedy platnost dokazovaného tvrzení je zřejmá. ad b) Označme h nn = DD(nn) nnnn(nn 1). Snadnou úpravou (dosazením do a)) dostáváme h nn = ( 1)h nn 1, tedy h nn = ( 1) nn 2 h 2, kde h 2 = DD(2) 2DD(1) = 1. Odtud DD(nn) nnnn(nn 1) = ( 1) nn a po zřejmé úpravě dostáváme dokazovaný vztah. ad c) Množinu všech permutací řádu nn lze rozložit do (nn + 1) tříd AA 0,, AA nn, kde AA ii obsahuje všechny permutace, kde zůstává právě ii prvků na svém místě. Odtud s ohledem na předchozí tvrzení dostáváme PP(nn) = nn =0 DD (nn) = nn =0 CC nn DD(nn ). Uvažujme rovinnou síť znázorněnou na sousedním obrázku a předpokládejme, že pohyb v síti je realizován pouze pomocí dvou typů tahů [xx, yy] [xx + 1, yy] a [xx, yy] [xx, yy + 1]. Spočtěte, kolik existuje různých cest z bodu [0,0] do bodu [mm, nn]. Pro potřeby důkazu označme tah [xx, yy] [xx + 1, yy] symbolem 0 a tah typu [xx, yy] [xx, yy + 1] symbolem 1. Nyní je zřejmé, že každé cestě (používající pouze tahy typu 0 a 1) lze jednoznačně přiřadit bitový řetězec [0,0] y x Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

16 délky (mm + nn), který obsahuje právě mm nul a nn jedniček. Naopak, každý bitový řetězec obsahující mm nul a nn jedniček definuje jedinou cestu z bodu [0,0] do bodu [mm, nn] a proto počet uvažovaných cest je roven počtu všech permutací s opakováním, které se skládají z mm nul a nn jedniček, tj. PP(mm, nn) = CC mm mm+nn. Uvažujme rovinnou síť z předcházejícího příkladu, ve které se pohybujeme pomocí stejných typů kroků, tj. 0: [xx, yy] [xx + 1, yy] a 1: [xx, yy] [xx, yy + 1]. Spočtěte, kolik existuje různých cest z bodu [0,0] do bodu [nn, nn], které nepřekročí diagonálu. (Diagonálu tvoří body [xx, yy], pro které xx = yy, tj. nepřekročíme diagonálu, pokud pro souřadnice [xx, yy] všech bodů cesty platí xx yy). Hledaný počet povolených cest (nepřekročí diagonálu a vedou z [0,0] do [nn, nn]) označíme CC nn a určíme ho jako doplněk počtu zakázaných cest ZZ nn (cesta překročí diagonálu). Platí proto CC nn = CC nn 2nn ZZ nn. Počet ZZ nn určíme následující kombinatorickou úvahou. Označme aa 1,, aa,, aa 2nn bitový řetězec reprezentující zakázanou cestu a index, kde cesta prvně překročí diagonálu. V tomto okamžiku je poprvé počet jedniček v prefixu aa 1,, aa o jedničku větší než počet nul (číslo je proto liché). V této chvíli přidejme na začátek uvažovaného bitového řetězce 0. Tím dostáváme bitový řetězec 0, aa 1,, aa,, aa 2nn, který má v prefixu 0, aa 1,, aa stejný počet 1 i 0. Dále v uvažovaném prefixu zaměňme 0 a 1. Dostáváme tak bitový řetězec 1, aa 1,, aa, aa +1,, aa 2nn, kde aa ii = 0, jestliže aa ii = 1 a aa ii = 1 v ostatních případech. Tento nový bitový řetězec začíná 1, obsahuje (nn + 1) nul a nn jedniček. Snadno nahlédneme, že každé zakázané cestě lze takto jednoznačně přiřadit bitový řetězec uvedených vlastností (dvěma různým zakázaným cestám zřejmě odpovídají i různé bitové řetězce). Nyní je podstatné si uvědomit, že každý bitový řetězec bb 0, bb 1,,,, bb 2nn uvedených vlastností (tj. začíná 1, obsahující (nn + 1) nul a nn jedniček) definuje zakázanou cestu, kterou lze zkonstruovat následovně. Nechť označuje pozici, kde se poprvé vyrovná počet 1 a 0 (tato situace musí nutně nastat - zdůvodněte). Nyní v prefixu bb 0, bb 1,, zaměníme 0 a 1 a odstraníme úvodní 0. Získáme tak bitový řetězec bb 1,, bb, bb +1,, bb 2nn, který reprezentuje zakázanou cestu (poprvé překročí diagonálu na pozici ). Tím jsme také dokázali, že počet zakázaných cest je roven počtu bitových řetězců délky (2nn + 1), které začínají 1, obsahují (nn + 1) nul a nn jedniček, tj. ZZ nn = PP(nn 1, nn + 1) = CC nn 1 2nn. Pro počet povolených cest tak dostáváme CC nn = CC nn 2nn CC nn 1 2nn = 1 CC nn+1 2nn nn. Definice - Catalanova posloupnost Catalanovou posloupností budeme nazývat posloupnost {CC nn } nn=0, kde CC nn = 1 nn + 1 CC 2nn nn a její členy budeme nazývat Catalanovými čísly. Poznámky Catalanova posloupnost patří mezi prominentní kombinatorické posloupnosti a je řešením celé řady úloh. Snadno nahlédneme, že počet způsobů jak správně uzávorkovat součin xx 0 xx 1 xx nn je roven CC nn. (Řádně zdůvodněte. Návod - každou levou závorku reprezentujte symbolem 0 a pravou symbolem 1.) Speciálně pro nn = 3 dostáváme CC 3 = 5 následujících možnost: (xx 0 xx 1 ) xx 2 xx 3 (xx 0 xx 1 ) (xx 2 xx 3 ) xx 0 (xx 1 xx 2 ) xx 3 xx 0 (xx 1 xx 2 ) xx 3 xx 0 xx 1 (xx 2 xx 3 ) Počet permutací řádu nn, které lze realizovat pomocí zásobníku (do zásobníku jsou postupně vkládána čísla 1,2,, nn a mohou být kdykoliv vybírána), je roven CC nn. (Řádně zdůvodněte. Návod - každou operaci PUSH reprezentujte symbolem 0 a POP symbolem 1.) Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

17 1.5. Binomická a multinomická věta, Newtonův vzorec Velmi důležitou kombinatorickou identitou je známá binomická věta a její zobecnění ve formě multinomické věty a Newtonova vzorce. - binomická a multinomická věta a) Binomická věta - pro libovolná reálná xx, yy a přirozené nn platí (xx + yy) nn = nn ii=0 CC ii nn xx ii yy nn ii. b) Multinomická věta - pro libovolná reálná xx 1,, xx rr a přirozené nn platí (xx xx rr ) nn nn = PP(nn 1,, nn rr ) xx 1 nn 1 xx rr nn 1 + +nn rr =nn rr, kde součet se provádí přes všechny uspořádané rr-tice přirozených čísel (nn 1,, nn rr ), jejichž součet je roven nn, tj. nn nn rr = nn. Důkaz. ad a) Roznásobením výrazu (xx + yy) 1. člen (xx + yy) 2. člen (xx + yy) dostaneme 2 nn členů obsahujících nn symbolů (z nn. člen každé závorky právě jeden) a tvořící zřejmě všechny variace nn-té třídy s opakováním ze dvou prvků xx, yy. Dále je evidentní, že počet členů ve kterých se vyskytuje ii-krát symbol xx a (nn ii)-krát symbol yy je roven PP(ii, nn ii). Po jejich sloučení dostáváme jako koeficient u xx ii yy nn ii právě PP(ii, nn ii) = CC nn ii. ad b) Zcela analogický k části a). Roznásobením výrazu (xx xx rr ) (xx xx rr ) (xx xx rr ) dostáváme všechny variace 1. člen 2. člen nn. člen nn-té třídy s opakováním z rr prvků xx 1,, xx rr. Po sloučení členů se stejnými mocninami dostáváme jako koeficient u xx 1 nn 1 xx rr nn rr počet permutací s opakováním řádu (nn1,, nn rr ), tj. PP(nn 1,, nn rr ). Uvažujte rozvinutý tvar výrazu 2xx yy Určete koeficient: i) u členu xx 4 yy 3, ii) u členu (xxxx) 5, iii) u členu obsahujícího xx 3. ad i) Z binomické věty plyne, že člen obsahující xx 4 yy 3 má tvar CC 4 10 (2xx) 4 yy 3 6 a tedy hledaný koeficient je CC = 1120 = 4, ad ii) Uvedený člen se v rozvoji nevyskytuje, tedy koeficient je roven 0. ad iii) V rozvoji daného výrazu existuje jediný člen obsahující xx 3, který má tvar xx 3 yy 3 yy. Snadno tak dopočteme, že hledaný koeficient je CC = 320 = 0, Uvažujte rozvinutý tvar výrazu 5xx + (2yy) 2 3 uu 6. Určete: a) koeficient u členu xxyy 2 uu 2, b) součet koeficientů u členů obsahujících yy 8. ad a) PP(1,1,4) ( 3) 4 = ad b) PP(2,4,0) 5 2 (2 2 ) 4 = PP(1,4,1) 5 (2 2 ) 4 ( 3) = PP(0,4,2) (2 2 ) 4 ( 3) 2 = Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

18 Poznámka Binomická a multinomická věta (jak uvidíme později, jde o vytvořující funkce) má velmi široké možnosti využití, např. jako účinný nástroj při řešení celé řady méně triviálních úloh. Pro ilustraci uvedeme důkazy vztahů a), c) z prvního tvrzení odstavce 1.3. ad a) Dosazením xx = 1, yy = 1 do binomické věty dostáváme 0 = ( 1 + 1) nn = nn ii=0 CC ii nn ( 1) ii 1 nn ii nn = ( 1) ii ii CC nn ii=0. ad c) Aplikací binomické věty na zřejmou identitu (1 + xx) mm+nn = (1 + xx) mm (1 + xx) nn dostáváme ii ii=0 mm+nn CC mm+nn xx ii = mm ii ii=0 CC mm xx ii nn CC jj jj=0 nn xx jj. Porovnáním koeficientů u xx na obou stranách dostáváme CC mm+nn = CC ii ii mm CC nn, min{mm, nn}. Binomická věta je speciálním případem následujícího tvrzení, které bývá označované jako Newtonův vzorec. ii=0 - Newtonův vzorec Pro libovolná xx, αα RR, xx < 1 platí (1 + xx) αα = 1 + αααα + αα(αα 1) xx ! αα(αα 1) (αα + 1) xx +! Snadno ověříme, že pro αα = mm NN je koeficient u xx roven právě binomickému koeficientu CC nn (koeficienty všech členů xx, > nn jsou nulové, tudíž dostáváme binomickou větu). V případě, kdy exponent je záporné celé číslo, budeme psát αα = nn, kde nn NN + a (1.27) má tvar (1 + xx) nn = 1 CC 1 2 nn xx + CC nn+1 xx ( 1) CC nn+ 1 xx + Koeficient u xx je tedy roven CC nn, což plně odpovídá již dříve uvedené definici rozšířených binomických koeficientů. 3 Uvažujte rozvoj výrazu (5 4xx 3 ) 2. Určete: a) koeficient u xx 12, b) koeficient u xx Zřejmě (5 4xx 3 ) 2 = xx3 ad a) Využitím Newtonova vzorce dostáváme αα = 2 3 pro hledaný koeficient ! 5 4 = = 0, ad b) Uvedený člen se v rozvoji nevyskytuje, tedy koeficient je roven 0. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

19 2. Rozklady Základní úlohu z oblasti rozkladů lze formulovat následovně určete počet rozkladů dané konečné množiny. V závislosti na omezujících podmínkách, např. prvky množiny (alternativně označované také jako objekty) jsou (ne)rozlišitelné, třídy rozkladu považujeme za (ne)rozlišitelné, (ne)zadán počet tříd rozkladu, omezení počtu prvků v jednotlivých třídách apod., dostáváme následující základní typy rozkladových úloh Rozklady nerozlišitelných objektů do rozlišitelných tříd Úloha - určete počet rozkladů množiny obsahující nn nerozlišitelných objektů do rozlišitelných tříd. a) Počet rozkladů množiny obsahující nn nerozlišitelných objektů do rozlišitelných tříd, jestliže připouštíme i prázdné třídy rozkladu, je roven počtu řešení diofantické rovnice xx xx = nn, která vyhovují podmínkám ii xx ii NN. 1 b) Počet řešení výše uvedené rovnice je roven PP(nn, 1) = CC nn+ 1. Důkaz. ad a) Zřejmé, pokud xx ii interpretujeme jako počet objektů v i-té třídě rozkladu. ad b) Každý rozklad lze jednoznačně reprezentovat bitovým řetězcem délky nn + 1, který obsahuje ( 1) bitů nastavených na 0 (tvoří oddělovače pro tříd rozkladu) a nn bitů nastavených na 1, kde každá 1 zastupuje právě jeden objekt v dané třídě rozkladu. Další variantou této úlohy je situace, kdy předepíšeme minimální počty objektu v jednotlivých třídách. V tomto případě platí následující tvrzení. a) Počet rozkladů množiny obsahující nn nerozlišitelných objektů do rozlišitelných tříd, jestliže požadujeme, aby ii-tá třída (1 ii ) rozkladu obsahovala alespoň aa ii objektů, je roven počtu celočíselných řešení diofantické rovnice xx xx = nn, která vyhovují podmínkám ii 0 aa ii xx ii. 1 b) Počet řešení výše uvedené rovnice je roven PP nn ii=1 aa ii, 1 = CC nn+ 1 ii=1 aaii. Důkaz. Analogicky k důkazu předchozího tvrzení interpretujeme ( 1) nulových bitů jako oddělovače tříd, které nejprve naplníme povinným minimálním počtem objektů aa ii. Následně rozdělíme zbývajících nn ii=1 aa ii objektů (reprezentované 1) libovolně do tříd. Obecnou variantou předchozích úloh je situace, kdy zadáme dolní i horní omezení počtu objektů v jednotlivých třídách rozkladu. V tomto případě hledáme počet celočíselných řešení diofantické rovnice xx xx = nn, která vyhovují podmínkám ii aa ii xx ii bb ii (aa ii, bb ii ZZ). Poznámka Počet celočíselných řešení výše uvedené rovnice stanovíme obvykle následovně: Nejprve převedeme podmínky ii aa ii xx ii bb ii na tvar ii 0 xx ii aa ii bb ii aa ii. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

20 Označíme-li nyní yy ii = xx ii aa ii, cc ii = bb ii aa ii a mm = nn ii=1 aa ii yy yy = mm,, dostáváme se k ekvivalentní rovnici s podmínkami ii 0 yy ii cc ii. Hledaný počet řešení pak stanovíme pomocí principu inkluze a exkluze, tj. dle vztahu NN(αα 1,, αα ) = NN ii=1 NN(αα ii ) + 1 ii 1 <ii 2 NN αα ii1, αα ii2 1 ii 1 <ii 2 <ii 3 NN αα ii1, αα ii2, αα ii3 + kde αα ii : cc ii + 1 yy ii, ii = 1,,, αα ii : 0 yy ii cc ii, NN αα ii1,, αα iijj, jj = 1,, označuje počet řešení vyhovující podmínkám αα ii1,, αα iijj a NN(αα 1,, αα ) je počet hledaných řešení, tj. vyhovujících podmínkám αα 1,, αα. + ( 1) NN(αα 1,, αα ), Nalezněte počet celočíselných řešení rovnice xx 1 + xx 2 + xx 3 + xx 4 + xx 5 = 8, kde 0 xx 1, 4 < xx 2 < 5, 2 xx 3 6, 4 xx 4 < 1, 0 < xx 5 7. Nejprve omezující podmínky transformujeme na ekvivalentní tvar s dolní mezí rovnou 0. Dostáváme 0 xx 1, 0 xx , 0 xx 3 2 4, 0 xx , 0 xx Nyní provedeme substituci yy 1 = xx 1, yy 2 = xx 2 + 3, yy 3 = xx 3 2, yy 4 = xx 4 + 4, yy 5 = xx 5 1, která převede původní rovnici na tvar yy 1 + yy 2 + yy 3 + yy 4 + yy 5 = 12 ( ) s podmínkami 0 yy 1, 0 yy 2 7, 0 yy 3 4, 0 yy 4 2, 0 yy 5 6. Pro potřeby principu inkluze a exkluze použijme následující označení (negace omezujících podmínek s definovanou horní mezí): αα 1 : 8 yy 2, αα 2 : 5 yy 3, αα 3 : 3 yy 4, αα 4 : 7 yy 5. Hledáne tedy počet řešení NN(αα 1, αα 2, αα 3, αα 4 ) rovnice ( ), která nesplňují žádnou z podmínek αα 1, αα 2, αα 3, αα 4. Z principu inkluze a exkluze dostáváme 4 NN(αα 1, αα 2, αα 3, αα 4 ) = NN ii=1 NN(αα ii ) + 1 ii 1 <ii 2 4 NN αα ii1, αα 2 1 ii 1 <ii 2 <ii 3 4 NN αα ii1, αα 2, αα 3 + +NN(αα 1, αα 2, αα 3, αα 4 ), kde NN je počet všech řešení (0 yy ii ), NN(αα ii ) je počet řešení vyhovující podmínce αα ii, jinde 0 yy jj pro jj ii, NN αα ii1, αα ii2 je počet řešení vyhovující podmínám αα ii1, αα ii2, jinde 0 yy jj pro jj ii 1, ii 2, NN αα ii1, αα ii2, αα ii3 je počet řešení vyhovující podmínám αα ii1, αα ii2, αα ii3, jinde 0 yy jj pro jj ii 1, ii 2, ii 3, NN(αα 1, αα 2, αα 3, αα 4 ) je počet řešení vyhovující podmínkám αα 1, αα 2, αα 3, αα 4. Pro výše uvedené dostáváme (viz předchozí věta) následující hodnoty NN = PP(4,12) = 1820; NN(αα 1 ) = PP(4,12 8) = 70; NN(αα 2 ) = PP(4,12 5) = 330; NN(αα 3 ) = PP(4,12 3) = 715; NN(αα 4 ) = PP(4,12 7) = 126; NN(αα 1, αα 2 ) = NN(αα 1, αα 4 ) = 0; NN(αα 1, αα 3 ) = PP(4,12 8 3) = 5; NN(αα 2, αα 3 ) = PP(4,12 5 3) = 70; NN(αα 2, αα 4 ) = PP(4,12 5 7) = 1; NN(αα 3, αα 4 ) = PP(4,12 3 7) = 15; NN(αα 1, αα 2, αα 3 ) = NN(αα 1, αα 2, αα 4 ) = NN(αα 1, αα 3, αα 4 ) = NN(αα 2, αα 3, αα 4 ) = NN(αα 1, αα 2, αα 3, αα 4 ) = 0; Tedy pro hledaný počet řešení platí NN(αα 1, αα 2, αα 3, αα 4 ) = 670 Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

21 2.2. Rozklady nerozlišitelných objektů do nerozlišitelných tříd Úloha - určete počet rozkladů množiny obsahující nn nerozlišitelných objektů do nerozlišitelných tříd. Počet rozkladů množiny obsahující nn nerozlišitelných objektů do neprázdných a nerozlišitelných tříd (jejichž počet není předepsán), je roven: a) Počtu rozkladů přirozeného čísla nn na součet přirozených sčítanců. b) Počtu řešení diofantické rovnice xx 1 + 2xx 2 + 3xx nnxx nn = nn v oboru přirozených čísel (tj. ii xx ii NN). Důkaz. ad a) Zřejmé - každý sčítanec reprezentuje počet prvků třídy rozkladu (nezáleží na pořadí sčítanců, neboť sčítání je komutativní, sčítanci se stejnou hodnotou jsou nerozlišitelní). ad b) S ohledem na a) stačí označit počet sčítanců o velikosti ii symbolem xx ii (1 ii nn). Další variantou výše uvedené úlohy o rozkladu přirozeného čísla nn na kladné sčítance je předepsání hodnot, kterých sčítanci mohou nabývat (v základní variantě to jsou hodnoty 1,2,, nn). Počet rozkladů přirozeného čísla nn na sčítance rovné některým z přirozených čísel aa 1, aa 2,, aa, je roven počtu řešení diofantické rovnice aa 1 xx 1 + aa 2 xx aa xx = nn v oboru přirozených čísel (tj. ii xx ii NN). Důkaz. Analogicky předchozímu tvrzení stačí interpretovat xx ii jako počet sčítanců rovných číslu aa ii. Poznámka Je zřejmé, že přirozené číslo nn nemusí být vždy rozložitelné na součet využívající pouze zadaných sčítanců aa 1,, aa. Snadno se přesvědčíme, že např. číslo 353 nelze vyjádřit ve tvaru součtu, kde sčítance se mohou opakovat, ale mohou být rovny pouze některým z čísel 9, 12, 21, 33. Připomeňme, že kritériem řešitelnosti je v tomto případě podmínka NNNNNN(aa 1,, aa ) nn, kde NNNNNN označuje největšího společného dělitele. Určete počet způsobů, jak lze vyplatit částku 5nn Kč pomocí mincí v hodnotě 5 Kč, 10 Kč, 20 Kč. Úloha je zřejmě ekvivalentní s úlohou určit počet řešení rovnice 5xx xx xx 3 = 5nn (nn NN) v oboru přirozených čísel. Snadno zjistíme, že zadaným podmínkám vyhovují uspořádané trojice tvaru (xx 1, xx 2, xx 3 ) = (nn 2tt 4uu, tt, uu), kde 0 nn 2tt 4uu a tt, uu NN. Odtud pro hledaný počet způsobů jak rozměnit zadanou částku 5nn Kč pomocí mincí v hodnotě 5 Kč, 10 Kč, 20 Kč dostáváme vztah nn 2 nn 2tt + 1 = ii=0 nn nn 2 nn 4 + 1, kde označuje funkci dolní celá část. Např. částku 500 Kč lze rozměnit pomocí 5, 10, 20 Kč mincí 676 různými způsoby. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL

22 2.3. Stirlingova čísla Další třídu rozkladových úloh tvoří problematika rozkladu množiny rozlišitelných prvků. Základní výsledky jsou obsahem tohoto odstavce a stručně pojednávají o tzv. Stirlingových číslech. Definice Stirlingova čísla 2. druhu Počet, kolika způsoby lze rozložit množinu obsahující nn různých prvků do neprázdných tříd, kde na pořadí tříd ani prvků v třídách nezáleží, značíme SS(nn, ) a nazýváme Strlingovo číslo 2. druhu řádu nn,. Poznámky V kontextu rozkladů se místo pojmu Stirlingovo číslo 2. druhu běžně používá termín Stirling subset number (řádu nn, ) a značí se nn, tj. SS(nn, ) = nn. Oba názvy i symboly budeme běžně používat jako ekvivalenty. Nicméně označení pomocí složených závorek budeme preferovat, neboť je návodné, neboť zdůrazňuje skutečnost, že jde o třídy rozkladu, které chápeme jako množiny a tedy nezáleží na pořadí prvků v třídách rozkladu (na rozdíl od níže zavedených Stirling cycle numbers). Pro některé hodnoty nn, NN je snadné určit nn explicitně. Platí: 0 0 = 1, nn 0 = 0, pro nn NN+, nn 1 = 1, pro nn NN+, nn 2 = 2nn 1 1, pro 2 nn, (řádně zdůvodněte!) nn nn(nn 1) =, pro nn NN nn 1 +, nn = 1, pro nn NN. 2 nn Pro Stirlingova čísla 2. druhu (Stirling subset numbers) platí pro 1 nn rekurentní vztah nn 1 1 = nn + nn 1. (s počátečními podmínkami uvedenými v předchozí poznámce) Důkaz. Označme MM = {aa 1,, aa nn } množinu rozkládanou do neprázdných tříd. Uvažované rozklady rozdělíme do dvou disjunktních skupin následovně první obsahuje rozklady, kde libovolný pevně zvolený prvek, např. aa 1, tvoří samostatnou třídu rozkladu a druhou zbývající rozklady (tj. rozklady, kde prvek aa 1 je obsažen ve třídě rozkladu obsahující alespoň 2 prvky). Snadno zjistíme, že v první skupině existuje nn 1 1 rozkladů (prvek aa 1 tvoří samostatnou třídu rozkladu a je proto třeba rozložit nn 1 zbývajících prvků do 1 tříd). Počet rozkladů ve druhé skupině je zřejmě roven nn 1. Všechny prvky kromě aa 1 (tj. celkem nn 1 prvků) rozložíme do tříd a následně prvek aa 1 přidáme k některé z již existujících tříd. Poznámka - trojúhelník Stirlingových čísel 2. druhu/stirling subset numbers Stirlingova čísla 2. druhu nn, 0 nn lze uspořádat do schématu uvedeného v příloze - tabulka 3.6, které je analogií Pascalova trojúhelníku pro kombinační čísla CC nn, 0 nn. Hodnoty počítáme z výše uvedeného rekurentního vztahu (a z počátečních podmínek). Definice - Bellova čísla Počet všech rozkladů konečné nn-prvkové množiny značíme BB nn, nn NN a nazýváme Bellovo číslo. Kombinatorické metody I, doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc., Katedra aplikované matematiky FP TUL